山东省青岛市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理
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山东省青岛市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知11abii，其中,ab是实数，i是虚数单位，则||abi
A．3 B．2 C．5 D．5
2. 已知集合2{|lg(2)}Mxyxx，22{|1}Nxxy，则MN
A．[1,2) B．(0,1) C．(0,1] D．
3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是
A．30 B．31 C．32 D．33
4. 已知函数22, 0,()|log|,0,xxfxxx，则使()2fx的x的集合是
A．1{,4}4 B．{1,4} C．1{1,}4 D．1{1,,4}4
5. 已知MOD函数是一个求余函数，其格式为(,)MODnm，
其结果为n除以m的余数，例如(8,3)2MOD.
右面是一个算法的程序框图，
当输入的值为25时，
结束 开始
输入n
2i
(,)0?MODni 输出i
1ii 是
否 则输出的结果为
A．4 B．5
C．6 D．7
6. 设,xy满足约束条件2311xxyyx，则下列不等式恒成立的是
A．3x B．4y C．280xy D．210xy
7. “2a”是“函数axxf)(在[1,)上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
9. 定义在R上的奇函数()fx满足(1)()fxfx，当1(0,]2x时，)1(log)(2xxf，则()fx在区间3(1,)2内是
A．减函数且()0fx B．减函数且()0fx
C．增函数且()0fx D．增函数且()0fx
10. 已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若OFP的面积为228ab，则该双曲线的离心率为
A．53 B．73 C．103 D．153
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知不共线的平面向量a，b满足(2,2)a，()()abab，那么||b ；
12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布2(110,10)N，已知(100110)0.34PX，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人；
13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；
14. 若函数()sin()(0,0)6fxAxA的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；
15. 若不等式2222()yxcxxy对任意满足0xy的实数,xy恒成立，则实数c的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知向量2(sin,cos)33xxak,(cos,)3xbk,实数k为大于零的常数，函数()fxab,Rx，且函数()fx的最大值为212.
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，若2A，()0fA,且210a,求ABAC的最小值.
17．（本小题满分12分）
为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表： 3
1 1
x 23 O y
第14题图 6 4
6 4 4
俯视图 正（主）视图 侧（左）视图
2
第13题图 乘坐里程x（单位：km） 06x 612x 1222x
票价（单位：元） 3 4 5
现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里
的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13 .
（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
18．（本小题满分12分）
如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，11ABa，2ABa，12AAa，E、F分别是AD、AB的中点.
（Ⅰ）求证：平面11EFBD∥平面1BDC；
（Ⅱ）求二面角1DBCC的余弦值的大小.
注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.
19．（本小题满分12分）
设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正整数的等比数列，且111ab，13250ab，82345abaa，*Nn．
（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}nd满足218log11()2nbnndd（*Nn），且116d，试求{}nd的通项公式及C 1B
E D
F A B 1A 1D 1C 其前n项和nS．
20．（本小题满分13分）
已知抛物线1:C22(0)ypxp的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆:C229xy上．
（Ⅰ）求抛物线1C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆2:C22221 (0)xymnmn的一个焦点与抛物线1C的焦点重合，若椭圆2C上存在关于直线:l1143yx对称的两个不同的点，求椭圆2C的离心率e的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数1()1lnafxxx（a为实数）．
（Ⅰ）当1a时，求函数()fx的图象在点11(,())22f处的切线方程；
（Ⅱ）设函数2()32haaa（其中为常数），若函数()fx在区间(0,2)上不存在极值，且存在a满足()ha18，求的取值范围；
（Ⅲ）已知*Nn，求证：11111ln(1)12345nn． 高三自主诊断试题
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．
D C B A B C A C B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 22 12. 8 13.32 14．232 15．224
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知2()(sin,cos)(cos,)333xxxfxabkk
221cos12223sincoscossin(sincos)3332322332xxxxxkxxkkkkk……2分
2222222(sincos)sin()2232322342kxxkkxk ……………………5分
因为Rx，所以()fx的最大值为(21)2122k，则1k …………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，221()sin()2342xfx，所以221()sin()02342AfA
化简得22sin()342A
因为2A，所以25123412A
则2344A，解得34A …………………………………………………8分
因为22222240cos222bcabcAbcbc，所以22240bcbc
则2224022bcbcbcbc，所以4020(22)22bc ……………10分 则32cos20(12)42ABACABACbc
所以ABAC的最小值为20(12)
…………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13
则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P ……………2分
所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133PP …………………4分
（Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10
则111(6)4312P
11111(7)43234P 1111111(8)4343233P 11111(9)23434P
111(10)4312P ………………………………………………………………10分
所以的分布列为
6
7
8 9 10
P 112 14 13 14 112
则11111()67891081243412E ……………………………………12分
18．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接11AC，AC，分别交11,,BDEFBD于,,MNP，连接1,MNCP
由题意，BD∥11BD
