高二数学2.3.2 离散型随机变量的方差

2.32离散型随机变量的方差

学习目标

1、理解各种分布的方差 2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题

自主学习：课本

1.一般地,设一个离散型随机变量X所有可能取的值是nxxxx321,,这些值对应的概率是npppp,,,321则________________________________________________________叫做这个离散型随机变量X的方差;______________________________叫作离散型随机变量X的标准差

2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.

3. 离散型随机变量X分布列为二点分布时, ()___________DX.

4.离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布时，()___________DX.

5. 离散型随机变量X服从参数为,NM，n的超几何分布时, ()___________DX

自学检测

1.已知X～,Bnp，()8,()1.6EXDX，则,np的值分别是（ ）

A．100和0.08 B．20和0.4 C．10和0.2 D．10和0.8

2.设掷1颗骰子的点数为X,则( )

A. 2()3.5,()3.5EXDX B. 35()3.5,()12EXDX

C. ()3.5,()3.5EXDX D. 35()3.5,()16EXDX

3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X头,则()DX等于( )

A. 0.2 B. 0.196 C.0.8 D.0.812

4. 已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5

2．3.2 离散型随机变量的方差

1．问题导航

(1)离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？

(2)方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？

(3)如何计算简单离散型随机变量的方差？

2．例题导读

(1)例4求随机变量的均值和方差、标准差，请试做教材P68练习1题．

(2)例5是均值和方差的实际应用，请试做教材P68练习3题．

1．方差、标准差的定义及方差的性质

(1)方差及标准差的定义：

设离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 „ xi „ xn

P p1 p2 „ pi „ pn

①方差D(X)＝∑ni＝1 (xi－E(X))2pi.

②标准差为________D（X）．

(2)方差的性质：D(aX＋b)＝________a2D(X)．

2．两个常见分布的方差

(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________np(1－p)．

1．判断(对的打“√”，错的打“×”)

(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )

(2)若a是常数，则D(a)＝0.( )

(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为( )

A.43 B.83

C.89 D．1

答案：C

3．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是( ) A．E(X1)＝12，D(X1)＝1

B．E(X1)＝7，D(X1)＝1

C．E(X1)＝12，D(X1)＝2

D．E(X1)＝7，D(X1)＝2

答案：D

4．已知随机变量X的分布列如下表所示，则X的方差为________.

X 1 3 5

P 0.4 0.1 x

答案：3.56

2.3.2 离散型随机变量的方差

教学设计

●三维目标

1.知识与技能

(1)理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义．

(2)能计算简单离散型随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．

(3)掌握方差的性质，会求两点分布、二项分布的方差．

2．过程与方法

通过具体实例，理解离散型随机变量方差的概念、公式及意义，在解决实际问题的过程中，掌握解决此类问题的方法与步骤．

3．情感、态度与价值观

承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

●重点、难点

重点：离散型随机变量方差及标准差的含义；方差的性质；两点分布二项分布的方差的求法．

难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的方差知识，类比、观察、分析得到新的方差的概念、性质及如何根据分布列求方差，从而突出重点，通过例题与练习来化解难点．

●教学过程

离散型随机变量的方差

一、知识回顾

.1，均值的定义:

一般地，若离散型随机变量X的概率分布为

X x1 x2 … xn

P p1 p2 … pn

则称 ()EX11px22px…nnpx 为X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平

2.均值的性质 (1)如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是随机变量，且 E(Y)＝()()EaXbaEXb (2)两点分布和二项分布的均值

①若X服从两点分布，则E(X)＝__p_；

②若X～B(n，p)，则E(X)＝__np____.

[师生活动]：教师提问，学生口答.

[ 设计意图]：通过复习均值的有关内容，来学习方差作铺垫.

二、问题探究

[A组 学业达标]

1．下面说法中正确的是( )

A．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的概率的平均值

B．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的平均水平

C．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平

D．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的概率的平均值

解析：由E(ξ)与D(ξ)的意义知选C.

答案：C

2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则D(X)等于( )

A．6 B．9

C．3 D．4

解析：由题意得E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6.

D(X)＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.

答案：A

3．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )

A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4

C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45

解析：由已知有 np＝1.6，np1－p＝1.28，解得n＝8，p＝0.2.

答案：A

4．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为45，设命中目标的人数为X，则D(X)等于( )

A.86225 B.259675

C.2215 D.1522

解析：X取0,1,2，P(X＝0)＝13×15＝115，P(X＝1)＝25，P(X＝2)＝815，所以E(X)＝2215，D(X)＝86225. 答案：A

5．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是

ξ 0 1 2

P 1－p2 12 p2

则当p在(0,1)内增大时，( )

A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大

C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小

解析：由分布列可知E(ξ)＝0×1－p2＋1×12＋2×p2＝p＋12，所以方差D(ξ)＝0－p－122×1－p2＋1－p－122×12＋2－p－122×p2＝－p2＋p＋14，所以D(ξ)是关于p的二次函数，开口向下，所以D(ξ)先增大后减小．