上海交大附中2019自招数学真题及答案

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题。

1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，行列式中第3行第2列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则_____．【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、，是坐标原点，则___．【答案】2【解析】【分析】先画出函数的图象，通过图象分析出点A是P、Q的中点，然后根据向量的运算法则进行运算．【详解】作出函数的图象如图：由图象可知：图象关于点A对称，所以点A是点P与点Q的中点∴2∴•．故答案为2.【点睛】本题考查了反三角函数的图象与性质及向量的运算，解题的关键是通过画图分析出A点是中点．11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题。

2019上海中学自主招生试卷及答案1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 【答案】3或1-【解析】①0a >时，23231113a a a a a a++=++=； ②0a <时，23231111a a a a a a++=-+-=-； 2、因式分解：332x x -+【答案】()()212x x -+【解析】拆项()()3323222121x x x x x x x x -+=--+=--- ()()()()()()()2211211212x x x x x x x x x =+---=-+-=-+ 3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________【答案】3【解析】设m ，n 分别为20ax ax b ++=与20ax bx b ++=的两个实数根，1m n ⋅=，1n m ∴=，由题意得20am an b ++=①与20an bn b ++=②，将1n m=代入到20an bn b ++=有2110a b b m m++=，变形得20bm bm a ++=③，由①③联立得()()()20b a m b a m a b -+-+-=，讨论：1）0b a -=，0b a =≠时，m ，n 为210x x ++=的实数根，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以此种情况无解；2）0b a -≠时，有210m m +-=，有11m m -=-，且222221123m n m m m m ⎛⎫+=+=-+= ⎪⎝⎭4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个【答案】372【解析】设较小的两边为x 、y ，且x y ≤，则最大边为15的三角形有如下情况：15x y ≤≤，15x y +>①1x =时，15y =；②2x =时，15y =，14y =；③3x =时，15y =，14y =，13y =；④4x =时，15y =，14y =，13y =，12y =；⑤5x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =；⑥6x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =；⑦7x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =；⑧8x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =，8y =； ⑨9x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =； ……共有12345678765432164++++++++++++++=种同理：最大边为14的有1234567+765432156++++++++++++=种 最大边为13的有123456765432149++++++++++++=最大边为12的有12345665432142+++++++++++=最大边为11的有1234565432136++++++++++=最大边为10的有123455432130+++++++++=最大边为9的有12345432125++++++++=最大边为8的有1234432120+++++++=最大边为7的有123432116++++++=最大边为6的有12332112+++++=最大边为5的有123219++++=最大边为4的有12216+++=最大边为3的有1214++=最大边为2的有112+=最大边为1的有1综合共有：1246912162025303642495664=372++++++++++++++种5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________ 【答案】737+6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________【答案】815【解析】利用比例，延长AF 、DC 交于点G ，//AB CD ,::1:4AM MG AE DG ∴== ::1:2AN NG AB DG ∴==:3:2AM NM ∴=，:3:2AM NM ∴=且::2:1DN NB AD BF ==，2224825531515DMN DAN ABD S S S ==⨯=⨯= 7、已知1a >a a x x -+=143a -+- 【解析】8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、1002 【答案】D9、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADEACB 时，AE =_________ 【答案】32或83【解析】进行分类，按照斜A 形分为两类，画图计算可得32或83 10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥【答案】见解析【解析】延长BH ，CP 交于点M ，联结AM ，借用垂直平分线求证AB AM AC ==，从而易得AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？【答案】216个附：无答案试卷题目1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 2、因式分解：332x x -+3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________7、已知1a >，解方程：a a x x -+= 8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、10029、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADE ACB 时，AE =_________10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？。

年上海交通大学自主招生试题解析福建省厦门市叶超杰1.已知解：因为，则2.已知，试解：易知当时则3.已知方程各个实根为，同侧，求的取值范围解：因为，则与两点，则易知4.已知复数满足，求负实数的值解：，因为，则情形一：当时，则解得情形二：当时，则，所以此时无解综上所述：5.若方程的三个根可以作为三角形的三边长，求的范围解：因为，则，令且，解得情形一：当，满足题意，则此时情形二：当即解得6.对于的最小值解：，所以时，又则所以时，即，此时7.已知数列，若，求的最小值解：因为所以的最小值为8.展开式中奇次幂的项的和为解：由题意可知则9.解：而所以，当且仅当时，等号成立10.，在线段上，在线段上，在线段上，且满足，若解：设，则而此时由三元均值不等式可知当且仅当时，等号成立11.对定义域内任意的，，则称为凸函数，下列函数是凸函数的是（）解：易知选12.已知复数所对应的点为，，且满足的面积解：设，因为，则情形一：当而情形二：当13.实数解：解得当且仅当时，等号成立14.15.数列是的末两位数，求解：易知数列的周期为，而所以16.，则（）解：因为则所以同理可得17.定义平面上两点，若平面上一点到，的折线距离之和最小，则点坐标为解：设点，则折线距离之和由绝对值的几何意义可知此时点坐标为18.已知的充要条件是（）解：由题意可知当抛物线与圆相切时整理可得而，解得故选。

2019交大附中自招试题1、求值：cos30°sin45°tan60°=___________√2解析：34与二次函数y=−x2+4x+3的图像交点个数为___________2、反比例函数y=1x解析：数形结合，3个3、已知x2−x−1=0，则x3−2x2+3=____2_____解析：x3−2x2+3=(x2−x−1)(x−1)+24、设方程(x+1)(x+11)+(x+11)(x+21)+(x+1)(x+21)=0的两根为x1，x2，则(x1+1)(x2+1)的值为___________解析：换元，令t=x+1，则x=t−1原方程整理得3t2+50t+200=0，由韦达定理得t1t2=2003、y轴的交5、直线y=x+k(k<0)上依次有A、B、C、D四点，它们分别是直线与x轴、双曲线y=kx 点，若AB=BC=CD，则k的值为____________⇒x2+kx−k=0解析：x+k=kx由弦长公式得|BC|=√k12+1|x B−x C|=√11+1√k2+4k|AD|=√2|k|=3|BC|⇒k=−926、交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展。

某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？______________解析：设原来篮球小组女生x 人，男生65x 人；排球小组女生y 人，男生y 人；得{65x −1=x +1y −1=y +1−14(y +1)⇒{x =10y =7 共10+65×10+7+7=36人7、已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1a +1b +1c +1n 也是整数，则n 的最大值为______ 解析：设a <b <c <n ，则1a +1b +1c +1n ≤11+12+13+14=2512（1） 若1a +1b +1c +1n =1⇒a =2⇒1b +1c +1n =12⇒b =3⇒1c +1n =16∴{c =7n =42；{c =8n =24；{c =9n =18；{c =10n =15（2） 若1a +1b +1c +1n =2⇒a =1⇒1b +1c +1n =1⇒b =1⇒1c +1n =12∴{c =3n =6；{c =4n =4（舍） 综上 n max =428、如图ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为_________解析：S =π(R 2−r2)=π(12)2=π49、若关于x 的方程(x −4)(x 2−6x +m )=0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为___________解析：（1）若4为斜边，设直角边长为x 和y{x +y =6x 2+y 2=16⇒xy =10=m ，此时方程x 2−6x +10=0无解，舍 （2）若4为直角边，设斜边为y ，另一直角边为x {x +y =6x 2+16=y 2⇒{x =53y =133⇒m =xy =65910、设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且a+b+c=40，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为____________。

2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。

篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有人.7、已知,,,a b c n 是互不相等的正整数，且1111a b c n +++也是整数，则n 的最大值是.8、如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.9、若关于x 的方程()()2460x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m =.10、设ABC 的三边,,a b c 均为正整数，且40a b c ++=，当乘积abc 最大时，ABC 的面积为.11、如图，在直角坐标系中，将AOB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -，()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为.二、解答题12、如图，数轴上从左到右依次有,,,A B C D 四个点，它们对应的实数分别为,,,a b c d ，如果存在实数λ,满足：对线段AB 和CD 上的任意M W，其对应的数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(),,,,a b c d λ为“完美数组”。

交大附中自招真题卷整理【例 1】已知甲、乙、丙三个电荷，依次排列在同素来线上，且都处于静止状态，由此可以判断（）A.甲、乙、丙带同种电荷B.甲、丙带同种电荷，甲、乙带异种电荷C.甲、丙带同种电荷，甲、乙可能带同种电荷，也可能带异种电荷D.无论甲、乙、丙带何种电荷，均可能使它们同时静止【例 2】以下列图，作用在杠杆一端且向来与杠杆垂直的力F，将杠杆缓慢地由地址 A 拉至地址 B，在这个过程中，力 F 的大小（）A. 变小B.不变C.变大D.先变大后变小【例 3】人们常常用充气泵为金鱼缸内的水补充氧气，以下列图为充气泵气室的工作原理图。

设大气压强为P0，气室中的气体压强为P，气体经过阀门S1、S2与空气导管相连接，以下选项中正确的选项是（）A.当橡皮碗被拉伸时， P>P0， S1开通 ,S 2关闭B.当橡皮碗被拉伸时， P<P0， S1开通， S2关闭C.当橡皮碗被压缩时， P>P0， S1关闭， S2开通D.当橡皮碗被压缩时， P<P0， S1关闭， S2开通【例 4】以下列图，静止的传达带上有一木块 A 正在匀速下滑, 当传达带突然向上开动时，木块滑终究部所需的时间t 与传达带静止不动时所需时间t 0对照（）A.t=t 0B.t>t 0C.t<t 0D.无法判断【例5】某旅客在火车车厢内以米/ 秒的速度行走。

当车厢静止时，他从车厢头走到车厢尾需要 20 秒。

当火车以10 米/ 秒的速度向前匀速行驶时，则他从车厢头走到车厢尾需要的时间是 ______秒，站在地面上的人看见该旅客经过的行程为______米。

【例 6】以下列图，将一块重为3N，体积为100cm3的石块，用细线系着吞没在装有水的圆柱形容器中，容器中水的深度由10cm上升到 12cm。

则石块所受浮力大小为______牛；细线松动，石块沉到容器底静止后，容器对水平川面的压强为______帕 ( 容器的重力和容器壁的厚度， g=10N/kg) 。

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至第12题，每题5分，共54分）只要求直接填写结果，否则一律得零分．1、二项式()52x -的展开式中，3x 项的系数为 ．2、若{}1,2,3A =，{}3,5B =，用列举法表示{}2,A B a b a A b B *=-∈∈= ．3、已知b i +、()2,ai a b -∈R 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，则q = ．4、某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有 篇．5、设0,1a a >≠，行列式log 11201223a xD -=-中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ，函数()y f x =的反函数经过点()1,2，则a = ．6、国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如右图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744， 也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，则n= （其中i 为虚数单位）． 7、在三棱锥D ABC -中，2A C BC ==3CD ， CD ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒．若其主视图、俯视图 如图所示，则其左视图的面积为 ．8、某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共 10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3） 各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为 ．9、已知()y f x =是周期为π的函数，且()sin ,0,2,,02x x f x x x ππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎤⎪-∈- ⎥⎪⎝⎦⎩，则方程()14f x =的解集为 ．10、若函数()()arcsin 1f x x =-的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函教的图像交于另外两点P 、Q ，O 是坐标原点，则()OP OQ OA +⋅= ．11、已知集合(){}22,1M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(),x y M ∈，均有(),x y M λμ∈，则称(),λμ是集合M 的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是 ． ①(){},1λμλμ+=； ②()22,143λμλμ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭； ③(){}22,2λμλμ-=； ④(){}2,4λμλμ=． 12、对任意x ∈R ，函数()f x 满足：()()()2112f x f x f x +=-，()()2n a f n f n =-，数列{}n a 的前15项和3116-，数列{}n c 满足()12019nn n c c f ++=⎡⎤⎣⎦，若数列{}n c 的前n 项和的极限存在，则1c = ．二、选择题（每题5分，共20分） 13、cos cot 0θθ>，则角所在的象限是：（ ）A ．第二或第三象限B ．第一或第四象限C ．第三或第四象限D ．第一或第二象限14、如图，已知三棱锥P A BC -，PA ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．不能确定15、已知n ∈N ，x ∈R ，则函数()22lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图像是（ ）16、已知点P 为椭圆221916x y +=上的任意一点，点12,F F 分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PF F PF F αβ=∠=∠，则sin sin αβ+的最大值为（ ）A 47 C ．98 D ．32三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．函数()()cos f x A x ωφ=+（0A >，0ω>，2πφ<）部分图像如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()sin 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径．（1）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =，120AOP ∠=︒， 求异面直线1A B 与A P 所成的角（用反三角函数值表示结果）； （2）若圆柱1OO 的轴截面是边长为2的正方形，四面体1A A BP 的外接球为球G ，求,A B 两点在球G 上的球面距离．19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形 足球运动场地，如图所示，其中CD 是足球场地边线所在的 直线，球门AB 处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点P ）在运动场上观察球门的角APB ∠称为视角． （1）当运动员带球沿着边线1DD 奔跑时，设P 到底线的距离 为PD x =码，试求当x 为何值时APB ∠最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角APB ∠越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线 的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门 点，以AB 的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求 在球场区域11A DD A 内射门到球门AB 的最佳射门点的轨迹．20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知曲线C ()()2210x a y ax a -+->．（1）当12a =时，试确定曲线C 的形状及其焦点坐标； （2）若直线2:l y a =-交曲线C 于点M 、N ，线段M N 中点的横坐标为2-，试问此时曲线C 上是否存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称？（3）当a 为大于1的常数时，设()11,P x y 是曲线C 上的一点，过点P作一条斜率为()2111a x y -的直线l ，又设d 为原点到直线l 的距离，12,r r 分别为点P 与曲线C 12r r d ⋅是一个定值，并求出该定值．21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的2,n n *∈N ≥恒成立，n S 为其前n 项的和，且484,36a S ==． （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）数列{}n b 满足()12122321213212n n n k n k n n b a b a b a b a a --+-+++++=--，其中1,2,,,k n n *=∈N ．①证明：数列{}n b 为等比数列；②求集合()3,,,p m m p a a m p m p b b *⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．参考答案一、填空题1、40-2、{}1,3±±3、54、185、26、1- 73 8、19339、()11arcsin 44x x k x k k ππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭Z 或 10、2 11、②③ 12、37二、选择题13、D 14、C 15、B 16、D 三、解答题17、（1）()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()g x 在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3318、（1）异面直线1A B 与A P 所成的角为（2）,A B 两点在球G上的球面距离为R A GB ⋅∠=．19、（1）()tan tan 3644tan tan 1tan tan 13644x x DPB DPAA PB DPB DPA x xDPB DPA -∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅ 28831115841584158424112x x x x x x====++⋅当且仅当1584x x=，即1211x =时，tan APB ∠311，又tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴当tan APB ∠取得最大值时，APB ∠最大，∴x =APB ∠取得最大值311； （2）过点P 作PE CD ⊥于E ，设点(),P x y ，其中0x >，440y <≤， ()tan tan 44tan tan 1tan tan 144x xEPB EPA y y A PB EPB EPA x xEPB EPA y y -∠-∠-+∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅-+()22222416881616162y xy x y y x x x x-===-+--+⋅， 当且仅当216y x x-=，即216x y =-时，tan APB ∠2416y -，此时轨迹方程为()2210,4401616y x x y -=><≤，其表示焦点为(0,42±，实轴长为8的等轴双曲线在0,440x y ><≤的一部分．20、（1）当12a =2211122x y x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，两边平方并化简得22134y x +=， ∴曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，其长半轴长为13，焦点坐标为1,02⎛⎫± ⎪⎝⎭； （2）将:l y a =-代入()2222:110C a x y a -++-=，消去y ， 得()22232420a x a --+-=4=-，即2460a -=，解得a =a =（舍），此时，:l y =22:1C x y -=，设:A B l y m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将A B l 代入22:1C x y -=，得222210x mx m -++=，则21244022m x x m⎧∆=->⎪⎨+=⎪⎩，,A B 的中点坐标为)2,m m -在对称轴l 上，∴222m m -=-，解得2m =不满足0∆>，∴曲线C 上不存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称；（3）222:11y C x a -=-，两焦点坐标为()1,0F a -、()2,0F a ，2211211y x a -=-，()()211111:a x l y y x x y --=-，即11211y yx x a -=-， ∴2222211121111a d x a x x a -===--+-用(),x y --替换()()2210C x a y ax a -+=->中的(),x y ，可得()10C ax a +>，∴2212111111r r ax ax a x ⋅=+⋅-=-，222212211111a d a x a a x -=-=--21、（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列满足44=a ，前8项和836=S 1134878362+=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩a d a d ，解得111=⎧∴⎨=⎩a d 所以数列{}n a 的通项公式为=n a n（2）①设数列{}n b 的前项和为n B ，由（1）及()()()*21212321nn k n k n k b a a n +-=+=-∈∑N 得()()()()212111212132123212(1)(2)nn k n k k n n k n k k b a n b a n n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑… 上两式相减，得到()()()11212231313213212-------=+++++n n n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n ()()()1232251112222---⎡⎤=++++++++⎣⎦n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n()()1212222-=+++++=-++n n n n n b b b b B b b所以()1*32222,-⋅=-+∈N …n n n B b n n 又()1113212-=+b a ，所以11=b ，满足上式 所以()1*2232--+=⋅∈N n n n B b n 当2≥n 时，2112232n n n B b ----+=⋅两式相减，得2132--+=⋅n n n b b ，()()12101122(1)20-----=--==--=n n n n n b b b所以112,2-+==n n n nb b b 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列． ②由3=p m m p a a b b ，得11322--=m p m p ，即320p m p m-=>，∴p m >． 令p m n -=，显然*n ∈N ，此时320p m p m -=>变为332nm n m +=，即323n n m =-， 当1n =时，3m =-，不符题意；当2n =时，6m =，符合题意，此时8p =；当3n =时，95m =，不符题意； 当4n =时，1213m =，不符题意；当5n =时，1529m =，不符题意；下证当6n ≥，*n ∈N 时，方程3123n n<-：∵()()012221122nn n n n C C C n n =+≥++=++∴()()223321216410n n n n n n -+≥--=--≥⨯-> ∴233n n ->，显然230n ->，从而3123n n<- 当6n ≥，*n ∈N 时，方程323nnm =-没有正整数解． 综上所述：()(){}*3,|,,6,8p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．。

绝密★启用前上海交通大学附属中学2019届高三下学期3月月考数学试题（解析版）2019年3月一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用,着重考查二项展开式的通项公式,属于中档题．2.若,,用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值,结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时,,时,,时,,时,,时,,时,,∴,故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念,考查了集合中元素的确定性、互异性,是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根,则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组,可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根,∴+,（整理得：⇒,∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用,考查了复数相等的条件,是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇,人文类课题论文60篇,其他论文39篇,为了了解该校学生论文完成的质量情况,若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核,则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程,计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇,则,∴x＝18,故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用,考查了各层的抽样比,属于基础题.5.设,,行列式中第行第列的元素的代数余子式记作,函数的反函数经过点,则__________.【答案】2【解析】【分析】。

交大附中高三月考数学试卷一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果. 【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P 为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x 轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y 的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。

交大附中高三月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ 中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果.【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x 的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。