正则表达式的递归定义

编译原理答疑题1．编译程序的结构是什么?答：编译过程的六个阶段的任务，再加上表格管理和出错处理的工作可分别由几个模块或程序完成，它们分别称作词法分析程序、语法分析程序、语义分析程序、中间代码生成程序、代码优化程序、目标代码生成程序、表格管理程序和出错处理程序。

2．PL／0编译程序的结构是什么？答：由PL／0的EBNF可知，PL／0语言可看成是PASCAL语言的子集，它的编译程序是一个编译解释执行系统。

PL／0的目标程序为假想栈式计算机的汇编语言，与具体计算机无关。

PL／0的编译程序和目标程序的解释执行程序都是用PASCAL语言书写的，因此PL／0语言可在配备PASCAL语言的任何机器上实现。

其编译过程采用一趟扫描方式，以语法分析程序为核心，词法分析程序和代码生成程序都作为一个独立的过程，当语法分析需要读单词时就调用词法分析程序，而当语法分析正确需生成相应的目标代码时，则调用代码生成程序。

此外，用表格管理程序建立变量、常量和过程标识符的说明与引用之间的信息联系。

用出错处理程序对词法和语法分析遇到的错误给出在源程序中出错的位置和错误性质。

当源程序编译正确时，PL／0编译程序自动调用解释执行程序，对目标代码进行解释执行，并按用户程序要求输入数据和输出运行结果。

3．关系有哪些基本性质？答：自反的在集合X上的关系R，如对任意x∈X，均有(x，x) ∈R，则称关系R是自反的。

非自反的在集合X上的关系R，如对任意x∈X，均有(x，x)R，则称关系R是非自反。

对称的在集合X上的关系R，如果合(x，y) ∈R，便必有(y，x) ∈R，则称关系R 是对称的。

非对称的在集合X上的关系R，如果有(x，y) ∈R丛x≠y，便必有(y，x)R，则称关系R是非对称的。

传递的在集合X上的关系R，如果合(x，y) ∈R且(y，z) ∈R，必有(x，z) ∈R，则称关系R是传递的。

4．设有文法G[I]:I->I1/I0/Ia/Ic/a/b/c判断下面符号串中哪些是该文法的句子.(1) ab0(2)a0c01(3)aaa(4)bc10(5)aabc(6)bbca答：(1)错误(2)正确(3)正确(4)正确(5)错误(6)错误(7)错误5. 给定文法G =（VN，VT，P，S），对于G的任何句型都能构造与之关联的语法树(推导树)。

编译原理实验报告实验名称消除文法的左递归实验时间2015年5月19日院系计算机科学与技术学院班级学号姓名1.实验目的输入：任意的正规文法。

输出：相应的正规式。

2.实验原理3型文法（正则文法，线性文法）如果对于某文法G，P中的每个规则具有下列形式：U :: = T 或 U :: = WT其中T∈V T；U,W∈V N，则称该文法G为左线性文法。

如果对于某文法G，P中的每个规则具有下列形式：U :: = T 或 U :: = TW其中T∈V T；U, W∈V N，则称该文法G为右线性文法。

左线性文法和右线性文法通称为3型文法或正则文法，有时又称为有穷状态文法，简写为RG。

按照定义，对于正则文法应用规则时，单个非终结符号只能被替换为单个终结符号，或被替换为单个非终结符号加上单个终结符号，或者被替换为单个终结符号加上单个非终结符号。

3型文法所确定的语言为3型语言L3，3型语言可由确定的有限状态自动机来识别。

程序设计语言的单词可由正则文法产生，例如，标识符的定义可由正则文法描述如下：<标识符>::=<字母>/<标识符><字母>/<标识符><数字>显然，该文法描述了以字母开头的字母数字串的集合。

现在要引入另一种适合于描述单词的表示法——正则表达式。

正则表达式又称为正则式，每个正则表达式描述的集合称为正则集。

之所以采用正则表达式来描述，主要基于以下几点原因：（1）词法规则简单，无需上下文无关文法那样严格的表示法，用正则式表示法来理解被定义的符号集合比理解由重写规则集合定义的语言更为容易；（2）从正则式构造高效识别程序比上下文无关文法更容易；（3）可以从某个正则式自动地构造识别程序，它可以识别用该正则式表示的字符串集合中的字符串，从而减轻后面要介绍的词法分析时的工作量。

（4）可用于其他各种信息流的处理，例如，已经应用于某些模式识别问题、文献目录检索系统以及正文编辑程序等。

词法分析（⼆）：词法规则的形式化——正规式与正规集语法描述的基本概念复习⼀下语法描述的基本概念：字母表：⼀个有穷字符集，记为Σ字母表中的每个元素称为字符Σ上的字（字符串）：由Σ中的字符构成的⼀个有穷序列不包含任何字符的序列称为空字，记为εΣ*表⽰Σ上所有字的全体（Σ上所有字符所能产⽣的字），包含空字ε例：设Σ={ a，b }，则Σ* = { ε，a，b，aa，ab，bb，ba，aaa，…}若U、V为Σ*的两个⼦集，则U和V的连接（积）定义为UV = { αβ | α∈U & β∈V }，顺序不可颠倒例：设U = { a，aa }、V = { b，bb }则UV = { ab，abb，aab，aabb }V⾃⾝的n次积记为V nV0 = { ε }V*是V的闭包：V*=V0∪V1∪V2∪V3∪…V+是V的正规闭包：V+ = VV*例：设U={ a，aa }U* = { ε，a，aa，aaa，……}U+ = { a，aa，aaa，aaaa，……}可以看出正规闭包是不包含ε的闭包正规式与正规集程序语⾔都有⼀定的词法规则，按照这些词法规则产⽣的单词符号都是⼀些特殊的字符串，因此，可以形式化地描述词法规则，即描述了词法规则对应的单词集合正规式即是词法规则⼀种形式化描述，对应的单词集合称为正规集（正规式其实就是正则表达式）⼀个字的集合是正规集当且仅当它能⽤正规式表⽰正规式⇔正规集上⾯这张图就描述了右边单词表定义的语⾔的所有的字因为正规式可以识别语⾔的所有字，所以可以⽤正规式进⾏词法分析正规式与正规集的递归定义对于给定的字母表Σε和Φ都是Σ上的正规式，它们所表⽰的正规集是{ε}和Φ任何a∈Σ，a是Σ上的正规式，它所表⽰的正规集是{a}若U和V都是Σ上的正规式，它们所表⽰的正规集为L(U)、L(V)，则有(U|V)为正规式，表⽰的正规集为L(U)∪L(V)(U·V)为正规式，表⽰的正规集为L(U)L(V)(U)*为正规式，表⽰的正规集为(L(U))*仅由有限次使⽤上述三个步骤定义的表达式才是Σ上的正规式仅由这些正规式表⽰的字集才是正规集根据定义ε是Σ上的⼀个字，且是正规集{ ε }的正规式，可识别字εΦ是⼀个集合，也是正规式，表⽰的正规集是Φ任何a∈Σ，a既是Σ中的字符，⼜是Σ上的字，还是Σ上的正规式，表⽰的正规集是{a}正规式的等价若两个正规式表⽰的正规集相同，则称这两个正规式等价以上证明表⽰正规式b(ab)*与(ba)*b等价正规式的性质交换律：e1|e2 = e2|e1结合律：e1|(e2|e3) = (e1|e2)|e3 e1(e2e3) = (e1e2)e3 | 及 · 运算均满⾜结合律分配律：e1(e2|e3) = e1e2|e1e3 (e2|e3)e1 = e2e1|e3e1 | 对 · 及 · 对 | 的运算均满⾜分配律eε = εe = ee1e2<>e2e12022-03-08。

正则递归匹配摘要：1.引言：正则表达式的基本概念及应用场景2.递归匹配的基本原理3.正则表达式中的递归匹配实例4.递归匹配在实际编程中的应用5.总结：正则递归匹配的重要性及局限性正文：【引言】在计算机编程领域，正则表达式（Regular Expression，简称：Regex）是一种强大的文本处理工具。

它广泛应用于文本搜索、数据验证、数据提取等场景。

正则表达式中的递归匹配（Recursive Pattern Matching）是一种深层次的文本匹配方式，能够极大地提高匹配效率。

本文将详细介绍正则递归匹配的原理、实例及应用，以帮助读者更好地理解和使用这一功能。

【递归匹配的基本原理】递归匹配是指正则表达式中的一种特殊结构，即匹配某个字符串时，可以调用自身来匹配该字符串的子串。

这种结构类似于递归函数，因此在正则表达式中称为递归匹配。

递归匹配的基本原理如下：1.匹配某个字符串时，如果该字符串为空，则返回true。

2.匹配某个字符串时，如果该字符串非空，则尝试匹配其子串。

3.递归匹配过程中，子串的匹配结果将影响整个字符串的匹配结果。

【正则表达式中的递归匹配实例】以下是一个递归匹配的实例：```^(.)*$```这个正则表达式用于匹配任何非空字符串。

其中，`^` 表示字符串开头，`$` 表示字符串结尾。

`(.)` 是一个捕获组，用于匹配任意一个字符。

`*` 表示前面的字符（或捕获组）可以出现零次或多次。

【递归匹配在实际编程中的应用】递归匹配在实际编程中有很多应用，如：1.文本搜索：在搜索引擎中，使用正则表达式进行高级搜索，可以快速找到符合特定条件的文档。

2.数据验证：在表单验证中，使用递归匹配可以确保用户输入的格式符合要求。

3.数据提取：在文本处理中，使用递归匹配可以提取出符合特定规律的信息。

【总结】正则递归匹配是一种强大且实用的文本处理方法，可以帮助程序员高效地完成各种文本相关任务。

然而，它也存在一定的局限性，如匹配复杂度较高时可能导致性能下降。

实验一编写词法分析程序1 实验类型设计型实验，4学时。

2 实验目的通过设计、调试词法分析程序，掌握词法分析程序的设计工具，即有穷自动机，进一步理解自动机理论；掌握文法转换成自动机的技术及有穷自动机实现的方法；会确定词法分析器的输出形式及标识符与关键字的区分方法；加深对课堂教学的理解，提高词法分析方法的实践能力。

3 背景知识词法分析作为相对独立的阶段来完成（对源程序或中间结果从头到尾扫描一次，并作相应的加工处理，生成新的中间结果或目标程序）。

在词法分析过程中，编译程序从外部介质中读取源程序文件中的各个字符，为正确地识别单词，有时还需进行超前搜索和回退字符等操作。

因此，为了提高读盘效率和便于扫描器进行工作，通常可采用缓冲输入的方案，即在内存中设置一个适当大小的输入缓冲区，将磁盘上的源程序字符串分批送入该缓冲区中，供扫描器进行处理。

词法分析程序的一般设计方案是：1、程序设计语言词法规则⇒正则文法⇒ FA；或：词法规则⇒正则表达式⇒ FA；2、NFA确定化⇒ DFA；3、DFA最小化；4、确定单词符号输出形式；5、化简后的DFA＋单词符号输出形式⇒构造词法分析程序。

从设计方案可知，要构造词法分析程序，必须掌握以下三个知识点：文法、正则表达式和FA。

文法与语言的形式定义如下：一个形式文法G 是下述元素构成的一个元组(V N，V T，P，S )。

其中：1、V T—非空有限的终结符号集，即Σ；终结符：一个语言不可再分的基本符号。

2、V N—非空有限的非终结符号集；非终结符：也称语法变量，用来代表语法范畴。

一个非终结符代表一个一定的语法概念，是一个类（集合）记号，而不是一个体记号。

3、S —开始符号/识别符号，S∈V N；4、P —产生式规则集（或叫规则或生成式或重写规则）；产生式：形如α → β或α ::= β的表达式，其中α为左部，β为右部。

α∈(V T∪V N)+且至少含一个V N；β∈(V T∪V N)*。

正则表达式1 正则表达式的定义正则表达式( Regular Expression )是一种强大的，便捷的，高效的文本处理工具，它可以表示比单字符、字符串集合等更加复杂的搜索模式。

下面首先给出正则表达式和它所表达语言的形式化定义。

一个正则表达式RE是符号集合工｛£；|,*, (, ) ｝上的一个字符串，它可以递归定义如下：空字符£是正则表达式。

任意字符a€工是正则表达式。

如果RE i和RE2都是正则表达式，则(RE i), (RE1RE2), ( RE1 | RE2 )和(RE i*)亦是正则表达式。

通常(RE i RE2)可以简写为RE1RE2。

符号“；”“*“称为操作符，可以通过为每个操作符赋予优先级来消除更多的括号。

为了方便起见，这里使用了额外的后缀操作符“+”，它的含义是RE+=RE RE*。

其他所使用的操作符如” ？，”字符组，” •等实际上都可以用上面的方式来表达。

下面定义正则表达式所表达的语言。

正则表达式RE所表达的语言是工上的一个字符串集合。

根据RE的结构，可以将它递归的定义如下：如果RE是£,则L(RE)=｛门即空串。

如果RE是a€X,则L(RE)=｛a,即包含一个字符的单串。

如果RE是(RE i)这种形式，则L(RE) = L(RE i)。

如果RE是(RE i RE2)这种形式，则L(RE) = L(RE i) L(RE2)，其中W i W2可以看成是字符串集W 的集合，其中，W = W i W2并且Wi €W i, W2^W2。

操作符表示字符串的连接。

如果RE是(RE i |RE2)这种形式，贝U L(RE) = L(RE i) UL(RE2),是这两种语言的并集，称为并操作符。

如果RE 是(RE i* )这种形式，则L(RE) = L(RE)* = U i >o L(RE)i，其中L o=｛&并且L i = LL i-i, 它表示字符串集合是由0 个或者多个RE i 表达的字符串连接而成。

戴新宇南京大学计算机科学与技术系Outline词法分析的作用词法单元的规约（正则表达式） 词法单元的识别（状态转换图） 有穷自动机词法分析器生成工具及设计词法分析器作用词法分析是读入源程序的输入字符、将它们组成词素，生成并输出一个词法单元序列，每个词法单元对应于一个词素。

常见的做法是：由语法分析器调用，需要的时候不断读取、生成词法单元可以避免额外的输入输出在识别出词法单元之外，还会完成一些不需要生成词法单元的简单处理，比如删除注释、将多个连续的空白字符压缩成一个字符等。

词法分析和语法分析通常，将编译过程的分析划分成两个阶段的原因： 简化编译器的设计，任务分解提高编译器的效率增强编译器的可移植性词法分析相关概念词法单元（Token）：包含单元名（Token-name）和可选的属性值(attribute-value) 单元名是表示某种词法单位抽象符号。

语法分析器通过单元名即可确定词法单元序列的结构。

词素（Lexeme）源程序中的字符序列，它和某类词法单元的模式匹配，被词法分析器识别为该词法单元的实例。

模式（Pattern）词法单元的词素可能具有的形式。

可以用正则表达式来表示。

词法单元示例词法单元的属性一个模式匹配多个词素时，必须通过属性来传递附加的信息。

属性值将被用于语义分析、代码生成等阶段。

不同的目的需要不同的属性。

因此，属性值通常是一个结构化数据。

词法单元id的属性词素、类型、第一次出现的位置、…词法单元示例（名和属性值）词法分析器的构造实现两种方法：基于词法单元的词法结构图或其它描述，手工编写代码扫描输入中的每个词素，并返回识别到的词法单元信息。

使用词法分析器生成工具（如lex flex）。

给出描述词素的模式，利用工具编译为具有词法分析器功能的代码。

高效且简单。

正则表达式一种描述词素模式的重要表示方法Outline词法分析的作用词法单元的规约（正则表达式） 词法单元的识别（状态转换图） 有穷自动机词法分析器生成工具及设计相关概念字母表：一个有限的符号集合二进制{0，1}ASCIIUnicode典型的字母表包括字母、数位和标点符号串：字母表中符号组成的一个有穷序列 串s的长度|s|空串ε，长度为0的串语言：给定字母表上一个任意的可数的串的集合 语法正确的C程序的集合，英语，汉语相关概念（2）和串有关的术语（banana）前缀：从串的尾部删除0个或多个符号后得到的串。

正则表达式和字符串处理(全)第一章正则表达式概述正则表达式(Regular Expression)起源于人类神经系统的研究。

正则表达式的定义有以下几种：●用某种模式去匹配一类字符串的公式，它主要是用来描述字符串匹配的工具。

●描述了一种字符串匹配的模式。

可以用来检查字符串是否含有某种子串、将匹配的子串做替换或者从中取出符合某个条件的子串等。

●由普通字符(a-z)以及特殊字符（元字符）组成的文字模式，正则表达式作为一个模版，将某个字符模式与所搜索的字符串进行匹配。

●用于描述某些规则的的工具。

这些规则经常用于处理字符串中的查找或替换字符串。

也就是说正则表达式就是记录文本规则的代码。

●用一个字符串来描述一个特征，然后去验证另一个字符串是否符合这个特征。

以上这些定义其实也就是正则表达式的作用。

第二章正则表达式基础理论这些理论将为编写正则表达式提供法则和规范，正则表达式主要包括以下基础理论：●元字符●字符串●字符转义●反义●限定符●替换●分组●反向引用●零宽度断言●匹配选项●注释●优先级顺序●递归匹配2．1 元字符在正则表达式中，元字符（Metacharacter）是一类非常特殊的字符，它能够匹配一个位置或字符集合中的一个字符，如：、 \w等。

根据功能，元字符可以分为两种类型：匹配位置的元字符和匹配字符的元字符。

2．1．1 匹配位置的元字符包括：^、$、和\b。

其中^（脱字符号）和$（美元符号）都匹配一个位置，分别匹配行的开始和结尾。

比如，^string匹配以string开头的行，string$匹配以string结尾的行。

^string$匹配以string开始和结尾的行。

单个$匹配一个空行。

单个^匹配任意行。

\b匹配单词的开始和结尾，如：\bstr匹配以str开始的单词，但\b不匹配空格、标点符号或换行符号，所以，\bstr可以匹配string、string fomat等单词。

\bstr正则表达式匹配的字符串必须以str开头，并且str以前是单词的分界处，但此正则表达式不能限定str之后的字符串形式。

1正则表达式(Regular Expression)自动机通过识别来定义语言，正则表达式通过规则产生语言(或表示语言)；正则表达式，所表示的语言与正则语言等价。

1.1语言的运算如果L和M是两个语言:1)L∪M为两个语言的并2)LM为两个语言的连接3)L∗为语言的(克林)闭包示例四则运算表达式的定义1)任何的数都是四则运算表达式;2)如果a和b是四则运算表达式，那么a+b,a−b,a×b,a÷b和(a)都是四则运算表达式.1.2正则表达式的递归定义设Σ为字母表，则Σ上的正则表达式，递归定义为:1)∅是一个正则表达式，表示空语言;2)ε是一个正则表达式，表示语言{ε};3)Σ中的任意字符a，都是一个正则表达式，分别表示语言{a};4)如果正则表达式r和s分别表示语言R和S，则r+s,rs,r∗和(r)也是正则表达式，分别表示语言R∪S,RS,R∗和R.示例00表示语言{00}.(0+1)∗表示任意0和1构成的串.(0+1)∗00(0+1)∗表示至少有两个连续的0的串. (0+ε)(1+10)∗表示没有两个连续0的串.1.3运算符的优先级正则表达式的三种运算：“加”(+)、“连接”(·一般省略)和“星”(∗).正则表达式中运算符的优先级:括号的优先级最高，但括号本身并不是运算1)首先，“星”优先级最高:r∗2)其次，“连接”:rs,r·s3)最后，“加”优先级最低:r+s示例01∗+1=(0(1∗))+12有穷自动机和正则表达式2.1正则语言的表示2.2DF A ⇒RE,递归构造R (k )ij定理:如果L =L (A )是某个DFA A 的语言，则有一个正则表达式R ，且L =L (R ).设DFA A 的状态共有n 个，若为每个结点编号，DFA A 的状态可表示为{1,2,...,n }。

正则表达式R (k )ij表示，在结点i 到j 的全部路径中，路径所经过的结点不超过k 的全部路径的正则表达式集合，但不包括起点i 和终点j 。

正则表达式在.NET中的数据验证机制研究摘要：微软的.NET框架提供了一套完善的编写安全代码的技术，其中包括功能强大的正则表达式。

正则表达式能够有效地实现数字验证、字符串验证、数字和字符串混合验证、HTML处理等各个方面的数据验证。

深入地分析了.NET中正则表达式进行数据验证的原理和机制，给出了在MVC设计模式中分层实现数据验证的设计策略。

关键词：正则表达式；.NET；数据验证；MVC0 引言随着WWW的飞速发展和广泛使用，各类基于.NET技术的Web 应用系统被广泛地开发和应用。

与此同时，大量快速开发出来的Web 应用程序所带来的安全漏洞也越来越多。

.NET框架本身提供了大量的编写安全代码的技术，利用这些技术，程序员可以开发出安全性较高的Web应用程序。

微软的.NET框架提供了比较完善的安全保障体系，通过验证、授权和身份模拟来保障应用程序的执行安全。

这些技术中的一大类为输入控制技术，这些输入控制技术能够实现对输入数据有效的安全验证。

正则表达式是这类输入控制技术中功能最为强大的一种，它能够对用户所输入的数据进行极其细微的限制。

1 .NET的数据验证机制1.1 基于.NET平台的Web应用程序安全性概述.NET提供了与传统的开发平台完全不同的一种安全架构。

在传统的开发语言中，除了操作系统外，没有第三方介入资源的协调和管理，因此，需要程序员自己利用代码本身去负责检查内存错误、类型校验等。

而在.NET中，程序员编写的代码被编译成基于中间语言（Intermediate Language：IL）的格式，从中间语言到机器语言的动态翻译是通过公共程序运行库（Common Language Run-time：CLR）来进行的。

CLR不只负责代码的动态翻译过程，而且还负责管理代码的底层操作，包括内存分配、类型校验、安全及权限管理等等。

然而，仅仅依靠这些自带的安全机制是远远不够的，在代码本身的安全性、抗御攻击的能力等方面，依然需要程序员通过编写出安全代码来担当更多的责任。

正则表达式解析算法
正则表达式是一种用于匹配字符串模式的文本字符串,通常用于搜索、替换、验证等任务。

以下是一些常用的正则表达式解析算法:
1. 暴力枚举(Brute Force):这是最原始的算法,它通过不断尝试匹配正则表达式来找到匹配项。

这种方法需要大量的计算时间和内存,对于复杂的正则表达式很难成功。

2.分组迭代(grouping by iteration):该算法将正则表达式拆分成多个子表达式,然后递归地处理每个子表达式。

这种方法可以用于找到子表达式的匹配项,但需要处理多个表达式。

3. 策略(Strategy):该算法将正则表达式拆分成多个子表达式,然后根据匹配条件使用不同的策略。

每个策略都是一个函数,用于处理不同的匹配条件。

4. 递归神经网络(Recurrent Neural Network,RNN):该算法基于递归神经网络,可以将正则表达式分解为多个子表达式,并利用递归神经网络来预测每个子表达式的匹配项。

5. 匹配表(match table):该算法将正则表达式拆分成多个子表达式,并保存每个子表达式的匹配项和索引。

在匹配新字符串时,直接
查找匹配表进行匹配。

以上算法各有优缺点,具体的算法应该根据实际需要进行选择。

离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。

- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。

- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。

2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。

- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。

- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。

3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。

- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。

- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。

4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。

- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。

- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。

5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。

- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。

- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。

6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。

- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。

- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。

7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。

- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。

- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。

8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。

- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。

- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。

9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。

- 空间复杂度：算法空间需求的分析。

- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。

正则递归匹配摘要：1.正则递归匹配的定义与概念2.正则递归匹配的应用场景3.正则递归匹配的实现方法与技巧4.正则递归匹配的性能优化5.总结正文：一、正则递归匹配的定义与概念正则递归匹配是一种在文本中查找与给定正则表达式匹配的内容的方法。

递归是指在匹配过程中，正则表达式可以匹配自身，形成一个递归结构。

这种匹配方式在处理一些具有重复结构的文本时，具有很好的效果。

二、正则递归匹配的应用场景1.处理重复的文本内容：在文本中，有时会出现重复的段落、句子或者单词等，通过正则递归匹配可以快速找到这些重复的内容。

2.提取特定格式的信息：当文本中存在特定格式的信息时，可以通过正则递归匹配提取这些信息，例如提取邮件地址、电话号码等。

3.文本格式化：正则递归匹配可以用于文本格式化，例如将文本中的所有数字转换为指定格式的数字表示。

三、正则递归匹配的实现方法与技巧1.利用正则表达式库：许多编程语言都提供了正则表达式库，通过导入相应的库，可以方便地实现正则递归匹配。

2.利用递归函数：可以编写一个递归函数，将正则表达式与文本内容进行比较，当匹配成功时，继续匹配下一个子表达式，直到整个正则表达式匹配完成。

3.利用回溯法：在匹配过程中，当遇到不匹配的情况时，可以通过回溯法返回上一级继续匹配，直到找到匹配的文本内容。

四、正则递归匹配的性能优化1.避免贪婪匹配：在编写正则表达式时，应避免使用贪婪匹配，以免导致匹配时间过长。

2.使用预定义的字符类：在正则表达式中，可以使用预定义的字符类来减少匹配的时间。

3.尽量减少递归深度：递归深度越深，匹配所需的时间越长。

因此，在编写正则表达式时，应尽量减少递归深度。

五、总结正则递归匹配是一种在文本中查找与给定正则表达式匹配的内容的方法。

在处理具有重复结构的文本时，具有很好的效果。

通过利用正则表达式库、编写递归函数以及使用回溯法等方法，可以实现正则递归匹配。

定义1.1：有穷自动机是一个 5 元组 ( Q, ∑, δ, q0, F )，其中(1) Q 是一个有穷集合，称为状态集。

(2) ∑是一个有穷集合，称为字母表。

(3) δ: Q→∑⨯Q是转移函数。

(4) q0∈Q 是起始状态。

(5) F⊆Q 是接受状态集。

定义1.7：如果一个语言被一台有穷自动机识别，则称它是正则语言。

DFA和NFA的区别：1、DFA每个状态对于字母表中的每个符号总是恰好有一个转移箭头射出。

NFA一个状态对于字母表中的每一个符号可能有0个1个或多个射出的箭头；2、在DFA中，转移箭头上的标号是取自字母表的符号。

而NFA的箭头可以标记字母表中的符号或ε。

定义1.17：非确定型有穷自动机 (NFA) 是一个 5 元组( Q, ∑, δ, q0, F )，其中(1) Q 是有穷的状态集。

(2) ∑是有穷的字母表。

(3) δ: Q⨯∑ε→P(Q)是转移函数。

(4) q0∈Q 是起始状态。

(5) F⊆Q 是接受状态集。

正则表达式的形式化定义：称 R 是一个正则表达式，如果 R 是(1) a，这里a 是字母表∑中的一个元素；(2) ε；(3) ∅(4) R1∪R2，这里 R1 和 R2 是正则表达式；(5) R1︒R2 ，这里 R1 和 R2 是正则表达式；(6) R1* ，这里 R1 是正则表达式；定义1.33：GNFA M = (Q, ∑, δ, qstart, qaccept)（1）Q 是有穷的状态集。

(2) ∑是输入字母表。

(3) δ:(Q-{qaccept})⨯(Q-{qstart}) →R 是转移函数。

(4) qstart 是起始状态。

(5) qaccept 是接受状态。

其中 R 是正则表达式。

定理1.37（泵引理）：若 A 是一个正则语言，则存在一个数p (泵长度) 使得，如果s是 A 中任一长度不小于p的字符串，那么s 可以被分成 3 段，s = xyz，满足下述条件：(1) 对于每一个i≥0, xyiz∈A ；(2) | y | > 0；(3) | xy | ≢p上下文无关文法：(1) 写下起始变元——第一条规则左边的变元。