【2014丰台一模】北京市丰台区2014届高三下学期期中练习 数学理 Word版含答案

q :函数g(x)在区间(a,b)内有最值.则命题 p 是命题q 成立的丰台区2012年高三年级第二学期统一练习(一)2012.3数学(理科)第一部分(选择题共40 分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.21.已知集合 A={x I x <1}, B={a}，若A n B=._ ,则a 的取值范围是(A) ( -：：， (C) (-1,1)(D) [-1,1]2.若变量x ,卄 八0,卄y 满足约束条件{x-2yX1,则z=3x+5y 的取值范围是X —4層 3,(B) [-8,3](D) [-8,9]的二项展开式中，常数项是(C) 201I4.已知向量 a = (sin ,cosR , b = (3,4)，若 a _ b ，则 tan2二等于(A) 10(B) 15(D) 3024 6 24 (A)(B)(C)77255•若正四棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的表面积是24(D)(A) 4 (B) 4 4,10 (C) 8(D) 4 4116.学校组织高一年级 4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁 四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有 (A) (B) A A 2 种(C)2 2(D) C 4 A 3 种7.已知 a :: b ，函数 f(x)二sin X ， g(x)=cos X .命题 p ： f (a) f(b) ：： 0，命题(A)充分不必要条件(C)充要条件(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件8.已知定义在R 上的函数y=f(x)满足 f(x+2)= f(x),当-1<x < 1 时,f(x)=x 3.若函数 g(x) = f (x) _ log a x 恰有6个零点，贝U a114.定义在区间［a,b ］上的连续函数y 二f(x)，如果 ［a,b ］，使得f (b) - f (a)二f'( J(b - a)，则称 为区间［a,b ］上的"中值点”.下列函数：① f (x) =3x 2 :②f (x) = x 2 -x • 1 :③f (x)二ln(x 1):④f (x) ^(x-1)3中，在区间［0,1］上“中值点”多于一个的函数序号为2(A) a= 5 或 a=—(B) a (0,：)U ［5,：：)5 1 1(D) a 匕,匚山［5,7)7 5二、填空题共6小题，每小题 第二部分(非选择题共110分)5分，共30分.9.已知双曲线的中心在原点,3焦点在x 轴上，一条渐近线方程为 y x , 4则该双曲线的离心率是10.已知等比数列{a n }的首项为1，若4a i , 2a 2,觅成等差数列，则数列 {-} 的前5项和为 a n11.在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程是y 占 x=1 旦，2 (t 为参数)1. -2，.以O 为极点，x 轴正方向极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程是 p -4 pcos 肝3=0 .则圆心到直线的距离是12.如图所示，Rt △ ABC 内接于圆，• ABC =60；, PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于E ,交圆于 D .若 FA=AE , PD=、3 , BD=3.3 , 贝UAF= ____13.执行如下图所示的程序框图，则输出的 i 值为.(写出所有.满足条件的函数2 的菱形，侧面 FAD 丄底面 ABCD ，/ BCD=60o, FA=PD=、2 ,E 是BC 中点，点Q 在侧棱FC 上.（I ）求证：AD 丄FB ;（n ）若Q 是FC 中点，求二面角 E-DQ-C 的余弦值；FQ（川）若，当FA //平面DEQ 时，求入的值.FC17.（本小题共13分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示. （I ）请根据图中所给数据，求出a 的值；（n ）从成绩在［50,70）内的学生中随机选 3名学生，求这3名学生的成绩都在［60,70）内的概率；的序号）三、解答题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题共13分）在厶ABC 中，角A , B, C 所对的边分别为 （I ）判断△ ABC 的形状； 12 1f （x ） cos2x cosx ,2 32(n)若16.（本小题共14分）a ,b ,c ,且 a sin B _bcosC =ccosB . 求f （A ）的取值范围.四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是边长为AB（川）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在［50,70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在［60,70）内的人数，求X的分布列和数学期望.即 sin As in B = si n C cos B cosCs in B ,......................... 2分 所以 sin(C B) = sin Asin B .................... 4分因为在△ ABC 中，A • B • C 二二， 所以 sin A =sinAsinB 又sinA = 0,................... 5分JI所以 sin B = 1 , B =— 2所以△ ABC 为B的直角三角形.2................... 6分(法 2)因为 asin B —bcosC =ccosB ,2.2 2 2 a ____ —j- rq a由余弦疋理可得 asin B = bc2abc 2- b 22ac '................... 4分即 a sin B = a . 因为a = 0,所以sin B =1 ................... 5分所以在△ ABC 中，B =~ .2所以△ ABC 为B的直角三角形.2................... 6分1 2 1 2 2n)因为 f (x) cos2x cosxcos xcosx......2 3 23................... 8分 = (cosx _丄)2.3 9................ 10分所以 0 :： A ，且 0 :：: cos A ：1 ,........................ 11 分211所以 当cos A 时，f(A)有最小值是.............. 12分391 1所以f (A)的取值范围是［-1,1) ......................... 13分9 316.证明：(I)取AD 中点O ,连结OP , OB , BD .因为PA=PD , 所以PO 丄AD . ........................... 1分因为菱形 ABCD 中，/ BCD=60o,所以AB=BD , 所以BO 丄AD . ........................... 2分 因为 BO n PO=O ,........................... 3 分 所以AD 丄平面POB. ................................. 4分 A所以AD 丄PB. ........................... 5分(H)由(I)知 B0 丄 AD , PO 丄 AD . 因为 侧面PAD 丄底面ABCD ,且平面 PAD n 底面 ABCD=AD , 所以PO 丄底面ABCD ............................以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 O.......................... 7分则 D(-1,0,0) , E(-1,、3,0)，P(0,0,1),C （-2八 3,0）,因为Q 为PC 中点，所以Q (_1，乜，丄).2 2所以"DE =（0^3,0）, DQ =（0,^」）,2 2所以平面DEQ 的法向量为m = (1,0,0).因为 DC=（-1八 3,0） , DQ^。

北京市丰台区2014届高三第二学期统一练习（一）英语试卷 2014.3第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题l.5分，共7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

1. What will the man do tonight?A. Go to a movie.B. Read books.C. Watch TV.2. Where will the bookshelf probably be put?A. Near the window.B. In the bedroom.C. Beside the fireplace.3. What does the man want to be?A. A dancer.B. A singer.C. A waiter.4. Who is the man?A. A taxi driver.B. A policeman.C. A front desk clerk.5. Where are the two speakers?A. In a hospital.B. In a supermarket.C. In a post office.第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）听下面4段对话或独白。

每段对话或独白后有几道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有5秒钟的时间阅读每小题。

听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白你将听两遍。

听下面一段对话，回答第6至7两道小题。

6. What is the woman doing?A. Seeing a doctor.B. Doing a survey.C. Making an appointment.7. How does the man keep fit?A. By eating a healthy diet.B. By taking enough sleep.C. By riding the bike to work.听下面一段独白，回答第8至9两道小题。

2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2 BCD答案：C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =___8__；C 的准线方程为__4x =-___．3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（A ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ B ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m ____34___．6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m的取值范围是（D ）A．(-UB．(⎡--⎣UC ．[2,2]-D．[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（D ） A ．2B ．8C D ．410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（A ）A B ．3C ．125D ．111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m=___16___1． 13 (2014年东城一模理科) （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，， 得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+． 由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+． 化简得223k =，满足0>△．所以k = 因此直线l的方程为32y =+． 14 (2014年西城一模理科)（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*） …… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-， …………10分解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k-==， 解得m =.……… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =，或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)（本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0)．（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形． 解：（Ⅰ）设00(,)A x y ，00(,)-B x y ，————————————————1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|=-y x ．————————2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，———————————3分 得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，—————————4分 当02=x时，||=AB 当043=-x时，||=AB ．———————————————————5分 {说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在．设直线AB ：=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分 所以122623+=-+km x x k ，121224()223+=++=+my y k x x m k ，——————8分 所以2232(,)2323-++km mN k k，又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ，————————————9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，—————————————10分 化简2320k km ++=，②—————————————11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形．——————————14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ==———8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =，————————————11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠．所以||||MA MB ≠，————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形．———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+， 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(．………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E 于C,D 两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是. 所以，椭圆的标准方程为程.------ ---------3分（Ⅱ）设，，，22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以，，，， 于是.，所以在直线上----8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等，若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为，则.因为，解得. 于是，解得，所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，称圆心在原点O ，半C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值． 解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，．………………………………7分 ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =1l：x =与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直．………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=． 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直．………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直． 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．解：（Ⅰ）．椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，………………4分 从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ，………………7分 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-，得2214182k k x +-=，………………8分 从而21414k k y +=，即)414,4182(222kkk k S ++-，………………9分 又)0,2(B ，故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -，………………11分 故kk MN 216||+=，………………12分 又∵0>k ，∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ，………………13分 当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32．……………………14分。

丰台区2014年高三年级第二学期统一练习(二)数学(理科)第一部分(选择题 共40分)一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项｡(1)若复数(1)(2)m m -+-i(m ∈R)是纯虚数,则实数m 等于 (A)0 (B)1 (C)2 (D)1或2(2) 已知数列{}n a 是等差数列,且394a a +=,那么数列{}n a 的前11项和等于(A)22 (B)24 (C)44 (D)48(3)直线1:0l x y +-=与直线2,:(2x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)的交点到原点O 的距离是 (A)1(C)2(D)2(4)将函数2()log (2)f x x =的图象向左平移1个单位长度,那么所得图象的函数解析式为(A)2log (21)y x =+ (B)2log (21)y x =- (C)2log (1)1y x =++ (D)2log (1)1y x =-+ (5)已知sin()cos 2y x x π=+-,则y 的最小值和最大值分别为(A)9,28- (B)-2,98 (C)3,24- (D)-2,34(6)设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 (A)m ⊥α,n ⊂β,m ⊥n ⇒α⊥β (B)α⊥β,α∩β=m ,n ⊥m ⇒n ⊥β (C)α⊥β,m ⊥α,n ∥β⇒m ⊥n (D)α∥β,m ⊥α,n ∥β⇒m ⊥n(7)已知抛物线C :)0(22>=p px y 的焦点为F ,过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一､四象限分别交于A ､B 两点,则||||BF AF 的值等于 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(8)定义在R 上的函数()f x 和()g x 的导函数分别为'()f x ,'()g x ,则下面结论正确的是①若'()'()f x g x >,则函数()f x 的图象在函数()g x 的图象上方;②若函数'()f x 与'()g x 的图象关于直线x a =对称,则函数()f x 与()g x 的图象关于点(a ,0)对称;③函数()()f x f a x =-,则'()'()f x f a x =--; ④若'()f x 是增函数,则1212()()()22x x f x f x f ++≤. (A)①② (B)①②③ (C)③④ (D)②③④第二部分(非选择题 共110分)二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分｡(9)已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-,那么该数列的通项公式为n a =_______. (10)已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示, 那么样本数据落在[40,60)内的样本 的频数为 ____ ; 估计总体的众数为_________.(11)已知圆C :(x +1)2+(y -3)2=9上的两点P ,Q 关于直线x+my+4=0对称,那么m =_________. (12)将6位志愿者分配到甲､已､丙3个志愿者工作站,每个工作站2人,由于志愿者特长不同,A不能去甲工作站,B 只能去丙工作站,则不同的分配方法共有__________种.(13)已知向量(1,2)a =-,M 是平面区域0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩内的动点,O 是坐标原点,则a OM ⋅的最小值是 .(14)数列}{n a 的首项为1,其余各项为1或2,且在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2,即数列}{n a 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列}{n a 的前n 项和为n S ,则20S = __ ;2014S ___ .样本数据三､解答题: 本大题共6小题,共80分｡解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程｡ (15)(本小题满分13分)已知△ABC 中,∠A , ∠B , ∠C 的对边长分别为,,a b c ,且223a b ab +=+,60o C =. (Ⅰ)求c 的值;(Ⅱ)求a b +的取值范围. (16)(本小题满分13分)某超市进行促销活动,规定消费者消费每满100元可抽奖一次.抽奖规则:从装有三种只有颜色不同的球的袋中随机摸出一球,记下颜色后放回,依颜色分为一､二､三等奖,一等奖奖金15元,二等奖奖金10元,三等奖奖金5元.活动以来,中奖结果统计如图所示:消费者甲购买了238元的商品,准备参加抽奖.以频率作为概率,解答下列各题. (Ⅰ)求甲恰有一次获得一等奖的概率; (Ⅱ)求甲获得20元奖金的概率;(Ⅲ)记甲获得奖金金额为X ,求X 的分布列及期望EX . (17)(本小题满分14分)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD =AB ∠BAD =90o ,∠BCD =45o ,E 为对角线BD 的中点.现将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位 置,使平面PBD ⊥平面BCD ,如图2. (Ⅰ)求证直线PE ⊥平面BCD ;(Ⅱ)求异面直线BD 和PC 所成角的余弦值;(Ⅲ) 已知空间存在一点Q 到点P ,B ,C ,D 的距离相等,写出这个距离的值(不用说明理由).(18)(本小题满分13分)已知函数21()()2xf x xe a x x =-+(e=2.718---). (Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的极值; (Ⅱ)求函数在区间[-1,1]上的最小值. (19)(本小题满分13分)已知椭圆E:22184x y +=与直线l :y kx m =+交于A ,B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线l 椭圆的左焦点,且k =1,求△ABC 的面积;(Ⅱ)若OA OB ⊥,且直线l 与圆O :222x y r +=相切,求圆O 的半径r 的值. (20)(本小题满分14分)已知函数()f x 的定义域为D ,若它的值域是D 的子集,则称()f x 在D 上封 闭.(Ⅰ)试判断()2x f x =,2()log g x x =是否在()1,+∞上封闭;(Ⅱ)设1()()f x f x =,1()(())(N*,2)n n f x f f x n n -=∈≥, 若()n f x (*N n ∈)的定义域均为D ,求证:()n f x 在D 上封闭的充分必要条件是1()f x 在D 上封闭; (Ⅲ)若0a >,求证:)()sin cos 2h x x x x x =+在[]0,a 上封闭,并指出值域为[]0,a 时a 的值.图2图1。

丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一）数学（理科）答案 2014.3一、选择题二、填空题9．13 10. 9 11. 12.13. 2 14.2π三、解答题 15.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 22x x x =++32cos 22x x =+1sin 22)2x x =+2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+--------------------------------------------------------------5分 所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x 取，当π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-.所以，函数()f x 在区间[0,]2π，最小值为32-.--------------13分16.解：（Ⅰ）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为2502606523250260652524++=+++， 所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为2324.--------------5分（Ⅱ）该地区老龄人健康指数X 的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计 概率)：E X =270210(1)700700700700⨯+⨯+⨯+-⨯=1.15 因为E X <1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分 17. 解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0),A （1，0，0）， B (1,1,0)，C (0,1,0),D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设E (1,m,0)（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =-- 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯= 所以DA 1⊥ED 1.-------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设平面CED 1的一个法向量为(,,)v x y z =,则10v CD v CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而1(0,1,1)CD =-，(1,1,0)CE m =-所以0,(1)0,y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取z=1,得y=1,x=1-m ， 得(1,1,1)v m =-.因为直线DA 1与平面CED 1成角为45o ，所以1sin 45|cos ,|DA v ︒=<> 所以11||2||||DA v DA v ⋅=⋅=m=12.-----11分（Ⅲ）点E 到直线D 1CE 在A 点处.------14分 18.解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）.()x f x a e '=-，(0)1f a '=-， 所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y =(a -1)x -1.-------------------4分 （Ⅱ）（1）当a>0时，令()0f x '=，则ln x a =. 因为()x f x a e '=-在(,)-∞+∞上为减函数，所以在(,ln )a -∞内()0f x '>，在(ln ,)a +∞内()0f x '<，所以在(,ln )a -∞内()f x 是增函数，在(ln ,)a +∞内()f x 是减函数， 所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a =-因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥. （2）当0a <时，()x f x a e '=-<0恒成立，函数()f x 在R 上单调递减,而11()10a f e a=->，即存在0x 使得0()0f x ≥，所以0a <.综上所述，a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分 19. 解：（Ⅰ）由题意可知c e a ==c =2,1a b ==. 所以，椭圆的标准方程为2214x y +=程.---------------------------------3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，22(14y k x xy ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩即2222(41)1240k x x k +++-=.所以，12x x +=，1202x x x +==，00(y k x =+=于是M ∴.40k +=，所以M 在直线l 上. --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等， 若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM |=3|CM |，因为|OD |=|OC |，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为33(,)x y ，则302y y =.因为22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =.=218k =，所以k =±.----------------14分 20. 解：（Ⅰ）212n n a -=（若只写出2,8,32三项也给满分）.----------------------4分 （Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为{}n b ，通项公式为1(1)n b b n d =+-.因为11a =，所以1n n a q -=.（1）当01q <<时，1n n a q -=∈（0，1]，且数列{}n a 是递减数列，所以{}n b 也为递减数列且n b ∈（0，1]，0d <, 令1(1)0b n d +-<，得111b n d>->， 即存在*(1)n N n ∈>使得0n b <，这与n b ∈（0，1]矛盾. （2）当1q >时，1n n a q -=≥1，数列{}n a 是递增数数列，所以{}n b 也为递增数列且n b ≥1，0d >. 因为d 为正的常数，且1q >，所以存在正整数m 使得11(1)m m m a a q q d -+-=->. 令()k p b a p m =>，则11k p b a ++≥，因为111(1)(1)p m p p a a q q q q d --+-=->->=1k k b b +-，所以1p p a a +->1k k b b +-，即11p k a b ++>，但这与11k p b a ++≥矛盾，说明假设不成立.综上，所以数列{}n a 不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分。

丰台区2013-2014学年度第二学期期中练习高 三 数 学（理科） 2014.3第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{|11}A x R x =∈-≤≤,{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于 （A ） {|13}x R x ∈-≤≤ （B ） {|03}x R x ∈≤≤ （C ） {|10}x R x ∈-≤≤ （D ） {|01}x R x ∈≤≤ （2）在极坐标系中，点A （1,π）到直线cos 2=ρθ的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为 （A ）85 （B ）2912 （C ）53（D ）138（4）已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中 一定成立的是（A ）(0)(6)f f < （B ）(-3)(-2)f f > （C ）(1)(3)f f -< （D ）(-2)(1)f f > （5） “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 （A ）x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （B ）x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 （C ）x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D ）x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）3（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年 年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有（A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个侧视图俯视图主视图第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

12014年北京市各区高三一模试题分类汇编 03立体几何 (理科1 (2014年东城一模理科2 (2014年西城一模理科如图, 设 P 为正四面体 A BCD -表面 (含棱上与顶点不重合的一点, 由点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M , 如果集合 M 中有且只有 2个元素,那么符合条件的点 P 有( C(A 4个(B 6个(C 10个(D 14个3 (2014年西城一模理科已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2,它的俯视图是一个边长为 2的正三角形,那么它的侧(左视图面积的最小值是__4 (20145 (2014______6 (2014年朝阳一模理科如图,在四棱锥 S ABCD -中, SB ⊥底面 ABCD .底面ABCD 为梯形,AB AD ⊥, AB ∥ CD , 1, 3AB AD ==, 2CD =. 若点 E 是线段 AD 上的动点, 则满足 90SEC ∠=︒的点 E 的个数是 __2_7 (2014年丰台一模理科棱长为 2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是(B (A 143(B 4 (C 103 (D 38 (2014年石景山一模理科右图是某个三棱锥的三视图,其中主视图是等边三角形,左视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的体积是(B A . 12 B . 3 C .4 D . 69 (2014年顺义一模理科一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________1 正视图侧视图俯视图111 侧视图俯视图主视图1主视图左视图俯视图ADC. P 俯视图主视图侧视图210 (2014年延庆一模理科右图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是 (AA . 3B . 34C . 1D . 3211 (2014年东城一模理科12 (2014年西城一模理科如图,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,底面 ABCD 和侧面 11BCC B 都是矩形, E 是 CD 的中点, 1D E CD ⊥, 22AB BC ==(Ⅰ求证:1⊥BC D E ; (Ⅱ求证:1B C // 平面 1BED ;(Ⅲ若平面 11BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为π3,求线段 1D E 的长度 . 13 (2014年海淀一模理科如图 1,在 Rt △ ABC 中,∠ACB =30°,∠ ABC =90°, D 为 AC 中点,AE BD ⊥于 E ,延长 AE 交 BC 于 F ,将∆ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD ⊥平面BCD ,如图 2所示.(Ⅰ求证:AE ⊥平面 BCD ; (Ⅱ求二面角 A – DC – B 的余弦值.(Ⅲ在线段 AF 上是否存在点 M 使得 //EM 平面 ADC ?若存在,请指明点 M 的位置;若不存在,请说明理由.14 (2014年朝阳一模理科如图 , 四棱锥 P ABCD -的底面为正方形 , 侧面 PAD ⊥底面A B C D . PAD △为等腰直角三角形,且 PA AD ⊥. E , F 分别为底边 AB 和侧棱 PC 的中点.(Ⅰ求证:EF ∥平面 PAD ;(Ⅱ求证:EF ⊥平面 PCD ;(Ⅲ求二面角 E PD C --的余弦值.15 (2014年丰台一模理科如图,在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 点 E 是棱 AB 上的动点 . (Ⅰ求证:DA1⊥ ED1 ;(Ⅱ若直线 DA1与平面 CED1成角为 45o ,求AEAB的值; (Ⅲ写出点 E 到直线 D1C 距离的最大值及此时点 E 的位置(结论不要求证明 .主视图侧(左视图俯视图3主视图左视图俯视图1E BCAD FA E BCDPF316 (2014年石景山一模理科如图, 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是 2,D 是AC 的中点.(Ⅰ求证:1B C ∥平面 1A BD ;(Ⅱ求二面角1A BD A --的大小;(Ⅲ在线段 1AA 上是否存在一点 E , 使得平面 11B C E ⊥平面 1A BD ,若存在, 求出 AE 的长;若不存在,说明理由.17 (2014年顺义一模理科如图在四棱锥 P ABCD -中,底面 ABCD 是菱形, 060BAD ∠=, 平面 PAD ⊥平面 ABCD , 2PA PD AD ===, Q 为 AD 的中点, M 是棱PC 上一点,且 13PM PC =. (Ⅰ求证:PQ ⊥平面 ABCD ; (Ⅱ证明:PA ∥平面 BMQ (Ⅲ求二面角 M BQ C --的度数 .18 (2014年延庆一模理科在四棱锥 ABCD P -中, ⊥PA 平面 ABCD , 底面ABCD 是正方形,且 2==AD PA , F E , 分别是棱 PC AD , 的中点. (Ⅰ求证://EF 平面PAB ; (Ⅱ求证:⊥EF 平面 PBC ; (Ⅲ求二面角 D PC E --的大小.2014年北京市各区高三一模试题汇编 --立体几何 (理科答案1. ;2. C ; 3.; 4. 96 ; 5. 13, ; 6. 2 ; 7. B ; 8. B ; 9. ; 10. A ;11. 吧A 1A 1B1CC DFDM Q A C412(Ⅰ证明:因为底面 ABCD 和侧面 11BCC B 是矩形, 所以 BC CD ⊥, 1BC CC ⊥,又因为 1=CDCC C ,所以 BC ⊥平面11DCC D , ……………… 2分因为 1D E ⊂平面 11DCC D , 所以1BC D E ⊥. ………… 4分(Ⅱ证明 :因为 1111//, BB DD BB DD =,所以四边形 11D DBB 是平行四边形 .连接 1DB 交 1D B 于点 F ,连接 EF , 则 F 为 1DB 的中点 . 在1∆B CD 中,因为 DE CE =, 1DF B F =,所以1//EF B C . …………… 6分又因为 1⊄B C 平面 1BED , ⊂EF 平面1BED ,所以 1//BC 平面1BED . ……… 8分 (Ⅲ解 :由(Ⅰ可知 1BC D E ⊥, 又因为1D E CD ⊥, BCCD C =,所以 1D E ⊥平面 A BCD . ……………… 9分设 G 为 AB 的中点,以 E 为原点, EG , EC , 1ED如图建立空间直角坐标系, 设 1D E a =,则 1(0,0,0, (1,1,0, (0,0,, E B D a C 设平面1BED 法向量为 (, , x y z =n ,因为1(1,1,0, (0,0, EB ED a ==,由 10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0, 0.x y z +=⎧⎨=⎩令 1x =,得 (1,1,0 =-n . ………… 11分设平面 11BCC B 法向量为111(, , x y z =m ,因为1(1,0,0, (1,1, CB CB a ==,由 10, 0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得 11110, 0.x x y az =⎧⎨++=⎩令 11z =,得 (0,,1 a =-m . ………… 12分由平面 11BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为π3, 得||π|cos , |cos 3⋅<>===m n m n m n , …………… 13分解得1a =. ……………… 14分13(Ⅰ因为平面 ABD ⊥平面 BCD ,交线为 BD ,又在ABD ∆中, AE BD ⊥于 E , AE ⊂平面 ABD所以 AE ⊥平面 BCD . ———————————————— 3分 (Ⅱ由(Ⅰ结论AE ⊥平面 BCD 可得 AE EF ⊥. 由题意可知 EF BD ⊥,又 AE ⊥BD .如图, 以 E 为坐标原点, 分别以 , , EF ED EA 所在直线为 x 轴, y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 E xyz -—— 4分不妨设 2AB BD DC AD ====,则1BE ED ==. 由图 1条件计算得, AE =BC =BF =则 (0,0,0,(0,1,0,(0,1,0, 3E D B AF C -——————— 5分,0, (0,1, DC AD ==.由 AE ⊥平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA . ——————— 6分设平面 ADC 的法向量为 (, , x y z =n ,则 0, 0. DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即 0,0.y y +==⎪⎩令 1z =,则 1y x ==,所以 (11 =-n . —————————— 8分平面 DCB 的法向量为 EA 所以 cos , ||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ,所以二面角 A DC B --————————————— 9分 (Ⅲ设AM AF λ=,其中[0,1]λ∈.由于 AF =, 所以AM AF λλ==,其中[0,1]λ∈———————————— 10分5所以,0,(13EM EA AM λ⎛=+=-⎝———————————— 11分由 0EM ⋅=n ,即 03λ=-(1-——— 12分解得3=(0,14λ∈. ———— 13分所以在线段 AF 上存在点M 使 EM ADC ∥平面 ,且34AM AF =. ———————— 14分 14(Ⅰ证明:取 PD 的中点 G ,连接 FG , AG .因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点,所以 FG 是△ PCD 的中位线. 所以 FG ∥ CD , 且 12FG CD =.又因为 E 是 AB 的中点,且底面 ABCD 为正方形,所以 1122AE AB CD ==,且 AE ∥ CD .所以 AE ∥ FG ,且 AE FG =.所以四边形 AEFG 是平行四边形 . 所以 EF ∥ AG .又 EF ⊄平面 PAD , AG ⊂平面 PAD ,所以 EF 平面PAD . ………………… 4分 (Ⅱ证明 :因为平面 PAD ⊥平面 A B C D , PA AD ⊥,且平面 PAD I 平面 ABCD AD =,所以 PA ⊥平面 ABCD .所以 PA AB ⊥, PA AD ⊥. 又因为 ABCD 为正方形, 所以 AB AD ⊥,所以 , , AB AD AP 两两垂直.以点 A 为原点,分别以 , , AB AD AP 为 , , x y z 轴,建立空间直角坐标系(如图 .由题意易知 AB AD AP ==,设 2AB AD AP ===,则(0,0,0A , (2,0,0B , (2,2,0C , (0,2,0D , (0,0,2P , (1,0,0E , (1,1,1F .因为 (0,11EF =uu u r , , (022 PD =-u u u r , , , (200 CD =-uu u r , , , 且 (0,11(0,2,2 0EF PD ⋅=⋅-=u u u r u u u r, , (0,11(2,00 0EF CD ⋅=⋅-=u u u r u u u r, ,所以 EF PD ⊥, EF CD ⊥.又因为 PD , CD 相交于 D ,所以 EF ⊥平面PCD . …………… 9分(Ⅲ易得 (102 EP =-uu r , , , (0,22 PD =-u u u r, .设平面 EPD 的法向量为 (, , x y z =n ,则 0,0. EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuruu u r n n 所以 20, 220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即 2, . x z y z =⎧⎨=⎩令 1z =,则 (2,1,1=n .由(Ⅱ可知平面 PCD 的法向量是 (0,11EF =uu u r, , 所以 cos , EFEF EF⋅〈〉===⋅uu u r uu u r n n n E PD C --的大小为锐角,所以二面角 E PD C --. ………… 14分 15. 解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则D(0,0,0,A(1, 0, 0 , B(1,1,0, C(0,1,0,D1(0,1,2,A1(1,0,1,设E(1,m,0(0≤m≤ 1(Ⅰ证明:1(1,0,1 DA =, 1(1, ,1 ED m =-- 111(1 0( 110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=所以 DA1⊥ED1. ----4分 (Ⅱ设平面 CED1的一个法向量为 (, , v x y z =, 则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,而 1(0,1,1 CD =-, (1, 1,0 CE m =-所以 0, (1 0, y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取 z=1,得 y=1,x=1-m, 得(1,1,1 v m =-.因为直线 DA1与平面 CED1成角为 45o ,所以 1sin45|cos , |DA v ︒=<> 所以11||||||DA v DA v ⋅=⋅2=,解得 m=12.-----11分 (Ⅲ点 E 到直线 D1C E 在 A 点处 .------14分 16(Ⅰ证明:连结 1AB 交 1A B 于 M ,连结 1B C DM ,, 因为三棱柱 111ABC A B C -是正三棱柱, 所以四边形 11AA B B 是矩形,所以 M 为 1A B 的中点.因为 D 是 AC 的中点,MA1A1B1CBCD所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线，…………………………2 分所以 MD ∥B1C ．…………………………3 分因为平面 A 1C ∥平面 A 1BD ， B 1C 平面 A 1BD ，所以 B 1BD ．……………4 分（Ⅱ）解：作于 O ，所以平面 ABB1 A 1，所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系．因为， AA ， D 是 AC 的中点．，3 ，…………………12 分，，，解得，又，即所以存在点 E ，使得平面平面A ．…………………………14 分 1BD 且令，则， y1， 0 ，， 0， 0 ， C(0 ，，所以 A(1，0 …………5 分 0 3 ， A1 (1，3 ， z 所以 D( ， 0 ，，， 0， 1 2 3 2 3 2 3 ，， 3 ，0 ．设， y， z 是平面 A1BD 的法向量，，， 2 所以即，， D B1 y OA A1 令，则，， x 结 BD ， Q 底面 ABCD 是菱形，且，所以，， 2 3 是平面 A1BD 的一个法向量．……………6 分由题意可知 AA 0 是平面 ABD 的一个法向量，………7 分 1 ， 3 ，．………………8 分所以二面角A ．…………………………9 分的大小为 3 x， 0 ，则，3 ， 3 ，，，（Ⅲ）设 E (1，所以，设平面 B1C1E 的法向量， y1 ， z1 ，所以即是等边三角形，由（Ⅰ）平面以 Q 为坐标原点，QA, QB, QP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系则 Q (0, 0, 0, A(1, 0, 0, B(0, 3, 0, P(0, 0, 3 .————10 分设平面 BMQ 的法向量为，，，，，，注意到 MN ∥ PA 6，解得是平面 BMQ 的一个法向量——12 分（Ⅰ）证明：设 G 是 PB 的中点，连接 AG, GF ∵ E , F 分别是 AD, PC 的中点，∴ GF // 1 1 BC ， AE // BC 2 2 ∴ GF // AE ，∴ AEFG 是平行四边形，∴ EF // AG ………………2 分∵平面平面 PAB ，∴EF // 平面PAB ………………3 分（Ⅱ）∵，∴PB ，………………4 分∵，∴，又∵，∴ BC 平面 PAB ，∴，………………6 分∵ PB 与 BC 相交，∴平面 PBC ，∴平面 PBC ．………………7 分（Ⅲ）以 AB, AD, AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，…8 分∵，∴ E (0,1,0 ， C (2,2,0 ， P(0,0,2 ， F (1,1,1 设 H 是 PD 的中点，连接 AH ∵平面PBC ，∴同理可证平面 PCD ，∴ AH 是平面 PCD 的法向量，(0,1,1 ………………9 分，设平面 PEC 的法向量，则∴令，则∴分．………………13 分∴| ∴二面角 E 的大小为分 7。

2014年北京丰台中考一模数学一、选择题（共8小题；共40分）1. 2013 年“双十一”淘宝销售额约为350.18亿元．将数字350.18用科学记数法表示为______A. 35.018×10B. 3.5018×102C. 3.5018×103D. 0.35018×1022. −12的绝对值是______A. 12B. −12C. 2D. −23. 小伟投一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，那么向上的一面的点数大于4的概率为______A. 23B. 12C. 13D. 164. 如图，△ABC中，∠A=90∘，点D在AC边上，DE∥BC，如果∠1=145∘，那么∠B的度数为______A. 35∘B. 25∘C. 45∘D. 55∘5. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是______．A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米6. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是______A. B.C. D.7. 为了解居民节约用电的情况，增强居民的节电意识，下表是某个单元的12户住户当月用电量的调查结果：住户户2451月用电量度/户58556048那么关于这12户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是______A. 中位数是60B. 众数是60C. 极差是12D. 平均数是578. 如图，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=2 3 cm，E为DC边上的中点，点P从点A沿折线A−E−C运动到点C时停止，点Q从点A沿折线A−B−C运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/s．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t s，△APQ的面积为y cm2，那么y与t的函数关系的图象可能是______A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）9. 分解因式：x3−4xy2= ______．10. 请写出一个开口向下，对称轴是直线x=1的抛物线的解析式______．11. 如图，△ABC中，∠ACB=90∘，点F在AC的延长线上，CF=12AC，DE是△ABC的中位线，如果∠1=30∘，DE=2，那么四边形AFED的周长是______．12. 如图，直线l:y=33x，点A1的坐标为0,1，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，⋯，按此做法进行下去，点A4的坐标为______；点A n的坐标为______．三、解答题（共13小题；共169分）13. 已知，如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．14. 计算： −12−1−3tan30∘+π−10+−3．15. 解不等式组：3x−1<6x, x+12≥2x.16. 已知3x2−2x+1=0，求代数式x−32+2x2+x−7的值．17. 为了进一步落实“北京市中小学课外活动计划”，某校计划用4000元购买乒乓球拍，用6000元购买羽毛球拍，且购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵40元，求一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各是多少元．18. 已知关于x的一元二次方程m−1x2−2mx+m+1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数．19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E ，F 分别为边 AB ，CD 的中点，BD 是对角线，过点 A 作AG ∥DB 交 CB 的延长线于点 G ．（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形；（2）如果 ∠G =90∘，∠C =60∘，BC =2，求四边形 DEBF 的面积． 20. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，点 D 是边 AB 上一点，以 BD 为直径的 ⊙O 与边 AC 相切于点 E ，连接 DE 并延长交 BC 的延长线于点 F ．（1）求证：∠BDF =∠F ；（2）如果 CF =1，sin A =35，求 ⊙O 的半径． 21. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：cm ）组别身高/c mA x <155B 155≤x <160C 160≤x <165D 165≤x <170E x ≥170根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）样本中，女生身高在 E 组的有 2 人，抽样调查了______名女生，共抽样调查了______名学生；（2）补全条形统计图；（3）已知该校共有男生 400 人，女生 380 人，请估计身高在 160≤x <170 之间的学生约有多少人．22. 在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分．进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分?他画出了如下示意图（如图 1），得到了符合要求的直线 AF ．小明的作图步骤如下： 第一步：连接 AC ；第二步：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E；第三步：取ED的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求．请参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2，五边形ABOCD，各顶点坐标为A3,4，B0,2，O0,0，C4,0，D4,2．请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式．23. 已知抛物线L1:y=−2x2+bx+c与x轴交于A1,0，B3,0两点；抛物线L2:y=kx2−4kx+3k（k≠0）的顶点为P．（1）请直接写出：b= ______，c= ______；（2）当∠APB=90∘时，求实数k的值；（3）已知直线y=15k与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化?如果不发生变化，请求出EF的长度；如果发生变化，请说明理由．24. 在等腰直角△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC．（1）如图1，点D，E分别是AB，AC边的中点，AF⊥BE于点G交BC于点F，连接EF，CD交于点H．求证：EF⊥CD；（2）如图2，AD=AE，AF⊥BE于点G交BC于点F，过点F作FP⊥CD于点H交BE的延长线于点P，试探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并说明理由．25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+c与x轴交于点A−2,0和点B，与y轴交于点C 0,23，线段AC上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，线段AB上有另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，两动点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求该抛物线的解析式；（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在，请求出对应的t的值；如果不存在，请说明理由；（3）在y轴上有两点M0,m和N0,m+1，若要使得AM+MN+NP的和最小，请直接写出相应的m，t的值以及AM+MN+NP的最小值．答案第一部分1. B2. A3. C4. D5. B6. D7. A8. B第二部分9. x x+2y x−2y10. y=−x2+2x−1（答案不唯一）11. 1612. 0,8；0,2n−1第三部分13. ∵AB∥FD，∴∠1=∠A，∠B=∠CPD．∵∠E=∠CPD，∴∠E=∠B．∵ED=AB，∴△ABC≌△DEF．14. 原式=−2−3×33+1+3=−1．15. 由3x−1<6x得x>−1,由x+12≥2x得x≤13,∴原不等式组的解集为−1<x≤13．16. ∵3x2−2x+1=0，∴3x2−2x=−1．原式=x2−6x+9+4x+2x2−7=3x2−2x+2.当3x2−2x=−1时，原式=1．17. 设乒乓球拍每副x元，则羽毛球拍每副x+40元．由题意得4000x =6000x+40.解得x=80.经检验，x=80是原方程的根，且符合题意，∴x+40=120．答：乒乓球拍每副80元，羽毛球拍每副120元．18. （1）根据题意得m≠1，Δ=−2m2−4m−1m+1=4>0．∴方程有两个不相等的实数根．（2）由（1）知Δ=4，∴x1=2m+22m−1=m+1m−1，x2=2m−22m−1=1．x1=m+1m−1=1+2m−1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m−1是正整数，∴m−1=1 或 2，∴m=2 或 3．19. （1）在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，AB=CD．∵E，F分别为边AB，CD的中点，∴DF=12DC，BE=12AB，∴DF∥BE，DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形．（2）作BH⊥CD于点H，∵AG∥BD，∴∠G=∠DBC=90∘，∴△DBC为直角三角形．∵∠C=60∘，且BC=2，∴CD=4，∴BH=3．∵F为边CD的中点，∴DF=2，∴S平行四边形DEBF=23．20. （1）连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，∴∠1=∠F．又OE=OD，∴∠1=∠2，∴∠BDF=∠F．（2）设BC=3x，根据题意得AB=5x，∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得∠BDF=∠F，∴BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=3x+12，AO=AB−OB=5x−3x+12=7x−12，∵sin A=35，∴OEOA =35，即3x+127x−12=35，解得x=43．则⊙O的半径为3x+12=52．21. （1）40；80（2）补全条形统计图如图．（3）400×10+840+380×25%+15%=332（人）．答：估计该校身高在160≤x<170之间的学生约有332人．22. 正确构图．AO，作BM∥AO交x轴于点M；连接AC，作DN∥AC交x轴于点N，取MN的中点F，作AH⊥x轴于点H．∵BM∥AO，∴∠BMO=∠AOH，∵∠BOM=∠AHO=90∘，∴△BMO∽△AOH，∴BOMO =AHOH，∴2MO =43，∴MO=1.5．同理CN=0.5，∴M−1.5,0，N4.5,0，∴MN的中点F1.5,0．设直线AF的解析式为y=kx+b k≠0，把A3,4和F1.5,0代入得4=3k+b,0=1.5k+b,解得k=83,b=−4,∴直线AF的解析式为y=83x−4．23. （1）8；−6（2）在抛物线L1中，对称轴为x=−82×−2=2；在抛物线L2中，对称轴为x=−−4k2k=2，∴点P也在抛物线L1的对称轴上，∴AP=BP．∵∠APB=90∘，∴△APB为等腰直角三角形，且点P为直角顶点，∴y P=12AB=123−1=1，∴y P=±1．∵点P为抛物线L2的顶点，∴y P=4k⋅3k−−4k24k=−k，∴ −k =1，∴k=±1．（3）线段EF的长度不变化．由题意得y=15k,y=kx2−4kx+3k,解得x1=6，x2=−2．∴EF=6−−2=8，∴线段EF的长度不变化．24. （1）如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M．∵∠BAC=90∘，AF⊥BE于点G，∴∠1+∠5=∠2+∠5=90∘．∴∠1=∠2．∵∠BAC=∠ACM=90∘，AB=AC，∴△ABE≌△CAM．∴AE=CM，∠5=∠M．∵AE=EC，∴EC=CM．∵AB=AC，∠BAC=90∘，∴∠ABC=∠ACB=45∘．∵∠ACM=90∘，∴∠4=90∘−45∘=45∘=∠ACF．∴△ECF≌△MCF．∴∠6=∠M．∴∠6=∠5．∵AB=AC，点D，E分别是AB，AC边的中点，∴AD=AE．∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD．∴∠1=∠3．∴∠3+∠6=90∘．∴∠EHC=90∘．∴EF⊥CD．（2）如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M．△ABE≌△CAM．∴AE=CM，∠5=∠M，BE=AM．由（1）得△ABE≌△ACD．∴∠1=∠3．∵FP⊥CD于点H，∠BAC=90∘，∴∠3+∠6=∠1+∠5．∴∠6=∠5．∵∠6=∠8，∠7=∠5，∴∠7=∠8．∴EP=QP．∵∠6=∠5，∠5=∠M，∴∠6=∠M．∵AB=AC，∠BAC=90∘，∴∠ABC=∠ACB=45∘．∵∠ACM=90∘，∴∠4=90∘−45∘=45∘=∠ACF．∴△QCF≌△MCF．∴FQ=FM．∴BP=BE+PE=AM+PQ=AF+FM+PQ=AF+FQ+PQ=AF+FP．25. （1）把A−2,0，C 0,23代入y=ax2+c得0=4a+23,解得a=−32,∴该抛物线的解析式为y=−32x2+23．（2）在y=−32x2+23中，令y=0，则x1=−2，x2=2，∴B2,0，∴AB=4，∴AP=t，AQ=4−2t．在Rt△AOC中，AO=2，OC=23，∴AC=4，∴cos∠CAO=AOAC =12，若∠APQ=90∘，则cos∠CAO=cos∠PAQ，∴12=APAQ，∴12=t4−2t，∴t=1；若∠AQP=90∘，则cos∠CAO=cos∠PAQ，∴12=AQAP，∴12=4−2tt，∴t=85，综上，当t=1或t=85时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似．（3）m=233，t=2+32，AM+MN+NP的最小值为2+12．第11页（共11页）。

北京市丰台区2014届高三第二学期统一练习（一）英语试卷2014.3第二部分：知识运用（共两节，45分）第一节单项填空（共15小题；每小题1分，共15分）从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。

例：21. With a school built in the village, the children needn't climb the mountain for study.A. atB. forC. overD. in22.—It has been so foggy recently.—Cheer up! The fog to clear up from tomorrow.A. expectsB. is expected ,C. will expectD. will be expected23. I had wanted to visit the gallery before I Florence, but it' s closed on Sundays.A. leftB. has leftC. leaveD. would leave24. When in trouble, many teenagers go to their friends for advice.A. to askB. askingC. askD. asked25. You should consider carefully the car you want to buy is worth the money.A. thatB. whichC. whetherD. what26. The earthquake victims were given clothes and food, without which they of cold and hunger.A. would dieB. will dieC. have diedD. would have died27.—Are you free tomorrow? I was wondering if we could have lunch together.—No, I'm afraid not. I John then.A. am meetingB. metC. have metD. was meeting28. Shila doesn't speak our language, she seems to understand what we say.A. andB. yetC. soD. or29. Living in a fast-paced world, we get left behind if we stop learning.A. shouldB. dareC. mayD. need30. Ever since the patients moved to the new hospital last year, they better medical treatment.A. have receivedB. had receivedC. will receiveD. received31. Carl hopes to win the tennis game one day. That is he has been practicing hard.A. whyB. howC. becauseD. where32.—Have you found a new job, Jim?—Not yet. I really regret the IBM's offer.A. to turn downB. turning downC. turned downD. turn down33. The woods are remains of a huge forest once covered the whole area.A. whereB. whichC. whoseD. when34. There will be no going back our decision is made.A. untilB. unlessC. onceD. before35.—Sorry, Madam. Any problem?—Yes. The fish is served undercooked and with nothing .A. to addB. addingC. addedD. adds第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

2014丰台区中考一模数学试卷8,12,22,23,24,25题及答案F C E DBA 1丰台区2014年初三毕业统一练习158. 如图，在矩形ABCD 中，AB=4cm，AD =，E 为CD 边上的中点，点P 从点A 沿折线AE EC -运动到点C 时停止，点Q 从点A 沿折线AB BC -运动到点C 时停止，它们运动的速度都是s cm /1.如果点P ，Q 同时开始运动，设运动时间为)(s t ，APQ ?的面积为)(2cm y ，则y 与t 的函数关系的图象可能是A ．B ．C ．D ． 12.如图，直线l :y，点A 1坐标为(0，1)，过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交y 一轴于点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 4的坐标为(_______，_______)；点A n 的坐标为(_______，_______)．22. 在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分。

进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图（如图1），得到了符合要求的直线AF 。

小明的作图步骤如下：第一步：连结AC ；第二步：过点B 作BE//AC 交DC 的延长线于点E ；第三步：取ED 中点F ，作直线AF ；则直线AF 即为所求.请参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2，五边形ABOCD ，各顶点坐标为：A(3,4)，B(0,2)，O(0,0)，C(4,0)，D(4,2).请你构造．．一条经过顶点A 的直线，将五边形ABOCD 分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式.PEDCBA F E D CB A 图1A BCEDFGH CHF GE PB DA五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23.已知二次函数21:2L y x bx c =-++与x 轴交于A （1,0）、B （3,0二次函数22:43L y kx kx k =-+(k ≠0)的顶点为P. (1)请直接写出：b=_______，c=___________； (2)当90APB ∠=，求实数k 的值;(3)若直线15y k =与抛物线2L 交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不发生变化，请求出EF 的长度；如果发生变化，请说明理由.24.在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，（1）如图1，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AF ⊥BE 交BC 于点F ，连结EF 、CD 交于点H.求证，EF ⊥CD ；（2）如图2，AD=AE ，AF ⊥BE 于点G 交BC 于点F ，过F 作FP ⊥CD 交BE 的延长线于点P ，试探究线段BP,FP,AF 之间的数量关系，并说明理由。