2017-2018年福建省泉州市晋江市养正中学高一上学期数学期中试卷带答案

福建省晋江市2０１7－2０1８学年高一数学上学期期中试题（无答案）编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（福建省晋江市2017-2018学年高一数学上学期期中试题（无答案）)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为福建省晋江市２01７-201８学年高一数学上学期期中试题（无答案)的全部内容。

2017年秋高一年期中考试数学科试卷考试时间：1２0分钟 满分:15０分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。

已知集合2{|230}A x x x =+->,{|40}B x x =-≤≤，则()R C A B ⋃＝（ )A.[4,3)--B.[4,1]- C ．[4,3]-- D.{－4,－3，-2,－1，0，1}２.下列函数与x y =有相同图象的一个函数是( ） A.2x y = B ．x x y 2= C 。

)10(log ≠>=a a a y x a 且 D 。

x a a y log =(0a >且)1a ≠3。

下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ) Ａ．x y = B.x y -=3 C ．x y 1= Ｄ.42+-=x y4。

设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ )A ． 奇函数 Ｂ． 偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ． 非奇非偶函数 ５。

三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ )A.60.70.70.7log 66<< B ．60.70.70.76log 6<<C.60.70.7log 60.76<< D ．0.760.7log 660.7<<6．函数⎩⎨⎧≥<-+-=0,0,33)(x a x a x x f x （10≠>a a 且)是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．),1(+∞ B.]32,0( Ｃ．)1,32[ Ｄ．)1,0(7．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) Ａ．)2()1()23(f f f <-<- B.)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f ８．函数5||4--=x x y 的定义域为（ ）Ａ．}5|{±≠x x Ｂ.}4|{≥x xC ．}554|{><≤x x x 或D ．}54|{<<x x9．已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f ，若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1,则实数a 的值为( ） Ａ．5 B.-2 C ．—5 D ．210．若0x 是方程31)21(x x =的解,则0x 属于区间（ ) Ａ. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 Ｄ.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 1１.已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是（ ）Ａ． B ． C ． D ．１2.设函数421()()1x g x x x e =--+-，若不等式2()()g x g ax >对一切[)(]1,00,1x ∈-⋃恒成立,则a 的取值范围为（ )A.(,1)(1,)-∞-⋃+∞ﻩB.(1,1)-ﻩ Ｃ．(1,)-+∞ D ．(1,)+∞二、填空题（本大题共４小题,每小题５分，满分２0分)．１3．若函数32()22f x x x x =+--的一个正零点附近的函数值如下表:f(1)=-2f （1.5)=０.６2５ f(1.25）≈—0.98４ f(1.３75)≈—０。

2018-2018学年福建省泉州市晋江市养正中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|log3x≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．已知随机变量X服从正态分布N（2，ς2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.63．设函数f（x）=，则f（1）=（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=﹣0.2x+3.3 B．=0.4x+1.5 C．=2x﹣3.2 D．=﹣2x+8.65．下列4个命题：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”；②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2；其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）A．f（x）=﹣xe|x|B．f（x）=x+sinxC．f（x）=D．f（x）=x2|x|7．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）Y PA．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.58．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．10．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（）①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值②DC1⊥D1M③∠AMD1的最大值为90°④AM+MD1的最小值为2．A．①②B．①②③ C．③④D．②③④11．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分13．（sinx+1）dx的值为．14．若函数y=ln（﹣2x）为奇函数，则a=．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为．16．已知函数f（x）=恰有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤[选修4-4：坐标系与参数方程].17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：=1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]18．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．20．2018年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策100位，得到数据如表：（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．22．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）2018-2018学年福建省泉州市晋江市养正中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|log3x≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x≥1}，这样即可求出A∩B，A∪B，从而找出正确选项．【解答】解：A={x|x≥1}，B={x|x≤1}；∴A∩B={1}，A∪B=R，A，B没有包含关系；即B正确．故选B．2．已知随机变量X服从正态分布N（2，ς2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＞4）．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2P（0＜X＜4）=0.8，∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，故选A．3．设函数f（x）=，则f（1）=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的值．【分析】由1＜5，得f（1）=f[f（7）]=f（5），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．故选：D．4．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=﹣0.2x+3.3 B．=0.4x+1.5 C．=2x﹣3.2 D．=﹣2x+8.6【考点】线性回归方程．【分析】利用变量x与y负相关，排除选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可．【解答】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；回归直线方程经过样本中心，把=3，=2.7，代入A成立，代入D不成立．故选：A．5．下列4个命题：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”；②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2；其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接写出命题的逆否命题判断①；由复合命题的真假判断判定②；求解不等式，然后结合充要条件的判断方法判断③；直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确；②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确；③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C．6．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）A．f（x）=﹣xe|x|B．f（x）=x+sinxC．f（x）=D．f（x）=x2|x|【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，进而得到答案．【解答】解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R 上为减函数，A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，且f′（x）=≤0恒成立，故在R上为减函数，B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，C中函数f（x）=，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，故选：A．7．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）Y PA．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出两个事件发生的概率，利用条件概率公式求得答案．【解答】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P，设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B，P（A）=0.6，P（AB）=0.3，P=P（B丨A）==0.5，故答案选：D．8．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，n=1执行循环体，a=，n=3满足条件n≤2018，执行循环体，a=﹣1，n=5满足条件n≤2018，执行循环体，a=2，n=7满足条件n≤2018，执行循环体，a=，n=9…由于2018=3×671+2，可得：n=2018，满足条件n≤2018，执行循环体，a=，n=2018不满足条件n≤2018，退出循环，输出a的值为．故选：B．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，根据三视图的数据，求出半圆锥和圆柱的体积，相加可得答案．【解答】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，它们的底面直径均为2，故底面半径为1，圆柱的高为1，半圆锥的高为2，故圆柱的体积为：π×12×1=π，半圆锥的体积为：×=，故该几何体的体积V=π+=，故选：B10．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（）①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值②DC1⊥D1M③∠AMD1的最大值为90°④AM+MD1的最小值为2．A．①②B．①②③ C．③④D．②③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由A1B∥平面DCC1D1，可得线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，即可得出三棱锥M﹣DCC1的体积为定值．②由A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，可得C1⊥面A1BCD1，即可判断出正误．③当0＜A1P＜时，利用余弦定理即可判断出∠APD1为钝角；④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，再利用余弦定理即可判断出正误．【解答】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值，故①正确．②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．因此只有①②正确．故选：A．11．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分13．（sinx+1）dx的值为2．【考点】定积分．1（sinx+1）dx，关键是关键【分析】本题考查的知识点是简单复合函数的定积分，要求∫﹣1找准被积函数的原函数．1【解答】解：所求的值为（x﹣cosx）|﹣1=（1﹣cos1）﹣（﹣1﹣cos（﹣1））=2﹣cos1+cos1=2．故答案为：2．14．若函数y=ln（﹣2x）为奇函数，则a=4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数是奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解即可．【解答】解：函数y=ln（﹣2x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），ln（+2x）=﹣ln（﹣2x）．ln（+2x）=ln（）=ln（）．可得1+ax2﹣4x2=1，解得a=4．故答案为：4．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为4或．【考点】球内接多面体．【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，求出x，即可求出球O的直径．【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，∴AC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，∴x=1或，∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=．故答案为：4或．16．已知函数f（x）=恰有两个零点，则a的取值范围是（﹣3，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分类讨论，确定函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上、函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上零点的个数，即可得出结论．【解答】解：由题意，a≥0时，x＜0，y=2x3﹣ax2﹣1，y′=6x2﹣2ax＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上至多一个零点；x≥0，函数y=|x﹣3|+a无零点，∴a≥0，不符合题意；﹣3＜a＜0时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；a=﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）．故答案为（﹣3，0）．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤[选修4-4：坐标系与参数方程].17．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1：为参数），曲线C 2：=1．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB |．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由可得C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求出A ，B 的极径，即可求|AB |．【解答】解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x ﹣1）2+y 2=1，由可得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ2（1+sin 2θ）=2．（Ⅱ）射线与曲线C 1的交点A 的极径为，射线与曲线C 2的交点B 的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]18．已知函数f （x ）=|x ﹣a |．（Ⅰ）若不等式f （x ）≤2的解集为[0，4]，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+f （x 0+5）﹣m 2＜4m ，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）若不等式f （x ）≤2的解集为[0，4]，可得，即可求实数a 的值；（Ⅱ）根据第一步所化出的分段函数求出函数f （x ）的最小值，若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+f （x 0+5）﹣m 2＜4m 成立，只需4m +m 2＞f min （x ），解出实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵|x ﹣a |≤2，∴a ﹣2≤x ≤a +2，∵f （x ）≤2的解集为[0，4]，∴，∴a=2．（Ⅱ）∵f （x ）+f （x +5）=|x ﹣2|+|x +3|≥|（x ﹣2）﹣（x +3）|=5，∵∃x 0∈R ，使得，即成立，∴4m +m 2＞[f （x ）+f （x +5）]min ，即4m +m 2＞5，解得m ＜﹣5，或m ＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．19．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．20．2018年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策100位，得到数据如表：70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为，且X～B（3，），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅱ）求出K2=3.180＞2.718，从而有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．【解答】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴E（X）=3×=2．（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，K2==≈3.180＞2.718，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取PA的中点N，连接QN，BN，则可证四边形BCQN为平行四边形，得出CQ∥BN，于是CQ∥平面PAB；（II）取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO，则可证OB⊥AD，PO⊥平面ABCD，以O为原点建立坐标系，求出和平面ACQ的法向量的坐标，即可求出直线PD与平面AQC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN．∵Q，N是PD，PA的中点，∴QN∥AD，且QN=AD．∵PA=2，PD=2，PA⊥PD，∴AD=4，∴BC=AD．又BC∥AD，∴QN∥BC，且QN=BC，∴四边形BCQN为平行四边形，∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，∴CQ∥平面PAB．（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO．由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2，∴△APM为等边三角形，∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，），C（，2，0），Q（0，，）．∴=（，3，0），=（0，3，﹣），=（0，，）．设平面AQC的法向量为=（x，y，z），∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．∴cos＜，＞==﹣．∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为．22．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）确定α+β=0，αβ=a﹣1.．构造函数，确定其单调性，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）．当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，故f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a＜0时，由f'（x）=0得，，f（x）在上单调递减，在上单调递增．证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且，所以α+β=0，αβ=a﹣1．．由0＜a＜1得，0＜β＜1．构造函数．，设h（x）=2（x2+1）ln（x+1）﹣2x+x2，x∈（0，1），则，因为0＜x＜1，所以，h'（x）＞0，故h（x）在（0，1）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，所以，故．2018年1月6日。

2018-2019学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“x ＞3”是“不等式x 2-2x ＞0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 非充分必要条件2.命题“∀x ＞0，都有x 2-x +3≤0”的否定是（ ）A. ，使得B. ，使得∃x >0x 2‒x +3≤0∃x >0x 2‒x +3>0C. ，都有 D. ，都有∀x >0x 2‒x +3>0∀x ≤0x 2‒x +3>03.已知M （-2，0），N （2，0），|PM |-|PN |=4，则动点P 的轨迹是（ ）A. 一条射线 B. 双曲线 C. 双曲线左支 D. 双曲线右支4.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（ ）A. 不拥有的人们会幸福B. 幸福的人们不都拥有C. 拥有的人们不幸福D. 不拥有的人们不幸福5.某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（ ）A. 分层抽样，简单随机抽样B. 简单随机抽样，分层抽样C. 分层抽样，系统抽样D. 简单随机抽样，系统抽样 6.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，77.过双曲线x 2-=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于y 23A 、B 两点，则|AB |=（ ）A.B. C. 6 D. 43323438.已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（）A.B. x 236+y 220=1(x ≠0)x 220+y 236=1(x ≠0)C.D. x 26+y 220=1(x ≠0)x 220+y 26=1(x ≠0)9.执行如图所示的程序框图，输出k 的值为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 1310.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A. 甲地：总体均值为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为311.已知双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线1过点F 2且x 2a 2y 2b 2与该双曲线的右支交于A ，两点，△ABF 1的周长为7a ，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. (1,72](112,7)[72,7][72,112)12.设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线x 2a 2‒y 2b 2与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a +，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ a 2+b 2）A. B. (‒1,0)∪(0,1)(‒∞,‒1)∪(1,+∞)C. D. (‒2,0)∪(0,2)(‒∞,‒2)∪(2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是______．14.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约______石．15.椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为______．x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)32x 2a 2‒y 2b 2=116.已知椭圆=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，x 2a 2+y 2b 2若AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且，则椭圆离心率的范围是______．α∈[π12，π4]三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设命题p ：∀x ∈R ，x 2+kx +1＞0，命题q ：直线l ：y =kx +1与双曲线C ：3x 2-y 2=3有且只有一个公共点，求：若p ∧q 为真，求实数k 的值．18.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+=1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过F 1的直线l 与Ey 2b 2相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB |；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．19.某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．20.已知点A ，B 是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）与直线x -3y +2=0的交点，点M 是x 2a 2+y 2b 2AB 的中点，且点M 的纵坐标为，12（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆C 的长轴长为8，求椭圆C 的方程．21.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t 1234567人均纯收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-^b ∑n i =1(t i ‒t )(y i ‒y )∑n i =1(t i ‒t )2^a y ．^b t 22.已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点F （1，0），离心率为，过F 作两条互相x 2a 2y 2b 222垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦AB ，CD 的斜率均存在，求△FMN 面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：解不等式x2-2x＞0得x＞2或x＜0，则x＞3⇒x2-2x＞0，而x2-2x＞0时，x＞3不成立0．故“x＞3”是“不等式x2-2x＞0”的充分不必要条件．故选：A．结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查函数充分条件和必要条件的应用，比较基础．2.【答案】B【解析】解：命题“∀x＞0，都有x2-x+3≤0”的否定是：∃x＞0，使得x2-x+3＞0．故选：B．欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．本题主要考查了命题的否定的写法，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：如果是双曲线，那么|PM|-|PN|=4=2aa=2而两个定点M（-2，0），N（2，0）为双曲线的焦点c=2而在双曲线中c＞a所以把后三个关于双曲线的答案全部排除，故选：A．用排除法做：如果是双曲线，那么a=2，c=2，与在双曲线中c＞a矛盾，所以把三个关于双曲线的答案全部排除．本题考查双曲线的定义的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.【答案】D【解析】解：“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品它的逆否命题为：如果这个没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的即“不拥有的人们就不幸福”故选：D．该题考查的是逆否命题的定义，也就是在选项中找到该命题逆否命题．由：“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，结合逆否命题的定义，我们不难得到结论．本题考查了四种命题，关键掌握原命题的逆否命题，属于基础题5.【答案】D【解析】解：学生会的同学随机对24名同学进行调查，是简单随机抽样，对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，是系统抽样，故选：D．根据抽样的不同方式，选择合适的名称，第一种是简单随机抽样，第二种编号，选择学号最后一位为3的同学，这种抽样是系统抽样．抽样包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，根据条件选择合适的抽样方法，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，6.【答案】A【分析】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题．由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3,故选A．7.【答案】D【解析】解：双曲线x2-=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=-2，∴|AB|=4．故选：D．求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8.【答案】B【解析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，-4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20-8=12，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．9.【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=0，k=1满足条件S＞-1，S=-lg3，k=3满足条件S＞-1，S=-lg5，k=5满足条件S＞-1，S=-lg7，k=7满足条件S＞-1，S=-lg9，k=9满足条件S＞-1，S=-lg11，k=11不满足条件S＞-1，退出循环，输出k的值为11．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=-lg11时，不满足条件S＞-1，退出循环，输出k的值为11．本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．10.【答案】D【解析】解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故A不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7．故D正确．故选：D．平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求．本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握．11.【答案】A【解析】解：可设|AF2|=m，|BF2=n，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+m，|BF1|=2a+n，则△ABF1的周长为m+n+2a+m+2a+n=4a+2（m+n）=4a+2|AB|，由题意可得7a=4a+2|AB|，可得|AB|=a，由x=c，可得y=±b=±，则|AB|的最小值为，即有a≥，可得b2≤a2，则e==≤=，又e＞1，可得1＜e≤，故选：A．可设|AF2|=m，|BF2=n，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+m，|BF1|=2a+n，结合条件可得|AB|，求得过双曲线的焦点的弦长的最小值，结合离心率公式，可得所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和不等式的性质，考查化简运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，-），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=-1，∴c-x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c-x=||＜a+，∴＜c2-a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．故选：A．由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=-1，求出c-x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．13.【答案】（0，1）【解析】解：根据题意，若方程x2+ky2=2即+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则有＞2，解可得：0＜k＜1，即实数k的取值范围是（0，1）；故答案为：（0，1）．根据题意，将方程变形为即+=1，由椭圆的标准方程的形式分析可得＞2，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意将椭圆的方程变形为标准方程．14.【答案】192【解析】解：由题意，这批米内夹谷约为1536×=192石，故答案为192．根据224粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．15.【答案】5 2【解析】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，所以=．所以．所以双曲线的离心率=．故答案为：．利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点．16.【答案】[22，63]【解析】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α∈[]，∴，∴，∴．故答案为：．设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出，即离心率e，再由α的范围确定e的范围．本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．17.【答案】解：（1）若p 为真命题，则不等式x 2+kx +1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴△=k 2-4＜0，解得-2＜k ＜2；联立，消去y 得：（3-k 2）x 2-2kx -4=0．{y =kx +13x 2‒y 2=3∵直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点．∴3-k 2=0或，{3‒k 2≠0△=4k 2+16(3‒k 2)=0解得k =，或k =±2．±3从而若q 为真命题，k =，或k =±2．±3∵p ∧q 为真，∴p 真q 真，∴，则k =．{‒2＜k ＜2k =±3或k =±2±3【解析】利用判别式小于0求得p 为真命题的k 的范围，联立直线方程与双曲线方程，分类求得直线与双曲线只有一个公共点的k 的范围，取交集得答案．本题考查复合命题的真假判断与应用，考查恒成立问题的求解方法，考查直线与双曲线位置关系的应用，是基础题．18.【答案】解：（1）由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|，得|AB|=43（2）L 的方程式为y =x +c ，其中c =1‒b2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组．，{y =x +c x 2+y 2b 2=1化简得（1+b 2）x 2+2cx +1-2b 2=0．则．x 1+x 2=‒2c1+b 2，x 1x 2=1‒2b 21+b 2因为直线AB 的斜率为1，所以|AB|=2|x 2‒x 1|即．43=2|x 2‒x 1|则．89=(x 1+x 2)2‒4x 1x 2=4(1‒b 2)(1+b 2)2‒4(1‒2b 2)1+b 2=8b 4(1+b 2)2解得．b =22【解析】（1）由椭圆定义知|AF 2|+|AB|+|BF 2|=4，再由|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L 的方程式为y=x+c ，其中，设A （x 1，y 1），B （x 1，y 1），则A ，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b 2）x 2+2cx+1-2b 2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b 的大小．本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．19.【答案】解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1=0.6＞0.5，∴x ∈[4，5]，由0.40×（5-x ）+0.20×1=0.5，x =4.25，∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25（米）．（II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4．从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件．其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个．所以该运动员得（1分）的概率P =．621=27【解析】（Ⅰ）由中位数两边矩形的面积相等列式求得中位数的估计值；（Ⅱ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4，然后由古典概型概率计算公式得答案．本题考查频率分布直方图，训练了利用枚举法求随机事件的概率，是基础的计算题．20.【答案】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0） …………（1分）由题意得，{x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得+=0…………（3分）(x 1+x 2)(x 1‒x 2)a 2(y 1+y 2)(y 1‒y 2)b 2∴+-=0，…………（4分）2x 0a 22y 0b 2y 1‒y 2x 1‒x 2又因为点M （-，），1212直线AB的斜率为=，y 1‒y 2x 1‒x 213∴-+-=0，1a 21b 213∴a 2=3b 2，…………（6分）e ===…………（8分）c a 1+b 2a263（2）又∵a =4，∴b 2=…………（10分）163∴椭圆C 的方程为+=1．…………（12分）x216y 2163【解析】（1）设出A ，B ，M 的坐标，代入椭圆方程，求出M 的坐标，根据直线的斜率求出a ，b 的关系，求出e 的值即可；（2）由a 的值，求出b 的值，从而求出椭圆的方程即可．本题考查了椭圆的方程以及离心率问题，是一道常规题．21.【答案】解：（Ⅰ）根据题目中的数据，得；=（1+2+3+4+5+6+7）=4，t 17=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，y 17=9+4+1+0+1+4+9=28，∑7i =1(t i ‒t )2（t i -）（y i -）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）∑7i =1t y +0×0.1+0.5+2×0.9+3×1.6=14；∴===0.5，∧b ∑ni =1(t i ‒t )(y i ‒y )∑ni =1(t i ‒t )21428=-=4.3-0.5×4=2.3，^a y ^bty 关于t 的线性回归方程是=0.5t +2.3；∧y （Ⅱ）根据（Ⅰ）中的线性回归方程，=0.5＞0，∧b 得出2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2017年的年份t =11代人线性回归方程，得=0.5×11+2.3=7.8，∧y 预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为7.8千元．【解析】（Ⅰ）根据题目中的数据，计算、与和（t i -）（y i -）的值，利用公式求出与的值，写出线性回归方程；（Ⅱ）根据线性回归方程中=0.5＞0，得出结论是人均纯收入逐年增加以及平均每年增加的值，将2017年的年份t 的值代人线性回归方程，求出的值，即可预测该地区2017年的农村家庭人均纯收入．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．22.【答案】解：（1）由题意：c =1，=，c a 22∴a =，b =c =1，2则椭圆的方程为+y 2=1；x 22（2）∵AB ，CD 斜率均存在，∴设直线AB 方程为：y =k （x -1），再设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有M （，k （-1）），x 1+x 22x 1+x 22联立得：，{y =k(x ‒1)x 2+2y 2‒2=0消去y 得：（1+2k 2）x 2-4k 2x +2k 2-2=0，∴，即M （，），{x 1+x 2=4k 21+2k 2x 1x 2=2k 2‒21+2k22k 21+2k 2‒k1+2k 2将上式中的k换成-，同理可得：N （，），1k 22+k 2k 2+k 2若=，解得：k =±1，直线MN 斜率不存在，2k 21+2k 222+k 2此时直线MN过点（，0）；23下证动直线MN 过定点P （，0），23若直线MN 斜率存在，则k MN ===×，‒k 1+2k 2‒k 2+k 22k 21+2k 2‒22+k 2‒k(3k 2+3)2k 4‒232‒k k 2‒1直线MN 为y -=×（x -），k2+k 232‒k k 2‒122+k 2令y =0，得x =+×=×=，22+k 223k 2‒12+k 2233+k 2‒12+k 223综上，直线MN过定点（，0）；23（3）由第（2）问可知直线MN 过定点P （，0），23故S △FMN =S △FPM +S △FPN =×||+×|=×，1213k 2+k 21213‒k 1+2k 212(|k|+1|k|)2k 2+2k 2+5令t =|k |+∈[2，+∞），S △FMN =f （t ）=×=×，1|k|12t 2(t 2‒2)+512t 2t 2+1∴f （t ）在t ∈[2，+∞）单调递减，当t =2时，f （t ）取得最大值，即S △FMN 最大值，此时k =±1．19【解析】（1）根据题意确定出c 与e 的值，利用离心率公式求出a 的值，进而求出b 的值，确定出椭圆方程即可；（2）由直线AB 与CD 向量存在，设为k ，表示出AB 方程，设出A 与B 坐标，进而表示出M 坐标，联立直线AB 与椭圆方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M ，同理表示出N ，根据M 与N 横坐标相同求出k 的值，得到此时MN 斜率不存在，直线MN 恒过定点；若直线MN 斜率存在，表示出直线MN 斜率，进而表示出直线MN ，令y=0，求出x 的值，得到直线MN 恒过定点，综上，得到直线MN 恒过定点，求出定点坐标即可； （3）根据P 坐标，得到OP 的长，由OF-OP 表示出PF 长，三角形MNF 面积等于三角形PMF 面积加上三角形PNF 面积，利用基本不等式求出面积的最大值即可．此题考查了椭圆的简单性质，根与系数的关系，中点坐标公式，以及直线两点式方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．。

2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣23．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．129．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+110．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．201512．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=．14．（5分）求值：=．15．（5分）函数的单调增区间是．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】利用终边相同角的表示方法，化简即可判断角所在象限．【解答】解：由2015°=1800°+215°，并且180°＜215°＜270°，可知2015°是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查象限角与轴线角的应用，基本知识的考查．2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【分析】设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．【点评】本题主要考查求幂函数的解析式，求函数的值的方法，属于基础题．3．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）【分析】根据题目所给的图形得到以下几个条件：①在集合M内；②不在集合P 内；③不在集合N内．再根据集合的交集、并集和补集的定义得到正确答案．【解答】解：根据图形得，阴影部分含在M集合对应的椭圆内，应该是M的子集，而且阴影部分不含集合P的元素，也不含集合N的元素，应该是在集合P∪N的补集中，即在C U（P∪N）中，因此阴影部分所表示的集合为M∩C U（P∪N），故选B．【点评】本题着重考查了用Venn图表达集合的关系及集合的三种运算：交集、并集、补集的相关知识，属于基础题．4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】，再利用弧长公式l=αr即可得出．【解答】解：=（弧度）．∴36°的圆心角所对的弧长==cm．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．9．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+1【分析】根据已知可得f（x）为奇函数，由f（0）=0，可得：b=﹣1，进而根据当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）得到x＜0时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为定义域R，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，f（0）=20+b=0，解得：b=﹣1，当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+2x+1，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．10．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【分析】利用函数是奇函数且在（0，+∞）内是增函数，得到函（﹣∞，0）上单调递增，利用f（﹣3）=0，得f（3）=0，然后解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，∴f（﹣3）=﹣f（3）=0，解f（3）=0．∵函数在（0，+∞）内是增函数，∴当0＜x＜3时，f（x）＜0．当x＞3时，f（x）＞0，∵函数f（x）是奇函数，∴当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0．当x＜﹣3时，f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解是0＜x＜3或x＜﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，利用函数奇偶性的对称性，可解不等式的解集．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．2015【分析】可得函数f（x）是R上周期为6的周期函数，计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）可得结论．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），∴函数f（x）是R上周期为6的周期函数，∵当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=f（1）+f（2）+f（3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）=1+2+3+0﹣1+0=5，∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=335×5+1+2+3+0﹣1=1680故选：C．【点评】本题考查函数的周期性，涉及函数值的求解，属基础题．12．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=0．【分析】令2x+1=t，可得x=，代入所给的条件求得f（t）=﹣（t﹣1），由此求得f（5）的值．【解答】解：∵已知f（2x+1）=x2﹣2x，令2x+1=t，可得x=，∴f（t）=﹣（t﹣1），故f（5）=4﹣4=0，故答案为0．【点评】本题主要考查用换元法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．14．（5分）求值：=102．【分析】直接利用对数与指数的运算法则化简求解即可．【解答】解：=（lg2）2+（lg5）2+2lg2lg5+1+0.4﹣2×42=1+1+=2+100=102．故答案为：102．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．15．（5分）函数的单调增区间是．【分析】由复合函数单调性和二次函数的单调性结合定义域可得．【解答】解：由﹣x2+x+6＞0可解得﹣2＜x＜3，对数函数y=log0.8t在（0，+∞）单调递减，二次函数t=﹣x2+x+6在（，+∞）单调递减，由复合函数单调性结合定义域可得原函数的单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的单调性，涉及二次不等式的解法和复合函数单调性，属基础题．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是（2）（4）．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．【分析】（1）由f（x）的定义域为[2，5），知2x﹣1∈[2，5），解出x的范围即为定义域；（2）求出定义域可得函数为y=0，满足f（x）=f（﹣x），也满足f（x）=﹣f（﹣x），故是偶函数，也是奇函数，（3）由f（x+1）为偶函数，由定义可知f（﹣x+1）=f（x+1）；（4）利用二次函数的对称轴可得﹣a≤﹣5，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为[2，5），∴2x﹣1∈[2，5），∴x∈[，3），故错误；（2）的定义域为{1，﹣1}，此时y=0，故是偶函数，也是奇函数，故正确；（3）f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），故错误；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，∴﹣a≤﹣5，∴a≥5，故正确．故正确选项为（2）（4）．【点评】考查了符合函数的定义域和奇偶性，二次函数的单调性判断．属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．【分析】（1）由P的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果；（2）原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanβ的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴sinα=﹣=﹣，cosα==，则原式=﹣+=；（2）∵tanβ=2，∴原式====．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，再求出A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，则B⊆A，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|﹣2≤x≤4}，a=1时，B={x|2＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣2≤x＜5}，A∩（C R B）={x|﹣2≤x≤2}…（6分）（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．B=∅时，2a≥a+4，∴a≥4；B≠∅时，，∴﹣1≤a≤0．综合：a≥4或﹣1≤a≤0…（6分）【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．【分析】（1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b；（2）由y=，分离2x=＞0，求得值域；（3）构造函数g（x）=f（x）﹣lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点．【解答】解：（1）由已知可得，，解得，a=1，b=﹣1，所以，；（2）∵y=f（x）=，∴分离2x得，2x=，由2x＞0，解得y∈（﹣1，1），所以，函数f（x）的值域为（﹣1，1）；（3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，因为，g（1）=f（1）﹣ln1=＞0，g（3）=f（3）﹣ln3=﹣ln3＜0，根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3），因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，函数值域的求法，以及方程根的存在性及根的个数判断，属于中档题．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．【分析】（1）由奇函数的定义和单调性的定义，将n换为﹣n，即可得到；（2）由题意可得f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得不等式组，解得即可；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．再由绝对值的含义，可得对a∈[1，3]恒成立，分别求得两边函数的最值，即可得到t的范围．【解答】解：（1）用﹣n代替n得：[f（m）+f（﹣n）]（m﹣n）＞0，又f（x）为奇函数，则[f（m）﹣f（n）]（m﹣n）＞0，根据符号法则及单调性的定义可知：f（x）为增函数；（2）若，即为f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得，解得；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．即对a∈[1，3]恒成立，由于a﹣在[1，3]递增，可得a=3时，取得最大值；a+≥2=2，当且仅当a=取得最小值．即有．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求最值和解不等式，考查不等式恒成立问题的解法注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．。

养正中学2017-2018学年高二上学期（理科）数学期中考试试卷考试科目:数学 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意：请把选择题和填空题的答案填涂在答题卷．．．上，否则不得分。

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.下列命题中，真命题是（ ） A ．0x R ∃∈，使得00x e≤ B ．1sin 2(π,)sin x x k k Z x+≥≠∈ C ．2,2x x R x ∀∈> D ．1,>∀b a ，都有1ab >2.已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线 3.给出下列三个结论（1）若命题p 为假命题，命题q ⌝为假命题，则命题“p q ∨”为假命题（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠” （3）命题“,20xx R ∀∈>”的否定是“,20xx R ∃∈≤”， 则以上结论正确的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 04.某校高三年级共有24个班，学校为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样（等距抽样）方法，抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55.已知R k ∈，条件:p 方程为1422=+ky x 的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，41:<<k q ，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 6．若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的平均数为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的平均数为（ )A.7 B. 8 C. 15 D. 167.设21,F F 是双曲线12422=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且2143PF PF =，则21F PF ∆的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．488. 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数作为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ） A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.659．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为c b a ,,，当且仅当c b b a <>,时称为“凹数”(如213，312等)，若}4,3,2,1{,,∈c b a ，且c b a ,,互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.72410.设12,A A 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右顶点，若椭圆上存在点M 使得两直线21,MA MA 的斜率之积2121-<⋅MA MA k k ，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．），（210 B ．），（220 C ．），（121 D ． ），（12211．有一长、宽分别为m m 30,50的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员,其声音可传出m 215,则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ） A ．43 B ．83 C ． 3π16 D ．12+3π3212. 过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于,,,A B C D 四点，则11AB CD+的值为（ ）A. 18B. 16C. 1D. 712第Ⅱ卷（非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 ．把答案填在答卷中相应横线上）13. 化简2)2()2(2222±=++-+-y x y x 的结果是 ____．14.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是=∧y 0.7x +0.35，则表中m 的值为 .15.过点()2,0M -的直线m 与椭圆2212x y +=交于12,P P 两点，线段12PP 的中点为P ，设直线m 的斜率为()110k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 的值为 .16.如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设命题:p 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=16lg 2a x ax x f 的定义域为R ；命题:q 关于x 的方程axx =-93有实数根.（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及众数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19. (本小题满分12分)已知在平面直角坐标系中，动点M 到定点）（03,F -的距离与它到定直线334:-=x l 的距离之比为常数23. （1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）设点），（211A ，若P 是（1）中轨迹Γ上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.20. (本小题满分12分)为了分析某个高中学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析.下面是该生7次考试的成绩，可见该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的：（1）求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程∧∧+=a x b y ；（2）若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？参考公式： 1221()nii i n ii xy nx yb xn x ==-⋅=-∑∑， a y bx =-参考数据：170497ni i i x y ==∑，2170994ni i x ==∑21.（本小题满分12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)已知55,657≥≥z y ，若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”，求本次调查“失效”的概率． 22．(本小题满分12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为F ，M 为上顶点，O 为坐标原点，若△OMF 的面积为21，且椭圆的离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．养正中学2016－2017高二上学期（理科）数学期中考试参考答案一、选择题：DACBB CCBCB BD二、填空题：13. 1322=-y x 14.4 15. 12- 16. 250M P =（或41000M P =）三、解答题：17、解析：（1)若命题p 是真命题，则有①当0=a 时，定义域{}0|<x x 不符合题意；②由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧<⨯->016410aa a ，得⎩⎨⎧-<>>220a a a 或，2>∴a 因此所求实数a 的取值范围()+∞,2（2）命题q 是真命题，关于x 的方程a x x =-93有实数根，令xt 3=，0>t ，4141)21(22≤+--=-=t t t y ，41≤∴a .若命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，则q p ,一真一假①若p 真q 假，则⎪⎩⎪⎨⎧>>412a a ，得2>a ，②若p 假q 真，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤412a a ，得41≤a .综上，实数a 的取值范围41≤a 或2>a .18、解：(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本众数为100210595=+. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，众数的估计值为100.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定． 19、解：(1)设动点),(y x M ，由已知可得33423)3(22+=++x y x ， 即)316338(43332222++=+++x x y x x ，化简得1422=+y x .即所求动点M 的轨迹Γ的方程为1422=+y x . (2)设线段PA 的中点为）（y ,x M ,点P 的坐标是）（00y ,x ， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2212100y y x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2121200y y x x ，由点P 在椭圆Γ上,得121241222=-+-）（）（y x , ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是14142122=-+-）（）（y x . 20、解析：（1）12171788121001007x --+-++=+=，69844161001007y --+-+++=+=由于x 与y 之间具有线性相关关系， 所以4970.51000.510050994b a ===-⨯=，， 所以线性回归方程为0.550y x =+． （2）当115y =时，130x =．即若该生的物理成绩达到115分，他的数学成绩大约是130分. 21、解：(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， ∴120＋x 3 600＝0.05，解得x ＝60. ∴持“无所谓”态度的人数共有3 600－2 100－120－600－60＝720， ∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×3603 600＝72人．(2)∵y ＋z ＝720，y ≥657，z ≥55，∴满足条件的(y ，z )有(657，63)，(658，62)，(659，61)，(660，60)，(661，59)，(662，58)，(663，57)，(664，56)，(665，55)，共9种．记本次调查“失效”为事件A ，若调查“失效”，则2 100＋120＋y <3 600×0.8，解得y <660. ∴事件A 包含(657，63)，(658，62)，(659，61)，共3种． ∴P (A )＝39＝13.22、解：（1）111222OMFSOM OF bc =⋅⋅==::2c e a b c a ==⇒= 1b c ∴== 2222a b c ∴=+=∴椭圆方程为：2212x y +=（2）假设存在满足题意的直线l ，设),(11y x P ，),,(22y x Q 由（1）可得：()()0,1,1,0M F ，1MF k ∴=-F 为△PQM 的垂心MF PQ ∴⊥ 11PQ MFk k ∴=-=设:PQ y x m =+由F 为△PQM 的垂心可得：MP FQ ⊥()()1122,1,1,MP x y FQ x y =-=- ()()1212110MP FQ x x y y ∴⋅=-+-= ①因为,P Q 在直线y x m =+上1122y x m y x m=+⎧∴⎨=+⎩，代入①可得： ()()()1212110x x x m x m -++-+=即0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ② 考虑联立方程：2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩ 得0224322=-++m mx x ． ()22216122203m m m ∆=-->⇒<1243m x x ∴+=-,322221-=m x x ．代入②可得：()2222421033m m m m m -⎛⎫⋅+-⋅-+-= ⎪⎝⎭解得：43m =-或1m = 当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去 当34-=m 时，所求直线l 存在，直线l 的方程为34-=x y。

福建省泉州市晋江市养正中学2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（5分）下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（）A．{2，5} B．（6，+∞）C．（0，5）D．（1，5）2．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数y=f（log2x）的定义域是（）A．[﹣1，1] B．C．D．[1，4]3．（5分）对于幂函数，若0＜x1＜x2，则，大小关系是（）A．＞B．＜C．=D．无法确定4．（5分）若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=ln x，b=（）ln x，c=e ln x，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．（5分）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）=满足对任意x1≠x2都有＜0成立，那么a的取值范围是（）A．（0，1）B． C．D．8．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+39．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣l）（a＞0，a≠1的图象如图所示，则函数g（x）=a x ﹣b的图象为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表：由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（）A．0.625 B．﹣0.009 C．0.5625 D．0.06611．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函数，且当x ＞0时，f（x）=x2﹣x+a，若函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是（）A．a＜0 B．a≤0C．a≤1D．a≤0或a=112．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题13．（5分）设a＞0，且a≠1，函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P，则P点的坐标是．14．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则的值为．15．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，且f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，则a的取值范围为．16．（5分）给出下列4个命题：①函数是偶函数，但不是奇函数；②若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；③函数y=f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）的值域是[﹣3，1]；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点的个数是m个，则m的值不可能是1．其中命题正确的序号有．三、解答题17．（10分）（Ⅰ）求值：；（Ⅱ）求值：．18．（12分）集合A={x|﹣2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并求出f（），f（），f（），f（）的值；（Ⅱ）观察（Ⅰ）中的函数值，请你猜想函数f（x）的2个性质，并用定义证明你的猜想．20．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q（p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）21．（12分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（Ⅰ）试判断函数f1（x）=x2与f2（x）=x是否是“L函数”；（Ⅱ）若函数g（x）=3x﹣1+a（3 ﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围．22．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．D【解析】因为A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（1，5）．故选：D．2．B【解析】∵y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，∴函数y=f（log2x）有意义⇔﹣1≤log2x≤1，∴≤x≤2．∴函数y=f（log2x）的定义域是{x|≤x≤2}．故选B．3．A【解析】∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，∴当0＜x1＜x2时，应有＞．故选：A．4．B【解析】对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．5．B【解析】∵x∈（e﹣1，1），a=ln x∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e ln x=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．6．D【解析】A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D．7．C【解析】对任意x1≠x2都有＜0成立，即有f（x）在R上为减函数，当x＜1时，y=（2a﹣1）x+3a，递减，即有2a﹣1＜0，解得a＜，①当x＞1时，y=a x递减，即有0＜a＜1，②由于x∈R，f（x）递减，即有2a﹣1+3a≥a，解得a≥，③由①②③，可得≤a＜．故选C．8．C【解析】设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．9．A【解析】由图象可知f（x）为增函数，所以a＞1，∵﹣1＜f（0）＜0，∴﹣1＜log a b＜0，即＜b＜1，∴g（x）=a x﹣b单调递增，g（0）=1﹣b＞0，g（﹣1）=﹣b＜0，可以判断g（x）=a x﹣b的图象为：A.故选：A．10．C【解析】设近似根为x0，因为f（0.53125）＜0，f（0.5625）＞0，所以x0∈（0.53125，0.5625）；故选：C．11．D【解析】因为f（x）是奇函数，所以g（x）=f（x）﹣x也是奇函数，所以要使函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则只需要当x＞0时，函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有一个即可．由g（x）=f（x）﹣x=0得，g（x）=x2﹣x+a﹣x=x2﹣2x+a=0，若△=0，即4﹣4a=0，解得a=1．若△＞0，要使当x＞0时，函数g（x）只有一个零点，则g（0）=a≤0，所以此时，解得a≤0．综上a≤0或a=1．故选D．12．A【解析】∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．二、填空题13．（﹣1，2）【解析】当x+2=1，即x=﹣1时，y=2+log a（x+2）=2恒成立，故函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．14．108【解析】∵正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），∴设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，∴===108．故答案为：108．15．[0，2]【解析】由函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，可得函数y=x2﹣ax﹣a能够取遍所有的正数，故有△=a2+4a≥0，求得a≤﹣4，或a≥0 ①．再根据f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，可得函数y=x2﹣ax﹣a在（﹣3，1﹣）上是减函数且为正值，故≥1﹣，且当x=1﹣时y≥0．即a≥2﹣2，且4﹣2﹣a（1﹣）﹣a≥0．求得2﹣2≤a≤2 ②．结合①②求得0≤a≤2，故答案为：[0，2]．16．②④【解析】①函数，x2﹣1≥0，且1﹣x2≥0，可得x=±1，则y=0，是偶函数，也是奇函数，故①不正确；②若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，由f（x）=x2+（a﹣3）x+a，f（0）＜0，即a＜0，故②正确；③函数y=f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）的图象，可由y=f（x）的图象向左平移1个单位可得，则值域是[﹣2，2]，故③不正确；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的图象如右：则公共点的个数是0或2或3或4个，则m的值不可能是1．故④正确．故答案为：②④．三、解答题17．解：（Ⅰ）原式═=﹣8÷8+1=；（Ⅱ）原式==．18．解：（1）若B⊆A，B=∅时，m+1＞2m﹣1，∴m＜2，满足B⊆A；B≠∅时，则，解得2≤m≤3；综上所述，当m≤3时有B⊆A；即实数m的取值范围为（﹣∞，3]；（2）由题意知，A∩B=∅；∴B=∅时，m+1＞2m﹣1，∴m＜2；B≠∅时，则，解得：m＞4；∴实数m的取值范围为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．19．解：（Ⅰ）由1﹣x＞0，1+x＞0，可得﹣1＜x＜1，可得函数的定义域为（﹣1，1）；（2分）f（﹣）=ln2，f（﹣）=ln3，f（）=﹣ln3，f（）=﹣ln2．（Ⅱ）性质一：由于f（﹣）=﹣f（），f（﹣）=﹣f（），猜想：函数f（x）为奇函数，证明：因为函数f（x）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，又f（﹣x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数．性质二：由于f（﹣）＞f（﹣）＞f（）＞f（），所以函数f（x）在定义域上是减函数．证明：设任意x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=ln（1﹣x1）﹣ln（1+x1）﹣ln（1﹣x2）+ln（1+x2）=ln（×），因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以1﹣x1＞1﹣x2＞0，1+x2＞1+x1，则×＞1，ln（×）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在定义域上是减函数．20．解：（Ⅰ）两个函数y=ka x（k＞0，a＞1），在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y=ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）适合要求．由题意可知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，所以解得所以该函数模型的解析式是（x∈N*）．（Ⅱ）x=0时，，所以元旦放入凤眼莲面积是，由得，所以，因为，所以x≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．21．解：（1）对于函数f1（x）=x2，当t＞0，s＞0时，f1（t）=t2，f1（s）=s2，f1（s+t）=（s+t）2，f1（s）+f1（t）﹣f1（s+t）=t2+s2﹣（s+t）2=﹣2st＜0所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故f1（x）=x2，是“L函数”．对于函数f2（x）=，当t=s=1时，f2（1）+f2（1）=2＞f2（2）=，即存在：正数s，t，使得，f2（s）+f2（t）＞f2（s+t），故f2（x）=，不是“L函数”．（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．22．解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．。

福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于( )A．{x|0＜x≤1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x＜2}考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：利用二次不等式求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，然后求解它们的交集．解答：解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lg（1﹣x）}={x|x＜1}，所以集合A∩B={x|0≤x＜1}．故选：B．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，k），若与共线，则|3+|=( )A．3 B．4 C．D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由与共线，求出k的值，从而计算出3+及其模长．解答：解：∵向量=（1，2），=（﹣2，k），且与共线，∴k﹣2×（﹣2）=0，解得k=﹣4，∴=（﹣2，﹣4）；∴3+=（3×1﹣2，2×2﹣4）=（1，2），∴|3+|==；故选C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．3．已知等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，则n的值为( )A．8 B．9 C．10 D．11考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前n项和的公式，写出求和等于100时的公式，整理出关于n的方程，写出n的值．解答：解：∵等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，∵100=，∴n=10故选C．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，是一个基础题，题目的解决关键是看出数列中所给的两项恰好是前n项和的两项．4．给出如下四个：①若“p且q”为假，则p、q均为假；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1考点：的否定；正弦函数的单调性．专题：阅读型．分析：①若“p且q”为假，则p、q中有一个为假，不一定p、q均为假；②根据写出其否时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断．解答：解：①若“p且q”为假，则p、q中有一个为假，不一定p、q均为假；故错；②根据写出其否时，只须对条件与结论都要否定即得，故“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；③根据由一个的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确的的个数是：2．故选C．点评：本题考查的是复合的真假问题、的否定、正弦函数的单调性等．属于基础题．5．已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则M=log a，N=log a b，P=log a．三数大小关系为( ) A．P＜N＜M B．N＜P＜M C．N＜M＜P D．P＜M＜N考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：本题利用排除法解决．0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；又ab＞1通过对数运算可知（A）被排除．从而得出正确选项．解答：解：0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；又ab＞1⇒log a ab＜0⇒log a b+log a a＜0log a b＜﹣1，即log a b＜log b（A）被排除．故选B．点评：本题考查对数值的大小，考查对数的运算法则，考查指数函数和对数函数的性质是一个知识点比较综合的题目，注意分析题目中的大小关系．6．对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列中真是( )A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α．考点：的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．利用线面垂直的判定定理即可判断出；B．利用两个平面平行的性质定理即可判断出；C．利用线面平行的判定定理即可判断出；D．利用面面平行的判定定理即可得出．解答：解：A．由a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，只有当m与n相交时，才能得到a⊥α，因此A不正确；B．由α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，利用两个平面平行的性质定理即可得出a∥b，因此正确；C．由a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；D．由a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，只有a与b相交时，才能得出β∥α．故选：B．点评：本题综合考查了空间中的线面、面面平行于垂直的位置关系，属于基础题．7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是( )A．πB．6πC．πD．π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．解答：解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，∴几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选C．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，对角线AC、DB相交于点O．若=，=，=( )A．﹣B．+C．+D．﹣考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：先证明△DOC∽△BOA，然后根据AB=2CD得到AO与AD的比例关系，最后转化成用基底表示即可．解答：解：∵AB∥CD，AB=2CD，∴△DOC∽△BOA且AO=2OC，则=2=，∴=，而=+=+=，∴==（）=，故选B．点评：本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义，解题的关键是弄清AO与AD的比例关系，属于基础题．9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )个单位长度．A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出ω，利用在x=函数的值求出Φ的值，最后通过平移变换求出答案．解答：解：根据函数的图象：求得：T=π进一步利用：当x=|φ|＜所以：φ=即函数f（x）=要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．故选：A点评：本题考查的知识点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定A、ω、Φ的值，函数图象的平移变换问题．10．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是( )A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（，0），排除选项，得到结果．解答：解：依题意函数是奇函数，排除D，函数图象过原点，排除B，图象过（，0）显然A不正确，C正确；故选C点评：本题是基础题，考查函数的图象特征，函数的性质，考查学生的视图能力，常考题型．11．已知函数，则使方程x+f（x）=m有解的实数m的取值范围是( )A．（1，2）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，1]∪12．定义域为的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )A．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：易得此人一共走了8次，由等比数列的前n项和公式可得．解答：解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，∴此人一共走了8次∵第n次走n米放2n颗石子∴他投放石子的总数是2+22+23+…+28==2×255=510故答案为：510点评：本题考查等比数列的求和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：先由f（x）是定义在R上的奇函数，结合对称性变形为，f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），再由f（0）=0求解．解答：解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，∴f（﹣x）=﹣f（x），，∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0故答案为：0点评：本题主要考查函数的奇偶性及对称性以及主条件的变形与应用．16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．解答：解：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．因为，=（x，y），则=2x+y，令z=2x+，则，由图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值，此时=9．故答案为9．点评：本题主要考查向量在几何中的应用，以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，求实数m的取值范围．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出；（II）由于==．可得数列{}的前n项和为T n=，由于任意n∈N*，T n，对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，可得．解答：解：（I）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时适合上式，∴a n=2n﹣1．（n∈N*）．（II）∵==．∴数列{}的前n项和为T n=+…+=，∵任意n∈N*，T n，对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，∴．∴实数m的取值范围是．点评：本题考查了递推式的意义、“裂项求和”、恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=（cosA，cosC），=（c﹣2b，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为，求边a的值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（1）通过向量的数量积以及正弦定理两角和与差的三角函数，求出A的余弦函数值，即可求角A的大小；（2）通过a=b，利用余弦定理，结合BC边上的中线AM的长为，即可求出边a的值解答：（本题12分）解：（1）由⊥，∴•=0（2b﹣）cosA=…所以（2sinB﹣）cosA=…∴2sinBcosA=，则2sinBcosA=sinB …所以cosA=，于是A=…（2）由（1）知A=，又a=b，所以C=设AC=x，则MC=，AM=，在△AMC中，由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2…即x2+（）2﹣2x•，解得x=2，即a=2…点评：本题考查余弦定理的应用，向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：证明题．分析：（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证；（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．解答：解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B；（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，，∠ABD=60°，在Rt∠△ABA1中，．由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，．∵P为AC的中点，∴=．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．20．二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x，若g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），又由最小值是，联合解之即可；（2）表示出g（x），求导数，令导函数小于0得到函数的单调减区间，让区间（﹣3，2）为函数的单调递减区间的子集即可．解答：解：（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），则．又f（x）的最小值是，故．解得a=1．∴f（x）=x2﹣x；…（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x=x3﹣x2+ax2+x2﹣a2x=x3+ax2﹣a2x．∴g'（x）=3x2+2ax﹣a2=（3x﹣a）（x+a）．__________…由g'（x）=0，得，或x=﹣a，又a≠0，故．…当，即a＞0时，由g'（x）＜0，得．…∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，∴，解得，故a≥6（满足a＞0）；…当，即a＜0时，由g'（x）＜0，得．∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，∴，解得，故a≤﹣9（满足a＜0）．…综上所述得a≤﹣9，或a≥6．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣9]∪点评：本题考查已知三角函数的模型的应用问题，解题的关键是根据所研究的问题及图形建立三角函数关系，再利用三角函数的知识求最值，得出实际问题的解，本题第二小问求面积的最值，利用到了三角函数有界性，本题考查了函数的思想及转化的思想，本题运算量较大，计算时要严谨．22．已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（ⅱ）先求出x1∈时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈时，g′（x）＞0．故g（x）在上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≥max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≤min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。

福建省泉州市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6]，则等于（）A .B . {2,4,7,8}C . {1,3,5,6}D . {2,4,6,8}2. （2分） (2017高一上·中山月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·吴忠期中) 下列函数中，既是奇函数又在区间上是减函数的是（）.A .B .C .D .4. （2分）设,则（）A .B .C .D .5. （2分）已知则（）A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a6. （2分） (2015高三上·锦州期中) 已知函数，g（x）=f（x）+m，若函数g（x）恰有三个不同零点，则实数m的取值范围为（）A . （1，10）B . （﹣10，﹣1）C .D .7. （2分） (2019高一上·成都期中) 设，则f（）的值为（）．A .B .C .D . 08. （2分） (2016高一上·贵阳期末) 对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A . 3B . 4C . 5D . 69. （2分）已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)＝f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x2 ，则y=f(x)与的图象的交点个数为（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分）定义运算为：如，则函数的值域为（）A . RB . （0，+∞）C . （0，1]D . [1，+∞）11. （2分）函数（）A . 是奇函数，且在R上是单调增函数B . 是奇函数，且在R上是单调减函数C . 是偶函数，且在R上是单调增函数D . 是偶函数，且在R上是单调减函数12. （2分）函数f(x)的定义域为D，满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[]D，使得f(x)在[]上的值域为[a，b]，那么就称函数y=f(x)为“优美函数”，若函数f(x)=logc(cx－t)(c＞0，c≠1)是“优美函数”，则t的取值范围为（）A . (0，1)B . (0，)C . (－∞，)D . (0，)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·烟台期中) 不论a为何值，函数y=1+loga（x﹣1）都过定点，则此定点坐标为________．14. （1分）方程9x=3x+2的解为________15. （1分） (2017高一上·湖南期末) 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（3）的x取值集合是________．16. （1分） (2017高一上·惠州期末) 若函数，则满足方程f（a+1）=f（a）的实数a的值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高一上·澄海期中) 化简或求值：（1）（） +（0.008）×（2） +log3 ﹣3 ．18. （10分）已知函数f（x），g（x），在R上有定义，对任意的x，y∈R有f（x﹣y）=f（x）g（y）﹣g（x）f（y）且f（1）=0（1）求证：f（x）为奇函数（2）若f（1）=f（2），求g（1）+g（﹣1）的值．19. （15分） (2017高一上·平遥期中) 已知函数f（x）= ，（1）画出函数f（x）的图象；（2）求f（f（3））的值；（3）求f（a2+1）（a∈R）的最小值．20. （10分） (2017高三上·邳州开学考) 已知函数f（x）= + ．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）= •[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+ ≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．21. （10分）好利来蛋糕店某种蛋糕每个成本为6元，每个售价为x（6＜x＜11）元，该蛋糕年销售量为m 万个，若已知与成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个．（1）求该蛋糕年销售利润y关于售价x的函数关系式；（2）求售价为多少时，该蛋糕的年利润最大，并求出最大年利润．22. （10分） (2019高一上·海林期中) 已知函数（1）若的定义域为 ,求实数的取值范围.（2）若其中 =1,求函数f(x)的单调区间.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

养正中学2017-2018学年高二上学期（文科）数学期中考试试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.命题“对任意的R ∈x ,0122≥-x ”的否定是（ ） A ．不存在R ∈x ,0122≥-x B ．存在R ∈x ,0122≥-x C.R 0∈∃x ,01220<-xD.R ∈∀x ,0122≥-x2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I ．随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（ ） A ．①配I ，②配I B ．①配Ⅱ，②配Ⅱ C ．①配I ，②配Ⅱ D ．①配Ⅱ，②配Ⅰ3.设R x ∈，则“032>-x x ”是“4>x ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米153石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得28粒内夹谷3粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．136石 B ．33石 C ．16石 D ．13石5.椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．5 6．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法， 右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的2,2x n ==，依次输入的a 为2，2，5， 则输出的s =（ ） A ．7 B ．12 C ．17 D ．348. 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5． 现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两 次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1， 用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数 做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了 如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.659.P 是椭圆15922=+y x 上一点，过P 作其长轴垂线，M 是垂足，则PM 中点轨迹方程为（ ） A ．154922=+y x B ．159422=+y x C ．120922=+y x D ．153622=+y x 10.根据如下的样本数据:得到的回归方程为a bx y +=∧，则（ ）A ． 0,0a b >>B ．0,0a b ><C ．0,0a b <>D ．0,0a b <<第7题图11．如图，边长为a 的正方形组成的网格中，设椭圆1C 、2C 、3C 的离心率分别为1e 、2e 、3e ，则( )A ．123e e e =<B ．231e e e =<C ．123e e e =>D ．231e e e => 12．在区间]5,1[和]6,2[内分别取一个数，记为a 和b ，则方程22221(0)x y a b a b +=>>表示离心率小于23的椭圆的概率为（ ）A ．6417 B ．6423 C ．21 D ．6463 第Ⅱ卷（非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 ．把答案填在答卷中相应横线上） 13. 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________． 14．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差=2S ．15．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x P )的左右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2，()c x y +=3与椭圆P 的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 ．16.下列命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）．①在回归直线方程122.0ˆ+=x y中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ˆ平均增加0.2个单位；②设定点),(),,(0101-B A ，若动点P 满足条件）常数01>+=+a aa PB PA (，则动点P 的轨迹为椭圆；③设椭圆C 的长轴长a 2，焦距为c 2，椭圆C 上的点到焦点的距离最大值为c a +，最小值为c a -；④命题“R ∈∀x ，012≤-+x ax ”是假命题的充要条件是41->a ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某房地产公司的新建小区有A，B两种户型住宅，其中A户型住宅的每套面积为100平方米，B户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，下表是这20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）.（Ⅰ）根据上表数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A、B户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）.18．（本小题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(Ⅰ)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程a bx y +=∧；(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想? 19.(本小题满分12分)为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[]15,75）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：35,45内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐（Ⅰ）求月收入在[)标；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；65,75的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成（Ⅲ）若从月收入（单位：百元）在[]的概率．20. (本小题满分12分)有一个椭圆形滑雪场，长轴长6百米，短轴长4百米；现在要在这个椭圆形滑雪场上划定一个顶点A,B,C,D都在椭圆形的矩形区域。