二叉树二叉链表存储结构
二叉树的二叉链表存储结构是指通过定义一个节点类，节点类中包含节点的数据域和左右子节点的指针域，来构建二叉树的链式存储结构。
下面是一个常用的二叉树节点类的定义：
```python
class BinaryTreeNode:
def __init__(self, data):
self.data = data
self.left = None
self.right = None
```
在这个节点类中，`data` 表示节点存储的数据，`left` 和 `right` 分别表示节点的左子节点和右子节点。这样，我们就可以通过链接左右子节点的指针来构建二叉树。
例如，以下是一个简单的二叉树的示例：
```
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
```
使用二叉链表存储结构表示的话，可以通过创建节点对象，并链接其左右子节点来表示这个二叉树：
```python
# 创建节点
node1 = BinaryTreeNode(1)
node2 = BinaryTreeNode(2)
node3 = BinaryTreeNode(3)
node4 = BinaryTreeNode(4)
node5 = BinaryTreeNode(5)
node6 = BinaryTreeNode(6)
node7 = BinaryTreeNode(7)
# 构建二叉树
node1.left = node2
node1.right = node3
node2.left = node4
node2.right = node5
node3.left = node6
node3.right = node7
```
这样就通过节点对象的指针将整个二叉树连接起来了。在具体的算法实现中，可以通过遍历节点对象的指针来访问和操作二叉树的节点。
第6章树和二叉树自测卷解答姓名班级 一、下面是有关二叉树的叙述，请判断正误（每小题1分，共10分） （√）1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。（×）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。 （√）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。 （×）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。 （×）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且小于其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。（应当是二叉排序树的特点） （×）6.二叉树中所有结点个数是2k-1-1，其中k是树的深度。（应2i-1） （×）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。 （×）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2i—1个结点。（应2i-1）（√）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1个为空指针。 （正确。用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点共有2n个链域。由于二叉树中，除根结点外，每一个结点有且仅有一个双亲，所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有n+1个空指针。）即有后继链接的指针仅n-1个。 （√）10. 〖01年计算机系研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。 最快方法：用叶子数＝[n/2]＝6，再求n2=n0-1=5 二、填空（每空1分，共15分） 1．由３个结点所构成的二叉树有5种形态。 2. 【计算机研2000】一棵深度为6的满二叉树有n1+n2=0+ n2= n0-1=31 个分支结点和26-1 =32个叶子。 注：满二叉树没有度为1的结点，所以分支结点数就是二度结点数。 3．一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为9。 （注：用? log2(n) ?+1= ? 8.xx ?+1=9 4.【全国专升本统考题】设一棵完全二叉树有700个结点，则共有350个叶子结点。 答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝350 5. 设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有500个叶子结点，有499个度为2的结点，有1个结点只有非空左子树，有0个结点只有非空右子树。 答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝500 ，n2=n0-1=499。另外，最后一结点为2i属于左叶子，右叶子是空的，所以有1个非空左子树。完全二叉树的特点决定不可能有左空右不空的情况，所以非空右子树数＝0. 6.【严题集6.7③】一棵含有n个结点的k叉树，可能达到的最大深度为n，最小深度为2。 答：当k=1(单叉树)时应该最深，深度＝n（层）；当k=n-1（n-1叉树）时应该最浅，深度＝2（层），但不包括n=0或1时的特例情况。教材答案是“完全k叉树”，未定量。)
树的存储方法 1.双亲链表表示法 双亲链表表示法利用树中每个结点的双亲唯一性，在存储结点信息的同时，为每个结点附设一个指向其双亲的指针parent，惟一地表示任何-棵树。 （1）双亲链表表示法的实现 方法①用动态链表实现 方法②用向量表示——更为方便 （2）双亲链表向量表示的形式说明 #define MaxTreeSize 100 //向量空间的大小，由用户定义 typedef char DataType； //应由用户定义 typedef struc { DataType data；//结点数据 int parent； //双亲指针，指示结点的双亲在向量中的位置 }PTreeNode； typedef struct { PTreeNode nodes[MaxTreeSize]; int n； //结点总数 }PTree； PTree T； //T是双亲链表 *注意：若T.nodes[i].parent=j，则T.nodes[i]的双亲是T.nodes[j]。（3）双亲链表表示实例 【例】图6.17(a)的双亲链表表示如下面数组所示。
分析： E和F所在结点的双亲域是1，它们的双亲结点在向量中的位置是1，即B 是它们的双亲。 注意：①根无双亲，其parent域为-1。 ②双亲链表表示法中指针parent向上链接，适合求指定结点的双亲或祖先(包括根)；求指定结点的孩子或其它后代时，可能要遍历整个数组。 2.孩子链表表示法 (1)结点结构 ①定长节点：即树中每个结点均按树的度k来设置指针。 n个结点的树一共有n*k个指针域，而树中只有n-1条边，故树中的空指针数目为：kn-(n-1)=n(k-1)+1（k越大，浪费的空间越多）。 ②不定长结点：即树中每个结点按本结点的度来设置指针数，并在结点中增设一个度数域degree指出该结点包含的指针数。 *注意：各结点不等长，虽然节省了空间，但是给运算带来不便。
第一章绪论 1、根据数据元素之间的逻辑关系，一般有哪几类基本的数据结构？各有什么特点？ 根据数据元素之间的逻辑关系，有4种基本结构 1、集合特点：结构中的数据元素属于一个集合 2、线性结构特点：一个对一个的关系 3、树形结构：一个对多个的关系 4、图状或网状结构：多个对多个的关系 2、根据数据元素之间的关系在计算机中的表示方法，数据的存储结构有几种？各有什么特点？ 1、顺序存储结构 特点：用相对位置来表示数据元素之间的逻辑关系 2、链式存储结构 特点：用指示元素存储地址的指针表示具有非连续性 3、算法的重要特性是什么？算法设计的要求是什么？ 特性：有穷性确定性可行性输入输出 设计要求：正确性可读性健壮性效率与地存储量需求 4、数据结构中评价算法的两个重要指标是什么？ 时间复杂度空间复杂度 第二章线性表 1、理解并能简述线性表的两种存储结构的主要优缺点及各自适用的场合。 顺序存储结构优点是可以实现随机读取,时间复杂度为O(1),空间利用率高;缺点是进行插入和删除操作时比较麻烦,时间复杂度为O(n),同时容量受限制,需要事先确定容量大小,容量过大浪费空间资源,过小不能满足使用要求,会产生溢出问题,虽然可以扩容,但是需要耗时间的; 链式存储结构优点,插入和删除非常简单,前提条件是知道操作位置,时间复杂度是O(1),但如果不知道操作位置则要定位元素,时间复杂度也是O(n),还有一个很大的优点是没有容量的限制,可以在使用过程中动态的分配内存空间,不用担心溢出的问题;缺点是它不能实现随机读取,同时空间利用率不高. 这两个结构各有优缺点,不同的地方选择不同的结构.尽量利用其优点,避免其缺点. 2、定义线性表顺序存储结构。 线性表的顺序表示指的是用一组地址连续的存储单元依次存储线性的数据元素。 优点：随机存取表中元素。缺点：插入和删除操作需要移动元素。 3、顺序表存储结构下初始化、取第i个数据元素、插入、删除、定位Locate、销毁操作的实现。 4、设顺序表La中的数据元素递增有序。请写出将x插入到顺序表的适当位置上以保持该表有序的算法。 5、定义线性链表存储结构 线性链表的链式存储结构的特点是用一组任意的存储单元存储线性表的数据结构。对每个数据元素，除了存储本身的信息之外，还需要存储一个指示其直接后继的信息。这两部分信息组成数据元素的的存储影像，称为结点。它包括两个域：其中存储数据元素信息的域称为数据域；存储直接后继存储位置的域称为指针域。指针域中存储的信息称做指针或链。n个
第5章树和二叉树 一、填空题 1、指向结点前驱和后继的指针称为线索。 二、判断题 1、二叉树是树的特殊形式。（） 2、完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是叶子。（） 3、对于有N个结点的二叉树，其高度为。（） 4、满二叉树一定是完全二叉树，反之未必。（） 5、完全二叉树可采用顺序存储结构实现存储，非完全二叉树则不能。（） 6、若一个结点是某二叉树子树的中序遍历序列中的第一个结点，则它必是该子树的后序遍历序列中的第一个结点。（） 7、不使用递归也可实现二叉树的先序、中序和后序遍历。（） 8、先序遍历二叉树的序列中，任何结点的子树的所有结点不一定跟在该结点之后。（） 9、赫夫曼树是带权路径长度最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。（） 110、在赫夫曼编码中，出现频率相同的字符编码长度也一定相同。（） 三、单项选择题 1、把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（A）。 A．唯一的Ｂ．有多种 C．有多种，但根结点都没有左孩子Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子 解释：因为二叉树有左孩子、右孩子之分，故一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是唯一的。 2、由3个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（D） A．2 B．3 C．4 D．5 解释：五种情况如下： 3、一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（D）。 A．250 B． 500 C．254 D．501 解释：设度为0结点（叶子结点）个数为A，度为1的结点个数为B，度为2的结点个数为C，有A=C+1，A+B+C=1001，可得2C+B=1000，由完全二叉树的性质可得B=0或1，又因为C为整数，所以B=0，C=500，A=501，即有501个叶子结点。 4、一个具有1025个结点的二叉树的高h为（C）。 A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间 解释：若每层仅有一个结点，则树高h为1025；且其最小树高为?log21025? + 1=11，即h在11至1025之间。 5、深度为h的满m叉树的第k层有（ A ）个结点。(1= 常用的数据结构 1、线性数据结构：典型的有：数组、栈、队列和线性表 （1）数组和链表 a、数组：存放着一组相同类型的数据，需要预先指定数组的长度，有一维数组、二维数组、多维数组等 b、链表：链表是C语言中一种应用广泛的结构，它采用动态分配内存的形式实现，用一组任意的存储单元存放数据元素链表的，一般为每个元素增设指针域，用来指向后继元素 c、数组和链表的区别： 从逻辑结构来看：数组必须事先定义固定的长度，不能适应数据动态地增减的情况；链表动态地进行存储分配，可以适应数据动态地增减的情况，且可以方便地插入、删除数据项（数组中插入、删除数据项时，需要移动其它数据项） 从内存存储来看：（静态)数组从栈中分配空间（用NEW创建的在堆中）, 对于程序员方便快速,但是自由度小；链表从堆中分配空间, 自由度大但是申请管理比较麻烦 从访问方式来看：数组在内存中是连续存储的，因此，可以利用下标索引进行随机访问；链表是链式存储结构，在访问元素的时候只能通过线性的方式由前到后顺序访问，所以访问效率比数组要低 （2）栈、队列和线性表：可采用顺序存储和链式存储的方法进行存储 顺序存储：借助数据元素在存储空间中的相对位置来表示元素之间的逻辑关系 链式存储：借助表示数据元素存储地址的指针表示元素之间的逻辑关系 a、栈：只允许在序列末端进行操作，栈的操作只能在栈顶进行，一般栈又被称为后进先出或先进后出的线性结构 顺序栈：采用顺序存储结构的栈称为顺序栈，即需要用一片地址连续的空间来存储栈的元素，顺序栈的类型定义如下： b、队列：只允许在序列两端进行操作，一般队列也被称为先进先出的线性结构 循环队列：采用顺序存储结构的队列，需要按队列可能的最大长度分配存储空空，其类型定义如下： 链队列：采用链式存储结构的队列称为链队列，一般需要设置头尾指针只是链表的头尾结点： c、线性表：允许在序列任意位置进行操作，线性表的操作位置不受限制，线性表的操作十分灵活，常用操作包括在任意位置插入和删除，以及查询和修改任意位置的元素 顺序表：采用顺序存储结构表示的线性表称为顺序表，用一组地址连续的存储单元一次存放线性表的数据元素，即以存储位置相邻表示位序相继的两个元素之间的前驱和后继关系，为了避免移动元素，一般在顺序表的接口定义中只考虑在表尾插入和删除元素，如此实现的顺序表也可称为栈表： 线性表：一般包括单链表、双向链表、循环链表和双向循环链表 单链表： 双向链表： 线性表两种存储结构的比较： 顺序表： 数据结构模拟试题三 一．判断题（每小题1 分，共10分） 1.逻辑结构不同的数据，要采用不同的存储方法来存储。 2.单链表中的结点只有后继，没有前驱。 3.栈和队列具有相同的逻辑特性。 4.二叉树中结点之间的相互关系不能用二元组来表示。 5.关键路径是由权值最大的边构成的。 6.在表示矩阵的三元组顺序表中，各元素的排列顺序与矩阵元素值的大小无关。 7.在广义表中，每个原子必须是单个字符。 8.在平衡二叉排序树中，每个结点的平衡因子值是相等的。 9.只有在线性表的初始状态为逆序排列的情况下，起泡排序过程中，元素的移动次数才会 达到最大值。 10.在B+树上可以进行顺序查找。 二．填空题（每空1分，共10分） 1.若用不带表头结点的单链表来表示链接队列，则只有在________情况下，插入操作既要 修改队尾指针的值，也要修改队头指针的值;只有在________情况下，删除操作仅需修改队首指针的值，不需修改队尾指针的值。 2.无向图中边的数目等于邻接矩阵中___________。 3.在各元素查找概率相等的情况下，在含有12个元素的二叉排序树上查找其中一个元素， 元素间的平均比较次数至少是____次，至多是____次。 4.对12个元素进行快速排序，排序码的比较次数最多是___次。 5.对B+树来说，若某个非根分支结点中有6个关键字，则在它的某个孩子结点中至少有 _____个关键字，至多有_____个关键字。 6.如果在根结点中要查到要找的关键字，则对于B-树来说，下一步应该_________，而对 于B+树来说，下一步应该_________。 三．单选题（每题2分，共20分） 1.线性结构采用链式存储，________。 A．对插入、删除结点的操作较为有利B．不利于进行顺序访问 C．逻辑上相邻的结点在存储器中也相邻D．可以用一些不连续的存储区域来存放一个结点2. 某算法的时间复杂度为O（2n），表明该算法的________。 A．执行时间与2n成正比B．执行时间等于2n C．问题规模是2n D．问题规模与2n成正比 3. 在长度为n的_________上，删除最后一个元素，其算法的时间复杂度是O(n)。 A．只有表头指针的循环双向链表B．只有表头指针的非循环双向链表 C．只有表尾指针的非循环双向链表 D . 只有表尾指针的循环双向链表 4. 在4个元素的进栈序列给定以后，由这4个元素构成的可能出栈序列共有________种。A．14 B.16 C.17 D.24 5. 在任何一棵二叉树中，如果结点a有左孩子b、右孩子c，则在结点的前序序列、中序序列、后序序列中，_____________。 A．结点b一定在a的前面B．结点a一定在结点c的前面C．结点b一定在结点c的前面D．结点a一定在结点b的前面 6.若二叉树中结点的中序序列是abcdef，则结点的前序序列不可能是_____________。A．dbacef B. acbedfC.efbacd D. bafdce 7. 对稀疏矩阵采用压缩存储，其优点之一是可以_____________。 A．减少非零元素的存储空间B．不减少访问非零元素所需时间 C．减少矩阵的存储空间D．降低非零元素间逻辑关系的复杂程度 8. 设待查找元素关键字的值是47，且已存入变量k中，如果在查找过程中，和k进行比较的关键字值依次是82,72,36,84,47，则所采用的查找方法可能是____________。 A．顺序查找B．分块查找C．折半查找D．平衡二叉排序树查找 9．在线性表中元素很多且各元素逆序排列的情况下，执行_______排序，元素的移动次数最 第六章树 一．名词解释： 1 树 2。结点的度 3。叶子 4。分支点 5。树的度 6．父结点、子结点 7兄弟 8结点的层数 9树的高度 10 二叉树 11 空二叉树 12 左孩子、右孩子 13孩子数 14 满二叉树 15完全二叉树 16 先根遍历 17 中根遍历 18后根遍历 19二叉树的遍历 20 判定树 21 哈夫曼树 二、填空题 1、树（及一切树形结构）是一种“________”结构。在树上，________结点没有直接前趋。 对树上任一结点X来说，X是它的任一子树的根结点惟一的________。 2、一棵树上的任何结点（不包括根本身）称为根的________。若B是A的子孙，则称A是B 的________ 3、一般的，二叉树有______二叉树、______的二叉树、只有______的二叉树、只有______ 的二叉树、同时有______的二叉树五种基本形态。 4、二叉树第i(i>=1)层上至多有______个结点。 5、深度为k(k>=1)的二叉树至多有______个结点。 6、对任何二叉树，若度为2的节点数为n2，则叶子数n0=______。 7、满二叉树上各层的节点数已达到了二叉树可以容纳的______。满二叉树也是______二叉 树，但反之不然。 8、具有n个结点的完全二叉树的深度为______。 9、如果将一棵有n个结点的完全二叉树按层编号，则对任一编号为i(1<=i<=n)的结点X有： （1）若i=1,则结点X是______；若i〉1,则X的双亲PARENT(X)的编号为______。 （2）若2i>n，则结点X无______且无______；否则，X的左孩子LCHILD(X)的编号为______。 （3）若2i+1>n，则结点X无______；否则，X的右孩子RCHILD(X)的编号为______。 10.二叉树通常有______存储结构和______存储结构两类存储结构。 11.每个二叉链表的访问只能从______结点的指针，该指针具有标识二叉链表的作用。 12.对二叉链表的访问只能从______指针开始，若二叉树为空，则______=NULL. 13.二叉链表中每个存储结点的每个指针域必须有一个值，这个值或者是____________的指针，或者是______。 14.具有n个结点的二叉树中,一共有________个指针域,其中只有________个用来指向结点的左右孩子，其余的________个指针域为NULL。 17．以下程序段采用先根遍历方法求二叉树的叶子数，请在横线处填充适当的语句。 Void countleaf(bitreptr t,int *count)/*根指针为t，假定叶子数count的初值为0*/ {if(t!=NULL) {if((t->lchild==NULL)&&(t->rchild==NULL))________; countleaf(t->lchild,&count); ________ } } 18．一棵二叉树由根、左子树和右子树三部分组成，因此对二叉树的遍历也可相应地分解成________、________、________三项“子任务”。 19．若以D、L、R分别表示二叉树的三项子任务，限定“先左后右”，这样可能的次序有： 第5章树和二叉树 一、单项选择题 1.以下说法错误的是（B ）。 A. 存在这样的二叉树，对其采用任何次序的遍历其结点访问序列均相同 B. 二叉树是树的特殊情形 C. 满二叉树中所有叶结点都在同一层上 D. 在二叉树只有一棵子树的情况下，也要指出是左子树还是右子树 2.树最适合用来表示( C)。 A.有序数据元素 B.无序数据元素 C.元素之间具有分支层次关系的数据 D.元素之间无联系的数据 3.下列叙述正确的是（C ）。 A. 二叉树是度为2的有序树 B. 完全二叉树一定存在度为1的结点 C. 深度为k的二叉树中结点总数≤2k-1 D. 对于有n个结点的二叉树，其高度为⎣log2n⎦+1 4.按照二叉树的定义，具有三个节点的二叉树有( C )种。 A.3 B.4 C.5 D.6 5.下列叙述中正确的是（C ）。 A. 二叉树是度为2的有序树 B. 二叉树中的结点只有一个孩子时无左右之分 C. 二叉树中每个结点最多只有两棵子树，并且有左右之分 D. 二叉树若存在两个结点，则必有一个为根，另一个为左孩子 6.设某二叉树中度数为0的结点数为N0，度数为1的结点数为N l，度数为2的结点数为 N2，则下列等式成立的是（ C ）。 A.N 0=N 1 +1 B.N =N l +N 2 C.N =N 2 +1 D.N =2N1+1 7.设按照从上到下、从左到右的顺序从1开始对完全二叉树进行顺序编号，则编号为i 结点的左孩子结点的编号为（ B ）。 A. 2i+1 B.2i C.i/2 D.2i-1 8.有100个结点的完全二叉树由根开始从上到下从左到右对结点进行编号，根结点的编号 为1，编号为46的结点的右孩子的编号为（ C ） A．50 B．92 C．93 D．86 9.若一棵有n个结点的树，则该树中的度之和为（C ）。 A. n+1 B. n C. n-1 D. 不确定 10.已知完全二叉树有90个结点，则整个二叉树有（ B ）个度为1的结点。 A 0 B 1 C 2 D 不确定 11.一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（C ）。 《算法导论》读书笔记之第10章基本数据结构之二叉树 摘要 书中第10章10.4小节介绍了有根树，简单介绍了二叉树和分支数目无限制的有根树的存储结构，而没有关于二叉树的遍历过程。为此对二叉树做个简单的总结，介绍一下二叉树基本概念、性质、二叉树的存储结构和遍历过程，主要包括先根遍历、中根遍历、后根遍历和层次遍历。 1、二叉树的定义 二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，每个节点至多有两棵子树，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。 由定义可知，二叉树中不存在度（结点拥有的子树数目）大于2的节点。二叉树形状如下下图所示： 2、二叉树的性质 （1）在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1)。备注:^表示此方 （2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k>=1)。（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。 满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。 完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。 可以得到一般结论：满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树，满二叉树肯定是完全二叉树，但完全二叉树不不一定是满二叉树。 举例如下图是所示： （4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n + 1。 3、二叉树的存储结构 可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法 来存储二叉树。经常使用的二叉链表方法，因为其非常灵活，方便二叉树的操作。二叉树的二叉链表存储结构如下所示： 1 typedef struct binary_tree_node 2 { 3 int elem; 4 struct binary_tree_node *left; 5 struct binary_tree_node *right; 6 }binary_tree_node,*binary_tree; 举例说明二叉链表存储过程，如下图所示： 试写出在链式存储结构上建立一棵二叉树的算法 对于链式存储结构的二叉树，需要定义一个节点结构体来表示每个节点： ```c typedef struct node { int data; struct node *left; struct node *right; } node; ``` 其中，data 表示节点的数据，left 和right 分别表示节点的左子节点和右子节点。接下来，我们可以设计一个函数来创建一棵二叉树，算法步骤如下： 1. 首先创建一个新节点，并让用户输入节点的数据。 2. 如果当前二叉树为空，则将新节点插入到根节点。 3. 否则，从根节点开始遍历二叉树。 4. 如果新节点的数据小于当前节点的数据，则继续遍历左子树。 5. 如果新节点的数据大于当前节点的数据，则继续遍历右子树。 6. 直到找到一个空位置，将新节点插入到该位置。 以下是一个示例代码实现： ```c #include 二叉树的二叉链表存储及基本操作 《二叉树的二叉链表存储及基本操作》 一、二叉树的二叉链表表示及存储 1．定义 二叉树的二叉链表存储表示是把一个二叉树存放在计算机中的一种表示形式，它是由一组以结点对象为元素的链表构成的，结点对象中包括数据域和结构域。数据域存放结点的数据元素；结构域由两个指针域组成，其中一个指向左孩子，另一个指向右孩子。 2．存储形式 二叉树的二叉链表存储表示可以用如下的存储形式表示： typedef struct BTNode { TElemType data; // 结点的数据域 struct BTNode *lchild; // 指向左孩子的指针域 struct BTNode *rchild; // 指向右孩子的指针域 } BTNode; // 树结点的定义 typedef BTNode *BiTree; // 定义二叉树的指针类型 3．空的二叉树 把一个指向树结点的指针设为NULL，称为一个空的二叉树。一般在某个树被销毁后，都要把该树设置成空树。 二、二叉树的基本操作 1．求二叉树的结点数 要求二叉树的结点数，可以用递归的方法求解。求n个结点的二 叉树的结点数，可以先求出它的左子树结点数，右子树结点数，再加上根结点的数量就得到了结点数。 // 求二叉树的结点数 int CountBTNode(BiTree T) { if (T == NULL) // 空树，结点数为0 return 0; else // 左子树结点数 + 右子树结点数 + 1 return CountBTNode(T -> lchild) + CountBTNode(T -> rchild) + 1; } 2．求二叉树叶结点数 要求二叉树叶结点数，也可以用递归的方法求解。当一个结点的左子树为空树，右子树也为空树时，它就是一个叶结点，则叶结点数加1；如果结点不是叶结点，则继续求它的左子树叶结点数和右子树叶结点数，再把它们加起来就是该二叉树的叶结点数。 // 求二叉树叶结点数 int CountBTLeaf(BiTree T) { if (T == NULL) // 空树，叶结点数为0 return 0; else if (T -> lchild == NULL && T -> rchild == NULL) // 习题 1．对于如图6-21所示的二叉树，试给出： （1）它的顺序存储结构示意图。 （2）它的二叉链表存储结构示意图。 （3）它的三叉链表存储结构示意图。 图6-21 题1图 2．证明：在结点数多于1的哈夫曼树中不存在度为1的结点。 3．证明：若哈夫曼树中有n个叶结点，则树中共有2n-1个结点。 4．证明：由二叉树的前序序列和中序序列可以唯一地确定一棵二叉树。 5．已知一棵度为m的树中有n1个度为1的结点，n2个度为2的结点，……，n m个度为m 的结点，问该树中共有多少个叶子结点？有多少个非终端结点？ 6．设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点，问该二叉树的结点数可能达到的最大值和最小值。 7．求表达式(a+b*(c-d))-e/f的波兰式（前缀式）和逆波兰式（后缀式）。 8．画出和下列已知序列对应的二叉树。 （1）二叉树的先序次序访问序列为：GFKDAIEBCHJ。 （2）二叉树的中序访问次序为：DIAEKFCJHBG。 9．画出和下列已知序列对应的二叉树。 （1）二叉树的后序次序访问序列为：CFEGDBJLKIHA。 （2）二叉树的中序访问次序为：CBEFDGAJIKLH。 10．画出和下列已知序列对应的二叉树。 （1）二叉树的层次序列为：ABCDEFGHIJ。 （2）二叉树的中序次序为：DBGEHJACIF。 11．给定一棵用二叉链表表示的二叉树，其根指针为root。试写出求二叉树结点的数目的算法（递归算法或非递归算法）。 12．设计一个算法，要求该算法把二叉树的叶结点按从左至右的顺序链成一个单链表。二叉树按二叉链表方式存储，链接时用叶结点的rchild域存放链指针。 13．给定一棵用二叉链表表示的二叉树，其根指针为root。试写出求二叉树的深度的算法。14．给定一棵用二叉链表表示的二叉树，其根指针为root。试写出求二叉树各结点的层数的算法。 15．给定一棵用二叉链表表示的二叉树，其根指针为root。试写出将二叉树中所有结点的左、右子树相互交换的算法。 16．一棵n个结点的完全二叉树以一维数组作为存储结构，试设计非递归算法对该完全二叉树进行前序遍历。 7数据结构复习题（二叉树） 一．判断题（下列各题，正确的请在前面的括号内打√；错误的打╳） （√）（1）树结构中每个结点最多只有一个直接前驱。 （ㄨ）（2）完全二叉树一定是满二查树。 （ㄨ）（3）在中序线索二叉树中，右线索若不为空，则一定指向其双亲。 （√）（4）一棵二叉树中序遍历序列的最后一个结点，必定是该二叉树前序遍历的最后一个结点。（√）（5）二叉树的前序遍历中，任意一个结点均处于其子女结点的前面。 （√）（6）由二叉树的前序遍历序列和中序遍历序列，可以推导出后序遍历的序列。 （√）（7）在完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必然是叶子结点。 （ㄨ）（8）在哈夫曼编码中，当两个字符出现的频率相同，其编码也相同，对于这种情况应该做特殊处理。 （ㄨ）（9）含多于两棵树的森林转换的二叉树，其根结点一定无右孩子。 （√）（10）具有n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点。 二．填空题 （1）在树中，一个结点所拥有的子树数称为该结点的度。 （2）度为零的结点称为叶（或叶子，或终端）结点。 （3）树中结点的最大层次称为树的深度（或高度）。 （4）对于二叉树来说，第i层上至多有2i-1个结点。 （5）深度为h的二叉树至多有2h-1 个结点。 （6）由一棵二叉树的前序序列和中序序列可唯一确定这棵二叉树。 （7）有20个结点的完全二叉树，编号为10的结点的父结点的编号是 5 。 （8）哈夫曼树是带权路径长度最小的二叉树。 （9）由二叉树的后序和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。 （10）某二叉树的中序遍历序列为: DEBAC，后序遍历序列为：EBCAD。则前序遍历序列为：DABEC 。 （11）设一棵二叉树结点的先序遍历序历为：ABDECFGH，中序遍历序历为：DEBAFCHG，则二叉树中叶结点是：E、F、H 。 （12）已知完全二叉树的第8层有8个结点，则其叶结点数是68 。 （13）由树转换成二叉树时，其根结点无右子树。 （14）采用二叉链表存储的n个结点的二叉树，一共有2n 个指针域。 （15）采用二叉链表存储的n个结点的二叉树，共有空指针n+1 个。 （16）前序为A，B，C且后序为C，B，A 实验5：树（二叉树）（采用二叉链表存储） 一、实验项目名称 二叉树及其应用 二、实验目的 熟悉二叉树的存储结构的特性以及二叉树的基本操作。 三、实验基本原理 之前我们都是学习的线性结构，这次我们就开始学习非线性结构——树。线性结构中结点间具有唯一前驱、唯一后继关系，而非线性结构中结点的前驱、后继的关系并不具有唯一性。在树结构中，节点间关系是前驱唯一而后继不唯一，即结点之间是一对多的关系。直观地看，树结构是具有分支关系的结构（其分叉、分层的特征类似于自然界中的树）。 四、主要仪器设备及耗材 Window 11、Dev-C++5.11 五、实验步骤 1.导入库和预定义 2.创建二叉树 3.前序遍历 4.中序遍历 5.后序遍历 6.总结点数 7.叶子节点数 8.树的深度 9.树根到叶子的最长路径 10.交换所有节点的左右子女 11.顺序存储 12.显示顺序存储 13.测试函数和主函数 对二叉树的每一个操作写测试函数，然后在主函数用while+switch-case的方式实现一个带菜单的简易测试程序，代码见“实验完整代码”。 实验完整代码： #include 《数据结构》课程二叉树的操作实验指导 一、实验名称和性质 二、实验目的 1．理解二叉树的类型定义与性质。 2．掌握二叉树的二叉链表存储结构的表示和实现方法。 3．掌握二叉树遍历操作的算法实现。 4．熟悉二叉树遍历操作的应用。 三、实验内容 1．建立二叉树的二叉链表存储结构。 2．实现二叉树的先序、中序和后序三种遍历操作（验证性内容）。 3．应用二叉树的遍历操作来实现判断两棵二叉树是否相等的操作（设计性内容）。 4．求从二叉树根结点到指定结点p之间的路径（应用性设计内容）。 四、实验的软硬件环境要求 硬件环境要求： PC机（单机） 使用的软件名称、版本号以及模块： Windows环境下的TurboC2.0以上或VC++ 五、知识准备 前期要求掌握二叉树的二叉链表的存储结构表示和三种遍历操作算法。 六、验证性实验 1．实验要求 编程实现如下功能： （1）假设二叉树的结点值是字符，根据输入的一棵二叉树的完整先序遍历序列建立一棵以二叉链表表示的二叉树。 （2）对二叉树进行先序、中序和后序遍历操作，并输出遍历序列，观察输出的序列是否与逻辑上的序列一致。 （3）主程序中要求设计一个菜单，允许用户通过菜单来多次选择执行哪一种遍历操作。 2. 实验相关原理： 二叉树的形式定义：二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。 二叉树的二叉链表存储结构描述为： typedef char Telemtype; typedef struct Bitnode { Telemtype data;/*数据域*/ struct Bitnode *lchild, *rchild; /*指针域,分别指向该结点的左、右孩子*/ }Bitnode,*Bitree; 【核心算法提示】 二叉树的遍历是指按某条搜索路径周游二叉树，对树中每个结点访问一次且仅访问一次。其中先序、中序和后序遍历操作步骤分别为： （1）先序遍历：若二叉树为空树，则空操作；否则先访问根结点，再先序遍历左子树，最后先序遍历右子树。 （2）先序遍历：若二叉树为空树，则空操作；否则先中序遍历左子树，再访问根结点，最后中序遍历右子树。 （3）先序遍历：若二叉树为空树，则空操作；否则先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后访问根结点。 注意：这里的“访问”的含义可以很广，几乎可以含盖对结点的任何一种操作。如：输出结点的信息、判断结点是否为叶子结点等等。 由于二叉树是一种递归定义，所以，要根据二叉树的某种遍历序列来实现建立一棵二叉树的二叉链表存储结构，则可以模仿对二叉树遍历的方法来加以实现。如：如果输入的是一棵二叉树的完整先序遍历序列，则可利用先序遍历方法先生成根结点，再用递归函数调用来实现左子树和右子树的建立。所谓完整的先序遍历序列就是在先序遍历序列中加入空树信息。【核心算法描述】 void createbitree(Bitree &T) /*根据输入的完整先序遍历序列建立一棵二叉树*/ { scanf("%c",&x); /*读取完整先序序列中的一个字符*/ if(x==‘#’) T=NULL; else { T=(Bitree)malloc(sizeof(Bitnode));/*生成根结点*/ T->data=x; createbitree(T->lchild);/*递归建立左子树*/ createbitree(T->rchild); /*递归建立右子树*/ } } void preorder(Bitree T) /*先序遍历二叉树*/ { if(T!=NULL)/*若二叉树非空*/ { visit(T->data); /*访问根结点*/ preorder(T->lchild); /*递归先序遍历左子树*/ preorder(T->rchild); /*递归先序遍历右子树*/ } } void inorder(Bitree T) /*中序遍历二叉树*/ { if(T!=NULL) /*若二叉树非空*/ { inorder(T->lchild); /*递归中序遍历左子树*/ visit(T->data); /*访问根结点*/ 树和二叉树习题及答案 一、填空题 1、不相交的树的聚集称之为森林。 2、从概念上讲,树与二叉树就是两种不同的数据结构,将树转化为二叉树的基本目的就是_树可采用孩子-兄弟链表(二叉链表)做存储结构,目的就是利用二叉树的已有算法解决树的有关问题。 3、深度为k的完全二叉树至少有2 k-1个结点。至多有2 k-1个结点,若按自上而下,从左到右次序给结点编号(从1开始),则编号最小的叶子结点的编号就是2 k-2+1。 4、在一棵二叉树中,度为零的结点的个数为n ,度为2的结点的个 数为n 2,则有n = n 2 +1。 5、一棵二叉树的第i(i≥1)层最多有 2 i-1个结点;一棵有n(n>0)个结点的满二叉树共有(n+1)/2个叶子与(n-1) /2个非终端结点。 6.现有按中序遍历二叉树的结果为abc,问有5种不同形态的二叉树 可以得到这一遍历结果。 7、哈夫曼树就是带权路径最小的二叉树。 8、前缀编码就是指任一个字符的编码都不就是另一个字符编码的前缀的一种编码方法,就是设计不等长编码的前提。 9、以给定的数据集合{4,5,6,7,10,12,18}为结点权值构造的Huffman树的加权路径长度就是 165 。 10、树被定义为连通而不具有回路的(无向)图。 11、若一棵根树的每个结点最多只有两个孩子,且孩子又有左、右之分,次序不能颠倒,则称此根树为二叉树。 12、高度为k,且有个结点的二叉树称为二叉树。 2k-1 满 13、带权路径长度最小的二叉树称为最优二叉树,它又被称为树。 Huffman 14、在一棵根树中,树根就是为零的结点,而为零的结点就是结点。 入度出度树叶 15、Huffman树中,结点的带权路径长度就是指由到之间的路径长度与结点权值的乘积。 结点树根 16、满二叉树就是指高度为k,且有个结点的二叉树。二叉树的每一层i上,最多有个结点。 2k-1 2i-1 二、单选题 1、具有10个叶结点的二叉树中有 (B) 个度为2的结点。 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 2. 对二叉树的结点从1开始进行连续编号,要求每个结点的编号大于其左右孩子的编号,同一结点的左右孩子中,其左孩子的编号小于其右孩子的编号,则可采用_(3)次序的遍历实现编号。 (1)先序 (2)中序 (3)后序 (4)从根开始按层遍历 3、由2、3、 4、7作为结点权值构造的树的加权路径长度 B 。 A、33 B、30 C、36 D、40 4、高度为6的满二叉树,总共有的结点数就是 B 。 A、15 B、63 C、20 实验四二叉树的基本操作 一、实验目的: (1）掌握二叉树的定义和存储表示,学会建立一棵特定二叉树的方法; (2)掌握二叉树的遍历算法（先序、中序、后序遍历算法）的思想; （３）掌握二叉树和叶子数、深度之间的关系及联系。 二、实验内容: 构造二叉树,再实现二叉树的先序、中序、后序遍历,最后统计二叉树的叶子数和深度。 三、实验步骤： (一）需求分析 １. 二叉树的建立首先要建立一个二叉链表的结构体,包含根节点和左右子树．因为树的每一个左右子树又是一颗二叉树，所以用递归的方法来建立其左右子树。二叉树的遍历是一种把二叉树的每一个节点访问并输出的过程,遍历时根结点与左右孩子的输出顺序构成了不同的遍历方法,这个过程需要按照不同的遍历的方法,先输出根结点还是先输出左右孩子，可以用选择语句来实现。 2.程序的执行命令为: 1）构造结点类型，然后创建二叉树。 2）根据提示,从键盘输入各个结点。 ３）通过选择一种方式(先序、中序或者后序）遍历. 4)输出结果,结束。 （二)概要设计 1。二叉树的二叉链表结点存储类型定义 tyｐedeｆsｔruct Node ｛ DataＴype daｔa; struｃt Nｏde *LChｉlｄ; ｓtruct Nｏde *RCｈild; ｝BitＮoｄe,*BitTreｅ; 2。建立如下图所示二叉树: 3。本程序包含六个模块 １) 主程序模块 2）先序遍历模块 3)中序遍历模块 4）后序遍历模块 5）叶子数模块 6)深度模块 四、测试结果 1. 进入演示程序后的显示主界面: 请输入二叉树中的元素； 先序、中序、后序遍历和叶子数、深度分别输出结果。 ２.测试结果 以扩展先序遍历序列输入,其中＃代表空子树:ＡBC#＃DE#Ｇ#＃F### 先序遍历序列为:AＢCDEＧF 中序遍历序列为：CBEＧDFA 后序遍历序列为：CＧEFDBA 此二叉树的叶子数为：3 此二叉树的深度为:5 3。程序运行结果截图: 实验六：二叉树及其应用 一、实验目的 树是数据结构中应用极为广泛的非线性结构，本单元的实验达到熟悉二叉树的存储结构的特性，以及如何应用树结构解决具体问题。 二、问题描述 首先，掌握二叉树的各种存储结构和熟悉对二叉树的基本操作。其次，以二叉树表示算术表达式的基础上，设计一个十进制的四则运算的计算器。 如算术表达式：a+b*(c-d)-e/f 三、实验要求 如果利用完全二叉树的性质和二叉链表结构建立一棵二叉树，分别计算统计叶子结点的个数。求二叉树的深度。十进制的四则运算的计算器可以接收用户来自键盘的输入。由输入的表达式字符串动态生成算术表达式所对应的二叉树。自动完成求值运算和输出结果。四、实验环境 PC微机 DOS操作系统或Windows 操作系统 Turbo C 程序集成环境或Visual C++ 程序集成环境 五、实验步骤 1、根据二叉树的各种存储结构建立二叉树； 2、设计求叶子结点个数算法和树的深度算法； 3、根据表达式建立相应的二叉树，生成表达式树的模块； 4、根据表达式树，求出表达式值，生成求值模块； 5、程序运行效果，测试数据分析算法。 六、测试数据 1、输入数据：2.2*（3.1+1.20）-7.5/3 正确结果：6.96 2、输入数据：(1+2)*3+(5+6*7); 正确输出：56 七、表达式求值 由于表达式求值算法较为复杂，所以单独列出来加以分析： 1、主要思路：由于操作数是任意的实数，所以必须将原始的中缀表达式中的操作数、操作符以及括号分解出来，并以字符串的形式保存；然后再将其转换为后缀表达式的顺序，后缀表达式可以很容易地利用堆栈计算出表达式的值。 例如有如下的中缀表达式： a+b-c 转换成后缀表达式为： ab+c- 然后分别按从左到右放入栈中，如果碰到操作符就从栈中弹出两个操作数进行运算，最后再将运算结果放入栈中，依次进行直到表达式结束。如上述的后缀表达式先将a 和b 放入栈中，然后碰到操作符“+”，则从栈中弹出a 和b 进行a+b 的运算，并将其结果d（假设为d）放入栈中，然后再将c 放入栈中，最后是操作符“-”，所以再弹出d和c 进行d-c 运算，并将其结果再次放入栈中，此时表达式结束，则栈中的元素值就是该表达式最后的运算结果。当然将原始的中缀表达式转换为后缀表达式比较关键，要同时考虑操作符的优先级以及对有括号的情况下的处理，相关内容会在算法具体实现中详细讨论。 2、求值过程常用的数据结构
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