奥赛专题4 三角 平面向量 复数

复数的向量表示及复数的三角形式基础概念一、基础知识概述由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义．二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示：2、复数的三角形式及运算：（1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤3、复数的几何意义：（1）复数模的几何意义：||||OZ Z =，即Z 点到原点O 的距离，一般地||21Z Z -即1Z 点到4、复数的指数形式：把模为1，辐角为θ（以弧度为单位）的复数θθsin cos i +用记号θi e 表示，即θθθsin cos i e i +=，由此任何一个复数)sin (cos θθi r Z +=就可以表示为θi re Z =形式，我们把这一表达式叫做复数的指数形式． 三、难点知识剖析复数的几何意义的理解是本讲的难点．由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法．复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程． 如圆：r Z Z =-||0；线段中垂线：||||21Z Z Z Z -=-；椭圆：|)|2(2||||2121Z Z a a Z Z Z Z ->=-+- ； 双曲线：|)|2(2||||||2121Z Z a a Z Z Z Z -<=--- ．典型例题解析： 方法一： ∵11||1||=+≤-ZZ Z Z ．||Z 、R Z ∈||1．∴1||1||1≤-≤-Z Z ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+01||||01||||22Z Z Z Z ，∴215215+≤≤-r ．ZZ Z Z 1||1|+=-， ∴当i Z 215-±=时，215min -=r ；而当i Z 215+±=时，max =r 方法二：设)sin (cos θθi r Z +=．215+≤≤r ，且当i Z215-±=时，215min -=r ； 当i Z 215+±=时，max =r 高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算，对复数的三角形式的考查不多．有时可能采取一题多法，即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解，只不过运用三角形式解答时较方便．基础练习一、选择题 1、复数)()1(2224Z n i i Z n ∈--=+ 的辐角主值是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个A ．iB ．1-C ．0D ．1A ．1B ．2C ．5D ．7（ ）A ．8、1Z 、2Z 是两个非零复数，且分别对应点1Z 、2Z ，则21OZ OZ ⊥的充要条件是（ ）A ．i Z Z 21±=9、复数Z 满足条件：|||12|i Z Z -=+，则||Z 的最大值是（ ）A 10、设yi x Z +=（x 、R y ∈），且x Z =-|2|，则复数Z 的对应点Z 的轨迹是（ ） A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线 二、综合题值范围．数Z ．（1）求Z 点的轨迹方程，并指明轨迹类型； （2）求||Z 的最小值．13、已知复数1Z 、2Z 、3Z 的辐角主值分别是α、β、γ，又1||1=Z ，k Z =||2，k Z -=2||3，且0321=++Z Z Z ，问k 取何值时，)cos(γβ-分别取得最大值和最小值？并求出)cos(γβ-的最大值和最小值？。

高三数学专题训练三：三角 复数 平面向量一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中）（10×5=50）1．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f = ）A ．126ωϕπ==， B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，2．复数21ia bi i+=+-，则点(),a b 在（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A ．若=0a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若a b =a c ，则b =c4．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数5．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值X 围是（ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]6．向量()()()()22,,,,1,1,2,2a x y b x yc d ====，若1a c b d •=•=，则这样的向量a有A ．1个，B ．2个，C ．多于2个，D ．不存在。

7．若0是ABC 所在平面内的一点，且满足()()00000B C C A +•-=，则ABC 一定是A ．等边三角形，B ．斜三角形，C ．等腰直角三角形，D ．直角三角形。

专题四 三角 平面向量 复数一 能力培养1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力 二 问题探讨问题1设向量(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=, 求证:sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+.问题2设()f x a b =⋅,其中向量(2cos ,1)a x =,(cos 2)b x x =,x R ∈(I)若()1f x =[,]33x ππ∈-,求x ; (II)若函数2sin 2y x =的图象 按向量(,)()2c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象,求实数,m n 的值.问题3(1)当4x π≤,函数2()cos sin f x x x =+的最大值是 ,最小值是 .(2)函数32cos sin cos y x x x =+-的最大值是 .(3)当函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取得最小值时,x 的集合是 . (4)函数sin (0)cos 1xy x x π=<<+的值域是 .问题4已知ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且4,5a b c =+=,tan tan A B +=tan tan )A B -,求角A.三 习题探讨 选择题1在复平面内,复数12ω=-+对应的向量为OA ,复数2ω对应的向量为OB , 那么向量AB 对应的复数是A,1 B,1- D,2已知α是第二象限角,其终边上一点P(x 且cos x α=,则sin α=D, 3函数2sin(3)4y x π=-图象的两条相邻对称轴之间的距离是A,3π B,23π C,π D,43π4已知向量(2,0)OB =,向量(2,2)OC =,向量(2,)CA αα=,则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是A,[0,]4πB,5[,]412ππ C,5[,]122ππ D,5[,]1212ππ5已知(,2)a λ=,(3,5)b =-,且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 A,103λ>B,103λ≥ C,103λ< D,103λ≤ 6若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是A,[1,)-+∞ B,[1- C, D,1]2填空题7已知sin sin 1αβ⋅=,则cos()αβ+= .8复数13z i =+,21z i =-,则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于第 象限.9若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= .10与向量1)a =-和(1b =的夹角相等,c = . 11在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 .12若[,]1212ππθ∈-,求函数cos()sin 24y πθθ=++的最小值,并求相应的θ的值.13设函数11()22x x f x ---=-,x R ∈,若当02πθ≤≤时,2(cos 2sin )f m θθ++(22)0f m --<恒成立,求实数m 的取值范围.14设5arg 4z π=,且22z R z-∈,复数ω满足1ω=,求z ω-的最大值与最小值勤.15已知向量33(cos,sin )22a x x =,(cos ,sin )22x x b =-,且[0,]2x π∈ (I)求a b ⋅及a b +; (II)求函数()4f x a b a b =⋅-+的最小值.16设平面向量(3,1)a =-,13(,22b =.若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-,tan d ma b θ=-+,且c d ⊥.(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.问题1证明:由cos cos sin sin a b αβαβ⋅=+,且cos()cos()a b a b αβαβ⋅=⋅-=- 得cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ① 在①中以2πα-代换α得cos[()]2παβ-+=cos()cos sin()sin 22ππαβαβ-+-.即sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+.温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.问题2解:(I)可得2()2cos 212sin(2)6f x x x x π==++由12sin(2)6x π++=1得sin(2)62x π+=- 又33x ππ-≤≤,得52266x πππ-≤+≤,有26x π+=3π-,解得4x π=-. (II)函数2sin 2y x =的图象按向量(,)c m n =平移后得到函数2sin 2()y n x m -=-, 即()y f x =的图象.也就是1y -=2sin 2()12x π+的图象.而2m π<,有12m π=-,1n =.问题3解:(1)22151sin sin (sin )24y x x x =-+=--+而4x π≤,有sin 22x -≤≤,当1sin 2x =,即6x π=时,max 54y =;当sin x =即4x π=-时,min 32y =(2)32cos (1cos )cos y x x x =+--,令cos t x =,则11t -≤≤,有321y t t t =--+,得'2321y t t =--令'0y =,有11t =,213t =-①当113t -≤<-时,'0y >,y 为增函数;②当113t -<<时,'0y <,y 为减函数. 32111()()()1333y =-----+极大=3227,而y =x=111110--+=,于是y 的最大值是3227.(3) 22cos 1sin 2sin 2cos 22)24y x x x x x π=++=++=++当2242x k πππ+=-,即38x k ππ=-时,min 2y =(4)可得cos 2sin y x y x +=,有sin cos 2x y x y -=)2x y ψ+=,有sin()1x ψ+=≤,得y ≤≤,又0y >,于是有y的值域是.问题4解:由已知得tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅即tan()A B +=又000180A B <+<得0120A B +=,060C =.又4,5,a b c =+=得5,b c =-由余弦定理22016(5)8(5)60c c c cos =+---. 得72c =,32b =. 由正弦定理得0742sin sin 60A =,有sin A =. 又a c b >>,得A 为最大角.又01sin sin 302B =<=,有030B <,于是090B C +<.所以得A π=-. 习题:1得2122ω=--,11()()2222AB OB OA i =-=----+=,选D.2 OP又2cos 4x x α==,得x =舍去),有cos α=sin α==,选A.3它的对称轴为:342x k πππ-=+,即34k x ππ=+,有(1)[]()34343k k πππππ++-+=,选A.4(数形结合)由(2)CA αα=,知点A 在以C (2,2)为圆心(如图),过原点O 作圆C 的切线'OA ,'A 为切点,由OC =,'A C =知'6AOC π∠=,有'4612AOB πππ∠=-=,过点O 作另一切线''OA ,''A 为切点,则''54612A OB πππ∠=+=,选D.5由310a b λ⋅=-+,2a b λ⋅=+,设a 与b 的夹角为θ,则090180θ<<,有1cos 0θ-<<,即31010λ-+-<<,得225603203100λλλ⎧+->⎨-+<⎩,有103λ>,选A.6由03x π<≤,令sin cos ),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤,得1t <≤又212sin cos t x x =+,得21sin cos 2t x x -=,得2211(1)122t y t t -=+=+-,有2111022y -+<≤=,选D. 7显然sin 0α≠且sin 0β≠,有1sin sin αβ=, 当0sin 1β<≤时,11sin β≥,有sin 1α≥,于是sin 1α=,得sin 1β=,则cos cos 0αβ== 得到cos()cos cos sin sin 1αβαβαβ+=-=-, 当1sin 0β-≤<时,同理可得cos()1αβ+=-.8 12(3)(1)24z z z i i i =⋅=++=+,它对应的点位于第一象限.9由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=.则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==.10设(,)c x y =,则1)(,)a c x y y ⋅=-⋅=-,(1(,)b c x y x ⋅=⋅=.设c 与a ,b 的夹角分别为,αβ,则cosa c a c α⋅==⋅,cos b c b c β⋅==⋅由αβ=,y -=x ①;由c 得222x y +=.②由①,②得, 11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩于是c =或(11设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.12解:cos()sin 2cos()cos(2)442y πππθθθθ=++=+-+22c o s ()c o s ()144ππθθ=-++++ 令cos()4t πθ=+,得2219212()48y t t t =-++=--+ 由1212ππθ-≤≤,得643πππθ≤+≤,有1cos()242πθ≤+≤,122t ≤≤.于是当t =,即cos()4πθ+=,得12πθ=-时,min 12y =.13解:由1()1()22()x x f x f x ------=-=-,知()f x 是奇函数,而'11'11()2ln 22ln 2(1)2ln 22ln 20x x x x f x x ------=---=+>得()f x 在R 上为增函数,则有2cos 2sin 22m m θθ+<+,令sin t θ=有22(21)0t mt m -++>,[0,1]t ∈恒成立.①将①转化为:22(1)(1)m t t ->-+,[0,1]t ∈ (1)当1t =时,m R ∈;(2)当01t ≤<时,22()2[(1)]1m h t t t >=--+-,由函数2()g x x x=+在(0,1]上递减,知 当0t =时,min ()1h t =-,于是得12m >-. 综(1),(2)所述,知12m >-.14解:设(,)z a bi a b R =+∈,由5arg 4z π=得0b a =<,得222222(1)2(1)(1)(1)z a i a a i z a i a ----++-==+ 由22z R z-∈,得210a -=,从而1z i =--,设,z ω在复平面上的对应点分别为,W Z ,由条件知W 为复平面单位圆上的点,z ω-的几何意义为单位圆上的点W 到点Z 的距离,所以z ω-的最小值为1OZ OA -=;最大值为1OZ OA +=.15解(I)33coscos sin (sin )cos 22222x xa b x x x ⋅=+-=, 33(cos cos ,sin sin 2222x xa b x x +=+-,得22cos 2cos a b x +=+=2cos 2x =([0,]2x π∈).(II)22()cos28cos 2cos 8cos 12(cos 2)9f x x x x x x =-=--=-- 当且仅当cos 1x =时,min ()7f x =-.16解:(I)由c d ⊥,13102a b ⋅=⋅=,得2[(tan 3)][tan ]c d a b ma b θθ⋅=+-⋅-+ =223(tan 3tan )0ma b θθ-+-=,即223(tan 3tan )m a b θθ=-,得31(tan 3tan )()422m ππθθθ=--<<. (II)由tan t θ=,得31()(3),4m g t t t t R ==-∈求导得''23()(1)4m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t =当(,1)t ∈-∞-,'()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数. 所以当1t =-,即4πθ=-时,()m g t =有极大值12;当1t =,即4πθ=时,()m g t =有极小 值12-.。