甘肃省兰州大学附中2014届高三上学期一轮复习数学(理)单元验收试题(1)

2024学年甘肃省兰州市数学高三第一学期期末复习检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 3．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+5．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 6．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+ 8．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．a c b << D ．b a c <<9．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->-B ．()()211b b a a ->-C ．()()11a b a b +>+D ．()()11a b a b ->-10．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数11．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2014年甘肃省兰州市、张掖市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合P={x|x（x-3）＜0}，Q={x||x|＜2}，则P∩Q=（）A.（-2，0）B.（0，2）C.（2，3）D.（-2，3）【答案】B【解析】解：由集合P中的不等式解得：0＜x＜3，即P=（0，3）；由Q中的不等式解得：-2＜x＜2，即Q=（-2，2），则P∩Q=（0，2）．故选B求出P与Q中不等式的解集，找出两解集的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.i是虚数单位，复数=（）A.2+iB.1-2iC.1+2iD.2-i【答案】A【解析】解：复数===2+i．故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．故选B．利用函数左加右减的原则，求出平移后的函数解析式，然后通过伸缩变换求出函数的解析式即可．本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．4.图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由图中数据，下部的正三棱柱的高是3，底面是一个正三角形，其边长为2，高为，故其体积为上部的球体直径为1，故其半径为，其体积为故组合体的体积是故选C由三视图可以看出，此几何体是一个三棱柱与一个球体组成，由图形中的数据求组合体的体积即可．本题考查由三视图还原实物图的能力，正确运用由体积公式求体积的能力，属于立体几何中的基本题型．5.设a=log32，b=log23，c=log5，则（）A.c＜b＜aB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.b＜c＜a【答案】C【解析】解：log32∈（0，1），log23＞1，＜，∴0＜a＜1，b＞1，c＜0，即c＜a＜b，故选：C．根据对数函数的图象和性质，分别计算a，b，c的取值范围，然后进行判断．本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键．6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】D【解析】解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题．③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．本题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（）种．A.150B.300C.600D.900【答案】C【解析】解：分两步，第一步，先选四名老师，又分两类第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52=10种不同选法第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64=15种不同选法∴不同的选法有10+15=25种第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A44=24最后，两步方法数相乘，得，25×24=600故选C．先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把四名老师分配去4个边远地区支教，四名教师进行全排列即可，最后，两步方法数相乘．本题考查了排列组合的综合应用，做题时候要分清用排列还是用组合去做．8.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c==5，可得a2+b2=25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，∴=…②，①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：C根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．9.下列五个命题中正确命题的个数是（）（1）对于命题P：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢P：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）m=3是直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08；（4）若实数x，y∈[-1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为；（5）曲线y=x2与y=x所围成图形的面积是S=∫（x-x2）dx．A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】解：命题P：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，的否定为￢P：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；故（1）错误；直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件为m（m+3）-6m=m （m-3）=0，即m=0或m=3，故（2）错误；若回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08，故（3）正确；若实数x，y∈[-1，1]，则满足x2+y2≥1的概率等于单位圆外的面积与边长为2的正方形面积之比，即1-，故（4）错误；曲线y=x2与y=x所围成图形的面积是S=∫（x-x2）dx，故（5）正确；故正确的命题个数为2个．故选A写出原命题的否定命题，可以判断（1）；求出与两直线互相垂直等价的m值，可以判断（2）；根据回归直线必要样本中心点，可以求出a的估计值，进而判断（3）；根据几何概型计算公式，求出概率，可判断（4）；根据积分法求面积的方法，求出两条曲线围成的图形面积，可判断（5），进而得到答案．本题以命题的真假判断为载体，考查了全（特）称命题的判断，充要条件，几何概型，积分法求面积，回归直线求法等知识点，难度不大，属于基础题．10.执行如图所示的程序框图，那么输出的S为（）A.3B.C.D.-2【答案】C【解析】解：如图所示的程序框图是当型循环结构，进行循环体之前S=3，k=1第一次循环后：S=，k=2第二次循环后：S=，k=3第三次循环后：S=-2，k=4第四次循环后：S=3，k=5…则S的值以4为周期，呈周期性变化当k=2010时，S=，满足进行循环的条件第2010次循环后，S=，k=2011，不满足进行循环的条件故输出的S值为故选：C根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，其中分析出S值变化的周期性是解答的关键．11.如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A.208B.216C.212D.220【答案】B【解析】解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n（，n+）；∴|A n B n|=n-（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n-）+2（n+）=4n．∴a n+1-a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．依题意，可求得C n（n，n+），D n（，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．12.设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A.-1＜k≤B.≤k＜1C.k＞-1D.k＜1【答案】A【解析】解：方法一：因为：为，上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在，上有两个不等实根，即在，上有两个不等实根．∴问题可化为和y=x-k在，上有两个不同交点．对于临界直线m，应有-k≥，即k≤．对于临界直线n，，令=1，得切点P横坐标为0，∴P（0，-k），∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．综上，-1＜k≤．方法二：因为：为，上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在，上有两个不等实根，即在，上有两个不等实根．化简方程，得x2-（2k+2）x+k2-1=0．令g（x）=x2-（2k+2）x+k2-1，则由根的分布可得＞＞，即＞＞，解得k＞-1．又，∴x≥k，∴k≤．综上，-1＜k≤，故选A．首先应根据条件将问题转化成：在，上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x-k在，上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在（+）5的展开式中的常数项为______ ．【答案】10【解析】解：（+）5的展开式的通项公式为T r+1=××令-=0，解得r=3，故展开式中的常数项为=10，故答案为10．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．14.已知x，y满足约束条件则的最小值是______ ．【答案】【解析】解：根据约束条件画出可行域，如图：z=x2+y2+表示（0，0）到可行域的距离的平方，由图形可知，点O到直线3x+4y=4的距离最小，求出距离的平方就是所求最小值，d==．∴x2+y2的最小值为：．故答案为：．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示点（0，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（0，0）到直线3x+4y=4的距离即可．本题主要考查了简单的线性规划的应用，以及利用几何意义求最值，属于中档题．15.如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为______ ．【答案】y2=3x．【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而，，由直线AB：y=k（x-），代入抛物线的方程可得，k2x2-（pk2+2p）x+k2p2=0，即有，∴⇒，得y2=3x．故答案为：y2=3x．根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，，且，⇒，可求得p的值，即求得抛物线的方程．此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．16.数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且b n=，若b10b11=2，则a21= ______ ．【答案】1024【解析】解：由b n=，且a1=1，得．，a3=a2b2=b1b2．，a4=a3b3=b1b2b3．…a n=b1b2…b n-1．∴a21=b1b2 (20)∵数列{b n}为等比数列，∴a21=（b1b20）（b2b19）…（b10b11）=．故答案为：1024．由b n=，且a1=1，通过变形转化，把数列{a n}的项用数列{b n}中的项表示，然后利用等比数列的性质求解．本题考查了等比数列的性质，考查了数学转化思想方法，解答的关键是把数列{a n}的项用数列{b n}中的项表示，是中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，向量=（cos B，cos C），=（2a+c，b），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若b=，求a+c的范围．【答案】解：（1）∵=（cos B，cos C），=（2a+c，b），且⊥，∴cos B（2a+c）+bcos C=0，利用正弦定理化简得：cos B（2sin A+sin C）+sin B cos C=0，整理得：2cos B sin A+cos B sin C+sin B cos C=0，即2cos B sin A=-sin（B+C）=-sin A，∴cos B=-，∵0＜B＜180°，∴B=120；（2）∵b=，cos B=-，∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，即3=a2+c2+ac=（a+c）2-ac≥（a+c）2-（）2=（a+c）2，当且仅当a=c时取等号，∴（a+c）2≤4，即a+c≤2，又a+c＞b=，∴a+c∈（，2]．【解析】（1）由两向量的坐标，及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B 的值，即可确定出B的度数；（2）由b及cos B的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a+c的范围即可．此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．18.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表．成绩分A（优秀）、B（良好）、C（及格）三种等级，设x、y 分别表示化学、物理成绩．例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人．已知x与y均为B等级的概率为0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求a，b的值；（Ⅲ）物理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，12≤b≤17，随机变量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）依题意，，得n=100；（Ⅱ）由，得a=14．∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17；（Ⅲ）由题意，知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，∴满足条件的（a，b）有：（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6组．∵ξ=|a-b|，∴ξ的取值为1，3，5，7.，，，．故ξ的分布列为∴．【解析】（I）由题意x与y由所给的表格可以知道化学与物理成绩均为B等级的总人数为18，设该样本总人数为n，利用古典概型随机事件的概率公式，即可求出；（II）由表格及第一问可以知道样本人数为100，而在该样本中，化学成绩的优秀得人数为7+9+a，利用古典概型随机事件的概率公式可以知道a的值；（III）由题意知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，所以满足条件的（a，b）有（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6组，利用随机变量的定义及其分布列可以求出随机变量的分布列，再由期望定义即可求解．此题重点考查了学生准确的理解题意的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列与期望的定义．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，-，），…（6分）=（1，1，0），=（0，0，a），=（，-，），取=（1，-1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=-a，z=-2，则=（a，-a，-2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…（10分）于是=（2，-2，-2），=（1，1，-2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）【解析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，-1，0），面EAC的法向量=（a，-a，-2），利用二面角P-A C-E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，-2，-2），=（1，1，-2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．20.设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且．（1）试求椭圆的方程；（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．【答案】解：（1）由题意，|F1F2|=2c=2，A（a2，0）∵∴F2为AF1的中点∴a2=3，b2=2∴椭圆方程为…（5分）（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|==，此时|MN|=2a=2，四边形DMEN的面积．同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积．当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=所以，|x1-x2|=，所以|DE|=|x1-x2|=，同理|MN|=…（9分）所以四边形的面积=××=令u=，则S=4-因为u=≥2，当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以＜．综上可知，．故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为．…（13分）【解析】（1）由题意，|F1F2|=2c=2，A（a2，0），利用，可得F2为AF1的中点，从而可得椭圆方程；（2）分类讨论：当直线DE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积；当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键．21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：＜＜．【答案】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=-2a-1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+ ），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+ ）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若＜，即＞时，由g'（x）＞0得x＞1或＜＜，由g'（x）＜0得＜＜，即函数g（x）在，，（1，+ ）上单调递增，在，单调递减；若＞，即＜＜时，由g'（x）＞0得＞或0＜x＜1，由g'（x）＜0得＜＜，即函数g（x）在（0，1），，上单调递增，在，单调递减；若，即时，在（0，+ ）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+ ）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+ ）单调递减；当＜＜时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在，单调递减；在，上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+ ）上单调递增，当＞时，函数g（x）在，上单调递增，在，单调递减；在（1，+ ）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证＜＜，即证＜＜，因x2-x1＞0，即证＜＜，令（t＞1），即证＜＜（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+ ）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即＞（t＞1）②综合①②得＜＜（t＞1），即＜＜．证法二：依题意得⇒，令h（x）=lnx-kx，则，由h'（x）=0得，当＞时，h'（x）＜0，当＜＜时，h'（x）＞0，∴h（x）在，单调递增，在，单调递减，又h（x1）=h（x2），∴＜＜，即＜＜．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+ ）单调递减，∴当x2＞x1时，＜ ⇒＜，即＜；同理，令，可证得＜．证法四：依题意得，＜＜＜＜＜＜令h（x）=x-x1lnx+x1lnx1-x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+ ）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2-x1lnx1＜x2-x1令m（x）=x-x2lnx+x2lnx2-x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2-x1＜x2lnx2-x2lnx1；所以命题得证．【解析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g （x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证＜＜（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx-kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x-x1lnx+x1lnx1-x1，及令m（x）=x-x2lnx+x2lnx2-x2，通过求导得到其单调性即可证明．熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数、一题多解等是解题的关键．22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【答案】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是R t△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．【解析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．23.在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．【答案】解：（1）由，得ρ（cosθ+sinθ）=4，∴l：x+y-4=0，∵，（θ为参数），∴消去参数得，∴曲线C的普通方程为和直线l的直角坐标方程为x+y-4=0；（2）在C：上任取一点（cosθ，sinθ），则点P到直线l的距离为d==≤3，∴当sin（θ+）=-1时，d max=3，此时这个点的坐标为（，）．【解析】（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程；（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．属于中档题．24.（1）已知x、y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；（2）若不等式|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明：由x3+y3-x2y-xy2=x2（x-y）+y2（y-x）=（x-y）（x2-y2）=（x-y）2（x+y）…（3分）又x、y都是正实数，∴（x-y）2≥0，x+y＞0，∴x3+y3-x2y-xy2＞0，∴x3+y3≥x2y+xy2；…（5分）（2）解：由题意，根据柯西不等式有（++）2≤（12+12+12）[（）2+（）2+（）2]=3[3（x+y+z）+3]=3×6=18，∴++≤3…（3分）又|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，∴|a-1|，∴a+1或a，∴a的取值范围是（- ，]∪[1+3，+ ）．…（5分）【解析】（1）利用作差法，因式分解，即可得到结论；（2）根据柯西不等式证明++≤3，利用|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，可得|a-1|，从而可求实数a的取值范围．本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．。

甘肃省兰州一中2014年高考数学考冲刺模拟考试试题 理〔一〕新人教B 版第1卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，如此N M 等于〔 〕A.)1,1(-B.)3,1(C.)1,0(D.)0,1(-2．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，如此z 的实部是〔 〕 A ．1 B. -1 C.2 D. -2 3.如下命题中错误的个数是〔 〕①命题“假设2320x x -+=如此x =1〞的否命题是“假设2320x x -+=如此x ≠1〞.②命题P:0x R ∃∈,使0sin 1x >，如此0:P x R ⌝∀∈,使0sin 1x ≤. ③假设p 且q 为假命题，如此p 、q 均为假命题.④"2()"2k k Z πφπ=+∈是函数sin(2)y x φ=+为偶函数 的充要条件.A. 1B. 2C. 3D. 4 4 阅读如图1所示的程序框图，如此输出的S 的值是〔 〕A ．910B ．89 C ．78D ．675.一个几何体的三视图如下列图,且其左视图是一个等边．．三角形,如此这个几何体的体积为〔 〕6.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足sin cos a B b A =,如此cos B C -的最大值是〔 〕A. 1B. 3C. 7D. 27 7.数列{}n a 满足1112,n n na a a a +-==，n S 是其前n 项和，如此2013S =〔 〕 A.20112 B.20132 C.20152 D.201728. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,假设直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,如此k 的取值范围是〔 〕 A.403k ≤≤B.<0k 或4>3kC.3443k ≤≤D.0k ≤或4>3k 9.从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是 [3b2,4b 2]，如此这一椭圆离心率e 的取值范围是〔 〕A ．[53，32] B ．[32，22]C ．[53，22] D ．[33，32] 10. 平行四边形ABCD 中，AB ·BD=0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ， 且4=，如此三棱锥A －BCD 的外接球的外表积为〔 〕 A ．2π B ．4πC ．π4D ．2π11.()x f 是定义在R 上的函数，对任意R x ∈都有()()()224f x f x f +=+，假设()1-=x f y 的图象关于直线1=x 对称，且2)3(=f ，如此)2013(f 等于〔 〕A ．5B ．4C ．3D ．212.函数()f x 的定义域为D ，假设满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[,]22a bD ⊆，使得()f x 在[,]22a b 上的值域为[,]a b ，那么就称函数()y f x =为“优美函数〞，假设函数()log ()(0,1)xc f x c t c c =->≠是“优美函数〞，如此t 的取值范围为〔 〕A.〔0，1〕B. 1(0,)2C. 1(,)4-∞D.〔0，14〕 第2卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分. 13.设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，如此二项式6(展开式中含2x 项的系数是. 14. 过椭圆15922=+y x 左焦点F 且不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，如此NFAB=； 15．实数对〔x ，y 〕满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩如此目标函数z=kx －y 当且仅当x=3，y=1时取最大值，如此k 的取值范围是．16. 在区间[0,1]上任意取两个实数a b 、，如此函数31()2f x x ax b =+-在区间[1,1]-上有且仅有一个零点的概率为_______________．三.解答题〔每题都必须写出解答证明的详细步骤,每一小题12分,共60分.〕 17.设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(.(1) 写出函数的最小正周期与单调递减区间； (2) 当]3,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23，求)(x f 的解析式；(3) 将满足〔Ⅱ〕的函数)(x f 的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移21个单位，得到函数)(x g ，求)(x g 图像与x 轴的正半轴、直线2π=x 所围成图形的面积.18．〔本小题总分为12分〕近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的 50人进展了问卷调查得到了如下的列联表：在调查的50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5． 〔Ⅰ〕请将上面的列联表补充完整；〔Ⅱ〕是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；〔Ⅲ〕在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，抽取3名进展其他方面的排查，记抽取患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列，数学期望以与方差；大气污染会引起各种疾病，试浅谈日常生活中如何减少大气污染．下面的临界值表供参考：〔参考公式2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++〕19．如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1,AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(1) 证明B 1C 1⊥CE ; (2) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(3)设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长. 20.〔本小题总分为12分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切,过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕求OB OA ⋅的取值范围；〔3〕假设B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点. 21．〔本小题总分为12分〕 函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．〔1〕讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；〔2〕假设函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；〔3〕当20e y x <<<且e x ≠时，试比拟xyx y ln 1ln 1--与的大小 请考生在第22、23两题中任选一题作答。

2014年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z||x|＜5}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∩B等于（）A．（2，5）B．[2，5）C．{2，3，4}D．{3，4，5} 2．（5分）复数（i是虚数单位）化简的结果是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．34．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝18﹣a5，则S8＝（）A．72B．68C．54D．906．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i的值为（）A．5B．6C．7D．97．（5分）设a＝lge，b＝（lge）2，c＝lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 8．（5分）已知点P（x，y）满足线性约束条件，点M（3，1），O为坐标原点，则•的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣19．（5分）若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84B．84C．﹣36D．3610．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，则该双曲线离心率等于（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）＝﹣2（f（x）≠0），且在区间（2013，2014）上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）、f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）＝f（cosβ）D．以上情况均有可能12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），f（﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，2014]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（0，）∪（，+∞）C．（，1）∪（1，）D．（，）∪（，）二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数，则＝．14．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）＝P（ξ＜c ﹣1），则c＝．15．（5分）已知数列{a n}满足a1＝100，a n+1﹣a n＝2n，则的最小值．16．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a（1+cos C）+c（1+cos A）＝3b，（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠P AD＝90°，侧面P AD⊥底面ABCD．若P A＝AB＝BC＝AD．（Ⅰ）求证：CD⊥PC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）20．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与＝（，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使•＜0，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x在x＝0处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2＝P A•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，试求实数m的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝lg（|x+1|+|x﹣2|+a）．（Ⅰ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．2014年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z||x|＜5}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∩B等于（）A．（2，5）B．[2，5）C．{2，3，4}D．{3，4，5}【解答】解：A＝{x∈Z||x|＜5}＝{x∈Z|﹣5＜x＜5}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x﹣2≥0}，∴A∩B＝{2，3，4}，故选：C．2．（5分）复数（i是虚数单位）化简的结果是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：＝＝（）2＝（﹣i）2＝﹣1．故选：B．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．3【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为＝，解得x＝．故选：C．4．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）＝1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）＝＝．所以P（A）＝．故选：B．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝18﹣a5，则S8＝（）A．72B．68C．54D．90【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＝18﹣a5，∴a4+a5＝18，则S8＝4（a1+a8）＝4（a4+a5）＝72故选：A．6．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i的值为（）A．5B．6C．7D．9【解答】解：由程序框图可看出：S＝1×23×25×…×22n+1＝23+5+…+（2n+1）＝＝，由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n2+2n＞6，解得n＝3，∴i＝2n+1＝7．故应输出i的值是7．故选：C．7．（5分）设a＝lge，b＝（lge）2，c＝lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．8．（5分）已知点P（x，y）满足线性约束条件，点M（3，1），O为坐标原点，则•的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣1【解答】解：设z＝•，则z＝3x+y，即y＝﹣3x+z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（3，2），此时z＝3x+y＝3×3+2＝11，故•的最大值为11，故选：B．9．（5分）若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84B．84C．﹣36D．36【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n＝512，则n＝9，T r+1＝（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r＝0，则r＝6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B．10．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，则该双曲线离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±，即bx±ay＝0圆C：x2+y2﹣6x+5＝0化为标准方程（x﹣3）2+y2＝4∴C（3，0），半径为2∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切∴∴9b2＝4b2+4a2∴5b2＝4a2∵b2＝c2﹣a2∴5（c2﹣a2）＝4a2∴9a2＝5c2∴＝∴双曲线离心率等于故选：D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）＝﹣2（f（x）≠0），且在区间（2013，2014）上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）、f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）＝f（cosβ）D．以上情况均有可能【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）＝﹣2，∴f（x）＝＝＝f（x+2），∴f（x）是周期为2的偶函数．∵函数f（x）在区间（2013，2014）上单调递增，故函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sinα＞sin（﹣β）＝cosβ＞0．则f（sinα）＜f（cosβ），故选：A．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），f（﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，2014]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（0，）∪（，+∞）C．（，1）∪（1，）D．（，）∪（，）【解答】解：由f（2﹣x）＝f（2+x），得到函数f（x）关于x＝2对称，由f（﹣x）＝f（x）得函数f（x）是偶函数，且f（2﹣x）＝f（2+x）＝f（x﹣2），即f（x+4）＝f（x），即函数的周期是4．当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，此时f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x﹣2，由g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）＝0得f（x）＝log a（x+1），（a＞0，a≠1）作出函数f（x）的图象如图：①若a＞1，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点A（2，2）时，两个图象有两个交点，此时g（2）＝log a3＝2，解得a＝，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点B（6，2）时，两个图象有四个交点，此时g（6）＝log a7＝2，解得a＝，此时要使两个函数有3个不同的零点，则，②若0＜a＜1，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点C（4，﹣1）时，两个图象有两个交点，此时g（4）＝log a5＝﹣1，解得a＝，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点D（8，﹣1）时，两个图象有四个交点，此时g（6）＝log a9＝﹣1解得a＝，此时要使两个函数有3个不同的零点，则，综上：实数a的取值范围是（，）∪（，），故选：A．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数，则＝0．【解答】解：∵函数，∴＞0且x≠0，解得：﹣1＜x＜0 或0＜x＜1．∴定义域为{x|﹣1＜x＜0 或0＜x＜1}，∴＝＝﹣f（x），∴函数是奇函数，∴＝＝0．故答案为：014．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）＝P（ξ＜c ﹣1），则c＝2．【解答】解：∵N（2，32）⇒，，∴，解得c＝2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{a n}满足a1＝100，a n+1﹣a n＝2n，则的最小值19．【解答】解：a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4，…a n+1﹣a n＝2n，这n个式子相加，就有a n+1＝100+n（n+1），即a n＝n（n﹣1）+100＝n2﹣n+100，∴＝n+﹣1≥2﹣1＝19，当且仅当n＝，即n＝10时，取最小值19．故答案为：19．16．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为16π．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，∴BC＝＝，∴∠ABC＝90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r＝AC＝1，∴球O的半径R＝＝2，∴球O的表面积S＝4πR2＝16π．故答案为：16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a（1+cos C）+c（1+cos A）＝3b，（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵a（1+cos C）+c（1+cos A）＝3b，由正弦定理得，sin A（1+cos C）+sin C（1+cos A）＝3sin B，即sin A+sin C+sin（A+C）＝3sin B，∴sin A+sin C＝2sin B，由正弦定理得，a+c＝2b，则a，b，c成等差数列；（2）∵∠B＝60°，b＝4，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B得4＝a2+c2﹣2ac cos60°，即（a+c）2﹣3ac ＝16，又a+c＝2b＝8，解得，ac＝16（或者解得a＝c＝4），＝ac sin B＝4．则S△ABC18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠P AD＝90°，侧面P AD⊥底面ABCD．若P A＝AB＝BC＝AD．（Ⅰ）求证：CD⊥PC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠P AD＝90°，∴P A⊥AD，又∵侧面P AD⊥底面ABCD，且侧面P AD∩底面ABCD＝AD，∴P A⊥底面ABCD，又∵∠BAD＝90°，∴AB、AD、AP两两垂直，分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴，，∴＝0，∴CD⊥PC．（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面P AD，∴是平面P AD的一个法向量，设平面PCD的法向量，∵，∴，取x＝1，得到＝（1，1，2），设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图形知θ为锐角，∴cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）【解答】解：（1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5＝0.3，所以高为＝0.06．频率直方图如下：第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝＝1000，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，p＝＝0.65，第四组的频率为0.03×5＝0.15，第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30＝2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝所以随机变量X的分布列为∴数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝220．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与＝（，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使•＜0，求实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C：＝1（a＞b＞0），则∵A（a，0）、B（0，b），∴＝（﹣a，b），∵与＝（，﹣1）共线，∴a＝b，∵焦距为2，∴c＝1，∴a2﹣b2＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y＝kx+m代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，△＝16k2m2﹣4×（2k2+1）（2m2﹣2）＝16k2﹣8m2+8＞0（*）∵•＜0，∴x1x2+y1y2＜0，∵y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，∴+＜0，∴m2＜，∴m2＜且满足（*）故实数m的取值范围是（﹣，）．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x在x＝0处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣xf′（x）＝﹣2x﹣1当x＝0时，f（x）取得极值，∴f′（0）＝0故，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，则实数a的值为1；（Ⅱ）由a＝1知f（x）＝ln（x+1）﹣x2﹣x由f（x）＝﹣x+b，得ln（x+1）﹣x2+x﹣b＝0令φ（x）＝ln（x+1）﹣x2+x﹣b，则f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x）＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．φ′（x）＝﹣2x+＝，当x∈[0，1]时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在[0，1）上单调递增；当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，依题意有φ（0）＝﹣b≤0，φ（1）＝ln（1+1）﹣1+﹣b＞0，φ（2）＝ln（1+2）﹣4+3﹣b≤0解得，ln3﹣1≤b＜ln2+，故实数b的取值范围为：[ln3﹣1，ln2+）；（Ⅲ）f（x）＝ln（x+1）﹣x2﹣x的定义域为{x|x＞﹣1}，由（1）知f（x）＝，令f′（x）＝0得，x＝0或x＝﹣（舍去），∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最大值．∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）﹣x2﹣x≤0（当且仅当x＝0时，等号成立）对任意正整数n，取x＝＞0得，ln（+1）＜+∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln＝ln（n+1）．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2＝P A•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP＝90°，∴∠ONB+∠BNP＝90°∵OB＝ON，∴∠OBN＝∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO＝90°，故∠BNP＝∠BMO＝∠PMN，PM＝PN∴PM2＝PN2＝P A•PC（Ⅱ）∵OM＝2，BO＝2，BM＝4∵BM•MN＝CM•MA＝（2+2）（2﹣2）（2﹣2）＝8，∴MN＝2选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，试求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程x2+y2＝4x．由直线l的参数方程：，（t是参数），消去t可得x﹣y﹣m＝0．（Ⅱ）由圆C的方程（x﹣2）2+y2＝4可得圆心C（2，0），半径r＝2．∴圆心C到直线l的距离d＝＝．∵，|AB|＝∴，化为|m﹣2|＝1，解得m＝1或3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝lg（|x+1|+|x﹣2|+a）．（Ⅰ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5，在同一坐标系中作出函数y＝|x+1|+|x﹣2|与y＝5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x＜﹣2或x＞3，即函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或x＞3}．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，|x+1|+|x﹣2|+a＞0恒成立，即|x+1|+|x﹣2|＞﹣a恒成立，由图象可知|x+1|+|x﹣2|≥3，即﹣a＜3，解得a＞﹣3．。

甘肃省2014年高考数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合{5}{20}A x Z x B x xA B =∈=≥⋂＜，﹣，则等于（ ） A ．25（，） B ．[25，） C ．{}234，， D ．{}345，，解析 A={x ∈Z||x|＜5}={x ∈Z|﹣5＜x ＜5}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x ﹣2≥0}，∴A ∩B={2，3，4}，故选：C ．2．（5分）（2014•甘肃一模）复数21()1i i -+（i 是虚数单位）化简的结果是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 解析==（）2=（﹣i ）2=﹣1． 故选：B ．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．3 解析 由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．4．（5分）从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M x y （，），则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．16解析 可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）==．所以P （A ）=．故选：B ．5．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a ﹣，则8S =（）A ．72B ．68C ．54D ．90解析 在等差数列{a n }中，∵a 4=18﹣a 5，∴a 4+a 5=18，则S 8=4（a 1+a 8）=4（a 4+a 5）=72故选：A6．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9解析 由程序框图可看出：S=1×23×25×…×22n+1=23+5+…+（2n+1）==， 由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n 2+2n ＞6，解得n=3，∴i=2n+1=7．故应输出i 的值是7．故选：C ．7．（5分）设lg lg 2a e b e c ===，（）， ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>解析 ∵1＜e ＜3＜， ∴0＜lge ＜1，∴lge ＞lge ＞（lge ）2．∴a ＞c ＞b ．故选：C ．8．（5分）（2014•甘肃一模）已知点P x y （，）满足线性约束条件21x x y ≤⎧⎪⎨⎪-⎩y ＋x ≥≤1，点31M O （，），为坐标原点，则OM OP ∙的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 解析 设z=•，则z=3x+y ，即y=﹣3x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点A 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A （3，2），此时z=3x+y=3×3+2=11，故•的最大值为11，故选：B ．9．（5分）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．36 解析 展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C 9r x 18﹣3r 令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B ．10．（5分）（2014•西藏一模）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两条渐近线均和圆C ：22650x y x ++=﹣相切，则该双曲线离心率等于（ ）A BC ．32D 解析 双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±，即bx ±ay=0 圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0化为标准方程（x ﹣3）2+y 2=4∴C （3，0），半径为2∵双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0相切∴∴9b 2=4b 2+4a 2∴5b 2=4a 2∵b 2=c 2﹣a 2∴5（c 2﹣a 2）=4a 2∴9a 2=5c 2∴=∴双曲线离心率等于故选：A ．11．（5分）定义在R 上的偶函数f x （）满足120f x f x f x +=≠（）（）﹣（（），且在区间20132014（，）上单调递增，已知αβ，是锐角三角形的两个内角，则sin cos f f αβ（）、（）的大小关系是（ ） A ．sin cos f f αβ（）<（） B ．sin cos f f αβ（）＞（）C ．sin cos f f αβ=（）（）D ．以上情况均有可能 解析 ∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+1）f （x ）=﹣2，∴f （x ）===f （x+2），∴f （x ）是周期为2的偶函数．∵函数f （x ）在区间（2013，2014）上单调递增，故函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sin α＞sin （﹣β）=cos β＞0． 则f （sin α）＜f （cos β），故选：A ．12．（5分）（2014•甘肃一模）设f x （）是定义在R 上的函数，x R ∀∈，都有22f x f x =+（﹣）（），f x f x =（﹣）（），且当[02]x ∈，时，22x f x =（）﹣，若函数log 10,1)g x f x a x a a =+≠（）（）﹣（）(＞在区间12014]（﹣，内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)(3,7)95B ．1(0,)(7,)9+∞C ．1(,1)(1,3)9D ．11(,)(3,7)73解析 由f （2﹣x ）=f （2+x ），得到函数f （x ）关于x=2对称，由f （﹣x ）=f （x ）得函数f （x ）是偶函数，且f （2﹣x ）=f （2+x ）=f （x ﹣2），即f （x+4）=f （x ），即函数的周期是4．当x ∈[﹣2，0]时，﹣x ∈[0，2]，此时f （x ）=f （﹣x ）=2﹣x ﹣2，由g （x ）=f （x ）﹣log a （x+1）=0得f （x ）=log a （x+1），（a ＞0，a ≠1）作出函数f （x ）的图象如图：①若a ＞1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点A （2，2）时，两个图象有两个交点，此时g （2）=log a 3=2，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点B （6，2）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 7=2，解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， ②若0＜a ＜1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点C （4，﹣1）时，两个图象有两个交点， 此时g （4）=log a 5=﹣1，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点D （8，﹣1）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 9=﹣1解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， 综上：实数a 的取值范围是（，）∪（，）， 故选：A ．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数211()log ()1x f x x x -=++，则11()()20142014f f +-= ．解析 ∵函数， ∴＞0且x ≠0，解得：﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1．∴定义域为{x|﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1}，∴==﹣f （x ），∴函数是奇函数，∴==0． 故答案为：0 14．（5分）设随机变量ξ服从正态分布29N （，），若(1)(1)P c P c ξξ+=＞＜﹣，则c = ． 解析 ∵N （2，32）⇒， ，∴，解得c=2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{}n a 满足110012n n a a a n =+=，﹣，则n a n的最小值 ． 解析 a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…a n+1﹣a n =2n ，这n 个式子相加，就有a n+1=100+n （n+1），即a n =n （n ﹣1）+100=n 2﹣n+100，∴=n+﹣1≥2﹣1=19， 当且仅当n=，即n=10时，取最小值19．故答案为：19．16．（5分）若三棱锥SABC ﹣的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =，12AB AC ==，，60BAC ︒∠=，则球O 的表面积为 ．解析 如图，三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，∵SA ⊥平面ABC ，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°， ∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=AC=1， ∴球O 的半径R==2， ∴球O 的表面积S=4πR 2=16π．故答案为：16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC 中，三个内角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若1cos 1cos 3a C c A b +++=（）（）， （1）求证：a b c ，，成等差数列；（2）若604B b ∠=︒=，，求ABC 的面积．解析 （1）∵a （1+cosC ）+c （1+cosA ）=3b ，由正弦定理得，sinA （1+cosC ）+sinC （1+cosA ）=3sinB ，即sinA+sinC+sin （A+C ）=3sinB ，∴sinA+sinC=2sinB ，由正弦定理得，a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列；（2）∵∠B=60°，b=4，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB 得4=a 2+c 2﹣2accos60°，即（a+c ）2﹣3ac=16， 又a+c=2b=8，解得，ac=16（或者解得a=c=4），则S △ABC =acsinB=4．18．（12分）如图，在四棱锥PABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，且90AD BC ABC PAD ∠=∠=︒，，侧面PAD ABCD ⊥底面．若12PA AB BC AD ===． （Ⅰ）求证：CD PC ⊥； （Ⅱ）求二面角APD C ﹣﹣的余弦值．解析（Ⅰ）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD，又∵∠BAD=90°，∴AB、AD、AP两两垂直，分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴，，∴=0，∴CD⊥PC．（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的一个法向量，设平面PCD的法向量，∵，∴，取x=1，得到=（1，1，2），设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图形知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值为．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[2555]，岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n a p ，，的值（2）从[4045，）岁和[4550，）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[4045，）岁得人数为X ，求X 的分布列和数学期望E X （）解析 （1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000，所以第二组的人数为1000×0.3=300，p==0.65，第四组的频率为0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==所以随机变量X的分布列为∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=2﹣共线．20．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=1)（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，O 为坐标原点，总使0OP OQ ∙<，求实数m 的取值范围．解析 （Ⅰ）解：设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），则∵A （a ，0）、B （0，b ）， ∴=（﹣a ，b ）， ∵与=（，﹣1）共线，∴a=b ，∵焦距为2， ∴c=1， ∴a 2﹣b 2=1， ∴a 2=2，b 2=1， ∴椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），把直线方程y=kx+m 代入椭圆方程，消去y 可得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，△=16k 2m 2﹣4×（2k 2+1）（2m 2﹣2）=16k 2﹣8m 2+8＞0（*） ∵•＜0，∴x 1x 2+y 1y 2＜0，∵y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=，∴+＜0，∴m 2＜，∴m 2＜且满足（*） 故实数m 的取值范围是（﹣，）．21．（12分）已知函数2ln f x x a x x =+（）（）﹣﹣在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程52f x x b =+（）﹣在区间[]02，上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n ，不等式23412ln(1)49n n n++++⋯++＞都成立． 解析 （Ⅰ）函数f （x ）=ln （x+a ）﹣x 2﹣x f ′（x ）=﹣2x ﹣1当x=0时，f （x ）取得极值，∴f ′（0）=0 故，解得a=1，经检验a=1符合题意， 则实数a 的值为1；（Ⅱ）由a=1知f （x ）=ln （x+1）﹣x 2﹣x 由f （x ）=﹣x+b ，得ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b=0 令φ（x ）=ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b ，则f （x ）=﹣x+b 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x ）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根． φ′（x ）=﹣2x+=，当x ∈[0，1]时，φ′（x ）＞0，于是φ（x ）在[0，1）上单调递增；当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，依题意有φ（0）=﹣b≤0，φ（1）=ln（1+1）﹣1+﹣b＞0，φ（2）=ln（1+2）﹣4+3﹣b≤0解得，ln3﹣1≤b＜ln2+，故实数b的取值范围为：[ln3﹣1，ln2+）；（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x的定义域为{x|x＞﹣1}，由（1）知f（x）=，令f′（x）=0得，x=0或x=﹣（舍去），∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最大值．∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）﹣x2﹣x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取x=＞0得，ln（+1）＜+∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：2•=；PM PA PC（Ⅱ）若O的半径为OA=，求MN的长．解析 （Ⅰ）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ， ∴∠ONP=90°， ∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON ， ∴∠OBN=∠ONB 因为OB ⊥AC 于O ， ∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN ，PM=PN ∴PM 2=PN 2=PA •PC （Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4 ∵BM •MN=CM •MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：x m ty t=+⎧⎨=⎩，（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且|||AB ，试求实数m 的值． 解析 （Ⅰ）∵ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，化为直角坐标方程x 2+y 2=4x ． 由直线l 的参数方程：，（t 是参数），消去t 可得x ﹣y ﹣m=0．（Ⅱ）由圆C 的方程（x ﹣2）2+y 2=4可得圆心C （2，0），半径r=2． ∴圆心C 到直线l 的距离d==．∵，|AB|=∴，化为|m ﹣2|=1，解得m=1或3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数()lg(12)f x x x a =+++﹣．（Ⅰ）当5a =﹣时，求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 （Ⅰ）当a=﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x ﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5， 在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x ﹣2|与y=5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x ＜﹣2或x ＞3，即函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或x＞3}．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，|x+1|+|x﹣2|+a＞0恒成立，即|x+1|+|x﹣2|＞﹣a恒成立，由图象可知|x+1|+|x﹣2|≥3，即﹣a＜3，解得a＞﹣3．。

兰州大学附中2013—2014学年度上学期高三一轮复习【新课标】数学（理）单元验收试题（7）命题范围：三角函数说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 2y x =D ．cos 2y x =2．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2t a n （ ）A ．34 B ．43 C ．43- D ．34-3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为( ) A ．34π B ． 4π C ．0 D ．4π-4．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c o s c o s s i n b C c B a A +=，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．函数f(x)=xx xx cos sin 1cos sin ++的值域是（ ）。

A ．[－2－1，1]∪[－1,2－1]B ．[－212+,212-] C ．[－22－1, 22－1]D ．[－212+,－1)∪(－1, 212-] 6．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）A ．sin(α+β)>sinα+sinβB ．sin(α+β)>cosα+cosβC ．cos(α+β)<sinα＋sinβD ．cos(α+β)<cosα＋cosβ7．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A ．10 B ．10 C ．10 D ．158．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于(),0π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 既奇函数,又是周期函数9．在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 10．（2013年山东数学（理）试题）函数cos sin y x x x =+的图象大致为( )11．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π12．已知2cos sin cos )(2ax x b x a x f --=的最大值是21，且43)3(f =π，则=π-)3(f （ ）A ．21B ．43-C ．4321或-D ．430-或第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

甘肃省兰州一中2014年高考数学冲刺模拟考试试题 文〔一〕新人教B 版第Ⅰ 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．设集合{}2|3100M x R x x =∈--<，{|||2}N x Z x =∈<，如此MN 为 〔 〕A ．)2,2(-B ．)2,1(C ．{-1，0，1}D ．}2,1,0,1,2{--2．假设复数3()1x iz x R i+=∈-是实数，如此x 的值为〔 〕 A ．3-B ．3 C ．0 D ．33．角α的终边经过点A (3,)a -，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，如此sin α=〔 〕 A ．12-B ．12C ．32-D ．324．变量x ，y 满足125,31x y x y z x y x -≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则的最大值为 〔 〕A ．5B ．6C ．7D ．85．如图是一个几何体的三视图，如此此三视图所描述几何体 的外表积为 〔〕A ．π)3412(+B ．20πC ．π)3420(+D ．28π6．给出如下四个命题：①假设“p ∨q 〞为真命题，如此p 、q 均为真命题；②“假设,221a b a b >>-则〞的否命题为“假设a b ≤，如此221a b -≤〞；③“2,1x x x ∀∈+R ≥〞的否认是“2000,1x x x ∃∈+R ≤〞； ④“0x >〞是“12x x+≥〞的充要条件.其中不正确的命题是〔 〕A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④7．双曲线12222=-by a x 的离心率为3,如此它的渐近线方程是〔 〕A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 2±=D ．x y 21±= 8. 函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭其中的图象如下列图，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象〔 〕A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位9．数列{}n a 的前n 项和21n s n n =++；(1)nn n b a =-〔n∈N*〕；如此数列{}n b 的前50项和为 〔 〕A ．49B ．50C ．99D ．10010．在区间[],ππ-内随机取两个数分别为,a b ，如此使得函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率为( )A ．18π-B ．14π-C ．12π-D ．314π-11. 设函数()f x 的定义域为R ，(),0111,103xx x f x x R x ≤≤⎧⎪=∈⎨⎛⎫--<<⎪⎪⎝⎭⎩，且对任意的都有()()11f x f x +=-，假设在区间[]()()1,5g x f x mx m -=--上函数，恰有6个不同零点，如此实数m 的取值范围是〔 〕A ．11,46⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,34⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦12．函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数记为()f x '，假设对于任意实数x ，有()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，如此不等式()x f x e <的解集为〔 〕A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(,)e +∞第2卷〔非选择题 共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分.13．某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如下列图，如此这200辆汽车中在该路段没有超速的有辆．14. 执行如下列图的程序框图，假设输入10,n S ==则输出的___ 15. 假设,αβ为两个不同的平面，m 、n 为不同直线，如下推理: ①假设,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥则直线； ②假设直线//m n m α⊥平面，直线直线，n α⊥则直线平面；③假设直线m//n ，,m n αβ⊥⊂，αβ⊥则平面平面； ④假设平面//m αββ⊥平面，直线平面，,n m α⊂⊥则直线直线n ；其中正确说法的序号是________.16. 设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，假设()3,,16OP OA OB R λμλμλμ=+∈=，如此该双曲线的离心率为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 〔本小题总分为12分〕设函数22()cos()2cos ,32xf x x x π=++∈R .〔1〕求()f x 的值域；〔2〕记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，假设()1,1,3f B b c ===，求a 的值.18．〔本小题总分为12分〕如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．〔I 〕求证：//EF 平面PAD ； 〔II 〕求证：EF CD ⊥；〔III 〕设PD=AD=a , 求三棱锥B-EFC 的体积.19.〔本小题总分为12分〕为了解某市的交通状况，现对其6条道路进展评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：〔Ⅰ〕求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；评估的平均得分(0,6) [6,8) [8,10] 全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀〔Ⅱ〕用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过5.0的概率. 20．〔本小题总分为12分〕函数()f x =x x ax ln 232+-，a 为常数. 〔I 〕当a =1时，求()f x 的单调区间；〔II 〕假设函数()f x 在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围.21. (本小题总分为12分) 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y -+=相切．. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的标准方程；〔Ⅱ〕假设直线:L y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OA OBb k k a⋅=-，判断△AOB的面积是否为定值？假设为定值，求出定值；假设不为定值，说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答。

（理科数学）第一卷 选择题（60分） 一:选择题（每小题5分，共12小题，共计60分） 1. 已知R a ∈，若复数iia z +-=12为纯虚数，则=-|3|ai （ ） A.13 B.13 C.10 D.10 2．已知集合} 111|{>-=x x A ，} 1log |{21>=x x B ，那么“A m ∈”是“B m ∈”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 不充分也不必要条件3．设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则 （ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>4. 已知()πα,0∈ 22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-5．若n xx )12(32-展开式各项系数和为1281-，则展开式中常数项是第（ ）项 A 7 B 6 C 5 D 26．已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积等于 （ ） A.3160B.160C.23264+D.2888+7.已知四面体ABCD 中，AB=AD=6,AC =4,CD =132，AB 丄平面ACD,则四面体 ABCD 外 接球的表面积为 （ ） A π36 B π88 C π92 D π128(8) 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 131，如果目标函数z=5x-4y 的最小值为3，则实 数 m = （ ）A 3B 2C 4D 3119.如图，O 为△ABC 的外心，BAC ,AC ,AB ∠==24为钝角，M 是 边BC 的中点，则∙的值A．．12 C ．6 D ．510．设F 1、F 2是双曲线224x y －＝1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使（OP uu u r ＋2OF uuu r ）·2F P uuu r＝0（0为坐标原点）且｜PF 1｜＝λ｜PF 2｜，则λ的值为 （ ）A ．2B ．12 C ．3 D ．1311．已知,P Q 是函数2()(1)(1)f x x m x m =---+的图象与x 轴的两个不同交点，其图象的顶点为R ，则PQR ∆面积的最小值是 （ ）A ．１ BC． D．412.已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的 最小值为A ．8B ．9C ． 10D ． 11第二卷 非选择题（共90分）二：填空题（每小题5分，共计20分）13．随机变量),1(~2σN X ，若32)1|1(|=<-X P ，则=≥)0(X P ______________ 14．若()f x'为()f x 的导函数，且()f x =11()f x dx -'=⎰.15． 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两第9题图16.设函数,1)(2-=x x f 设圆.1625:22=+y x C 其中点)1,0(M 为圆内一定点。