最简二次根式PPT课件

x y 的有理化因式是 x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
展示方式：学生起立回答，要求说清楚过程，其 余同学直接站起来补充 （自学+展示2+2min）
指出下列各式的有理化因式
(1) 2 3
(1) 2 3
(2)2 3 (3) a 1 (4) x2 1 (5) 27
22 5
0.1;
算 2 2 9x 6 x 2x 1;
3
4
x
3 3 x 2x .
32
程序设计：自学、合学+展示（4+4min）
展示方式：每组派学生代表演板，要写清楚过程，
其余同学直接站起来纠错，小组内组长负责纠错
拓展探索
怎样计算下式？观察所得的积是否含有二次根式？
x y x y x y
求a2 ab b2的值
程序设计：合学+展示（2+3min） 方法导航：先将a、b的分母有理化，化为最简 二次根式再代入求值. 展示方式：学生主动班级展示，要讲清楚过程，
其余同学直接站起来补充。
分母都同乘分母的有理化因式。
一. 分母有理化常规基本法 ---分子分母同乘有理化因式
例如：化简 (1)
6
2 3
(2) 2 1 2 1
程序设计：自学、合学+展示（4+4min） 方法导航：分子和分母都乘以分母的有理化因式. 展示方式：随机抽取学生演板，要写清楚过程，
其余同学直接站起来补充，小组内组长负责纠错
(3) 3 2 3
(4) 3 1 3 1
程序：老师检测小组长做题情况，小组成员完成后 交给组长检查，组长负责纠错讲解。（3+2min）

将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。

a + 1 3a + 3 =( − ) ab b b 2a + 2 =− ab. b
二、例题和练习：
例5. 先化简，再求值. 解：原式
= x(x 2 + xy +
1 2 1 3 2 x + x y + xy + x + x y + xy2 . 其 x=9, y=5. 中 4 4
3 2
1 2 1 y ) + x( x 2 + xy + y 2 ) 4 4
如 − 27x， 1 2a 3 都不符合这个条件，而 m 2 + 9是最简二次根式. 3
一、主要知识点
1. 最简二次根式 (3)化简二次根式的一般步骤：
32 × 6a(a + 1) 2 54(a 3 +2a 2 +a) = 观察 5 5 6a 6a ⋅ 5 3 a +1) ( =3 a +1) ( =3 a +1) ( = 30a. 5 5⋅5 5 ①将被开方数分解质因数或因式分解，写成幂的积的形式. ②根据被开方数每个因式的指数小于2的要求，把开得尽方 的因式用算术根代替移到根号外面. ③根据根号内不含分母的要求，利用分式的性质，化去根号 内的分母.
1 1 = x(x+ y) 2 + x( x+y) 2 2 2 1 1 = (x + y) x + ( x + y) x 2 2 1 1 = (x + y+ x + y) x 2 2 3 = (x + y) x. 2
将x=9, y=5代入,
3 原式 = (9 + 5) ⋅ 9 = 21× 3=63. 2

1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法

【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.

最简二次根式
思考：下列二次根式能否化简？
那么什么样的二次根式是最简二次根式呢？ 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数不含分母 (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:（1）这两个条件前提都是指的是被开方数。 （2）同时满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式。
例：下列二次根式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么不是最简二次根式？
分析： 又如：
不是最简二次根式，因为被开方数的因数为 分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1) 要求被开方数的分母中不带根号。
也不是最简二次根式，因为被开方数中含 有能开得尽方的因数或因式，不满足条件 (2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因 数或分解成因式后而言的。
小结
（1） 被开方数是小数或带分数 时要换算成真分数或假分数后化 简。 （2）被开方数是多项式的时候 要注意因式分解后化简。

学习目标
掌握最简二次根式的 定义和性质。
通过实际应用，加深 对二次根式的理解， 提高数学应用能力。
学会化简二次根式的 方法和步骤。
02
最简二次根式的定义
根式的定义
根式的定义
如果一个代数式包含一个或多个 平方根符号，则称该代数式为根 式。
根式的分类
根据被开方数的次数和根指数的 不同，根式可以分为一次根式、 二次根式等。
《最简二次根式》ppt课件
目 录
• 引言 • 最简二次根式的定义 • 最简二次根式的化简方法 • 最简二次根式的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
二次根式是数学中的重要概念 ，是初中数学的重要内容之一 。
学习二次根式有助于培养学生 的逻辑思维和数学应用能力。
本课件将介绍最简二次根式的 定义、性质和运算方法，帮助 学生掌握这一知识点。
运动学问题
波动问题
在解决运动学问题时，最简二次根式 可以用来表示速度、加速度等物理量 的关系。
在解决波动问题时，最简二次根式可 以用来表示波的传播速度、频率等物 理量的关系。
力学问题
在解决力学问题时，最简二次根式可 以用来表示力的关系，以及物体运动 轨迹的方程。
在实际生活中的应用
建筑学
在建筑设计中，最简二次根式可 以用来计算结构强度、稳定性等
举例
$sqrt{25x^2} = 5x$， $sqrt{4x^2y} = 2xy^{frac{1}{2}}$ 。
分母有理化法
01
总结词
分母有理化法是通过有理化分母来化简最简二次根式的方法。
02 03
详细描述
对于形如$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$的根式，我们可以将分母有理化，即 乘以共轭式$sqrt{b}$，得到$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} times frac{sqrt{b}}{sqrt{b}} = frac{sqrt{ab}}{b}$。

的算术平方根.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简，化去根号
内的分母.
例1
化简：
（1）
解：（1）
3
25
；（2）
3
3
3
= .
5
25
25
（2）
=
45
.
169
45
45
9×5 3 5
=
= 2= .
169
169
13
13
议一议
如何化去

根号内的分母？

1
可以先利用分式的基本性质将 的分子与分母同乘2
2
，使分母成为完全平方数，再利用商的算术平方根
A． 7
B． C．
D．
3
1
2
2
）
3.化简:
解:
3
（1）
;
100
75
（2）
;
27
3
3
3
（1）
=
=
.
100
100 10
75
（2）
=
27
补充解法：
52 × 3
52 5
=
= .
2
2
3 ×3
3
3
5 3 5
75
75
=
= .
=
27
3 3 3
27
81
(3)
>0 ;
2
25
还有其他解法
吗?
81
(3)
>0 ;
2
2 二次根式的性质
第2课时 商的算术平方根的性质及最简二次根式
学习目标
1．理解商的算术平方根的性质. （重点）

二次根式及相关概念(2013.11) 1．二次根式 形如 a(a①≥0 )的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式 最简二次根式必须同时满足以下条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．同类二次根式 几个二次根式化成② 最简二次根式 后，如果③ 被开方数 相同，这 几个二次根式称为同类二次根式．如 8与 2是同类二次根式．同类二次根 式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
(2 2)2＝8②；由①＋②得：x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝－2＋8＝6.
当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不
为 0 而出错
(2019·恩施二模)使式子 x2x－＋11有意义的 x 的取值范围是
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠±1
(
)
C．x＞－1 【错解】 A
D．x＞－1 且 x≠1
＝ 2a
＝ （a＋b）2－c2·c2－（a－b）2
4
4
＝ a＋2b＋c·a＋2b－c·c＋a2－b·b＋2c－a
＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.
这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也
称公式①为海伦—秦九韶公式．
3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九 章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个 三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S＝
先将各二次根式化为④ 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法： a· b＝⑤ ab (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的
除法： a＝⑥ b
a b (a≥0，b＞0)；

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《二次根式的概念》 ppt课件
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目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。

需要注意的几点：
1.在 a b a （
b a 0, b 0) 中被开方数一定是积的形式，
不能出现
a2 b2 a2 b2 的错误．
2.最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式)，要
保证它们都是非负数．
★ 练一练
A .
(1) x 2 1 x 1 x 1成立的条件是______
4x

9x • x
7 2 2 7 2；
22 • x 2 x

；
2
(3 x)
3x
2 x ( x) 2 x x .
2
2
课堂小结
a b a b a 0，b 0
二次根式
的 性 质
a
a

a 0，b＞0
b
b
二次根式
最简二次根式
二次根式的被开方式
中都不含分母，并且
也都不含能开得尽方
的因式
2
2
与其他的二次根式不同
2
被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式
2
2
被开方数不含分母
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，
我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
简记为：
不含分母
不含小数
不含平方
★ 练一练
1、下列根式是最简二次根式的是( C )
1
A. 3
B.
0.3
C. 3
D.
20
2
2.在二次根式 ，12，30， x 2 , 40 x 2 , x 2 y 2中，
15.1 二次根式
第2课时
- .
学习目标

2、将被开方数分解 成：最大平方数与一 个因数乘积的情势。
3、按照二次根式的 性质进行计算。
8
42
化简
4 2
2 2
12、27、18
化简要求:最终结果中， 1、分母不含有根号。 2、各个二次根式是最简二次根式。
巩固练习
1、课本42页：随堂练习
2、基训33页：
核心导学
归纳梳理、自学检测
达标检测
1、下列式子是二次根式的是 （ C ）
§2.7 二次根式
第一课时
二次根式及其化简
学习目标
1、了解二次根式及最简二次根式的概念。 2、掌握二次根式的性质和二次根式的化简方法。
自学任务
学习课本41页、42页内容，完成以下问题： 1、什么是二次根式？二次根式有什么性质？ 2、如何判断是否是最简二次根式？ 3、归纳最简二次根式的化简方法？
A、1 B、2 C、3 D、5
我思 我获
本节课学习了_________ 学会了_________ 感受了_________
作业
课堂作业： 习题2.9 第1题
课下作业： 1、基训2.7 第1课时 2、习题2.9 第2、3题
商的算术平方根的性质
a a（a 0，b0） bb
商的算术平方根
等于
算术平方根的商
二次根式的性质 双重非负性
a 0 a
a 0
最简二次根式：
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方 的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
最简二次根式的条件 ①是二次根式。 ②被开方数中不含分母。 ③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
讲授新课 二次根式的相关概念
11
5
49
7.2

她和他讲着小时候的事，说她哥居然会织手套，在她13岁来例假之后曾经去找一个20多岁的女孩子帮她，她一边说一边流眼泪。他看着前方，看着那些喊话的警察，再看着身边讲述的女孩，他忽然感觉尘世是那么美好，但一切已经来不及了。 他拿出手机，递给她：“来，给你哥打个电话吧。”
她平静地接过来，知道这是和哥哥最后一次通话了，所以，她几乎是笑着说：“哥，在家呢？你先吃吧，我在单位加班，不回去了……” 这样的生离死别竟然被她说得如此家常，他的妹妹也和他说过这样的话，看着这个自己劫持的人，听着她和自己哥哥的对话，他伏在方向盘上哭了。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
( 1 ) 72 ；
( 2 ) 8a2b3 .
解 ( 1) 72 = 8× 9 = 2× 22× 32 =2× 3× 2 =6 2 ；
( 2 ) 8a2b3
= 2· 22 · a2 · b2 · b = 2ab 2b .
练习
1. 化简下列二次根式：
( 1 ) 24 ； ( 2 ) 28 ； ( 3 ) 32 ； ( 4 ) 54 .