2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(附解析)

上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、填空题1．已知全集R U =，集合{}|A x x a =<，{}|13B x x =-<<，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是．2．已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数21x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为．3．用简单随机抽样的方法从含n 个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a 在第一次就被抽取的可能性为18，那么n ＝. 4．两正数a 与b 的几何平均值为2，则2a 与2b 的算术平均值的最小值为．5．已知二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，正整数n 的最小值为． 6．不等式2log 1x x <-+的解集是.7．已知等差数列{}n a 的首项11,n a S =-表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n S 是严格增数列，则{}n a 的公差d 取值范围是.8．已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=.9．满足定义域为{}1,2,3,4且值域为{}1,2,3的函数共有个.10．已知函数()sin (0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>>≤<的图像与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标依次是1,2,4，则ϕ=.11．已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列，抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距离均大于98，则q 的取值范围是． 12．在边长为1的正六边形ABDEFG 中，以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ､､､､，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345d d d d d u u r u u u u r u u r u u r r ､､､､，若m M ､分别为()()l j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值､最大值，其中{}{}{}{},,1,2,3,4,5,,,1,2,3,4,5i j k r s t ⊂⊂.则m M +的值为.二、单选题13．若1i -是关于x 的实系数方程20x ax b ++=的一根，则a b +的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．414．在ABC V 中，若20AB BC AB ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形15．正方体1111ABCD A B C D -有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线（ ）A ．24对B ．30对C ．32对D ．64对16．定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的最小周期分别是1T 和2T ，已知()()y f x g x =+的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（ ）A ．121,2T T ==B ．1213,24T T == C ．1235,44T T == D ．123,32T T ==三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为2．(1)求该圆锥的侧面积：(2)设OA OB ､为该圆锥的底面半径，且90,AOB M ∠=︒为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的余弦值．18．已知()22,f x x x a a =+-为常数.(1)若()y f x =为偶函数，求a 的值；(2)设()()0,f x a g x x >=，若函数()(],0,y g x x a =∈为减函数，求实数a 的取值范围.19．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n 年绿洲面积为n a 万平方千米．(1)求第n 年绿洲面积n a 与上一年绿洲面积()12n a n -≥的关系；(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（lg 20.3010≈）20．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过圆22(1)1y x +-=的圆心的直线交抛物线与圆分别为A C D B ､､､（从左到右）.(1)若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程；(2)若抛物线和圆只有一个公共点，求p 的取值范围；(3)在（1）的条件下，,AOC BOC △△的面积满足：4AOC BOD S S =△△，求弦AB 的长. 21．已知函数()y f x =的定义域为()0,∞+，若存在常数0T >，使得对任意的()0,x ∈+∞，都有()()f Tx f x T =+，则称函数()y f x =具有性质()P T ．(1)若函数()y f x =具有性质()3P ，求：()()31f f -的值；(2)设()12log f x x =，求证：存在常数0T >，使得()y f x =具有性质()P T ；(3)若函数()y f x =具有性质()P T ，且()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数()y f x =的值域为R ．。

2020年上海市交大附中高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知函数是R上的增函数，则对任意，，“”是“”的条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要2.已知，，，则z对应的点在A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上3.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足，则点集所表示的区域的面积是A. B. C. D.4.已知，，，2，3，，为，，，中不同数字的种类，如1，2，，2，2，，求所有的256个的排列所得的的平均值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.计算矩阵的乘积：______．6.______．7.已知，则的值等于______ ．8.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为______．9.在首项为21，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第______项．10.如图，二面角的大小是，线段，，AB与l所成的角为，则AB与平面所成的角是______用反三角函数表示．11.已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为______．12.已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数的反函数是______．13.已知是定义在R上的函数，方程恰好有7个解，则这7个解的和为______．14.设0．是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a和b分别为10以内的非负整数，且，，若集合，则A中所有元素的和为______15.已知数列满足，是一个已知的正整数，若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则______16.若实数x，y满足，则xy的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．求该圆锥的表面积S和体积V；求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d．18.已知函数的图象如图所示．求出函数的解析式；若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，求出函数的单调递增区间及对称中心．19.若函数满足“存在正数，使得对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立”，则称该函数为“依附函数”．分别判断函数，是否为“依附函数”，并说明理由；若函数的值域为，求证：“是依附函数”的充要条件是“”．20.如图，已知点P是x轴下方不含x轴一点，抛物线C：上存在不同的两点A、B满足，，其中为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．若P点坐标为，时，求弦AB所在的直线方程；在的条件下，如果过A点的直线与抛物线C只有一个交点，过B点的直线与抛物线C也只有一个交点，求证：若和的斜率都存在，则与的交点N在直线PM上；若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．21.设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前n项和为，且满足．求数列、的通项公式；在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入n个数，，，，使，，，，成等差数列．求；是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：函数是R上的增函数，则对任意，，“”“”，故选：C．利用增函数的定义即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：因为，所以，则，复数z在复平面内所对应的点为，设，则，消去b得：．故z对应的点在抛物线上，故选：B．由已知求得，代入z化简得到，设，则，消去b即可得到点P的轨迹．本题点的轨迹方程，考查复数代数形式的乘除运算，考查曲线的参数方程，是中档题．3.答案：D解析：解：由两定点A，B满足，，则，则，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设，再设．由，得：．所以，解得由．所以等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．由两定点A，B满足，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及，表示，把不等式去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．4.答案：D解析：【分析】本题考查排列、组合的应用，是新定义的题型，关键是理解题目中“不同数字的种类”的定义，属于一般题．根据题意，依次分析、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，的排列共有种，其中当时，即排列中只有1个数字，有4种情况，当时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有种情况，若有2个数字相同，有种情况，此时有种情况，当时，即排列中有3个不同的数字，有种情况，当时，即排列有4个不同的数字，有种情况，则的平均值为．故选：D．5.答案：解析：解：，，．故答案为：．利用矩阵的乘积运算法则即可得出．本题考查了矩阵的乘积运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：解析：【分析】本题考查了二项式展开式定理的逆用问题，是基础题．【解答】解：．故答案为：．7.答案：解析：解：把两边平方得：，即，．故答案为：把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．8.答案：解析：解：双曲线的焦距为6，可得，解得．所以双曲线的虚轴长为：．故答案为：．通过双曲线的焦距，求出m，然后求解双曲线的虚轴长．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．9.答案：5解析：解：可得，等比数列的通项公式，则数列单调递减，，，故当时，数列的项与1最接近．故答案为：5．由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．10.答案：解析：解：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角，为，又由已知，，连接CB，则为AB与平面所成的角．设，则，，．直线AB与平面所成的角的正弦值，即AB与平面所成的角是．故答案为：．过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，可得为二面角的平面角，连接CB，则为AB与平面所成的角，在直角三角形ABC中即可求解．本题考查平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．11.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理化简已知可得结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：因为：所以由正弦定理得所以：，面积，而当且仅当时取等号，所以：，即面积的最大值为．故答案为．12.答案：解析：解：当时，，，由单调性可知，又，所求反函数是，．故答案为：，．结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．13.答案：解析：解：设，则，函数满足，函数关于直线对称，方程的所有实数根也是关于在数轴上对称分布，一旦在的左侧取到实数根，一定也能在的右侧取到相应实数根，且两根之和为1，方程恰好有7个解，即方程恰好有7个解，有一个根为，左右各对应3个根，这7个解的和为，故答案为：．构造函数，则函数满足，即函数关于直线对称，所以方程的7个解有一个根为，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和．本题主要考查了函数的对称性，是中档题．14.答案：143解析：解：由题意可知0．，又和b分别为10以内的非负整数，且，，当时，，3，9，此时n依次等于99，33，11；当时，n均不存在．综合知：11，，故A中所有元素的和为．故答案为：143．先由题意得到0．，再利用列举法求出满足题意的n即可．本题主要考查两位的循环纯小数的形式及用列举法求集合中的元素，属于基础题．15.答案：解析：解：若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则，，，解得．故答案为：．推导出，，，由此能求出p．本题考查常数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，故，由基本不等式可得，或，，由三角函数的有界性可得，故，即，此时，即，，故，解得，故，当时，xy的最小值，故答案为：配方可得，由基本不等式可得，或，进而可得，，由此可得xy的表达式，取可得最值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出是解决问题的关键，属中档题．17.答案：解：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，且，解得：厘米，表面积平方厘米，圆锥的高厘米，体积立方厘米．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，最高点到底面的距离为等边三角形的高，厘米．故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离厘米．解析：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．本题考查圆锥表面积与体积的求法，考查圆锥侧面积公式的应用，考查计算能力，是中档题．18.答案：解：由函数的图象可得，解得：．又由得：，．而得：，，，，综上：．显然，由，，得的单调递增区间为，，由，得：对称中心是，．解析：由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，可得函数的解析式．由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数的单调递增区间及对称中心．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．19.答案：解：可取，则对任意，存在，使得成立，分说明：可取任意正数，则分是“依附函数”，分对于任意正数，取，则，分此时关于的方程无解，不是“依附函数”分证明：必要性：反证法假设，的值域为，存在定义域内的，使得，分对任意正数，关于的方程无解，即不是依附函数，矛盾，分充分性：假设，取，分则对定义域内的每一个值，由，可得，而的值域为，存在定义域内的，使得，即成立，是“依附函数”分解析：根据“依附函数”的定义直接判断即可；从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．本题以新定义为载体，旨在考查学生的逻辑推理能力，以及接受新知识运用新知识的能力，考查创新意识及应用意识，属于中档题．20.答案：解：设，，由，，可得，，由D点在C上可得：，化简得：，同理可得：，、B两点不同，不妨设，，弦AB所在的直线方程为．证明：由可知，，，设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，：，：，解方程组得：交点，而直线PM的方程为，得证．证明：设，，，由，得，代入，化简得：，同理可得：，显然，、是方程的两个不同的根，，，，即直线PM的方程为，，，，，线段PQ与QM的比为定值．解析：设，，求出D、E坐标，设，，然后判断求解弦AB所在的直线方程．设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，求出交点坐标，然后推出直线PM的方程即可．设，设出A、B坐标，由，求出，代入，说明、是方程的两个不同的根，利用韦达定理，求出P、Q坐标，然后求解线段比例即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，是难题．21.答案：解：设数列的公差为d，，则由，得，，，，将代入上式，得，，，，．由，当时，，，得，，，又，，是首项为，公比为的等比数列，，在和之间插入n个数，，，，，，，，成等差数列，设公差为，，则，，，则，，得，．，当时，，当时，，当时，，下证，当时，有，即证，设，，则，在上单调递增，故时，，，时，m不是整数，所有的正整数对为及．解析：设数列的公差为d，，利用等差数列的通项公式求出，从而再由，当时，，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出．在和之间插入n个数，，，，推导出，从而，进而，由此利用错位相沽法能求出．，当时，，当时，，当时，，再证明当时，，由此能求出所有的正整数对．本题考查数列的通项公式、前n项和、整数对的求法，考查等差数列、等比数列的性质、错位相减求和法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(7月份)一、单项选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “sinα=cosα”是“α=π4+2kπ,(k ∈Z)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，A ，B 为抛物线上两个不同的点，满足|AF|+|BF|=8，且线段AB 的中点坐标为(3,3)，则p =( )A. 12B. 2C. 4D. 83. 参数方程{x =t +1,y =2−t(t ≥1)表示的曲线为直线．( ) A. √ B. ×4. 在已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1,a 2=2,且a n+1−a n =a n −a n−1(n ≥2)，记T n =1S 1+1S 2+⋯1Sn，则T 2018= ( )A. 40342018B. 20172018C. 40362019D. 20182019二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={y|y =x 2−1,x ∈R}，B ={y|y =x 2+1,x ∈R}，则A ∩B =______．6. 函数f (x )=sin4x −√3cos4x 的最小正周期是_____________．7. 抛物线y =px 2经过点(1,4)，则抛物线的准线方程为______．8. 已知∣∣∣x −112∣∣∣=3，则x =______．9. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y −2≤02x −y −2≥0，则z =y+1x+1的最小值为______．10. 设(1+2x)n 展开式中二项式系数之和为a n ，各项系数之和为b n ，则n →∞lima n −bn a n+b n=______．11. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA =PC =4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为______．12.从3名骨科医生、4名脑外科医生和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是____________.(用数字作答)13.已知函数f(x)=x|x−2|在[0,a]上的值域为[0,1]，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f(x)=x2−2x，若数列{f(a n)}为递增数列，且f(a2)=0，则a1的取值范围为________．15.数列{a n}共有12项，其中a1=0，a5=−2，a12=3，且|a k+1−a k|=1(k=1,2，3，…11)，则满足这种条件的不同数列的个数为______ ．16.已知C，D是椭圆x24+y2=1上的两个动点，且点M(0,2).若MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的取值范围为_________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在底面为正方形的四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中点，(Ⅰ)求证：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，求点E到平面SDF的距离．18.已知AB=2，梯形ABCD内接于以AB为直径的圆O，∠AOD=θ，(1)用θ表示出梯形ABCD的面积；(2)求出面积的最大值，并指出θ为何值时取到．19. 对于函数y =f(x)，若在定义域内存在实数x 0，使得f(x 0+1)=f(x 0)+f(1)成立，称x 0函数的“漂移点”．(1)证明函数f(x)=2x “漂移点”，并求出“漂移点”； (2)若函数f(x)=ln(a⋅2x x 2)在(0,+∞)上有“漂移点”，求实数a 的取值范围．20. 已知点M (2√2,2√33)在椭圆G ：x 2a +y 2b =1(a > b >0)上，且点M 到两焦点距离之和为4√3．(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P(−3,2)，求△PAB 的面积．21.已知命题p：方程x2+y2−4x+2my+2m2−m+2=0表示圆；命题q：方程x2m−1+y25−a=1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由“sinα=cosα”得：α=kπ+π4，k ∈Z ， 故sinα=cosα是“α=π4+2kπ,(k ∈Z)”的必要不充分条件， 故选：B ．根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题．2.答案：B解析：求得抛物线的焦点坐标和准线方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由抛物线的定义和中点坐标公式，解方程可得p 的值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查中点坐标公式和方程思想，以及运算能力，属于基础题． 解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(p2,0)，准线方程为x =−p2， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得|AF|=x 1+p2，|BF|=x 2+p2， |AF|+|BF|=x 1+x 2+p =8， 又线段AB 的中点坐标为(3,3)， 可得x 1+x 2=6， 即6+p =8，解得p =2． 故选：B ．3.答案：B解析：本题主要考查参数方程与直角方程之间的关系，属于基础题． 解：参数方程{x =t +1,y =2−t (t ≥1)表示的曲线为射线，故错误． 故选B ．4.答案：C解析：本题考查等差数列的判定及通项公式，同时等差的求和及裂项相法求和，属于中档题，由已知{a n}为等差数列，求出S n，然后裂项相消法求和即可．解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+1−a n=a n−a n−1(n≥2)，n=1时a1=1，也满足，则数列{a n}为等差数列，设公差为d，则：d=a2−a1=2−1=1，则a n=1+n−1=n，n=1时a1=1，也满足上式，故：S n=1+2+⋯+n=n(n+1)2，则：1S n =2⋅(1n−1n+1)，所以：T n=1S1+1S2+⋯+1S n，=2⋅(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)，=2⋅(1−1n+1)，=2nn+1．所以：T2018=2×20182018+1=40362019．故选C．5.答案：{y|y≥1}解析：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．解：∵集合A={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，B={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}，∴A∩B={y|y≥1}．故答案为{y|y≥1}．6.答案：π2解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期．解：函数，∴f(x)的最小正周期是T=2π4=π2．故答案为π2．7.答案：y=−116解析：解：由抛物线过(1,4)，代入抛物线的方程可得：4=p⋅12，解得p=4，所以抛物线的标准方程为：x2=14y，所以抛物线的焦点坐标为：(0,116)，准线方程为y=−116，故答案为：y=−116由题意将点的坐标代入抛物线的方程可得p的值，进而求出准线方程．本题考查抛物线的性质，属于基础题8.答案：1解析：解：∵∣∣∣x−112∣∣∣=3，∴2x+1=3，解得x=1．故答案为：1．利用二阶行列式展开式直接求解．本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：13解析：解：实数x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y −2≤02x −y −2≥0的可行域如图：则z =y+1x+1几何意义是可行域内的点与P(−1,−1)连线的斜率，由图形可知PA 的斜率最小， 由{x +y −2=0x −y −2=0，解得A(2,0)， 则z =y+1x+1的最小值为：13． 故答案为：13．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10.答案：−1解析：解：∵(1+2x)n 展开式中二项式系数之和为a n ，各项系数之和为b n ， 则2n =a n ，b n =3n ， ∴n →∞lima n −b nan +b n=n →∞lim2n −3n2n +3n =n →∞lim(23)n −1(23)n +1=0−10+1=−1，故答案为−1．则由题意可得2n=a n ，b n =3n，n →∞lima n −b na n +b n=n →∞lim2n −3n2n +3n =n →∞lim(23)n −1(23)n +1，再利用数列极限的运算法则求得结果．本题主要考查二项式系数系数和、二项式的系数和的区别，求数列的极限，数列极限的运算法则，属于中档题．11.答案：√24解析：解：取AC 的中点O ，连结OP ，OB ， ∵PA =PC ，∴AC ⊥OP ，∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，∴OP ⊥平面ABC ，又∵AB =BC ，∴AC ⊥OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵△PAC 是等腰直角三角形，PA =PC =4，△ABC 为直角三角形， ∴A(2√2,0，0)，C(−2√2,0，0)，P(0,0，2√2)，D(√2,√6,0)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√2,0，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√6,−2√2)， ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=−√24． ∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为√24．故答案为：√24．取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值．本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．12.答案：590解析：本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．解：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C 33C 41C 51=20种， 1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C 31C 43C 51=60种， 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C 31C 41C 53=120种， 2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C 32C 42C 51=90种， 1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C 31C 42C 52=180种， 2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C 32C 41C 52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种 故答案为590．13.答案：[1,1+√2]解析：解：f(x)=x|x −2|={x 2−2x,x ≥2−x 2+2x,x <2，其图象如图：由x 2−2x =1，解得：x =1−√2(舍)，或x =1+√2．∴要使函数f(x)=x|x −2|在[0,a]上的值域为[0,1]，则实数a 的取值范围是：[1,1+√2]． 故答案为：[1,1+√2]．写出分段函数解析式，画出图象，数形结合得答案．本题考查函数值域的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：(0,2)解析：本题考查了数列的单调性，属于基础题． 已知f(a 2)=0，则f(a 1)<0，解不等式即可． 解：数列{f(a n )}为递增数列，且f(a 2)=0，则f(a 1)=a 12−2a 1<0，解得0<a 1<2．所以答案为(0,2)．15.答案：28解析：解：∵|a k+1−a k |=1， ∴a k+1−a k =1或a k+1−a k =−1， 即数列{a n }从前往后依次增加或减小1， ∵a 1=0，a 5=−2，a 12=3，∴从a 1到a 5有3次减小1，1次增加1，故有C 41=4种， 从a 5到a 12，6次增加1，1次减小1，故有C 71种，∴满足这种条件的不同数列的个数为4×7=28． 故答案为：28．根据题意，分别确定从a 1到a 5，a 5到a 12满足条件的个数，然后利用组合知识，即可得到结论． 本题考查数列知识，考查组合知识的运用，正确利用|a k+1−a k |=1，是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．16.答案：[13,3]解析：设直线CD 的方程，代入椭圆方程，由△≥0，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得λ的取值范围．本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．解：假设CD 的斜率存在时，设过点M(0,2)得直线方程为y =kx +2， 联立方程{y =kx +2x 2+4y 2=4，整理可得(1+4k 2)x 2+16kx +12=0， 设C(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则△=(16k)2−4×(1+4k 2)×12≥0，整理得k 2≥34， x 1+x 2=−16k1+k 2，x 1x 2=121+4k 2， 由MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得，x 1=λx 2代入到(∗)式整理可得(1+λ)2λ=64k 23(1+4k 2)=643(4+1k 2)，由k 2≥34，可得4≤(1+λ)2λ≤163，解可得13≤λ≤3且λ≠1，当M 和N 点重合时，λ=1，当斜率不存在时，则D(0,1)，C(0,−1)，或D(0,1)，C(0,−1)，则λ=13或λ=3 ∴实数λ的取值范围[13,3]． 故答案为[13,3]．17.答案：证明：(Ⅰ)取SD 的中点Q ，连接QF 、QE ，由于点E为侧棱AS的中点，Q为SD的中点，故在△DAS中，QE=//12AD，由于F是BC的中点故BF=//12AD，则QE=//BF，故BFQE为平行四边形，故BE//QF，又QF⊂平面SDF，BE⊄平面SDF，故BE//平面SDF；解：(Ⅱ)由DS⊥面ABCD，又AB⊂面ABCD，故D S⊥AB又AB⊥AD，AD∩DS=D，AD，DS⊂面ADS，故AB⊥面ADS，又BC//面ADS，故F到面ADS的距离为AB的长，即为5．设点E到平面SDF的距离为h．又V F−SED=V E-SDF，故53×12×12SD×5=13ℎ×12SD×5√52，解得ℎ=√5，所以点E到平面SDF的距离ℎ=√5．解析：本题考查线面平行的判定，考查等体积方法求点到平面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)取SD 的中点Q ，连接QF 、QE ，证明BFQE 为平行四边形，可得BE//QF ，即可证明：BE//平面SDF ；(Ⅱ)若AB =5，利用等体积方法求点E 到平面SDF 的距离．18.答案：解：(1)由点D 作，垂足为M ，则ℎ=DM =sin θ,OM =cos θ,CD =2OM =2cos θ， 故S =12(2cosθ+2)sinθ=sinθcosθ+sinθ,θ∈(0,π2)． (2)S′=cos θcos θ−sin θsin θ+cos θ=2cos 2θ+cos θ−1，解2cos 2θ+cosθ−1>0得cosθ>12，又y =cos x 在(0,π2)上单调递减 故θ<π3，故S(θ)在(0,π3)上单调递增，在(π3,π2)上单调递减，所以x =π3时，S(θ)取到最大值为S(θ)max =S(π3)=3√34．解析：本题主要考查三角函数模型，利用导数研究函数的最值，属于基础题． (1)用θ分别表示梯形ABCD 的高和下底，代入梯形面积公式，即可求解．(2)由(1)所得函数，求其导函数，判断函数S(θ)在(0,π2)上的单调性，即可求出最值．19.答案：解：(1)根据“漂移点”定义得：2x+1=2x +2，2⋅2x =2x +2，2x =2，方程有解x =1，所以1是函数f(x)=2x 的“漂移点”． (2)根据“漂移点”定义可得：方程f(x +1)=f(x)+f(1)在x ∈(0,+∞)有解． 即有ln(a⋅2x+1(x+1)2)=ln a⋅2x x 2+ln2a 且a >0，所以a⋅2x+1(x+1)2=a⋅2x x 2×2a ，整理得：(a −1)x 2+2ax +a =0在(0,+∞)有解且a >0， ①当a =1时，2x +1=0，x =−12，不满足有条件，舍去． ②当a >1时，方程是关于x 的一元二次方程， 根据韦达定理可得{x 1+x 2=−2aa−1<0x 1x 2=a a−1>0，则有两负根，不满足条件，舍去．③当0<a <1时，该方程是关于x 的一元二次方程，若有根，根据韦达定理可得x 1+x 2=−2aa−1>0，则有正根， 所以只需要满足△≥0，即4a 2−4(a −1)a ≥0，解得a ∈(0,1)， 综上所述：a ∈(0,1)．解析：本题考查函数是否有“飘移点”的判断与求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质、运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、是中档题． (1)根据“漂移点”定义得：2x+1=2x +2，即可解出方程的根，即“漂移点”．(2)根据题意方程f(x +1)=f(x)+f(1)在x ∈(0,+∞)有解，整理得：(a −1)x 2+2ax +a =0在(0,+∞)有解且a >0，分三种情况①当a =1时，②当a >1时，③当0<a <1时，进行讨论，即可求出实数a 的取值范围．20.答案：解：(1)由题意2a =4√3，∴a =2√3， 又点M(2√2,2√33)在椭圆G 上，∴23+43b 2=1，解得b 2=4， ∴椭圆G 的方程为：x 212+y 24=1；(2)设直线l 的方程为y =x +m ，由{y =x +m x 212+y 24=1，得4x 2+6mx +3m 2−12=0.①，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E(x 0,y 0)， 则x 0=x 1+x 22=−3m 4，y 0=x 0+m =m4．因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ， 故PE 的斜率k =2−m4−3+3m 4=−1，解得m =2，此时方程①为4x 2+12x =0，解得x 1=−3，x 2=0， 所以y 1=−1，y 2=2.所以|AB|=3√2．此时，点P(−3,2)到直线AB ：x −y +2=0的距离d =√2=3√22，所以△PAB 的面积S =12|AB|⋅d =92．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)由2a =4√3，可得a =2√3.又点M(2√2,2√33)在椭圆G 上，可得23+43b 2=1，解得b 2，即可得出．(2)设直线l 的方程为y =x +m ，与椭圆方程联立得4x 2+6mx +3m 2−12=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E(x 0,y 0)，利用中档坐标公式可得E 坐标．因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.解得m.利用两点之间的距离公式可得|AB|.点P(−3,2)到直线AB ：x −y +2=0的距离d ，可得△PAB 的面积S =12|AB|⋅d ．21.答案：解：命题P ：方程x 2+y 2−4x +2my +2m 2−m +2=0即(x −2)2+(y +m)2=−m 2+m +2表示圆，∴−m 2+m +2>0，解得−1<m <2， 命题q ：方程x 2m−1+y 25−a =1表示焦点在y 轴上的椭圆． ∴5−a >m −1>0，解得1<m <6−a ，(a <5)． 若p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒p ， ∴1<6−a ≤2，解得4≤a <5． ∴实数a 的取值范围是4≤a <5．解析：根据椭圆的方程求出命题q 的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行转化求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据圆和椭圆的特点求出命题的等价条件是解决本题的关键，是中档题．。

专题一 压轴选择填空题第4关 以圆或隐圆为背景的选择填空题【名师综述】直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．【典例解剖】类型一 以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系典例1．（2020上海控江中学高三月考）设三角形ABC 是位于平面直角坐标系xOy 的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P 满足：222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++，已知动点P 的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C 【解析】【分析】可设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++列出关系式，由P 的轨迹为圆，求出圆心坐标即可【详解】设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++得：222222222222112233112233()()()()()()x x y y x x y y x x y y x y x y x y -+-+-+-+-+-=+++++ 展开整理，得22123123332()2()0x y x x x x y y y y +-++-++=．∴2222123123123123111[()][()][()()]339x x x x y y y y x x x y y y -+++-++=+++++． ∴圆的圆心坐标为1231(()3x x x ++，1231())3y y y ++，为三角形ABC 的重心，故选C ．【名师点睛】本题考查直线与圆的综合应用，圆的轨迹方程的求法，重心坐标公式的应用，计算量偏大，化简时需进行整体代换，简化运算难度，属于中档题． 【举一反三】（2020上海洋泾中学高三月考）已知定圆C ：()2245x y -+=，其圆心为()4,0C ，点A 为圆C 所在平面内一定点，点P 为圆C 上一个动点，若线段PA 的中垂线与直线PC 交于点Q ，则动点Q 的轨迹可能为______．（写出所有正确的序号）（1）椭圆；（2）双曲线；（3）抛物线；（4）圆；（5）直线；（6）一个点． 【答案】（1）（2）（4）（6） 【解析】（1）若点A 在圆C 外部，=QA QC PC AC ->Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的双曲线；（2）若点A 在圆上，则C Q ，点重合，如图，点Q 点的轨迹为点C ；（3）若点A 在圆内部且不为圆心，则QA QC PC +==AC <Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的椭圆；（4）若点A 在圆内部且为圆心，,A C 重合时，Q 为半径PA 的中点，所以点Q 是以C 为半径的圆．综上所述，Q 点的轨迹可能是（1）（2）（4）（6）四种情况 答案为：（1）（2）（4）（6）类型二 以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2．（2020上海师大附中期中）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r取得最大值7，故选B ．考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键． 【举一反三】1．（2020上海七宝中学高三月考）已知a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c v 在满足()()340a c b c +-=v v v v，均能使c b k -≤v v 成立，则k 的最小值是_________．【答案】52【解析】【分析】根据题意，()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v===，利用()()340a c b c +⋅-=r r r r ，求得,x y 的关系，利用圆的几何性质，再求出c b -vv 的最大值，从而求出k 的最小值．【详解】因为a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设 ()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v ===， ()33,a c x y ∴+=+r r ，()4,4b c x y -=--r r，又()()340a c b c +⋅-=r r r r ，()()340x x y y ∴-++-=，即()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 它表示的圆心在3,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为52的圆，c b -v v 表示圆上的点到(0,1)B 的距离，圆心M 到点(0,1)B 的距离为d =c b ∴-r r 的最大值为52=，要使c b k -≤r r 恒成立，52k ≥，即k 的最小值是52，故答案为52．【名师点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是解题的关键． 类型三 利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系典例3．（2020上海青浦中学月考）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +． 【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ， 所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C ． 【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 【举一反三】（2020上海徐汇区一模）若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞UD ．(25,9)(11,)--+∞U【答案】D【解析】化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25+k ，则k ＞﹣25，圆心坐标为（3，4）， 圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则|C 1C 2|1或|C 1C 2|1，即51或51，解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11． ∴实数k 的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞），故选D ．【精选名校模拟】1．（2020上海七宝中学月考）已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=，ω=的取值范围是（ ）A ．B ．[1,2]C ．(0,2]D ．2【答案】B 【解析】【分析】构造直线0x +=，过圆上一点P 作直线的垂线PM 2sin POM =∠，求出sin POM ∠的范围即可得出．【详解】设(,)P x y 为圆22(2)1x y +-=上的任意一点，则P 到直线0x +=的距离PM =P 到原点的距离OP =22sin PMPOM OP==∠． 设圆22(2)1x y +-=与直线y kx =1=，解得k =，POM ∴∠的最小值为30︒，最大值为90︒，1sin 12POM ∴∠剟，12sin 2POM ∴∠剟，故选B ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，解题关键是数形结合思想的应用，能阅读出ω=2．（2020上海南模中学高三月考）设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ）A ．相离．B ．相切．C ．相交．D ．随m 的变化而变化．【答案】D 【解析】22212121,ABx x k x x x x -==+∴-Q 直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-． 即1212()y x x x x x =+-，所以直线AB的方程为22,y mx m m d =-+-===因为2240,4()0,03m m m m ∆>∴-->∴<<， 所以221999225,(),(,),()()161616256t g t t t t g t g m =>∴=+∈+∞>=令，所以1615d =<=，所以直线AB 与圆可能相交，也可能相切，也可能相离． 3．（2020上海一模冲刺练）若对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=围成的正多边形的最小面积是（ ）A．B ．4C．D ．不确定【答案】D 【解析】【分析】先根据点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=的距离为1，确定直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线，再取特殊直线运算否定ABC 即得选项． 【详解】由对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=1=，即此直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线， 当三条切线如图所示时，则正三角形ABC 的面积11233S =⨯⨯=， 即存在直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=，即选项A ，B ，C 错误，故选D ．4．（2020上海交大附中月考）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C 【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围．【详解】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔， 所以x 可为的整数有0，-1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)六个整点，结论①正确．由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都．结论②正确．如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误，故选C ．5．（2020上海浦东复旦附中高三月考）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 240x y +-= 相切，则圆 C 面积的最小值为___ ． 【答案】45π【解析】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=． 6．（2020上海二中高三期中考试）若定义域均为D 的三个函数f （x ），g （x ），h （x ）满足条件：对任意x ∈D ，点（x ，g （x ）与点（x ，h （x ）都关于点（x ，f （x ）对称，则称h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”．已知g （x ）f （x ）=2x+b ，h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”，且h （x ）≥g （x ）恒成立，则实数b 的取值范围是_____．【答案】)+∞ 【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h （x ）≥g （x ）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x ∈D ，点（x ，g （x ）） 与点（x ，h （x ））都关于点（x ，f （x ））对称，∴g （x ）+h （x ）=2f （x ）， ∵h （x ）≥g （x ）恒成立，∴2f （x ）=g （x ）+h （x ）≥g （x ）+g （x ）=2g （x ），即f （x ）≥g （x ）恒成立， 作出g （x ）和f （x ）的图象，则g （x ）在直线f （x ）的下方或重合， 则直线f （x ）的截距b ＞0，且原点到直线y=2x+b 的距离d≥1，1=≥⇒b ≤，即实数b 的取值范围是+∞），故答案为：)+∞．7．（2020上海育才中学高三月考）已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-．设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为________【答案】20． 【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得12212332T x y x y x y x y =-+-12212332222OMN OPN OMNP x y x y x y x y S S S ∆∆≤-+-=+=四边形，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出T 的最大值．【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22125x y -++=，圆心坐标为()1,2-122123321221233222OMN OPN T x y x y x y x y x y x y x y x y S S ∆∆∴=-+-≤-+-=+2OMNP S =四边形，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以当四边形OMNP 为正方形时，T =所以2220T ≤⨯=，故答案为：20．8．（2020上海浦东新区高三期末）若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 【解析】【分析】将函数2y ax a =+()()2,()f x a x g x =+=像，观察图像得出实数a 的取值范围．【详解】设()()2,()f x a x g x =+=2y ax a =+存在零点等价于()()2,()f x a x g x =+=函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数()g x =a ==，所以()()2,()f x a x g x =+=03a ≤≤，故答案为：．9．（2020永安三中高三期中考试）若曲线y =y x b =+始终有交点，则b 的取值范围是_______．【答案】[-【解析】由题设可知x b +=b x =有解，令借cos ,[0,]x θθπ=∈，则sin θ=，所以sin cos )4b πθθθ=-=-，由于0θπ≤≤，故3444πππθ-≤-≤，结合正弦函数的图像可知sin()124πθ-≤-≤，则)[4b πθ=-∈-，应填答案[-． 【名师点睛】解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程x b +=进而分离参数b x ，然后通过三角换元将其转化为求函数sin cos )4b πθθθ=-=-的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解．10．（2020上海四中高三期中考试）若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为________． 【答案】210x y --=【解析】因为(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，所以圆心坐标为()3,0，31201MN k -=-=-，MN 所在直线方程为()121y x -=-，化简为210x y --=，故答案为210x y --=． 11．（2020上海华师大二附中高三月考）设1234,,,a a a a R ∈，且14231a a a a -=，则代数式222212341324a a a a a a a a +++++的最小值为______．【解析】【分析】由222212341324a a a a a a a a +++++结构特征，构造向量12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r 的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r ，转化为求2||||a b a b +⋅r r r r的最小值，由14231a a a a -=，可得1||||,sin a b θ=r r cos sin a b θθ⋅=r r ，转化求2cos cos 2sin sin sin θθθθθ++=的最小值，即为(sin ,cos )M θθ与点(0,2)P -连线的斜率最小值，即可得结果．【详解】设12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r，sin θ===1||||||||a b a b ==r r ， 1cos ||||,sin sin a b a b θθθ=⋅=r r r r ，2||||a b a b +⋅r r r r 2cos cos 2sin sin sin θθθθθ+=+= ① 设(sin ,cos )M θθ，（0θπ<<），(0,2)P -，①式表示点(0,2)P -与单位圆（y 轴右侧）的点M 连线斜率，当PM12．（2020上海建平中学高三期中）已知a v 、b v 、2c v是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v的最小值是________【答案】【解析】【分析】设2(,)c e x y ==r r ，(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+r r r r ，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值． 【详解】令2c e =r r，设(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，e r 对应的点C 在单位圆上，所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值．因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=r r r r r r ，所以|2||2|a e a e +=+r r r r ，所以|64||2|a e a b e ++-=+r r r rr ，表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和，过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y -+=，原点到直线220x y -+=1=<，所以与单位圆相交，所以|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即13．（2020上海高三模拟考试）已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈，当方程有实数根时，则实数t 的取值范围________． 【答案】[4,0]- 【解析】【分析】根据方程有实数根，再结合复数相等，建立条件关系可得点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，再结合直线t y x =-与圆的位置关系即可得解．【详解】因为关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈有实数根，得222()0t t xy t x y i +++++=，由复数相等的充要条件可得：2220t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩，消t 得22(1)(1)2x y -++=，则所求点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，直线t y x =-≤，解得40t -≤≤，故答案为[4,0]-．14．（2020上海南模中学高三期中）在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________．【答案】【解析】 【分析】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值． 【详解】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短，∴|AB |＝=故答案为：15．（2020上海青浦中学高三月考）已知AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭则四边形ABCD 的面积n S 的极限值为___________．【答案】32 【解析】 【分析】由题意可得四边形ABCD 的面积n S 的表达式：2n AC BDS ⨯=，由于点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心，且此时四边形面积取到极限值，此时几何图形形状可求得面积的极限 【详解】由题可知，AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由2n AC BDS ⨯=，由点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心()1,2，此时AC 、BD 都是直径，故n S 的极限值为22r ，4r =，n S 的极限值为32，圆内接四边形恰好为正方形 故答案为：32．16．（2020上海建平中学高三月考）在ABC ∆中，2BC =，45A ∠=︒，B Ð为锐角，点O 是ABC ∆外接圆的圆心，则OA BC ⋅u u u v u u u v的取值范围是______．【答案】(2,- 【解析】【分析】建立适当的直角坐标系，写出各点的坐标，进一步利用向量的数量积，将问题转化成求三角函数的值域问题，从而得到OA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围．【详解】如图所示：||2BC =，90BOC ∠=°，45CAB ∠=︒，由于B Ð为锐角，则点A 只能在左半圆上，设AOB θ∠=，则)A θθ3()22ππθ<<，B ，C ，所以OA θ=u u u r )θ，(BC =u u u r ，2cos 2sin )4OA BC πθθθ⋅=-+=-u u u r u u u r ，因为322ππθ<<，所以5444πππθ<-<，则sin()124πθ-<-≤，所以2)4πθ-<-≤故答案为：(2,-．17．（2020上海松江区一模）若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________【答案】- 【解析】【分析】先由题意，根据基本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈t a b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果． 【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ， 又221a b +=，所以22212++=+a b ab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a b c ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b，因为+===a b ，当且仅当a b =时取等号．所以(=+∈t a b ， 又易知函数3=-y tt在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y tt，因此()()2233==≥=-+--+ca b ta b t即实数c的最小值为-，故答案为：-18．（2020江苏盐城中学月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,2A，E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=，若圆C上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，则m的取值范围为________．【答案】1⎤-⎦【解析】取EF中点为M，连接AM，则2+=u u u r u u u r u u u u rAE AF AM，又圆()()22:114C x y-+-=上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，所以2=u u u u r u u u rAM mCP，因此22==u u u u r u u u rAM m CP m，即=u u u u rm AM；因为E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=1==CM，设(,)M x y1=，即()()22111x y-+-=即为动点M的轨迹；所以AMu u u u r表示圆()()22111x y-+-=上的点与定点()2,2A之间的距离，因此11-≤≤+u u u urAC AM AC，11≤≤u uu u rAM11≤≤m，故答案为：1⎤⎦．。

2020年高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）.1．计算矩阵的乘积：（ab ）(3c00)= ．2．C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n = ．3．已知sin θ2+cos θ2=2√33，则sin θ的值等于 ．4．若双曲线x 24−y 2m=1的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为 ．5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 项．6．如图，二面角α﹣l ﹣β的大小是π3，线段AB ⫋α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为π6，则AB 与平面β所成的角是 （用反三角函数表示）．7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为 ．8．已知函数f （x ）＝lg （x +1），g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g （x ）＝f （x ），则函数y ＝g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数是y ＝ ．9．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的函数，方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，则这7个解的和为 ．10．设0.a ⋅b ⋅是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0，若集合A ={n|1n=0.a ⋅b ⋅，n ∈N ∗}，则A 中所有元素的和为11．已知数列{a n }满足a n+1={3a n +1a n 为奇数a n 2a n 为偶数（n ∈N *），a 1=2k ⋅7（k 是一个已知的正整数），若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则p ＝ 12．若实数x ，y 满足2cos 2（x +y ﹣1）=(x+1)2+(y−1)2−2xy x−y+1，则xy 的最小值为 ．二.选择题13．已知函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”是“f （x 1）＜f（x 2）”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．非充分非必要14．已知z 1≠﹣1，z 1−1z 1+1=bi （b ∈R ），z =4(z 1+1)2−1，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|=OA →•OB →=2，则点集{P |OP →=λOA →+μOB →，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4√2D ．4√316．已知a 1，a 2，a 3，a 4∈{1，2，3，4}，N （a 1，a 2，a 3，a 4）为a 1，a 2，a 3，a 4中不同数字的种类，如N （1，1，2，3）＝3，N （1，2，2，1）＝2，求所有的256个（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列所得的N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为（ ） A ．8732B ．114C ．17764D ．17564三.解答题17．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．18．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示． （1）求出函数f （x ）的解析式；（2）若将函数f （x ）的图象向右移动π3个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数y ＝g （x ）的图象，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．19．若函数y＝f（x）满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在x2，使f（x1）f（x2）＝λ成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①f（x）＝2x，②g（x）＝log2x是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数y＝h（x）的值域为[m，n]，求证：“y＝h（x）是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m，n]”．20．如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C：y＝x2上存在不同的两点A、B满足PD→=λDA→，PE→=λEB→，其中λ为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．（1）若P点坐标为（1，﹣2），λ＝3时，求弦AB所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A点的直线l1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线l2与抛物线C也只有一个交点，求证：若l1和l2的斜率都存在，则l1与l2的交点N在直线PM上；（3）若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．21．设数列{a n}（n∈N*）是公差不为零的等差数列，满足a3+a6＝a9，a5+a72＝6a9；数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，且满足4S n+2b n＝3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）在b1和b2之间插入1个数x11，使b1，x11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21，x22，使b2，x21，x22，b3成等差数列；……；在b n和b n+1之间插入n个数x n1，x n2，…，x nn，使b n，x n1，x n2，…x nn，b n+1成等差数列．（i）求T n＝x11+x21+x22+…+x n1+x n2+…+x nn；（ii）是否存在正整数m，n，使T n=a m+12a m成立？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．参考答案一.填空题1．计算矩阵的乘积：（ab ）(3c00)= （3aac ） ．【分析】利用矩阵的乘积运算法则即可得出． 解：∵3a +b ×0＝3a ，ac +b ×0＝ac ， ∴（ab ）(3c00)=（3aac ）．故答案为：（3aac ）．2．C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n = 4n ．【分析】根据二项式展开式定理，逆用即可．解：C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n=C n 0+C n 1•3+C n 2•32+⋯⋯+C n n •3n＝（1+3）n ＝4n ． 故答案为：4n ．3．已知sin θ2+cos θ2=2√33，则sin θ的值等于 13．【分析】把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出sin θ的值．解：把sin θ2+cos θ2=2√33两边平方得：（sin θ2+cos θ2）2＝（2√33）2， 即sin 2θ2+2sin θ2cos θ2+cos2θ2=1+sin θ=43，∴sin θ=13． 故答案为：134．若双曲线x 24−y 2m=1的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为 2√5 ．【分析】通过双曲线的焦距，求出m ，然后求解双曲线的虚轴长． 解：双曲线x 24−y 2m=1的焦距为6，可得√4+m =3，解得m =√5． 所以双曲线的虚轴长为：2√5． 故答案为：2√5．5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 5 项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：可得，等比数列的通项公式a n ＝21×(12)n−1，则数列单调递减，a 5﹣1=2116−1=516，1﹣a 6＝1−2132=1132， 故当n ＝5时，数列的项与1最接近． 故答案为：5．6．如图，二面角α﹣l ﹣β的大小是π3，线段AB ⫋α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为π6，则AB 与平面β所成的角是 arcsin √34 （用反三角函数表示）．【分析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，可得∠ADC 为二面角α﹣l ﹣β的平面角，连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角，在直角三角形ABC 中即可求解． 解：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ， 在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ， 连接AD ，由三垂线定理可知AD ⊥l ， 故∠ADC 为二面角α﹣l ﹣β的平面角，为π3，又由已知，∠ABD =π6，连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角． 设AD ＝2，则AC =√3，CD ＝1，AB =ADsin π6=4．∴直线AB 与平面β所成的角的正弦值sin ∠ABC =AC AB =√34，即AB 与平面β所成的角是arcsin √34．故答案为：arcsin√34．7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为 √3 ．【分析】由正弦定理化简已知可得2a ﹣b 2＝c 2﹣bc ，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求bc ≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解． 解：因为：（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ⇒（2+b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ⇒2a ﹣2b +ab ﹣b 2＝c 2﹣bc ， 又因为：a ＝2，所以：a 2−b 2=c 2−bc ⇒b 2+c 2−a 2=bc ⇒cosA =b 2+c 2−a 22bc =12⇒A =π3，△ABC 面积S =12bcsinA =√34bc ，而b 2+c 2﹣a 2＝bc ⇒b 2+c 2﹣bc ＝a 2 ⇒b 2+c 2﹣bc ＝4 ⇒bc ≤4所以：S =12bcsinA =√34bc ≤√3，即△ABC 面积的最大值为√3．故答案为：√3．8．已知函数f （x ）＝lg （x +1），g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g （x ）＝f （x ），则函数y ＝g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数是y ＝ 3﹣10x （x ∈[0，lg 2]） ． 【分析】结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解． 解：当x ∈[1，2]时，2﹣x ∈[0，1]，∴y ＝g （x ）＝g （x ﹣2）＝g （2﹣x ）＝f （2﹣x ）＝lg （3﹣x ）， 由单调性可知y ∈[0，lg 2]， 又∵x ＝3﹣10y ，∴所求反函数是y ＝3﹣10x ，x ∈[0，lg 2]． 故答案为：3﹣10x ，x ∈[0，lg 2]．9．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的函数，方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，则这7个解的和为 3.5 ．【分析】构造函数g （x ）＝f （2019+x ）×f （2020﹣x ），则函数g （x ）满足g （1﹣x ）＝g （x ），即函数g （x ）关于直线x =12对称，所以方程g （x ）＝0的7个解有一个根为12，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和．解：设g （x ）＝f （2019+x ）×f （2020﹣x ）， 则g （1﹣x ）＝f （2020﹣x ）×f （2019+x ）， ∴函数g （x ）满足g （1﹣x ）＝g （x ）， ∴函数g （x ）关于直线x =12对称，∴方程g （x ）＝0的所有实数根也是关于12在数轴上对称分布，∴一旦在12的左侧取到实数根，一定也能在12的右侧取到相应实数根，且两根之和为1，∵方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，即方程g （x ）＝0恰好有7个解， ∴有一个根为12，左右各对应3个根，∴这7个解的和为1+1+1+12=3.5， 故答案为：3.5．10．设0.a ⋅b ⋅是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0，若集合A ={n|1n=0.a ⋅b ⋅，n ∈N ∗}，则A 中所有元素的和为 143【分析】先由题意得到0.a ⋅b ⋅=10a+b99⇒n =9910a+b ，再利用列举法求出满足题意的n 即可．解：由题意可知0.a ⋅b ⋅=10a+b99，∴n =9910a+b ．又∵a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0，∴①当a ＝0时，b ＝1，3，9，此时n 依次等于99，33，11； ②当a ≠0时，n 均不存在．综合①②知：A ＝{99，11，33}，故A 中所有元素的和为99+11+33＝143． 故答案为：143．11．已知数列{a n }满足a n+1={3a n +1a n 为奇数a n 2a n 为偶数（n ∈N *），a 1=2k ⋅7（k 是一个已知的正整数），若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则p ＝ ﹣1 【分析】推导出a n ＝p ，a n +1＝3p +1，a n +2=3p+12=p ，由此能求出p ． 解：若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ， 则a n ＝p ，a n +1＝3p +1，a n +2=3p+12=p ， 解得p ＝﹣1． 故答案为：﹣1．12．若实数x ，y 满足2cos 2（x +y ﹣1）=(x+1)2+(y−1)2−2xy x−y+1，则xy 的最小值为 14． 【分析】配方可得2cos 2（x +y ﹣1）=(x−y+1)2+1x−y+1=（x ﹣y +1）+1x−y+1，由基本不等式可得（x +y +1）+1x−y+1≤2，或（x ﹣y +1）+1x−y+1≤−2，进而可得cos （x +y ﹣1）＝±1，x ＝y =kπ+12，由此可得xy 的表达式，取k ＝0可得最值． 解：∵2cos 2(x +y −1)=(x+1)2+(y−1)2−2xy x−y+1，∴2cos 2（x +y ﹣1）=x 2+2x+1+y 2−2y+1−2xyx−y+1∴2cos 2（x +y ﹣1）=x 2+y 2+2x−2y−2xy+1+1x−y+1，故2cos 2（x +y ﹣1）=(x−y+1)2+1x−y+1=（x ﹣y +1）+1x−y+1， 由基本不等式可得（x ﹣y +1）+1x−y+1≥2，或（x ﹣y +1）+1x−y+1≤−2， ∴2cos 2（x +y ﹣1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos 2（x +y ﹣1）＝2， 故cos 2（x +y ﹣1）＝1，即cos （x +y ﹣1）＝±1，此时x ﹣y +1＝1，即x ＝y ∴x +y ﹣1＝k π，k ∈Z ，故x +y ＝2x ＝k π+1，解得x =kπ+12， 故xy ＝x •x =(kπ+12)2，当k ＝0时，xy 的最小值14， 故答案为：14二.选择题13．已知函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”是“f （x 1）＜f （x 2）”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要【分析】利用增函数的定义即可判断出关系．解：函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”⇔“f （x 1）＜f （x 2）”， 故选：C ． 14．已知z 1≠﹣1，z 1−1z 1+1=bi （b ∈R ），z =4(z 1+1)2−1，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上【分析】由已知求得z 1，代入z 化简得到z ＝﹣b 2﹣2bi ，设P （x ，y ），则{x =−b 2y =−2b ，消去b 即可得到点P 的轨迹． 解：因为z 1−1z 1+1=bi ，所以z 1=1+bi1−bi， 则z =4(z 1+1)2−1=4(1+bi 1−bi+1)2−1＝（1﹣bi ）2﹣1＝﹣b 2﹣2bi ，∴复数z 在复平面内所对应的点为P （﹣b 2，﹣2b ）， 设P （x ，y ），则{x =−b 2y =−2b ，消去b 得：y 2＝﹣4x （y ≠0）．故z 对应的点在抛物线上， 故选：B ．15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|=OA →•OB →=2，则点集{P |OP →=λOA →+μOB →，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4√2D ．4√3【分析】由两定点A ，B 满足|OA→|=|OB→|=OA →⋅OB →=2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P 点坐标，由平面向量基本定理，把P 的坐标用A ，B 的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P 所表示区域的面积． 解：由两定点A ，B 满足|OA→|=|OB→|=OA →⋅OB →=2，AB →=OB →−OA →，则|AB →|2＝（OB →−OA →）2=|OB|2−2OA →•OB →+|OA →|2=4，则|AB →|＝2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A （√3，−1），B （√3，1）．再设P （x ，y ）．由OP →=λOA →+μOB →，得：(x ，y)=(√3λ，−λ)+(√3μ，μ)=(√3(λ+μ)，μ−λ)．所以{λ+μ=√33x μ−λ=y ，解得{λ=√36x −12yμ=√36x +12y ①． 由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于{ √36x −12y ≥0√36x +12y ≥0x ≤√3或{ √36x −12y ≥0√36x +12y ＜0y ≥−1或{ √36x −12y ＜0√36x +12y ≥0y ≤1或{ √36x −12y ＜0√36x +12y ＜0x ≥−√3． 可行域如图中矩形ABCD 及其内部区域，则区域面积为2×2√3=4√3． 故选：D ．16．已知a 1，a 2，a 3，a 4∈{1，2，3，4}，N （a 1，a 2，a 3，a 4）为a 1，a 2，a 3，a 4中不同数字的种类，如N （1，1，2，3）＝3，N （1，2，2，1）＝2，求所有的256个（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列所得的N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为（ ） A ．8732B ．114C ．17764D ．17564【分析】根据题意，依次分析N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝1、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案．解：根据题意，（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列共有256种，其中当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝1时，即排列中只有1个数字，有4种情况，当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝2时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有C 42C 43A 22＝48种情况，若有2个数字相同，有C 42C 42＝36种情况， 此时有48+36＝84种情况，当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝3时，即排列中有3个不同的数字，有3×C 43C 42A 22＝144种情况，当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝3时，即排列有4个不同的数字，有A 44＝24种情况， 则N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为4×1+84×2+144×3+24×4256=700256=17564；故选：D ． 三.解答题17．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．【分析】（1）设圆锥底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则l ＝10厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得r ＝5厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．解：（1）设圆锥底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则l ＝10厘米，且2πr ＝πl ， 解得：r ＝5厘米，表面积S ＝πrl ＝50π（平方厘米）， 圆锥的高h =√l 2−r 2=5√3（厘米），∴体积V =13πr 2h =125√3π3（立方厘米）．（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米， ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，h =5√3厘米． 故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d =5√3厘米．18．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示． （1）求出函数f （x ）的解析式；（2）若将函数f （x ）的图象向右移动π3个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数y ＝g （x ）的图象，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A 和b ，由周期求出ω，最高点求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．解：（1）由函数f （x ）的图象可得 {A +b =6−A +b =−2，解得：{A =4b =2．又由T2=2π得：T =2πω=4π，∴ω=12． 而f(π3)=6 得：π6+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ=π3，综上：f(x)=4sin(12x +π3)+2．（2）显然g(x)=4sin(2x +π6)+2，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得g （x ）的单调递增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k ∈Z ，由2x +π6=kπ，k ∈Z 得：对称中心是(kπ2−π12，2)，k ∈Z ． 19．若函数y ＝f （x ）满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在x 2，使f （x 1）f （x 2）＝λ成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①f （x ）＝2x ，②g （x ）＝log 2x 是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数y ＝h （x ）的值域为[m ，n ]，求证：“y ＝h （x ）是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m ，n ]”．【分析】（1）根据“依附函数”的定义直接判断即可； （2）从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．解：（1）①可取λ＝1，则对任意x 1∈R ，存在x 2＝﹣x 1∈R ，使得2x 1⋅2x 2=1成立， （说明：可取任意正数λ，则x 2＝log 2λ﹣x 1……2分） ∴f （x ）＝2x 是“依附函数”，……②对于任意正数λ，取x 1＝1，则g （x 1）＝0，……此时关于x2的方程g（x1）g（x2）＝λ无解，∴g（x）＝log2x不是“依附函数”．……（2）证明：必要性：（反证法）假设0∈[m，n]，∵y＝h（x）的值域为[m，n]，∴存在定义域内的x1，使得h（x1）＝0，……∴对任意正数λ，关于x2的方程h（x1）h（x2）＝λ无解，即y＝h（x）不是依附函数，矛盾，……充分性：假设0∉[m，n]，取λ＝mn＞0，……则对定义域内的每一个值x1，由h（x1）∈[m，n]，可得λℎ(x1)∈[λn，λm]=[m，n]，而y＝h（x）的值域为[m，n]，∴存在定义域内的x2，使得λℎ(x1)=h(x2)，即h（x1）h（x2）＝λ成立，∴y＝h（x）是“依附函数”．……20．如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C：y＝x2上存在不同的两点A、B满足PD→=λDA→，PE→=λEB→，其中λ为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．（1）若P点坐标为（1，﹣2），λ＝3时，求弦AB所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A点的直线l1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线l2与抛物线C也只有一个交点，求证：若l1和l2的斜率都存在，则l1与l2的交点N在直线PM上；（3）若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出D、E坐标，设A（3，9），B（﹣1，1），然后判断求解弦AB所在的直线方程．（2）设l1：y﹣9＝k1（x﹣3），与C：y2＝x联立，并令△＝0，可得k1＝6，同理l2的斜率k 2＝﹣2，求出交点坐标，然后推出直线PM 的方程即可．（3）设P （x 0，y 0），设出A 、B 坐标，由PD →=λDA →，求出D(x 0+λx 11+λ，y 0+λx 121+λ)，代入y ＝x 2，说明x 1、x 2是方程λx 2−2λx 0x +(1+λ)y 0−x 02=0的两个不同的根，利用韦达定理，求出P 、Q 坐标，然后求解线段比例即可．【解答】（1）解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由PD →=3DA →，PE →=3EB →， 可得D(1+3x 14，−2+3y 14)，E(1+3x 24，−2+3y 24)， 由D 点在C 上可得：−2+3y 14=(1+3x 14)2，化简得：x 12−2x 1−3=0，同理可得：x 22−2x 2−3=0，∵A 、B 两点不同，不妨设A （3，9），B （﹣1，1）， ∴弦AB 所在的直线方程为2x ﹣y +3＝0．（2）证明：由（1）可知，A （3，9），B （﹣1，1），设l 1：y ﹣9＝k 1（x ﹣3）， 与C ：y 2＝x 联立，并令△＝0，可得k 1＝6，同理l 2的斜率k 2＝﹣2， ∴l 1：6x ﹣y ﹣9＝0，l 2：2x +y +1＝0，解方程组得：交点N （1，﹣3），而直线PM 的方程为x ＝1，得证． （3）证明：设P （x 0，y 0），A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，由PD →=λDA →，得D(x 0+λx 11+λ，y 0+λx 121+λ)， 代入y ＝x 2，化简得：λx 12−2λx 0x 1+(1+λ)y 0−x 02=0， 同理可得：λx 22−2λx 0x 2+(1+λ)y 0−x 02=0，显然x 1≠x 2，∴x 1、x 2是方程λx 2−2λx 0x +(1+λ)y 0−x 02=0的两个不同的根， ∴x 1+x 2＝2x 0，x 1⋅x 2=(1+λ)y 0−x 02λ，∴x M =x 1+x 22=x 0，即直线PM 的方程为x ＝x 0， ∵y M =x 12+x 222=(1+2λ)x 02−(1+λ)y 0λ，y Q =x 02，∴y M −y Q =(1+λ)x 02−(1+λ)y 0λ，y Q −y P =x 02−y 0， ∴线段PQ 与QM 的比为定值1+λλ．21．设数列{a n }（n ∈一、选择题*）是公差不为零的等差数列，满足a 3+a 6＝a 9，a 5+a 72＝6a 9；数列{b n }（n ∈N*）的前n 项和为S n ，且满足4S n +2b n ＝3． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）在b 1和b 2之间插入1个数x 11，使b 1，x 11，b 2成等差数列；在b 2和b 3之间插入2个数x 21，x 22，使b 2，x 21，x 22，b 3成等差数列；……；在b n 和b n +1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x nn ，使b n ，x n 1，x n 2，…x nn ，b n +1成等差数列． （i ）求T n ＝x 11+x 21+x 22+…+x n 1+x n 2+…+x nn ；（ii ）是否存在正整数m ，n ，使T n =am+12a m成立？若存在，求出所有的正整数对（m ，n ）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设数列{a n }的公差为d ，（d ≠0），利用等差数列的通项公式求出d ＝1，从而a n ＝n ．再由4S n +2b n ＝3，当n ≥2时，4S n ﹣1+2b n ﹣1＝3，推导出{b n }是首项为12，公比为13的等比数列，由此能求出b n ．（2）（i ）在b n 和b n ﹣1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x n n ，推导出d n =bn+1−b n(n+2)−1=−1n，从而x nk ＝b n +kd n =12(13)n−1−k 3n(n+1)，进而T n ＝x 11+x 21+…+x n 1+x n 2+…+x nn =13+132+⋯+n3n ，由此利用错位相减法能求出T n ． （ii ）m =2⋅3n 3n −2n−3=2+4n+63n −2n−3，当n ＝1时，m ＝2+10−2=−3∉N *，当n ＝2时，m ＝2+142=9*，当n ＝3时，m ＝2+1＝3∈N *，再证明当n ≥4（n ∈N *）时，3n ﹣6n ﹣9＞0，由此能求出所有的正整数对．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，（d ≠0），则由a 3+a 6＝a 9，得（a 1+2d ）+（a 1+5d ）＝a 1+8d ，∴a 1＝d ，∵a 5+a 72＝6a 9，∴（a 1+4d ）+（a 1+6d ）2＝6（a 1+8d ）， 将a 1＝d 代入上式，得5d +49d 2＝54d ，∴49d 2＝49d ， ∵d ≠0，∴d ＝1，∴a n ＝n ． 由4S n +2b n ＝3，①当n ≥2时，4S n ﹣1+2b n ﹣1＝3，②①﹣②，得4b n +2b n ﹣2b n ﹣1＝0，∴b n =13b n−1，（n ≥2），又4b 1+2b 1＝3，∴b 1=12≠0， ∴{b n }是首项为12，公比为13的等比数列， ∴b n =12×(13)n−1，（n ∈N *）． （2）（i ）在b n 和b n ﹣1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x n n ， ∵b n ，x n 1，x n 2，…x nm ，b n +1成等差数列，设公差为d n ，∴d n =b n+1−b n (n+2)−1=(12)(13)n−(12)(13)n−1n+1=−13n(n+1)，则x nk ＝b n +kd n =12(13)n−1−k3n(n+1)，∴∑ n k=1x nk =12(13)n−1•n −13n(n+1)⋅n(n+1)2=n3n ，∴T n ＝x 11+x 21+…+x n 1+x n 2+…+x nn =13+132+⋯+n 3n ，① 则13T n =132+133+⋯+n−13n+n 3n+1，②①﹣②，得23T n =13+132+⋯+13n −n 3n+1=13[1−(13)n]1−13−n 3n+1=12（1−1n ）−n 3n+1， ∴T n =34−14⋅3n−1−n 2⋅3n =m+12m =12+12m ． （ii ）假设存在正整数m ，n ，使T n =am+12a m 成立，=34−14⋅3n−1−n2⋅3n =m+12m =12+12m ． m =2⋅3n 3n −2n−3=2(3n −2n−3)+4n+63n −2n−3=2+4n+63n −2n−3， 当n ＝1时，m ＝2+10−2=−3∉N *， 当n ＝2时，m ＝2+142=9∈N *， 当n ＝3时，m ＝2+1＝3∈N *，下证，当n ≥4（n ∈N *）时，有3n ﹣2n ﹣3＞4n +6，即证3n ﹣6n ﹣9＞0，设f（x）＝3x﹣6x﹣9，x≥4，则f′（x）＝3x ln3﹣6＞3x﹣6＞0，∴f（x）在[4，+∞）上单调递增，故n≥4时，3n﹣6n﹣9＞34﹣6×4﹣9＝48＞0，∴0＜4n+63n−2n−3＜1，∴n≥4时，m不是整数，∴所有的正整数对（m，n）为（9，2）及（3，3）．。

2023年上海交大附中高考数学模拟试卷1. 设集合，，则______.2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则__________.3. 在平面直角坐标系内，直线l：，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为______.4. 已知，，则_____________.5. 设定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集是______.6. 在平面直角坐标系xOy中，有一定点，若OA的垂直平分线过抛物线C：的焦点，则抛物线C的方程为______.7. 设某产品的一个部件来自三个供应商，这三个供应商的良品率分别是，，，若这三个供应商的供货比例为3：2：1，那么这个部件的总体良品率是______ 用分数作答8. 记的展开式中第m项的系数为，若，则______.9.从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望______.10. 已知函数有两个零点1，2，数列满足，若，且，则数列的前2023项的和为______ .11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为______ .12. 已知，函数的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若恒成立，则a的最大值是______.13. “”是“”的条件.( )A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要14. 设，为两条不同的直线，为一个平面，则下列命题正确的是( )A. 若直线平面，直线平面，则B. 若直线上有两个点到平面的距离相等，则C. 直线与平面所成角的取值范围是D.若直线平面，直线平面，则15. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )A. 1B. 2C.D.16. 已知函数，若存在实数，，，满足，其中，则取值范围是( )A. B. C. D.17. 如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，D为侧棱的中点求证：平面；求二面角的大小结果用反三角函数值表示18. 已知函数求函数的单调递增区间；将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求方程的解．19. 如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；求B、C两处垃圾之间的距离；精确到求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角的大小；用反三角函数表示20. 如图，设F是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P若，求k的值；求证：；求面积的最大值．21.已知正项数列，满足：对任意正整数n，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，求证：数列是等差数列；求数列，的通项公式；设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】【解析】解：，或，则，故答案为：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，根据集合的基本运算实是解决本题的关键．2.【答案】1【解析】【分析】本题考查了复数求模问题，考查解方程组问题以及对应思想，是一道基础题．设出，得到，根据实部虚部对应相等得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，求出z，从而求出z的模．【解答】解：设，则，，，解得，故，故答案为：3.【答案】【解析】解：由题意可知：，，方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则，故答案为由题意此几何体的体积可以看作是：，求出积分即得所求体积，方法二由题意可得绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积．本题考查用定积分求简单几何体的体积，求解的关键是找出被积函数来及积分区间，属于基础题．4.【答案】【解析】解：，，，，，，解得：，，故答案为：由已知等式化简可得，结合范围，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角的正切函数公式可求的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.【答案】【解析】解：当，则，此时，是奇函数，，，即，，当时，由，得，当时，成立，当时，由，得，即，则，综上或，即不等式的解集为故答案为：根据函数奇偶性的性质，先求出函数的解析式，然后解不等式即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．6.【答案】【解析】解：点，依题意我们容易求得直线的方程为，把焦点坐标代入可求得焦参数，从而得到抛物线C的方程为：故答案为：先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．基本性质的熟练掌握是解答正确的关键．7.【答案】【解析】解：部件的总体良品率是：故答案为：部件的总体良品率是，计算得到答案．本题主要考查全概率公式，属于基础题．8.【答案】5【解析】解：根据二项式定理，可得，根据题意，可得，解得，故答案为根据题意，结合二项式定理可得，，解可得答案．本题考查二项式定理，要区分二项式系数与系数两个不同的概念．9.【答案】【解析】解：如图所有棱长均为2的正四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，，，，，的可能取值为，，，故答案为：所有棱长均为2的正四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，推导出的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出其数学期望本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，巧妙地把立体几何和概率有机地结合在一起，是一道难得的好题．10.【答案】【解析】解：函数有两个零点1，2，，，，，为首项为，公比为2的等比数列，数列的前2023项的和为，故答案为：计算，，代入计算得到，确定为首项为，公比为2的等比数列，求和得到答案．本题考查函数的零点的概念，根据数列的递推公式求通项公式，等比数列的定义与通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属中档题．11.【答案】【解析】解：焦点，设，则，，设M 到准线的距离等于d，则令，，则，当且仅当时，等号成立故的最大值为，故答案为设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得，化简为，令，则，，利用基本不等式求得最大值．本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题．12.【答案】【解析】解：，，，直线l的方程为设恒成立恒成立，在上小于等于0恒成立①或时，恒成立．②时，由基本不等式得：此时的最大值为由A、B的坐标可以将直线l的方程找到，通过M点坐标可以得到N的坐标，将其纵坐标做差可以得到关于a的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a的最大值．本题考查通过两点坐标求直线l方程，去绝对值，以及由基本不等式确定a的范围．13.【答案】B【解析】解：时，，，得出，得不出，即不是的充分条件；时，，，得出，是的必要条件．故选：可看出时，；而时，，从而可得出正确的选项．本题考查了充分条件和必要条件的定义，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：对选项A：平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，错误；对选项B：当直线与平面相交时，也满足有两个点到平面的距离相等，错误；对选项C：直线与平面垂直时夹角为，错误；对选项D：垂直于同一平面的两条直线平行，正确．故选：平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，A错误，当直线与平面相交时，也成立，B错误，直线与平面垂直时夹角为，C错误，D正确，得到答案．本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量的数量积的定义和性质，同时考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．由向量垂直的条件可得，运用向量的平方即为模的平方，可得，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得，可得，所以，，即为，，当，，即，同向时，的最大值是故选：16.【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，进行转化是解决本题的关键，属于中档题．先画出函数的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．【解答】解：函数的图象如下图所示：若满足，其中，则，，则，即，则，同时，，，关于对称，，则，则，则，，，即，故选：17.【答案】证明：底面是等腰直角三角形，且，平面，，，平面解：以C为原点，直线CA，CB，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，由得是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则，由图形知二面角的大小是锐角，二面角的大小为【解析】推导出，，由此能证明平面以C为原点，直线CA，CB，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.【答案】解：函数，由得：，则的单调递增区间是；由已知得：，由得：，，则【解析】把函数的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调区间，求出x 的范围，即为函数的单调递增区间；根据平移规律“左加右减”，由的解析式得到向右平移2个单位后的解析式，令，得到，根据正弦函数的图象与性质即可求出x 的值，即为方程的解．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．19.【答案】解；设，则，，由题意得，在中，由余弦定理得：解得由知，，【解析】设，则，，，利用余弦定理列方程解出x ；利用的结论得出三角形ABC 的三边长，使用余弦定理求出，得到B 的大小．本题考查了余弦定理，解三角形的实际应用，属于基础题．20.【答案】解：联立，得，直线与椭圆相交于A、B两点，，即或，设，，则，，，，代入上式，解得证明：由图形得要证明，等价于证明直线AF与直线BF的倾斜角互补，即等价于，，解：或，令，则，，，当且仅当，即，取等号，面积的最大值为【解析】联立，得，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出证明，等价于证明等价于，由此能证明令，利用基本不等式性质能求出面积的最大值．本题考查直线的斜率的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量相等、基本不等式、弦长公式、椭圆性质的合理运用．21.【答案】解：由已知，得①，②．由②得③．将③代入①得，对任意，，有即是等差数列．分设数列的公差为d，由，经计算，得，分由得不等式化为即设，则对任意正整数n恒成立．当，即时，不满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，的对称轴为，关于n递减，因此，只需解得，综上，分【解析】通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到，利用等差数列的定义得证利用等差数列的通项公式求出，求出，先通过裂项求和的方法求出，代入化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a的范围．证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．。

2020年上海交通大学第二附属中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知公差不为零的等差数列等于A．4 B．5 C．8 D．10参考答案：A由得，即。

所以，所以,选A.2. （2）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A3. 若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（）A．或 B．或 C．或D．或参考答案：【知识点】直线与圆的位置关系. H4【答案解析】D 解析：圆心的直线的距离d=，由垂径定理得解得a=-1或a=3，故选 D.【思路点拨】根据点到直线的距离及垂径定理求解.4. 在△ABC中，tan A是以-2为第三项，6为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第二项，27为第七项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不对参考答案：B，都是锐角。

故选：B5. 已知两个平面α，β和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为θ1，直线和平面β所成的角的大小为θ2，直线所成的角的大小为θ3，则A．θ1=θ2≥θ3 B．θ3≥θ1=θ2C．θ1≥θ3，θ2≥θ3 D．θ1≥θ2，θ3≥θ2参考答案：D6. (文科)某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有（）人。

A.288B.300C.320D.352参考答案：略7. 已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．8. 函数的零点个数是（）A．个 B．个 C．个D．个参考答案：A9. 已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B?A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得：若B?A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B?A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1，﹣1}，满足B?A．②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，当a=﹣1时，B={1，3}，满足B?A，当a=3时，B={1，3}，满足B?A．综上，若B?A，则a=±1或a=3．故选：B．【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．10. 如图平行四边形ABCD中， =， =，F是CD的三等分点，E是BC中点，M是AB中点，MC∩EF=N，若=λ1+λ2，则λ1+λ2=（）A．B．1 C．D．﹣参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本道理列出方程解出．【解答】解： ==， =，设，，则， =，∵==+=（）+（），∴，解得．∴λ1+λ2==．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是．参考答案：[﹣2，0]【考点】圆的一般方程．【分析】将圆x2+x+y2+y=0，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y 的范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+x+y2+y=0，∴（x+）2+（y+）2=，即2（x+）2+2（y+）2=1，令（x+）=cosθ，（y+）=sinθ，∴x=，y=，x+y==sin（）﹣1∈[﹣2，0]，故x+y的范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]【点评】本题考查的知识点是圆的方程，其中将一般方程化为参数方程，进而转化求三角函数的最值，是解答的关键．12. 在实数集上定义运算，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是参考答案：；根据“零元”的定义，，故13. 已知，且，则与夹角的取值范围是.参考答案：14. 已知函数为上的偶函数，当时，，则▲，▲ .参考答案：．，15. 用符号表示超过的最小整数，如，记．（1）若，则不等式的解集为；（2）若，则方程的实数解为．参考答案：。

2020年上海市高考数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.(2020·上海市·历年真题)下列等式恒成立的是()A. a2+b2≤2abB. a2+b2≥−2abC. a+b≥2√|ab|D. a2+b2≤−2ab2.(2020·上海市·历年真题)已知直线方程3x+4y+1=0的一个参数方程可以是()A. {x=1+3ty=−1−4t B. {x=1−4ty=−1+3tC. {x=1−3ty=−1+4tD. {x=1+4ty=1−3t3.(2021·体验省·单元测试)在棱长为10的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P,Q两点，则Q点所在的平面是()A. AA1B1BB. BB1C1CC. CC1D1DD. ABCD4.(2020·上海市·历年真题)命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f(x+a)<f(x)+f(a)；命题q1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q2:f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，则下列说法正确的是()A. 只有q1是p的充分条件B. 只有q2是p的充分条件C. q1，q2都是p的充分条件D. q1，q2都不是p的充分条件二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.(2020·上海市·历年真题)已知集合A={1,2，4}，集合B={2,4，5}，则A∩B=．6. (2020·上海市·历年真题)计算：lim n→∞ n+13n−1= 7. (2020·上海市·历年真题)已知复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则|z|= ． 8. (2020·上海市·历年真题)已知函数f(x)=x 3，f −1(x)是f(x)的反函数，则f −1(x)= 。

交大附中高三12月数学诊断性练习满分：150分 时间：120分钟2020.12第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．)1．已知全集U=R ，集合A={x |x （x ﹣1）≥0}，则∁U A= C A ．[0，1]B ．[1，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2. 下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是 CA ．3()2f x x =-+B ．12()log ||f x x =C ．3()3f x x x =-D ．f (x )= sinx3. 如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中所有真命题的序号是 DA ．①②B ．③C ．②③D ．①②③4．某校高三（7）班31名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有2人，则这两项成绩都合格的人数是 CA ．23 B ． 21 C ．20 D ．195. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 BA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.下列四个命题为正确命题的是 DA ．0x ∃∈R ，使200230x x ++=B ．命题“00,lg 0x x ∃∈>R ”的否定是“x ∀∈R ，0lg <x ”C ．如果,a b ∈R ，且a b >，那么22ab >D ．βα=是βαsin sin =的充分不必要条件7. 已知 m ∈(0,1)，令 a =log m 2，b =m 2，c =2m ，那么 a,b,c 之间的大小关系为 CA. b <c <aB. b <a <cC. a <b <cD. c <a <b 8. 已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1，||3BC =，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 ∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 BA. 25√5B. 2C. √5D. 2√59. 已知函数23,()512,f x x x ⎧=⎨+-⎩,.x m x m ≥< 若函数()()g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 BA. 2m <B. 23m <≤C. 23m ≤≤D. 3m >10. 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面一点，若，则线段长度的取值范围是AA.3(0,]2B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.7912. 已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=. 若12l l ⊥，则实数a 的值是 .0或3-13.列举两个函数说明“增函数除以减函数为增函数”是假命题 .y=x 与y=-x （不唯一）14. 在等比数列{}n a 中，若124a =-，489a =-，则公比q =________；当n =________时，{}n a 的前n 项积．最大. 13，415. 设定义域为的函数的图像的为C.图像的两个端点分别为A 、B ，点O 为坐标原点，点M 是C 上任意一点，向量，，，且满足，又设向量。

2020年上海市交大附中高考数学考前试卷（7月份）一、单项选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “x ∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x ”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要2. 已知F 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是( )A. x 1x 2=p 24 B. y 1y 2=−p 2C. 1|FA|+1|FB|=2pD. x 1x 2+y 1y 2=−3p243. 已知曲线Γ的参数方程为{x =t 3−tcosty =ln(t +√t 2+1)，其中参数t ∈R ，则曲线Γ( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 没有对称性4. 已知数列{a n }与{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗，b n =2n +1(2n +an )(2n+1+a n+1)，对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，则k 的最小值是( )A. 1B. 12C. 13D. 16二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈R}，B ={x|√x ≤4,x ∈Z}，则A ∩B = ______ ．6. 函数y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期是______．7. 抛物线y =x 2的准线方程是______．8. 已知方程∣∣∣x −1bx −2∣∣∣=0的一个根是a +2i(其中a ∈R ，i 是虚数单位)，则实数b =______． 9. 设x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0，则z =2x +y 的最小值是____________10. 若a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，则n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2na n)=______．11. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为______．12.为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是______．13.若关于x的方程1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，求实数a的取值范围______．14.已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=f(x−3)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)=27，则a1+a2+⋯+a9=______．15.已知整数数列{a n}共5项，其中a1=1，a5=4，且对任意1≤i≤4，都有|a i+1−a i|≤2，则符合条件的数列个数为______．16.已知点P(0,2)，椭圆x216+y28=1上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则|2x1+3y1−12|+|2x2+3y2−12|的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥O−ABCD的底面是边长为1的菱形，OA=2，∠ABC=60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、BC的中点．(1)求证：直线MN//平面OCD；(2)求点M到平面OCD的距离．18.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60°，设∠POB=θ．(1)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值(精确到0.1平方米)．19.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“M类函数”．(1)已知函数f(x)=2cos(x−π3)，试判断f(x)是否为“M类函数”？并说明理由；(2)若f(x)={log2(x2−2mx)−2,x≥3,x<3为其定义域上的“M类函数”，求实数m取值范围．20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点N(√2,√22)．(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为−12的直线l1与椭圆M交于P，Q两点(点P，Q不在坐标轴上)；证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．(3)设直线l2与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．21.已知f(x)是定义在[0,+∞)上的函数，满足：①对任意x∈[0,+∞)，均有f(x)>0；②对任意0≤x1<x2，均，n∈N∗．有f(x1)≠f(x2).数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+1f(an)(1)若函数f(x)=a⋅2x−1(x≥0)，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N∗，使得n>n0时，均有a n>M；(3)求证：“函数f(x)在[0,+∞)上单调递增”是“存在n∈N∗，使得f(a n+1)<2f(a n)”的充分非必要条件．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=arcsinx的定义域为[−1,1]，∴sin(arcsinx)=x⇔x∈[−1,1]，∵x∈[−π2,π2]推不出x∈[−1,1]，x∈[−1,1]⇒x∈[−π2,π2 ]，∴“x∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x”的必要非充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：P(p2,0)，若A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：x=my+p2，代入y2=2px可得：y2−2pmy−p2=0，∴y1y2=−p2，∴x1x2=y12y224p2=p24．∴x1x2+y1y2=p24−p2=−3p24，又|FA|=x1+p2，|FB|=x2+p2，∴1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=x1+x2+pp22+p2(x1+x2)=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p，设B关于x轴的对称点为B′(x2,−y2)，显然A，F，B′满足条件x1x2=p24，且|FB|=|FB′|，但此时A，F，B′三点不共线，故A，C错误；若x1x2+y⋅y2=−3p24，则y12y224p2+y1y2+3p24=0，解得y1y2=−p2或y1y2=−3p2，故D错误，故选：B．当A，B，F共线时计算各结论，再根据对称点的坐标关系判断是否等价．本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查曲线的参数方程，属于基础题型．设出当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)，判断出(−x 0,−y 0)也在曲线上，进而求出结果． 【解答】解：设当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)， 此时有{x 0=t 03−t 0cost 0y 0=ln(t 0+√t 02+1), 设x =f(t)=t 3−tcost ，y =g(t)=ln(t +√t 2+1)， 对于每一个参数t ，都有唯一对应的x 和y ， 则当t =−t 0时，有{(−t 0)3−(−t 0)cos (−t 0)=−(t 03−t 0cost 0)=−x 0ln[(−t 0)+√(−t 0)2+1]=−ln(t 0+√t 02+1)=−y 0, 即点(−x 0,−y 0)也在曲线Γ上，而点(x 0,y 0)和点(−x 0,−y 0)关于原点对称， 故曲线Γ关于原点对称． 故选：C ．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }的前n 项和分别为S n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗， 当n ≥2时，2S n−1=a n−12+a n−1，两式相减得2a n =a n 2−a n−12+a n −a n−1，所以(a n +a n+1)(a n −a n−1−1)=0，整理得a n −a n−1=1(常数)． 当n =1时，2a 1=a 12+a 1，解得a 1=1(a 1=0舍去)，故数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n =n(首项符合通项)． 所以b n =2n +1(2n +an )(2n+1+an+1)=12n +n−12n+1+n+1，所以T n =(13−16)+(16−111)+⋯+12n +n −12n+1+n+1=13−12n+1+n+1<13， 所以对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，只需k ≥13即可． 即k 的最小值为13． 故选C ．首先利用已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法、放缩法和恒成立问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法和恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．5.【答案】{0,1，2}．【解析】解：∵集合A={x||x|≤2,x∈R}={x|−2≤x≤2}，B={x|√x≤4,x∈Z}={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．6.【答案】π【解析】解：y=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，∵ω=2，∴T=2π2=π．故答案为：π函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及周期公式，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．7.【答案】4y+1=0【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=12，所以：p2=14，∴准线方程y=−p2=−14，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．8.【答案】5【解析】解：方程∣∣∣x−1b x−2∣∣∣=0可化为x(x−2)+b=0，把x=a+2i代入方程，得(a+2i)(a−2+2i)+b=0，即(a2−2a−4+b)+(4a−4)i=0，所以{a 2−2a −4+b =04a −4=0，解得a =1，b =5； 所以实数b =5． 故答案为：5．根据行列式列出方程，把根代入方程，利用复数的运算性质列出方程组求出a 、b 的值． 本题考查了行列式与复数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】−15【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由{y =−32x −3y +3=0，解得A(−6,−3)， 则z =2x +y 的最小值是：−15． 故答案为：−15．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．10.【答案】8【解析】解：∵a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，又(2+x)n 的展开式的通项公式为T r+1=C n r ⋅2n−r ⋅x r ，令r =2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2． ∴a n =C n 2⋅2n−2．∴n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=n →∞lim(221+23C n 2⋅2+⋯+2n C n 2⋅2n−2)=n →∞lim(221+22C 32+⋯+22C n 2)=n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1C n2)=n →∞lim4⋅(11+22×3+23×4…+2n(n−1))=n →∞lim8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n ) =n →∞lim8⋅(1−1n )=8， 故答案为：8．由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2.再把要求的式子 n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n) 化为n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1C n2)，即n →∞lim8⋅(1−1n)，从而得到结果．本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，极限及其运算，属于中档题．11.【答案】√33【解析】解：由三视图可知AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB =BD =CD ， 以D 为原点建立空间坐标系如图所示：设AB =1，则A(1,0，1)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，D(0,0，0)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)， ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3×1=−√33． 设AC 与BD 所成的角为α，则cosα=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√33． 故答案为：√33．根据三视图得出三棱锥的结构特征，建立空间坐标系，利用平面向量计算异面直线所成角． 本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．12.【答案】611【解析】解：根据题意，有3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士共12人，从中选出5人，有C 125=792种选法，其中没有内科医生的选法有C 95=126种，没有重症科医生的选法有C 85=56种， 内科医生和重症科医生都没有，即只有护士的选法有1种， 则有792−126−56+1=611种选派方法； 故答案为：611根据题意，首先计算从12人中选出5人的选法，进而计算其中“没有内科医生”、“没有重症科医生”和“内科医生和重症科医生都没有”的选法，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．13.【答案】(−12,0]【解析】解：由已知设y =1|x−1|+|2x+2|−4={ 13x−3,x ≥11x−1,−1<x <11−3x−5,x ≤−1，所以函数的值域为{y|y >0，或y ≤−12}， 要使 1|x−1|+|2x+2|−4=a 的解集为空集， 只要函数y =1|x−1|+|2x+2|−4与y =a 没有交点，<a≤0．所以满足条件的a的取值范围为−12,0]．故答案为：(−12，得到函数的值域，利用y=a在函数值域的补集中即可．设y=1|x−1|+|2x+2|−4本题考查了方程解的个数问题；关键是正确求出函数的值域．14.【答案】27【解析】解：因为函数f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)关于(0,0)对称．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，所以ℎ(x)关于(3,0)对称，则ℎ(x)+ℎ(6−x)=0．由g(a1)+g(a2)+⋯…+g(a9)=27可得：f(a1−3)+a1+f(a2−3)+a2+⋯…+f(a9−3)+a9=27，所以f(a1−3)+a1−3+f(a2−3)+a2−3+⋯…+f(a9−3)+a9−3=0即ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0又数列{a n}为等差数列，且ℎ(x)在R上是单调递增函数，所以必有ℎ(a1)+ℎ(a9)=0，则有a1−3+a9−3=0，所以2a5=a1+a9=6，即a5=3所以a1+a2+⋯…+a9=9a5=27故答案为：27．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，则可得ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0，综合等差数列的性质可得；a1+a9=a2+ a8=⋯…=a5+a5，再利用函数ℎ(x)的单调性和对称性，即可计算得出．本题主要考查函数综合，函数概念与性质以及等差数列，属于中档题．15.【答案】52【解析】解：根据题意，设x1=a2−a1，x2=a3−a2，x3=a4−a3，x4=a5−a4，x5=a5−a4，∴x1+x2+x3+x4=3且x1、x2、x3、x4∈{−2,−1,0，1，2}，不妨设x1≤x2≤x3≤x4，则(x1,x2,x3,x4)=(−2,1，2，2)，(−1,1，1，2)，(−1,0，2，2)，(0,0，1，2)，(0,1，1，1)共五类，则符合条件的数列个数为4C42C21+4=52，故答案为：52．根据题意，设x1=a2−a1，x2=a3−a2，x3=a4−a3，x4=a5−a4，x5=a5−a4，可得x1+x2+x3+x4=3且x1、x2、x3、x4∈{−2,−1,0，1，2}，再利用组合知识进行求解．本题考查排列组合的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．16.【答案】24【解析】解：如图所示，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1]． 直线l 的方程为：2x +3y −12=0． 点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=11√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13．∴|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0=√13，可得√13(d 1+d 2)=12． λ=3−2√2时，d 1+d 2=12−6√2√13+12+6√3√13=24√13.可得√13(d 1+d 2)=24．λ∈[3−2√2,1].可得：d 1+d 2∈[12,24]．则|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|的最大值为24． 故答案为：24．如图所示，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1].直线l 的方程为：2x +3y −12=0.点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=|2x 1+3y 1−12|√13，d 0=|0+6−12|√13=6√13，d 2=|2x 2+3y 2−12|√13.|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0.λ=3−2√2时，可得√13(d 1+d 2)=24.进而得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】(1)证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM//AD ，且PM =12AD ，NC//AD ，且NC =12AD ， ∴PM//NC ，且PM =NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN//PC ， ∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN//平面OCD ；(2)解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由(1)得，点N 到平面OCD 的距离为d ，设三棱锥O −CDN 的体积为V ，则V =13×S △CDN ×OA =13×S △OCD ×d ， 依题意，S △CDN =12×CD ×CN ×sin∠BCD =√38，∵AC =AD =CD =1，∴OC =OD =√5，则S △OCD =12×CD ×√5−14=√194．由13×√38×2=13×√194×d ，得点M 到平面OCD 的距离d =√5719．【解析】(1)取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN//平面OCD ；(2)连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．18.【答案】解：(1)△OPN 中，由正弦定理得，OPsin2π3=ONsin(π3−θ)，即√32=ONsin(π3−θ)，解得ON =40√3sin(π3−θ)；所以停车场面积S 关于θ的函数关系式为S =40√3sin(π3−θ)⋅60sinθ=2400√3sin(π3−θ)sinθ，其中θ∈(0,π3)；(2)由S =2400√3sin(π3−θ)sinθ=2400√3(√32cosθ−12sinθ)⋅sinθ=1200√3(√3sinθcosθ−sin 2θ) =1200√3(√32sin2θ+12cos2θ−12)=1200√3[sin(2θ+π6)−12]；当2θ+π6=π2，即θ=π6时，停车场面积S 最大，最大值为： 1200√3×(1−12)=600√3=600×1.732=1039.2(平方米)．【解析】(1)由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； (2)化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)在定义域内存在实数x 0，满足f(−x 0)=−f(x 0)，可得2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)，即cos(−x 0−π3)=−cos(x 0−π3)，整理得√3cosx 0=0，所以存在x 0=π2满足f(−x 0)=−f(x 0)所以函数f(x)=2cos(x −π3)是“M 类函数”． (2)由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，可得m <32，因为f(x)={log 2(x 2−2mx)−2x ≥3x <3为其定义域上的“M 类函数”， 所以存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，①当x 0≥3时，则−x 0≤−3，所以−2=−log 2(x 02−2mx 0)，所以x 02−2mx 0=4，即m =12x 0−2x 0， 因为函数y =12x −4x ，x ≥3为单调增函数，所以m ≥56； ②当−3<x 0<3时，−3<−x 0<3，此时−2=2，不成立；③当x 0≤−3，则−x 0≥3，所以log 2(x 02+2mx 0)=2，所以m =−12x 0+2x 0因为函数y =−12x +4x (x ≤−3)为单调减函数，所以m ≥56； 综上所述，求实数m 取值范围[56,32)．【解析】(1)根据题意只需2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)有解，即可判断f(x)是否为“M 类函数”． (2)由对数函数的性质可得由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，即m <32；若是“M 类函数”，则存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，分①当x 0≥3时，②当−3<x 0<3时，③当x 0≤−3，三种情况分析方程f(−x 0)=−f(x 0)，能否有解，即可得m 的取值范围．本题考查函数的新定义，“M 类函数”，解题中注意三角形数性质的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)，则△B 1B 2F 1是正三角形，所以2b =√c 2+b 2=a ，则椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，可得24b 2+12b 2=1，解得a =2，b =1．故椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 由{y =−12x +m x 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0则△=4m 2−8(m 2−1)=4(2−m 2)>0，且x 1+x 2=2m >0，x 1x 2=2(m 2−1)>0； 故y 1y 2=(−12x 1+m)(−12x 2+m) =14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2=m 2−12，k OP k OQ =y 1y 2x1x 2=14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=14=k PQ2． 即直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)由题意，设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2knk 2+4，y 1y 2=n 2−4k +4，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C(2,0)，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，则(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0， 将x 1=ky 1+n ，x 2=ky 2+n 代入上式并整理得(k 2+1)y 1y 2+k(n −2)(y 1+y 2)+(n −2)2=0， 则(k 2+1)(n 2−4)k 2+4+−2k 2n(n−2)k 2+4+(n −2)2=0，化简得(5n −6)(n −2)=0，解得n =65或n =2， 因为直线x =ky +n 不过点C(2,0)，所以n ≠2，故n =65.所以直线l 恒过点D(65,0)． 故S ABC =12|DC||y 1−y 2|=12×(2−65)√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =25√(−125k k 2+4)2−4(3625−4)k 2+4=825√25(k 2+4)−36(k 2+4)2，设t =1k 2+4(0<t ≤14)，则S ABC =825√−36t 2+25t 在t ∈(0,14]上单调递增， 当t =14时，S ABC =825√−36×116+25×14=1625，所以ABC 面积的最大值为1625．【解析】(1)设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)，椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1． 将(√2,√22)代入椭圆方程，解得a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{y =−12x +m x 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0利用韦达定理，转化求解直线的斜率乘积，然后说明直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n ，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合斜率的数量积为0，转化求解n ，得到直线恒过的定点，推出三角形的面积，然后求解最大值． 本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(1)由f(x)=a ⋅2x −1>0，即a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，所以a >1，当a >1时，f(x)在x ∈[0,+∞)上单调递增，所以对任意0≤x 1<x 2，均有f(x 1)≠f(x 2)，综上，实数a 的取值范围为：a >1；证明(2)：由函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，即对一切x ∈[0,+∞)，均有f(x)≤f(0)， 所以对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，可得：a n+1=a n +1f(a n)≥a n +1f(0)，所以：a n =a n −a n−1++a 2−a 1+a 1≥n−1f(0)，对一切n ≥2， 对任意正实数M ，取n 0=[Mf(0)]+2∈N ∗， 当n >n 0时，a n ≥n−1f(0)>n 0−1f(0)>Mf(0)+1−1f(0)=M ；证明：(3)非必要性：取f(x)={x +13−x ，x ∈[0,1]∪[2,+∞)x ∈(1,2)，在[0,+∞)不为增函数，但a 1=0，a 2=a 1+1f(a 1)=1，a 3=a 2+1f(a 2)=32，f(a 2)=2，f(a 3)=32<2f(a 2)，充分性：假设对一切n ∈N ∗，均有f(a n+1)≥2f(a n )>0， 所以：f(a n )≥2n−1f(a 1)=2n−1f(0)，①由递推式a n+1=a n +1f(a n)≤a n +12n−1f(0)≤≤a 1+1f(0)(12n−1++12+1)<2f(0)，因为f 为增函数，所以f(a n+1)≤f(2f(0))，②由①②可知：2n f(0)≤f(2f(0))对一切n ∈N ∗，n ≥2均成立，又A =f(0)>0，B =f(2f(0))>0可知，当n >log 2(AB )时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在n ∈N ∗，使得f(a n+1)<2f(a n ).【解析】(1)根据定义可得a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，即可求出a 的范围； (2)根据函数的单调性可得对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，即可证明； (3)分别从必要性和充分性两个方面证明即可．本题考查了数列的函数特征，不等式的证明，充分性和必要性，考查了转化与化归能力，逻辑推理能力，属于难题．。

上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高三数学考前测试卷一、填空题1. 已知集合{}|2,A x x x R =≤∈，{}|4,B x x x Z =≤∈，则A B =______.【答案】{}0,1,2 【解析】 【分析】计算出,A B 后可求AB .【详解】[]2,2A =-，{}|016,B x x x Z =≤≤∈，故{}0,1,2A B =.故答案为：{}0,1,2.【点睛】本题考查集合的交集及无理不等式、绝对值不等式的解法，解无理不等式时注意根号下的代数式有意义，本题属于中档题.2. 函数32cos 2y x x =+ 最小正周期为______________.【答案】π 【解析】 由3132cos 22(2cos 2)2y x x x x =+=+2sin(2)6x π=+知，周期22T ππ==，故填π.3. 抛物线2yx 的准线方程为_______.【答案】14y =- 【解析】【详解】由抛物线的标准方程为x 2=y ，得抛物线是焦点在y 轴正半轴的抛物线，2p =1， ∴其准线方程是y=2p -，14y =-．故答案为14y =-． 4. 已知方程102x b x -=-的一个根是2a i +（其中a R ∈，i 是虚数单位），则实数b =______.【答案】5 【解析】 【分析】由行列式的计算法则可知220x x b -+=，结合2a i +是方程的一个根，可得()224440a a b a i -+-+-=，进而可列出关于,a b 的方程，即可求出b .【详解】解：()212202x x x b x x b b x -=-+=-+=-，因为2a i +是方程的一个根，所以()()22220a i a i b +-++=，即()224440a a b a i -+-+-=，所以2240440a a b a ⎧-+-=⎨-=⎩，解得51b a =⎧⎨=⎩，故答案为:5.【点睛】本题考查了行列式的计算，考查了复数的乘法运算，考查了由复数为零求解参数.本题的关键是由方程的根列参数的方程.5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是______.【答案】15- 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，然后运用线性规划来求解最小值 【详解】由题意约束条件作出可行域，用阴影部分表示，如图所示当目标函数2z x y =+过点()63，--时取得最小值最小值()26315z =⨯--=-故答案为15-【点睛】本题主要考查了线性规划，解题步骤为：画出可行域、改写目标函数、运用几何意义求出最值，注意在判定可行域时的方法． 6. 若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭ ． 【答案】8 【解析】试题分析：由题意222n n na C -=，322118()(1)21n n n n a n n n n-==--⋅-，∴2323222nna a a ++⋅⋅⋅+= 111118[(1)()()]2231n n -+-++--88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n na a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖儒.如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为______.3【解析】【分析】取BC，CD，BD，AD的中点,,,M N Q P，连接,,,,MN PM PN PQ MQ，根据三视图可设AB BD CD a===，在PMN中，利用余弦定理即可求解.【详解】取BC，CD，BD，AD的中点,,,M N Q P，连接,,,,MN PM PN PQ MQ，则//MN BD，//PN AC，即异面直线AC与BD所成的角为PNM∠，根据题意，由三视图可知AB BD CD==，设AB BD CD a===，2223AC a a a a=++则2aMN MQ PQ===，3aPN=且22222a a aPM⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在PMN中，由余弦定理可得22222233442cos232a a aPN MN PMPNMPN MN a a+-+-∠===⋅⋅⋅.故答案为：33【点睛】本题考查了求异面直线所成的角、余弦定理，属于中档题.8. 为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是_______.【答案】611【解析】【分析】列举出呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的所有可能性，结合组合的思想，求出每种可能下的方法种数，最后由分类的思想对所有的方法种数进行求和即可求得呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数.【详解】解：若选出有1名呼吸内科医生、1名急诊重症科医生、3名护士，组合数113345120C C C⨯⨯=；若选出有1名呼吸内科医生、2名急诊重症科医生、2名护士，组合数122345180C C C⨯⨯=；若选出有2名呼吸内科医生、1名急诊重症科医生、2名护士，组合数212345120C C C⨯⨯=；若选出有2名呼吸内科医生、2名急诊重症科医生、1名护士，组合数22134590C C C⨯⨯=；若选出有1名呼吸内科医生、3名急诊重症科医生、1名护士，组合数13134560C C C⨯⨯=；若选出有3名呼吸内科医生、1名急诊重症科医生、1名护士，组合数31134520C C C⨯⨯=；若选出有呼吸内科医生和急诊重症科医生、0名护士，组合数5721C=；则共有方法种数为12018012090602021611++++++=种.故答案为:611.【点睛】本题考查了计数原理中分类的思想，考查了组合数的计算，考查了排列组合的实际应用.本题的易错点是未能考虑全面，漏了可能性.9. 若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______.【答案】1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】设函数()1224f x x x =-++-，分类讨论，求得函数()f x 的值域，进而得到11224x x -++-的取值范围，再结合题意，即可求解.【详解】由题意，设函数()1224f x x x =-++-，当1x ≤-时，函数()35f x x =--在(,1]-∞-为单调递减函数，函数()f x 的值域为[2,)-+∞；当11x -<≤时，函数()1f x x =-在(]1,1-为单调递增函数，则函数()f x 的值域为(2,0]-； 当1x >时，函数()33f x x =-在(1,)+∞为单调递增函数，则函数()f x 的值域为(1,)+∞， 综上可得()f x 的值域为[2,)-+∞，所以11224x x -++-的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞，又因为11224a x x =-++-的解集为空集，所以实数a 的取值范围1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦. 故答案为：1,02⎛⎤-⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查含有绝对值函数的值域的求解及应用，其中解答中分类讨论去掉绝对值号，求得函数的值域是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10. 已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()()3g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()129...27g a g a g a +++=，则129...a a a +++=______.【答案】27 【解析】 【分析】设()()33h x f x x =-+-，则可得()()()1290h a h a h a +++=，结合等差数列的性质可得：192855a a a a a a +=+==+，再利用函数()h x 的单调性和对称性，分类讨论19a a +的值与6的关系，即可计算得出．【详解】因为函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，则函数()y f x =的图象点关于()0,0对称．设()()33h x f x x =-+-，由()()()12927g a g a g a ++⋯+=可得，()()()11229927333f a a f a a f a a --++++++=-，所以()()()()()()1122993333033f a a f a a f a a ++++----++--=即()()()1290h a h a h a +++=． 而()()()9810h a h a h a +++=，故()()()()()()1929180h a h a h a h a h a h a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦．因为函数()y h x =的图象可看成奇函数()y f x x =+的图象向右平移3个单位得到， 所以()30h =，函数()h x 在R 上递增，且关于点()3,0对称，即()()60h x h x +-=． 因为{}n a 为等差数列，则192855a a a a a a +=+==+，若1928556a a a a a a +=+==+>，由函数()h x 在R 上递增，则()()()1996h a h a h a >-=-即()()190h a h a +>，同理可得，()()280h a h a +>，…，()()550h a h a +> ∴()()()()()()1929180h a h a h a h a h a h a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++>⎣⎦⎣⎦⎣⎦，与题意矛盾，不符舍去；若1928556a a a a a a +=+==+<，同上可得，()()()()()()1929180h a h a h a h a h a h a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++<⎣⎦⎣⎦⎣⎦，与题意矛盾，不符舍去．若1928556a a a a a a +=+==+=，则()()()1996h a h a h a =-=-即()()190h a h a +=， 同理可得，()()280h a h a +=，…，()()550h a h a += 则()()()()()()1929180h a h a h a h a h a h a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴12927a a a +++=．故答案为：27．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，单调性的应用，涉及等差数列的性质以及应用，属于中档题．11. 已知整数数列{}n a 共5项，其中11a =，54a =，且对任意14i ≤≤，都有12i i a a +-≤，则符合条件的数列个数为______. 【答案】52 【解析】 【分析】根据12i i a a +-≤可分别表示出相邻两项的差，而根据{}12,1,0,1,2i i a a +-∈--，结合组合的应用即可求得所有数列.【详解】因为151,4a a ==，所以设121x a a =-,232x a a =-,343x a a =-,454x a a =-， 所以1234513x x x x a a +++=-=，可设1234x x x x ≤≤≤， 因为{}12,1,0,1,2i i a a +-∈--， 则1234x x x x 、、、的所有组合可能为{}{}{}2,1,2,21,1,1,21,0,2,2---，，，{}0,0,1,2，{}0,1,1,1，共五组，只需在每一组中选3个即可，所以符合条件的数列个数为21212121142424242452C C C C C C C C C ++++=，故答案为:52.【点睛】本题考查了数列的综合应用,绝对值不等式的解法,组合数的性质及运算,综合性强,属于中档题.12. 已知点()0,2P ，椭圆221168x y +=上两点()11,A x y ，()22,B x y 满足AP PBλ=（R λ∈），则112312x y +-+222312x y +-的最大值为__________．【答案】18+【解析】 【分析】由112312x y +-+222312x y +-联想到点到直线的距离，结合中位线和换元法求解. 【详解】由AP PB λ=知,,A B P 三点共线，当直线AB的斜率不存在时，(0,(0,A B -，此时112312x y +-+22231224x y +-=.当直线AB 的斜率存在时，设:2AB y kx =+，联立2221168y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)880k x kx ++-=，1212122284,()41212k x x y y k x x k k+=-+=++=++， 设AB 的中点()00,M x y ，则002242,1212k x y k k =-=++， 消去参数k 可得()2200112x y +-=，其中00y >；令001sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，其中2,2k k θπ≠π-∈Z ，则点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离为d ==所以d ≤； 因为由梯形的中位线性质可得,A B 到直线23120x y +-=的距离之和为点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离的2倍.所以112312x y +-+22231218x y +-=≤+综上可得112312x y +-+222312x y +-的最大值为18+【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，综合性较强，难度较大，侧重考查了换元的意识及数学运算的核心素养. 二、选择题 13. “22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分条件又非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】arcsin y x =的定义域为[1-，1]，sin(arcsin )[1x x x ∴=⇔∈-，1]，[2x π∈-，]2π推不出[1x ∈-，1]，[1x ∈-，1][2x π⇒∈-，]2π，∴ “[2x π∈-，]2π是“sin(arcsin)x =”的必要非充分条件．故选B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14. 已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是（ ）A. 2124p x x =B. 212y y p =-C. 112FA FB p+= D. 2121234p x x y y +=-【答案】B【分析】设直线AB 的方程为x ky t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，将韦达定理逐一代入各选项中的等式，求出t 的值，进而可得出结论.【详解】设直线AB 的方程为x ky t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y pxx ky t ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2220y pky pt --=，由韦达定理得122y y pk +=，122y y pt=-.抛物线的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，若A 、F 、B 三点共线，则2p t =.对于A 选项，222221212224444y y p t p x x p p ===，解得2pt =±； 对于B 选项，2122y y pt p =-=-，解得2p t =； 对于C 选项，222222121212111111222222222p p p p y y p p FA FB y p y p p x x p p +=+=+=+=++++++， 整理得22412y y p =，即2244p t p =，解得2p t =±； 对于D 选项，22221212121223244y y p x x y y y y t pt p +=+=-=-，整理得224830t pt p -+=， 解得2p t =或32pt =. 故选：B.【点睛】本题考查焦点弦性质相关的判断，涉及韦达定理的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.15. 已知曲线Γ的参数方程为(32cos ln 1x t t ty t t ⎧=-⎪⎨=++⎪⎩其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 没有对称轴【答案】C 【解析】设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称.【详解】设()x f t =，()y g t = t R ∈()()()()()333cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，()x f t ∴=是奇函数， ()()((ln ln g t g t t t -+=-+((ln ln ln10t t =-++== ,()y g t ∴=也是奇函数，设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()(),Q f t g t --，()f t 和()g t 都是奇函数，所以点Q 的坐标是()()(),Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，∴ 函数图象关于原点对称.故选C【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型. 16. 已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*,n n N k T ∈>恒成立，则k 的最小值是（ ） A.13B.12C.16D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111221n n n b n n +=-+++，则可求出121111 (321)3n n n T b b b n +=+++=-<++，进而可求出k 的最小值. 【详解】解：因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=+-- ，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a > 知， 10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则1211111111111 (366112213213)n n n n n T b b b n n n ++=+++=-+-++-=-<+++++， 所以13k ≥.则k 的最小值是13.故选:A【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1,2,n nn S n a S S n n N *-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等. 三、解答题17. 如图，四棱锥O ﹣ABCD 的底面是边长为1的菱形，OA ＝2，∠ABC ＝60°，OA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点.（1）求证：直线MN ∥平面OCD ； （2）求点M 到平面OCD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）57【解析】 【分析】（1）取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN ∥PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN ∥平面OCD ；（2）连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离.【详解】（1）证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ， ∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM ∥AD ，且12PM AD =，NC ∥AD ，且12NC AD =， ∴PM ∥NC ，且PM ＝NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN ∥PC ， ∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN ∥平面OCD ；（2）解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由（1）得，点N 到平面OCD 的距离为d ， 设三棱锥O ﹣CDN 的体积为V ，则1133CDNOCDV S OA S d =⨯⨯=⨯⨯，依题意，132CDNSCD CN sin BCD ∠=⨯⨯⨯=， ∵AC ＝AD ＝CD ＝1，∴5OC OD ==，则11195244OCDSCD =⨯⨯-=. 由1311923834d ⨯⨯=⨯⨯，得点M 到平面OCD 的距离5719d =.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题.18. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60∠︒AOB ，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）. 【答案】（1）3sin(60)S θθ=-， 060θ<< （2）当30θ=时，停车场最大面积为1039.2平方米 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； （2）化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值．【详解】解：（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=,60OPN θ∠=-,则sin sin sin ON OP PNOPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-，即3)ON θ=-，=403PN θ，则停车场面积sin 3sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-， 即24003sin(60)S θθ=-，其中060θ<<. （2）由（1）得3124003sin(60)24003(sin )2S θθθθθ=-=-， 即23600sin cos 12003=1800sin 2600326003S θθθθθ=-+-，则30)S θ=+-. 因为060θ<<，所以30230150θ<+<，则23090θ+=时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=时，停车场最大面积为1039.2平方米.【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题． 19. 对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.（1）已知函数()2cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由； （2）若()()22log 22x mx f x ⎧-⎪=⎨-⎪⎩33x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.【答案】（1）函数()2cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是“M 类函数”；答案见解析；（2）53,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意可得若()()00f x f x -=-，则002cos 2cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得02=x π，从而得到答案.（2）由条件，()22log 2x mx -可得220x mx ->在3x ≥上恒成立，可得32m <，由()f x 为其定义域上的“M 类函数”，则实数0x ，满足()()00f x f x -=-，对函数()f x 进行分段讨论，可得出答案,【详解】（1）函数()2cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是“M 类函数”.由题意，函数()f x 在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-， 可得002cos 2cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即00cos cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得00x =，所以存在02=x π满足()()00f x f x -=-所以函数()2cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是“M 类函数”. （2）由220x mx ->在3x ≥上恒成立，可得32m <， 因为()()22log 22x mx f x ⎧-⎪=⎨-⎪⎩33x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，所以存在实数0x 使得()()00f x f x -=-，①当03x ≥时，则03x -≤-，所以()22002log 2x mx -=--，所以20024x mx -=，即00122m x x =-， 因为函数142y x x =-，3x ≥为单调增函数，所以56m ≥； ②当033x -<<时，033x -<-<，此时22-=，不成立； ③当03x ≤-，则03x -≥，所以()2200log 22x mx +=，所以0122m x x =-+ 因为函数()1432y x x x=-+≤-为单调减函数，所以56m ≥；综上所述，求实数m 取值范围53,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查分段函数的应用，新定义“M 类函数”，正确理解新定义的含义是解题的关键，考查求参数的范围，属于中档题.20. 已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2N ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12-的直线1l 与椭圆M 交于,P Q 两点（点P ，Q 不在坐标轴上）；证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列.（3）设直线2l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析；（3）1625.【解析】 【分析】(1)设出上下顶点坐标及左焦点坐标，由等边三角形可得2b a==，结合2⎭在椭圆上可求出2a =，1b =，进而可求出椭圆的方程. (2) 设直线1l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线和椭圆的方程，根据韦达定理可得122x x m +=，()21221x x m =-，由P ，Q 也在直线上可求出21212m y y -=，进而可计算214OP OQ PQ k k k ==，即可证明. (3) 设直线2l 的方程为x ky n =+，联立直线和椭圆方程，由韦达定理可得12224kny y k -+=+，212244n y y k -=+，根据以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C 可知0CA CB ⋅=，继而能求出n的值，从而可证明直线过定点，由1212ABCS DC y y =-==出面积的最大值.【详解】（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，所以2b a =，则椭圆方程为222214x y b b+=.将⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =. 故椭圆的方程为2214x y +=.（2）证明：设直线1l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-=， 则()()22248142m m m∆=--=-，且122x xm +=，()212210x x m =->；故()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2212212112421OP OQPQ m y y k kk x x m -====-. 即直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列.（3）由题意，设直线2l 的方程为x ky n =+，联立2214x y x ky n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kny n +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224kn y y k -+=+，212244n y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=， 将11x ky n =+，22x ky n =+代入上式并整理得()()()()2212121220k y y k n y y n ++-++-=，则()()()()22222214222044kn k n n n k k +---++-=++，化简得()()5620n n --=， 解得65n =或2n =，因为直线x ky n =+不过点()2,0C ，所以2n ≠，故65n =. 所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭.故1212ABCSDC y y =-=16225⎛⨯-==⎝21144t tk⎛⎫=<≤⎪+⎝⎭，则ABCS=在10,4t⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，当14t=时，1625ABCS==，所以ABC面积的最大值为1625.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中三角形面积的最值问题.本题的易错点是化简计算求错.21. 已知()f x是定义在[)0,+∞上的函数，满足：①对任意[)0,x∈+∞，均有()0f x>；②对任意120x x≤<，均有()()12f x f x≠.数列{}n a满足：10a=，()11n nna af a+=+，*n N∈.（1）若函数()()210xf x a x=⋅-≥，求实数a的取值范围；（2）若函数()f x在[)0,+∞上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在*n N∈，使得n n>时，均有na M>；（3）求证：“函数()f x在[)0,+∞上单调递增”是“存在*n N∈，使得()()12n nf a f a+<”的充分非必要条件.【答案】（1）1a>；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题设所给定义①，求出12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)0,+∞的最小值，得出1a>；根据题设所给定义②，结合函数单调性的性质，即可确定a的取值范围；（2）根据函数()f x的单调性得出()()0f x f≤，结合不等式的性质得出()1nnaf-≥，取()*02n Mf N=+∈⎡⎤⎣⎦，即可得出证明；（3）举反例判断必要性，利用反证法证明充分性，即可得出结论.【详解】（1）由()210xf x a =⋅->，即12xa ⎛⎫> ⎪⎝⎭对一切[)0,x ∈+∞恒成立，所以1a > 当1a >时，()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，所以对任意120x x ≤<，均有()()12f x f x ≠ 综上，实数a 的取值范围为：1a >；（2）证明：由函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，即对一切[)0,x ∈+∞，均有()()0f x f ≤所以对一切*n N ∈，均有()()0n f a f ≤，可得：()()1110n n nn a a a f a f +=+≥+ 所以：()121110n n n n a a a a a a f --=-++-+≥，对一切2n ≥ 对任意正实数M ，取()*002n Mf N =+∈⎡⎤⎣⎦，当0n n >时()()()()001111000n Mf n n a M f f f +---≥>>=；（3）非必要性：取()13x f x x +⎧=⎨-⎩[][)()0,12,1,2x x ∈+∞∈，在[)0,+∞不为增函数 但10a =，()21111a a f a =+=，()322132a a f a =+=，()22f a =，()()32322f a f a =< 充分性：假设对一切*n N ∈，均有()()120n n f a f a +≥> 所以：()()()111220n n n f a f a f --≥=（1） 由递推式()()()111111111120022n n n n n n a a a a f a f f +--⎛⎫=+≤+≤≤++++ ⎪⎝⎭()()()111212211002012nn f f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫=-<⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭因为()f x 为增函数，所以()()120n f a f f +⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭（2）由（1）（2）可知：()()2200n f f f ⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭对一切*n N ∈，2n ≥均成立又()00A f =>，()200B f f ⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭可知，当2log A n B ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，上述不等式不成立 所以假设错误，即存在*n N ∈，使得()()12n n f a f a +<【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，考查了递推公式的应用以及等比数列的求和公式，同时考查了充分条件与必要条件的证明，属于综合题.。

交大附中高三月考数学试卷一、填空题1.设集合{}|lg 0A x x =>，|03x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =I ______. 【答案】{}3|1x x << 【分析】解对数不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】对于集合A ，依题意可知1x >，即{}|1A x x =>.对于集合B ，由()0303xx x x <⇔-<-，解得03x <<，即{}|03B x x =<<.所以A B =I {}3|1x x <<.故答案为{}3|1x x <<.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查对数不等式的解法，考查分式不等式的解法，属于基础题. 2.复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.3.若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件 【答案】充分不必要【分析】根据题意，利用基本不等式，可判定充分性是成立的，可举出反例，说明必要性不成立，即可得到答案.【详解】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得a b +≥， 当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性是成立的； 例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故答案为充分不必要条件.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，以及合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.已知tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则tan α的值是______. 【答案】2或13- 【分析】利用两角和的正切公式进行化简，由此解得tan α的值.【详解】依题意()tan 1tan tan 2π1tan 3tan tan 4π1tan tan4αααααα-==-++-⋅，23tan 3tan 22tan ααα-=--，23tan 5tan 20αα--=，()()3tan 1tan 20αα+-=，解得tan α的值为2或13-.故答案为2或13-【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题.5.若实数x 、y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是______.【答案】10【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界()2,2A 处，由此求得目标函数的最大值为322210z =⨯+⨯=.故答案为10【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 6.在二项式)92x 的展开式中，系数为有理数的项的个数是______个.【答案】5【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得系数为有理数的项的系数，由此确定系数为有理数的项的个数.【详解】二项式展开式的通项公式为9292rr rC x-⋅⋅，当1,3,5,7,9r=时，项的系数为有理数，故系数为有理数的项的个数为5.故答案为5.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为“阳爻”和“阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是______.【答案】5 16【分析】根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】每一“爻组”为“阳爻”的概率为12，6次独立重复试验，“阳爻”恰出现3次的概率为333611205226416C⎛⎫⎛⎫⋅⋅==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为5 16.【点睛】本小题主要考查独立重复试验概率计算公式，属于基础题.8.设三棱锥V ABC-的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P AC B--的平面角为γ，则三个角α、β、γ中最小的角是______.【答案】β 【分析】作出线线角α，线面角β，二面角γ，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系. 【详解】作//PD CA 交VC 于D ，由于AB BC CA ==，VA VB VC ==，所以V ABC -为正三棱锥，由对称性知BD PB =.取PD 中点E ，连接BE ，作EH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接BH .作PF ⊥平面ABC ，交平面ABC 于F ，连接BF .作PG AC ⊥，交AC 于G ，连接GF ，所以BE PD ⊥.由于//PD AC ，所以BPD α=∠.由于PF ⊥平面ABC ，所以PBF β=∠.由于PG AC ⊥，PF ⊥平面ABC ，所以PGF γ=∠.sin PF EHBPBP BP BPα==>=.因为//PD CA ，E 在PD 上，EH ⊥平面ABC 于H ，PF ⊥平面ABC 于F ，所以EH PF =.所以sin PF EHBP BPβ==.所以sin sin αβ>.由于,αβ都是锐角，所以αβ>.由于P 在VA 上，由对称性PB CP =，而CP PG >，则sin sin PF PF PFPG CP BPγβ=>==，由于γ也是锐角，所以γβ>. 综上所述，三个角中的最小角是β. 故答案为β.【点睛】本小题主要考查线线角、线面角、二面角的概念，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.9.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.15【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程221 95x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解+析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解+析几何问题的重要途径.10.已知数列{}n a和{}n b满足11a=，1b=，1434n n na a b+-=+，1434n n nb b a+-=-，可证明数列{}n na b+与数列{}n na b-，一个是等差数列一个是等比数列，则数列{}n a的通项公式为______.【答案】1122nna n⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】求得数列{}n na b+与数列{}n na b-通项公式，两者相加，求得数列{}n a的通项公式.【详解】依题意11434434n n n n n n a a b b b a ++=-+⎧⎨=--⎩①②，①+②并化简得()1112nn n n a b a b +++=+，而111,0a b ==，所以1110a b +=≠，所以数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，112n n n a b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭③.①-②并化简得()()112n n n n a b a b ++---=，111a b -=，所以数列{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列，21n n a b n -=-④.③+④并化简得1122nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故答案为1122nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABAC的值是_____.3 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r 即3,AB =u u u r u u r 故3ABAC=【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.12.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎪⎢⎪⎣⎭. 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为1，即2211k kk+=+，得2k =函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围. 二、选择题13.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤L ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤L ， 中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++L ，后来平均数234817x x x x x '=+++L （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦L 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 14.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.15.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. 86πB. 46πC. 26πD. 6π【答案】D 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆Q 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即 364466,62338R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆Q 为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，6R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③【答案】C【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”. 三、解答题17.如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离． 【答案】（1）见解+析； （2）417. 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果. 【详解】（1）连接ME ，1B CM Q ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E BC 中点，所以DE BC ⊥，根据题意有DE =1C E =，因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以112DEC S ∆=设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有1111143232d ⨯=⨯⨯，解得d ==，所以点C 到平面1C DE . 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容. 18.设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域.【答案】（1）3,22ππ；（2）122⎡-+⎢⎣⎦.【分析】(1)由函数的解+析式结合偶函数的性质即可确定θ的值；(2)首先整理函数的解+析式为()sin y a x b ωϕ=++的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解+析式可得：()()sin f x x θθ+=+，函数为偶函数，则当0x =时，()02k k Z πθπ+=+∈，即()2k k Z πθπ=+∈，结合[)0,2θ∈π可取0,1k =，相应的θ值为3,22ππ. (2)由函数的解+析式可得：22sin sin 124y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 21cos 26222x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ 11cos 2cos 2226x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111cos 2sin 2sin 2222x x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭1312sin 222x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭126x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.据此可得函数的值域为：122⎡-+⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.我们把定义在R 上，且满足()()f x T af x +=（其中常数a 、T 满足1a ≠，0a ≠，0T ≠）的函数叫做似周期函数.（1）若某个似周期函数()y f x =满足1T =且图象关于直线1x =对称，求证：函数()f x 是偶函数；（2）当1T =，2a =时，某个似周期函数在01x ≤<时的解+析式为()()1f x x x =-，求函数()y f x =，[),1x n n ∈+，n Z ∈的解+析式；（3）对于（2）中的函数()f x ，若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥-，求实数m 的取值【答案】（1）证明见解+析；（2）()()()21nf x x n x n =---；（3）7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）利用似周期函数的性质、图像关于直线1x =对称，结合函数奇偶性的定义，证得()()f x f x -=，由此证得()f x 是偶函数.（2）利用迭代的方法，求得()f x ，[),1x n n ∈+，n Z ∈的解+析式. （3）根据（2）中求得()f x 的解+析式，画出()f x 图像和89y =-的图像，确定m 的大致区间，令()89f x =-，求得对应x 的值，由此确定m 的取值范围. 【详解】（1）依题意可知，函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称.由于()f x 图像关于1x =对称，故()()11f x f x -=+①.又1T =，即()()1f x af x +=②，用x -代替x 得()()1f x af x -+=-③.由①②③可知()()af x af x =-，而1a ≠，0a ≠，所以()()f x f x -=，故函数()f x 为偶函数.（2）由于1T =，2a =，所以()()12f x f x +=，得()()21=-f x f x .当01x ≤<时，()()1f x x x =-；当12x ≤<时，011x ≤-<，()()()()21212f x f x x x =-=--； 当23x ≤<时，112x ≤-<，()()()()221223f x f x x x =-=--； 当34x ≤<时，213x ≤-<，()()()()321234f x f x x x =-=--；……以此类推，当1n x n ≤<+时，()()()21nf x x n x n =---.同理，由于1T =，2a =，所以()()12f x f x +=，得()()112f x f x =+. 当10x -≤<时，011x ≤+<，()()()111122f x f x x x =+=+⋅； 当21x -≤<-时，110x -≤+<，()()()()21112122f x f x x x =+=+⋅+；以此类推，当1n x n --≤<-时，()()()1112n f x x n x n +=+++. 综上所述，当[),1x n n ∈+，n Z ∈时，()()()21nf x x n x n =---（3）由（2）画出()f x 的图像、函数89y =-图像如下图所示.由图可知，从左往右，从2n =开始，()f x 与89y =-图像有交点.由（2）知，当23x ≤<时， ()()()()221223f x f x x x =-=--；令()()()282239f x x x =--=-，解得73x =或83x =.结合图像可知，要使对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥-，则73m ≤.故m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查新定义函数性质，考查函数奇偶性的证明，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20.已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG V 是直角三角形； （ii ）求PQG V 面积的最大值.【答案】（1）详见解+析（2）详见解+析 【分析】（1）分别求出直线AM 与BM 的斜率，由已知直线AM 与BM 的斜率之积为−12，可以得到等式，化简可以求出曲线C 的方程，注意直线AM 与BM 有斜率的条件；（2）（i ）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，求出P ，Q 两点的坐标，进而求出点E 的坐标，求出直线QE 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G 的坐标，再求出直线PG 的斜率，计算PQ PG k k 的值，就可以证明出PQG V 是直角三角形；（ii ）由（i ）可知,,P Q G 三点坐标，PQG V 是直角三角形，求出,PQ PG 的长，利用面积公式求出PQG V 的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2y x x ≠-，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x y x +=≠±； （2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y +=联立,即22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,点P 在第一象限，所以P Q ，因此点E的坐标为直线QE 的斜率为2QE k k =，可得直线QE方程：2k y x =-，与椭圆方程联立，2222 4.k y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，消去y得，22222128(2)021k k x k ++=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q和1x 是方程（*）的解所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得31y =G的坐标为23，直线PG 的斜率为; 3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+, 因为1()1,PQ PG k k k k=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG V 是直角三角形； （ii ）由（i）可知：P Q ，G的坐标为23，PQ ==，PG =,34218()2252PQGk k S k k ∆+==++ 42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++=++,因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k 单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为16(1)9S =. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题. 21.数列{}n a 满足：对一切n ，有n a M ≤，其中M 是与n 无关的常数，称数列上有界（有上界），并称M 是它的一个上界，对一切n ，有n a m ≥，其中m 是与n 无关的常数，称数列下有界（有下界），并称m 是它的一个下界.一个数列既有上界又有下界，则称为有界数列，常值数列是一个特殊的有界数列.设,a b ∈R ，数列{}n a 满足1a a =，21n n a a b +=+，*n N ∈.（1）若数列{}n a 为常数列，试求实数a 、b 满足的等式关系，并求出实数b 的取值范围； （2）下面四个选项，对一切实数a ，恒正确的是.（写出所有正确选项，不需要证明其正确，但需要简单说明一下为什么不选余下几个） A. 当14b =时，1010a > B. 当12b =时，1010a > C. 当2b =-时，1010a > D. 当4b =-时，1010a >（3）若a R ∈，1,4b ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且数列{}n a 是有界数列，求b 的值及a 的取值范围.【答案】（1）20a a b -+=，1,4b ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦；（2）B ；（3）14b =，11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用1n n a a a +==列方程，根据方程有实数根，求得b 的取值范围. （2）利用（1）的结论，判断出错误选项，由此得出正确选项.（3）对a 分成0,0a a ≥<两种情况进行分类讨论，根据{}n a 的上界和下界，列不等式，由此求得b 的值和a 的取值范围.【详解】（1）由于数列{}n a 为常数列，所以1n n a a a +==，故2a a b =+，即20a a b -+=，此方程有实数根，故140b ∆=-≥，解得14b ≤，即实数b 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）由（1）可知，当数列{}n a 为常数列时，实数b 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，此时10a 的值与1a 有关，不一定大于10，故ACD 三个选项不正确，B 选项正确.（3） 依题意，大前提为：a R ∈，1,4b ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭①当{}n a 为常数列时，由（1）知1,4b ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，所以14b =，22211042a a b a a a ⎛⎫-+=-+=-= ⎪⎝⎭，12a =.②当{}n a 不是常数列时，由于1,4b ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，22111024n n n n n a a a a b a b +⎛⎫-=-+=-+-> ⎪⎝⎭，故数列{}n a 是单调递增数列.最小值为1a a =，设对一切n ，有n a M ≤，故n a a M ≤≤（n *∈N ）.i)当0a ≥时，222n a a M ≤≤，所以222n a b a b M b +≤+≤+，即221n a b a M b ++≤≤+，故22a b a M b M ⎧+≥⎨+≤⎩③④，由于2211024a a b a b ⎛⎫-+=-+-≥ ⎪⎝⎭成立，故③成立.由④得20M M b -+≤，即存在实数M 使上式成立，故1140,4b b ∆=-≥≤，而本题大前提是1,4b ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，所以14b =.此时22211042M M b M M M ⎛⎫-+=-+=-≤ ⎪⎝⎭，所以12M =.所以12n a a ≤≤，即102a ≤≤.ii)当0a <时，22210a a b a b =+=+>，故0M >.若a M >，则220n a a ≤≤，22n b a b a b ≤+≤+，即21n b a a b +≤≤+，则2a b M a +≤<-，20a a b ++<，其判别式140b ∆=-≤，故不存在a 使20a a b ++<成立.所以a M ≤，此时220n a M ≤≤，22n b a b M b ≤+≤+，即21n b a M b +≤≤+，故2b a M b M ≥⎧⎨+≤⎩⑤⑥，⑤恒成立.对于⑥，由④的分析可知，14b =，12M =.所以12a M ≤=，解得10 2a-<<.综上所述，14b=，11,22a⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查新定义的理解和运用，考查一元二次方程、一元二次不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.。

2020年上海交通大学附属中学浦东实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的最大值和最小值分别是，则为A．1 B．2 C．-1 D．-2参考答案：A2. 在等比数列中，为其前项和，已知，则此数列的公比为（）A. 5B. Ｃ. 3 D. 4参考答案：C3. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则的最大值是（）A．B．1 C．D．参考答案：B【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：B．【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．4. 设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故选：A．5. 设函数，直线与函数图像相邻两交点的距离为.（I）求的值；（II）在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点（B，0）是函数图像的一个对称中心，且b=3，求面积的最大值.参考答案：略6. 输入，经过下列程序运算后，！A.B．C．D．参考答案：C略7. 在数列中，则的值为A．7 B．8 C．9 D．16参考答案：B因为点生意，即数列是公比为2的等比数列，所以，选B.8. 命题“?x∈R，使得x2＜1”的否定是( )A．?x∈R，都有x2＜1 B．?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1C．?x∈R，使得x2≥1 D．?x∈R，使得x2＞1参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】根据命题“?x∈R，使得x2＜1”是特称命题，其否定为全称命题，即：?x∈R，都有x2≥1．??x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．从而得到答案．【解答】解：∵命题“?x∈R，使得x2＜1”是特称命题∴否定命题为：?x∈R，都有x2≥1∴?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．故选B．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．9. 设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．10. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点刀枪面对而距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成的角），若，，，则的最大值是（）A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知离心率为2的双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB=，则p的值为．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p 的值．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x，又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，又由双曲线的离心率为2，所以=2，则=，A，B两点的纵坐标分别是y=±，又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，∴×p×=，得p=2．故答案为2．12. 在等比数列中，存在正整数则= 。