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二次根式的化简与计算【知识要点】1．最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。
2．化为最简二次根式的方法：①把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式；②将这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外；③化去被开方数中的分母。
3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
判断同类二次根式时，注意以下三点：①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。
4．二次根式的加减法：先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。
5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：=①单项二次根式：利用a理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a，，6．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
7．二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算的运算顺序与有理式的混合运算的顺序相同；②在二次根式的混合运算中，有理式的运算法则、定律、公式等同样适用。
【典型例题】例1 解答下列各题：（1）下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？，（其中0x >，0y >）。
（2）下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？（题中字母都为正数）2x ，127，（3）如果最简根式，m +m ，n 的值。
例2 计算下列各题：（1）⎛- ⎝ （2）-⎝（3例3 （1）把下列各式分母有理化：)a b ≠（2）把下列各式化简：练 习A 组1．下列各式正确的是（ ）A ===B =C a b =+D =2．下列各式正确的是（ ）A =B ()230,0a b a b =><C = D== 3．在下列二次根式中，若0,0a b >>，则属于最简二次根式的是（ ）A B C D4 ） A ．4x < B ．1x ≥ C ．14x ≤< D ．14x ≤≤5．化简的结果是（ ）A B ．3 C ． D ．a6的相反数的倒数为 。
估算一、专题精讲题型一、估算无理数在哪两个整数之间例1．（1）判断×之值会介于下列哪两个整数之间？（）A．22、23 B．23、24 C．24、25 D．25、26考点：估算无理数的大小．分析：先算出与的积，再根据所得的值估算出在哪两个整数之间，即可得出答案．解答：解：∵×=，又∵24＜25，∴×之值会介于24与25之间，故选C．点评：本题考查了估算无理数大小，掌握的大约值是解题的关键，是一道基础题．（2）如果m=，那么m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4考点：估算无理数的大小．分析：先估算出在2与3之间，再根据m=，即可得出m的取值范围．解答：解：∵2＜3，m=，∴m的取值范围是1＜m＜2；故选B．点评：此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一到基础题．变式训练1．估计的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间解答：解：∵2=＜=3，∴3＜＜4，故选B．2．若n=﹣6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是（）A．4＜n＜5 B．3＜n＜4 C．2＜n＜3 D．1＜n＜2解答：解：∵49＜59＜64，∴7＜＜8，∴7﹣6＜﹣6＜8﹣6，即1＜n＜2．故选D．题型二、按要求估算例2．（1）估算下列各数的大小．（1）（误差小于0.1）；（2）（误差小于1）．考点：估算无理数的大小．分析：（1）（2）借助“夹逼法”先将其范围确定在两个整数之间，再通过取中点的方法逐渐逼近要求的数值，当其范围符合要求的误差时，取范围的中点数值，即可得到答案． 解答：解：（1）∵有62=36，6.52=42.25，72=49， ∴估计在6.5到7之间，6.62=43.56，6.72=44.89；∴≈6.65；（2）∵43=64，53=125， ∴4.53=91.125，4.43=85.184，∴≈4.45．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．变式训练1、估算下列数的大小.（1）（误差小于0.1） ; （2）（误差小于1）. 解答：（1） ∵3．6＜＜3.7,∴≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）. （2） ∵9＜＜10,∴≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）.题型三、用估算比较两个数大小例3．（1）通过估算，比较下面各数的大小. （1）与 ; （2）与3.85. 解答： （1）∵＜2,∴-1＜1,即＜. （2）∵3.85=14.8225,∴＞3.85.变式训练1．（2010•杭州二模）估计大小关系是﹣1________ 0.5． 解答：解：∵0.5=﹣1，＜3．∴﹣1＜0.5．题型四、用估算法求解实际问题的近似解例4．（1）某小区有一块长为8米、宽为4米的长方形草坪，计划在草坪面积不减少的情况 下，把它改造成一个正方形，如果改造后的正方形草坪的边长为x 米．求正方形的边长（估 算到0.1）考点：算术平方根；估算无理数的大小．分析：根据面积相等列出关系式，解得x ，进即可得到正方形的边长．13.6380013.613.63800380031212153331212215解答：解：根据题意得：x2=8×4=32 x≈5.6．答：正方形的边长约为5.6米．点评：本题主要考查长方形、正方形的面积，根据面积相等得到方程是解题的关键．变式训练1．能否用面积为400cm2的正方形纸片裁出面积为300cm2且长、宽之比为3：2的长方形纸片？说明理由．（友情提示：不能对裁出的长方形进行拼接）解答：答：不能．理由：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，得3x•2x=300，6x2=300，x2=50，∴x=或x=﹣（舍去），∴长方形纸片的长为，∵50＞49，∴＞7，∴3＞21，∴长方形纸片的长应该大于21cm，又∵已知正方形纸片的边长大只有20cm，∴不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．题型五、表示一个无理数的小数部分例5．（1）（2010•巫山县模拟）已知，m、n分别是的整数部分和小数部分，那么，2m﹣n的值是（）A．B．C．D．考点：估算无理数的大小．专题：探究型．分析：先估算出的值，进而可得出m、n的值，再代入2m﹣n进行计算即可．解答：解：∵≈1.732，∴6﹣的整数部分为4，小数部分为6﹣﹣4，即n=2﹣，∴2m﹣n=8﹣2+=6+．故选B．点评：本题考查的是估算无理数的大小，熟记≈1.732是解答此题的关键．（2）（1）已知数M的平方根是a+5及﹣3a+11，求M．（2）已知5+与5﹣的小数部分分别是a、b，求3a+2b的值．考点：估算无理数的大小；平方根．专题：探究型．分析：（1）由于M的平方根是a+5及﹣3a+11，所以这两个数互为相反数，据此可求出a的值，进而得出数M；（2）先估算出的取值范围，再得出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可．解答：解：（1）∵M的平方根是a+5及﹣3a+11，∴a+5=3a﹣11，解得a=8，∴a+5=8+5=13，∴M=132=169；（2）∵3＜＜4，∴5+的小数部分是﹣3；5﹣的小数部分是，4﹣，∴a=﹣3，b=4﹣，∴3a+2b=3（﹣3）+2（4﹣）=﹣1．点评：本题考查的是估算无理数的大小及平方根的定义，在解答（2）时要先估算出的大小，再进行计算．变式训练1．（2013•吴江市模拟）3+的整数部分是a ，3﹣的小数部分是b ，则a+b 等于__________．解答：解：∵1＜＜2，∴4＜3+＜5， ∴3+的整数部分a=4； ∵1＜＜2， ∴﹣2＜﹣＜﹣1， ∴1＜3﹣＜2，设3﹣的整数部分为m ，则m=1， ∴3﹣的小数部分b=3﹣﹣m=2﹣， ∴a+b=4+2﹣=6﹣．故答案为6﹣．2．设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x ﹣y ﹣3|． 解答：解：∵＜＜， ∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣|=7﹣．二次根式的化简及计算一、专题精讲题型一：二次根式的概念例1．（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：、、、． 例2．当x 是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥2331xx 04221x y+x y +2x 02x y +331x421x y+31x -31x -13A ． 3到4之间B ． 4到5之间C ． 5到6之间D ． 6到7之间解答：解：∵正方形的面积为28，∴它的边长为， 而5＜＜6． 故选C ．2、（宝坻区二模）估算的值在（ ） A ．在4和5之间 B ．在5和6之间 C ．在6和7之间 D ．在7和8之间 解答：解：∵＜＜， ∴2＜＜3，∴5+2＜5+＜5+3， 即7＜5+＜8， 故选：D ．3、通过估算比较大小： _________．解答：解：∵2＜＜3， ∴0＜﹣2＜1， ∴＜．4.化简：=-2)3(π 。
