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神奇的幻方标签：杂谈相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常大肆泛滥。
洪水冲毁房舍，吞没田园，给两岸人民带来巨大的灾难。
于是，每当洪水泛滥的季节来临之前，人们都抬着猪羊去河边祭河神。
每一次，等人们摆好祭品，河中就会爬出一只大乌龟来，慢吞吞地绕着祭品转一圈。
大乌龟走后，河水又照样泛滥起来。
后来，人们开始留心观察这只大乌龟。
发现乌龟壳有9大块，横着数是3行，竖着数是3列，每一块乌龟壳上都有几个小点点，正好凑成从1到9的数字。
可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思。
有一年，这只大乌龟又爬上岸来，忽然，一个看热闹的小孩惊奇地叫了起来："多有趣啊，这些小点点不论是横着加，竖着加，还是斜着加，算出的结果都是15！"人们想，河神大概是每样祭品都要15份吧，赶紧抬来15头猪和15头牛献给河神……果然，河水从此再也不泛滥了。
这个神奇的故事在我国流传极广，甚至写进许多古代数学家的著作里。
乌龟壳上的这些点点，后来被称作是"洛书"。
一些人把它吹得神乎其神，说它揭示了数学的奥秘，甚至胡说因为有了"洛书"，才开始出现了数学。
撇开这些迷信色彩不谈，"洛书"确实有它迷人的地方。
普普通通的9个自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加和是15的8个算式，全都包含在一个图案之中，真是令人不可思议。
在数学上，像这样一些具有奇妙性质的图案叫做"幻方"。
"洛书"有3行3列，所以叫3阶幻方。
它也是世界上最古老的一个幻方。
构造3阶幻方有一个很简单的方法。
首先，把前9个自然数按规定的样子摆好。
接下来，只要把方框外边的4个数分别写进它对面的空格里就行了。
根据同样的方法，还可以造出一个5阶幻方来，但却造不出一个4阶幻方。
实际上，构造幻方并没有一个统一的方法，主要依靠人的灵巧智慧，正因为此，幻方赢得了无数人的喜爱。
历史上，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝的著名数学家杨辉。
64 3678 120 92 134 50 10622 19 15 21 2 13 9 17 23 25 16 8 4 1 22 14 10 5 6 12 18 20 7 11 24 19 15 2 23 25 16 8 4 1 22 14 10 6 12 18 19 15 21 2 13 9 25 168 1 2214 20 7 319 15 2 25 16 8 1 2214 3 A B C D1 234 5 67 89 ⑵ ⑴ 8 6 1 3 75 4 29 56幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格．一般地，在n ×n （n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n ×n 个连续的自然数（注意，这n ×n 个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做n 阶幻方（标准幻方）．其中，相等的和叫做幻和，n 叫做阶．幻和＝幻方内所有数字之和÷阶数，奇数阶幻方的中心数＝幻和÷阶数．非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方．幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方．偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（4K 型的数叫做双偶数，4K ＋2型的数叫做单偶数）．幻方具有对称性．如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性．同一曲线所串连的四个数的和都相等，并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和．这就是幻方的对称性．幻方具有轮换性．如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）．这样，随你怎样选取5×5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性． 幻方的构造方法： 1．奇数阶幻方的构造方法：⑴ 杨辉三阶幻方构造法：我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．“九子斜排”，即以右图中A 、B 、C 、D 任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A 处为起点，从向右向下方向），将1～9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A 处与C 处，B 处与D 处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置．这样，一个三阶幻方就编排完了．训练⑴① 用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少？② 用“杨辉三阶幻方构造法”及3～11编排一个三阶幻方，填入右图中．③ 如右图⑴的3×3的阵列中填入1～9九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方．现有一个3×3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20，最小数大于5，而且每一行、每一列及每条对角线上的三个数的和都相等．④ 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中．⑤ 如右图所示，在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36． ⑥ 把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少？14 11 61 8 7 151012 1332 4 5 9 16 14 11 61 8 7 151012 13 3 245 9 16 14 11 61 87 151012 13 3 2 4 5 9 16 14 11 618 7 151012 13 3 24 5 9 1614 11 61 8 7 151012 13 3 2 4 5 9 16 14 11 61 8 7 151012 13 3 2 4 5 9 16 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹4 ⑺ 将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于51．⑻ 在右图中的空格中填入不大于18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于30．⑼ 把1～9这九个数字填入3×3的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的2倍，第三行的三位数是第一行的3倍，应怎样填数？⑽ 诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）．为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？⑵ 罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方）：这是由法国人罗伯总结出的构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法．具体方法如下：先把1（或最小的数）放在第一行正中；然后按以下规律排列剩下的12 n 个数：① 每一个数放在前一个数的右上一格； ② 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； ③ 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； ④ 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； ⑤ 如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同④．根据这个规则，可以编一个编排奇数阶连续自然数幻方的口诀：㈠ 横向叫行竖叫列，从1开始连续写，1写首行下中间，右列沉底将2写；㈡ 数顺右上方向走，碰到边框猛回头，上行最左写后数，再沿右上方向走； ㈢ 若碰有数下一格，方向不变继续走，碰顶向右掉到底，再按前面规则走。
十五奇妙的幻方把一些自然数填在纵横部相等的正方形内，使每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等，这样的方阵图叫做幻方.幻方是我国丰富的文化遗产之一.在古代就有“河图”、“洛书”的传说.到了宋朝，杨辉对幻方已有较深的研究.奇妙的幻方犹如一个数学万花筒，它曾使不少数学爱好者入迷.它的一些有趣的性质，令人回味无穷.幻方有许多构造方法，这里只简单介绍几种方法.问题15.1把1～9九个数字填入一个3×3的正方形内，每格填一个数字，使每一横行、每一竖列和两条对角线上三个数之和都相等.分析1～9九个数之和为45，正好是三横行（或三列）数字之和.因此，每一横行（或每一列）的三个数字之和等于45÷3=15.而1～9九个数字中，其中三个不同的数相加的和等于15的只可能是：9+5+1=15，9+4+2=15，8＋6+1=15，8+5+2=15，8+4+3=15，7+6+2=15，7+5+3=15，6+5+4=15.因此，每一横行、每一列和每一对角线恰好是其中一个加式中的三个数.中心数有4条线经过，要求它能在四个等式中出现.除5外，没有其它的选择.而2、4、6、8各出现在三个等式中.因此它们是四个角上的数，这样每一格应填哪一个数就不难确定了.解见图15－1.以上我们得到的便是一个简单的三阶幻方.如果把上图的有关行和列经过适当的对换、旋转，还可以得出其它的填法，如图15－2.问题15.2在图15－3的空白处填上适当的数，使得图中横行、竖列及两对角线上四个数的和都是34.分析这实际上是一个四阶幻方问题，因为图中已填上一些数字，使问题大为简化.只要我们按图中先填出A、B、C、D四个空白处的一个数字，就比较容易得到答案.见图15－4（1）.解略.如果题中没有填出数字，即将1～16.这十六个数填入4×4的方格中，使它成为四阶幻方，答案不唯一，如图15－4.问题15.3从1～13这十三个自然数中选出十二个数，填入图15－5（1）的3×4方格中，使每一横行四个数之和相等，每一竖列三个数的和也相等.分析这个问题是幻方的变形题.因为1+2+3+…+12+13=91，要去掉其中一个数，使得这十二个数之和既能被3整除（表中有三行）又能被4整除（表中有四列），即能被12整除.由91÷12=7……7，即从中去掉7.这样横行之和应为（91-7）÷3=84÷3=28，竖列之和应为（91-7）÷4=84÷4=21.又这十二个数中有六个奇数和六个偶数，而奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数.所以，四个竖列中有一列是三个奇数，其余三列各有一个奇数，如图15－5（2）.三个奇数的和是21的只有两组：1+9+11=21，3+5+13=21.填好奇数，就不难凑出其余偶数了.于是可有两种答案（图15－6）.问题15.4在图15－7（1）的方格内，每边上的数加起来之和都是5，所有数的和是12.现在请你用任何数字重新排列填入图15－7（2）、（3）中，使每边上的数字之和仍为5，但全部数的总和是13、14.解本题的关键是处理好方格中四个角上的数，它们在计算各边数字和时，都计算了两次.如果某角上数字减少1，而使每边上数字和不变，应在与该角有关的两条边中间数字上各加上1，这样表格中全部数字和便增加1。
《探寻神奇的幻方》课例研修报告课标分析:新课标指出：学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法．《新课程标准》要求该“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称美；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想。
经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造广义三阶幻方的经验。
教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，通过对蕴涵在具体事物中的规律性结论进行感受、分析和解释，初步获得“由特殊到一般”探究问题的方法和经验，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流。
拓展知识，了解中国数学史，我们便会看到，趣味数学、计算工具、棋类游戏都与幻方有着内在的联系。
幻方由于比较简单、容易入门，很快能引起学生的探讨兴趣，通过本节课的学习，不仅可以帮助学生感受幻方的对称美、和谐美，渗透数形结合的思想，提高学生运用有理数运算及字母表示数来分析问题、解决问题的能力，丰富学生的数学活动经验，同时引导学生归纳总结“综合与实践课”的学习方法，以便为后续的学习奠定基础。
教材分析:《探寻神奇的幻方》本节课是是学生在学习了有理数的运算、字母表示数、一元一次方程的基础上安排的综合实践课，探索三阶幻方的本质特征，经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造广义的三阶幻方的经验，对数量关系符号化的进一步深入和拓展。
从内容上看，幻方是学生比较熟悉、比较感兴趣且有一定感性认识的内容，学生对1-9这九个数构造三阶幻方的方法有一定的感性认识，但不清楚其中的数学道理，本节课给学生提供充足的探索数量关系并符号化的时间，不要以教师的讲解代替学生的思考和讨论，先把中心方格中的数与每行（每列及每条对角线上）三个数之和之间的关系搞清楚，再探索不在一行一列一条对角线上三个数的关系。
数独幻方幻方阵幻方是什么呢？如右图就是一个幻方，即将n*n（n>=3）个数字放入n*n的方格内，使方格的各行、各列及对角线上各数字之各相等。
8 1 63 5 74 9 2本幻方于1999年9月26日构造。
奇阶幻方当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
可以用Merzirac法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。
偶阶幻方当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。
当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。
可用了Hire法、Strachey 以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶（4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。
YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。
在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：Merzirac法生成奇阶幻方在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。
如下图用Merziral法生成的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9loubere法生成奇阶幻方在居中的方格向上一格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向上移两格继续填写。
如下图用Louberel法生成的7阶幻方：30 39 48 1 10 19 2838 47 7 9 18 27 2946 6 8 17 26 35 375 14 16 25 34 36 4513 15 24 33 42 44 421 23 32 41 43 3 1222 31 40 49 2 11 20horse法生成奇阶幻方先在任意一格内放入1。
味数学 QUWEISHUXUE数海星空神奇fi925Bft 数独幻方♦方有昆数独幻方是数独和幻方的有效结合，利用珠心算 功能，来研究和探索数字科学领域中的神奇奥秘，使此 幻方品位和境界得到了进一步提升，正所谓：数字世 界、奥妙无穷。
此幻方好似天上的星星布满天空，相互 依存，相互依赖，令人赏心悦目，变幻莫测。
特性如下：1. 每行1至25个数字不重复，和都等于325 ；2. 每列1至25个数字不重复，和都等于325 ；3. 毎条对角线1至25个数字不重复，和都等于325；4. 每个粗实线内5x5方阵，1至25个数字不重复,和都 等于325；5. 每个粗实线内5x5方阵中有25个格子，在每个方 阵的25格中，各取一个相同位置的数，1至25个数字不重复，和都等于325；6. 其他有规律的组合，1至25个数字不重复，和都等于325；7. 将第一行1至25的数变化排列，以表中介绍的方法，无论是A 图还是B 图都可以编排出1.5亿亿亿（25的 阶乘）组相同品位和境界的数独幻方。
&最大的亮点是：A 、B 两个图相互对应关联，如A 图中每个粗实线5x5方阵中，同数的25个位置，其25个 位置在B 图中就是不重复的1至25个数，数字之和都为325；反之B 图中每个粗实线5x5方阵中，同数的25个位 置，其25个位置在A 图中也是不重复的1至25个数，数字 之和都为325；如A 图中数字8的25位置，在B 图中就是1~ 25二十五个数，其数字之和都等于325；反之B 图中数字 8的25个位置，在A 图中就是1~25二十五个数，其数字之和都等于325；以此类推其它24个数也同样如此。
备注：1. 数字可以转变为英文字母、颜色、地名、姓氏等，来提高趣味性；2. 以此方法，可以编排出2阶多品位和高境界的数独幻方。
实验及珠算竞赛基础上，珠算内化形成的“珠心算”得 到了普及。
珠心算是珠算的升华，通俗讲“珠心算就是在脑子里打算盘”，较为严谨的说法，珠心算就是将算 盘和珠算的运算模型内化于大脑，形成珠像，脑中操作珠像而实现的运算。
