四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习05(拔高练习)

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案·知识点1正方形的性质1.正方形具有而矩形不具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相垂直2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为( )A.1 cmB.2 cmC.2√2cmD.4 cm3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为√6.4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.·知识点2利用正方形的性质求面积5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为( )A.2a2B.3a2C.4a2D.5a26.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为( )A.25B.5C.16D.127.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为( )A.(-√2,0)B.(√2,0)C.(0,√2)D.(0,2)9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3.10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD 的面积为.【素养提升】11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.【解题模型】·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.参考答案·知识点1正方形的性质1.正方形具有而矩形不具有的性质是(D)A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相垂直2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为(B)A.1 cmB.2 cmC.2√2cmD.4 cm3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为√6.4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF在△ABE与△ADF中{AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).·知识点2利用正方形的性质求面积5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(A)A.2a2B.3a2C.4a2D.5a26.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为(A)A.25B.5C.16D.127.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为(C)A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为(D)A.(-√2,0)B.(√2,0)C.(0,√2)D.(0,2)9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3+1.10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD的面积为50.【素养提升】11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.【解析】略【解题模型】·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定同步练习题一、选择题1．下列说法正确的是(C)A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是正方形C ．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形D ．对角线相等的矩形是正方形2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是(D)A ．BC ＝ACB ．BD ＝DFC ．CF ⊥BFD ．AC ＝BF3．如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，则AC 的长是(B)A ．1 B. 2 C. 3 D ．24.如图，正方形ABCD 的边长是2，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，且OE ⊥OF ，则四边形AFOE 的面积是(C)A ．4B ．2C ．1 D.125.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为坐标原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，对角线AC 与BD 相交于点E ，P 为BC 上一点，点P 坐标为(a ，b)，则点P 绕点E 顺时针旋转90°得到的对应点P ′的坐标是(D)A ．(a －b ，a)B ．(b ，a)C ．(a －b ，0)D ．(b ，0)二、填空题 6.如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ABE ，则∠BFC ＝60°.7．如图，在正方形ABCD 中，E 是BD 上一点，BE ＝BA ，则∠ACE ＝22.5°．8．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是3和4，则正方形ABCD 的面积是25．9.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AC ＝1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC ，BC 相交，交点分别为D ，E ，则两个三角形重叠部分的面积为14．三、解答题10.如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．又∵在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°.∴∠BEC ＝90°，BE ＝CE.∴四边形BECF 是正方形．11.如图，点M ，N 分别是正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 与BN 交于点P ，试探索AM 与BN 的关系．(1)数量关系AM ＝BN ，并证明；(2)位置关系AM ⊥BN ，并证明．解：(1)AM ＝BN.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠BCN ＝90°，AB ＝BC.在△ABM 和△BCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN(SAS)．∴AM ＝BN.(2)AM ⊥BN.证明如下：∵△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM ＝∠NBC.∵∠NBC ＋∠ABN ＝∠ABC ＝90°，∴∠BAM ＋∠ABN ＝90°.∴∠APB ＝90°.∴AM ⊥BN.12.如图，等边△AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°.求证：矩形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°.∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°.∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°.∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°－45°－60°＝75°.∴△AEB ≌△AFD(AAS)．∴AB ＝AD.∴矩形ABCD 是正方形．13.已知：如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E ，F 分别为垂足，求证：AP ＝EF.证明：连接PC.∵ABCD 是正方形，∴∠ABP ＝∠CBP ，∠BCD ＝90°.∵PE ⊥CD ，PF ⊥BC ，∴四边形PFCE 是矩形．∴EF ＝PC.在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP(SAS)．∴AP ＝CP.∴AP ＝EF.14.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 上一点，连接EB.过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F.求证：OE ＝OF.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE ＝∠AOF ＝90°，OB ＝OA.又∵AM ⊥BE ，∴∠BEO ＋∠MAE ＝∠AFO ＋∠MAE ＝90°.∴∠BEO ＝∠AFO.∴△BOE ≌△AOF(AAS)．∴OE ＝OF.15.已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ＝OF ＝OE ＝12BC ，OE ∥BC. 在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D ，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)．(2)当AB ⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)可得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB.∴∠AEO ＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．16.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN.求证：OM ＝ON.证明：∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°，OA ＝OB.∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°.在△AOM 和△BON 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOM ＝∠BON ，OA ＝OB ，∠OAM ＝∠OBN ，∴△AOM ≌△BON(ASA)．∴OM ＝ON.17.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ⊥ED 交DE 于点F ，交CD 于点G.(1)求证：△ADG ≌△DCE ； (2)连接BF ，求证：AB ＝FB.证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG ＝∠C ＝90°，AD ＝DC.又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG ＋∠ADF ＝∠CDE ＋∠ADF ＝90°.∴∠DAG ＝∠CDE.∴△ADG ≌△DCE(ASA)．(2)延长DE 交AB 的延长线于点H ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.又∵∠C ＝∠HBE ＝90°，∠DEC ＝∠HEB ，∴△DCE ≌△HBE(ASA)．∴BH ＝DC ＝AB.∴B 是AH 的中点．又∵∠AFH ＝90°，∴在Rt △AFH 中，BF ＝12AH ＝AB. 18.如图1，▱ABCD 中，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E.(1)求证：△AOD ≌△EOC ；(2)如图2，连接AC ，DE ，当∠B ＝∠AEB ＝45°时，求证：四边形ACED 是正方形．图1 图2证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E.∵O 是CD 的中点，∴OC ＝OD.在△AOD 和△EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E ，DO ＝CO ，∴△AOD≌△EOC(AAS)．(2)∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴四边形ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴四边形形ACED是正方形．19.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，连接BG，DE.(1)试判断BG与DE的关系； (2)当AB＝3，CE＝2时，求BE2＋DG2的值．解：(1)延长BG交DE于点H.∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形．∴DC＝BC，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°.∴Rt△BCG≌Rt△DCE(SAS)．∴BG＝DE，∠GBC＝∠EDC.∵∠BGC＋∠GBC＝90°，∠BGC＝∠DGH，∴∠DGH＋∠EDC＝90°.∴∠DHG＝90°.∴BG⊥DE.∴BG与DE的关系是BG＝DE且BG⊥DE.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝DC＝3.∴BE＝BC＋CE＝3＋2＝5.∵四边形CEFG是正方形，∴CG＝CE＝2.∴DG＝DC－CG＝3－2＝1.∴BE 2＋DG 2＝25＋1＝26.20.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任意一点，∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F.求证：AE ＝EF.证明：在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME.∵∠B ＝90°，CF 平分∠DCH ，∴∠BME ＝∠FCH ＝45°.∴∠AME ＝∠ECF ＝135°.∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°.∵∠AEB ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＝∠FEC.∵AB ＝BC ，BM ＝BE ，∴AM ＝EC.在△AME 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE ＝∠CEF ，AM ＝EC ，∠AME ＝∠ECF ，∴△AME ≌△ECF(ASA)．∴AE ＝EF.21.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，E 是对角线AC 上一点，且EB ＝ED.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若DE ＝EC ＝26，AD ＝43，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AE ，ED ＝EB ，∴△ADE ≌△ABE(SSS)．∴∠AED ＝∠AEB ，∠DAC ＝∠BAC.在△ADC 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC(SAS)．∴DC ＝BC.∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB.∴∠ACB ＝∠BAC.∴AB ＝BC.∴AB ＝BC ＝CD ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵DE ＝EC ＝26，AD ＝43，∴DE 2＋EC 2＝AD 2＝CD 2.∴∠DEC ＝90°.∴∠DCE ＝∠EDC ＝45°.∵△ADC ≌△ABC ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°.∴∠DCB ＝90°.∵四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形．22.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE.(1)求证：CE ＝CF ；(2)若点G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.23．如图，在▱ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，AE ＝CG ，AH ＝CF ，且EG 平分∠HEF.(1)求证：△AEH ≌△CGF ；(2)若∠EFG ＝90°，求证：四边形EFGH 是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C.在△AEH 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CG ，∠A ＝∠C ，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF(SAS)．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D.∵AE ＝CG ，AH ＝CF ，∴EB ＝DG ，HD ＝BF.∴△BEF ≌△DGH(SAS)．∴EF ＝HG.又∵△AEH ≌△CGF ，∴EH ＝GF.∴四边形EFGH 为平行四边形．∴EH ∥FG.∴∠HEG ＝∠FGE.∵EG 平分∠HEF ，∴∠HEG ＝∠FEG.∴∠FGE ＝∠FEG.∴EF ＝GF.又∵∠EFG ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．24.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，CD 上一点，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N.求证：MN 2＝BM 2＋DN 2.解：过点A 作GA ⊥AN ，使GA ＝NA ，连接GB ，GM.∵∠GAB ＋∠BAF ＝90°，∠NAD ＋∠BAF ＝90°，∴∠GAB ＝∠NAD.在△GAB 和△NAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAB ＝∠NAD ，BA ＝DA ，∴△GAB ≌△NAD(SAS)．∴∠ABG ＝∠ADN ＝45°，BG ＝DN.∴∠GBM ＝90°.∵∠EAF ＝45°，∠GAN ＝90°，∴∠GAM ＝45°.在△GAM 和△NAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△GAM ≌△NAM(SAS)．∴GM ＝MN.在Rt △GBM 中，GM 2＝GB 2＋BM 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2.25.如图，四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F.(1)如图1，若点G 在线段BC 上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(2)若点G 在BC 延长线上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若点G 在CB 延长线上，直接写出AF ，BF ，EF 之间的数量关系．解：(1)AF ＝EF ＋BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF.(2)AF ＋EF ＝BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＋EF ＝AE ＝BF.(3)AF ＋BF ＝EF.。

1.3正方形的性质及判定一、单选题1．四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，下列能判定四边形ABCD 是正方形的是（ ） A ．,AB BC CD AD AC BD ====B ．,,AO CO BO DO AC BD ==⊥ C ．,AO BO CO DO AC BD ====D ．,AB BC AD CD == 【答案】A【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A 、∵AB BC CD AD ===，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AC BD =∴ABCD 是正方形，故A 选项能判定；B 、∵,AO CO BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，∴ABCD 是菱形，故B 选项不能判定；只能判定为菱形；C 、∵AO BO CO DO ===，∴四边形ABCD 是矩形，故C 选项不能判定；只能判定为矩形；D 、,AB BC AD CD ==，两组邻边相等，无法判定，故D 选项不能判定．故选A ．【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．2．如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，若CE=CA ，AE 交CD 于F ，则∠FAC 的度数是（ ）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．67.5°【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠∠FAC=∠ACB=45°，∵CE=CA，∴∠E=∠FAC，∴∠FAC=12∠ACB=22.5°．故选A．3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意．故选B．4．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A B．C1D．1【答案】B【解析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=12，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．解：∵正方形ABCD的面积为1，∴，∠BCD=90°．∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=12BC=12，CF=12CD=12，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∴正方形EFGH的周长=4EF=4×2=故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF 的长是解决问题的关键．5．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）．A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角形互相垂直平分【答案】A【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．∵平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线互相平分∴选项A 正确；∵菱形的对角线不相等∴选项B 错误；∵矩形的对角线不相互垂直∴选项C 和D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，从而完成求解．6．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且0BAE 22.5 ＝，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为A．1 B C．4-D．4【答案】C【解析】分析：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°．在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4．∵正方形的边长为4，∴BD=∴BE=BD－DE=4．∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形．∴EF=22BE==422-．故选C．7．如图，点A（1，1），B（3，1），C（3，﹣1），D（1，﹣1）构成正方形ABCD，以AB为边做等边△ABE，则∠ADE和点E的坐标分别为（）A．15°和（2，B．75°和（2，1）C．15°和（2，75°和（21）D．15°和（2，1+75°和（2，1【答案】D【解析】分为两种情况：①当△ABE在正方形ABCD外时，过E作EM⊥AB于M，根据等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出∠EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE；②当等边△ABE在正方形ABCD内时，同法求出此时E的坐标，求出∠DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE．分为两种情况：①△ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EM⊥AB于M，∵等边三角形ABE，∴AE=AB=3﹣1=2，∴AM=1，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，∴22=12+EM2，∴EM∵A（1，1），∴E 的坐标是(21，，∵等边△ABE 和正方形ABCD ，∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE ， ∴()11809060152ADE AED ∠=∠=︒-︒-︒=︒；②同理当△ABE 在正方形ABCD 内时，同法求出E 的坐标是()2,1，∵∠DAE=90°﹣60°=30°，AD=AE ， ∴()118030752ADE AED ∠=∠=︒-︒=︒；∴∠ADE 和点E 的坐标分别为15°，(21，，或75°，()2,1，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分类讨论．8．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】C【解析】连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.连接AE，∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，在△AFE和△ADE中，∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.在直角△ECG中，根据勾股定理，得：(6−x)2+9=(x+3)2，解得x=2.则DE=2.【点睛】熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.9．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在线段DE 上，若AB AF =，则BFE ∠=（ ）A ．45°B ．30°C ．60°D ．55°【答案】A【解析】 由正方形的性质再结合已知条件可证△ABF 和△ADF 是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，四边形内角和为360°和三角形内角和定理即可解答.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90BAD ︒∠=，∵AB AF =，∴AF AD =，∴ABF ∆和ADF ∆都是等腰三角形，∴12∠=∠，34∠=∠．∵1234360BAD ︒∠+∠+∠+∠+∠=，∴2223270︒∠+∠=，∴23135︒∠+∠=，∴18013545BFE ︒︒︒∠=-=． 故选A ．【点睛】此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定理.10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH┴AF与点H，那么CH的长是（）A B C D【答案】D【解析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH的长.如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，==，∵CH⊥AF，∴1122AC CF AF CH⋅=⋅，12CH=⨯，∴.故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．11．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=14BC,③OD=12BF,④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EN ⊥BD 于N ，连接EF ，由全等三角形的判定定理可得△DNE ≌等腰直角△ECF ，再由平行线的性质得出OH 是△DBF 的中位线即可得出结论；②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=12CF ，由GH ＜14BC ，可得出结论；③由OH 是△BFD 的中位线，BE 平分∠DBC ，由三角形全等得出BD=BF,即可得出结论．④根据四边形ABCD 是正方形，BE 是∠DBC 的平分线可求出Rt △BCE ≌Rt △DCF ，再由∠EBC=22.5°即可求出结论；作EN ⊥BD 于N ，连接EF ．①∵BE 平分∠DBC ∴EC=EN ∴等腰直角△DNE ≌等腰直角△ECF ，DE=FE ∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE= 22.5°，∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°∵DH=HF ∴OH 是△DBF的中位线∴OH ∥BF ，故①正确；②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=12CF ，由GH ＜14BC ，故②错误；③由OH 是△BFD 的中位线，BE 平分∠DBC ，由三角形全等得出BD=BF,∵OD=12BD,∴OD=12BF ；④∠HCF=90°-22.5°=67.5°HFC=45°+22.5°=67.5°，∠CHF=45°故选B.【点睛】解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．12．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①ABG AFG △≌△；②BG GC =；③//AG CF ；④3FGC S =．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确； 设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确；根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积,即可求证④．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，∵CD ＝3DE ，∴DE ＝2，∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，∴AF ＝AB ，∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴①正确；∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2解得：x ＝3，∴BG＝GF＝CG＝3，∴②正确；∵CG＝GF，∴∠CFG＝∠FCG，∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，∴∠AGB＝∠FCG，∴AG∥CF，∴③正确；∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，则这两个三角形的高相同．∴35CFGCEGS FGS GE==，∵S△GCE＝12×3×4＝6，∴S△CFG＝35×6＝185，∴④不正确；正确的结论有3个，故选：C．二、填空题13．在四边形ABCD 中，90A ︒∠=，AB BC CD ==，试补充一个条件__________，使四边形ABCD 是正方形．【答案】//AB CD （答案不唯一）【解析】根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．解：补充条件：//AB CD ； 证明：∵在四边形ABCD 中，AB =CD ，//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB =BC ，∴ABCD 是菱形，∵90A ︒∠=∴菱形ABCD 是正方形，故答案为//AB CD .【点睛】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．14．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC ∠的度数是__________．【答案】45︒【解析】先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠=180150152AED DAE ︒︒︒-∴∠=∠== 45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=故答案为45︒【点睛】本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.15．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE=35°，则∠ANM 的度数是_____.【答案】55°【解析】过N 作NP BC ⊥于P ，则NP DC =，易证BEC PMN ≅，即可得MCE PNM ∠=∠，根据直角三角形内角和为180︒即可求得90ANM MCE ∠=︒-∠.过N 作NP BC ⊥于P ，则NP DC =，90MCE NMC ∠+∠=︒，90MNP NMC ∠+∠=︒，∴MCE MNP ∠=∠，在MNP △和ECB 中，MNP MCE NP CB NPM CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BEC PMN ≅，∴MCE PNM ∠=∠，∴9055ANM MCE ∠=︒-∠=︒，故答案为：55︒.【点睛】本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明BEC PMN ≅是解题的关键.16．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，AE=AD ，∠ADE=75°，则∠AEB= _________°.,【答案】30【解析】根据等腰三角形的性质求出DAE ∠，然后求出BAE ∠的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.AE AD =，75ADE ∠=︒，∴180218027530DAE DAE ∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒，∴9030120BAE BAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，AB AD =，∴AB AE =，∴()()111801*********AEB BAE ∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒. 故答案为：30.【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.17．如图，正方形ABCD 的边长为4，H 在CD 的延长线上，四边形CEFH 也为正方形，则DBF 的面积为______．【答案】8【解析】设EC=a ，利用DBF 的面积为：BEF ABD HDF ABCD HCEF S S S S S 正方形正方形+---，进而得出答案．设EC a =， 则DBF 的面积为：BEF ABD HDF ABCD HCEF S S S S S 正方形正方形+---()()2221114a a 4a 4a a 48222=+-⨯⨯+-⨯-⨯⨯-=． 故答案为8．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确表示出三角形面积，利用数形结合是解题关键．18．如图，正方形ABCD 中，AB=2，点E 为BC 边上的一个动点，连接AE ，作∠EAF=45°，交CD 边于点F ，连接EF.若设BE=x ，则△CEF 的周长为______.【答案】4【解析】先根据正方形的性质得AB AD =，90BAD B ==︒∠∠，把ADF 绕点A 顺时针旋转90︒可得到ABG △，接着利用“SAS ”证明EAG EAF ≅，得到EG EF BE DF ==+，然后利用三角形周长的定义得到CEF △的周长CE CF BE DF CB CD =+++=+，由此即可解决问题. 四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAD B ==︒∠∠，∴把ADF 绕点A 顺时针旋转90︒可得到ABG △，∴AG AF =，BG DF =，90GAF ∠=︒，90ABG B ∠=∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，45EAF ∠=︒，∴45EAG GAF EAF ∠=∠-∠=︒，∴EAG EAF ∠=∠，在EAG △和EAF 中，AE AE EAG EAF AG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EAG EAF ≅（SAS ），∴EG EF =，而EG BE BG BE DF =+=+，∴EF BE DF =+，∴CEF △的周长224CE CF BE DF CB CD =+++=+=+=.故答案为：4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.19．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF ；④S 正方形ABCD =2．其中正确的序号是_____（把你认为正确的都填上）．【答案】①②④分析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ．∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ．∵在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AB=AD ，AE=AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ）．∴BE=DF ．∵BC=DC ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ．∴CE=CF ．∴①说法正确．∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰直角三角形．∴∠CEF=45°．∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°．∴②说法正确．如图，连接AC ，交EF 于G 点，∴AC ⊥EF ，且AC 平分EF ．∵∠CAD≠∠DAF ，∴DF≠FG ．∴BE+DF≠EF ．∴③说法错误．∵EF=2，∴设正方形的边长为a ，在Rt △ADF 中，(22a a 4+=，解得a =，∴2a 2=．∴ABCD S 2=正方形∴④说法正确．综上所述，正确的序号是①②④．20．如图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形BEFG 排放在一起，O 1和O 2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为__，线段O 1O 2的长为__．【答案】14ab 如图，∵O 1和O 2分别是两个正方形的中心，正方形ABCD 的边长为a ，正方形BEFG 的边长为b ，∴BO 1=2a ，BO 2=2，∠CBO 1=∠CBO 2=45°，∴∠O1BO 2=90°，∴S 阴影=S △O1O2B =1124ab =，O 1O 2=故答案为：（1）14ab ；（2）21．四边形ABCD 、四边形AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°（45BAE ∠=︒）时，如图，连接DG ，BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH DG ⊥．若4AB =，AE =BH 的长是________．【答案】5【解析】如图（见解析），先根据正方形的性质可得1,3GN DN ==，再根据勾股定理可得DG =形全等的判定定理与性质可得BE DG ==最后利用等面积法求出5HE =，据此利用线段的和差即可得出答案．如图，连接GE 交AD 于点N ，连接DE ，∵正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒()45BAE ∠=︒，∴AF 与EG 互相垂直平分，且AF 在AD 上，∵四边形AEFG 是正方形，AE =，∴AG AE =，1AN GN ==，2EG =，45DAG ∠=︒，四边形ABCD 是正方形，4AB =，4AD AB ∴==，∴413DN AD AN =-=-=，在Rt DNG中，DG =，在ABE △和ADG 中，45AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABE ADG SAS ∴≅，∴BE DG == ∵1122DEG S EG DN DG HE =⋅=⋅，即112322⨯⨯=，∴HE =，∴55BH HE BE =+=+=，．【点睛】本题考查了正方形的旋转问题与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．22．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，先分别过此正方形的顶点B 、D 作BE l ⊥于点E 、DF l ⊥于点F ．然后再以正方形对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD ，CD 交于G ，H 两点．若EF =2ABE S ∆=，则线段GH 长度的最小值是___．【解析】根据正方形的性质可得AB AD =，90BAD ∠=︒，然后利用同角的余角相等求出BAE ADF ∠=∠，再利用“角角边”证明ABE ∆和DAF ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AF =，设AE x =，BE y =，然后列出方程组求出x 、y 的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长AB ，根据正方形的对角线平分一组对角可得45OAG ODH ∠=∠=︒，根据同角的余角相等求出AOG DOH ∠=∠，然后利用“角边角”证明AOG ∆和DOH ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得OG OH =，判断出OGH ∆是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得OH CD ⊥时GH 最短，然后求解即可．在正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒， 90BAE DAF ∴∠+∠=︒，DF l ⊥，90DAF ADF ∴∠+∠=︒，BAE ADF ∴∠=∠，在ABE ∆和DAF ∆中，90AFD BEA AB AD ⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABE DAF AAS ∴∆≅∆，BE AF ∴=，设AE x =，BE y =，2EF =2ABE S ∆=，∴122x y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消掉y并整理得，240x -+=，解得11x =，21x ，当11x =，11y ，当21x，21y ，∴由勾股定理得，AB ，在正方形ABCD 中，45OAG ODH ∠=∠=︒，OA OD =，90AOD ∠=︒，90AOG DOG ∴∠+∠=︒，OG OH ⊥，90DOH DOG ∴∠+∠=︒，AOG DOH ∴∠=∠，在AOG ∆和DOH ∆中，OA ODOAG ODH ⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOG DOH ASA ∴∆≅∆，OG OH ∴=，OGH ∴∆是等腰直角三角形，由垂线段最短可得，OH CD ⊥时OH 最短，GH 也最短，此时，GH=【点睛】考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出GH 长度最小时的情况．三、解答题23．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数．【答案】45°【解析】延长EB 使得BG=DF ，易证△ABG ≌△ADF （SAS ）可得AF=AG ，进而求证△AEG ≌△AEF 可得∠EAG=∠EAF ，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解：如图，延长EB 到点G ，使得BG DF =，连接AG ．在正方形ABCD 中，90D ABC ∠=∠=︒，AB AD =，90ABG ADF ∴∠=∠=︒．在ABG 和ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG ADF SAS ∴≌，DAF BAG ∴∠=∠，AF AG =．又EF DF BE BG BE EG =+=+=，∴在AEG △和AEF 中，AE AE GE FE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AEG AEF SSS ∴≌，EAG EAF ∴∠=∠．90DAF EAF BAE ∠+∠+∠=︒，90BAG EAF BAE ∴∠+∠+∠=︒，90EAG EAF ∴∠+∠=︒，45EAF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键． 24．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为,AD BC 边上的点，若2,4,90AG BF GEF ==∠=︒，求GF 的长．【答案】6GF =【解析】延长GE 交CB 的延长线于M ．只要证明△AEG ≌△BEM ，推出AG=CM=2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．如图，延长GE 交CB 的延长线于M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴//AD CM ，∴∠=∠AGE M ．在AEG △和BEM △中，,,,AGE M AEG MEB AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ≌AEG BEM ， ∴,2===GE EM AG BM ．又∵EF MG ⊥，∴FG FM =．∵4BF =，∴426=+=+=MF BF BM ，∴6==GF FM ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE ＝CE ．【答案】见解析【解析】先证明△ABE ≌△CBE ，再利用全等三角形的性质，可以得到AE ＝CE ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ，在△ABE 和△CBE 中，AB CB ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE＝CE．【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．26．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．当AB 与BC满足___________条件时，四边形AEOF正方形．【答案】垂直，证明见解析．【解析】由菱形的性质得出AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE∥BC，可得AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．证明：：当AB⊥BC 时，四边形AEOF正方形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE∥BC，AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB ，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF 是正方形．故答案：垂直．【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．27．如图，点P 是边长为4的正方形ABCD 对角线AC 上一点(P 不同A 、C 重合)，点E 在线段BC 上，且PE PB =.(1)若1AP =，求CE 的长；(2)求证：PE PD ⊥.【答案】(1)CE=4(2)证明见解析.【解析】 （1）过点P 作GF AB ∥，得出FC 、BF 的长度以及BF FE =，=CE BC BE BF FC BE =-+- （2）证明()PGD EFP SAS ≌，得出132390∠+∠=∠+∠=°，得出90DPE ∠=︒，从而证明PE PD⊥(1)【解】过点P 作GF AB ∥，分别交AD BC ，于点G F ，，如图所示.∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形， AGP 和PFC △都是等腰直角三角形又∵14AP AD ==，，∴2GP AG BF ===，42GD FC FP ===-又∵PB PE PF BE =⊥，.∴BF FE =，∴4242CE =-⨯=(2)【证明】由(1)得在△PGD 和EFP △中，∴90GD FP PGD EFP PG EF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()PGD EFP SAS ≌，∴12∠=∠.∴132390∠+∠=∠+∠=°，∴90DPE ∠=︒，∴PE PD ⊥.【点睛】本题考察了辅助线的应用、勾股定理的运用、全等三角形的证明以及垂直的概念，运用好辅助线是解题的关键28．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥E D，理由详见解析；（2）详见解析【解析】（1）由旋转及平移的性质可得到∠DEB+∠GFE=90°，可得出结论；（2）由旋转和平移的性质可得BE=CB，CG∥BE，从而可证明四边形CBEG是矩形，再结合CB=BE可证明四边形CBEG是正方形．（1）FG⊥E D．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG ⊥ED ；（2）根据旋转和平移可得∠GEF =90°，∠CBE =90°，CG ∥EB ，CB =BE ，∵CG ∥EB ，∴∠BCG =∠CBE =90°，∴∠BCG =90°，∴四边形BCGE 是矩形，∵CB =BE ，∴四边形CBEG 是正方形．【点睛】本题主要考查旋转和平移的性质，掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移前后，对应角、对应边都相等．29．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：ADG DCE ∆∆≌；（2）连接BF ，证明：AB FB ＝．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC ，∠DAG=∠CDE ，即可得出△ADG ≌△DCE ；（2）延长DE 交AB 的延长线于H ，根据△DCE ≌△HBE ，即可得出B 是AH 的中点，进而得到AB=FB ．证明：（1）四边形ABCD 是正方形，90ADG C AD DC ︒∴∠∠＝＝，＝，又AG DE ⊥，90DAG ADF CDE ADF ︒∴∠+∠∠+∠＝＝，DAG CDE ∴∠∠＝，ADG DCE ASA ∴∆∆≌（）（2）如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H ，E 是BC 的中点，BE CE ∴＝，又90C HBE DEC HEB ︒∠∠∠∠＝＝，＝，DCE HBE ASA ∴∆∆≌（）， BH DC AB ∴＝＝，即B 是AH 的中点，又90AFH ︒∠＝，Rt AFH ∴∆中，12BF AH AB ＝＝． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．30．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O 点E ，F 分别在AB ，BC 上（AE BE <）且90EOF ∠=︒，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN .（1）求证：OM ON =.（2）若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证△OAM ≌△OBN 即可得；（2）作OH ⊥AD ，由正方形的边长为4且E 为OM 的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2由直角三角形性质知．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OA=OB ，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON ，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则∴．【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．31．如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗．如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．解：(1)∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA，又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE∴∠MEA＝∠AFO，∴Rt△BOE≌ Rt△AOF∴OE＝OF(2)OE＝OF成立∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE又∵∠MBF＝∠OBE∴∠F＝∠E∴Rt△BOE≌Rt△AOF∴OE＝OF32．在正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将ADE 绕点A 按顺时针方向旋转。

正方形的性质与判定（典型题）第1课时正方形及其性质1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()图1A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2C．8 2D．163．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图24．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE交于点F，则∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°5.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.23a2B.14a2C.59a2D.49a26.如图5，正方形ABCD的边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，F A⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．图57．如图6，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．图68．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()图7A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋19．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()图8A.2＋6B.3＋1C.3＋2D.3＋610．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图911．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.(1)求证：EF＝FC＋AE；(2)若AB＝2，求△DEF的周长．图1012．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．图1113．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．图1214．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．参考答案1．B2．A3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．D6．6 2[解析]7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°，∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.8．A9．A10．3211．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，则BA＝BC，AE＝CM，BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，∠A＝∠BCM.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴F，C，M三点共线，∠EBM＝90°.∵∠EBF＝45°，∴∠FBM＝45°.在△BEF与△BMF中，BE＝BM，∠EBF＝∠MBF，BF＝BF，∴△BEF≌△BMF，∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE.(2)由(1)知EF＝FC＋AE，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋AE＋CF＝AD＋CD＝2AB＝4. 12．解：(1)∠EAF的大小不发生变化．理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝∠AHE＝90°.又∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE，∴∠BAE＝∠HAE.同理，Rt△HAF≌Rt△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，∴∠EAF＝12∠BAH＋12∠HAD＝12(∠BAH＋∠HAD)＝12∠BAD.又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF的大小不发生变化．(2)△ECF的周长不发生变化．理由如下：C△ECF＝EF＋EC＋FC.由(1)，得Rt△BAE≌Rt△HAE，∴EB＝HE.同理，HF＝DF.∴C△ECF＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，∴△ECF的周长不发生变化．13．2n＋114．解：(1)相等互相平行(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.第2课时正方形的判定（典型题）1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝()时，则四边形AECF是正方形．图14A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图156．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．图167．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()图17A．7 B．8 C．7 2D．7 38．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD 于点H，求证：四边形EFCH为正方形．图189．如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．图1910.矩形的四个内角平分线围成的四边形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形11．如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．图012．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？图113．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.(1)求证：△AED≌△GED；(2)求证：四边形AEGF是菱形；(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．图214．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC 的度数；如果不能，请说明理由．(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．图3参考答案1．D2．①③④3．D.4．对角线互相垂直且相等5．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEB中，∠EAF＝∠EDB，AE＝DE，∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF＝BD.∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC＝12BC，∴AD＝AF.(2)四边形ADCF是正方形．证明：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.又∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．6．证明：(1)∵AD＝CD，E是边AC的中点，∴DE⊥AC，∴DE是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠F AC＝∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠F AC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形．7．C8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°.又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，∴CF＝BO＝EF，∴四边形EFCH为正方形．9．解：(1)证明：连接CD，如图①所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形．(2)过点D作DE′⊥AC于点E′，如图②所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝12BC＝2，AB＝42，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜22(点E与点E′重合时取等号)，∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.10．A11．3212．解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.∵E是BC的中点，∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°.在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，∴四边形PHEF是矩形．(2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°，∴∠F AP＝∠HDP＝45°.又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，∴Rt△AFP≌Rt△DHP，∴PF＝PH，∴矩形PHEF是正方形．13．解：(1)证明：由旋转可知DG＝DC，∠DGH＝∠DCB＝90°. ∵AD＝CD，∴AD＝DG.又∵ED＝ED，∴Rt△AED≌Rt△GED(HL)．(2)证明：由(1)知△AED≌△GED，∴AE＝EG，∠ADE＝∠GDE＝12∠BDA＝22.5°，∴∠CDF＝67.5°，∠CFD＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD.又∵AC＝BD，CD＝DG，∴AF＝BG＝EG.由旋转知∠H＝∠DBC＝45°.又∵∠DAC＝45°，∴AF∥EG，∴四边形AEGF是平行四边形．又∵AE＝EG，∴▱AEGF是菱形．(3)由(2)知四边形AEGF是菱形，∴AF＝FG.由(2)知CF＝CD，∴BC＝CF，∴BC＋FG＝CF＋AF＝AC＝1.。

四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习09（综合练习）四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习09（综合练习）1．填空题（1）在正方形ABCD的对角线BD上截取BE?BC，连CE，P为CE上的一点，PQ?BC于Q，PR?BE于R，若AC＝a，PQ＋PR＝________；（2）已知ABCD，对角线AC、BD交于O：ABCD是________； ABCD是________；①若AB?BC，则②若AC?BD，则③若?BCD?90?，则ABCD是________；④若OA?OB，且OA?OB，则ABCD是________；⑤若AB?BC，且AC?BD，则ABCD是________；（3）在边长为a的正方形内取一点，使这一点到一边上两顶点以及到此边的对边的距离都相等，则这距离为________；CE?CF交AB的延长线于E，（4）如图4-58，设F为正方形ABCD的边AD上一点，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为________；图4-58（5）四边形ABCD的对角线AC＝BD，且AC?BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，形成四边形EFGH，则它是________．2．已知：如图4-59，在正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC 上，且DE＝DF，BM⊥EF于M．求证：ME＝MF．图4-5913．如图4-60，正方形ABCD，E是BC上的一点，延长AB至F 使BF?BE，延长AE交CF于G．求证：AG?CF．图4-604．已知：如图4-61，过正方形ABCD的顶点C作平行于对角线BD的直线MN，自B引直线交CD于E，交MN于F，且BF?BD，求证DE?DF．图4-615．已知：正方形ABCD中，延长AB到E，连E、C，过A引EC 的垂线，垂足为G，AG交BC于F，求证：AF＝CE．26．如图4-62，ABCD、BEFG都是正方形，A、B、Ｅ在一条直线上，连结A、G，且延长交CE的连线为H，求证：AH?CE．图4-627．如图4-63，在等腰直角△ABC中，AC?BC，D、E为底边AB 的三等分点，过D和E作AB的垂线，分别交AC于G、交BC于F．求证：四边形DEFG为正方形．图4-638．已知：如图4-64，△ABC为等边三角形，且AB?2，四边形DEFG为正方形，且D、G分别在AB、AC上，E、F在BC上，求正方形DEFG的面积．图4-643EF?GH． 9．如图4-65，正方形ABCD，E、F、G、H分别在AB、CD、AD、BC上，且EF?GH，求证：图4-6510．已知：如图4?66，正方形ABCD，P是BO上任意一点，DQ?AP，垂足是Q，交AC于R，求证：DP?CR．图4-6611．如图4-67，已知ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN//AB，且分别与AO、BO交于M、N．求证：BM?CN．图4-674CE?AF于E， 12．如图4-68，已知正方形ABCD中，F为CD 延长线上一点，交AD于M．求：?MFD的度数．图4-6813．已知：如图4-69，正方形ABCD中，M为DC中点，DF?AM 交AC于E，交BC于F．求证：?DMA??EMC．图4-6914．已知：如图4-70，AM为△ABC的中线，四边形ABDE、ACFG均为正方形．求证：AM?12EG．图4-705。

四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习02知识导航:知识点一 正方形的概念一组邻边 的矩形叫做正方形 知识点二 正方形的性质1.四条边 ，四个角是 。

2.对角线 ，互相垂直 ，每一条对角线 。

知识点三 正方形的判定1．两条对角线相等的 是正方形，两条对角线互相垂直的 是正方形。

2．一组邻边相等的 是正方形，有一个内角是直角的 是正方形。

知识点四：正方形的对称性例题赏析：1、如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE=AC,（1）求∠ACE 、∠CAE 的度数；（2）若AB=4cm ，你能求出△ACE 的面积吗？2、 正方形ABCD 中，35C E M N M C E =∠=，，则A N M ∠=（ ） Ａ．45Ｂ．55Ｃ．65Ｄ．753.在△ABC 中，AB=CD ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为EF. (1).试说明：DE=DF;(2).只添加一个条件使四边形EDFA 是正方形，请你写出至少两种不同的的添加方法（不另外添加辅助线，无须说明理由） 4. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，延长BC至F ，使CF CE =，连结DF BE ，与D F 相交于G ，则下面结论错误的是（ ） Ａ．B E D F = Ｂ．BG DF ⊥ Ｃ．90D FC C EB ∠+∠=Ｄ．90FD C ABG ∠+∠=5、 如图，正方形ABCD 中，对角线交点为O E ，为OB 上的一点，DG AE ⊥于G ，DG 交O A 于F ．求证：OE OF =．6.为美化环境，某单位须在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块：（1）四块图形的形状相同，（2）四块图形的面积相同.按照上述要求，分别给出四种不同的分割方法。

正方形是一个轴对称图形，有 条对称轴。

ＡＢ Ｅ ＤＯ Ｇ Ｆ2 1 CＡＤＣＭＢ ＥＡＢＣ ＤＥ Ｆ ＧAB C D E F7. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M N 、在OB 和OC 上，且MN BC ∥，连结DN MC 、．请说明：DN MC ⊥且DN MC =．8. 如图，正方形ABCD 中，45EAF ∠=，那么E F 和D F BE +是否相等？请说明理由．9、 已知正方形ABCD 中，M 是A B 的中点，E 是A B 延长线上一点，MN DM ⊥且交CBE ∠的平分线于N ．（如左图） （1）求证：DM MN =．（2）若将上述条件中的“M 是A B 的中点”“改为M 是A B 上的任意一点”其余条件不变（如右图），则结论“MD MN =”还能成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．检测：1．下列命题正确的是（ ）A ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B ．对角线相等的四边形一定是矩形C ．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D ．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2.已知：如图1，正方形ABCD 中，CM =CD ，MN ⊥AC ，连结CN ， 则∠DCN =_____=____∠B ，∠MND =_______=_______∠B.3.已知如下图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点，F 为BC 延长线上一点，CE =CF(1)求证：△BEC ≌△DFC ；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数. 拓展：1. 如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，Q 是DC 上任意一点，过点D 作D F AQ ⊥交BC 于点P ，求证：O PQ △是等腰直角三角形．BC2. 如图所示，在正方形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O M ，是的中点，E 是BC 上任意一点，EP BD ⊥于点P ，E Q A C ⊥于点Q ．请说明：Ａ Ｂ ＣＤＭ ＮＥＡＤＣ ＢＯＭ ＥＮＡ Ｂ ＥＣＦＤ Ａ ＤＣ ＰＢ ＯＡＤＣＢＭ ＥＱ Ｐ ＯM P M Q ．3. 如图，以ABC △的边A B 、AC 为边分别向外作正方形A B D E 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．4. 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角边始终经过点B ，别一边与射线DC 相交于点Q ．探究：①当点Q 在边CD 上时，线段P Q 与线段P B 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论？②当点Ｐ在线段AC 上滑动时，PC Q △是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PC Q △成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的A P 的长．如果不可能，试说明理由．FB D E。

1.3正方形的性质与判定1、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BDB. AB∥CD，AC＝BDC. AD∥BC，∠A＝∠CD. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC2、在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A. 12+122B. 12+62C. 12+2D. 24+623、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE交CD•于点F，•则∠AFC的度数是（）．（A）150°（B）125°（C）135°（D）112．5°4、已知正方形的面积为4，则正方形的边长为________，对角线长为________．5、如左下图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠AED＝______，∠AEB＝______．6、如右上图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，求∠AEB的度数.7、已知：如左下图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，•BF与AD交于点F，求证：AE＝BF．8、如图，正方形ABCD，AB＝a，M为AB的中点，ED＝3AE，（1）求ME的长；（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？9、如左下图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊的四边形，你是如何判断的？10、如右上图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．试说明AE ＝FG ．11、以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE 、CF.（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由。

（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角。

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步能力提升训练（附答案）1．如图，E为正方形ABCD的对角线上一点，四边形EFCG为矩形，若正方形ABCD的边长为4，则EG+GC的长为（）A．4B．8C．16D．322．如图是一个正方形和直角三角形的组合图形，直角三角形的斜边和一条直角边的长分别为10cm，8cm，则该正方形的面积为（）A．6cm2B．36cm2C．18cm2D．2cm23．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分4．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠DAE的度数为（）A．22.5°B．25°C．30°D．32.5°5．如图，将平行四边形ABCD的∠ABC变成直角，则平行四边形ABCD变成（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．正方形、菱形、矩形、平行四边形共同具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线相互平分C．对角线相互垂直D．对角线相互垂直平分7．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，连接AC，CF，那么AF的长是（）A．B．2C．3D．28．下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形9．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE PF的最小值为（）A．3 B．2C．2 D．110．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且DE=1，△AFE与△ADE关于AE 所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连接FG，则线段FG 的长为（）A．4 B．42C．5 D．611．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A．当AC＝BD时，它是正方形B．当AC⊥BD时，它是矩形C．当∠ABC＝90°时，它是菱形D．当AB＝BC时，它是菱形12．下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度C．对角线平分每一组对角D．四边相等且有一个角是直角13．如图，将正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（3，4），则点A的坐标为．14．菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝．15．如图，正方形ABCD的边长为12，对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接BE并延长交正方形ABCD的边于点F，若OE＝3，则CF＝．16．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，5），点C在第一象限，则点C的坐标是．17．如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，AC＝m，PE+PF＝n，则m，n满足的数量关系是．18．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．19．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．20．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：（1）△AHE≌△BEF；（2）四边形EFGH是正方形．21．如图，在四边形ABDE中，AD与BE相交于点O，OA＝OB＝OE＝OD，AB＝BD．（1）求证：四边形ABDE是正方形；（2）若∠ACB＝90°，连接OC，OC＝6，AC＝5，求BC的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥BC，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）证明：四边形DECF为正方形；（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求四边形DECF的面积．参考答案1．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴EG＝DG，∵四边形EFCG为矩形，∴EF＝GC，∴EF+EG＝GC+DG＝DC＝4，故选：A．2．解：如图所示：∵△ABE是直角三角形，AE＝8cm，BE＝10cm，∴AB＝（cm），∵四边形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面积＝AB2＝36（cm2），故选：B．3．解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形．正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件．故选：B．4．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∵BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝×（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，故选：B．6．解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、对角线相互垂直、对角线相互垂直平分不一定成立．故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故选：B．7．解：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠B＝∠E＝90°，∴AC＝＝，CF＝＝，∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CEFG的对角线，∴∠ACG＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ACF中，AF＝＝＝2．故选：D．8．解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，正确，不合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不合题意；C．对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，原说法错误，符合题意；D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意．故选：C．MN AD交AB于点M，交CD于点N，如图所示：9．解：过点P作//四边形ABCD为正方形，∴⊥，MN AB⊥时取等号），∴（当PE ABPM PE⊥时取等号），PN PF（当PF BC∴==++，MN AD PM PN PE PF正方形ABCD的面积是2，2∴AD∴+2B．PE PF10．解:如图，连接BE，∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，∴AF=AD，∠EAD=∠EAF，∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，∴AG=AE，∠GAB=∠EAD，∴∠GAB=∠EAF，∴∠GAB+∠BAF=∠EAF+∠BAF，∴∠GAF=∠EAB，∴△GAF≅△EAB（SAS），∴FG=EB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=4，∵DE=1，∴CE=3，∴在Rt△BCE中，22+，345∴FG=5故选C11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC＝BD时，它是矩形，故选项A不符合题意；当AC⊥BD时，它是菱形，故选项B不符合题意；当∠ABC＝90°时，它是矩形，故选项C不符合题意；当AB＝BC时，它是菱形，故选项D符合题意；故选：D．12．解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意；对角线平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意；四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意；故选：D．13．解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点D作DE⊥x轴于E，∵四边形OACD是正方形，∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠DOE+∠AOB＝90°，又∵∠OAB+∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠DOE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOB≌△ODE（AAS），∴AB＝OE，OB＝DE，∵点D的坐标为（3，4），点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．14．解：过点E作AB的垂线分别交AB于N、交CD延长线于M，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠MEH+∠NEF＝90°，∵∠NEF+∠EFN＝90°，∴∠MEH＝∠EFN，在△EMH与△FNE中，，∴△EMH≌△FNE（AAS），∴EM＝NF，EN＝MH，设MD＝x，在菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴MD＝DE，∴DE＝2x，EM＝＝x，∴AE＝4﹣2x，AN＝＝2﹣x，∴EN＝＝（2﹣x），∴NF＝x，HM＝（2﹣x），DH＝MH﹣MD＝2﹣x﹣x，∴AF＝2﹣x+x，∵AB＝CD，BF＝DH，∴AF＝CH＝2﹣x+x，∵DH+CH＝4，∴2﹣x+x+2﹣x﹣x＝4，解得：x＝﹣1，∴DH＝2﹣2．故答案为：2﹣2．15．解：∵正方形ABCD的边长为12，∴AC＝12，∴OA＝OC＝6，∵OE＝3，∴E点是OA或OC的中点，如图1，当E点是OA的中点时，过点E作NE⊥AB交AB于N，∴AE＝3，∴AN＝NE＝3，∵NE∥AF，∴AF＝4，∴DF＝8，∴CF＝4；如图2，当E为CO的中点时，过点E作EM⊥BC交BC于M，则EC＝3，∴EM＝MC＝3，∴BM＝9，∵EM∥FC，∴FC＝4；综上所述：FC的长为4或4．16．解：∵四边形OBCD是正方形，∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，5），∴OD＝5，∴OB＝BC＝CD＝5，∴C的坐标为（5，5）．故答案为：（5，5）．17．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD＝45°，AC⊥BD，AC＝2OA，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴△APE是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，∴PE＝AE，PF＝OE，∴OA＝AE+OE＝PE+PF，∵AC＝m，PE+PF＝n，AC＝2OA，∴m＝2n．故答案为：m＝2n．18．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形；（2）由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，∴DF＝CE，∵∠FDE＝∠BCE＝90°，∴△FDE∽△BCE，∴∠DEF＝∠CEB，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠ABE＝∠DEF．19．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．20．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，又∵AE＝BF＝DH＝CG，∴AH＝BE＝CF＝DG，∴△AHE≌△BEF（SAS）；（2）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝DG＝CF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD，∴四边形EFGH是菱形，∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，∴∠EHA+∠GHD＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．21．解：（1）∵OA＝OB＝OE＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AD＝BE，∴四边形ABDE是矩形，又∵AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形．（2）如图所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，又∵∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝5，∴OF＝AM＝CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC＝6，根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，解得：CF＝OF＝6，∴FB＝OM＝OF﹣FM＝6﹣5＝1，∴BC＝CF+BF＝6+1＝7．22．（1）证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DF∥EC，∴∠FDC＝∠ECD，∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠ECD，∴∠FDC＝∠FCD，∴DF＝CF，∴四边形DECF是正方形；（2）解：∵四边形DECF是正方形，∴DF＝FC＝CE＝DE，设DF＝FC＝CE＝DE＝x，∵DF∥BC，∴x＝，即DF＝FC＝CE＝DE＝，∴四边形DECF的面积是×＝．。

正方形的判定和性质拔高训练题正方形是一种特殊的四边形，具有以下重要的性质：四条边的长度相等，且四个内角都是直角。

判定一个四边形是否为正方形，以及进一步探索正方形的性质，是数学研究的重点之一。

在判定一个四边形是否为正方形时，我们可以根据以下条件进行判断：1. 边长判定：四条边的长度相等是正方形的必要条件。

我们可以测量每条边的长度，并进行比较，如果它们相等，则该四边形可能是正方形。

2. 角度判定：正方形的四个内角都是直角，即90度。

我们可以使用角度测量工具测量每个内角的度数，并进行比较。

如果每个内角都是90度，则该四边形可能是正方形。

需要注意的是，判定一个四边形是否为正方形只是初步的判断。

为了确保判定的准确性，我们可以采用以下方法来进一步验证：1. 对角线长度比较：正方形的对角线相等且垂直平分对方，即对角线互相垂直且长度相等。

我们可以测量对角线的长度，并进行比较，如果它们相等，则该四边形可能是正方形。

2. 边垂直性判定：正方形的边互相垂直。

我们可以使用角度测量工具测量相邻两边的夹角，并进行比较。

如果相邻两边的夹角都是90度，则该四边形可能是正方形。

在进一步验证判定的基础上，我们可以探索正方形的其他性质：1. 面积计算：正方形的面积计算公式为边长的平方。

如果我们已知一个正方形的边长，就可以通过计算边长的平方得到正方形的面积。

2. 周长计算：正方形的周长计算公式为边长乘以4。

如果我们已知一个正方形的边长，就可以通过计算边长乘以4得到正方形的周长。

正方形的判定和性质是学习几何学中的基础内容。

通过练习判定和探索正方形的性质，我们可以加深对几何学的理解和运用能力。

第一章特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定同步训练题1. 正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC 为( )A．45° B．55° C．60° D．75°3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等4. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图①，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图②，AC＝( )A. 2 B．2 C. 6 D．2 25. 如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( )A．7 B．8 C．7 2 D．7 36. 若正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 cm2.7. 如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长是_____.8. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于_______.9. 如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为 cm.10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 .11. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN、EC.求证：FN＝EC.12. 如图，并排摆放两个正方形ABCD和FEBG，其中正方形FEBG的边长为3cm，则图中阴影部分的面积是多少？.13. 如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．14. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF.求证：CE＝DF.15. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？16. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)证明：∠BAE＝∠FEC；(2)证明：△AGE≌△ECF；(3)求△AEF的面积．参考答案：1---5 DCAAC6. 27. 58. 259. 1310. 611. 解：∵四边形ABEF、BCMN为正方形，∴AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEB＝∠EBC ＝90°，∵AB＝2BC，∴BE＝2BN，∴EN＝NB＝BC，∴在△FEN和△EBC中⎩⎪⎨⎪⎧ EF ＝BE ∠FEB ＝∠EBCEN ＝BC ，∴△FEN ≌△EBC(SAS)，∴FN ＝EC.12. 解：设正方形ABCD 的边长为a ，则S 阴影部分＝S △EBG ＋S 梯形GBCD －S △ECD ＝12×3×3＋12(3＋a)a －12(3＋a)a ＝92(cm 2)． 13. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∵BE ⊥BF ，∴∠FBE ＝90°，∵∠ABE ＋∠EBC ＝90°，∠CBF ＋∠EBC ＝90°，∴∠ABE ＝∠CBF ，∵BE ＝BF ，∴△AEB ≌△CFB(SAS)，∴AE ＝CF ；(2) 80°14. 证明：∵ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ，∠EBC ＝∠FCD ＝90°， 又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴BE ＝CF ，在△CEB 和△DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ BC ＝CD ∠B ＝∠DCFBE ＝CF ，∴△CEB ≌△DFC ，∴CE ＝DF.15. 证明：(1) 在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE ＝CF ；(2) GE ＝BE ＋GD 成立．理由是：∵由(1)得△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF ，∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.16. 证明：(1)∵∠AEF ＝90°，∴∠FEC ＋∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，∠AEB ＋∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠FEC ；(2)∵G 、E 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，∴AG ＝GB ＝BE ＝EC ，且∠AGE ＝180°－45°＝135°.又∵CF 是∠DCH 的平分线，∴∠ECF ＝90°＋45°＝135°.在△AGE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AG ＝EC ∠AGE ＝∠ECF ＝135°∠GAE ＝∠FEC ，∴△AGE ≌△ECF ；(3)由△AGE ≌△ECF ，得AE ＝EF.又∵∠AEF ＝90°，∴△AEF 是等腰直角三角形．由AB ＝a ，BE ＝12a ，知AE ＝52a ，∴S △AEF ＝12·AE·EF＝12·52a·52a ＝58a 2.。