2017春人教版数学选修4-4课后练 2.4 渐开线与摆线 课末 Word版含答案

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课时提升作业九直线的参数方程渐开线与摆线一、选择题(每小题6分,共18分)1.直线错误！未找到引用源。

不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】选D.直线错误！未找到引用源。

经过点(-3,2),倾斜角α=错误！未找到引用源。

,所以不经过第四象限.【补偿训练】直线错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

的倾斜角为( ) A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选C.方法一:直线错误！未找到引用源。

的普通方程为y-2=错误！未找到引用源。

(x+3),所以由直线的斜率得倾斜角为错误！未找到引用源。

.方法二:直线错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

所以直线的倾斜角为错误！未找到引用源。

.2.(2016²衡水高二检测)若直线的参数方程为错误！未找到引用源。

(t为参数),则直线的斜率为( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.-错误！未找到引用源。

【解析】选B.直线错误！未找到引用源。

的普通方程为y=-错误！未找到引用源。

x+错误！未找到引用源。

,所以直线的斜率为-错误！未找到引用源。

.3.已知直线l过点P(1,2),其参数方程为错误！未找到引用源。

(t是参数),直线l与直线2x+y-2=0交于点Q,则|PQ|= ( )A.1B.错误！未找到引用源。

C.2D.2错误！未找到【解析】选D.方法一:将直线l的参数方程错误！未找到引用源。

(t是参数)化为普通方程y=-x+3,代入2x+y-2=0,得x=-1,y=4,即Q(-1,4),所以|PQ|2=4+4=8,|PQ|=2错误！未找到引用源。

.方法二:将直线l的方程化为标准形式错误！未找到引用源。

代入2x+y-2=0得t′=2错误！未找到引用源。

更上一层楼基础·巩固1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（)A。

只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形C。

正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同思路解析：首先要明确不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同。

答案：C2给出下列说法①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A 。

①③ B。

②④ C。

②③D.①③④思路解析：对于一个圆，只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.答案:C3在圆的摆线上有点（π,0），那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上,参数φ=4π对应点的坐标为_________。

思路解析:首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x （φ为参数）,把点（π,0)代入可得⇒⎩⎨⎧-=-=)cos 1(0)sin (ϕϕϕπr r cosφ=1,则sinφ=0，φ=2kπ(k∈Z ), 所以r=k k 212=ππ（k∈Z ).又r ＞0,所以k∈N ＊，当k=1时,r 最大为21。

四渐开线与摆线课后篇巩固探究A组1.下列说法正确的是()①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.②③B.②C.③D.①③2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是()A.(π,0)B.(π,1)C.(2π,2)D.(2π,0).3.当φ=2π时,圆的渐开线(φ为参数)上对应的点是()A.(6,0)B.(6,6π)C.(6,-12π)D.(-π,12π)φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得即所求的坐标为(6,-12π).4.当φ=时,圆的摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是.π+4,4)5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=,那么该点的坐标为.r=3,所以圆的摆线的参数方程为(φ为参数).把φ=代入得x=π-,y=3-.故该点的坐标为.6.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.4,所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是(φ为参数).7.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l的普通方程是x-y-6=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).8.导学号73574057当φ=,π时,求出渐开线(φ为参数)上的对应点A,B,并求出A,B两点间的距离.φ=代入得所以A.将φ=π代入得所以B(-1,π).故A,B两点间的距离为|AB|=.9.已知圆的半径为r,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,圆上点M从起始处(点O处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹的参数方程.x M=r·φ-r·cos=r(φ-sin φ),y M=r+r·sin=r(1-cos φ).故点M的轨迹的参数方程为(φ为参数).B组1.我们知道图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为()A.(φ为参数)B.(φ为参数)C.(φ为参数)D.(φ为参数)y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线关于直线y=x对称的曲线方程,只需把其中的x与y互换.2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=对应的点A与点B之间的距离为()A.-1B.C. D.,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为(φ为参数),把φ=代入参数方程中可得即A,所以|AB|=.3.导学号73574058如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中,…的圆心依次按B,C,D,A循环,则曲线段AEFGH的长是()A.3πB.4πC.5πD.6π,是半径为1的圆周长,长度为是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π.4.已知渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为.r=7,其方程为x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为+y2=49,整理可得=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c==7.故焦点坐标为(7,0)和(-7,0).,0)和(-7,0)5.导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.y=0,可得r(1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).将其代入x=r(φ-sin φ),得x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).又因为x=2,所以r(2kπ-sin 2kπ)=2,即得r=(k∈Z).又由实际可知r>0,所以r=(k∈N*).易知,当k=1时,r取最大值.故所求圆的摆线的参数方程为(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为(φ为参数).6.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值.M的轨迹是摆线,其参数方程为(φ为参数,且0≤φ≤2π).其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.易知,当x=4π时,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.。

第二讲 2.4一、选择题1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( D )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π解析：根据条件可知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )， 则x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．故选D ．2．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，则基圆的直径为( B )A ．6B ．12C ．3D ．2解析：根据条件可知基圆的半径为6，故基圆的直径为12.故选B ．3．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos θ＋θsin θ)，y ＝2(sin θ－θcos θ)(θ为参数)，当θ＝π时，渐开线上对应的点的坐标为( A )A ．(－2,2π)B ．(－2，π)C ．(4,2π)D ．(－4,2π)解析：将θ＝π代入参数方程得x ＝2(cos π＋πsin π)＝－2，y ＝2(sin π－πcos π )＝2π，∴对应的点的坐标为(－2,2π)．故选A ．4．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( A )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)解析：由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0，∵t ∈[0,2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A ．5．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( C )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(φ－sin φ)，y ＝8(1－cos φ)(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－3sin φ，y ＝8－3cos φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－8sin φ，y ＝3－8cos φ(φ为参数)解析：由摆线产生的过程知，M 的轨迹是圆的摆线，圆半径为3，故选C ．6．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离为( C )A ．π2－1B ． 2C ．10D ．3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3. ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－3π22＋(3－2)2＝10.二、填空题7．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (θ－sin θ)，y ＝r (1－cos θ)(θ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (1－cos θ)，y ＝r (θ－sin θ)(θ为参数)．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线的参数方程，只需把其中的x 与y 互换．8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ－φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.9．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )y ＝2(sin t －t cos t )上与t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 解析：对应点的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫cos π4＋π4sin π4＝2⎝⎛⎭⎫22＋π4·22＝1＋π4y ＝2⎝⎛⎭⎫sin π4－π4·cos π4＝2⎝⎛⎭⎫22－π4·22＝1－π4∴t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 三、解答题10．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析：根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．11．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？ (2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解析：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)． 12．半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过53π和72π时，求点M的坐标．解析：由摆线方程知 φ＝53π时，x M ＝10π＋336r ，y M ＝12r ；φ＝72π时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r .∴点M 的坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫10π＋336，12r ，⎝⎛⎭⎫12r (7π＋2)，r。

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课时提升作业九直线的参数方程渐开线与摆线一、选择题(每小题6分,共18分)1.直线不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】选D.直线经过点(-3,2),倾斜角α=,所以不经过第四象限.【补偿训练】直线的倾斜角为( )A. B. C. D.【解析】选C.方法一:直线的普通方程为y-2=(x+3),所以由直线的斜率得倾斜角为.方法二:直线即所以直线的倾斜角为.2.(2016·衡水高二检测)若直线的参数方程为(t为参数),则直线的斜率为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.直线的普通方程为y=-x+,所以直线的斜率为-.3.已知直线l过点P(1,2),其参数方程为(t是参数),直线l与直线2x+y-2=0交于点Q,则|PQ|= ( )A.1B.C.2D.2【解析】选D.方法一:将直线l的参数方程(t是参数)化为普通方程y=-x+3,代入2x+y-2=0, 得x=-1,y=4,即Q(-1,4),所以|PQ|2=4+4=8,|PQ|=2.方法二:将直线l的方程化为标准形式代入2x+y-2=0得t′=2,所以PQ=|t′|=2.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2015·重庆高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4,则直线l与曲线C 的交点的极坐标为__________.【解题指南】首先将直线与曲线C的方程化为直角坐标系下的方程,然后求出交点坐标再化为极坐标即可.【解析】因为直线l的参数方程为所以直线l的普通方程为y=x+2.因为曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4,可得曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4(x<0).联立解得交点坐标为(-2,0),所以交点的极坐标为(2,π).答案:(2,π)5.已知直线l:(t为参数)圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,则圆心C到直线l的距离为________.【解析】直线l的普通方程为2x-y+1=0,圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0).故圆心到直线的距离为=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知直线l过点A(-2,3),倾斜角为135°,求直线l的参数方程,并且求直线上与点A距离为3的点的坐标.【解析】直线l1的参数方程为(t为参数)即①设直线上与点A距离为3的点为B,且点B对应的参数为t,则|AB|=|t|=3.所以t=±3.把t=±3代入①,得当t=3时,点B在点A的上方,点B的坐标为(-5,6);当t=-3时,点B在点A的下方,点B的坐标为(1,0).7.(2015·湖南高考)已知直线l:(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)设点M的直角坐标为,直线l与曲线C的交点为A,B,求·的值.【解题指南】(1)利用ρ2=x2+y2,ρcosθ=x即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程.(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义结合根与系数的关系即可求解.【解析】(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ, ①将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①式即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. ②(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知·==18.8.(2016·唐山高二检测)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=.(1)写出直线l的参数方程.(2)设l与圆x2+y2=4相交于A,B两点,求P点到A,B两点的距离之积|PA||PB|和距离之和|PA|+|PB|. 【解析】(1)(t为参数)(2)将(t为参数),代入x2+y2=4得,t2+(1+)t-2=0,由根与系数的关系,得t1+t2=-(+1),t1t2=-2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=,|PA||PB|=|t1t2|=2.【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,且t≠0)其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标.(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·邯郸高二检测)在参数方程(t为参数)所表示的曲线上有B,C两点,它们对应的参数值分别为t1,t2,则线段BC的中点M对应的参数值是( )A. B.C. D.【解析】选B.在参数方程(t为参数)所表示的曲线上有B,C两点,它们对应的参数值分别为t1,t2,则B(a+t1cosθ,b+t1sinθ),C(a+t2cosθ,b+t2sinθ),线段BC的中点M,对应的参数值是.2.(2016·龙岩高二检测)若曲线(t为参数)与曲线ρ=2相交于B,C两点,则|BC|的值为( )A.2B.2C.7D.【解析】选D.曲线ρ=2的直角坐标方程为x2+y2=8,直线的普通方程为x+y-1=0,圆心到直线的距离为d=,由弦长公式,得|BC|=2=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)则该摆线一个拱的高度是________.【解析】由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r=3,所以摆线一个拱的高度是3×2=6.答案:64.(2015·广州高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数)和(t为参数)以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与C2的公共点的极坐标为________.【解析】曲线C1:(θ为参数)的普通方程为x2+y2=2,C2:(t为参数)的普通方程为x+y-2=0.圆心(0,0)到此直线的距离为d===r,所以直线和圆相切,切点为(1,1),化为极坐标为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·安庆高二检测)过点P(-1,0)作倾斜角为α的直线与曲线+=1相交于M,N两点.(1)写出直线MN的参数方程.(2)求·的最小值.【解析】(1)因为直线MN过点P(-1,0)且倾斜角为α,所以直线MN的参数方程为:(t 为参数).(2)将直线MN的参数方程代入曲线+=1,得2(-1+tcosα)2+3(tsinα)2=6,整理得(3-cos2α)·t2-4cosα·t-4=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,则|PM|·|PN|=|t1·t2|=,当cosα=0时,|PM|·|PN|取得最小值为.6.以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π)曲线C的极坐标方程ρ=.(1)求曲线C的直角坐标方程.(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.【解析】(1)由ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,所以曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)将直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-2tcosα-1=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1·t2=-,所以|AB|=|t1-t2|===,当α=时,|AB|取得最小值2.关闭Word文档返回原板块。

第二讲 2.41．半径为2的圆的渐开线的参数方程是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ－φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φcos φ)，y ＝2(sin φ＋φsin φ)(φ为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数) 解析：∵r ＝2，∴半径为r 的圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)，可知选D ．2．已知摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度和高度分别是( D )A ．2π，2B ．2π，4C ．4π，2D ．4π，4解析：由摆线的参数方程可知，产生摆线的圆的半径r ＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4，故选D ．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(φ－sin φ)，y ＝4(1－cos φ)(φ为参数，0≤φ<2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为 (2π－4,4)或(6π＋4,4)．解析：由题设得4＝4(1－cos φ)，∴cos φ＝0，∵φ∈[0,2π)，∴φ 1＝π2，φ 2＝3π2，对应的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝4⎝⎛⎭⎫π2－1＝2π－4，y 1＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4⎝⎛⎭⎫3π2＋1＝6π＋4，y 2＝4，即(2π－4,4)或(6π＋4,4)． 4．当φ＝π2，φ＝3π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上对应的点A ，B ，并求出A ，B 两点间的距离．解析：将φ＝π2，φ＝3π2分别代入参数方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.所以A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B ⎝⎛⎭⎫－3π2，－1. 因此|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋3π22＋(1＋1)2＝2π2＋1. 故A ，B 两点间的距离为2π2＋1.。