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《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。
②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。
八年级数学上册第二章实数7 二次根式二次根式化简技巧素材（新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（八年级数学上册第二章实数7 二次根式二次根式化简技巧素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二次根式化简技巧所谓转化:解数学题的常用策略。
常言道：“兵无常势，水无常形。
”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻,怎么办？运用转化策略,换个角度思考，往往可以打破僵局,迅速找到解题的途径。
二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段,因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。
现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
一、巧用公式法例1.+分析：本例初看似乎很复杂,其实只要你掌握好了公式,问题就简单了，因为a 与b 成立,且分式也成立,故有a >0,b >0,()0≠-b a 而同时公式:()b a -2=a2—2ab ＋b 2,a 2-2b =()b a +()b a -,可以帮助我们将b ab a +-2和b a -变形,所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单．解:原式=()ba ba --2+()()ba ba ba +-+=()b a -+()b a -=2a —2b二、适当配方法: 例2．计算：32163223-+--+分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点,∵分母含有1+32-其分子必有含１＋32-的因式，于是可以发现3+22=()221+,且()21363+=+,通过因式分解,分子所含的1+32-的因式就出来了.解:原式=()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121＋2三、正确设元化简法:例3：化简53262++分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代,使其变为简单的运算,再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6=ab ，正好与分子吻合。
八年级数学上册２.７.2 二次根式教案(新版)北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(八年级数学上册2.7.2 二次根式教案(新版)北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课题：２.7。
2二次根式教学目标:1.通过对公式的反向运用,达到化简的目的.学会一种特殊的思考方法.2.在探究、合作活动中,发展学生探究能力和合作意识．3.通过对公式的逆运用,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．教学重、难点:重点：1.二次根式乘除法则的运用， 即b a b a ⋅=⋅ (a ≥0，ｂ≥0）； b a ba = (ａ≥0,ｂ＞0). 2．能运用实数的运算解决简单的实际问题． 难点:灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算．课前准备:多媒体课件教学过程:一、复习导入，提出问题活动内容：问题1:积的算术平方根和商的算术平方根分别等于什么？问题２:计算下列各数: 4813 问题3：28？处理方式:问题１学生先用语言叙述,然后用公式表达,为本节课学习算术平方根的积和商做好铺垫;问题2的解决由学生独立完成,既巩固问题1,也为问题3的解决进行热身；问题3,预习较好的学生会尝试逆用上节课学习的知识，但是仍有部分学生让同学不知道如何处理,可以自然的引入本节课要研究的主要内容．活动目的：通过对上节课内容的复习达到引入新课的目的，让学生带着疑问去走进课堂，明白本节课的任务，可以更好地完成教学目标.二、合作探究,交流互动活动内容1:问题1：计算下列各数94⨯＝ ，94⨯= ; 2516⨯＝ ,2516⨯= ；94= ,94= ； 2516= ,2516＝ ． 问题２：借助计算器完成以下各题,看谁完成得又对又快：（课件展示）76⨯= ,76⨯= ；76＝ ，76= ． 问题3:你有哪些发现?如何正确表述你的发现？处理方式:问题1、2学生通过计算独立完成,然后老师多媒体展示答案.94⨯=2×3=6,94⨯=36＝6;2516⨯＝4×5=20，2516⨯＝400=20;94＝32,94=32; 2516=54,2516=54． 76⨯≈2。
第八讲 二次根式和最简二次根式【学习目标】认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质；利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.【基础知识】1.（0a ≥） 的式子叫做根式；a 根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；2.二次根式的性质： ① 0a ≥0 （双重非负性）②2= a （0a ≥） 3.最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式；【考点剖析】考点一：二次根式定义例1有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．x≥12B ．x≤-12C ．x≥-12D ．x≤12【答案】C 【解析】依题意120x +≥，解得x≥-12，故选C. 考点二：二次根式的非负性例2．若y 2，则x y ＝_____． 【答案】9 【解析】解：y 2有意义， 必须x ﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x ＝3，代入得：y ＝0+0+2＝2， ∴x y ＝32＝9． 故答案为：9．考点三：二次根式的性质及应用例3．（1）先化简，再求值：a 1007a =．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）________的解法是错误的； （2）化简：2(5)π-=________；（3）先化简，再求值：2269a a a +-+，其中2019a =-． 【答案】(1)小亮；(2) 5π-;(3)-2016 【解析】（1）∵1007a =， ∴1-a=-1006＜0，∴212a a a +-+=2(1)|1|121a a a a a a a +-=+-=+-=- =2×1007-1 =2013.∴小亮的解法是错误的；（2）2(5)|5|(5)πππ-=-=--=5π- （3）∵2019a =-， ∴320220a -=-<， 则原式22(3)a a =+-2|3|a a =+- 2(3)a a =--3a =+ 2016=-．考点四：实数的大小比较例4．（1）把|3|,0,2,3--表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接．【答案】数轴表示见解析，2033-<-解：在数轴上表示为：用“<”连接为：2033-<<<-．（2）在数轴上标出下列各数，然后用“<”连接起来：2,2,0,|3|,( 4.5)----【答案】数轴见解析，()2023 4.5-<<<-<--【详解】 解：如图：用“＜”连接为：()2023 4.5-<<-<--．考点五：例5．（1）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A 24B 36C a bD 24x +【答案】D 【详解】A 2426=B 366=不是最简二次根式，不符合题意；C a ab b b=不是最简二次根式，不符合题意； D 24x + 故选：D ．（212的结果是（ ） A ．43B ．32C ．23D ．26【答案】C 【详解】221243232323⨯=⨯==（3_____．【详解】===．（4_____．【答案】4【详解】24x =⨯==故答案为：4【真题演练】1．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ） A ．3﹣π B ．a C ．a 2+1 D ．2x+4 【答案】C【解析】解：A 、3﹣π＜0，则3﹣a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； B 、a 的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； C 、a 2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；D 、2x+4的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； 故选：C ．2．下列根式中，是二次根式的是（ ）.A ．πB ．13C D【答案】D 【解析】A. π不符合题意，故此选项不正确；B. 13不符合题意，故此选项不正确；C.D.符合题意，故此选项正确；故选D.3．下列各式:(b ≥2) , , , 其中是二次根式的个数有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个.D ．5个【答案】B 【解析】(b ≥2)，0，当小于0时无意义，不是二次根式；故选：B ．4x 的取值范围是（ ） A ．1x ≤ B ．1x <C ．1x ≥D ．1x >【答案】C 【解析】10x -≥解得：1x ≥ 故选C5x 的取值范围是( ) A ．2x > B ．2x <C ．2x ≥D ．2x ≤【答案】C 【解析】解：根据题意，得20x -，解得，2x . 故选C.6．下列式子中，a 不可以取1和2的是（ ）A B CD 【答案】D 【解析】A ．由5a ≥0，所以a ≥0，故选项A 可取1和2；B ．由a +3≥0，所以a ≥﹣3，故选项B 可取1和2；C ．由a 2≥0，所以a 2+1≥1，故选项C 可取1和2；D ．由2a-≥0且a ≠0，所以a ＜0，故选项D 不可取1和2； 故选：D ．7．说明命题是假命题的一个正确的反例是( ) A ．a=3 B ．a=-3C ．a=0.3D ．a=0【答案】B 【解析】=a ， ∴a≥0，故此命题是假命题的反例就是a 是一个负数， 故答案为：B.8．若代数式3x +有意义，则实数x 的取值范围是______. 【答案】1x - 【解析】解：∵代数式3x +有意义， ∴10x +≥，30x +≠， 解得：1x ≥-，3x ≠-， ∴实数x 的取值范围是：1x ≥-； 故答案为：1x ≥-.9．已知x ，y 是实数，且满足18______． 【答案】12【解析】解：∵由二次根式的定义得202x 0x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x=2，∴1y 008=++，即：18y =，12====.故答案为：1 2 .1012x-12x⎫>⎪⎭哪些是二次根式？哪些不是？为什么？【答案】见解析【解析】2，所以不是二次根式；-12x不含二次根号，不是二次根式；，不能确定被开方数是非负数，当0a<10x+<无意义，不一定是二次根式；40-<12x⎫>⎪⎭，因为120x-<a取何实数，22a--综上所述：12x-12x⎫>⎪⎭不是二次根式.11．当a＝2，b＝1.5时，求下列代数式的值．（1）a2+2ab+b2（2ab+1．【答案】（1）12.25；（2）7；【解析】解：（1）当a＝2，b＝1.5时，原式＝22+2×2×1.5+1.52＝12.25；（2）当a＝2，b＝1.5 1.5+1＝7．12．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），,则A、B两点之间的距离可表示为AB；在平面直角坐标系中，（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为______.（2）若点E（-2，3）、F（4，-5），求E、F两点之间的距离.【答案】（1）5；（2）10.（1）因为O点为原点，所以点O为（0,0，），由题意可得CO，故答案为5.（2）根据题意可得EF=10，故答案为10.13．若实数a，b，c满足（1）求a，b，c；（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）b=2，c=3；（26.【解析】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0，解得：c=3，∴=0，则b=2；（2）当a是腰长，c3，不能构成三角形，舍去；当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，，．【过关检测】1．说明命题是假命题的一个正确的反例是( )A．a=3 B．a=-3 C．a=0.3 D．a=0【答案】B【解析】=a，∴a≥0，故此命题是假命题的反例就是a是一个负数，故答案为：B.2a，b应满足的条件是( )A．a，b均为非负数B．a，b同号C．a≥0，b＞0 D．ab≥0【答案】D解：根据二次根式的意义，被开方数ab≥0；又根据分式有意义的条件，b≠0．故选D．3．2的值是（）A B．3 C．±3 D．9 【答案】B【解析】解：原式=2=34．下列说法中，正确的是（）A．无理数就是开方开不尽的数B0，则a≥0C．如果a＝b，那么ac＝bcD．若ba＝1，则a与b互为相反数【答案】C【解析】解：A.无理数是无限不循环小数，包括开方不尽的数，故A错误；B. a+5＞0，∴a＞﹣5，故B错误；C. 如果a＝b，根据等式的性质可得ac＝bc，故C项正确；D. ba＝1，则a＝b且a≠0，故选D错误；故选：C．5．若代数式1x-在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0 B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1【答案】D【解析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x-1≠0，x≥0，解得x≥0且x≠1.故选D.6a的取值为（）A．0 B．12-C．﹣1 D．1【答案】B≥，=时为最小值. 即：210a+=，∴12 a=-.故选B.7．在平面直角坐标系中，点M（a，b）的坐标满足（a﹣3）20，则点M在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】解：∵（a﹣3）20，∴a＝3，b＝2，∴点M（3，2），故点M在第一象限．故选：A．8．已知x、y为实数，4，则y x的值等于（）A．8 B．4 C．6 D．16【答案】D【解析】∵x﹣2≥0，即x≥2，①x﹣2≥0，即x≤2，②由①②知，x＝2；∴y＝4，∴y x＝42＝16．故选：D．940a-=）A B．C D．±【答案】A【解析】40a-=∴b-3=0,a-4=0∴ab=4223333==故选A.10．已知20n是整数，则正整数n的最小值为___【答案】5【解析】∵20=25n n，且20n是整数，∴25n是整数，即5n是完全平方数；∴n的最小正整数值为5．故答案为：5．11．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：22164?a x a x+=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.【答案】()23a+a+3【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻译为()23a+.∵a＞0，∴()23+3.a a+=故答案为：()23a+；a+3.12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣2a﹣2b．【解析】解：∵从数轴可知：a ＜0＜b ，∴|a|=|a|﹣|a|﹣|b|=﹣|b|=﹣b ．12．已知2(21)0a b -+=4=【答案】6【解析】因为2(21)0a b -+=，根据二次根式和平方的非负性可得21030a b b -+=⎧⎨-=⎩，计算得到53a b =⎧⎨=⎩；因4=，所以64c =，则将53a b =⎧⎨=⎩和64c =。
