高中数学 渐开线与摆线 张涛

四渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线,又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1）圆的渐开线方程：错误!（φ为参数）．(2)摆线的参数方程：错误!（φ为参数)．求圆的渐开线的参数方程求半径为4的圆的渐开线的参数方程．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0―→的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y）,绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，弧错误!的长和线段AM的长相等,记错误!和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则｜AM｜＝错误!＝4θ。

作AB垂直于x轴,过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得错误!＝（4cos θ，4sin θ）．由几何知识知∠MAB＝θ，错误!＝（4θsin θ，－4θcos θ），得错误!＝错误!＋错误!＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ）＝（4（cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又错误!＝(x,y）,因此有错误!(θ是参数）．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤（1)建立合适的坐标系,设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．（2）取定点运动中产生的某一角度为参数．(3）用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到错误!的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线错误!(t是参数)上与t＝错误!对应的点的直角坐标为（)A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r＝5。

四 渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ＋φsin φ ，y ＝r sin φ－φcos φ (φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ(φ为参数)．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系． 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM .按渐开线定义，弧AM 0的长和线段AM 的长相等，记OA ―→和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA ―→＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM ―→＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM ―→＝OA ―→＋AM ―→＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM ―→＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos θ＋θsin θ ，y ＝4 sin θ－θcos θ(θ是参数)．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定点运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到OM ―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2 cos t ＋t sin t ，y ＝2 sin t －t cos t(t 是参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5 cos φ＋φsin φ ，y ＝5 sin φ－φcos φ .这就是所求的圆的渐开线的参数方程.利用向量知识和三角函数的有关知识求解．当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如上图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM 的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB ―→＝(2α，2)，向量MB ―→＝(2sin α，2cos α)， BM ―→＝(－2sin α，－2cos α)， 因此OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM ―→＝(x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 α－sin α ，y ＝2 1－cos α .这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 t －sin t ，y ＝2 1－cos t(t 是参数，0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：由题意设M (x M ，y M )，则x M ＝r ·φ－r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)．课时跟踪检测(十三)一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z)，此时x ＝6k π(k ∈Z)． 2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10 D.3π2－1 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φ (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋ 3－2 2＝10.4.如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH 的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r 1－cos φ ，y ＝r φ－sin φ (φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)，令r (1－cos φ)＝0，得φ＝2k π(k ∈Z)，代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)，又∵过(1,0)，∴r (2k π－sin 2k π)＝1(k ∈Z)，∴r ＝12k π(k ∈Z)． 又∵r ＞0，∴k ∈N *.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φ ，y ＝12k π 1－cos φ(φ为参数，k ∈N *)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线． 由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a φ－sin φ ，y ＝a 1－cos φ(φ为参数)．9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)． 代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2(k ∈Z)， 即得a ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N *)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ ，y ＝1π 1－cos φ (φ为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πcos φ＋φsin φ ，y ＝1π sin φ－φcos φ(φ为参数)．。

第4节 渐开线与摆线[核心必知]1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)．[问题思考]1．渐开线方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．摆线的参数方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧AM 0︵的长和线段AM 的长相等，记和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0︵＝4θ作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角和向量知识，得＝(4cos θ，4sinθ)，由几何知识知∠MAB ＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（cos θ＋θsin θ），y ＝4（sin θ－θcos θ），这就是所求圆的渐开线的参数方程． ——————————————————解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5（cos φ＋φsin φ），y ＝5（sin φ－φcos φ），这就是所求的圆的渐开线的参数方程．求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)[精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM ︵的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)．向量＝(2α，2)，向量＝(2sin α，2cos α)，＝(－2sin α，－2cos α)，＝(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点M 的坐标为(x ，y )，向量＝(x ，y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（α－sin α），y ＝2（1－cos α）.这就是所求摆线的参数方程．2．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：x M ＝r ·θ－r ·cos [(φ＋θ)－π2]＝r [θ－sin (φ＋θ)]，y M ＝r ＋r ·sin (φ＋θ－π2)＝r [1－cos (φ＋θ)]． ∴点M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r [θ－sin （φ＋θ）]，y ＝r [1－cos （φ＋θ）].(θ为参数)设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴．[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．轨迹曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ），(0≤t ≤2π)即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 曲线的对称轴为x ＝8π.——————————————————摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．3．当φ＝π2、π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上对应的点A 、B ，并求出A 、B 间的距离．解：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π2＋π2·sin π2＝0＋π2＝π2，y ＝sin π2－π2·cos π2＝1.∴A (π2，1)．将φ＝π，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋π·sin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π. ∴B (－1，π)． ∴|AB |＝（π2＋1）2＋（1－π）2＝54π2－π＋2.本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用，近几年的高考题中还未出现过．本考题以填空题的形式对圆的摆线的参数方程的应用进行了考查，属低档题．[考题印证]摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ≤2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义． [解析] 由题设得1＝1－cos t ，解得t 1＝π2，t 2＝32π.对应交点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝π2－1，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝32π＋1，y 2＝1， 交点为(π2－1，1)，(32π＋1，1)．答案：(π2－1，1)，(32π＋1，1)一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析：选C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．2.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ）(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D ．直径为5的圆的摆线的参数方程解析：选B 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确． 3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10 D.3π2－1 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)， 把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（π2－1），y ＝3，即A (3(π2－1)，3)．∴|AB |＝[3（π2－1）－3π2]2＋（3－2）2＝10.4．已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1－cos φ）B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k π（φ－sin φ），y ＝1k π（1－cos φ）C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1＋cos φ）D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k π（φ－sin φ），y ＝1k π（1－cos φ）解析：选A 圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ），令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ)， 得：x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1，0)， ∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π，又r ＞0，∴k ∈N ＋. 二、填空题5．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为(22＋2π8，22－2π8)．答案：2 (22＋2π8，22－2π8) 6．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________． 解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ）(φ为参数)7．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为(12x )2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．答案：(63，0)和(－63，0)8．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2（cos t ＋t sin t ），y ＝2（sin t －t cos t ）上与t ＝π4对应的点的直角坐标为________．解析：对应点的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos π4＋π4sin π4）＝2（22＋π4·22）＝1＋π4y ＝2（sin π4－π4·cos π4）＝2（22－π4·22）＝1－π4∴t ＝π4对应的点的直角坐标为(1＋π4，1－π4)．答案：(1＋π4，1－π4)三、解答题9．半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过53π和72π时，求点M的坐标．解：由摆线方程可知：φ＝53π时，x M ＝10π＋336r ，y M ＝12r ； φ＝72π时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r .∴点M 的坐标分别是(10π＋336，12r )、(12r (7π＋2)，r )．10.如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH 的长．解：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.11．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)，直线l 的普通方程是x －y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程． (3)求摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．11 (2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ，(φ为参数)． (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。

54321-1-2-3-4-6-4-2246jDO'OBC第七课时 圆的渐开线与摆线一、教学目标：知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系， 设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。

⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）（三）、例题与训练题：例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。

变式训练2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程变式训练3： 求摆线⎩⎨⎧-=-=ty tt x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。