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第一章数与数系第一节数系的历史发展第二节自然数按现代数学的观点，整个数学建立在自然数和集合基础上，只要自然数和集合是严格的，那么整个数学就是严格的。
本章将讨论如何用公理化的体系来建立严格的自然数。
从小学一年级开始，你已经接触自然数，你已经与数打了十多年的交道，而且你知道如何按照代数法则来化简数的表达式，但是我们要处理一个更基本的事情，那就是：为什么这些代数法则总有效力？例如，为什么对于任何三个数a,b,c,表达式a(b+c)等于ab+ac总是真确的？这不是一个任意选择的法则，它可以由数系更为原始的也更为基本的性质来证明。
用更简单的性质来证明复杂的性质是数学的基本思想。
你会发现，即使一个命题可能是“明显的”，它却可能不是易于证明的。
我们首先碰到的问题是：如何定义自然数？（这与怎么样使用自然数是非常不同的问题。
使用自然数当然你十分了解，这就象知道如何使用一台计算机与知道如何建造这台计算机是完全不同的两回事）。
回答这个问题比问题本身看上去要困难得多。
基本的问题是你使用自然数已经太久了，以致这些数都已深深地嵌入你的数学思维之中，使得你甚至不必思考你在做什么就能作出关于这些数的各种不明显的假设（例如a+b总是等于b+a）,很难让你像第一次见到它那样去考察这个数系。
所以你不得不执行一个相当艰巨的任务：暂时把你知道的关于自然数的一切放到一边：忘记怎么样记数，忘记加法，忘记乘法，忘记代数律等等。
我们将逐步引入这些概念，在这一过程中，明确哪些是我们的假定，哪些是从假定开始演绎出来的。
这个过程也是树立你的数学知识的牢固根基的一个极好的方式。
此处你实行的证明和抽象思考，对于你理解数学，进一步学习数学将会有无法估量的益处。
1 自然数按照已有的数学知识，大家都知道，自然数是指集合：N= {0,1,2,3,…}的元素。
于是我们可以定义定义（不正式）自然数是指集合N= {0,1,2,3,…}的元素，此集合是由从0开始无休止地往前数所得到的一切数的集。
初等代数研究__第1章_数与数系第1章数与数系数学是一门研究数与数的运算规律的科学，而数与数系是数学研究的基础。
本章将讨论数与数系的基本概念和性质。
1.1自然数与整数自然数是最基本的数，用来表示物体的个数。
自然数的集合记作N={1,2,3,…}，其中1为最小的自然数。
整数是自然数的扩充，包括正整数、负整数和零。
整数的集合记作Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}。
整数的加法运算满足交换律、结合律和闭合性，即对于任意的整数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)和a+b=b+a。
整数的减法运算也满足这些性质。
1.2有理数有理数是可以表示为两个整数的比，其中分母不为零。
有理数的集合记作Q={p/q，p∈Z，q∈Z，q≠0}。
有理数的加法、减法、乘法和除法运算都满足交换律、结合律和闭合性。
有理数的大小可以用数轴来表示，其中0位于原点。
正有理数位于0的右边，负有理数位于0的左边。
有理数可以根据大小进行比较，例如两个有理数a和b，若a>b，则称a大于b，若a<b，则称a小于b。
1.3无理数无理数是不能表示为两个整数的比的数。
无理数的集合记作I=Q'。
无理数是无限不循环小数或无限循环小数。
例如，根号2是一个无理数，其小数表示是无限不循环的。
在数轴上，无理数位于有理数之间，填补了有理数之间的空隙。
无理数与有理数一起构成了实数的集合R，即R=Q∪I。
1.4实数实数是有理数和无理数的集合，记作R=Q∪I。
实数的加法、减法、乘法和除法运算都满足交换律、结合律和闭合性。
实数的大小可以通过大小关系进行比较。
1.5数系的运算实数系具有加法和乘法运算两种基本运算。
实数的加法运算满足交换律、结合律和闭合性。
实数的乘法运算也满足这些性质。
加法运算满足零元素和负元素的存在性。
实数的运算有一些基本性质。
其中有加法的逆元素和乘法的逆元素，满足a+(-a)=0和a*1/a=1，其中a≠0。
此外，实数的运算还有分配律等性质。
第一章数与数系数系的历史发展自然数系和0从自然数系到整数环有理数系实数系戴德金分割与实数系的连续性复数系关于数系教学的建议一些例题第一节数系的历史发展数学思维对象与实体的分离算术到代数的演进加速了数系的形成算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因与实体不能直接对应的“理想数”用结构主义方法构造数系这样太不方便了！一.数学思维对象与实体的分离后来聪明的人们发明了一些记数符号，这就是数字。
自然数集→正有理数集→有理理数集→实数集→复数集。
当人们还普遍怀疑负整数是一种数时，人们就已经在研究正的有理数和无理数，甚至已经开始使用复数了。
人们可以接受正有理数和正无理数，因为它们是在实体测量中产生的抽象物。
不能实际测量，正是一些数学家不愿意承认负数的理由。
二.算术到代数的演进加速了数系的形成毕达哥拉斯学派发现无理数《几何原本》关于复杂无理数和欧多克斯利用穷解法把相似比扩展到无理数情形的记载。
字母表示数和方程求解的运算过程促进了人们对无理数的接受。
对毕达歌拉斯而言，当时的数学知识只能认识到整数，虽然分数总可以用正数表达。
数学之美在于有理数能解释一切自然现象。
这种起指导作用的哲学观使毕氏对无理数的存在视而不见，甚至导致他一个学生被处死。
三.算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因大量研究表明，最早使用负数的是中国人。
约公元前200年的《九章算术》有记载。
负数受到数学家的普遍承认主要是依赖于算法的无矛盾性。
两个例子：解方程和比例的内项之积等于外向之积。
中国的“开方术”算法使中国人很自然地接受了无理数。
复数幂的欧拉公式的逻辑相容性促使人们承认虚数。
四.与实体不能直接对应的“理想数”希尔伯特用“理想元”概括数学中的“虚数”和“无限”这类并不直接与实体对应的数学概念。
如引入理想元，即无限远点和无限远直线之后，两条直线总在一点而且只在一点相交这条定理普遍为真。
鲁宾逊证明了通常的实数系R可以扩充为一种包括“无穷小”和“无穷大”在内的非标准实数系R*,在R*定义的各种运算和R中的运算不会发生矛盾。
数系数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统．数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论基础，则是19世纪下半期才完成．一、自然数建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法．基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数．古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数．现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的．中国古代《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映．集合的基数具有元素“个数”的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数．由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）.为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合．随后对某一有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数．这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论．皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里“集合”、“含有”、“自然数”“后继”等是不加定义的．①1是自然数．②1不是任何其它自然数的后继．③每个自然数都有一个后继（a的后继记为a'）．④a'＝b'蕴含a＝b．⑤设S是自然数的一个集合．如果S含有1，且S含有a'蕴含S含有a，则S含有任何自然数．公理⑤就是熟知的数学归纳法公理．一切自然数集记为{1， 2 ，3 ，…，n…}，简记为N．从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律．二、整数在自然数集N之外，再引入新的元素0，－1，－2，－3，…，－n，…．称N中的元素为正整数，称0为零，称－1，－2，－3，…，－n，…为负整数．正整数、零与负整数构成整数系．零不仅表示“无”，它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号．中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件．印度－阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是“空”或“空白”．中国最早引入了负数．《九童算术·方程》中论述的“正负术”，就是整法的加减法．减法运算可看作求解方程a＋x＝b，如果a，b是自然数，则方程未必有自然数解．为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系．关于整数系的严格理论，可用下述方法建立．在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系：对于自然有序对（a1，b1），（a2，b2），如果a1＋b2＝a2＋b1，就说（a1，b1）～（a2，b2），N×N，关于上述等价关系的等价类，称为整数．一切整数的集记为Z．三、有理数古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算．分数的使用是由于除法运算的需要．除法运算可以看作求解方程px＝q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解．为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系．关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立．在Z×（Z-{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设p1，p2∈Z，q1，q2∈Z - {0}，如果p1q2＝p2q1，则称（p1，q2）～（p2，q1）．Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数．（p，q）所在的有理数，记为p q．一切有理数所成之集记为Q．令整数p对应于p1，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中．因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系．四、引起数学危机的无理数无理数，顾名思义，与有理数相对．那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如2，3，7，π等等．如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的，无论是度量长度，重量，还是计时．第一个被发现的无理数是2，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1∶X＝X∶2，那么X叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是X2＝12＋12．他想，X代表对角线长，而X2＝2，那么X必定是确定的数．但它是整数还是分数呢？显然，2是12和22之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数．那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数2．无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了．但是，人们很快发现了3，5，7等更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实．无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑．五、无理数公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数）这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭．这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处．毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”．而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”．于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了．不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽．不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数．15世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数．然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”．人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．。
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-f 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
