平行四边形的存在性问题解题策略

平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式： 类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。

二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：1.坐标系中的点的平移点P(x,y)的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b个单位长度(x,y-b)2.图形的平移：从本质上讲就是图形上点的平移例1：如下图，线段AB平移得到线段AB',已知A(-2,2),B(-3,-1)B'(3,1)则:向右平移6个单位长度芳V1)向上平移2个单位长度例2•在平行四边形ABCD中，其中已知A(-1，0)，B(1，-2),C(3，1)，则D点坐标?向右2个单位长度(仁-2)C(31)向上3个单位长度向右2个单位长度(-1,0)D(?,?)向上3个单位长度二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、1122点A的坐标是三、对点法①若点A 与点B 相对，则点D 与点C 相对 ②若点A 与点D 相对，则点B 与点C 相对 ③若点A 与点C 相对，则点B 与点D 相对四、典型例题学习五、小试牛刀1. 抛物线中的平行四边形存在性问题(“三定一动”)•.•AB〃CD,AB=CD.•.边CD 可看成由边BA 向右、向上平移n 个单位长度得丿|什平移(爲"牛单位矗U I 兀4J 4RfV1,、|；RT 书乐-叩个单位中厂V”"\ £>1不2」2丿向计移(旳-忖个单位蟲/即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐⑶4,>+4)例4.如图,平面直角坐标系中，已知A(-l,0),B(l,-2),C(3,l)点D 是平面内一动点,若以点 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是思路点拨：先求出A(-1,0)B(2,0)C(0,2)设点M(x,y)①点A与点B相对②点A与点C相对③点A与点M相对—1+2二x二0+0二2+y=—1+0二x=30+2二0+、二—1+x二x二0+y二0+7二例5.已知,抛物线y二-X2+x+2与X轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,点M是平面内一点，判断有几个位置能使以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的坐•••M(1，-2)或(-3,2)或(3,2)2.抛物线中的平行四边形存在性问题(“两定两动”)1例6•如图，平面直角坐标系中，y=—-x2+x与x轴相交于点B(4,0),点Q在抛物线的对称4轴上，点P在抛物线上,且以点0、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.线上的动点，点Q是直线y二-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点变试题:2.如图，平面直角坐标中，y二X2-2x-3与X轴相交于点A(-1,O),点C的坐标是(2,-3),点P抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。

另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点， 其图形复杂，知识覆 盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高. 对这类题，常规解法是先 画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或 “平行四边形的对角线互相平分”来解决•由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解•为此，笔者另辟蹊径，借 助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题. 1两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式， 也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。

1.1线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点 A 坐标为（x i ,y i ），点B 坐标为（X 2, y 2），则线段AB 的中点坐标为(x i +X 2y i +y 2、2,2证明：如图1,设AB 中点P 的坐标为（X p ,y p ）.由X p -x i =X 2-x p ,得X p = ~X 1 X 2，同理21.2平行四边形顶点坐标公式□ ABCD 的顶点坐标分别为 A(X A , y A )、B(X B , y B )、C(X c , y c )、D(X D ,y 。

),则:X A +X C =X B +X D ；y A +y c =y B +y D .证明： 如图2,连接AC 、BD ，相交于点E .•••点E 为AC 的中点， 又•••点E 为BD 的中点, 如图3,已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ,在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、3 两类存在性问题解题策略例析与反思 3.1三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题2i例1已知抛物线y=x -2x+a （a v 0）与y 轴相交于点 A ,顶点为M.直线y= ~ x-a 分别 与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线 AM 相交于点N.（i ）填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，贝U M （ ）, N （）;r ，所以线段AB 的中点坐标为（宁，丁）.E 点坐标为（,亠空）.2 2E 点坐标为（X BX D2y B y D 2).…X A +X C =X B +X D ； y A +y c =y B +y 。

【存在性系列】平⾏四边形存在性问题平⾏四边形存在性问题，主要考察⼀个四边形为平⾏四边形需要满⾜的判定条件。

这部分考察的较多的主要分为“三定⼀动”，“两定两动”类型。

今天来详细讨论下平⾏四边形的存在性问题。

理论准备知识储备：1.点在平⾯直⾓坐标系中的平移2.左右平移横变纵不变，上下平移纵变横不变坐标平移⼝诀：上加下减，左减右加3. 平⾏四边形平⾏且相等4. 平⾏四边形对⾓线互相平分【处理策略⼀】利⽤对⾓新互相平分【⽅法运⽤】该⽅法适⽤于“三定⼀动”、“两定两动”类型的动点问题【处理策略⼆】利⽤对边平⾏且相等，构造全等【⽅法运⽤】该⽅法适⽤于“三定⼀动”、“两定两动”类型的动点问题常见类型以下主要讲解按照对⾓线讨论的处理⽅法类型⼀：三定⼀动【引例】如图，A(1,2),B(6,3),C(3,5)为坐标系中三个定点，问平⾯内是否存在点D，使得四边形ABCD为平⾏四边形.【处理⽅法】⼀般我们习惯分对⾓线进⾏讨论我们设D的坐标为(m,n)1.当AC为对⾓线时可以得到平⾏四边形D1ABC ∴ 1+3=6+m ,m=-2， 2+5=3+n, n=4∴D1的坐标为(-2,4)2.当BC为对⾓线时可以得到平⾏四边形ACD2B ∴ 1+m=6+3,m=8，2+n=3+5,n=6∴D2的坐标为(8,6)3.当AB为对⾓线时可以的到平⾏四边形ACBD3 ∴ 1+6=3+m,m=4，2+3=5+n,n=0∴D3的坐标为(4,0)类型⼆：两定两动【引例1】已知A（2，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平⾏四边形，求C、D坐标．【处理⽅法】对于两个动点的问题我们也是采取分对⾓线进⾏讨论即可设C的坐标为(m,0),D的坐标我(0,n)1.当AB为对⾓线时2+4=m+0，m=61+2=n+0，n=3∴C的坐标为(6,0)，D的坐标为(0,3)2.当AC为对⾓线时2+m=4，m=21+0=2+n，n=-1∴此时C的坐标为(2,0)，D的坐标为(0,-1)3.当AD为对⾓线时2+0=m+4，m=-21+n=0+2，n=1∴C的坐标为(-2,0)，D的坐标为(0,1)【引例2】如图，在平⾯直⾓坐标系中，有两点A(1,3),B(3,6),C为x轴上的⼀个动点。

抛物线与平行四边形存在性问题解题策略1．（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y 轴的交点为C，顶点为D，点C 关于l 的对称点为E，是否存在x 轴上的点M，y 轴上的点N，使四边形DNME 的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标．2．（2015•重庆B）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与y 轴相交于点 E.（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作F G⊥A D于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求△FGH的周长的最大值；（3）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A，M，P，Q 为顶点的四边形是 AM 为边的矩形，若点 T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点 T 的坐标.3.（2014连云港））已知二次函数y=x2+bx+c，其图像抛物线交x轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线l 过点 C，且交抛物线于另一点 E（点E 不与点 A、B 重合）.(1)求此二次函数关系式；(2)若直线l1 经过抛物线顶点 D，交x 轴于点 F，且l1 ∥ l ，则以点 C、D、E、F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点 E 的坐标；若不能，请说明理由.(3)若过点 A 作AG⊥x 轴，交直线l 于点 G，连 OG、BE，试证明OG∥BE.4.（2016 常州武进）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx－7 与y 轴交于点C，与x 轴交于点B．抛物线y ＝a x2 ＋bx＋14a 经过B、C 两点，与x 轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC＝2∶7．⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 点 D 在线段BC 上，点P 在对称轴右侧的抛物线上，PD＝PB．当tan∠PDB＝2 时，求点P 的坐标；⑶ 在⑵的条件下，点Q（7，n）在第四象限内，点R 在对称轴右侧的抛物线上，若以点P、D、Q、R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R 的坐标．5．（2016东营）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标；（3）若P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，点Q 坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．6．（2016龙岩）已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P 在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（4）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2016贵州安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2016茂名）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE=PC 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F，G 为抛物线上一动点，M为x 轴上一动点，N为直线PF 上一动点，当以F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．9、（2014 潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y 轴交于点C(O，4)，与x 轴交于点A 和点B，其中点A 的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1 与抛物线交于点D，与直线BC 交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条动直线Z 与直线BC 相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。

一一　曼　平　四　彩的存在　题的　题幕咯与丝　分衍　关键词：平行四边形中考解题策略　在中考题中，我们经常会遇到一类探　究平行四边形存在性的问题，而这类问题　常常因为顶点位置的难预知性，分类复　杂，使部分学生对此类题畏之如虎．通过　多年的教学经验，下面介绍一下解决此类　问题的一个极为简洁、有效的办法．　为了让大家容易理解这种方法，我们　先来研究两个问题：　问题１如图１，在平面内已知三个　点Ａ，Ｂ，Ｃ，试确定第四个顶点Ｄ，使四边　形ＡＢＣＤ是平行四边形．　Ｄｘ．一一一一只一一一一，　、、／＼，，，　Ｂ．．ｃ　Ｂ＿Ｃ　’、，，　ＪＤｌ　图１　图２　分析：对这个问题大家并不陌生，由　于条件中并没有指明这三个顶点中，哪两　个点之间的线段作对角线，因此应分三种　情况讨论，如图２，连接ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ、分　别过Ａ、Ｂ、Ｃ作ＢＣ、ＡＣ、ＡＢ的平行线，则　以Ａ、Ｂ、Ｃ三点为顶点的平行四边形有三　个：以ＢＣ为对角线，有￣ＣＡＢＤ、　以ＡＣ　为对角线，有Ｌ：ｙＡＢＣＤ２；以ＡＢ为对角线，　有口ＡＣＢＤ３．　问题２如图３，我们把问题１中的图　２放在如图３所示的平面直角坐标系中，　已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标分别为（ｘｚ，ｙ１）、　（　Ｙｚ）、（孙Ｙ３），求顶点Ｄｌ，Ｄ２，Ｄ３的坐标．　Ａ　－・　，：　、　，　～、　，　，，　Ｄｌ　图３　分析：我们在学图形在坐标系中平移　时，已经了解了这样的结论：对一个图形　进行平移，图形上所有点的横、纵坐标的　变化分别相同．　我们先来求Ｄ１的坐标：在Ｌ：ＴＣＡＢＤ　—江西省赣县第二中学郭训华　中，由于ＡＣ／／８０　，ＡＣ＝ＢＤ　，线段ＢＤ１可　看作是线段Ａｃ沿ＡＢ方向，移动的距离　为线段ＡＢ的长度后得到的，因为由　一　曰横坐标增加（Ｘ２　）、纵坐标增加　（Ｙ２－ｙ１），所以点Ｄ１的坐标为（甜　２　ｌ，　ｙ３　２—ｙ１）．　同理得Ｄ２（玎　１　２，ｘ３＋ｙ１－ｙ２）　３（　３６１－Ｘ３，ｙｚ＋ｙｌ－ｙ３）．　通过上面两个问题的研究，我们不难　发现下面的结论：　（１）以不在同一直线上的三点为顶点　的平行四边形有三个．　（２）根据已知的三点坐标我们可以求　出第四个顶点的坐标．可简单记忆为：第　四个顶点的横坐标分别等于已知任意两　个顶点的横坐标与第三个顶点的横坐标　的差，相应的纵坐标分别等于这两个顶点　的纵坐标与第三个顶点的纵坐标的差，每　种情况下都是第三个顶点和所求的第四　个顶点是相对的顶点．　下面我们就利用上面两个问题的研　究成果，通过具体的实例，探究解决平行　四边形问题的解题方法．　例如图４，在平面直角坐标系中，　二次函数，，＝麟　＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）的图像的顶点　为Ｄ点，与Ｙ轴交于ｃ点，与　轴交于Ａ、　Ｂ两点，Ａ点在原点的左侧，Ｂ点的坐标　１　为（３，０），Ｄ曰＝ＯＣ，ｔａｎ　ＡｃＤ一—　．　

《平行四边形存在性问题》教学设计执教者学情分析本节课是在已经进行过一轮复习，也适当做了一些往年的中考试卷，对于基础知识学生掌握的还是不错的，但对于综合性的题目却感觉困难，特别是动点问题。

对于这类问题存在以下几种情况：1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。

2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。

3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。

针对以上情况，我希望通过本节课的学习，一方面帮助学生树立信心，让他们明白所谓的综合题都是由诸多小知识点组成的，所谓的动态问题可以变为“静”来解决，通过代数解决几何问题另一方面通过例题讲解让学生掌握解决这类题目的解题策略。

效果分析针对学生面临的困难：首先，我在教学时注意层次性，讲究循序渐进，由浅入深，由易到难，不要一步到位，逐步过渡。

其次，注意所选例题的典型性，选了最具代表性的两类动点问题产生的平行四边形形存在性问题，一类一个例题，这样就可由一题推及一类，让学生可触类旁通，达到举一反三的效果。

教学时注重这几个方面：1、利用几何画板动态画图，让学生体会点在运动过程中，图形会跟着发生变化。

在变化的过程中抓住某一瞬间，化“动”为“静”，使其构成平行四边形，再利用所学知识解决问题。

2、注重板书。

通过清晰的板书让学生一目明了如何分析平行四边形存在性问题。

3、注重数学思想方法的渗透。

数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，在数学教学和探究活动中始终体现这些数学思想方法，动点问题也不例外，因此，在数学教学中应特别注重这些思想方法的渗透，因为只有让学生充分掌握领会这种思维，才能更有效地运用所学知识，形成求解动点问题的能力。

动点问题中主要体现方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等。

方程思想，大多数动点问题到最后都转化为方程形式，然后利用方程来求解。

数形结合思想，动点问题中，所研究的量的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

在几何中，平行四边形的判断方法有以下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相均分；⑤两组对角相等。

在压轴题中，经常与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来获取平行四边形．1、知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图．第四个点M 则有 3 种取法，过 3 个极点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中 3 个 M 点）．2、解题思路：（ 1）依照题目条件，求出已知 3 个点的坐标；（2）用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点；（3）更换极点，求出所有可能的点；（4）依照题目本质情况，考据所有可能点可否满足要求并作答．【例 1】如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x 轴的另一个交点为 C，抛物线的极点为 D ．（ 1）求此抛物线的剖析式；（ 2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使的点P 的坐标；（ 3）点 M 为平面直角坐标系上一点，写出使点M、 A、 B、 D 为平行四边形的点M 的坐标．【答案】见解析．【剖析】解：（ 1）易得， A、 B 坐标分别为（0,-3）和（ 3,0），代入抛物线剖析式得， b = -2， c=3 ．∴抛物线剖析式为：；（ 2）∵极点 D 为（ 1，-4）， C 点为（ -1,0），∴．∴．∴ P 点纵坐标的绝对值为，即 P 点纵坐标为±5（抛物线上最小为-4，负舍）．∴P 点纵坐标为 5，代入抛物线剖析式，解得：或，∴P 点为（ 4，5）或（ -2，5）；（ 3）过 A、 B、 D 分别作 BD 、AD 、 AB 的平行线，所得的三个交点即为满足条件的M 的地址，分别为（ -2， -7）、（ 4，-1）、（ 2，1）．【总结】此题主要观察函数背景下的面积问题及点的存在性，注意此题中已知三点求第四个点构造平行四边形时，利用平移的方法求解即可．【例 2】如图，已知抛物线与y 轴交于点C，与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），点 B 的坐标为 (1， 0)， tan∠ OBC = 3 ．（ 1）求抛物线的剖析式；（ 2）点 E 在 x 轴上，点P 在抛物线上，可否存在以A、C、 E、 P 为极点且以AC 为一边的平行四边形，若存在，写出点P 的坐标；（ 3）抛物线的对称轴与AC 交于点 Q，说明以 Q 为圆心，以 OQ 为半径的圆与直线BC 的关系．【答案】见解析．【剖析】解：（ 1）∵ B 点坐标为 (1， 0)， tan∠ OBC = 3．∴OC=3 ，C 点坐标为（ 0， -3）．将 B、 C 两点代入 y = ax2 + 3ax + c，∴抛物线的剖析式为；（ 2）A 点坐标为（ -4,0），C 点为（ 0， -3），平行四边形以AC 为一边，则它的对边为EP，两边平行且相等．设 E 点的坐标为（e， 0）分情况谈论，① P 在 E 的右下方，则P 点坐标为（ e+4， -3）．将 P 点代入抛物线方程，可以解得：e=-7．② P 在 E 的左上方，则P 点坐标为（ e-4，3）．将 P 点代入抛物线方程，解得：，∴ P 点为（ -3， -3）或或；（ 3）直线 AC 的剖析式为，抛物线得对称轴为，∴ Q 点坐标为，∴圆 Q 的半径为．∵ QC 长度为， QC<OQ ，∴圆Q与BC订交．【总结】此题主要观察函数背景下的平行四边形的存在性问题，别的观察了直线与圆的地址关系，注意利用相应的数量关系去判断．【例 3】如图，在平面直角坐标系中，直线y = kx + b 分别与 x 轴负半轴交于点A，与 y 轴正半轴交于点B，经过点A，点 B（圆心 P 在 x 轴负半轴上），已知 AB = 10， AP =．（1）求点 P 到直线 AB 的距离；（2）求直线 y = kx + b 的剖析式；（3）在上可否存在点 Q，使以 A、 P、 B、Q 为极点的四边形是菱形？若存在，央求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原由．【答案】见解析．【剖析】（ 1）过点 P 作，垂足为D，由垂径定理，得AD=DB =5；在中，由 AD = 5，AP =，得PD=；（2）由，，得：∽，∴OA = 8，OB = 6，∴ A（， 0）， B（0， 6）易得直线剖析式为：；（3）在上不存在点 Q，使以 A、 P、 B、 Q 为极点的四边形是菱形．∵PA = PB，，∴以 A、P、 B、 Q 为极点的是菱形的极点Q 只幸亏 PD 的延长线上．延长 PD 至点 Q，使 PD = DQ， AD = DB ，且得菱形APBQ，但 PQ = 2PD =大于半径 PA，∴点 Q 在外，即在上不存在点Q，使以 A、 P、 B、Q 为极点的四边形是菱形．【总结】此题主要观察函数背景下与圆相结合的问题，注意利用圆的相关定理解决相应问题，第（ 3）问中注意利用菱形性质去判断．1、知识内容：在此类问题中，经常是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且相等列出方程，进而解出相关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解．2、解题思路：（1）找到或设出必然平行的两条边（一组对边）；（2）分别求出这组对边的值或函数表达式；（3）列出方程并求解；（4）返回题面，考据求得结果．【例 4】如图，抛物线与y 轴交于点A(0， 1) ，过点 A 的直线与抛物线交于另一点B，过点B 作 BC⊥ x 轴，垂足为C．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点 P 是 x 轴正半轴上的一动点，过点P 作 PN⊥x 轴，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点N，设 OP 的长度为m．①当点 P 在线段 OC 上（不与点O、 C 重合）时，试用含m 的代数式表示线段PM 的长度；②联系 CM 、 BN，当 m 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？【答案】见解析．【剖析】（ 1）将 A、 B 代入抛物线，可解得抛物线的剖析式为．（ 2）由题目中条件，易得直线AB 的剖析式为．①∵ P 点坐标为（ m， 0）， M 点坐标为（ m，），∴；②∵ BC//MN ，∴只需要MN = BC 即能使 MNBC 为平行四边形．当点 P 在线段 OC 上时，又∵，，∴，解得：或；当点 P 在线段 OC 的延长线上时，，即，解得：（不合题意，舍去），，综上所述，当m 的值为 1 或 2 或时，四边形BCMN 为平行四边形．并且注意分类讨【总结】此题主要观察了二次函数的综合，在解题时要注意剖析式的确定，论的数学思想．【例 5】如图，已知抛物线经过A(0, 1) 、 B(4, 3)两点．（1）求抛物线的剖析式；（2）求 tan∠ABO 的值；AB （ 3）过点 B 作 BC⊥ x 轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段于点 N，交抛物线于点M，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．【答案】见解析．【剖析】解：（ 1）将 A、 B 两点代入抛物线，可得抛物线剖析式为；（2）过 A 作 AH⊥BO 于 H，可得．又∵，∴．又∵，∴．∴；（ 3）∵ BC // y 轴， MN // y 轴，∴BC // MN．要使 MNCB 为平行四边形，只需要BC=MN 即可．直线 AB 的剖析式为．设 N 点为（ n,），则 M 点为（ n，），又∵ BC=3，∴．解得：或（与M 在对称轴左侧矛盾，舍）．∴ M 点坐标为（ 1，）．【总结】此题主要观察了二次函数的综合，注意锐角三角比的运用及平行四边形的存在性的谈论．【例 6】如图，在中，∠ C = 90°， AC = 6，BC = 8，动点 P 从点 A 开始沿边AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点 C 开始沿边CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点P 作 PD//BC，交 AB 于点 D，联系 PQ．点 P、 Q 分别从点A、 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t0）．（1）直接用含 t 的代数式分别表示： QB =_______ ，PD =_______ ；（ 2）可否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明原由，并研究如何改变点 Q 的速度（匀速运动），使四边形 PDBQ 在某一时辰为菱形，求点 Q 的速度．【答案】见解析．【剖析】（ 1），．（2）不存在．要使 PDBQ 为菱形，第一它应该是平行四边形，∴PD=BQ，即．解得：．此时，而．∴此时不为菱形，不存在t 使得 PDBQ 为菱形．设 Q 的速度为 v 时，存在 t 使得 PDBQ 为菱形，∴，，．∴，即，解得：，∴，即，解得：．即当点 Q 的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ 是菱形．另一方【总结】此题主要观察几何图形背景下的动点问题，一方面要注意动点的运动轨迹，面要注意对动点的存在性进行谈论．【习题 1】已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图像与y 轴交于点A，点 M 在正比率函数的图像上，且MO = MA ．二次函数的图像经过点A、 M．（ 1）求线段AM 的长；（ 2）求这个二次函数的剖析式；（ 3）若是点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图像上，点 D 在一次函数的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点 C 的坐标．【答案】见解析．【剖析】（ 1） M 点应在 OA 的垂直均分线上，A点坐标为（0，3），∴M 在直线上，又点 M 在正比率函数的图像上，∴M 点为，∴ AM 的长为；（2）将 A、 M 分别代入二次函数剖析式，解得剖析式为：；（ 3）依照四边形ABCD 四个极点的序次可知， D 点在 A 点右上方， C 在右下方，且 CD //AB （即平行于y 轴），∴设 D 点为，则 C 点为．∵ ABCD 为菱形，∴ CD=AD ．∴，解得：（舍）或．∴C 点坐标为（ 2， 2）．【总结】此题主要观察二次函数的图像与性质以及菱形的存在性，注意利用性质确定点的坐标．【习题2】在平面直角坐标系xOy中，经过点A（， 0）的抛物线与y 轴交于点C，点B 与点A、点D与点C 分别关于该抛物线的对称轴对称.（1）求 b 的值以及直线 AD 与 x 轴正方向的夹角；（2）若是点 E 是抛物线上的一动点，过 E 作 EF 平行于 x 轴交直线 AD 于点 F，且 F在 E 的右边，过点 E 作EG⊥AD于点G，设 E 的横坐标为m，的周长为l ，试用m 表示l ；（3）点M 是该抛物线的极点，点P 是y 轴上一点，Q 是坐标平面内一点，若是以A、M、 P、 Q 为极点的四边形是矩形，求该矩形的极点Q 的坐标．【答案】见解析．【剖析】（ 1）由，∴，对称轴直线x = 1 ；∴C（ 0，3）， D（ 2， 3）， A（， 0），45°；∴直线 AD 剖析式为： y = x + 1 ，与 x 轴正方向的夹角为（2）∵ E（ m，）， F （，），∴EF =∵为等腰直角三角形，，∴．（3） A（， 0）， M（ 1， 4），设 AM 的中点为N，则 N（ 0， 2）○1当AM为对角线时，∵，∴，∴， Q 在 y 轴上，∴（ 0，），（ 0，）；○2当 AM 为边时，，，∴，（ 0，）∴≌，∴（，）同理（ 2，）【总结】此题综合性较强，解题时要运用几何图形的相关性质，并且注意对方法的归纳总结．【作业 1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、 B，点 C 在线段 AB 上，且．（1）求点 C 的坐标（用含有 m 的代数式表示）；（2）将沿 x 轴翻折，当点 C 的对应点 C′恰好落在抛物线上时，求该抛物线的表达式；（ 3）设点 M 为（ 2）中所求抛物线上一点，当以A、 O、 C、 M 为极点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析．【剖析】解：（ 1）将 x = 0 代入直线剖析式，可得 B 点为（ 0,-4m）．将 y = 0 代入后，可得 A 点为（ 6,0）．过 C 作 CD⊥OB 于 D，作 CE⊥OA 于 E．∵，∴ BC = AC．易证，．∴，．∴ C 点坐标为（ 3， -2m）；（2）由题意， C'点为（ 3,2m）．∴将 C'点代入，解得：．∴抛物线的剖析式为：．（3）由题意，使得 A、O、 C、 M 构成平行四边形的 M 点可能为：，，，分别代入抛物线剖析式，可知这三个点均为满足条件的点．【总结】此题主要观察了二次函数的综合，在解题时要注意剖析式的确定，并且注意分类讨论的数学思想．【作业 2】如图，直线与反比率函数（）的图像交于点A、B，与 x 轴、 y 轴分别交于D、C，，．（1）求反比率函数剖析式；（2）联系 BO，求的正切值；（ 3）点 M 在直线上，点N 在反比率函数图像上，若是以点A、 B、 M、N 为极点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标．【答案】见解析．【剖析】（ 1）过点作，垂足是．易得；∴；由题意，得，∴；在中，，，∴；∴，；∴；∴，得；∴反比率函数剖析式为：．（ 2）过点作，垂足是．由题意，得；∴直线的表达式是；又点是直线与双曲线的交点，∴，；在中，可解得：，；∴；在中，，．（3）以分别为对角线和边两种情况谈论．当是对角线时，由题意，可知直线与双曲线的交点就是点，∴；当是边时，将向右平移 2 个单位，点落在直线上，∴；当是边时，将向左平移 2 个单位，点落在直线上，∴；综上，点 N 的坐标为：或或．【总结】此题主要观察一次函数与反比率函数的综合，第（1）小问比较基础，计算坐标时注意方法的选择，第（2）小问也可利用等面积法求出相应线段长，第（3）小问注意利用平移求出相应的点的坐标．。