高数答案第9章

第9章（之1） （总第44次）

*1． 微分方程7359)(2xyyyy的阶数是 （ ）

（A）3； （B）4； （C）6； （D）7．

答案（A）

解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．

*2． 下列函数中的C、、及k都是任意常数，这些函数中是微分方程04yy的通解的函数是 （ ）

（A）xCxCy2sin)2912(2cos3； （B）)2sin1(2cosxxCy；

（C）xCkxkCy2sin12cos22； （D）)2cos(xCy．

答案 （D）

解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．

（A）中的函数只有一个任意常数C；

（B）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；

（C）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及k，但当令kCC时，函数就变成了xCxCy2sin12cos2，实质上只有一个任意常数；

（D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．

*3．在曲线族 xxececy21中，求出与直线xy相切于坐标原点的曲线．

解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(yy，

由xxececy21， xxececy21，可得1,02121cccc，

故21,2121cc，这样就得到所求曲线为)(21xxeey，即xysinh．

*4．证明：函数yexx2333212sin是初值问题1dd,00dddd0022xxxyyyxyxy的解．

证明 yexexxx3332321212sincos， yexexxx3332321212sincos，

代入方程得 yyy0， 此外 ，，1)0(0)0(yy

故yexx2333212sin是初始值问题的解．

*5．验证yeetCextxx20d（其中C为任意常数）是方程yyexx2的通解．

证明 yeeteeCextxxxx220dyexx2， 即 2xxeyy，说明函数确实给定方程的解．

另一方面函数yeetCextxx20d含有一任意常数C，所以它是方程的通解．

**6．求以下列函数为通解的微分方程：

（1）31Cxy；

解 将等式31Cxy改写为13Cxy，再在其两边同时对x求导，得Cyy23，代入上式，即可得到所求之微分方程为1332yyxy．

（2）xCxCy21．

解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x求两次导数，得

221xCCy，322xCy．

从以上三个式子中消去任意常数1C和2C，即可得到所求之微分方程为

02yyxyx．

**7．建立共焦抛物线族)(42CxCy（其中C为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．

解 在方程)(42CxCy两边对x求导有Cyy42，从这两式中消去常数所求方程为)2(yyxyy． **8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(xyy上任一点处的法线都经过坐标原点．

解 任取)(xyy上的点 ),(yx，曲线在该点处的切线斜率为 y=dxdy．

所以过点),(yx的法线斜率为y1， 法线方程为yY=y1)(xX，

因为法线过原点，所以y0y1)0(x从而可得所求微分方程为0yyx．

第9章（之2）（总第45次）

教学容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程

**1．求下列微分方程的通解：

（1）21)1(xyxy；

解： 分离变量21d1dxxxyy，两边积分21d1dxxxyy，

得Cxyln)1ln(21)1ln(2，即211xCy．

（2）222yxeyxy；

解：分离变量xxeyyexydd222，两边积分就得到了通解

)d(21222xexeexxycexexx)21(2122．

（3）042)12(yyeyex．

解： 12d42dxxeyeyy， Cxeyln21)12ln(21)2ln(21，

即 ()()exCy221．

**2．试用两种不同的解法求微分方程xyyxy1的通解．

解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易．

分离变量，)1)(1(yxy， xxyyd)1(1d，并积分 xxyyd)1(1d

得cxxy221)1ln(，所求通解为 xxcey2211．

解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为xyxy1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．

对应的齐次方程为0)1(yxy，其通解为○1xxeCy221．

代入原非齐次方程得xeCxx1221，解得○2CeCxx221，○2代入○1即可得原方程的通解

xxCey2211．

*3．求解下列初值问题：

（1）21xyy，6)21(ey．

解：y=21xy，21ddxxyy (0y)， 21ddxxyy，

Cxyarcsinln，  xCeyarcsin，

6)21(ey，21arcsin6Cee，1C，  xeyarcsin．

（2）22xexyy，1)0(y；

解: 22xexyy， xxp2)(，2)(xexq，

)(xyxxed2 Cdxeexxxd222xeCdxeexxxd2222xxCexe，

 1)0(y， 101cc， 2)1(xexy． （3）xexyycoscot，1)2(y；

解：  xexyycoscot， xxPcot)(，xexQcos)(．

 xCyxxxxxdeeedcotcosdcot )dee(esinlncossinlnxCxxx

)dsine(csccosxxCxxxCxcsc)e(cos，

由1)2(y， 可确定 2C，所以 xyxcsc)e2(cos．

（4）0d)12(d2xxxyyx，01xy．

解： 方程变形为 2112xxyxy，是一阶线性非齐次方程，其通解为

dxexxceydxxdxx222)11(

dxxxxcx222)11(1xxcx22211xxc1212

由 0)1(y， 得 21c， 所以特解为：xxy121212．

**4．求微分方程 0d)ln(dlnyyxxyy 的通解（提示将x看作是y的函数）．

解：将x看作是y的函数，原方程可化为yxyydydx1ln1，这是一阶线性方程，将其中yyQyyyP1)( ,ln1)(代入一阶线性方程求解公式，得通解

1e 1)ln(ln)ln(lnln1ln1dyeycdyeycexyydyyydyyy

yycdyyycyln21ln lnln1．

**5．求满足关系式)(d)(22xyxuuuyx的可导函数)(xy．

解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x求导，可得微分方程xyxxyx()dd2，即 ddyxxyx2，分离变量得ddyyxx2，积分得yCex222，

在原方程两边以2x代入，可得初试条件22xy．据此可得14eC，所以原方程的解为 24122xey．

**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k），求降落伞的下落速度与时间的函数关系．

解：根据牛顿运动第二定理有kvmgtvmdd．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得

1kmgkvtmCln()．

由初始条件0)0(v， 得)ln(1mgkC，即得 vmgkekmt1．

**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(yx的法线在x轴上的截距为kx．

解：曲线在点(,)xy处的法线斜率为y1，所以法线方程为YyyXx1()．

只要令0Y，就可以得到法线在x轴上的截距为 yyxX ．

据题意可得微分方程xyykx，即xkyy)1(．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线Cxky22)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1C，所以所求曲线方程为 ykx2211()．

***8．求与抛物线族2Cxy（C是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．

解：在给定曲线2cxy上任意一点),(yx处切线斜率为cxyk20，从上面两式中消去c得xyyk20，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程xyy2．

设所求曲线方程为 )(xyy，在同一点),(yx处切线斜率为yk，则根据正交要