二叉树二叉链表存储结构

第6章 二叉树与树一、回答题1. 图6-1所示的树的叶子结点、非中端结点、每个结点的度及树的深度各是多少？图6-1 树2. 已知一棵树边的集合表示为：{ ( L, N ), ( G, K ), ( G, L ), ( G, M ), ( B, E ), ( B, F ), ( D, G ), ( D, H ), ( D, I ), ( D, J ), ( A, B ), ( A, C ), ( A, D ) }，画出这棵树，并回答以下问题：(1) 树的根结点是哪个？哪些是叶子结点？哪些是非终端结点？ (2) 树的度是多少？各个结点的度是多少？ (3) 树的深度是多少？各个结点的层数是多少？(4) 对于结点G ，它的双亲结点、祖先结点、孩子结点、子孙结点、兄弟和堂兄弟分别是哪些结点？3. 如果一棵度为m 的树中，度为1的结点数为n 1，度为2的结点数为n 2，……，度为m 的结点数为n m ，那么该树中含有多少个叶子结点？有多少个非终端结点？ABECDFGHJI4. 任意一棵有n 个结点的二叉树，已知有m 个叶子结点，能否证明度为2结点有m-1个？5. 已知在一棵含有n 个结点的树中，只有度为k 的分支结点和度为0的叶子结点，那么该树含有的叶子结点的数目是多少？6. 一棵含有n 个结点的k 叉树，可能达到的最大深度和最小深度各为多少？7. 对于3个结点A 、B 、C ，可以过程多少种不同形态的二叉树？8. 深度为5的二叉树至多有多少个结点？9. 任何一棵二叉树的叶子结点在先序、中序和后序遍历中的相对次序是发生改变？不发生改变？不能确定？10. 设n 、m 为一棵二叉树上的两个结点，在中序遍历时，n 在m 前的条件是什么？ 11. 已知某二叉树的后续遍历序列是dabec ，中序遍历序列是debac ，那么它的前序遍历序列是什么？12. 对一棵满二叉树，m 个树叶，n 个结点，深度为h ，则n 、m 和h 之间的关系是什么？ 13. 对图6-2(a)和(b)所示的二叉树，它们的经过先序、中序和后序遍历后得到的结点序列分别是什么？画出它们的先序线索二叉树和后序线索二叉树。

数据结构（⼆⼗四）⼆叉树的链式存储结构（⼆叉链表） ⼀、⼆叉树每个结点最多有两个孩⼦，所以为它设计⼀个数据域和两个指针域，称这样的链表叫做⼆叉链表。

⼆、结点结构包括：lchild左孩⼦指针域、data数据域和rchild右孩⼦指针域。

三、⼆叉链表的C语⾔代码实现：#include "string.h"#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "io.h"#include "math.h"#include "time.h"#define OK 1#define ERROR 0#define TRUE 1#define FALSE 0#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 *//* ⽤于构造⼆叉树********************************** */int index=1;typedef char String[24]; /* 0号单元存放串的长度 */String str;Status StrAssign(String T,char *chars){int i;if(strlen(chars)>MAXSIZE)return ERROR;else{T[0]=strlen(chars);for(i=1;i<=T[0];i++)T[i]=*(chars+i-1);return OK;}}/* ************************************************ */typedef char TElemType;TElemType Nil=''; /* 字符型以空格符为空 */Status visit(TElemType e){printf("%c ",e);return OK;}typedef struct BiTNode /* 结点结构 */{TElemType data; /* 结点数据 */struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩⼦指针 */}BiTNode,*BiTree;/* 构造空⼆叉树T */Status InitBiTree(BiTree *T){*T=NULL;return OK;}/* 初始条件: ⼆叉树T存在。

第5章树和二叉树一、填空题1、指向结点前驱和后继的指针称为线索。

二、判断题1、二叉树是树的特殊形式。

（）2、完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是叶子。

（）3、对于有N个结点的二叉树，其高度为。

（）4、满二叉树一定是完全二叉树，反之未必。

（）5、完全二叉树可采用顺序存储结构实现存储，非完全二叉树则不能。

（）6、若一个结点是某二叉树子树的中序遍历序列中的第一个结点，则它必是该子树的后序遍历序列中的第一个结点。

（）7、不使用递归也可实现二叉树的先序、中序和后序遍历。

（）8、先序遍历二叉树的序列中，任何结点的子树的所有结点不一定跟在该结点之后。

（）9、赫夫曼树是带权路径长度最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。

（）110、在赫夫曼编码中，出现频率相同的字符编码长度也一定相同。

（）三、单项选择题1、把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（A）。

A．唯一的Ｂ．有多种C．有多种，但根结点都没有左孩子Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子解释：因为二叉树有左孩子、右孩子之分，故一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是唯一的。

2、由3个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（D）A．2 B．3 C．4 D．5解释：五种情况如下：3、一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（D）。

A．250 B． 500 C．254 D．501解释：设度为0结点（叶子结点）个数为A，度为1的结点个数为B，度为2的结点个数为C，有A=C+1，A+B+C=1001，可得2C+B=1000，由完全二叉树的性质可得B=0或1，又因为C为整数，所以B=0，C=500，A=501，即有501个叶子结点。

4、一个具有1025个结点的二叉树的高h为（C）。

A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间解释：若每层仅有一个结点，则树高h为1025；且其最小树高为⎣log21025⎦ + 1=11，即h在11至1025之间。

基本二叉树知识讲解一、有关二叉树的学习性质1：二叉树上叶子结点数等于度为2的结点数加1。

性质2：二叉树的第i层上至多有2的i次方减1个结点（i>=1）。

性质3：深度为h的二叉树至多有2的h次方减1个结点。

满二叉树：在一棵二叉树中，当第i层的结点树为2的i次方减1个时，称此层的结点数是满的。

当一棵二叉树中的每一层都满时，称此树为满二叉树。

特性：除叶子结点以外的其他的结点的度皆为2，且叶子结点在同一层上。

深度为h的满二叉树中的结点数为2的h次方减1。

性质4：设含有n个结点的完全二叉树的深度为k，则k=(int)(log2n)+1,即深度k等于log2n的整数部分再加1。

二叉树的存储结构1：顺序存储结构二叉树的顺序存储结构类型定义如下：#define TREEMINSIZE 10typedef struct{BTreeDT(数据类型) *base;int spacesize;BTreeDT nullvalue;}SeqTree;2：链式存储结构（一般的二叉树主要采用链式存储结构通常有二叉链表和三叉链表两种形式）1>二叉链表存储结构二叉链表中的每个结点由data，lchild和rchild三个域组成，定义如下：typedef struct bkbtnode{BTreeDT data;struct bkbtnode *lchild;struct bkbtnode *rchild;}BTNode,*BKBTree;在二叉链表中，查找某结点的孩子很容易实现，但查找某结点的双亲不方便。

一棵喊有n个结点的二叉树采用二叉链表存储时，将有2n-（n-1）=n+1个指针域是空的。

2>三叉链表存储结构typedef struct tkbtnode{BTreeDT data;struct tkbtnode *lchild;struct tkbtnode *rchild;struct tkbtnode *parent;}TKBTNode,*TKBTree;其中，parent域存放该结点双亲的指针。

实现二叉链表存储结构下二叉树的先序遍历的非递归算法要实现二叉链表存储结构下二叉树的先序遍历的非递归算法，可以使用栈来辅助存储节点。

首先，创建一个空栈，并将树的根节点压入栈中。

然后，循环执行以下步骤，直到栈为空：1. 弹出栈顶的节点，并访问该节点。

2. 若该节点存在右子节点，则将右子节点压入栈中。

3. 若该节点存在左子节点，则将左子节点压入栈中。

注：先将右子节点压入栈中，再将左子节点压入栈中的原因是，出栈操作时会先访问左子节点。

下面是使用Python语言实现的例子：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, value):self.val = valueself.left = Noneself.right = Nonedef preorderTraversal(root):if root is None:return []stack = []result = []node = rootwhile stack or node:while node:result.append(node.val)stack.append(node)node = node.leftnode = stack.pop()node = node.rightreturn result```这里的树节点类为`TreeNode`，其中包含节点的值属性`val`，以及左子节点和右子节点属性`left`和`right`。

`preorderTraversal`函数为非递归的先序遍历实现，输入参数为二叉树的根节点。

函数中使用了一个栈`stack`来存储节点，以及一个列表`result`来存储遍历结果。

在函数中，先判断根节点是否为None。

如果是，则直接返回空列表。

然后，创建一个空栈和结果列表。

接下来，用一个`while`循环来执行上述的遍历过程。

循环的条件是栈`stack`不为空或者当前节点`node`不为None。

福师《数据结构概论》在线作业二-0002试卷总分：100得分：100一、单选题（共25道试题,共50分）1.设森林F对应的二叉树为B，它有m个结点，B的根为p,p的右子树结点个数为 n,森林F中第一棵树的结点个数是（）A.m-nB.m-n-1C.n+1D.条件不足，无法确定答案:A2.若二叉树采用二叉链表存储结构，要交换其所有分支结点左、右子树的位置，利用（）遍历方法最合适。

A.前序B.中序C.后序D.按层次答案:C3.一个算法应该是（）。

A.程序B.问题求解步骤的描述C.要满足五个基本特性D.A 和 C.答案:B4.栈和队列的共同点是（）。

A.都是先进先出8.都是先进后出C.只允许在端点处插入和删除元素D.没有共同点E.限制存取点的线性结构F.限制存取点的非线性结构答案:C5.下面的程序段中，对x的赋值语句的频度为（）FOR i:=1 TO n DOFOR j:=1 TO n DO x:=x+1;A.O（2n）B.O（n）C.O（n"2）D.O（log2n）答案:C6.算法的计算量的大小称为计算的（）A.效率B.复杂性C.现实性D.难度答案:B7.对于栈操作数据的原则是（）A.先进先出8.后进先出C.后进后出D.不分顺序答案:B8.下列表达式中结果不是日期型的是？A.CT0D（"2000/10/01"）B.「99/10/01}+365C.VAL（"2000/10/01"）D.DATE（）答案:C9.关键路径是事件结点网络中（）A.从源点到汇点的最长路径B.从源点到汇点的最短路径C.最长回路D.最短回路答案:A10.就平均性能而言，目前最好的内排序方法是（）排序法。

A.冒泡B.希尔插入C.交换D.快速答案:D11.栈和队都是（）A.顺序存储的B.线性结构C.链式存储的D.非线性结构答案:B12.关系数据库中，实现实体之间的联系是通过表与表之间的?A.公共索引B.公共存储C.公共元组D.公共属性答案:D13.下列关于候选键的说法中错误的是？A.键是惟一标识实体的属性集B.候选键能惟一决定一个元组C.能惟一决定一个元组的属性集是候选键D.候选键中的属性均为主属性答案:C14.假设以行序为主序存储二维数组A=array[1..100，1..100]，设每个数据元素占2个存储单元，基地址为10，则LOC[5，5]=（）A.808B.818C.1010D.1020答案:B15.链表不具有的特点是（）儿插入、删除不需要移动元素B.可随机访问任一元素C.不必事先估计存储空间D.所需空间与线性长度成正比答案:B16.若要求尽可能快地对序列进行稳定的排序，则应选（A.快速排序B.归并排序C.冒泡排序D.堆答案:B17.下面关于关系数据模型的说法，正确的是哪一项？A.只能表示实体间的1：1联系B.只能表示实体间的l：n联系C.只能表示实体间的m：n联系D.可以表示实体间的上述三种联系答案:D18.若长度为n的线性表采用顺序存储结构，在其第i个位置插入一个新元素的算法的时间复杂度为（）（1<=i<=n+1）。

二叉树的存储结构二叉树是一种常见的数据结构，在计算机科学中被广泛应用。

它的存储结构有多种形式，包括顺序存储和链式存储。

下面将详细介绍这些存储结构。

1.顺序存储：顺序存储是将二叉树的节点按照从上到下、从左到右的顺序依次存储在一个数组中。

对于完全二叉树来说，这种存储方式最为简单有效，可以节省空间。

但是对于一般的二叉树，由于节点的数量不固定，会浪费一定的存储空间。

具体的存储方式可以按照如下的规则进行：-对于二叉树的第i个节点（i从1开始计数），其左子节点存储在数组中的位置为2i，右子节点存储在位置为2i+1、根节点存储在位置为1、这种存储方式可以方便地根据节点的索引计算出其子节点的索引。

- 如果一些位置没有节点，则用一个特殊的标记（如null或者0）代替。

-这种存储方式要求节点按照其中一种顺序进行填充，通常采用层序遍历的方式进行填充。

-在进行节点遍历的时候，可以根据节点的索引来判断其父节点的位置，从而方便地进行遍历。

虽然顺序存储可以节省存储空间，但是在插入和删除节点时涉及到数组元素的移动，效率比较低。

2.链式存储：链式存储是通过节点之间的引用关系来实现。

每个节点包含一个数据域和两个指针域，分别指向其左子节点和右子节点。

链式存储充分利用了指针的特性，可以方便地进行插入和删除节点的操作。

同时，链式存储可以灵活地处理任意形状的二叉树，不需要事先确定节点的数量。

具体的链式存储方式有以下几种：-树的孩子兄弟表示法：每个节点包含两个指针，一个指向其第一个子节点，另一个指向其下一个兄弟节点。

这种表示方式适用于任意形状的二叉树，但是树的操作比较复杂。

-二叉链表表示法：节点包含三个指针，一个指向其左子节点，一个指向其右子节点，另一个指向其父节点。

这种表示方式适用于二叉树，可以方便地进行遍历和操作。

-线索二叉树：在二叉链表表示法的基础上，加入了线索信息。

节点的左指针指向其前驱，右指针指向其后继。

这种方式可以方便地进行中序遍历，节省了遍历时的存储开销。

《算法导论》读书笔记之第10章基本数据结构之二叉树摘要书中第10章10.4小节介绍了有根树，简单介绍了二叉树和分支数目无限制的有根树的存储结构，而没有关于二叉树的遍历过程。

为此对二叉树做个简单的总结，介绍一下二叉树基本概念、性质、二叉树的存储结构和遍历过程，主要包括先根遍历、中根遍历、后根遍历和层次遍历。

1、二叉树的定义二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，每个节点至多有两棵子树，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

由定义可知，二叉树中不存在度（结点拥有的子树数目）大于2的节点。

二叉树形状如下下图所示：2、二叉树的性质（1）在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i&gt;=1)。

备注:^表示此方（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k&gt;=1)。

（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。

满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。

即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。

完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。

可以得到一般结论：满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树，满二叉树肯定是完全二叉树，但完全二叉树不不一定是满二叉树。

举例如下图是所示：（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n + 1。

3、二叉树的存储结构可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法来存储二叉树。

经常使用的二叉链表方法，因为其非常灵活，方便二叉树的操作。

二叉树的二叉链表存储结构如下所示：1 typedef struct binary_tree_node2 {3 int elem;4 struct binary_tree_node *left;5 struct binary_tree_node *right;6 }binary_tree_node,*binary_tree;举例说明二叉链表存储过程，如下图所示：从图中可以看出：在还有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。

实验5：树（二叉树）（采用二叉链表存储）一、实验项目名称二叉树及其应用二、实验目的熟悉二叉树的存储结构的特性以及二叉树的基本操作。

三、实验基本原理之前我们都是学习的线性结构，这次我们就开始学习非线性结构——树。

线性结构中结点间具有唯一前驱、唯一后继关系，而非线性结构中结点的前驱、后继的关系并不具有唯一性。

在树结构中，节点间关系是前驱唯一而后继不唯一，即结点之间是一对多的关系。

直观地看，树结构是具有分支关系的结构（其分叉、分层的特征类似于自然界中的树）。

四、主要仪器设备及耗材Window 11、Dev-C++5.11五、实验步骤1.导入库和预定义2.创建二叉树3.前序遍历4.中序遍历5.后序遍历6.总结点数7.叶子节点数8.树的深度9.树根到叶子的最长路径10.交换所有节点的左右子女11.顺序存储12.显示顺序存储13.测试函数和主函数对二叉树的每一个操作写测试函数，然后在主函数用while+switch-case的方式实现一个带菜单的简易测试程序，代码见“实验完整代码”。

实验完整代码：#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAX_TREE_SIZE 100typedef char ElemType;ElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE];struct BiTNode{ElemType data;BiTNode *l,*r;}*T;void createBiTree(BiTNode *&T){ElemType e;e = getchar();if(e == '\n')return;else if(e == ' ')T = NULL;else{if(!(T = (BiTNode *)malloc(sizeof (BiTNode)))){cout << "内存分配错误!" << endl;exit(0);}T->data = e;createBiTree(T->l);createBiTree(T->r);}}void createBiTree2(BiTNode *T,int u) {if(T){SqBiTree[u] = T->data;createBiTree2(T->l,2 * u + 1);createBiTree2(T->r,2 * u + 2); }}void outputBiTree2(int n){int cnt = 0;for(int i = 0;cnt <= n;i++){cout << SqBiTree[i];if(SqBiTree[i] != ' ')cnt ++;}cout << endl;}void preOrderTraverse(BiTNode *T) {if(T){cout << T->data;preOrderTraverse(T->l);preOrderTraverse(T->r);}}void inOrderTraverse(BiTNode *T) {if(T){inOrderTraverse(T->l);cout << T->data;inOrderTraverse(T->r);}}void beOrderTraverse(BiTNode *T){if(T){beOrderTraverse(T->l);beOrderTraverse(T->r);cout << T->data;}}int sumOfVer(BiTNode *T){if(!T)return 0;return sumOfVer(T->l) + sumOfVer(T->r) + 1;}int sumOfLeaf(BiTNode *T){if(!T)return 0;if(T->l == NULL && T->r == NULL)return 1;return sumOfLeaf(T->l) + sumOfLeaf(T->r);}int depth(BiTNode *T){if(!T)return 0;return max(depth(T->l),depth(T->r)) + 1;}bool LongestPath(int dist,int dist2,vector<ElemType> &ne,BiTNode *T) {if(!T)return false;if(dist2 == dist)return true;if(LongestPath(dist,dist2 + 1,ne,T->l)){ne.push_back(T->l->data);return true;}else if(LongestPath(dist,dist2 + 1,ne,T->r)){ne.push_back(T->r->data);return true;}return false;}void swapVer(BiTNode *&T){if(T){swapVer(T->l);swapVer(T->r);BiTNode *tmp = T->l;T->l = T->r;T->r = tmp;}}//以下是测试程序void test1(){getchar();cout << "请以先序次序输入二叉树结点的值，空结点用空格表示:" << endl; createBiTree(T);cout << "二叉树创建成功!" << endl;}void test2(){cout << "二叉树的前序遍历为:" << endl;preOrderTraverse(T);cout << endl;}void test3(){cout << "二叉树的中序遍历为:" << endl;inOrderTraverse(T);cout << endl;}void test4(){cout << "二叉树的后序遍历为:" << endl;beOrderTraverse(T);cout << endl;}void test5(){cout << "二叉树的总结点数为：" << sumOfVer(T) << endl;}void test6(){cout << "二叉树的叶子结点数为：" << sumOfLeaf(T) << endl; }void test7(){cout << "二叉树的深度为：" << depth(T) << endl;}void test8(){int dist = depth(T);vector<ElemType> ne;cout << "树根到叶子的最长路径:" << endl;LongestPath(dist,1,ne,T);ne.push_back(T->data);reverse(ne.begin(),ne.end());cout << ne[0];for(int i = 1;i < ne.size();i++)cout << "->" << ne[i];cout << endl;}void test9(){swapVer(T);cout << "操作成功!" << endl;}void test10(){memset(SqBiTree,' ',sizeof SqBiTree);createBiTree2(T,0);cout << "操作成功!" << endl;}void test11(){int n = sumOfVer(T);outputBiTree2(n);}int main(){int op = 0;while(op != 12){cout << "-----------------menu--------------------" << endl;cout << "--------------1：创建二叉树--------------" << endl;cout << "--------------2：前序遍历----------------" << endl;cout << "--------------3：中序遍历----------------" << endl;cout << "--------------4：后序遍历----------------" << endl;cout << "--------------5：总结点数----------------" << endl;cout << "--------------6：叶子节点数--------------" << endl;cout << "--------------7：树的深度----------------" << endl;cout << "--------------8：树根到叶子的最长路径----" << endl;cout << "--------------9：交换所有节点左右子女----" << endl;cout << "--------------10：顺序存储---------------" << endl;cout << "--------------11：显示顺序存储-----------" << endl;cout << "--------------12：退出测试程序-----------" << endl;cout << "请输入指令编号:" << endl;if(!(cin >> op)){cin.clear();cin.ignore(INT_MAX,'\n');cout << "请输入整数!" << endl;continue;}switch(op){case 1:test1();break;case 2:test2();break;case 3:test3();break;case 4:test4();break;case 5:test5();break;case 6:test6();break;case 7:test7();break;case 8:test8();break;case 9:test9();break;case 10:test10();break;case 11:test11();break;case 12:cout << "测试结束!" << endl;break;default:cout << "请输入正确的指令编号!" << endl;}}return 0;}六、实验数据及处理结果测试用例：1.创建二叉树（二叉链表形式）2.前序遍历3.中序遍历4.后序遍历5.总结点数6.叶子结点数7.树的深度8.树根到叶子的最长路径9.交换所有左右子女10.顺序存储七、思考讨论题或体会或对改进实验的建议通过这次实验，我掌握了二叉树的顺序存储和链式存储，体会了二叉树的存储结构的特性，掌握了二叉树的树上相关操作。