上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021-2021学年陕西省西安市交大附中高一〔上〕期末数学试卷一、选择题〔每题3分，共36分〕1．〔3分〕直线的斜率是2，在轴上的截距是﹣3，那么此直线方程是〔〕A．2﹣﹣3=0 B．2﹣3=0 C．23=0 D．2﹣3=02．〔3分〕在空间，以下说法正确的选项是〔〕A．两组对边相等的四边形是平行四边形B．四边相等的四边形是菱形C．平行于同一直线的两条直线平行D．三点确定一个平面3．〔3分〕点2，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，以下命题正确的选项是〔〕A．假设α∥β，⊂α，n⊂β，那么∥n B．假设α⊥β，⊂α，那么⊥βC．假设⊥n，m⊥n，那么∥m D．假设⊥α，∥β，那么α⊥β6．〔3分〕假设直线am2a=0〔a≠0〕过点，那么此直线的斜率为〔〕A． B．﹣C． D．﹣7．〔3分〕直线1：a﹣2a=0，2：〔2a﹣1〕a=0互相垂直，那么a的值是〔〕A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣18．〔3分〕如图，正六棱柱的最大对角面的面积为4m2，互相平行的两个侧面的距离为2m，那么这个六棱柱的体积为〔〕A．3m3 B．6m3 C．12m3D．15m39．〔3分〕假设0 〕，可得这个几何体的体积是cm3．15．〔4分〕一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰为，上底面为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是．16．〔4分〕过点M〔﹣3，0〕的直线被圆2〔2〕2=25所截得的弦长为8，那么直线的方程为．17．〔4分〕实数，满足〔﹣3〕2〔﹣3〕2=8，那么的最大值为．三、解答题〔18，19题各10分，20211题各12分〕18．〔10分〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点〔1〕求证：DE∥平面ABC；〔2〕求三棱锥E﹣BCD的体积．19．〔10分〕求满足以下条件的曲线方程：〔1〕经过两条直线2﹣8=0和﹣21=0的交点，且垂直于直线6﹣83=0的直线〔2〕经过点C〔﹣1，1〕和D〔1，3〕，圆心在轴上的圆．202112分〕在四棱锥1C0 2，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，以下命题正确的选项是〔〕A．假设α∥β，⊂α，n⊂β，那么∥n B．假设α⊥β，⊂α，那么⊥βC．假设⊥n，m⊥n，那么∥m D．假设⊥α，∥β，那么α⊥β【解答】解：假设α∥β，⊂α，n⊂β，那么与n平行、相交或异面，故A不正确；假设α⊥β，⊂α，那么∥β或与β相交，故B不正确；假设⊥n，m⊥n，那么与m相交、平行或异面，故C不正确；假设⊥α，∥β，那么由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．应选：D．6．〔3分〕假设直线am2a=0〔a≠0〕过点，那么此直线的斜率为〔〕A． B．﹣C． D．﹣【解答】解：∵直线am2a=0〔a≠0〕过点，∴a﹣m2a=0，∴a=m，∴这条直线的斜率是=﹣=﹣，应选D．7．〔3分〕直线1：a﹣2a=0，2：〔2a﹣1〕a=0互相垂直，那么a的值是〔〕A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【解答】解：∵直线1：a﹣2a=0，2：〔2a﹣1〕a=0互相垂直，∴〔2a﹣1〕aa〔﹣1〕=0，解得a=0或a=1．应选C．8．〔3分〕如图，正六棱柱的最大对角面的面积为4m2，互相平行的两个侧面的距离为2m，那么这个六棱柱的体积为〔〕A．3m3 B．6m3 C．12m3D．15m3【解答】解：由题意，设正六棱柱的底面边长为am，高为hm，∵正六棱柱的最大对角面的面积为4m2，互相平行的两个侧面的距离为2m，∴2ah=4，a=2，解得，a=，h=，故V=Sh=6××〔〕2×in60°×=6〔m3〕应选：B．9．〔3分〕假设0 〕，可得这个几何体的体积是cm3．【解答】解：由中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积S=20210=400cm2，高h=20cm，故体积V==cm3，故答案为：15．〔4分〕一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰为，上底面为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是4．【解答】解：如下图：由斜二测直观图根据斜二测化法画出原平面图形，所以BC=B′C′=1，OA=O′A′=1=3，OC=2O′C′=2，所以这个平面图形的面积为×〔13〕×2=4．．故答案为：4．16．〔4分〕过点M〔﹣3，0〕的直线被圆2〔2〕2=25所截得的弦长为8，那么直线的方程为=﹣3或5﹣1215=0．【解答】解：设直线方程为=〔3〕或=﹣3，∵圆心坐标为〔0，﹣2〕，圆的半径为5，∴圆心到直线的距离d==3，∴=3，∴=，∴直线方程为=〔3〕，即5﹣1215=0；直线=﹣3，圆心到直线的距离d=|﹣3|=3，符合题意，故答案为：=﹣3或5﹣1215=0．17．〔4分〕实数，满足〔﹣3〕2〔﹣3〕2=8，那么的最大值为10．【解答】解：∵〔﹣3〕2〔﹣3〕2=8，那么可令=32coθ，=32inθ，∴=62〔coθinθ〕=64co〔θ﹣45°〕，故co〔θ﹣45°〕=1，的最大值为10，故答案为10．三、解答题〔18，19题各10分，20211题各12分〕18．〔10分〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点〔1〕求证：DE∥平面ABC；〔2〕求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：〔1〕证明：取BC中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且．由直棱柱知，AA1∥BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，所以EG∥AD，EG=AD〔4分〕所以四边形EGAD是平行四边形，所以ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC所以DE∥平面ABC．〔7分〕〔2〕解：因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，=V D﹣BCE=V A﹣BCE=V E﹣ABC，〔10分〕所以V E﹣BCD由〔1〕知，DE∥平面ABC，所以．〔14分〕19．〔10分〕求满足以下条件的曲线方程：〔1〕经过两条直线2﹣8=0和﹣21=0的交点，且垂直于直线6﹣83=0的直线〔2〕经过点C〔﹣1，1〕和D〔1，3〕，圆心在轴上的圆．【解答】解：〔1〕由，解得=3，=2，∴点〔a，0〕，由圆过点A〔﹣1，1〕和B〔1，3〕，由|MA|=|MB|可得MA2=MB2，即〔a1〕21=〔a﹣1〕29，求得a=2，可得圆心为M〔2，0〕，半径为|MA|=，故圆的方程为〔﹣2〕22=10．202112分〕在四棱锥，圆心M的坐标为〔a，b〕．∵CM⊥，即CM•=×1=﹣1∴b=﹣a﹣1∴直线的方程为﹣b=﹣a，即﹣﹣2a﹣1=0∴|CM|2=〔〕2=2〔1﹣a〕2∴|MB|2=|CB|2﹣|CM|2=﹣2a24a7∵|MB|=|OM|∴﹣2a24a7=a2b2，得a=﹣1或，当a=时，b=﹣，此时直线的方程为﹣﹣4=0当a=﹣1时，b=0，此时直线的方程为﹣1=0故这样的直线是存在的，方程为﹣﹣4=0或﹣1=0．三、附加题：〔22题，23题各5分，24题10分〕22．〔5分〕正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，那么此球的外表积等于84π．【解答】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：2；所以外接球的半径为：=．所以外接球的外表积为：=84π．故答案为：84π23．〔5分〕0＜＜4直线L：﹣2﹣28=0和直线M：22﹣42﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，那么这个四边形面积最小值时值为〔〕A．2 B． C． D．【解答】解：如下图：直线L：﹣2﹣28=0 即〔﹣2〕﹣28=0，过定点B〔2，4〕，与轴的交点C〔0，4﹣〕，直线M：22﹣42﹣4=0，即22〔﹣4〕﹣4=0，过定点〔2，4 〕，与轴的交点A〔2 22，0〕，由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×〔2 22﹣2〕×〔4﹣4〕×2=42﹣8，∴当=时，所求四边形的面积最小，应选：．24．〔10分〕以点C〔t，〕〔t∈R且t≠0〕为圆心的圆经过原点O，且与轴交于点A，与轴交于点B．〔1〕求证：△AOB的面积为定值．〔2〕设直线2﹣4=0与圆C交于点M，N，假设|OM|=|ON|，求圆C的方程．〔3〕在〔2〕的条件下，设|=|ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，那么C，H，O三点共线，OC的斜率==，∴×〔﹣2〕=﹣1，解得t=±2，可得圆心C〔2，1〕，或〔﹣2，﹣1〕〔舍去〕．∴圆C的方程为：〔﹣2〕2〔﹣1〕2=5．〔3〕解：由〔2〕可知：圆心C〔2，1〕，半径r=，点B〔0，2〕关于直线2=0的对称点为B′〔﹣4，﹣2〕，那么|PB||PQ|=|PB′||PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=2，那么|PB||PQ|的最小值为2．直线B′C的方程为：=，此时点P为直线B′C与直线的交点，故所求的点P．。

交大附中高一期末数学试卷一.填空题1.已知集合A={x|x<l}, B={x|x>a},如果A ∪B=R ,那么实数a 的取值范围是_____.2.若幂函数y=f(x)的图像过点(2,4),则表达式f(x)=_____.3.已知正实数a ､b 满足ab=a+ 4b,则ab 的最小值为______.4.函数2y =_____. 5.若方程2240x x +-=的两根分别为α､β,则111()i i αβ+∞=+=∑_____.6.某用人单位为鼓励员工爱岗敬业,在分配方案中规定:年度考核合格的员工,从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入,员工老魏自2005年一月以来在该单位供职,历年考核都为合格,且同一年内月工资收入相同,2005年的月工资收入为5000.00元,则2021年一月该员工的月工资收入为______元(结果按进一法保留两位小数)7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为48,4,16,n S S S ==则20S =_____.8.已知函数y=|x+1|+|x-a|的图像关于直线x=1对称,则该函数的最小值是_____.9.函数3a y x x=+在(0,3)上为严格减函数的一个充分但非必要条件是______. 10.已知定义域为R 的函数y=f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是严格增函数且f(3)=0,不等式(x-1)f(x)<0的解集是_____.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为45,10,15,n S S S ≥≤则4a 的最大值是_____. 12.若函数y=f(x)的表达式2()1f x tx x =++(常数t ∈R ),对任意两个不同的12,x x 、当12,[2,2]x x ∈-时,均有1212|()()|||f x f x k x x -≤-(k 为常数,k ∈N )成立,如果满足条件的最小自然数k 为4,则实数t 的取值范围是______.二.选择题13.对于任意x ∈R ,函数y= f(x)表示22143x x x x -+-+、、中的较小者,则函数y=f(x)的零点有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个14.设54log 6,log 5a b ==,则用a ､b 表示lg24=()31.42a A ab +- 22.21ab B b ++ 3.21ab a C b ++ 23.3a b D b ++ 15.如图,点O 为坐标原点,点A 的坐标为(1,1),若函数x y a =(a>0且a≠1)及log (0b y x b =>且b≠1)的图像与线段OA 分别交于M ､N,且O ､M ､N ､A 的横坐标恰好构成等差数列,则a ､b 满足()A.a<b<1B.b<a<1C.b>a>1D.a>b>1 16.已知(),b f x ax x=+对任意的非零实数a ､b ､m ､n ､p,关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是() A.{-1,1}B.{-1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,4,8} 三.解答题17.已知集合A 是函数(0)12x a y a =>+的反函数的定义域,集合 B={b||x-3|+|x-1|≥b 对一切x ∈R 成立},若A∩B=∅,求实数a 的取值范围.18.数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥. (1)求{}n a 的通项公式；(2)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为,n T 且315,T =又1122a b a b ++、、33a b +成等比数列,求.n T19.已知常数m ∈R ,函数y= f(x)的表达式()||4m f x x x=+-(x ≠0). (1)讨论函数y=f(x)的奇偶性,给出相应的证明;(2)讨论函数y=f(x)的零点个数.20.已知数列{}n a 的每一项n a 都是正整数,它的前n 项和记作,n S 记集合{|,n A x x a ==n ∈N 且n≥1},集合{|,n S x x S n ==∈N 且n≥1},如果A∩S 中的元素至少有3个,则称数列{}n a 具有“交合性质”,此时将A∩S 中的数从小到大排列,组成的数列{}n b {}n a 的交合数列”.(1)若数列{}n a 的通项公式为12,n n a -=判断数列{}n a 是否具有“交合性质”,说明理由;(2)若数列{}n a 的通项公式为21,n a n =-求证:数列{}n a 具有“交合性质”,并求“{}n a 的交合数列”{}n b 的通项公式;(3)若数列{}n a 为严格增数列且为有穷数列,最大项为660,且数列{}n a 恰具有“交合性质”(即{}n a “的交合数列”{}n b 恰好只有3项),试求123b b b ++的最大值.21.已知y=f(x)在定义域R 上是连续不断的函数,对于区间I ⊆R ,若存在c ∈I,使得对任意的x ∈I,都有f(x)≤f(c),则称函数y=f(x)在区间I 上存在最大值M(M=f(c)).(1)函数2y x mx =+在区间(1,3]存在最大值,求实数m 的取值范围;(2)若函数y=f(x)为奇函数,在[0,+∞)上2()2,f x x x =-易证对任意t ∈R ,函数y=f(x)在区间(-∞,t]存在最大值M,试写出最大值M 关于t 的函数关系式M=g(t);(3)若对任意t ∈R ,函数y= f(x)在区间(-∞,t]存在最大值M,设最大值M 关于t 的函数关系式为M=g(t),求证:“y= f(x)在定义域R 上是严格增函数"的充要条件是"M=g(t)在定义域R 上是严格增函数”.。

2022-2023学年上海交通大学附属中学高一上学期分考试数学试题一、填空题1．关于x 的不等式的解集是___________.23020x x -≤-【答案】(20,23]【分析】把给定不等式化成一元二次不等式求解即可.【详解】不等式化为：，解得，2320x x -≤-200(23)(20)0x x x -≠⎧⎨--≤⎩2023x <≤所以不等式的解集是.23020x x -≤-(20,23]故答案为：.(20,23]2．已知a 、，且，则ab 的最大值是____________.R b ∈2241a b +=【答案】##0.2514【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值.22144a b ab =+≥ab 【详解】因为实数满足，,a b 2241a b +=所以由基本不等式可得：221422a b a b=+≥⨯所以，当且仅当，即时等号成立，14ab ≤22142a b ==a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即的最大值为.ab 14故答案为：.143．若点P (3，y )是角终边上一点，且，则y 的值是____________.α2sin 3=-a 【答案】【分析】利用三角函数值的定义，即可求解.【详解】，解得s 32in α==-y =故答案为：4．已知.若是奇函数，则实数a 的值是____________.()11f x x x a =+-(1)=-y f x 【答案】2-【分析】利用已知函数的定义域，结合奇函数的定义计算作答即可.【详解】函数的定义域为且，11()f x x x a =+-{R |0x x ∈≠}x a ≠因为函数是奇函数，则当且时，恒成立，(1)=-y f x 1x ≠1x a ≠+(1)(1)0f x f x --+-=因此，整理得，111101111x x a x x a +++=--------2221101(1)a x a x ++=-+-即，于是得，解得，22222(1)(1)(2)0(1)[(1)]a a a x x a x ++++--=-+-2(1)(1)020a a a ⎧+++=⎨--=⎩2a =-所以实数a 的值是.2-故答案为：2-5．若函数的值域是，则函数的值域是____________.()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()12121F x f x f x =+++【答案】172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.(21)f x +【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(21)t f x =+1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数变为，，()F x 1y t t =+1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，1y t t =+1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,4]时，，而时，，时，，即，1t =min 2y =12t =52y =4t =17y 4=max 174y =所以原函数值域是.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知里氏震级R 与地震释放的能量E 的关系为.那么里氏8.4级的地震释放的()2lg 11.43R E =-能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的_____________倍.(精确到0.1)【答案】251.2【分析】根据给定条件，作差并结合对数运算求解作答.【详解】令里氏8.4级的地震释放的能量为，里氏6.8级的地震释放的能量为，1E 2E 则，，两式相减并整理得，()12lg 11.48.43E -=()22lg 11.4 6.83E -=12lg lg 2.4E E -=即，因此.12lg 2.4E E = 2.41210251.2E E =≈故答案为：251.27．若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为____________.2425【答案】或.3545【分析】设顶角，则其底角的余弦值为，由半角公式求值即可.()0,πα∈πcos sin 222ααæöç÷-=ç÷èø【详解】设顶角，则，∴或()0,πα∈247sin ,cos 2525αα==±3sin 25α=45则其底角的余弦值为或.π3cos sin 2225ααæöç÷-==ç÷èø45故答案为：或.35458．已知点A 的坐标为，将OA 绕坐标原点顺时针旋转至，则点的横坐标是(4,3)-3πOA 'A '____________.【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合差角的余弦公式求解作答.【详解】以x 轴非负半轴为角的始边，令射线OA 为终边的角为，则射线为终边的角为，αOA 'π3α-显然，，5OA OA =='=34sin ,cos 55αα=-=因此，πππ413cos cos cos sin sin 333525ααα⎛⎫-=+=⨯- ⎪⎝⎭所以点A '5=9．方程的实数解为____________.9135x x +-=【答案】3log 2x =【分析】分、两种情况化简方程，求出的值，解之即可.0x ≤0x >9135x x +-=3x【详解】当时，则，由可得，可得；0x ≤31x ≤9135xx+-=()23340x x--=3x =当时，则，由可得，可得，解得.0x >31x>9135x x +-=()23360x x+-=32x =3log 2x =故答案为：.3log 2x =10．设，当时，恒成立，则实数m 的取值范围是()222x xf x --=R x ∈()()210f x mx f ++>____________.【答案】()1,1-【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性2(2)(1)0f x mx f ++>2(2)(1)f x mx f +>-和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.2210x mx ++>R x ∈【详解】由函数，111(22)[2()]22222()2x x x x x x f x --=--=⋅-=均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，1212,2xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ R ()f x R 且满足，所以函数为奇函数，1111()22()22()x x x x f x f x --------=-=-=-()f x 因为，即，2(2)(1)0f x mx f ++>2(2)(1)(1)f x mx f f +>-=-可得恒成立，即在上恒成立，221x mx +>-2210x mx ++>R x ∈则满足，即，解得，2(2)40m -<244m <11m -<<所以实数的取值范围是.m (1,1)-故答案为：.(1,1)-11．已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，()ln f x x =1,e D t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e a D ∈b D ∈使得，则实数的取值范围是_____________.()()4f a f b +=t 【答案】{}5e【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值.()f x D ()14e 1e f t f t ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩t 【详解】因为函数在上单调递增，()f x D 对任意的，都存在唯一的，使得，a D ∈b D ∈()()4f a f b +=则，解得.()1ln 14e 1e f t f t t ⎧⎛⎫+=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩5e t =故答案为：.{}5e 12．对任意集合M ，定义，X 是全集，集合，则对任意的，下列命1.()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩,S T X ⊆x X ∈题中真命题的序号是_____________.（1）若，则；S T ⊆()()S T f x f x ≤（2）；()()1S S f x f x =-（3）；()()()S S T T f x f x f x =⋅ （4）(其中符号[a ]表示不大于a 的最大整数).()()()12S T S T f x f x f x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦ 【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.【详解】对于(1)，因，时，，，时，，而S T ⊆x S ∈x T ∈()()1S T f x f x ==x S ∉()0S f x =或，则，(1)正确；()0T f x =()1T f x =()()S T f x f x ≤对于(2)，时，，则，时，，x S ∈x S ∉()1,()0S S f x f x ==x S ∉x S ∈即，，从而有，(2)正确；()0,()1S S f x f x ==()()1S S f x f x +=()1()S S f x f x =-对于(3)，，则，，x S T ∈ ,x S x T ∈∈()1,()1,()1S T S T f x f x f x === 即，()()()S T S T f x f x f x =⋅ ，则，此时与至少有一个成立，即与中至少一个x S T ∉⋂()0S T f x = x S ∉x T ∉()0S f x =()0T f x =成立，从而成立，()()()S T S T f x f x f x =⋅综上知(3)正确；对于(4)，时，，若，则，x S T ∈⋃()1S T f x = ,x S x T ∈∈()1,()1S T f x f x ==，()()13[[]122S T f x f x ++==若，则，，,x S x T ∈∉()1,()0S T f x f x ==()()1[]12S T f x f x ++=若，同理可得，,x S x T ∉∈()()1[12S T f x f x ++=若，则，，，x S T ∉⋃,x S x T ∉∉()()()0S T S T f x f x f x === ()()11[[]022S T f x f x ++==综上得，(4)正确.()()1()[]2S S T T f x f x f x ++= 故答案为：（1）（2）（3）（4）.【点睛】方法点睛：本题关键是理解函数的新定义，题目的来源是数学中著名的狄利克雷函数，需要对函数的新定义充分理解，进行合理的分类讨论，做到不重复不遗漏，可以利用维恩图进行辅助.二、单选题13．若a ，b 为实数，则“”是“”的（ ）1ab >1b a >A ．充分但非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】D【分析】通过举反例和反例即可判断.2,3a b =-=-2,3a b =-=【详解】当时，满足，但此时，故正向无法推出，2,3a b =-=-1ab >1b a <同样时，满足，但此时，故反向也无法推出，2,3a b =-=1b a >1ab <故“”是“”的既不充分也不必要条件.1ab >1b a >故选：D.14．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（ ）θsin cos θθ-A ．B ．C ．D ．43345312【答案】A【分析】利用辅助角公式可得出，求出的取值范围，结合正弦函πsin cos 4θθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π4θ-数的值域可得出的取值范围，即可得出合适的选项.sin cos θθ-【详解】因为，则，所以，，ππ2θ<<ππ3π444θ<-<(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以，可取的值为.sin cos θθ-43故选：A.15．已知.对于正实数，下列关系式中不可能成立的是（ ）()22x f x =-()a b a b ≠、A ．B ．22a b ab f ff a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭C ．D ．22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭22ab a b ff f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据给定条件，结合均值不等式可得，再探讨函数的单调性，确22a b aba b +>>+()f x定中不可能最大的作答.2(),(2ab a bf f f a b ++【详解】正实数，则，有，()a b a b ≠、02a b +>>02a bab +>>2ab a b >+因此，函数，202a b ab a b +>>>+22,1()2222,1xxx x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩即有函数在上单调递减，在上单调递增，()f x (0,1][1,)+∞若，则有，C 正确；012a b+<≤2()()2ab a b f f f a b +>>+若，则有，A 正确；21aba b ≥+2()()2a b ab f f f a b +>>+若且时，，12a b +>201aba b <<+1≥2a b f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭时，，实数最大数记为，1≤2ab f f a b ⎛⎫> ⎪+⎝⎭,,c d e max{,,}c d e于是，22max{(),(max{(),(22a b ab a b abf f f f f f a b a b ++=>++因此选项B 可能，选项D 一定不可能.故选：D16．若，，下列判断错误的是ππtan 22b a θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()()sin cos 02πa x b x x ϕϕ+=+≤<（ ）A ．当时，B ．当时，0,0a b >>ϕθ=0,0a b ><2πϕθ=+C ．当时，D ．当时，0,0a b <>πϕθ=+0,0a b <<2πϕθ=+【答案】D【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.ϕ【详解】由选项知，，，0ab≠sin cos )a xb x x x +=令，有，，cos ϕϕ==)sin t n ππ2an ta (c 2os b a ϕϕθθϕ==-<=<02πϕ≤<则，sin cos cos cos sin ))a x b x x x x ϕϕϕ+=+=+对于A ，当时，为第一象限角，且，，，则，A0,0a b >>ϕπ02ϕ<<π02θ<<tan tan ϕθ=ϕθ=正确；对于B ，当时，为第四象限角，且，，，则0,0a b ><ϕ3π2π2ϕ<<π2θ-<<tan tan(2π)ϕθ=+，B 正确；2πϕθ=+对于C ，当时，为第二象限角，且，，，则0,0a b <>ϕππ2ϕ<<π2θ-<<tan tan(π)ϕθ=+，C 正确；πϕθ=+对于D ，当时，为第三象限角，且，，，则0,0a b <<ϕ3ππ2ϕ<<π02θ<<tan tan(π)ϕθ=+，D错误.πϕθ=+故选：D三、解答题17．已知.tan 2θ=-π2θ<<(1)求；tan θ(2)【答案】(2)3+【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；(2)利用弦化切的方法求解.【详解】（1）因为22tan tan 21tan θθθ==--解得，2tan 0θθ-=t an θ=tan θ=因为，所以.π02θ<<tan θ=（2.sin cos tan 13sin cos tan 1θθθθθθ++====+--18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，设用x 单位量的水清洗一次以后，13蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.()f x (1)假定函数的定义域是，写出，的值，并判断的单调性；()y f x =[0,)+∞(0)f (1)f ()y f x =(2)设，求实数t 的值，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分()211f x t x =+⋅(0)a a >成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.【答案】(1)；；严格单调递减；(0)1f =2(1)3f =(2)；答案见解析.12t =【分析】（1）根据给定信息，直接求出，的值，再根据题意判断的单调性即可；(0)f (1)f ()f x （2）分别计算两种方式的农药残留量，再作差比较大小即可.【详解】（1）表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样，则，(0)f (0)1f =因为用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的13农药量之比为，因此，232(1)3f =因为用水越多洗掉的农药量也越多，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比越小，因此函数严格单调递减.()f x （2）由（1）知，，而函数，于是，解得，，2(1)3f =()211f x t x =+⋅1213t =+12t =22()2f x x =+清洗一次，残留在蔬菜上的农药量为，122()2y f a a ==+把水平均分成2份后清洗两次，残留在蔬菜上的农药量为，222222264[([]2(8)2()2a y f a a ===++，2122222222642(4)(4)2(8)(2)(8)a a a y y a a a a +--=-=++++当时，，当时，，当时，，4a >12y y >4a =12y y =04a <<12y y <所以当时，分成2份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量少；4a >当时，两种清洗方案效果相同；4a =当时，清洗一次，清洗后蔬菜上残留的农药量少.04a <<19．已知是定义在上的奇函数，当时，.()y f x =R 0x >()1x f x x =-+(1)求的值，并写出的解析式；(0),(1)f f -()f x (2)若，求实数a ，b 的值.()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦【答案】(1),.()()100,12f f =-=()1xf x x =-+(2)1,1a b =-=【分析】(1)根据函数奇偶性的概念求函数值和解析式；(2)根据函数的单调性结合值域列出方程即可求解.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，()y f x =R 所以，1(0)0,(1)(1)2f f f =-=-=当时，，0x <()()1x f x f x x =--=--所以，即.,01()0,0,01xx x f x x x x x ⎧-<⎪-⎪==⎨⎪⎪->+⎩()1xf x x =-+（2）因为当时，单调递减，0x >()1111x f x x x =-=-+++且函数为奇函数，所以在上单调递减，()f x R 所以当时，，当时，，0x <()0f x >0x >()0f x <因为，所以，()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦0a b <<所以，即解得.()2()2b f a a f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1212a b a b a b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪+⎩1,1a b =-=20．在平面直角坐标系中，两点、的“直角距离”定义为，记为11(,)P x y ()22,Q x y 1212x x y y -+-.如，点、的“直角距离”为9，记为.PQ (1,2)P --(2,4)Q 9PQ =(1)已知点，Γ是满足的动点Q 的集合，求点集Γ所占区域的面积；(0,0)P 1PQ ≤(2)已知点，点，求的取值范围；(0,0)P [(cos ,sin )(0,2))Q αααπ∈PQ (3)已知动点P 在函数的图像上，定点，若的最小值为1，1y x =-)[(),sin 0,2π)Q ααα∈PQ 求的值.α【答案】(1)2(2)⎡⎣(3)或或π3α=4π311π6【分析】（1）分类讨论区绝对值，得到其图形为正方形，求出其边长，则得到面积；（2）分，，，四类讨论即可；0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）利用绝对值不等式有，再根据范围即可得到答案.||12sin 13PQ πα⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭α【详解】（1）设，则，(),Q x y 1x y +≤当，则，0,0x y ≥≥1x y +≤当，则，0,0x y ≥<1x y -≤当，则，0,0x y <≥1x y -+≤当，则，0,0x y <<1xy --≤顺次连接四点,()()()()0,1,1,0,0,1,1,0A B C D --则得到点集所占区域面积.2S ==（2），|||0cos ||0sin ||cos ||sin |PQ αααα=-+-=+当，此时，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin ,cos 0αα≥则，||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ππ3π,444α⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，即，则，πππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 4α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦||PQ ∈当，此时，π,π2α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα≥<则，πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，，π,π2α⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦ππ3π,444α⎛⎤∴-∈ ⎥⎝⎦，即，则，π3ππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 4α⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦||PQ ∈当，此时，3π,2απ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα<≤则，πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，，3,2παπ⎛⎤∈ ⎝⎦ 57,444πππα⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦则，则，sin 1,4πα⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣[1,PQ ∈当，此时，，3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0α<cos 0α>则，||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ π5π7π,444α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则，，πsin 1,4α⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣(||PQ ∴∈综上，.[1,PQ ∈（3）设，根据绝对值不等式有(),1P x x-|||||(1sin )|PQ x x αα=+-+，π1sin 12sin 13ααα⎛⎫≥+=+-= ⎪⎝⎭若，即，，，π12sin 13α⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 03α⎛⎫-= ⎪⎝⎭[)0,2πα∈ ππ5π,333α⎡⎫∴-∈-⎪⎢⎣⎭或，或.π03α∴-=ππ3α∴=4π3若，即，，π12sin 13α⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭sin 13πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π3π32α∴-=11π6α∴=综上或或.π3α=4π311π621．设函数的反函数存在，记为.设，.()y f x =()1y f x -=(){}A x f x x ==()(){}1B x f x f x -==(1)若，判断是否是、中的元素；()116x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭12A B (2)若在其定义域上为严格增函数，求证：；()y f x =A B =(3)若的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范()f x =x ()()1f x a f x a --=+a 围.【答案】(1)，12A ∉12B ∈(2)证明见解析(3)7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）求出函数的解析式，利用元素与集合的关系判断与集合、的关系，可得()1f x -12A B 出结论；（2）分析可知，利用集合的包含关系以及函数的单调性证得，()(){}B x f f x x ==A B ⊆，即可证得结论成立；B A ⊆（3）令，分析可得，由已知方程可得，可得()()y g x f x a ==+()()11g x f x a --=-()()1g x g x -=，可得出，分析可得方程有两个不等的非负实根，根据二次方()()g g x x =()g x x =220x x a -+-=程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.a 【详解】（1）解：因为，则，()116xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1116log f x x -=所以，，则，所以，，116x A x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭121111642⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭12A ∉，则，所以，.1161log 16x B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭41211216111log log 22416--⎛⎫=== ⎪⎝⎭12B ∈（2）解：由题意可得，()(){}()(){}1B x f x f x x f f x x -====任取，则，所以，，，故；1x A ∈()11f x x =()()()111f f x f x x ==1x B ∴∈A B ⊆任取，则，下面证明出.2x B ∈()()22f f x x =()22f x x =因为函数在其定义域内为严格增函数，()f x 若，则，与题设矛盾；()22f x x <()()()222f f x f x x <<若，则，与题设矛盾.()22f x x >()()()222f f x f x x >>故，即，故.()22f x x =2x A ∈B A ⊆综上所述，.A B =（3）解：令，则，则，即()()y g x f x a ==+()()11x a f y x g y --⎧+=⎪⎨=⎪⎩()()11g y f y a --=-，()()11g x f x a--=-由可得，所以，，()()1f x a f x a --=+()()1g x g x -=()()g g x x=因为在其定义域内单调递增，所以，有两个不等的非负()g x =()g x x =x =实根，整理可得，220x x a -+-=所以，，解得.()Δ14247010220a a a ⎧=--=->⎪⎪>⎨⎪-≥⎪⎩724a <≤因此，实数的取值范围是.a 7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦。

上海交通大学附属中学2021-2021学年度第一学期高一数学期终考试卷本试卷共有22道试题，总分值100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上命题：杨逸峰杨逸峰〔本试卷允许使用计算器，凡属用计算器所得之值，如无特别说明，请准确到小数点后3位〕一、填空题〔本大题总分值42分〕本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分。

1、 集合A ={x ∣|x -1|>1}，那么A =R____________。

2、 不等式lg(1)1x -<的解集是_________。

〔用区间表示〕3、 过点P (4，2)的幂函数是________函数。

〔填“奇函数〞、“偶函数〞、“非奇非偶函数〞、“既奇又偶函数〞〕4、 假设函数y =A ，值域为B ，那么A ∩B =____________。

5、 函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，假设16mn =〔m ，n ∈R +〕，那么11()()f m f n --+的值为______________。

6、 函数2lg(82)y x x =+-的单调递增区间是__________。

7、 给出函数1()x x f x e e -=+，假设0()()f x f x ≥对一切x ∈R 成立，那么0x =________。

8、 设2()lg2x f x x +=-，那么2()()2x f f x+的定义域为_________。

9、 假设函数()f x 〔x ∈R 〕的图像关于点M (1，2)中心对称，且()f x 存在反函数1()f x -，假设(4)0f =，那么1(4)f -=___________。

10、用二分法求得函数f (x )=x 3+2x 2+3x +4在(-2，-1)内的零点是_______。

〔准确到0.1〕11、函数223y x x =-+在区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，那么实数m 的取值范围是______________。

2020-2021学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（共6小题）.1．设集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，则实数m的取值范围是．2．设a，b，c为正实数，则的最小值为．3．若函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝，则f[f（x）]＝．4．（8分）若函数y＝f（x）的解析式为，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝．5．（8分）所有0到1之间且分母不大于10的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为．6．（8分）已知a，b为正实数，则的取值范围是．二、选择题（共2小题）.7．（8分）已知h＞0，则“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h”且|b﹣1|＜h的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件8．（8分）已知f（x）＝3x2﹣x+4，g（x）为多项式，若f（g（x））＝3x4+18x3+50x2+69x+48，那么g（x）的各项系数和可能为（）A．8B．9C．10D．11三、解答题（共3题，共42分）9．（16分）已知a为一个给定的实数，函数．（1）若a＝1，t为正实数，利用单调性的定义证明：“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，求实数a的取值范围．10．（10分）求证：二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．11．（16分）若数列{a n}对任意连续三项a i，a i+1，a i+2，均有，则称该数列为“跳跃数列”．（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1，2，3，4，5，…；②等比数列：；（2）跳跃数列{a n}满足对任意正整数n均有，求首项a1的取值范围．参考答案一、填空题（共6小题）.1．设集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，则实数m的取值范围是．解：因为集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，所以2∈M，或3∈M或M＝∅，当2∈M时，4﹣2m+6＝0，解得m＝5；当3∈M时，9﹣3m+6＝0，解得m＝5；当M＝∅时，△＝（﹣m）2﹣24＜0，解得，所以实数m的取值范围为．故答案为：．2．设a，b，c为正实数，则的最小值为．解：设a+b＝u，b+c＝v，c+a＝t，则u＞0，v＞0，t＞0，则a+b+c＝（u+v+t），a＝（u﹣v+t），b＝（u+v﹣t），c＝（﹣u+v+t），＝++，＝（+++++﹣3）＝[（+）+（+）+（+）﹣3]≥（2+2+2﹣3）＝，当且仅当u＝v＝t，即a＝b＝c时取得等号，则≥．所以的最小值为：．故答案为：．3．若函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝，则f[f（x）]＝1．解：若x为有理数，则f（x）＝1，所以f（f（x））＝f（1）＝1，若x是无理数，则f（x）＝0，则f（f（x））＝f（0）＝1，故答案为：1．4．（8分）若函数y＝f（x）的解析式为，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝4044．解：因为＝，所以f（﹣x）+f（x）＝+＝2，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝2021×2+2＝4044．故答案为：40445．（8分）所有0到1之间且分母不大于10的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为．解：结合题意，把[0，1]分成10份，则＝＝0.6，＝0.7，故所求的数在（0.6，0.7）之间，＝，＝≈0.667＞＝0.625故所求的数在（0.6，0.625）之间，而＜，不合题意，故分母小于7时均不合题意，故的后一项是，故答案为：．6．（8分）已知a，b为正实数，则的取值范围是[，1）．解：＝，令＝x＞0，f（x）＝，则f′（x）＝＝，令5x﹣2﹣1＞0，化为：17x2﹣10x﹣7＞0，解得x＞1．∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递减，x＞1时，函数f（x）单调递增．又f（0）＝，f（1）＝，x→+∞时，f（x）→1．∴f（x）∈[，1）．∴的取值范围是[，1）．二、选择题（每小题8分，共16分）7．（8分）已知h＞0，则“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h”且|b﹣1|＜h的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h得|a﹣b|＝|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h”的必要条件；不妨令h＝1，a＝0.5，b＝﹣0.3，|a﹣1|＝0.5＜1，而|b﹣1|＝1.3＞1，因而“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h”的充分条件．故选：B．8．（8分）已知f（x）＝3x2﹣x+4，g（x）为多项式，若f（g（x））＝3x4+18x3+50x2+69x+48，那么g（x）的各项系数和可能为（）A．8B．9C．10D．11解：由题意得g（x）的表达式是二次式，设g（x）＝ax2+bx+c，∴f（g（x））＝3（ax2+bx+c）2﹣（ax2+bx+c）+4＝3a2x4+6abx3+（3b2+6ac﹣a2）x2+（6bc﹣b）x+3c2﹣c+4＝3x4+18x3+50x2+69x+48，∴，解得，∴a+b+c＝8．故选：A．三、解答题（共3题，共42分）9．（16分）已知a为一个给定的实数，函数．（1）若a＝1，t为正实数，利用单调性的定义证明：“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，求实数a的取值范围．【解答】证明：（1）a＝1时，y＝f（x）＝x+，（充分性）：若0＜t≤1，设0＜x1＜x2≤t≤1，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）•＞0，所以f（x1）＞f（x2），故函数在区间（0，t]上是严格减函数，（必要性）：若函数在区间（0，t]上是严格减函数，设0＜x1＜x2≤t，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）•＞0，因为x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以x1x2﹣1＜0，所以0＜t≤1，故“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，当a＞0时，根据对勾函数的性质知，函数在x＝时取得最小值，不符合题意；当a≤0时，f（x）＝x+在∈（0，+∞）上单调递增，没有最小值，符合题意．故a≤0．10．（10分）求证：二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．【解答】证明：∵g（x）＝x3+x2+x+是在R上严格增的多项式函数，且k（x）＝x3+x+也是在R上严格增的多项式函数，显然，二次函数y＝x2＝g（x）﹣k（x），∴二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．11．（16分）若数列{a n}对任意连续三项a i，a i+1，a i+2，均有，则称该数列为“跳跃数列”．（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1，2，3，4，5，…；②等比数列：；（2）跳跃数列{a n}满足对任意正整数n均有，求首项a1的取值范围．解：（1）根据“跳跃数列”的定义，得：①等差数列：1，2，3，4，5，…不是跳跃数列；②等比数列：1，﹣，，﹣，，…是跳跃数列．（2）a n+1﹣a n＝（19﹣﹣5a n），a n+2﹣a n+1＝（﹣5a n﹣19）（19﹣﹣5a n），a n+2﹣a n＝（a n﹣2）（a n﹣3）（19﹣﹣5a n），①若a n+1＞a n，则a n+1＞a n+2＞a n，此时a n∈（，2）；②若a n+1＜a n，则a n+1＜a n+2＜a n，此时a n∈（3，）；若a n∈（，2），则a n+1＝∈（3，），∴a n∈（﹣2，2），若a n∈（3，），则a n+1＝∈（﹣2，2），∴a n∈（3，），∴a1∈（﹣2，2）∪（3，），此时对任何正整数n，均有a1∈（﹣2，2）∪（3，）．。

上海交大附中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的最小正周期T＝．2．已知函数f（x）＝ax2+2x是奇函数，则实数a＝．3．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝．4．方程lg（2x+1）+lg x＝1的解集为．5．设函数，那么f﹣1（10）＝．6．若集合A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}，B＝{y|y2＝1，y∈R}，则A∩B＝．7．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间〖0，1〗上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么αβ＝．8．已知函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为．9．已知函数f（x）＝a sin x+cos x在上的最小值为﹣2，则实数a的值为．10．给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是①存在实数α，使sinαcosα＝1；②存在实数α，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．11．某同学向王老师请教一题：若不等式x﹣4e x﹣a ln x≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x＝0时取等号，且g（x）＝x﹣4ln x在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是．12．设二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为〖0，+∞），且f（1）≤2，则+的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A．2B．3C．4D．514．对于函数f（x）＝a sin x+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6B．3和1C．2和4D．1和215．设函数f（x）＝，g（x）＝ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y＝f（x）的图象与y＝g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞016．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a﹣b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A．p1、p2中仅p1是q的充分条件B．p1、p2中仅p2是q的充分条件C．p1、p2都不是q的充分条件D．p1、p2都是q的充分条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（15分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y＝f（x）是奇函数但不是偶函数．18．（15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S＝g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC＝x（cm），矩形ABCD的面积为S＝f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．19．（15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：．（e是自然对数的底数，e＝2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）＝2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）＝，并证明；（3）若对任意t∈〖0，ln2〗，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）＝a有解，求实数a的取值范围．20．（15分）对闭区间I，用M I表示函数y＝f（x）在I上的最大值．（1）对于，求M〖1，4〗的值；（2）已知，且y＝f（x）偶函数，，求b ﹣a的最大值；（3）已知f（x）＝sin x，若有且仅有一个正数a使得M〖0，a〗＝kM〖a，2a〗成立，求实数k的取值范围．21．（16分）定义域为R的函数y＝f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y＝f（x）是“集合A上的Z﹣函数”．（1）给定集合A＝{﹣1，1}，函数y＝f（x）是“集合A上的Z﹣函数”，求证：函数y＝f（x）是周期函数；（2）给定集合A＝{1}，g（x）＝ax2+bx+c，若函数y＝g（x）是“集合A上的Z﹣函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A＝〖0，1〗，函数y＝h（x）是“集合A上的Z﹣函数”，求证：“y＝h（x）是周期函数”的充要条件是“y＝h（x）是常值函数”．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．π〖解析〗由三角函数的周期公式可知，函数y＝sin2x的最小正周期为T＝＝π，故答案为：π．2．0〖解析〗由奇函数定义有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（﹣1）＝a﹣2＝﹣f（1）＝﹣（a+2），解得a＝0．3．{x|﹣1＜x＜2}〖解析〗∵集合A＝{x||x|＜2}＝（﹣2，2），B＝{x|＞0}＝（﹣1，+∞），∴A∩B＝（﹣1，2）＝{x|﹣1＜x＜2}，故答案为：{x|﹣1＜x＜2}.4．{2}〖解析〗∵lg（2x+1）+lg x＝1，∴lg（x（2x+1））＝lg10，∴，解得：x＝2．故答案为：{2}．5．3〖解析〗令f（t）＝10，则t＝f﹣1（10），当t＜0有2t＝10⇒t＝5，不合，当t≥0有t2+1＝10⇒t＝﹣3（舍去）或t＝3，那么f﹣1（10）＝3，故答案为：3．6．{1}〖解析〗函数y＝3cos2πx与y＝3x的图象如图，所以A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}＝{x1，x2，1}，B＝{y|y2＝1，y∈R}＝{﹣1，1}，所以A∩B＝{x1，x2，1}∩{﹣1，1}＝{1}．故答案为{1}．7．1〖解析〗BM＝MN＝NA，点A（1，0），B（0，1），所以M，N，分别代入y＝xα，y＝xβ，，，故答案为：1.8．〖2，+∞）〖解析〗函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0且a≠1）中，令x+1＝0，得x＝﹣1，所以f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，即f（x）的图象过定点（﹣1，﹣1）；由f（x）的图象不经过第四象限，则f（0）＝a﹣2≥0，解得a≥2，所以a的取值范围是〖2，+∞）．故答案为：〖2，+∞）．9．﹣2〖解析〗∵函数f（x）＝a sin x+cos x在上的最小值为﹣2，①若a≥0，则y＝a sin x≥0，y＝cos x≥0，f（x）≥0，与题意不符；②若a＜0，则y＝a sin x与y＝cos x均在上单调递减，∴f（x）＝a sin x+cos x在上单调递减，∴f（x）min＝f（）＝a＝﹣2，符合题意，故答案为：﹣2．10．③④〖解析〗对于①，由sinα•cosα＝1，得sin2α＝2，矛盾；①错误．对于②，由，得sin（α+）＝，矛盾；②错误．对于③，＝sin（﹣2x）＝cos2x，是偶函数；③正确．对于④，将代入到得到sin（2×+）＝sin ＝﹣1，是函数的图象的一条对称轴方程．④正确．对于⑤，不妨取β＝60°，α＝390°，α＞β但是sinα＜sinβ．∴⑤不正确．故③④正确，故答案为：③④．11．（﹣∞，﹣4〗〖解析〗x﹣4e x﹣a ln x≥x+1，即﹣a ln x≥x+1，令f（x）＝﹣a ln x﹣x﹣1，（x＞1），函数h（x）＝x﹣4ln x在（1，+∞）有零点，设为x0，则h（x0）＝x0﹣4ln x0＝0，则x0＝4ln x0，则＝，h′（x）＝1﹣＝，令h′（x）＞0，解得：x＞4，令h′（x）＜0，解得：1＜x＜4，故h（x）在（1，4）递减，在（4，+∞）递增，而h（1）＝1，h（4）＝4﹣4ln4＜0，故1＜x0＜4，故f（x0）＝﹣a ln x0﹣x0﹣1＝﹣a ln x0﹣4ln x0﹣1＝﹣（a+4）ln x0≥0，∵ln x0＞0，∴a+4≤0，故a≤﹣4，故a的取值范围是（﹣∞，﹣4〗，故答案为：（﹣∞，﹣4〗．12．〖1，13〗〖解析〗二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为〖0，+∞），则Δ＝4﹣4mn＝0，解得：mn＝1，且m＞0，又f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝，则m+≤4，∴+＝+＝＝＝m2+﹣1，而由m+≤4，m＞0，得2≤m2+≤14，故m2+﹣1的取值范围是〖1，13〗，即+的取值范围是〖1，13〗，故答案为：〖1，13〗．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．A〖解析〗设扇形半径r，弧长l，则，解得r＝1，l＝2，所以圆心角为＝2．故选：A．14．D〖解析〗f（1）＝a sin1+b+c①，f（﹣1）＝﹣a sin1﹣b+c②，①+②得：f（1）+f（﹣1）＝2c，∵c∈Z，∴f（1）+f（﹣1）是偶数，故选：D．15．B〖解析〗当a＜0时，作出两个函数的图象，若y＝f（x）的图象与y＝g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）＝是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0故选：B．16．D〖解析〗令f（x）＝g（x）+h（x），g（x）＝2x﹣2﹣x，h（x）＝，g（x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（﹣∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，f（a）+f（b）≥0⇒f（a）≥﹣f（b），即g（a）+h（a）≥﹣g（b）﹣h（b），即g（a）+h（a）≥g（﹣b）+〖﹣h（b）〗，①当a+b≥0时，a≥﹣b，故g（a）≥g（﹣b），又h（x）＞0，故h（a）＞﹣h（b），∴此时f（a）+f（b）≥0，可得p1是q的充分条件；②当a﹣b2≥0时，则有：a≥0，，，（i）当a≥1时，a≥，则﹣b≤a，故g（a）≥g（﹣b）；此时，h（a）＞0，﹣h（b）＜0，∴h（a）＞﹣h（b），∴f（a）+f（b）≥0成立；（ii）当a＝0时，b＝0，f（0）+f（0）＝6≥0成立，即f（a）+f（b）≥0成立；（iii）∵g（x）在R上单调递增，h（x）在（﹣∞，0）单调递增，∴f（x）＝g（x）+h（x）在（﹣∞，0）单调递增，∵f（﹣1）＝0，∴f（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立；又∵x≥0时，g（x）≥0，h（x）＞0，∴f（x）＞0在〖0，+∞）上恒成立，∴f（x）＞0在（﹣1，+∞）恒成立，故当0＜a＜1时，a＜＜1，﹣1＜﹣，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴f（a）+f（b）≥0成立．综上所述，a﹣b2≥0时，均有f（a）+f（b）≥0成立，∴p2是q的充分条件．故选：D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．解：（1）由＞0得﹣1＜x＜1，∴函数的定义域A＝（﹣1，1）；又B＝（a，a+1），且B⊆A，∴，解得﹣1≤a≤0，即a∈〖﹣1，0〗；（2）证明：∵f（x）+f（﹣x）＝lg+lg＝lg（•）＝lg1＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）≠f（x），∴函数y＝f（x）是奇函数但不是偶函数．18．解：如图所示，（1）①连接OC，设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S，则BC＝20sinθ，OB＝20cosθ（其中0＜θ＜）；∴S＝AB•BC＝2OB•BC＝400sin2θ，且当sin2θ＝1，即θ＝时，S取最大值为400，此时BC＝10；所以，取BC＝10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．②连接OC，设BC＝x，矩形ABCD的面积为S；则AB＝2 （其中0＜x＜20），∴S＝2x＝2 ≤x2+（400﹣x2）＝400，当且仅当x2＝400﹣x2，即x＝10 时，S取最大值400；所以，取BC＝10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC＝时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．19．解：（1）cosh（x）＝2，即：e x+e﹣x＝4，整理得（e x）2﹣4e x+1＝0，解得：x＝ln（2±）．（2）sinh（x+y）＝sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），理由：左边＝sinh（x+y）＝，右边＝sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）＝×+×＝×+＝，左边等于右边，于是sinh（x+y）＝sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）成立．（3）因为t∈〖0，ln2〗，则1≤e t≤2，则a＝sinh（t）+cosh（x）＝+，所以a﹣＝≥＝1，当且仅当x＝0时取等号，则a≥+1有解，因为函数y＝e t，y＝﹣e﹣t均为〖0，ln2〗上的增函数，故函数g（t）＝+1在〖0，ln2〗上为增函数，所以a≥g（t）min＝g（0）＝1，故实数a的取值范围为〖1，+∞）．20．解：（1）对任意x1，x2∈〖1，2〗，且x1＜x2时，由，对任意x1，x2∈〖2，4〗，且x1＜x2时，由，所以在〖1，2〗上单调递减，在〖2，4〗上单调递增；又，所以M〖1，4〗＝5；（2）由于y＝f（x）是偶函数，所以，则，解得a＝2；则，因为，所以，故b﹣a的最大值为．（3）①当0＜k＜1时，由于M〖0，a〗＝kM〖a，2a〗，则M〖0，a〗＜M〖a，2a〗，所以，若时，有M〖0，a〗＝sin a，M〖a，2a〗＝sin2a＝2sin a cos a，所以sin a＝2k sin a cos a，得；若时，有，此时a无解；若时，有，此时a有一解；若时有，此时a无解；若时，有，所以sin a＝k，因为，若时，此时a无解；若时，此时a无解；若时，此时a 有一解；②当k≥1时，由于M〖0，a〗＝kM〖a，2a〗，则M〖0，a〗≥M〖a，2a〗，所以，有，则，若k＝1，则M〖a，2a〗＝1 得或等，若，则或，在上，a必有两解．综上所述：，即k的取值范围是（，1）．21．（1）证明：由题意得对任意x∈R，f（x﹣1）≥f（x），可得f（x）≥f（x+1），对任意的x∈R，f（x+1）≥f（x），∴f（x）＝f（x+1），∴函数y＝f（x）是周期函数．（2）解：由题意可知，对任意的x∈R，g（x+1）≥g（x），即a（x+1）2+b（x+1）+c≥ax2+bx+c，∴2ax+a+b≥0对任意的x∈R恒成立，∴，∴a＝0，b≥0，c∈R．（3）证明：若函数y＝h（x）是周期函数，设其周期为T（T＞0），∵函数y＝h（x）是集合Ah的Z﹣函数，则存在a1∈（0，1），k∈N*，使得ka1≤T≤（k+1）a1，∴0≤T﹣ka1≤a1≤1，0≤（k+1）a1﹣T≤a＜1，对任意的x0∈R，h（x0）≤h（x0+a1）≤••≤h（x0+ka1）≤h〖（x0+ka1）+T﹣ka1〗＝h（x0+T）＝h（x0），∴h（x0）＝h（x0+a1）＝••＝h（x0+ka1）＝h（x0+T），∴对任意的x∈〖x0，x0+T〗，h（x）＝h（x0），对任意的n∈Z，h（x0）＝h（x0+nT），且R＝••∪〖x0﹣2T，x0﹣T〗∪〖x0﹣T，x0〗∪〖x0，x0+T〗∪••，∴对任意的x∈R，h（x）＝h（x0）＝C为常数，即”y＝h（x）是周期函数“⇒”y＝h（x）是常值函数“，若函数y＝h（x）是常值函数，对任意的x∈R，a∈A，h（x+a）≥h（x）成立，且h（x+）＝h（x），∴函数y＝h（x）是周期函数，即”y＝h（x）是常值函数“⇒”y＝h（x）是周期函数“，综上，“y＝h（x）是周期函数”的充要条件是“y＝h（x）是常值函数”．上海交大附中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的最小正周期T＝．2．已知函数f（x）＝ax2+2x是奇函数，则实数a＝．3．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝．4．方程lg（2x+1）+lg x＝1的解集为．5．设函数，那么f﹣1（10）＝．6．若集合A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}，B＝{y|y2＝1，y∈R}，则A∩B＝．7．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间〖0，1〗上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么αβ＝．8．已知函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为．9．已知函数f（x）＝a sin x+cos x在上的最小值为﹣2，则实数a的值为．10．给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是①存在实数α，使sinαcosα＝1；②存在实数α，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．11．某同学向王老师请教一题：若不等式x﹣4e x﹣a ln x≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x＝0时取等号，且g（x）＝x﹣4ln x在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是．12．设二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为〖0，+∞），且f（1）≤2，则+的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A．2B．3C．4D．514．对于函数f（x）＝a sin x+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6B．3和1C．2和4D．1和215．设函数f（x）＝，g（x）＝ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y＝f（x）的图象与y＝g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞016．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a﹣b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A．p1、p2中仅p1是q的充分条件B．p1、p2中仅p2是q的充分条件C．p1、p2都不是q的充分条件D．p1、p2都是q的充分条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（15分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y＝f（x）是奇函数但不是偶函数．18．（15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S＝g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC＝x（cm），矩形ABCD的面积为S＝f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．19．（15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：．（e是自然对数的底数，e＝2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）＝2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）＝，并证明；（3）若对任意t∈〖0，ln2〗，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）＝a有解，求实数a的取值范围．20．（15分）对闭区间I，用M I表示函数y＝f（x）在I上的最大值．（1）对于，求M〖1，4〗的值；（2）已知，且y＝f（x）偶函数，，求b ﹣a的最大值；（3）已知f（x）＝sin x，若有且仅有一个正数a使得M〖0，a〗＝kM〖a，2a〗成立，求实数k的取值范围．21．（16分）定义域为R的函数y＝f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y＝f（x）是“集合A上的Z﹣函数”．（1）给定集合A＝{﹣1，1}，函数y＝f（x）是“集合A上的Z﹣函数”，求证：函数y＝f（x）是周期函数；（2）给定集合A＝{1}，g（x）＝ax2+bx+c，若函数y＝g（x）是“集合A上的Z﹣函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A＝〖0，1〗，函数y＝h（x）是“集合A上的Z﹣函数”，求证：“y＝h（x）是周期函数”的充要条件是“y＝h（x）是常值函数”．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．π〖解析〗由三角函数的周期公式可知，函数y＝sin2x的最小正周期为T＝＝π，故答案为：π．2．0〖解析〗由奇函数定义有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（﹣1）＝a﹣2＝﹣f（1）＝﹣（a+2），解得a＝0．3．{x|﹣1＜x＜2}〖解析〗∵集合A＝{x||x|＜2}＝（﹣2，2），B＝{x|＞0}＝（﹣1，+∞），∴A∩B＝（﹣1，2）＝{x|﹣1＜x＜2}，故答案为：{x|﹣1＜x＜2}.4．{2}〖解析〗∵lg（2x+1）+lg x＝1，∴lg（x（2x+1））＝lg10，∴，解得：x＝2．故答案为：{2}．5．3〖解析〗令f（t）＝10，则t＝f﹣1（10），当t＜0有2t＝10⇒t＝5，不合，当t≥0有t2+1＝10⇒t＝﹣3（舍去）或t＝3，那么f﹣1（10）＝3，故答案为：3．6．{1}〖解析〗函数y＝3cos2πx与y＝3x的图象如图，所以A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}＝{x1，x2，1}，B＝{y|y2＝1，y∈R}＝{﹣1，1}，所以A∩B＝{x1，x2，1}∩{﹣1，1}＝{1}．故答案为{1}．7．1〖解析〗BM＝MN＝NA，点A（1，0），B（0，1），所以M，N，分别代入y＝xα，y＝xβ，，，故答案为：1.8．〖2，+∞）〖解析〗函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0且a≠1）中，令x+1＝0，得x＝﹣1，所以f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，即f（x）的图象过定点（﹣1，﹣1）；由f（x）的图象不经过第四象限，则f（0）＝a﹣2≥0，解得a≥2，所以a的取值范围是〖2，+∞）．故答案为：〖2，+∞）．9．﹣2〖解析〗∵函数f（x）＝a sin x+cos x在上的最小值为﹣2，①若a≥0，则y＝a sin x≥0，y＝cos x≥0，f（x）≥0，与题意不符；②若a＜0，则y＝a sin x与y＝cos x均在上单调递减，∴f（x）＝a sin x+cos x在上单调递减，∴f（x）min＝f（）＝a＝﹣2，符合题意，故答案为：﹣2．10．③④〖解析〗对于①，由sinα•cosα＝1，得sin2α＝2，矛盾；①错误．对于②，由，得sin（α+）＝，矛盾；②错误．对于③，＝sin（﹣2x）＝cos2x，是偶函数；③正确．对于④，将代入到得到sin（2×+）＝sin ＝﹣1，是函数的图象的一条对称轴方程．④正确．对于⑤，不妨取β＝60°，α＝390°，α＞β但是sinα＜sinβ．∴⑤不正确．故③④正确，故答案为：③④．11．（﹣∞，﹣4〗〖解析〗x﹣4e x﹣a ln x≥x+1，即﹣a ln x≥x+1，令f（x）＝﹣a ln x﹣x﹣1，（x＞1），函数h（x）＝x﹣4ln x在（1，+∞）有零点，设为x0，则h（x0）＝x0﹣4ln x0＝0，则x0＝4ln x0，则＝，h′（x）＝1﹣＝，令h′（x）＞0，解得：x＞4，令h′（x）＜0，解得：1＜x＜4，故h（x）在（1，4）递减，在（4，+∞）递增，而h（1）＝1，h（4）＝4﹣4ln4＜0，故1＜x0＜4，故f（x0）＝﹣a ln x0﹣x0﹣1＝﹣a ln x0﹣4ln x0﹣1＝﹣（a+4）ln x0≥0，∵ln x0＞0，∴a+4≤0，故a≤﹣4，故a的取值范围是（﹣∞，﹣4〗，故答案为：（﹣∞，﹣4〗．12．〖1，13〗〖解析〗二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为〖0，+∞），则Δ＝4﹣4mn＝0，解得：mn＝1，且m＞0，又f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝，则m+≤4，∴+＝+＝＝＝m2+﹣1，而由m+≤4，m＞0，得2≤m2+≤14，故m2+﹣1的取值范围是〖1，13〗，即+的取值范围是〖1，13〗，故答案为：〖1，13〗．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．A〖解析〗设扇形半径r，弧长l，则，解得r＝1，l＝2，所以圆心角为＝2．故选：A．14．D〖解析〗f（1）＝a sin1+b+c①，f（﹣1）＝﹣a sin1﹣b+c②，①+②得：f（1）+f（﹣1）＝2c，∵c∈Z，∴f（1）+f（﹣1）是偶数，故选：D．15．B〖解析〗当a＜0时，作出两个函数的图象，若y＝f（x）的图象与y＝g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）＝是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0故选：B．16．D〖解析〗令f（x）＝g（x）+h（x），g（x）＝2x﹣2﹣x，h（x）＝，g（x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（﹣∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，f（a）+f（b）≥0⇒f（a）≥﹣f（b），即g（a）+h（a）≥﹣g（b）﹣h（b），即g（a）+h（a）≥g（﹣b）+〖﹣h（b）〗，①当a+b≥0时，a≥﹣b，故g（a）≥g（﹣b），又h（x）＞0，故h（a）＞﹣h（b），∴此时f（a）+f（b）≥0，可得p1是q的充分条件；②当a﹣b2≥0时，则有：a≥0，，，（i）当a≥1时，a≥，则﹣b≤a，故g（a）≥g（﹣b）；此时，h（a）＞0，﹣h（b）＜0，∴h（a）＞﹣h（b），∴f（a）+f（b）≥0成立；（ii）当a＝0时，b＝0，f（0）+f（0）＝6≥0成立，即f（a）+f（b）≥0成立；（iii）∵g（x）在R上单调递增，h（x）在（﹣∞，0）单调递增，∴f（x）＝g（x）+h（x）在（﹣∞，0）单调递增，∵f（﹣1）＝0，∴f（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立；又∵x≥0时，g（x）≥0，h（x）＞0，∴f（x）＞0在〖0，+∞）上恒成立，∴f（x）＞0在（﹣1，+∞）恒成立，故当0＜a＜1时，a＜＜1，﹣1＜﹣，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴f（a）+f（b）≥0成立．综上所述，a﹣b2≥0时，均有f（a）+f（b）≥0成立，∴p2是q的充分条件．故选：D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．解：（1）由＞0得﹣1＜x＜1，∴函数的定义域A＝（﹣1，1）；又B＝（a，a+1），且B⊆A，∴，解得﹣1≤a≤0，即a∈〖﹣1，0〗；（2）证明：∵f（x）+f（﹣x）＝lg+lg＝lg（•）＝lg1＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）≠f（x），∴函数y＝f（x）是奇函数但不是偶函数．18．解：如图所示，（1）①连接OC，设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S，则BC＝20sinθ，OB＝20cosθ（其中0＜θ＜）；∴S＝AB•BC＝2OB•BC＝400sin2θ，且当sin2θ＝1，即θ＝时，S取最大值为400，此时BC＝10；所以，取BC＝10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．②连接OC，设BC＝x，矩形ABCD的面积为S；则AB＝2 （其中0＜x＜20），∴S＝2x＝2 ≤x2+（400﹣x2）＝400，当且仅当x2＝400﹣x2，即x＝10 时，S取最大值400；所以，取BC＝10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC＝时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．19．解：（1）cosh（x）＝2，即：e x+e﹣x＝4，整理得（e x）2﹣4e x+1＝0，解得：x＝ln（2±）．（2）sinh（x+y）＝sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），理由：左边＝sinh（x+y）＝，右边＝sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）＝×+×＝×+＝，左边等于右边，于是sinh（x+y）＝sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）成立．（3）因为t∈〖0，ln2〗，则1≤e t≤2，则a＝sinh（t）+cosh（x）＝+，所以a﹣＝≥＝1，当且仅当x＝0时取等号，则a≥+1有解，因为函数y＝e t，y＝﹣e﹣t均为〖0，ln2〗上的增函数，故函数g（t）＝+1在〖0，ln2〗上为增函数，所以a≥g（t）min＝g（0）＝1，故实数a的取值范围为〖1，+∞）．20．解：（1）对任意x1，x2∈〖1，2〗，且x1＜x2时，由，对任意x1，x2∈〖2，4〗，且x1＜x2时，由，所以在〖1，2〗上单调递减，在〖2，4〗上单调递增；又，所以M〖1，4〗＝5；（2）由于y＝f（x）是偶函数，所以，则，解得a＝2；则，因为，所以，故b﹣a的最大值为．（3）①当0＜k＜1时，由于M〖0，a〗＝kM〖a，2a〗，则M〖0，a〗＜M〖a，2a〗，所以，若时，有M〖0，a〗＝sin a，M〖a，2a〗＝sin2a＝2sin a cos a，所以sin a＝2k sin a cos a，得；若时，有，此时a无解；若时，有，此时a有一解；若时有，此时a无解；若时，有，所以sin a＝k，因为，若时，此时a无解；若时，此时a无解；若时，此时a 有一解；②当k≥1时，由于M〖0，a〗＝kM〖a，2a〗，则M〖0，a〗≥M〖a，2a〗，所以，有，则，若k＝1，则M〖a，2a〗＝1 得或等，若，则或，在上，a必有两解．综上所述：，即k的取值范围是（，1）．21．（1）证明：由题意得对任意x∈R，f（x﹣1）≥f（x），可得f（x）≥f（x+1），对任意的x∈R，f（x+1）≥f（x），∴f（x）＝f（x+1），∴函数y＝f（x）是周期函数．（2）解：由题意可知，对任意的x∈R，g（x+1）≥g（x），即a（x+1）2+b（x+1）+c≥ax2+bx+c，∴2ax+a+b≥0对任意的x∈R恒成立，∴，∴a＝0，b≥0，c∈R．（3）证明：若函数y＝h（x）是周期函数，设其周期为T（T＞0），∵函数y＝h（x）是集合Ah的Z﹣函数，则存在a1∈（0，1），k∈N*，使得ka1≤T≤（k+1）a1，∴0≤T﹣ka1≤a1≤1，0≤（k+1）a1﹣T≤a＜1，对任意的x0∈R，h（x0）≤h（x0+a1）≤••≤h（x0+ka1）≤h〖（x0+ka1）+T﹣ka1〗＝h（x0+T）＝h（x0），∴h（x0）＝h（x0+a1）＝••＝h（x0+ka1）＝h（x0+T），∴对任意的x∈〖x0，x0+T〗，h（x）＝h（x0），对任意的n∈Z，h（x0）＝h（x0+nT），且R＝••∪〖x0﹣2T，x0﹣T〗∪〖x0﹣T，x0〗∪〖x0，x0+T〗∪••，∴对任意的x∈R，h（x）＝h（x0）＝C为常数，即”y＝h（x）是周期函数“⇒”y＝h（x）是常值函数“，若函数y＝h（x）是常值函数，对任意的x∈R，a∈A，h（x+a）≥h（x）成立，且h（x+）＝h（x），∴函数y＝h（x）是周期函数，即”y＝h（x）是常值函数“⇒”y＝h（x）是周期函数“，综上，“y＝h（x）是周期函数”的充要条件是“y＝h（x）是常值函数”．。

2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．2.函数()()2ln 4f x x=-的单调增区间是______．3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．5.已知函数()()12f x xx α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一B.二C.三D.四14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C .充分必要D.既不充分也不必要15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +- B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题17.求函数()f x =18.已知0a >，b R ∈，且函数()12xf x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()ff x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．【1题答案】【答案】4【解析】【分析】根据题意，令3x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()112x f x -+=，令3x =，可得()()3131424f f -+===.故答案为：4.2.函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【2题答案】【答案】(2,0]-【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元，利用复合函数单调性的求法求解【详解】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，故答案为：(2,0]-3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【3题答案】【答案】1213-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为θ是第四象限角，5cos 13θ=，则12sin 13θ==-，所以，202112cos cos sin 2213ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1213-.4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．【4题答案】【答案】18-##-0.125【解析】【分析】化简函数为()2442(log )3log 1f x x x =++，4log t x R =∈，得到()2231f t t t =++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()()()4242log 4log 2(log 1)(log 1)f x x x x x =⋅=++24444(log 1)(2log 1)2(log )3log 1x x x x =++=++，令4log t x R =∈，可得()22312312()48f t t t t =++=+-，当34t =-时，()min 31()48f t f =-=-，即函数()f x 的最小值为18-.故答案为：18-.5.已知函数()()12f x x x α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．【5题答案】【答案】23log 2或1-.【解析】【分析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数()()12f x xx α=≤≤，当0α>时，函数()f x 在[]1,2上为单调递增函数，可得1212α-=，解得23log 2α=；当0α=时，显然不成立；当0α<时，函数()f x 在[]1,2上为单调递减函数，可得1122α-=，解得1α=-，综上可得，23log 2α=或1α=-.故答案为：23log 2或1-.6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．【6题答案】【答案】15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．【7题答案】【答案】()(),23,4∞-⋃【解析】【分析】根据幂函数的性质，分类讨论即可【详解】将不等式()()2021202142x x --->-转化成2021202111(()42x x >--（Ⅰ）1041021142x x x x ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪--⎩，解得34x <<；（Ⅱ）104102xx ⎧>⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩，解得2x <；（Ⅲ）1041021142x x x x ⎧<⎪-⎪⎪<⎨-⎪⎪>⎪--⎩，此时无解；综上，不等式的解集为：(,2)(3,4)-∞故答案为：(,2)(3,4)-∞ 8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．【8题答案】【答案】6[,1)2--.【解析】【分析】根据题意，列出不等式组222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数，因为()()2212f a f a ->+，可得222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，解得12a -≤<-，所以实数a 的取值范围是6[,1)2--.故答案为：[,1)2--.9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．【9题答案】【答案】P R Q =<【解析】【分析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P 、R 的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P 、Q 的大小关系.【详解】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin R P θθθθθθθθ=-=+-=-=又2233cos sin (cos sin )P Q θθθθ-=---(cos sin )(cos sin )(cos sin )(1cos sin )θθθθθθθθ=-+--+(cos sin )(cos sin 1cos sin )θθθθθθ=-+--(cos sin )(cos 1)(1sin )θθθθ=---因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0,cos 10,1sin 0θθθθ->-<->所以0P Q -<，即P Q<所以P 、Q 、R 的大小关系为P R Q =<.故答案为：P R Q=<10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．【10题答案】【答案】3【解析】【分析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.【详解】因为()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数在R 上单调递减，又()0001250=3236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11112512236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222125252=23618f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3331253=1236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且当3x >时，()()0,1f x ∈，当0x <时，令,N *x n n =-∈，则()12536151222Z 236251010n n nn n n nn n f n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++=++=++∉ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，函数()125236xxxf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点．故答案为：3.11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．【11题答案】【答案】2,)++∞【解析】【分析】作出f (x )的图像，当0x <时，min ()1f x =+，当0x >时，min ()2f x =.令()t f x =，则20t at b ++=，则该关于t的方程有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞.令2()g t t at b=++，则(2)01)0gg>⎧⎪⎨+<⎪⎩，据此求出a的范围，从而求出b的范围．【详解】当1≥x时，11()11f x x xx x=++-=+，当01x<<时，112()11f x x xx x x=++-=+-，当0x<时，112()11f x x xx x x=--+-=--+，则f(x)图像如图所示：当0x<时，2()11f x xx=--+≥+，当0x>时，min()2f x=．令()t f x=，则20t at b++=，∵关于x的方程()()()20f x af x b++=恰有六个解，∴关于t的方程20t at b++=有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞，令2()g t t at b=++，则(2)4201)91)0g a bg a b=++>⎧⎪⎨+=++++<⎪⎩，∴42ba-->且a<，要存在a满足条件，则42b--<，解得2b>+．故答案为：2,)++∞．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）【12题答案】【答案】ln 4##2ln 2【解析】【分析】不妨设三边的大小关系为：0a b c <≤≤，利用函数的单调性，得出()f a ，()f b ，()f c 的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出m 的最大值即可.【详解】()e xf x =在(]0,I m =上严格增，所以(()1,e m f x ⎤∈⎦，不妨设0a b c <≤≤，因为对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，所以e e e ,a b c a b c +>+>，因为e e e a b c +≥=>，所以24e e a b c +>，因为对任意,,a b c I ∈都成立，所以24e e c c ≥，所以e 4c ≤，所以ln 4c ≤，所以ln 4m ≤，所以m 的最大值为ln 4．故答案为：ln 4.二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一 B.二C.三D.四【13题答案】【答案】B 【解析】【分析】将2021- 转化为()0,360内的角，即可判断.【详解】20213606139-=-⨯+ ，所以2021- 的终边和139 的终边相同，即落在第二象限.故选：B14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【解析】【分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数()f x 在R 上严格递增，对任意的1x 、2R x ∈且12x x <，()()12f x f x <，由不等式的性质可得()()1122f x x f x x +<+，即()()12g x g x <，所以，()()g x f x x =+在R 上严格递增，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇒“()()g x f x x =+在R 上严格递增”；若()()g x f x x =+在R 上严格递增，不妨取()12f x x =-，则函数()()12g x f x x x =+=在R 上严格递增，但函数()12f x x =-在R 上严格递减，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇐/“()()g x f x x =+在R 上严格递增”.因此，“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +-B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭【15题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由题意，将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得()221lg[2(1)]1lg(22)1lg lg 105x x g x x x ++=+-=+-==.故选：B.16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】【分析】结合0BA BC ⋅<uu r uu u r，得到90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到AB BC <，可判定③正确，④不正确.【详解】由题意，函数()2xf x x =+为单调递增函数，因为点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠，不妨设123x x x <<，可得12123232(,),(,)BA x x y y BC x x y y =--=--，则12321232()()()()BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--，因为123x x x <<，可得1232()()0x x x x --<，31221222313222(()()[())][2()]()2x x x x x x x x y y y y -+----+-=又由因为12220x x -<，120x x -<，32220x x ->，320x x ->，所以31221232[())][())22(22(]0xxxxx x x x -+-+-<-，所以12321232()()()()0BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--<所以90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；由两点间的距离公式，可得AB BC ==根据指数函数和一次函数的变化率，可得点A 到B 的变化率小于点B 到C 点的变化率不相同，所以AB BC <，所以ABC 不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.故选：A.三、解答题17.求函数()f x =【17题答案】【答案】定义域为(1,)+∞，值域为[1,)+∞，递减区间为(1,2]，递增区间为[2,)+∞.【解析】【分析】由函数的解析式有意义列出不等式，可求得其定义域，由2331(1)111x x x x x -+=-+---，结合基本不等式，可求得函数的值域，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.【详解】由题意，函数()f x =23301x x x -+≥-且10x -≠，因为方程223333(024x x x -+=-+>，所以10x ->，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为(1,)+∞又由2233(1)(1)11(1)1111x x x x x x x x -+---+==-+----，因为10x ->，所以1(1)1111x x -+-≥=-，当且仅当111x x -=-时，即2x =时，等号成立，所以23311x x x -+≥-，所以函数()f x 的值域为[1,)+∞，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质，可得函数()g x 在区间(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 在(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增.18.已知0a >，b R ∈，且函数()12x f x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．【18题答案】【答案】()f x 为奇函数，11,2a b ==，【解析】【分析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可【详解】若()f x 为奇函数，则()()0(R)f x f x x -+=∈，所以11022x x b b a a-+++=--恒成立，即212122x x x b a a+=--⋅-，所以22222212[2(1)2]x x x x a b a a a -⋅+=--⋅++⋅-恒成立，所以21222(1)ab a b a =⎧⎨-=-+⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以当()f x 为奇函数时，11,2a b ==，若()f x 为偶函数，则()()(R)f x f x x -=∈，所以1122x x b b a a-+=+--恒成立，得22x x -=，得0x =，不合题意，所以()f x 不可能是偶函数，综上，()f x 为奇函数，11,2a b ==，19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．【19题答案】【答案】（1）1 1.5k =，11a =，23k =，212a =（2）分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.【解析】【分析】（1）代入点的坐标，求出1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值.【小问1详解】将()()1,1.5,3,4.5代入11ay k x =中，111 1.53 4.5a k k =⎧⎨⋅=⎩，解得：111.51k a =⎧⎨=⎩，将()()4,6,9,9代入22ay k x =中，22224699a a k k ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得：22312k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1 1.5k =，11a =，23k =，212a =.【小问2详解】设分配生产乙商品的投资为m （0≤m ≤20）万元、甲商品的投资为()20m -万元，此时的总利润为w ，则())12231.5203131.52w m m =-+⋅=-+，因为0≤m ≤20，1=，即1m =时，w 取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．【21题答案】【答案】（1）3(3,)4-（2）()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，最小值为12.【解析】【分析】（1）求得函数的导数()22(1)1a x f x x--'=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，列出方程组，即可求解；（2）由（1）知()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，得到函数()f x 在1[,2]2上单调递减，得到()32g a a =；若10a ->时，令()0h x =，求得x =12≤2≥，122<<三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数()11(1)f x x ax a x x x =+-=-+，可得()2221(1)1(1)a x f x a x x--'=--=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，则满足()()11()11024(2)4110h a h a ⎧=--<⎪⎨⎪=-->⎩，解得334a -<<，即实数a 的取值范围为3(3,)4-.【小问2详解】解：由（1）知()22(1)1a x f x x--'=，设()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，即1a ≥时，()0h x <，即()0f x '<，函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(),(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；若10a ->时，即1a <时，令()0h x =，即2(1)10a x --=，解得x =x =12≤时，即3a ≤-时，()0h x >在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '>，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递增，所以5151(2)2,()()22(2)2f a L a f a M a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=-；2≥时，即314a ≤<时，()0h x <在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '<，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(,(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；③当122<<时，即334a -<<时，当1[2x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当2]x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，所以当x =()f x取得最小值，即()L a =，又由1515(),(2)22222f a f a =-=-，可得13((2)22f f a -=，（i ）当30a -<≤时，1()(2)02f f -<，即1((2)2f f <，所以5()(2)22M a f a ==-，此时()()()522g a M a L a a --==-；（ii ）当304a <<时，1()(2)02f f ->，即1((2)2f f >，所以151()()222M a f a ==-，此时()()()5122g a M a a L a --==-，综上可得，函数()g a 的解析式为()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，当3a ≤-时，()9(3)2g a g ≥-=；当34a ≥时，()39(48g a g ≥=；当30a -<≤时，令[1,2)t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，根据二次函数的性质，可得当1t =时，函数()t ϕ取得最小值，最小值为()112ϕ=；当304a <<时，令1(,1)2t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，则()()112t ϕϕ>=，综上可得，函数()g a 的最小值为12.23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()f f x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．【23题答案】【答案】（1）123415152,1,22x x x x --+==-==（2）31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（3）见详解.【解析】【小问1详解】因为2a =-，所以()f x x =即220x x --=，所以122,1x x ==-，所以()f x 的不动点为122,1x x ==-；解(())f f x x =，22242(())(2)(2)242f f x f x x x x x =-=--=-+=，所以42420x x x --+=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式22x x --，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22(2)(1)0x x x x --+-=，所以123,4152,1,2x x x -±==-=，所以(())f f x 的不动点为123,4152,1,2x x x -±==-=；【小问2详解】由2()f x x a x =+=得20x x a -+=，由222422(())()()2f f x f x a x a a x ax a a x =+=++=+++=、得42220x ax x a a +-++=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式2x x a -+，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22()(1)0x x a x x a -++++=，因为()f x 与(())f f x 均恰有两个不动点，所以①12140,144340a a a ∆=->∆=--=--<或②1140a ∆=->且20x x a -+=和210x x a +++=有同根，由①得3144a -<<，②中两方程相减得210x +=，所以12x =-，故34a =-，综上，a 的取值范围是31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】（3）设()f x 的不动点为,a b ，(())f f x 的不动点为a b c d ,,,，所以(),(),(),()f a a f b b f c c f d d ==≠≠，设()(())h x f f x =，则()(())h c f f c c ==，所以(())((())()h f c f f f c f c ==，所以()f c 是()(())h x f f x =的不动点，同理，()f d 也是()(())h x f f x =的不动点，只能(),()f c d f d c ==，假设存在()(())f x g g x =，则()()g a a g b b =⎧⎨=⎩或()()g a bg b a =⎧⎨=⎩，因为()y f x =过点(,),(,)c d d c ，所以(),()g c c g d d ≠≠，否则()(())()f c g g c g c c ===矛盾，且(),()g c d g d c ≠≠，否则()(())()f c g g c g d d ===，所以一定存在(),(),(),()g c t g t d g d s g s c ====，,S t 与cd 均不同，所以((())g g g t t =，所以(())f f t t =，所以(())f f x 有另外不动点，矛盾，故不存在函数()g x 满足()(())f x g g x =．。

第1页共7页交大附中2022学年第一学期高一年级数学期期末2023.1一、填空题(共75分,其中1-5每题4分,6-10每题5分,11-15每题6分)1、已知集合{}{}1,3,5,6,7,2,4,5,6,8A B ==,则A B ⋂=____________2、函数223y x x =--的零点是___________3、已知则函数y kxa =的图像过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭,则k a +=___________4、某公司一年购买某种货物600吨,分若干次购买,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是___________5、已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin2x =___________6、已知()()4tan 114tan 17A B +-=,则()tan A B -=___________7、已知()()1e ,0,{4,0x x f x f x x +≤=->,则()2023f =___________8、命题“存在()()22,4210x R a x a x ∈-++-≥”为假命题,则实数a 的取值范围为___________9、如图,以0x 为始边作钝角a ,角a 的终边与单位圆交于点(1P x ,1y ),将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点()22,Q x y ,则21x x -的取值范围为___________10、设()()21lg 11f x x x=+-+,则使()()232f x f x <-成立的x 取值范围是___________.(结果用不等式表示)11、已知12a b ≤≤≤,记3b a+的最大值为M ,最小值为m ,则22M m -=___________12、已知()[]11,y x x x a b =-+∈的值域为[]0,8,则a b +的取值范围是___________第2页共7页13、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期为2的偶函数,[]()20,1,122x xx f x ∈=++,则函数()y f x =的图象与函数133x y =+的图象交点个数为____________14、已知()y f x =为定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,有()()1f x f x +=-,且当[)0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+.给出下列命题,其中正确的命题的个数为____________(1)()()202220230f f -+=;(2)函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数(3)直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点;(4)函数()f x 的值域为()1,1-15、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,他是数学史上第一位重视概念的人,并且有意识地“以概念代替直觉”,以其名命名的函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数为狄利克雷函数,现定义一个与狄利克雷函数类似的函数(),0,x x L x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数“L 函数”,则关于狄利克雷函数和L 函数有以下四个结论:(1)()()0D D x =;(2)函数()D x 是偶函数;(3)L 函数图象上存在四个点A B C D 、、、,使得四边形ABCD 为矩形;(4)L 函数图象上存在三个点A B C 、、,使得ABC ∆为等边三角形.其中所有正确结论的序号是____________二、选择题（共75分,其中16-20每题4分,21-25每题5分,26-30每题6分)16、设全集U 与集合,M N 的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合是（）A.M N ⋂B.M N ⋃C.M N⋃ D.M N⋂第3页共7页17、函数23y x =+-的定义域是（）A.()2,4 B.()3,4 C.()(]2,33,4⋃ D.[)()2,33,4⋃18、若0,0,x y n >>为正整数,则下列各式中,恒等的是()A.lg lg lg lg x y x y ⋅=+B.()22lg lg x x =C.1ln ln nx x n=D.ln ln x xn n=19、已知,R αβ∈.则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin2sin2αβ=”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件20、函数231x y x-=的图象可能是()21、函数()y f x =在(),-∞+∞为严格减函数,且为奇函数.若()11f =-,则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是()A.[]2,2- B.[]1,1- C.[]0,4 D.[]1,322、已知()22log f x x x=-,则不等式()0f x >的解集是()A.()0,1 B.(),2-∞ C.()2,+∞ D.()0,223、若对任意x A ∈,均有1A x∈,就称集合A 是伙伴关系集合.设集合第4页共7页111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,则M 的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为()A.15B.16C.32D.12824、小张、小李、小王、小赵四名同学,仅有一人做了数学老师布置的一道题目.当他们被问到谁做了该题目时,小张说:“小王或小赵做了”;小李说:“小王做了”;小王说:“小张和小赵都没做”;小赵说:“小李做了”。

交大附中高一期末数学试卷2021.06一. 填空题1. 设复数12i34i z -=+，则z 的共轭复数z 的虚部是 2. 已知向量(1,2)a = ，(3,4)b = ，则a 在b方向上的数量投影为3. 在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(2,5)-、(1,4)，若点P 满足2AP PB =-，则点P 的坐标为4. 已知sin(2)y x ϕ=+（其中02ϕπ≤<）是偶函数，且在闭区间[0,]2π上是严格减函数，则实数ϕ的值是5. 设||2a = ，||3b = ，|3|6a b -= ，则向量a 与b的夹角,a b 〈〉=6. 已知向量(2,3)a =- ，点(2,1)A -，若向量AB 与a方向相同，且||AB = ，则点B的坐标为7. 复数sin1icos1-的辐角主值是 8. 函数2tan y x ω=（常数0ω>）在开区间2(,)43ππ-上是严格增函数，则实数ω的取值 范围是9. 设直线l 、m 互相垂直于O ，A 、B 是直线l 上的两个定点，满足2AO OB =，C 、D 是直线m 上的两个动点，满足||2CD = ，若AC BD ⋅的最小值是9-，则||AO =10.设z 1、z 2、z 3在复平面上对应的点分别为A 、B 、C，3(12z =，若1||1z =， 21z z z =，32z z z =，则四边形OABC 的面积为轴对称，若11. 如图所示，半径为1的圆O 内接于正方形ABCD ，点P 是圆O 上的一个动点，点P '与P 关于直线AC 成AQ OP '= ，则||PQ的取值范围是12. 设函数()y f x =的定义域为D ，对于非空集合Y ⊆R ，称集合{|(),}x f x Y x D ∈∈为集合Y 的原像集，记作1()f Y -，设2()2sin(3f x x πω=+，[0,]x π∈，其中ω为实常数，且0ω>，若函数()y f x =在集合1([0,2])f -的值域恰为闭区间[0,2]，则ω的取值范围是二. 选择题13. 将函数2sin(23y x π=+的图像向右平移6π单位，再向上平移1单位，所得函数图像对应的函数表达式为（ ） A. 22sin(213y x π=+- B. 22sin(2)13y x π=++ C. 2sin(216y x π=++ D. 2sin 21y x =+14. 如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP xOA yOB =+，则实数对(,)x y 可以是（ ）A. 13(,)44 B. 13(,44-C. 22(,)33-D. 17(,55-15. 已知1e 、2e 是平面向量的一组基，设非零向量1112a x e y e =+ ，2122b x e y e =+，给出下列两个命题：① a ∥b1221x y x y ⇔=；② 12120a b x x y y ⊥⇔+= . 则（ ）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对 16. 设n 是正整数，分别记方程1n x =、6(1)1x -=的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为A 与B ，若存在1Z A ∈，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个，则n 的值可以是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3三. 解答题17. 设复数i z a b =+（其中a 、b ∈R ），1i z z k =+，2i z z k =⋅（其中k ∈R ）. （1）设12a b ==，若12||||z z =，求出实数k 的值； （2）若复数z 满足条件：存在实数k ，使得1z 与2z 是某个实系数一元二次方程的两个虚 数根，求符合条件的复数z 的模的取值范围.18. 设函数()y f x =的表达式为()2cos()cos()44f x x x x ππωωω=+-+，其中 常数0ω>.（1）求函数()y f x =的值域；（2）设实数1x 、2x 满足12||2x x ππω-=<，若对任意x ∈R ，不等式12()()()f x f x f x ≤≤ 都成立，求ω的值以及方程()1f x =在闭区间[0,]π上的解.19. 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE 垂直AB 于点E ，PF 垂直BC 于点F .（1）求向量PD 与EF的夹角,PD EF 〈〉 ；（2）设2||PD PC PC PD PC α⋅=-，点Q 满足2PQ PD α-= ， 证明PC α⊥，并求出当点P 运动时，PQ EF ⋅ 的取值范围.20. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对(,),∈C ）视为一个向量，记作12(,)z z αz z 12（z z 12=，类比平面向量可以12z z 定义其运算，两个复向量α=(,) 、12(,)z z β''=的数量积定义为一个复数，记作αβ⋅，满足1122z z z z αβ⋅=+''，复向量α的模定义为||α= .（1）设(1i,i)α=- ，(3,4)β= ，求复向量α 、β的模；（2）设α 、β是两个复向量，证明柯西-布涅科夫斯基不等式仍成立，即||||||αβαβ⋅≤⋅；（3）当||||||αβαβ⋅=⋅ 时，称复向量α 与β平行，设(1i,2i)α=+- ，(i,)z β=()z ∈C ，若复向量α 与β平行，求复数z 的值.21. 若定义域为R 的函数()y h x =满足：对于任意x ∈R ，都有(2)()(2)h x h x h ππ+=+， 则称函数()y h x =具有性质P .（1）设函数()y f x =，()y g x =的表达式分别为()sin f x x x =+，()cos g x x =，判断函数()y f x =与()y g x =是否具有性质P ，说明理由；（2）设函数()y f x =的表达式为()sin()f x x ωϕ=+，是否存在01ω<<以及πϕπ-<<，使得函数sin()y x ωϕ=+具有性质P ？若存在，求出ω、ϕ的值；若不存在，说明理由； （3）设函数()y f x =具有性质P ，且在[0,2]π上的值域恰为[(0),(2)]f f π；以2π为周期的函数()y f x =的表达式为()sin(())g x f x =，且在开区间(0,2)π上有且仅有一个零点，求证：(2)2f ππ=.参考答案一. 填空题 1.25 2. 1153. (4,3)4. 2π5. 1arccos4 6. (2,5)- 7. 312π+ 8. 3(0,]49. 2 10. 11. 12. 11[,)6+∞二. 选择题13. D 14. B 15. C 16. B 三. 解答题17.（1）1-；（2）(0,1) 18.（1）()2sin(26f x x πω=+，值域[2,2]-；（2）1ω=，0x =、3π、π19.（1）2π；（2）(1,1]-20.（1）||α= ，||5β=；（2）略；（3）31i 22z =+ 21.（1）()y f x =不具有性质P ，()y g x =具有性质P ；（2）不存在；（3）略。

2020~2021学年上海宝山区上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共6小题，共42分）1.【答案】【解析】【踩分点】设集合，且，则实数的取值范围是 ．或因为集合，且，所以或或．当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，所以实数的取值范围为或．故答案为：或．2.【答案】【解析】设，，为正实数，则的最小值为 ．设，，，则，，，则，，，，，当且仅当，即时取得等号，【踩分点】所以的最小值为：．故答案为：．3.【答案】【解析】【踩分点】若函数的解析式为，则．若为有理数，则，所以，若是无理数，则，则．故答案为：．为有理数为无理数4.【答案】【解析】【踩分点】若函数的解析式为，则．因为，所以，则．故答案为：．5.【答案】【解析】所有到之间且分母不大于的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为 ．结合题意，把分成份，【踩分点】故所求的数在之间，，，故所求的数在之间，而不合题意，故分母小于时均不合题意，故的后一项是．故答案为：．6.【答案】【解析】【踩分点】已知，为正实数，则的取值范围是 ．．令， ，则．令，化为，解得或（舍去）．∴时，函数单调递减；时，函数单调递增．又，，时，．∴，∴的取值范围是．二、选择题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）7.已知，则“”是“且”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】B 由且，得，所以“”是“且”的必要条件；不妨令，，，，，而，因而“”不是“且”的充分条件．故选．三、解答题8.A.B.C.D.【答案】【解析】已知，为多项式，若，那么的各项系数和可能为（ ）．A 由题意得的表达式是二次式，设，∴，∴，解得，∴．故选．（本大题共3小题，共42分）9.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知为一个给定的实数，函数．若，为正实数，利用单调性的定义证明：“”是“函数在区间上是严格减函数”的充要条件．若函数，无最小值，求实数的取值范围．证明见解析．．证明：时，，（充分性）：若，设，则，所以，故函数在区间上是严格减函数；（必要性）：若函数在区间上是严格减函数，设，则，因为，，所以，所以．综上，“”是“函数在区间上是严格减函数”的充要条件．当时，根据对勾函数的性质知，函数在时取得最小值，不符合题意；当时，在上单调递增，没有最小值，符合题意．故．【踩分点】10.【答案】【解析】【踩分点】求证：二次函数可以表示为两个在上严格增的多项式函数的差．证明见解析．∵是在上严格增的多项式函数，且也是在上严格增的多项式函数，显然，二次函数，∴二次函数可以表示为两个在上严格增的多项式函数的差．11.12（1）（2）12（1）（2）【答案】12（1）（2）【解析】若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃数列”．判断下列两个数列是否是跳跃数列：等差数列：，，，，，．等比数列：，，，，，．跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围．不是．是．．根据“跳跃数列”的定义，得：等差数列：，，，，，不是跳跃数列．根据“跳跃数列”的定义，得：等比数列：，，，，，是跳跃数列．①，②，∴①②得：，①若，则，此时；②若，则，此时．若，则，∴；若，则，∴．∴，此时对任何正整数，均有．【踩分点】。

上海市上海交通大学附属中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，若{}123A B ⋃=，，，则实数m =___________. 2．“21x>成立”是“2x <成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要）3．函数()f x =___________.4．若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________. 5．函数3()21x f x -=-，则不等式()1f x <的解集为___________. 6．函数()19310xx f x +=--的零点为___________.7．已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________． 8．若定义在R 上的函数21()xf x a +=（其中0a >，1a ≠）有最大值，则函数()2()log 2a g x x x =-的单调递增区间为___________．9．集合{}22|(21)0A x x a x a a =-+++<，集合{}2log |1000xB x x+=≤，且满足R A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是___．10．已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)xy a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f =+-⎡⎤⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______．11．下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A 是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 12．已知函数()()20xf x x ex =+<与函数21()ln()2g x x x a =+++，图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是___________.二、单选题13．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，UB C ⊆”是“A B =∅”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知实数x ，y 满足()01xya a a <<<，[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ）A ．221111x y >++ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+ C ．11x y x y->- D ．[][]x y ≥15．函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．16．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A ．2p q+ B ．(1)(1)12p q ++-C D 1三、解答题17．解关于x 的不等式：2(2)20kx k x -++<．18．动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？ 19．已知函数()y f x =是函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，函数3()1ax g x x +=-的图像关于直线y x =对称，记()()()F x f x g x =+. （1）求函数()f x 的解析式和定义域﹔（2）在()F x 的图像上是否存在这样两个不同点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求A ，B 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-（a 为负整数）()y f x =的图像经过点(2,0)()m m -∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()2g x bx =+，若()()g x f x ≥在[]1,3x ∈上解集非空，求实数b 的取值范围； （3）证明：方程1()0f x x-=有且仅有一个解． 21．若实数x ﹑y 、m ()x m y m ≠≠，满足||||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ． （1）若21x -比1接近0，求x 的取值范围； （2）对正实数a ，b ，如果1a a+比1b b +接近2，求证：当0x >时，1xx a a +比1x xb b +接近2；（3）已知函数()f x 等于x a -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．参考答案1．3 【解析】 【分析】直接利用并集的定义得到m 的值. 【详解】因为集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，{}123A B ⋃=，，， 所以3m =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查并集定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2．充分非必要 【分析】 先解不等式21x>，再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】 因为21x>，所以02x <<， 因为{|02}x x <<⫋{|2}x x < 所以“21x>成立”是“2x <成立”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【点睛】本题主要考查解分式不等式和充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞ 【分析】分类讨论解不等式2(1)(1)02x x x -+-，即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则2(1)(1)02x x x -+-， 当1x =时，不等式成立，当1x ≠时，不等式等价为102x x +-， 即2x >或1x -，综上2x >或1x -或1x =，所以函数的定义域为{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞. 故答案为：{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞ 【点睛】本题主要考查不等式的解法和函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．-2 【分析】求出反函数与原函数比较可知2a =-． 【详解】由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为2-． 【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．5．(24)，【分析】问题转化为|3|1x -<，求出不等式的解集即可． 【详解】不等式()1f x <即|32|2x -<， 故|3|1x -<， 解得：24x <<， 故答案为：(2,4)． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式和指数不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题． 6．315x og = 【分析】由题得(32)(35)0x x +-=，再解指数方程即得解. 【详解】由1()93100x x f x +=--=得2(3)33100x x -⋅-=， 即(32)(35)0x x +-=，30x >，350x ∴-=，即35x =，即3log 5x =， 即函数零点为3log 5x =， 故答案为3log 5x = 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，结合一元二次方程以及指数和对数的转化公式是解决本题的关键．7．3+ 【分析】由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 【详解】由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =，1y =时取到等号．故答案为3+ 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.8．()0-∞，【解析】 【分析】先根据题意判断01a <<，可得即求函数2220)t x x x x =-><（或减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】21x +有最小值为1，定义在R 上的函数21()xf x a+=（其中0a >，1)a ≠有最大值，01a ∴<<．则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间，即函数2220)t x x x x =-><（或的减区间， 因为函数2220)t x x x x =-><（或的减区间为(,0)-∞， 故答案为(,0)-∞． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 9．1,91000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由二次不等式的解法得1)A a a =+（，，由对数不等式的解法得1[1000B =，10]，即(RC B =-∞，1)(101000⋃，)+∞，由集合交集的运算得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩，即191000a ，得解． 【详解】解不等式22(21)0x a x a a -+++<得1a x a <<+即1)A a a =+（，， 解不等式21000lgx x +得：(2)30lgx lgx +-，即1101000x ，即1[1000B =，10]， 即(RC B =-∞，1)(101000⋃，)+∞， 又RAB =∅，得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩，即191000a ， 即实数a 的取值范围是1[,9]1000， 故答案为：1[,9]1000 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，对数不等式的解法及集合交集的运算，属中档题． 10．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得 到答案． 【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称， ()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -，化为log 21a -， 解得12a，舍去． ②当01a <<时，log ay x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -，解得102a <． 综上可得：102a<． 故答案为(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．①② 【分析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④．【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=， 则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数， 则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A ，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-， 故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为①②． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．12．(-∞ 【分析】根据条件转化为当0x >时，()()f x g x -=有解，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由题意，存在0x >，使()()f x g x -=，即221()2x x ln x a x e -+++=+， 即11()()2xln x a e++=， 即11()()2xln x a e+=-+，设11()()2x h x e =-+，11(0)122h =-+=，当()y ln x a =+经过点1(0,)2时， 则12lna =，得12a e = 作出()y ln x a =+和()h x 的图象， 要使两个图象恒有交点，则a即实数a 的取值范围是(a ∈-∞．故答案为：(-∞．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键． 13．C 【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆，当UB C ⊆，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，UB C ⊆，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 14．D 【分析】根据条件求出x y >，结合不等式的关系，利用特殊值法进行判断即可． 【详解】当01a <<时，由x y a a <得x y >，A ．当1x =，1y =-，满足x y >但221111x y =++，故A 错误，B ．当1x =，1y =-，满足x y >，22(1)(1)ln x ln y +=+，但22(1)(1)ln x ln y +>+不成立，故B 错误，C ．当1x =，1y =-，满足x y >，但112x y -=+=，11112x y -=+=，则11x y x y->-不成立，故C 错误，D ．x y >，[][]x y ∴成立，故D 正确故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的关系和不等式的性质的应用，利用特值法是解决本题的关键． 15．D 【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 16．D 【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得1x =．考点：函数模型的应用．17．见解析 【分析】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<分0k =，0k >，k 0<三种情况进行讨论．0k =、k 0<易解不等式；当0k >时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【详解】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<， （1）当0k =时，有1x >；（2）当0k >时，有2()(1)0k x x k --<，2()(1)0x x k ∴--<，221k k k--=， 当2k >时21k<，21x k ∴<<；当2k =时，21k=，x φ∴∈；当02k <<时，有21k>， 21x k ∴<<；（3）当k 0<时，2()(1)0x x k -->，有21k<，所以21x x k <>或．综上， 当0k =时，原不等式的解集为(1)+∞，； 当k 0<时，原不等式的解集为2,(1,)k ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭当2k =时，原不等式的解集为∅； 当02k <<时，原不等式的解集为21,k ⎛⎫⎪⎝⎭； 当2k >时，原不等式的解集为2,1k ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏．18．（1）1003l x x =+，[2]25，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【分析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x 且502x，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解． 【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x， 则1003l x x=+， 2x 且502x， 225x ∴，所以函数的定义域为[2，25]；（2）10010032320l x x x x =+=1003x x =，即x =时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是．【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法． 19．（1）1()1xf x lg x-=+，()f x 的定义域为(1,1)-；（2）不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直． 【分析】（1）先求出函数21()101xy x =-∈+R 的反函数，即求出()f x 的解析式，然后求出()f x 的定义域；（2）先求出函数()F x 的解析式，再设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，推出12y y >，得()F x 为(1,1)-上的递减函数，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直． 【详解】 （1）由21101x y =-+得1101xy y -=+，11y x lg y -=+，1()1x f x lg x-∴=+，因为函数21101xy =-+的值域为(1,1)-，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. （2）3()1ax g x x +=-，13()x g x x a-+∴=-，依题意得1()()g x g x -=，1a ，3()1x g x x +∴=-， 1(13)1x F x gx l x x -∴=+++-，定义域为(1,1)-， 设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<， 则122121122112113()()11131x x x y y F x F x lglg x x x x x --+-=-=+--++--+ 12212112113()3(1111x x x lg x x x x x -++=+---++-）21211212114(()11(1)()1)x x x x lg x x x x +--=++---，1211x x -<<<，则21111x x +>+，12111x x ->-，210x x ->，12()1(1)0x x ->-， 211211()011x x lg x x +-∴>+-，211240(1)(1)x x x x ->--）（，12y y ∴>，故()F x 在(1,1)-上单调递减，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直． 【点睛】本题主要考查了反函数，考查了函数单调性的判定和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 20．（1）2()1f x x =-+．（2）10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（3）见解析﹔ 【分析】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，故2321m a m m -=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+时，利用判别式可判断此不等式无解，所以23211m m m -=-+，解得1a =-，从而可得()f x 的解析式；（2）()()g x f x 在[1x ∈，3]上解集非空转化为1()b x x -+在[1，3]上有解，再构造函数转化为最小值可得；（3）即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点，证明0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点，在(,0)-∞上有且只有一个零点，即得证. 【详解】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，2321m a m m -∴=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+时，22540m m -+，因为△2(5)42470=--⨯⨯=-<，所以22540m m -+无解， 所以23211m m m -=-+，解得1m =或3m =，所以1a =-，22(2)43(2)1f x x x x ∴-=-+-=--+， 2()1f x x ∴=-+（2）()()g x f x 在[1x ∈，3]上解集非空1()b x x ⇔-+在[1，3]上有解，令1()()h x x x =-+，则()min b h x ，因为函数()h x 在[1x ∈，3]上是减函数，所以3x =时，()min h x h =（3）103=-， 故103b -． （3）证明：即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点， 当0x >时，2223111111(1)11311102222x x x x x x x x x x --+=+-=++--==>， 即0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点， 当0x <时，令211y x x=+-， 因为函数1y x=在(,0)-∞上为递减函数，函数21y x =+在(,0)-∞上为递减函数， 所以211y x x=+-在(,0)-∞上为递减函数（减函数+减函数=减函数）， 又12x =-时，1304y =-+<，1x =时，10y =>，根据零点存在性定理知：2110x x +-=在(,0)-∞上有且只有一个零点， 综上得1()0f x x-=有且只有一个解． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查函数的零点问题，考查基本不等式，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.． 21．(1) (1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--;（2）证明见解析；（3）见解析 【分析】（1）由新定义可得2|1|1x -<且210x -≠，由绝对值不等式的解法，即可得到解集；（2）运用新定义作差比较，结合基本不等式，即可比较；（3）依据新定义分1a -和1a >-两种情况写出函数()f x 的解析式，然后指明单调性． 【详解】（1）由题意得，221110x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩∴0,1x x x <<≠≠±， 所以(1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--.（2）1a a+比1b b +接近2，11|2||2|a b a b∴+-<+-， 0a >，0b >，12a a ∴+，12b b+， 1122a b a b ∴+-<+-，即11a b a b +<+， 11|2||2|x x x x a b a b∴+-<+-， 当0x >时，1xxa a +比1xx b b +接近2；（3）1a >-时，,22()22x a x a x a f x a x a ⎧->++<+-⎪=⎨+-++⎪⎩当10a -<<时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；当0a 时，()f x 在(,2a -∞+-上单调递减，在(2a +-上单调递增． 【点睛】本题是新定义题目，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果，注意转化思想的应用考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。