高数答案第七章
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1 / 10 第七章 空间解析几何与向量代数
§7.1 向量及其线性运算
必作题：P300---301：1,3,4,5,6,7,8,9,12,13,15,18,19.
必交题：
1、 求点(,,)abc分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标.
解：〔1 xoy面〔a,b,-c,yoz面〔-a,b,c, xoz面〔a,-b,c;
<2ox轴〔a,-b,-c, oy轴〔-a,b,-c, oz轴〔-a,-b,c;
<2关于原点〔-a,-b,-c。
2、 坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的位置
解：xoy面：z=0, yoz面：x=0, xoz面：y=0.
ox轴：y=0,z=0, oy轴：x=0,z=0, oz轴：x=0,y=0,
A在xoy面上,B在yoz面上, C在x轴上, D在y轴上。
3、 在z轴上求与点(4,1,7)A和点(3,5,2)B等距离的点的坐标.
解：设C〔0,0,z,有|AC|=|BC|,解得：z=149,所求点为<0,0,149>.
4、 设2,3,uabcvabc试用,,abc表示23.uv
解：235117uvabc.
5、已知两点1(4,2,1)M和2(3,0,2),M求向量12MM的模,方向余弦和方向角.
解：121,2,1MM,122MM,方向余弦为1cos2,2cos2,1cos2,方向角23,34,3.
6、设向量a的模2,a方向余弦13cos0,cos,cos,22求.a .
2 / 10 解：设,,axyz,则02x,122y,322y,所以0x,1y,3z,0,1,3a
7、设有向量12,PP122,PP它与x轴、y轴的夹角分别为34和，如果已知1(1,0,3),P求2P的坐标.
解：设2P的坐标为(,,)xyz,121,,3PPxyz,11cos232x,所以2x；2cos242y,所以2y,又122,PP,所以
212(3)2z,解得2z或4z,所以2P的坐标为(2,2,2)
或者(2,2,4).
8、求平行于向量6,7,6a的单位向量.
解：36493611a,与a平行的单位向量为16,7,611,即为676,,111111,或者676,,111111.
§7.2数量积 向量积 混合积
必作题： P309--310：1,2,3,4,6,7,8,9.
必交题：
1、已知向量1,2,2a与2,3,b垂直,向量1,1,2c与2,2,d平行,求和的值.
解：ab,2620ab,2
ab,11222u,4u.
2、已知向量23,3,2aijkbijkcij,分别计算以下各式. .
3 / 10 ⑴((abcacb））；⑵()()abbc；⑶()abc.
解：⑴((88824abcacbcbjk））
⑵()()(344)(233)abbcijkijkjk
⑶231()1132120abc.
3、已知3,3OAikOBjk,求ABO的面积.
解：33OAOBijk
ABO的面积11922SOAOB.
§7.3曲面及其方程
必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10.
必交题：
1、一动点与两定点2,3,14,5,6AB和等距离,求该动点的轨迹方程.
解：设动点(,,)Pxyz,因为PAPB,所以
222222(2)(3)(1)(4)(5)(6)xyzxyz,解得动点的轨迹方程为632252xyz.
2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.
⑴1yx；⑵224xy；⑶221xy；
⑷22xy；⑸220xy.
解：⑴直线；平面 ⑵ 圆；援助面 ⑶ 双曲线；双曲柱面
⑷抛物线；抛物柱面 ⑸原点；Oz坐标轴
3、说明下列旋转曲面是怎样形成的. .
4 / 10 ⑴2221499xyz；⑵222()zaxy.
解：⑴xOy坐标面上椭圆22149xy绕Ox轴旋转形成,或者xOz坐标面上椭圆22149xz绕Ox轴旋转形成。
〔2xOz坐标面上zax绕Oz轴旋转形成,或者yOz坐标面上zay绕Oz轴旋转形成.
4、指出下列方程表示什么曲面
⑴222194xyz；⑵22349zxy；
⑶222xyz；⑷2224xyz.
解：⑴ 椭球面 ⑵ 椭圆抛物面 ⑶ 圆锥面 ⑷ 旋转双叶双曲面.
5、建立单叶双曲面22211645xyz与平面230xz的交线关于xoy面的投影柱面与投影曲线方程.
解：
将曲面与平面方程联立,消去变量z得到投影柱面222(3)116420xyx,投影曲线为222(3)1164200xyxz.
6、画出下列各曲面所围立体图形.
⑴22zxy, 1z；⑵226zxy, 0z；
⑶222zxy, 22zxy.
解：略 .
5 / 10 §7.4空间曲线及其方程
必作题：P324--325：3,4,5,6,7,8.
必交题：
1、下列方程组各表示什么曲线？
⑴5123yxyx；⑵221493xyz ；
⑶22461xyzz； ⑷224804yzxy；
⑸22222236(1)(2)(1)25xyzxyz.
解：⑴ 直线 ⑵ 椭圆 ⑶ 双曲线 〔4 抛物线 ⑸ 圆
2、求由上半球面222zaxy,柱面220xyax及平面0z所围立体在xoy坐标面和xoz坐标面的投影.
解：在xOy平面投影222()24aaxy,0z
在xOz平面投影22zax,0y,0x
1、 将曲线的一般方程2229xyzyx化为参数方程.
解：3cos23cos23sinxtytzt,02t
§7.5平面及其方程
必作题： P329---330：2,4,6,7,8.
必交题：
1、求满足下面条件的平面方程 .
6 / 10 ⑴过点3,0,1且与向量3,7,5a垂直;
⑵过点1,0,1且与二向量2,1,1a,1,1,0b平行;
⑶过点5,7,4且在三坐标轴上的截距相等且不为零;
⑷过z轴,且与平面250xyz的夹角为.3
解：⑴3(3)75(1)0xyz,即3754xyz
⑵2113110ijkabijk,所以(1)3(1)0xyz,即
⑶ 设平面方程为xyza,过点5,7,4,所以2a,即
⑷ 设平面方程为0AxBy,222cos310ABAB,解得 3AB或3BA,所以方程为
30BxBy,即30xy,或者30AxAy,即30xy.
2、求两平行平面1:10xyz与2:22230xyz之间的距离.
解：在1上任取一点(0,0,1),距离23536444d.
§7.6空间直线及其方程
必作题：P335---336：1、2、3、4、7、8、11、13、15、16.
必交题
1、求过点(0,2,4)且与两平面1:21xz和2:32yz平行的直线方程.
解：方向向量1,0,20,1,32,3,1s
以直线方程为 24231xyz .
7 / 10 2、求直线30:0xyzLxyz和平面:10xyz间的夹角.
解：1,1,31,1,12,4,2s,1,1,1n
242sin04164111,所以0
3、求点(3,1,2)P到直线10240xyzxyz的距离.
解：1,1,12,1,10,3,3s
在直线上任取一点(1,0,2)M,2,1,0PM,3,6,6PMs
距离322PMsds
第七章总复习
必作题: P337---338: 总习题七.
必交题:第七章模拟检测题
1、填空题
<1> 设25ab与ab垂直,23ab与5ab垂直,则(,)ab=.
3或23
<2> 已知(2,2,1), (8,4,1)ab,则a在b的投影为；
与a同方向的单位向量为；b的方向余弦为.
1；221,,333；8cos9,4cos9,1cos9
<3> 空间曲线22222()zxyzxy在xOy面上的投影曲线的方程.
8 / 10 为.2210xyz
<4> 与两直线112xytzt及121121xyz都平行且过原点的平面方程为.0xyz
<5> 点(3,5,7)P关于平面263420xyz的对称点的坐为.
1、 选择题
<1> 设3ab,(1,1,1)ab,则向量a与b的夹角为〔 D;
A．2 B．3 C．4 D．6
<2> 设两直线L1：11112xyz,L2：12134xyz,则此两条直线〔 A;
A．异面 B．相交 C．平行 D．重合
<3> 通过x轴且垂直于平面54230xyz的平面方程为〔 B;
A．20zyB. 20yz C．20xz D．20zx
<4> 平面24330xyz与平面290xyz的夹角为〔D;
A．6 B．4 C．3 D．2
<5> 点(1,1,0)M到直线2330:0yzLxy的距离为〔 B .
A．34011 B．34111 C．34211 D．34311
3、计算题
<1> 求点A〔-1,2,0在平面210xyz上的投影.
