2．3.2 离散型随机变量的方差
1．问题导航
(1)离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？
(2)方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？
(3)如何计算简单离散型随机变量的方差？
2．例题导读
(1)例4求随机变量的均值和方差、标准差，请试做教材P68练习1题．
(2)例5是均值和方差的实际应用，请试做教材P68练习3题．
1．方差、标准差的定义及方差的性质
(1)方差及标准差的定义：
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 „ xi „ xn
P p1 p2 „ pi „ pn
①方差D(X)＝∑ni＝1 (xi－E(X))2pi.
②标准差为________D（X）．
(2)方差的性质：D(aX＋b)＝________a2D(X)．
2．两个常见分布的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________np(1－p)．
1．判断(对的打“√”，错的打“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )
(2)若a是常数，则D(a)＝0.( )
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为( )
A.43 B.83
C.89 D．1
答案：C
3．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是( ) A．E(X1)＝12，D(X1)＝1
B．E(X1)＝7，D(X1)＝1
C．E(X1)＝12，D(X1)＝2
D．E(X1)＝7，D(X1)＝2
答案：D
4．已知随机变量X的分布列如下表所示，则X的方差为________.
X 1 3 5
P 0.4 0.1 x
答案：3.56
2．3．2离散型随机变量的方差
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x，2x，„，nx中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(xx，22)(xx，„，2)(xxn，那么[12nS21)(xx＋22)(xx＋„＋])(2xxn
叫做这组数据的方差
教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
2.3.2 离散型随机变量的方差
教学设计
●三维目标
1.知识与技能
(1)理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义．
(2)能计算简单离散型随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．
(3)掌握方差的性质，会求两点分布、二项分布的方差．
2．过程与方法
通过具体实例，理解离散型随机变量方差的概念、公式及意义，在解决实际问题的过程中，掌握解决此类问题的方法与步骤．
3．情感、态度与价值观
承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
●重点、难点
重点：离散型随机变量方差及标准差的含义；方差的性质；两点分布二项分布的方差的求法．
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的方差知识，类比、观察、分析得到新的方差的概念、性质及如何根据分布列求方差，从而突出重点，通过例题与练习来化解难点．
●教学过程
离散型随机变量的方差
一、知识回顾
.1，均值的定义:
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称 ()EX11px22px…nnpx 为X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平
2.均值的性质 (1)如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是随机变量，且 E(Y)＝()()EaXbaEXb (2)两点分布和二项分布的均值
①若X服从两点分布，则E(X)＝__p_；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝__np____.
[师生活动]：教师提问，学生口答.
[ 设计意图]：通过复习均值的有关内容，来学习方差作铺垫.
二、问题探究
[A组 学业达标]
1．下面说法中正确的是( )
A．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的概率的平均值
解析：由E(ξ)与D(ξ)的意义知选C.
答案：C
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则D(X)等于( )
A．6 B．9
C．3 D．4
解析：由题意得E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6.
D(X)＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.
答案：A
3．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
解析：由已知有 np＝1.6，np1－p＝1.28，解得n＝8，p＝0.2.
答案：A
4．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为45，设命中目标的人数为X，则D(X)等于( )
A.86225 B.259675
C.2215 D.1522
解析：X取0,1,2，P(X＝0)＝13×15＝115，P(X＝1)＝25，P(X＝2)＝815，所以E(X)＝2215，D(X)＝86225. 答案：A
5．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1 2
P 1－p2 12 p2
则当p在(0,1)内增大时，( )
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
解析：由分布列可知E(ξ)＝0×1－p2＋1×12＋2×p2＝p＋12，所以方差D(ξ)＝0－p－122×1－p2＋1－p－122×12＋2－p－122×p2＝－p2＋p＋14，所以D(ξ)是关于p的二次函数，开口向下，所以D(ξ)先增大后减小．
