定积分在几何中的应用 课件

1 / 4 定积分在几何中的简单应用

授课班级：高二（5）班 授课人：石林红

一．

教学目标 【知识与技能目标】 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。

【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。

二．

教学重点难点 【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

三．

教学方法 教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。

（一） 复习引入：

1.复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.

2.热身训练：计算 dxx2224 ２．计算 22sindxx

（二）．精讲点拨

1.几种典型的平面图形面积的计算：

类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a

(2) x y

o a b c )(xfy(3) (1) x y

o )(xfyab2 / 4

类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(a

2.试一试：用定积分表示阴影部分面积

3.例题实践：例１．计算由曲线2xy与xy2所围图形的面积．

例２．计算由曲线xy2与4xy及x轴所围平面图形的面积．

学生分组合作完成

探究：1.本题还有其他解法吗？

12009-11-131].,[)1(

baxA

的某个区间自变量依赖于不均匀变化的整体量

∑

==n

iiAA

1,.)2(Δ

即具有可加性

iiii

xfAA

ΔξΔΔ

⋅≈)()3(

求得近似值可“以不变代变”部分量可以应用定积分计算的量有如下特点:第一节定积分的元素法第六章定积分的应用

2009-11-132x)(xA

xxΔ

+AΔ

xy

a

b)(xfy=

o

∫

=x

adttfxA)()(

dxxfAd)(=)()(xfxA=′

⇒],[)(baCxf∈

dxxfAdA)(=≈Δ

)0()()(→=−xxodxxfAΔΔΔ关键是

部分量

的近似

)()(bAdttfb

a=∫

2009-11-133局部量的近似值写出“不变代变”的小区间取具有代表性第一步：分割区间

,],,[],,[

xxxba

Δ

+

xxfAΔΔ

⋅≈)(

得定积分就是整体量无限积累上微元在区间第二步：令

,],[,0bax→Δ

∫

=b

adxxfA)(微分近似

)()(xxxfAΔΔΔ

o=⋅−要求：微元分析法

2009-11-134第二节定积分的几何应用

一平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形面积的计算

Axfyxbxax

所围曲边梯形的面积曲线轴和连续及由直线

)(,)1(

===

根据定积分的定义和几何意义知

∫

=b

adxxfA)(

2009-11-135],[)()(,baxxfxg∈≤先看Abxaxxgyxfy

所围成的面积和直线由曲线

====

,)(),()2(

∫

−=b

adxxgxfA)]()([面积微元

xdxx+dxxgxfdA)]()([−=

∫

−=b

adxxgxfA)()(xa

by

o)(xfy=

)(xgy=

2009-11-136xyxy=

1=xy

2=x

o2

1)1,1(.2,1]1[

Axxyxy

所围成的面积及直线求由曲线例===

⎩⎨⎧

==

xyyx1解方程组

⎩⎨⎧

−==

⇒

11

21

xx[解]

∫

−=2

1)1

(dx

xxA

2ln

23

)ln

2(|2

12

−=−=xx

22009-11-137满足设连续函数)(),(yyψϕ

定积分在几何上的应用教案(3)

目的要求

1．掌握定积分解决实际问题的基本思想方法：分割、近似代替、作和、求极限．

2．继续了解定积分表达式的几何意义，巩固运用定积分知识综合求解平面图形的面积和旋转体的体积．

内容分析

1．在数学中，应用可以分为不同的层次：①数学知识的直接应用，如由基本积分公式，利用直接积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；②运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决平面图形的面积和旋转体的体积问题，这是高一级层次的应用；③运用数学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，而后进行解决，这是最高层次的一种应用．本章涉及的应用问题主要是第②种应用，即运用数学知识解决数学模型．为了使学生对定积分的应用有充分的认识，本课时安排为一节习题课，并从中挑选了一些从实际问题抽象出来的数学模型．学生通过解决这些问题的训练，认识到所学知识在实际问题中用处非常大，这对于培养他们应用数学的意识是非常有帮助的．

2．本节课的重点是训练学生运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积，难点是如何将具体问题转化为求定积分的问题．教学中要充分注意数形结合，即在运算过程中适当加强几何直观，不但能由定积分表达式知道其几何意义，也能由图形知道它所表达的定积分．另外，在本节教学时，一定要控制教学内容的深度，决不能按高等学校的内容任意延伸．

教学过程

(一)内容提要

多媒体显示图形，学生口答下列公式(略)及注意事项．

1．各种情形下的平面图形的面积公式．

2．各种情形下的旋转体的体积公式．

(二)例题示范

例1 过曲线y＝x2(x≥0)上某一点A作一切线l，使之与曲线

(1)切点A的坐标；

(2)过切点A的切线l的方程；

(3)上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

解：设点A的坐标为(a，a2)，过点A的切线与曲线y＝x2(x≥0)及x轴围成的图形如图1中的阴影部分．

浅谈定积分在几何中的应用　王晓康　（四川信息职业技术学院　四川广元　６２８０１　７）　学术论坛　摘要：为了便于学生对定积分在几何中的应用易掌握，作者通过多年的教学经验研究出了一种形象、直观、易懂的教学方法：通过图　形来选择定积分的上（下）限．积分变量，被积函数，最后求出图形的面积或体积。　关键词：定积分　面积　体积　中图分类号：０１７２．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２－３７９ｌ（２ｏ￣８）ｌ０（ｂ）一０２４８—０１　众多教材在定积分在几何中的应用　中，都用微分法来解决，但实际上此方法对　于众多学生而言太抽象，导致学生不易弄　懂。特别是职业学校的学生，起点低，基础　薄弱，而且学校强调的是直观性、实用性，　而不是理论。本文就笔者多年的教学感受　谈谈自己的一点教授方法与大家共勉。　１相关知识回顾　１．１定积分的几何意义　若．，１（　）在【“６】上不连续，则　，ｆ　ｌ　０　，　（　》≤０　／（　¨ｒＩＩ：ｆ『　若．，、ｆ　）在［　方】上有正有负时，此时由曲　线．１～，‘（　）、直线　＝　，，及　轴所围成　的图形的面积　４　ｒｌ＿，　∽）Ｉ　。　１．２基本初等函数的图像的描绘——描点法　直线：两点确定一条直线；抛物线：顶　点和一组对称点。　２利用定积分求平面图形面积　①平面图形由连续曲线　１一．　．Ｙ），　Ｉ　／　）【　０．９　２　－Ｙ）以及直线　＝ａ、　ｒ＝ｈ　≥／＇）所围成的。则其面积为：　ｌ㈩一　２（．ｖ）ｌｄｘｌ　…　ｌ　往：①若图像为上、下型时，则选　为积　分变量（可通过图形观察得知）；②积分区间　为所围图像最左端和最右端的横坐标构　成；③被积函数为“上下”；　例如：求曲线　＋：ｖ：一２ｘ＋ｌ和直线　＝＝　十ｌ所围成平面图形的面积。　帮嚣　图１　求两曲线所围的平面图形的面积　解：两曲线所围的平面图形如图１所　示。显然应取　为积分变量。先求两曲线　｛ｌ　＝　一２　Ｙ＋１　的交点。为此，解方程组　．　，得　｛　Ｊ‘　十Ｉ　交点为（Ｏ，１）、（３，４），从而知道图形的积分区　间为［０，ｊ】。于是所求图形的面积为：　②平面图形由连续曲线　＝　ｌ（，’），　＾－＝　２（＋　’）【ｆ，，　（．１’ｌ　２　（　’）】以及直线　Ｉ一（‘、　＇＝ｄ（ｄ＝２　ｃ・）所围成的，则其面积为：　＾　．４＝ｌ【ｆ，，ｊ　）　（Ｙ）１（，１　注：①若图像为左、右型时，应选Ｙ为积　分变量；②积分区间为所围图像最上端和　最下端的纵坐标构成；③被积函数为“右　左”　体的体积为：叵二　巫　注：①若曲线绕　轴旋转则应选　为移１　分变量；②积分区间为所围图像最左端和　最右端的横坐标构成；③被积函数为　！　（此处的Ｒ指曲边梯形的高，’（　））。　例如：求椭圆　ｌ绕　旋转一剧　“　Ｄ　而成的旋转体的体积。　Ｉ　／　。　—＼＼　‘　，　，、　、　ｒ　＿　。　＼　０　ｌ　｝　、　’　／　＼　一—　—。　、～、—．．　图３　解：由题意可知，应该　为积分变量。显　然积分区间为卜　“】，故所求旋转体的体积为：　所围　：　’　ｒ／＇７＂Ｆ　２ｄＡ＂．￣　ｔ　～　３　所围成平面图形的面积。　ＪＬ　Ｊ＿，“＿１、“　…　…　图２　求两曲线所围的平面图形的面积　解：先作出图形。　显然应取Ｙ为积分变量。则积分区间为　【０，１］，于是所求图形的面积为：　＝＝ｊ＝：　２～：√　＝［２．　～詈　；）ｌ＝　归纳前面两个例子，可以得出求平面　图形面积的步骤如下：　①作出图形，确定积分变量；②确定积　分区间；③计算定积分。　３旋转体的体积　①由曲线．ｖ＝．，’（　）、直线　＝　、　＝／》及　轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转　２４８　科技资讯ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　②由曲线　＝　（１’）、直线．　，＝（‘、｝　＝（，　及Ｙ轴所围成的图形绕Ｙ轴旋转一周而成　Ｉ　、　Ｉ　的旋转体的体积为：ｌ　＝ｌ万【　（ｊ州一ｃｎｌ１　ｌ　‘　ｌ　注：①若曲线绕Ｙ轴旋转则应选Ｙ为积　分变量；②积分区间为所围图像最』二端和　最下端的纵坐标构成；③被积函数为　？　（此处的尺指曲边梯形的高ｆ，，（　・））。　以上方法，直观、简便、易懂，学生学　起来特别轻松，愉快。　４结语　定积分是一种实用性很强的数学方　法，在科学技术问题中它有着广泛的应用，　其重点是将实际问题表示成定积分的分析　方法。通过这样的学习，学生会从形象、直　观、实效的角度很好的掌握其重要内涵。　ｑ一，一　【ｌ　¨　了　，＿　一　一，　、　一　、，　Ｊ　３　＋　＋　２　Ｈ　ｒ　（　｜ｊ　ｒ＿三　Ｉｌ　一　，　ＩＩ　，