八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案(含答案)

华师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形与正方形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值﹣1．其中正确的说法有（）个．A.4B.3C.2D.12、顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所构成的四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.不确定3、已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形4、平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD一定是（）.A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形5、如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm6、如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A.7B.8C.9D.107、下列性质中，矩形不一定具有的是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.4个内角相等D.一条对角线平分一组对角8、学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是（）A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丙、丁9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：(1)平行四边形，(2)矩形，(3)菱形，(4)正方形，(5)等腰三角形，(6)等边三角形，一定可以拼成的图形是( )A.(1)(4)(5)B.(2)(5)(6)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(5).10、如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形11、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE 折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）A.1或2B.2或3C.3或4D.4或512、如图，是△EBD以正方形ABCD的对角线BD为边的正三角形，EF⊥DF，垂足为F，则∠AEF的度数是（）A.15°B.30°C.45°D.60°13、平面内有一个角是60°的菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A.90°B.180°C.270°D.360°14、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A.1.2B.1.3C.1.4D.2.415、下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A.对角线互相平分的四边形B.对角线相等且平分的四边形C.对角线相等的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形二、填空题(共10题，共计30分)16、已知矩形的面积是，其中一边长为，则对角线长为________．17、如图，矩形中，，，是边上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处，则的长为________．18、如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为________．19、如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于________度20、已知菱形的边长为4,∠A=60°，则菱形的面积为________．21、如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为________ ．22、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为________．（填一般式）23、如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为________24、如图，在中，，点的坐标为，点在轴上，轴.将沿翻折得到，直线过点，则四边形的面积为________.25、如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B 在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，点M、N在▱ABCD的对角线AC上，且AM=CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．27、如图，科博会上某公司展示了研发的绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底座AE⊥直线EL且AE＝25 cm，手臂AB＝BC ＝60 cm，末端操作器CD＝35 cm，AF∥直线EL.当机器人运作时，∠BAF＝45°，∠ABC＝75°，∠BCD＝60°，求末端操作器节点D到地面直线EL的距离．(结果保留根号)28、如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．29、如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）30、在矩形中，已知，在边上取点，使，连结，过点作，与边或其延长线交于点．猜想：如图①，当点在边上时，写出线段与的大小关系。

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形2．如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（）A．1B．C．2D．23．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75°B．60°C．55°D．45°4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F 为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14B．16C．18D．125．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（）A．2B．3C．D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B （2，b），则正方形ABCD的面积是（）A．34B．25C．20D．167．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．38．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分35分）9．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为．10．已知：如图，正方形ABCD和EFGH的边长都等于1，点E恰好是AC、BD的交点，则两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积是．11．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝．12．如图，点O是正方形ABCD的中心，过点O的直线与AD、BC交于点M、点N，DE ⊥MN，交AB于点E，若AM＝1，DM＝3，则DE的长为．13．如图，E，F，M，N分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM ＝DN．那么四边形EFMN的面积的最小值是．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为；连接CP，线段CP的最小值为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如果E、F分别是AD、BC的中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG 的长为；（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的是．①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．三．解答题（共5小题，满分45分）16．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．18．在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．（1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ；（2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．19．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．20．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；∵▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．2．解：连接AC，∵正方形ABCD的面积为4，∴AC2＝4，解得AC＝，∵菱形AECF的面积为2，∴AC•EF＝2，即×EF＝2，解得EF＝，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．4．解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F为DE的中点，∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED＝，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故选：B．5．解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，则有△BCF≌△BAE（ASA），则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，∴BE＝＝．故选：C．6．解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴OA＝BM，AM＝OD，∵A（﹣2，0），B（2，b），∴OA＝2，OM＝2，∴OD＝AM＝4，∴AD＝＝＝2，∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，故选：C．7．解：如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1，∵四边形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴点B，点B'，点D三点共线，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故选：A．8．解：作PH⊥AB于H，∴∠PHB＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB＝∠PEC＝∠PFC＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠C＝90°，∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE＝BE，DF＝PF，∴四边形BEPH为正方形，∴BH＝BE＝PE＝HP，∴AH＝CE，∴△AHP≌△FPE，∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确，在Rt△PDF中，由勾股定理，得PD＝PF，∴PD＝CE．故③正确．∵点P在BD上，∴当AP＝AD、P A＝PD或DA＝DP时△APD是等腰三角形．∴△APD是等腰三角形只有三种情况．故④错误，∴正确的个数有3个．故选：C．二．填空题（共7小题，满分35分）9．解：∵正方形ABCD的面积为10，∴AD2＝10，∴DH＝＝＝1，∵△AHD≌△DGC，∴AH＝DG＝3，∴HG＝DG﹣DH＝2，∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，故答案为：4．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴EC＝ED，∠DEC＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠FEH＝90°，∴∠OEC＝∠MED，在△OEC和△MED中，，∴△OEC≌△MED（ASA）∴两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积＝△DEC的面积＝×正方形ABCD的面积＝0.25，故答案为：0.25．11．解：连接BD、BF，∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，∴∠DBF＝90°，由勾股定理得：DF＝＝5，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝．故答案为：．12．解：如图，连接AC，过点A作AF∥MN，交BC于F，∵AM＝1，DM＝3，∴AD＝4，∵点O是正方形ABCD的中心，∴AO＝CO，AB＝AD＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，又∵∠AOM＝∠CON，AO＝CO，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AM＝CN＝1，∵AD∥BC，AF∥MN，∴四边形AMNF是平行四边形，∴AM＝FN＝1，∴BF＝2，∵DE⊥MN，AF∥MN，∴DE⊥AF，∴∠AED+∠EAF＝90°，又∵∠EAF+∠AFB＝90°，∴∠AED＝∠AFB，又∵∠EAD＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AE＝BF＝2，∴DE＝＝＝2，故答案为2．13．解：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形．∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形，∴EN最小时，正方形EFMN的面积最小，设AE＝DN＝x，则EN＝＝，∴x＝2时，EN的值最小，最小值＝，∴正方形EFMN的面积＝（）2＝8．14．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．15．解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝CF＝BF＝DE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝6，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO＝3，AO＝CO＝5，当点G在点O上方时，∵∠EGF＝90°，EO＝FO，∴GO＝EO＝3，∴AG＝AO﹣GO＝5﹣3＝2，当点G'在点O下方时，∵∠EG'F＝90°，EO＝FO，∴G'O＝EO＝3，∴AG'＝AO+G'O＝5+3＝8，综上所述：AG＝2或8；（2）①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，故答案为①②③④．三．解答题（共5小题，满分45分）16．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD；（2）判断∠PED＝45°．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB，∵∠PEB+∠PEC＝180°，∴∠PDC+∠PEC＝180°，在四边形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，又∵PE＝PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED＝45°．17．解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，则△BEC与△BGM中，，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，即∠ABE＝∠ABG＝45°，在△ABE与△ABG中，，∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AG＝AE＝10，设CE＝x，则AM＝10﹣x，AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24＝0；解得：x1＝4，x2＝6．故CE的长为4或6．18．解：（1）根据题意，作图如下：证明：在AB上截取BM＝BF，如下图，∵∠CFQ+∠AFB＝90°，∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠CFQ，∵BF＝BM，∴CF＝AM，又∵∠AMF＝180°﹣45°＝135°，∠FCQ＝90°+45°＝135°，∴∠AMF＝∠FCQ，在△AMF和△FCQ中，，∴△AMF≌△FCQ（ASA），∴AF＝FQ；（2）当BF＝时，四边形FCQN为平行四边形，证明：如图，在AB上截取BM＝BF，连接MF，∵BF＝，BC＝1，∴FC＝，由（1）可得△BMF为等腰三角形，且△AMF≌△FCQ，∴CQ＝MF＝，∵NQ∥BC，∴∠FCQ+∠NQC＝180°，∵∠FCQ＝135°，∴∠NQC＝45°，∵∠NCQ＝90°，∴∠NQC＝45°＝∠NQC，∴，，∴NQ＝FC且NQ∥FC，∴四边形FCQN为平行四边形．19．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，∴四边形MANP是正方形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．20．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．。

18.2.3正方形同步测试一．选择题1．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（）A．∠DAB＝90°且AD＝BC B．AB＝BC且AC＝BDC．∠DAB＝90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO＝BO＝CO＝DO2．已知正方形ABCD中，对角线AC＝4，这个正方形的面积是（）A．8B．16C．8D．163．如图，G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD＝5，则FG为（）A．3B．3.2C．4D．4.84．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（）个等腰直角三角形．A．2B．4C．8D．165．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP 的度数为（）A．15°B．22.5°C．25°D．17.5°6．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝35°，AF交BD于点E，则∠BEC的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°7．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB 的度数等于（）A．60°B．65°C．75°D．80°8．如图，正方形ABCD的边长为12，E，F分别为BC，AD边上的点，且BE＝DF＝5，M，N 分别为AB，CD边上的点，且MN⊥AE交AE，CF于点G，H，则GH的长为（）A．6B．C．D．9．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（）A．2B．4C．D．210．如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（）A．8B．4C．D．二．填空题11．在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥DC于点E，若OE＝2cm，则正方形ABCD 的面积为cm2．12．已知正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，则DO＝cm，BO＝cm，∠OCD＝度．13．如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点．若BE＝10，则CE＝．14．如图，P是正方形ABCD内任意一点，△APD与△BPC的面积之和为8cm2，则AB＝cm．15．如图，P为边长为1的正方形ABCD内的一点，△P AB为等边三角形，则S△ADP+S△BPC ＝．三．解答题16．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，试说明BE＝CF+AE．17．如图，在正方形ABCD中，H是DC边上一点，E是CB延长线上的一点，且DH＝BE，请判断△AEH的形状，并说明你的理由．18．如图所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．参考答案一．选择题1．解：A，不能判定它是正方形；B，不能判定它是正方形；C，不能判定它是正方形；D，能，因为对角线相等且互相垂直平分；故选：D．2．解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，2AB2＝42，AB2＝8．故选：A．3．解：∵G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，∴∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG，AD＝CD＝4，∴∠EDA＝∠CDG，∴△EDA∽△CDG，∴，即，解得，ED＝3.2，∴FG＝3.2，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OD＝OC＝OB，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABC，△BCD，△ADC，△DAB是等腰直角三角形，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，∵BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：B．6．解：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDF（SAS）．∴∠DCE＝∠DAF＝35°，∴∠BEC＝∠CDE+∠DCE＝45°+35°＝80°．故选：D．7．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAE＝15°，∴∠AEB＝90°﹣15°＝75°．故选：C．8．解：∵正方形ABCD的边长为12，∴AB＝CD＝AD＝BC＝12，AD∥EC，∵BE＝DF＝5，∴AF＝CE＝7，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AB＝12，BE＝5，∴AE＝＝＝13，∵S平行四边形AFCE＝AF×AB＝AE×GH，∴7×12＝13×GH，∴GH＝，故选：C．9．解：如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF＝OE＝λ，∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2，∴2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2．故选：D．10．解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAG＝∠FCH，∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AC＝4AG＝4CH，∴AG＝OG＝OH＝CH，∴△EAG≌△FCH（SAS），∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，∴∠EGH＝∠FHG，∴EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GH与EF互相平分，∴EF经过点O，∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，又∵AG＝OG，∴S△EOG＝S△AEO＝1，∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4．故选：B．二．填空题11．解：AC、BD为正方形ABCD的对角线，所以AC、BD相等且互相垂直平分，∵OE＝2cm，且O为AC的中点，OE⊥CD，AD⊥DC∴E为CD的中点，∴＝＝，即AD＝4cm，∴正方形ABCD的面积为42cm2＝16cm2，故答案为16．12．解：∵正方形ABCD，AC＝16cm∴DO＝AC＝8＝BO∠OCD＝45°．故答案为8，8，45．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝AD＝8，∴AE＝＝＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2，∴CE＝＝＝2；故答案为：2．14．解：如图，过点P作EF∥AB，MN∥BC，则正方形ABCD被分成四个小矩形，所以，S△APE＝S△APM，S△BPM＝S△BPF，S△CPF＝S△CPN，S△DPE＝S△DPN，∴S△APD+S△BPC＝S正方形ABCD，∵△APD与△BPC的面积之和为8cm2，∴正方形ABCD的面积为16cm2，∴AB＝4cm．故答案为：4．15．解：设△ADP的高为h1，△BPC的高为h2，根据题意列方程得：S△ADP+S△BPC＝AD×h1+BC×h2＝BC（h1+h2）＝×1×1＝．故答案为．三．解答题16．解：延长DA至点G使AG＝CF，连接BG，在△ABG和△CBF中，∵，∴△ABG≌△CBF，∴∠BFC＝∠BGA，∠CBF＝∠ABG，∵BF平分∠CBE交CD于F，∴∠CBF＝∠EBF，∴∠ABG＝∠EBF，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC，∴∠EBG＝∠BFC，∴∠EBG＝∠BGA，∴BE＝GE，∴BE＝CF+AE．17．解：△AEH为等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABE＝90°∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，，∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE．∴∠HAE＝∠DAB＝90°则△AEH为等腰直角三角形．18．证明：∵四边形ABCD是正方形，DE＝AD，∴DE∥BC，DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形，∴∠1＝∠4．又∵BD＝FD，∴∠1＝∠2＝∠3＝×45°，∠3＝∠4＝×45°，∴BC＝GC＝CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG＝45°，∴∠CDG＝（180°﹣45°）＝，又∵∠GHD＝90°﹣∠3＝90°﹣＝，∴∠HDG＝∠GHD，从而GH＝GD，即△GHD是等腰三角形．。

苏科版数学八年级下册9.4矩形菱形正方形大题综合练习1.如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.（1）证明△BCM≌△CAN；（2）∠AEM=________°；（3）求证DE平分∠AEC；（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.【答案】（1）证明：如图1中，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠ADC=60°，∴△ACD，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，在△BCM和△CAN中，{BC=AC∠B=∠ACNBM=CN，∴△BCM≌△CAN（2）60（3）证明：如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．∵∠AEM=60°，∴∠AEC=120°，∵∠DGE=∠H=90°，∴∠GEH+∠GDH=180°，∴∠GDH=∠ADC=60°，∴∠ADG=∠CDH ，在△DGA 和△DHC 中，{∠DGA =∠H =90∘∠ADG =∠CDH DA =DC，∴△DGA ≌△DHC ，∴DG=DH ，∵DG ⊥AN ，DH ⊥MC ，∴∠DEG=∠DEH ．∴DE 平分∠AEC ．（4）证明：结论：EA+EC=ED ．理由如下：如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，在Rt △DEG 中，∵∠EDG=30°，∴DE=2EG ，易知△DEG ≌△DEH ，∴EG=EH ，∴EA+EC=EG+AG+EH-CH ，∵△DGA ≌△DHC ，∴GA=CH ，∴EA+EC=2EG=DE ，∴EA+EC=ED.【解析】【解答】解：（2）如图1中，∵△BCM ≌△CAN ，∴∠BCM=∠CAN ，∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．故答案为60．【分析】(1)连接AC，因为∠ADC=60°，利用菱形四边相等的性质，可知△ADC为等边三角形，所以AC=BC ,又因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠ACN=60°=∠B，因为BM=CN，所以△BCM≌△CAN；（2）因为∠AEM=∠CEN，对顶角相等，由全等可知∠AEM=∠CEN=∠B=60°；（3）过点D做AE、CM两边的垂线，利用角角边可得到△DHC≌△DGA，可得DH=DG，再用角平分线的性质，到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；（4）由全等可知EA+EC=2EG，又因为在Rt△中30°的角所对的边等于斜边的一半，所以EA +EC=DE.2.综合：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②求四边形AFF'D的两条对角线的长．【答案】（1）C（2）解：如图2中，①证明：∵AD=5，S□ABCD=15，∴AE=3．又∵在图2中，EF=4，∴在Rt△AEF中，AF═5．∴AF=AD=5，又∵AF∥DF'，AF=DF，∴四边形AFF'D是平行四边形．∴四边形AFF'D是菱形．②解：连接AF'，DF，在Rt△DE'F中，∵E'F=E'E﹣EF=5﹣4=1，DE'=3，∴DF═√E′D2+E′F2= √10．在Rt△AEF'中，∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9，AE=3，∴AF'═√AE2+EF′2= √32+92=3 √10【解析】【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵BE=CE′，∴AD∥EE′，AD=EE′，∴四边形AEE′D是平行四边形，∵∠AEE′=90°，∴四边形AEE′D是矩形，故选C．【分析】（1）根据矩形的判定方法即可判定；（2）①通过计算证明AF=AD=5，证明四边形AFF′D是平行四边形即可；②连接AF'，DF，分别利用勾股定理计算即可；3.如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF 的面积为S1，△PDE的面积为S2．（1）求证：BP⊥DE．（2）求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（3）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S1﹣S2的值．【答案】（1）解：如图1中，延长BP交DE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，∵CP=CE，∴△BCP≌△DCE，∴∠BCP=∠CDE，∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，∴∠CDE+∠DPM=90°，∴∠DMP=90°，∴BP⊥DE．（2）解：由题意S1﹣S2= 12（4+x）•x﹣12•（4﹣x）•x=x2（0＜x＜4）．（3）解：①如图2中，当∠PBF=30°时，∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，∴∠PFD=∠DPF=45°，∴DF=DP，∵AD=CD，∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，∴△BAF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP=30°，∴x=PC=BC•tan30°= 4√3，3∴S1﹣S2=x2= 16．3②如图3中，当∠PBF=45°时，在CB上截取CN=CP，理解PN．由①可知△ABF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP，∵∠PBF=45°，∴∠CBP=22.5°，∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，∴∠NBP=∠NPB=22.5°，∴BN=PN= √2x，∴√2x+x=4，∴x=4 √2﹣4，∴S1﹣S2=（4 √2﹣4）2=48﹣32 √2．【解析】【分析】（1）首先延长BP交DE于M．然后依据SAS可证明△BCP≌△DCE，依据全等三角形的性质可得到∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°；（2）根据题意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE，然后依据三角形的面积公式列出函数关系式即可；（3）分当∠PBF=30°和∠PBF=45°两种情形分别求出PC 的长，最后再利用（2）中结论进行计算即可.4.如图，在矩形ABCD 中，BC ＞AB ，∠BAD 的平分线AF 与BD ，BC 分别交于点E ，F ，点O 是BD 的中点，直线OK ∥AF ，交AD 于点K ，交BC 于点G ．（1）求证：△DOK ≌△BOG ；（2）探究线段AB 、AK 、BG 三者之间的关系，并证明你的结论；（3）若KD=KG ，BC=2 √2 ﹣1，求KD 的长度．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠KDO=∠GBO ，∠DKO=BGO ．∵点O 是BD 的中点；∴DO=BO ．在△DOK 和△BOG 中， {∠KDO =∠GBO∠DKO =∠BGO DO =BO∴△DOK ≌△BOG （AAS ）．（2）解：AB+AK=BG ；证明如下：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=90°，AD ∥BC ．又∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠BFA=45°．∴AB=BF ．∵OK ∥AF ，AK ∥FG ，∴四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ．∵BG=BF+FG ；∴BG=AB+AK ．（3）解：∵四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ，AF=KG又∵△DOK ≌△BOG ，且KD=KG ，∴AF=KG=KD=BG ．设AB=a ，则AF=KG=KD=BG= √2 a ．∴AK=2 √2 ﹣1﹣ √2 a ，FG=BG ﹣BF= √2 a ﹣a ．∴2 √2﹣1﹣√2a= √2a﹣a．解得a=1．∴KD= √2a= √2．【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，得到∠KDO=∠GBO，∠DKO=BGO，DO=BO，得到△DOK≌△BOG（AAS）；（2）四边形ABCD是矩形，得到∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，又AF平分∠BAD，得到∠BAF=∠BFA=45°，AB=BF，由OK∥AF，AK∥FG，得到四边形AFGK 是平行四边形，得到AK=FG，BG=BF+FG，即BG=AB+AK；（3）四边形AFGK是平行四边形，得到AK=FG，AF=KG，又△DOK≌△BOG，且KD=KG，得到AF=KG=KD=BG，设AB=a，则AF=KG=KD=BG=√2a，得到AK=2√2﹣1-√2a，FG=BG﹣BF=√2a﹣a，解得a=1，得到KD=√2a=√2．5.综合题（1）感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．易知BE=DG．（2）探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（3）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为________ ．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，{CB=CD∠BCE=∠DCGCE=CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG．（2）∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，∵∠A=∠F，∴∠BCD=∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，∴△BCE≌△DCG．，∴BE=DG．（3）20【解析】【解答】解：应用：∵四边形ABCD是菱形，S△EBC=8，∴S△AEB+S△EDC=8，∵AE=3DE，∴S△AEB=3S△EDC，∴S△EDC=6，S△EDC=2，∵△BCE≌△DCG，∴S△DGC=S△EBC=8，∴S△ECG=8+2=10，∴菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20，故答案为20．【分析】感知：根据正方形的性质，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，得到∠BCE=∠DCG，得到△BCE≌△DCG，BE=DG；探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，由∠A=∠F，得到∠BCE=∠DCG，△BCE≌△DCG，BE=DG；应用：由四边形ABCD是菱形，△EBC的面积为8，AE=3DE，得到S△AEB=3S△EDC，得到S△EDC=6，S△EDC=2，由△BCE≌△DCG，得到S△DGC=S△EBC=8，S△ECG=8+2=10，所以菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20.6.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE．点M是线段DE 数y=23上的一个动点．（1）求b的值；（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．【答案】（1）解：y=23x+b中，令x=0，解得y=b，则D的坐标是（0，b），OD=b，∵OD=BE，∴BE=b，则E的坐标是（3，4﹣b），把E的坐标代入y=23x+b得4﹣b=﹣2+b，解得：b=3（2）解：S四边形OAED= 12（OD+AE）•OA= 12×（3+1）×3=6，∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，∴S△ODM=1.5．设M的横坐标是a，则12×3a=1.5，解得：a=1，把x=a=1代入y=﹣23x+3得y=﹣23× 43+3= 73．则M的坐标是（1，73）（3）解：当四边形OMDN是菱形时，如图（1），M的纵坐标是32，把y= 32代入y=﹣23x+3，得﹣23x+3= 32，解得：x= 94，则M的坐标是（94，32），则N的坐标是（﹣94，32）；当四边形OMND是菱形时，如图（2）OM=OD=3，设M的横坐标是m，则纵坐标是﹣23m+3，则m2+（﹣23m+3）2=9，解得：m= 3613或0（舍去）．则M的坐标是（3613，1513）．则DM的中点是（1813，2713）．则N的坐标是（3613，5413）．故N的坐标是（﹣94，32）或（3613，5413）．【解析】【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN 是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．7.如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）若DG=6，求AE的长；（2）若DG=2，求证：四边形EFGH是正方形．【答案】（1）解：∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE= =4（2）证明：∵AH=2，DG=2，∴AH=DG，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△DHG和Rt△AEH中，，∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因为∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一个角为90°，进而判定该菱形为正方形．8.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD 于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM=________，AP=________．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC等于．【答案】（1）8﹣2t；2+t（2）解：∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2（3）解：①存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形．理由如下：∵NP⊥AD，QP=PK，∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，②要使四边形AQMK为正方形．∵∠ADC=90°，∴∠CAD=45°．∴四边形AQMK为正方形，则CD=AD，∵AD=8，∴CD=8，∴AC=8 √2．【解析】【解答】解：（1）如图1．∵DM=2t，∴AM=AD﹣DM=8﹣2t．∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于点P，∴四边形CNPD为矩形，∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；故答案为：8﹣2t，2+t．【分析】（1）由DM=2t，根据AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=6﹣t，则AP=AD﹣DP=2+t；（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得6﹣t=8﹣（6﹣t），解方程即可；（3）①由NP⊥AD，QP=PK，可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），求解即可，②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．9.已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，①直线AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．②▱OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．③四边形AECG是否可以形成菱形？如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．（2）在点A 、C 移动的过程中，若点B 不在x 轴上，且当▱OABC 为正方形时，直接写出点C 的坐标．【答案】（1）解：①是，经过定点（3，0）．理由如下：如图1中，连接AC 交OB 于K ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴OK=KB ，BC ∥OA ，BC=OA ，∴∠CBF=∠AOD ，在△DOA 和△FBC 中，{∠ODA =∠CFB =90°∠AOD =∠CBF OA =BC，∴△DOA ≌△FBC ，∴OD=FB=2，∴OB=6，∵OK=KB ，∴OK=3，∴K （3，0），∴直线AC 经过定点K （3，0）．②可以．利用如下：当∠OCB=90°时，四边形OABC 是矩形，由（1）可知△DOA ≌△FBC ，∴OD=BF=2，∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，∴∠OCF=∠CBF，∵∠CFO=∠CFB，∴△CFO∽△BFC，∴CFBF = OFCF，∴CF2= 4CF，∴CF=2 √2，∴S矩形OABC=2•S△OBC=2× 12× 6×2√2=12 √2．③可以．理由如下：如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，∴AD=CF，∵DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，∵OE2=OD2+DE2，∴9x2=x2+4，∴x= √22，∴AE= 3√22，∴S菱形AECG=AE•DF= 3√22×2=3 √2（2）解：如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，∴OD=CF=2，∴点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．综上所述，点C坐标为（4，2）或（4，﹣2）【解析】【分析】（1）①是，经过定点（3，0）．如图1中，连接AC交OB于K，只要证明OD=FB=2，推出OB=6，即可解决问题．②当∠OCB=90°时，四边形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得CFBF = OFCF，由此即可解决问题．③可以．如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，根据OE2=OD2+DE2，列出方程即可解决问题．（2）如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．10.如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6）、E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH为正方形（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标（3）如图2，点Q为对角线BO上一动点，D为边OA上一点，DQ⊥CQ，点Q从点B出发，沿BO方向移动．若移动的路径长为3，直接写出CD的中点M移动的路径长为________．【答案】（1）证明：如图1中，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴OE=AH=2，∵四边形ABCO是正方形，∴∠HAE=∠EOF=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴EH=EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，{AH=EOHE=EF，∴Rt△AHE≌△Rt△OEF，∴∠AEH=∠EFO，∵∠EFO+∠FEO=90°，∴∠AEH+∠FEO=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形（2）解：如图1中，连接GE、FH交于点K．∵F（﹣5，0），E（0，2），∴OF=5，OE=2，EA=4，∵HE=EF，∴52+22=42+AH2，∴AH= √13，∴H（﹣√13，6），∵四边形EFGH是菱形，∴HK=KF，KE=KG，设G（m，n），则有m+02= −5−√132，n+22= 6+02，∴m=﹣5﹣√13，n=4，∴G（﹣5﹣√13，4）（3）3√22【解析】【解答】（3）解：如图2中，如图2中，作MN⊥CO于M．∵MN∥OD，CM=MD，∴CN=ON，∴MN垂直平分线段CO，∴点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），∵QC=QD，∠CEQ=∠QFD，易证∠ECQ=∠FQD，∴△EQC≌△FDQ，∴EQ=DF=BE= 3√22，CE=OF=6﹣3√22，∴DO=6﹣3 √2，∵CM=DM，∠CMH=∠OMD，∠CHM=∠DOM，∴△HMC≌△OMD，∴OM=HM，CH=OD=6﹣3 √2，BH=3 √2，∵ON=NB，∴MN= 12BH= 3√22，∴点M的运动的路径的长为3√22．故答案为3√2．2【分析】（1）只要证明Rt△AHE≌△Rt△OEF，推出∠AEH=∠EFO，由∠EFO+∠FEO=90°，推出∠AEH+∠FEO=90°，推出∠HEF=90°，即可解决问题．（2）如图1中，连接GE、FH交于点K．首先求出点H的坐标，设G（m，n），根据中点坐标公式，列出方程组即可解决问题．（3）如图2中，作MN⊥CO于M．由MN∥OD，CM=MD，推出CN=ON，推出MN 垂直平分线段CO，推出点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B 重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），想办法求出BH 的长，即可利用三角形的中位线定理解决问题．11.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D 是BC的中点.（1）求证:△PDQ是等腰直角三角形.（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.【答案】（1）证明：连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,∵∠BDP+∠ADP=90°,∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,∴△PDQ为等腰直角三角形（2）解：当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:由(1)知△ABD为等腰直角三角形,当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,∴四边形APDQ为矩形,AB,∴四边形APDQ为正方形又∵DP=AP= 12【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．12.如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．【答案】（1）解：在等边三角形ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.在等边三角形ABC中，CF＝AD.在等边三角形ADE中，AD＝EA.∴CF＝EA.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.13.如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【答案】（1）解：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE=AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF．同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形（2）解：∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形（3）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在【解析】【分析】可先证明△DBE≌△ABC ，又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；若四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，A，D，E，F为顶点的四边形就不存在.14.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）证明：如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．【答案】（1）证明：如图2中，∵AM=ME．AD=DB，∴DM∥BE，∴∠GDN+∠DNE=180°，∵∠GDN=∠AEB，∴∠AEB+∠DNE=180°，∴AE∥DN，∴四边形DMEN是平行四边形，∵DM== BE，EM== AE，AE=BE，∴DM=EM，∴四边形DMEN是菱形（2）证明：如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．由（1）可知四边形EMDF是菱形，∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，∴∠GDN=∠AEB，∴∠MDF=∠GDN，∴∠MDG=∠FDN，∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME，∠GMD=∠EMD+∠CME，、在Rt△ACE中，∵AM=ME，∴CM=ME，∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，∴∠DMG=∠DFN，∴△DMG≌△DFN，∴DG=DN【解析】【分析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME=MD 即可证明．（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可．15.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，分别延长OB，OD到点E，F，使BE=DF，顺次连接A、E、C、F各点．（1）求证：∠FAD=∠EAB．（2）若∠ADC=130°，要使四边形AECF是正方形，求∠FAD的度数．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AD=AB，∠ADB=∠ABD，∴∠ADF=∠ABE，在△FAD与△EAB中，∴△FAD≌△EAB（SAS），∴∠FAD=∠EAB；（2）解：∵四边形AECF对角线互相垂直平分，∴只要∠EAF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵∠ADC=130°，∴∠DAB=180°﹣130°=50°∴∠FAD+∠EAB=40°，∵∠FAD=∠EAB，∴∠FAD= ×40°=20°【解析】【分析】（1）由题意易证∠ADF=∠ABE，又因为DF=EB，AD=AB，于是可△FAD≌△EAB，；（2）由已知可得四边形AECF对角线互相垂直平分，只要∠EAF=90°即得四边形AECF是正方形，由∠FAD=∠EAB，再证得∠DAB=50°，可得∠FAD+∠EAB=40°，于是∠FAD= 1×40°=20°．216.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________，②BC，DC，CF之间的数量关系为：________；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请直接写出GE的长．【答案】（1）垂直；BC=CF+CD（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，{AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC ．（3）解：过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，如图3所示：∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，∴CD= 14 BC= √22 ，CH= 12 BC= √2 ，∴DH= 3√22 ，由（2）证得BC ⊥CF ，CF=BD= 5√22 ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=DE ，∠ADE=90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE=CM ，EM=CN ，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM ，在△ADH 与△DEM 中， {∠ADH =∠DEM∠AHD =∠DMEAD =DE， ∴△ADH ≌△DEM （AAS ），∴EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，∴CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22 ，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG=BC=2 √2 ，∴GN=CG ﹣CN= √22 ， ∴EG= √GN 2+EN 2 = (√22)(3√22)= √5 ． 【解析】【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF ，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF ，在△DAB 与△FAC 中， {AD =AF∠BAD =∠CAFAB =AC，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠B=∠ACF ，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC ⊥CF ；故答案为：垂直；②△DAB ≌△FAC ，∴CF=BD ，∵BC=BD+CD ，∴BC=CF+CD ；故答案为：BC=CF+CD ；【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质得到CF=BD ，∠ACF=∠ABD ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，求得DH= 3√22 ，根据正方形的性质得到AD=DE ，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM ，EM=CN ，由角的性质得到∠ADH=∠DEM ，根据全等三角形的性质得到EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，等量代换得到CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=2 √2 ，根据勾股定理即可得到结论．17.如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO=CO ，BO=DO ，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）DF ⊥AC ，若∠ADF ：∠FDC=3：2，则∠BDF 的度数是多少？【答案】（1）证明：∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，【解析】根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．18.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE=PA，PE交CD于F．（1）求证：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC=65°，则∠CPE=________度．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠EPC=90°（3）115°【解析】【解答】（3）∠EPC=115°，理由：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠DCP，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°．∴∠CPE=180°-∠ABC=180°-65°=115°【分析】（1）根据正方形的性质得到△ABP≌△CBP，得到对应边相等，得到PC=PE；（2）由（1）知△ABP≌△CBP，得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数；（3）根据菱形的性质，得到△ABP≌△CBP，得到得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数.19.实践探究，解决问题如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD．（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，则S阴影=________；（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S平行四边形ABCD 之间满足的关系式为________；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S四边形ABCD之间还满足（2）中的关系式吗？若满足，请予以证明，若不满足，说明理由．解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和（即S1+S2+S3+S4的值）．【答案】（1）16（2）S阴影=12S平行四边形ABCD（3）解：满足（2）中的关系式，理由如下：连接BD，由图1得S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC∴S四边形EBFD=S△EBD+S△BDF= 12S四边形ABCD（4）解：设四边形的空白区域分别为a，b，c，d 由上述性质可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，①+②+③+④得，a+S2+S3+c+S1+S4+b+S2+S1+d+S4+S3=S四边形ABCD⑤而S四边形ABCD=a+b+c+d+S1+S2+S3+S4+S阴影⑥所以联立⑤⑥得S1+S2+S3+S4=S阴影=20平方米．【解析】【解答】解：（1）∵E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，∴S阴影= 12×8×4=16，故答案为：16；（2）∵E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，∴S阴影= 12S平行四边形ABCD；故答案为：S阴影= 12S平行四边形ABCD；【分析】（1）由矩形的性质容易得出结果；（2）由平行四边形的性质容易得出结果；（3）连接BD，由题意得出S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC，即可得出结论；（4）设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，由（3）可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，进一步得出结论即可．20.如图，E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，如图所示：∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE= 12BC=5．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出对边平行且相等，结合已知，可证出AECF是平行四边形；（2）利用菱形的邻边相等的性质，可证出BE=AE=CE= 12BC=5.。

5.3正方形(2)A练就好基础基础达标1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是(D)A．对边互相平行B．对角线互相垂直平分C．是中心对称图形D．有4条对称轴2．如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有(C) A．4个B．6个C．8个D．10个第2题图第3题图3．如图所示，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为(C)A．14B．15C．16D．174．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF.若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为(C)A．20°B．25°C．35°4题图第5题图5．如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，E是BC上任意一点，EG⊥BD于点G，EF⊥AC于点F.若AC＝10，则EG＋EF的值为(C)A．10 B．8 C．5 D．46．如图所示，正方形ABCD＝FC＝1 cm，那么EF的长是__10_cm__．6题图第7题图7．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为(2，3)．8．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.(1)求证：AE＝CF.(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC . ∵BE ⊥BF ，∴∠FBE ＝90°.∵∠ABE ＋∠EBC ＝90°，∠CBF ＋∠EBC ＝90°， ∴∠ABE ＝∠CBF .在△AEB 和△CFB 中，∵AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ， ∴△AEB ≌△CFB (SAS )，∴AE ＝CF .(2)∠EGC ＝∠EBG ＋∠BEF ＝35°＋45°＝80°.9．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为BC 边上一点，BE ⊥AG 于点E ，DF ⊥AG 于点F ，连结DE .(1)求证：△ABE ≌△DAF .(2)若AF ＝1，四边形ABED 的面积为解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD .∵DF ⊥AG ，BE ⊥AG ，∴∠BAE ＋∠DAF ＝90°，∠DAF ＋∠ADF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠ADF .在△ABE 和△DAF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠DF A ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△DAF (AAS )．(2)设EF ＝x ，则AE ＝DF ＝x ＋1，由题意得2×12×(x ＋1)×1＋12×x ×(x ＋1)＝6，解得x ＝2或－5(舍去)，∴EF ＝2.B 更上一层楼 能力提升10．·嘉兴将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( A )A B C D11．如图所示，E 为边长为2的正方形ABCD 的对角线上一点，BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值为( D )A.22B.12C.32D.2 12．·青岛已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为__1234__．13．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边BC 上，连结BE ，DF ，DF 交对角线AC 于点G ，且DE ＝DG . 求证：(1)AE ＝CG ； (2)BE ∥DF .证明：(1)∵DE ＝DG ， ∴∠DEG ＝∠DGE ， ∴∠AED ＝∠CGD .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝BC ，∠DAC ＝∠BCE ＝∠DCA ＝45°. 在△ADE 和△CDG 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CGD ，∠DAC ＝∠DCA ，AD ＝CD ，∴△ADE ≌△CDG (AAS )， ∴AE ＝CG ；(2)在△BCE 和△DCE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△BCE ≌△DCE (SAS )，∴∠BEC ＝∠DEG ，又∵∠DGE ＝∠DEG ， ∴∠BEC ＝∠DGE ， ∴BE ∥DF .C 开拓新思路 拓展创新14．如图，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过点P 作PE ⊥BC 于点E, PF ⊥CD 于点F .(1)猜想线段P A ，PE ，PF 之间的数量关系，并给出证明； (2)猜想线段P A ，EF 之间的位置关系，并给出证明． 解：(1)P A 2＝PE 2＋PF 2 证明：连结AC ，PC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BD 垂直平分AC ，∠BCD ＝90°， ∴AP ＝CP .∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ， ∴∠PEC ＝∠PFC ＝90°， ∴四边形PECF 是矩形， ∴PC ＝EF ，∠EPF ＝90°， ∴AP ＝EF .∵EF 2＝PE 2＋PF 2， ∴P A 2＝PE 2＋PF 2. (2)AP ⊥EF .证明：过点P 作PN ⊥AB ，垂足为点N ，延长AP ，交EF 于点M ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABP ＝∠CBD ＝45°， ∴△DFP 为等腰直角三角形， ∴DF ＝PF ，又AN ＝DF ， ∴AN ＝FP .又∵NP ⊥AB ，PE ⊥BC ，∴四边形BNPE 是正方形，∴NP ＝EP . ∵AP ＝PC ，四边形PECF 为矩形， ∴EF ＝PC ，∴AP ＝EF . 在△ANP 与△FPE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝FP ，NP ＝EP ，AP ＝EF ，∴△ANP ≌△FPE (SSS )， ∴∠NAP ＝∠PFE .∵在△APN 与△FPM 中，∠APN ＝∠FPM ，∠NAP ＝∠PFM ， ∴∠PMF ＝∠ANP ＝90°，∴AP ⊥EF .15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，求CE 的长.第15题图第15题答图解：过点E作EF⊥CA于点F，易证△ABC≌△EAF，∴EF＝AC＝6，AF＝BC＝8，∴CF＝14.∴CE＝62＋142＝258.。

2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步提升训练（附答案）1．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（）A．2B．4C．D．2．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，经过（）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点．A．2B．2.5C．3D．3.53．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.54．长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形、正方形和圆，（）面积最大．A．长方形B．正方形C．圆5．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（）A．1B．2C．D．46．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形7．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②③④8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD9．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等且垂直的四边形是正方形10．如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：①P A＝PB；②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；③四边形OAPB的面积与周长为定值；④AB＞OP．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②④11．如图，两个边长均为6的正方形重叠在一起，O是正方形ABCD的中心，则阴影部分的面积是．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．13．在▱ABCD中，AC、BD为对角线，如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是．14．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为正方形．15．已知在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝6，点E在线段DC上，且∠ABE＝45°，若AE＝5，则CE的长为．16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．17．如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE ＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．18．如图，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），正方形ADEF的顶点D在边AB上，且点F的坐标为（2a+4，0）．（1）长方形OABC的面积为；（用含a的式子表示）（2）正方形ADEF的边长为；（3）求阴影部分的面积．（用含a的式子表示）19．如图，△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，点P为△ABC内一点，点G，H 是PB，PC的中点，顺次连接点E，F，H，G．（1）求证：四边形EFHG是平行四边形；（2）若AP＝6，BC＝10，求四边形EFHG的周长；（3）当线段AP，BC满足什么条件时，四边形EFHG是正方形？请说明理由．20．已知：如图，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点EF，且BF＝CE．（1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE（2）问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）判断AF与CD的数量关系，并证明之．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并证明你的猜想．22．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案1．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC，∵H是BF的中点，∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，∴HN是△BFP的中位线，∴HN＝FP＝1，∴MH＝5﹣1＝4，Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，故选：D．2．解：过点F作FQ⊥CD于点Q，∵在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠AED+∠FEQ＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEQ，在△ADE和△EQF中，，∴△ADE≌△EQF（AAS），∴AD＝EQ＝4，当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM≥10，∴t+4+2t≥10，解得：t≥2，故当经过2秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点．故选：A．3．解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM＝CE，由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，所以t＝3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″＝CE，由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，解得t＝6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．4．解：设长度为L的三根铁丝，图形的面积用S表示，长方形：设一边为x，S1＝x（﹣x）＝﹣x2+x，那么当x＝时，S1最大，此时S1＝；正方形：S2＝（）2＝；圆：2πr＝L，r＝，S3＝π•r2＝；∴S3＞S2≥S1．故选：C．5．解：连接AN，DN，如图所示：∵三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，∴∠ANE+∠END＝90°，∠DNF+∠END＝90°，∴∠ANE＝∠DNF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAN＝∠FDN＝45°，AN＝DN在△ANE和△DNF中∴△ANE≌△DNF（ASA），∴两个正方形阴影部分ENFD的面积＝S正方形ABCD，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形ABCD，∴S阴影部分＝S正方形＝××＝1．故选：A．6．解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；C、∵在△ADB和△CDB中，∴△ADB≌△CDB（ASA），∴AD＝CD，AB＝CB，同理△ACD≌△ACB，∴AB＝AD，BC＝DC，即AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项不符合题意；故选：C．7．解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，∴OA＝OB＝OC＝OD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠OBM＝∠ODP，∠OAQ＝∠OCN，过点O的直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，∴∠BOM＝∠DOP，∠AOQ＝∠CON，所以△BOM≌△DOP（ASA），△AOQ≌△CON（ASA），所以OM＝OP，OQ＝ON，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故正确结论的序号是①②③．故选：C．8．解：A．∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，四边形ABCD不一定是平行四边形，∴不能判定四边形ABCD是正方形；C．∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；D．∵AO＝BO＝CO＝DO，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形；故选：D．9．解：①由平行四边形的判定可知A正确；②由矩形的判定可知B正确；③因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C正确；④D选项中再加上一个条件：对角线互相平分，可证其是正方形，故D错误；故选：D．10．解：过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，如图所示：∵P（4，4），∴PN＝PM＝4，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，则四边形MONP是正方形，∴OM＝ON＝PN＝PM＝4，∵∠MPN＝∠APB＝90°，∴∠MPB＝∠NP A，在△MPB和△NP A中，，∴△MPB≌△NP A（ASA），∴P A＝PB，故①正确；∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，∴BC＝AC，在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，∴PC＝BC，在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，∴OC＝BC，∴BC＝AC＝PC＝OC，∴四边形OAPB是矩形，∵P A＝PB，∴四边形OAPB是正方形，故②正确；∵△MPB≌△NP A，∴四边形OAPB的面积＝四边形BONP的面积+△PNA的面积＝四边形BONP的面积+△PMB的面积＝正方形PMON的面积＝4×4＝16，∵△MPB≌△NP A，∴BM＝AN，∴OA+OB＝ON+AN+OB＝ON+OM＝4+4＝8，P A＝PB，且P A和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，∴AB＝OP，故④错误；故选：A．11．解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥DC于点F，设两个正方形的边的交点分别为点G和点H，如图所示：则有∠OEG＝∠OFD＝∠D＝90°，∵O是正方形ABCD的中心，∴OE＝OF，∠EOF＝90°，∴四边形OEDF为正方形．∵∠GOH＝90°，∠EOF＝90°，∴∠EOG＝∠FOH，在△EOG和△FOH中，，∴△EOG≌△FOH（ASA）．∴阴影部分的面积等于正方形OEDF的面积，∵两个边长均为6的正方形重叠在一起，∴正方形OEDF的面积为：3×3＝9．∴阴影部分的面积为9．故答案为：9．12．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴▱ABCD是正方形；故答案为：正方形．14．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形；当AC＝BD时，▱ABCD为正方形；故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．15．解：如图，过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F，∵AD∥BC，∠D＝90°，BC＝CD，∴四边形BCDF是正方形，把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，则CE＝FG，BE＝BG，∠CBE＝∠FBG，∵∠ABE＝45°，∴∠ABG＝∠ABF+∠FBG＝∠ABF+∠CBE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABE＝∠ABG，在△ABE和△ABG中，，∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AE＝AG，∴AF+CE＝AF+FG＝AG＝AE，设CE＝x，则DE＝6﹣x，AF＝5﹣x，∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x+1，在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即（x+1）2+（6﹣x）2＝52，整理得，x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3，即CE的长度是2或3；故答案为：2或3．16．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．17．解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交CF于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DCF+∠F＝90°，∴∠DAE+∠F＝90°，∴AG⊥CF，即AE⊥CF．∴AE＝CF，AE⊥CF．18．解：（1）∵长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），∴OA＝2a+2，OC＝2a﹣2，长方形OABC的面积＝OA•OC＝（2a+2）（2a﹣2）＝4a2﹣4，故答案为：4a2﹣4；（2）∵A的坐标为（2a+2），点F的坐标为（2a+4，0），∴AF＝OF﹣OA＝2a+4﹣（2a+2）＝2，故答案为：2；（3）解：S＝S长方形OABC+S正方形ADEF﹣S△COF＝（2a+2）（2a﹣2）+22﹣（2a﹣2）（2a+4）＝4a2﹣4+4﹣（2a2+2a﹣4）＝2a2﹣2a+4．19．（1）证明：∵E、F分别是边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，同理，GH∥BC，GH＝BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFHG是平行四边形；（2）解：∵E、F、G分别是边AB、AC、PB的中点，∴EF＝BC，EG＝AP，∴EF＝5，EG＝3，由（1）知：四边形EFHG是平行四边形，∴四边形EFHG的周长＝2（EF+EG）＝2×（5+3）＝16；（3）解：当线段AP，BC满足AP＝BC且AP⊥BC时，四边形EFHG是正方形；理由如下：∵AP＝BC，EF＝BC，EG＝AP，∴EF＝EG，∴平行四边形EFHG是菱形，∵E、F、G分别是边AB、AC、PB的中点，∴EF∥BC，EG∥AP，∵AP⊥BC，∴EF⊥EG，∴菱形EFHG是正方形．20．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BDF＝∠CED＝90°∵点D是△ABC中BC边上的中点，∴BD＝CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；（2）解：当△ABC满足∠A＝90°（答案不唯一）时，四边形AEDF是正方形；理由如下：∵∠BDF＝∠CED＝90°，∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形．21．解：（1）AF＝CD，理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB∵AD是BC边上的中线，∴DB＝CD∴AF＝CD；（2）当△ABC是等腰直角三角形（∠BAC＝90°，AB＝AC）时，四边形ADCF为正方形；理由如下：∵AF＝CD，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是斜边BC的中线，∴AD⊥BC，AD＝BC＝DC，∴平行四边形ADCF是矩形，也是菱形，∴四边形ADCF为正方形．22．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．。

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题（附答案）一．选择题1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对边相等D．邻边相等2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC4．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的面积为（）A．8B．12C．16D．206．正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（）A．9B．18C．24D．367．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）A．6B．7C．8D．98．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作F A＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（）A．4B．8C．16D．无法计算9．如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（）A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或210．如图，在正方形ABCD中，动点E在BC边上（点E与点B不重合），∠DAE的平分线AF与CD边交于点M，与BC边的延长线交于点F，连接EM．对于下列四个结论：①AE＝EF；②若CM＝CE，则AF＝2BC；③若EM⊥AF，则CM＝DM；④存在点E，使点E与点D关于直线AF对称．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是．12．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为．13．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．14．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为．15．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，请你添加一个条件，使四边形AECF是菱形．16．在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．三．解答题17．如图，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN＝BM．18．如图，正方形ABCD中，点F是CD边上一点，DF＝2．连接AF并延长，交BC边延长线于点E，∠EFC＝3∠E，连接AC．（1）求证：AC＝EC；（2）求正方形的边长．19．如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC 上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．22．如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，∠EBF＝45°．求证：EF2＝AE2+CF2．参考答案一．选择题1．解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确，当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误，故选：A．3．解：因为矩形的四个角是直角，故A正确，因为菱形的对角线互相垂直，故B正确，因为正方形的对角线相等，故C正确，菱形的对角线和边长不一定相等，例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，故选：D．4．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AB＝BF＝DE，∴∠BAF＝∠BF A＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴AE＝AF，∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．故选：C．5．解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的边长为4，∴正方形ACEF的面积为16，故选：C．6．解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）∴S＝×6×6＝18，故选：B．7．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，∴S2＝25﹣16＝9，故选：D．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，即∠ABF＝∠D＝90°，在Rt△ABF和Rt△ADE中，，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴S Rt△ABF＝S Rt△ADE，∴S Rt△ABF+S四边形ABCE＝S Rt△ADE+S四边形ABCE，∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝16．故选：C．9．解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，∴BE＝CP＝6厘米，∴BP＝10﹣6＝4厘米，∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B＝∠C＝90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），故选：D．10．解：∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠EF A，∴∠EF A＝∠EAF，∴AE＝EF，故①正确；若CM＝CE，则DM＝BE，∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△ADM中，，∴△ABE≌△ADM（SAS），∴∠BAE＝∠DAM＝∠EAF＝30°，∴∠F＝30°，∴AF＝2AB，∴AF＝2BC，故②正确；若EM⊥AF，∴M是AF的中点，∴AM＝FM，在△ADM和△FMC中，，∴△ADM≌△FMC（AAS），∴CM＝DM，故③正确；只有当点E和点D重合时，才有点E与点D关于直线AF对称．与题意不符，故④错误．综上所述：其中正确结论有①②③，共3个，故选：C．二．填空题11．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠DEC＝60°．∴∠ADE＝90°+60°＝150°，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）÷2＝15°，∴∠AEC＝∠DEC﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°．12．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝90°，∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∵∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝8，BF＝AE，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴AE＝6，∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．故答案为14．13．解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，由勾股定理得：DE＝＝2，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，故答案为：8．14．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形ABCD和正方形A'B'C'O面积的，∴正方形A'B'C'O的面积为4．故答案为：4．．15．解：添加的条件为：BE＝DF，理由：正方形ABCD中，对角线BD，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF＝45°．∵BE＝DF，∴△ABE≌△CBE≌△DCF≌△DAF（SAS）．∴AE＝CE＝CF＝AF，∴四边形AECF是菱形；故答案为：BE＝DF．∴∠ABD＝90°，AB＝DB，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∵∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC＝BE，∵DE2+BE2＝BD2，∴ED2+AC2＝BD2，∵S1＝AC2，S2＝DE2，BD2＝1，∴S1+S2＝1，同理可得S3+S4＝3，∴S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为4．三．解答题17．解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，∵∠MCN＝∠NCM，∴∠ACN＝∠BCM，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．∴∠DCE＝90°，∵∠EFC＝3∠E，∠EFC+∠E＝90°，∴4∠E＝90°，∴∠E＝22.5°，•又∵AC是正方形对角线，∠ACB＝45°，∵∠ACB＝∠E+∠EAC，∴∠EAC＝22.5°，∴∠EAC＝∠E，∴AC＝EC；（2）解：设正方形的边长为x，则AC＝EC＝x，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵∠ADC＝∠FDE＝90°，∴x＝2+2，∴正方形的边长为2+2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°，∵∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴CG＝CE；（2）解：由（1）△BCG≌△DCE得CG＝CE，又∵BE＝BC+CE＝4，DG＝CD﹣CG＝2，∴BC＝3CG＝，在Rt△BCG中，BG＝＝＝2．20．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．21．解：（1）如图1，EF＝BE+DF，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF，（2）如图2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵，∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF．22．证明：如图，将△CBF绕点B逆时针旋转90°，可得△ABN，连接EN，由旋转的性质可得BN＝BF，AN＝CF，∠BAN＝∠BCF＝45°，∠CBF＝∠ABN，∴∠CAN＝∠CAB+∠BAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°，∴∠ABE+∠ABN＝45°＝∠NBE＝∠EBF，在△EBF和△EBN中，，∴△EBF≌△EBN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．。

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（）A．3B．4C．5D．62．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°3．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF 的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1B．2C．D．24．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且OE＝2CO，则BE的长度是（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，∠BEC＝70°，那么∠DAE＝（）A．10°B．15°C．25°D．30°6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（）①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形A．①②B．②C．②④D．③④7．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形8．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．三个角都是直角的四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形9．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形二．填空题10．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的角平分线BF交CD 于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．11．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，若AP＝1，PD＝，∠APB ＝135°，则正方形ABCD的面积为．12．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP＝．三．解答题13．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．（1）求证：四边形EFDC是正方形；（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．14．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG＝6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．15．观察下列图形的变化过程，解答以下问题：如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB 于E点，DF∥AB交AC于F点．（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？16．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A＝90°，求证：四边形DF AE是正方形．17．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB＝∠DAB；（2）若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形．18．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；（2）求证：AE＝BE+DG．19．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．20．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．21．如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，BE⊥DF，垂足为E，BE交CD 于点G．（1）求证：BG＝DF；（2）求证：EF+EG＝CE．参考答案一．选择题1．解：过点E作MN∥AD，交AB于点M，CD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，AD⊥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝4，∵MN∥AD，∴MN⊥AB，MN⊥CD，∵S△ABE＝AB•EM＝×4×EM＝2EM＝5，∴EM＝，∴EN＝AD﹣EM＝AB﹣EM＝4﹣＝，∴S△CDE＝CD•EN＝×4×＝3，故选：A．2．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AB＝BF＝DE，∴∠BAF＝∠BF A＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴AE＝AF，∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．故选：C．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△ABE与△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∴∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∵△ABE≌△DAF，∴S△ABE＝S△DAF，∴S△ABE﹣S△AOE＝S△DAF﹣S△AOE，即S△ABO＝S四边形OEDF＝1，∵OA＝1，∴BO＝2，∴AB＝＝＝，故选：C．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∵正方形ABCD的边长为2，∴BC＝2，在Rt△BOC中，BO2+CO2＝BC2，即2BO2＝22，解得BO＝，∵OE＝2CO，∴OE＝2，在Rt△BOE中，BE＝．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∠BCD＝90°，在△AED和△CED中，，∴△AED≌△CED（SAS），∴∠DAE＝∠ECD，又∵∠BEC＝70°，∴∠BCE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝90°﹣65°＝25°，∴∠DAE＝25°，故选：C．6．解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；故选：B．7．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；B．对角线相等的四边形不一定是矩形，故原命题错误，不符合题意；C．有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故原命题正确，符合题意；D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；故选：C．8．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．故选：C．9．解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，说法错误，C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；故选：D．二．填空题10．解：如图，作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴AB＝BC＝OB＝2+．故答案为：2+．11．解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH 交DH的延长线于E，∴△APB≌△AHD，∠P AH＝90°，∴PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，∴PH＝AP＝，∠APH＝∠AHP＝45°，∴∠PHD＝90°，∴DH＝＝＝2，∵∠AHD＝135°，∴∠AHE＝45°，∵AE⊥DH，∴∠AHE＝∠HAE＝45°，∴AE＝EH，AH＝AE，∴AE＝EH＝，∴DE＝，∵AD2＝AE2+DE2＝13，∴正方形的面积为13，故答案为：13．12．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠CBF＝∠CDP＝∠BCF+∠FCD＝90°，又∵CF⊥CP，∴∠DCP+∠FCD＝90°，∴∠BCF＝∠DCP，在△BCF和△DCP中，∴△BCF≌△DCP（AAS），∴BF＝DP，∵AC＝3，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴2AB2＝AC2＝32＝9∴AB＝，∴AD＝，∵3DP＝AB，∴DP＝，∴BF＝DP＝，∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝，AP＝AD+DP＝+＝2，在Rt△AFP中，FP＝＝＝．故答案为：．三．解答题13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，∵EF∥DC，∴四边形FEDC为平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴四边形FEDC是菱形，又∵∠C＝90°，∴平行四边形FEDC是正方形；（2）∵四边形FEDC是正方形，∴∠CDE＝45°，∵，∴CE＝CD＝ED•sin45°＝2×＝2，∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，∴BD＝．14．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．15．解：（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠EAF，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠F AD＝∠FDA，∴AF＝DF，∴四边形AEDF为菱形；（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF为正方形，理由：由（1）知，四边形AEDF为菱形，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF为正方形．16．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵D是BC的中点，∴BD＝CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°．∵∠A＝90°，∴四边形DF AE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF．∴四边形DF AE为正方形．17．（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，又∵AB⊥CD∴∠CAB＝∠DAB（等腰三角形的三线合一）；（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD＝90°，即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，∴四边形AEMF是矩形，又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，∵AF平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴AE＝EF，设CE＝x，则BE＝4﹣x，AE＝EF＝8﹣4+x＝4+x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝1，∴CE＝1；（2）如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，∴∠AGD＝∠EAF+∠BAE，∵AF平分∠DAE，∴∠EAF＝∠F AD，∠AGD＝∠F AD+∠BAE，在△ABM和△ADG中，，∴△ABM≌△ADG（SAS），∴∠M＝∠AGD＝∠F AD+∠EAB，∠MAB＝∠F AD，∴∠M＝∠MAB+∠EAB＝∠MAE，∴AE＝ME＝BE+MB＝BE+DG．19．（1）证明：如图1，过M作MN⊥BC于N，∴∠MNC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，∵AD＝CD，∴MN＝AD，∵ME⊥AF，∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，∴∠DAF＝∠EMN，在△DAF与△NME中，，∴△DAF≌△NME（ASA），∴AF＝EM；（2）证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠F AE，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，即∠GAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠GAE＝∠AEB，∴AG＝GE，∴AF＝GE，∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴AF＝DF+BE．20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．21．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝∠DCB＝∠DCF＝90°，BC＝DC，∵BE⊥DF，∴∠CBG+∠F＝∠CDF+∠F，∴∠CBG＝∠CDF，在△CBG和△CDF中，，∴△CBG≌△CDF（ASA），∴BG＝DF；（2）如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，∵△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠F＝∠CGB，∵∠MCG+∠DCE＝∠ECF+∠DCE＝90°，∴∠MCG＝∠ECF，在△MCG和△ECF中，，∴△MCG≌△ECF（ASA），∴MG＝EF，CM＝CE，∴△CME是等腰直角三角形，∴ME＝CE，又∵ME＝MG+EG＝EF+EG，∴EF+EG＝CE．。

18.2.3正方形（2）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点1.正方形的判定方法:(１)有一组邻边相等的矩形是正方形;(２)有一个角是直角的菱形是正方形;(３)对角线互相垂直的矩形是正方形;(４)对角线相等的菱形是正方形．2.判定一个四边形是正方形,一般有两种思路:一种是先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等;另一种是先证明四边形是矩形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直．基础知识和能力拓展训练一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF 分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形 C．矩形 D．无法确定6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．810．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个（填代号）．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2（1）四边形EFGH的形状是；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F 在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？答案与试题解析一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．解：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；D、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形；故选D．2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．解：（1）因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；（4）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．故选：A．3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A、不能，只能判定为矩形；B、不能，只能判定为平行四边形；C、能；D、不能，只能判定为菱形．故选：C．4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．故选：B．5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF 分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形 C．矩形 D．无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质得出AM=ME，BM=MF=AM，则ME=MF，进而求出即可．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠EAB=∠ABF=∠BCD=∠CDA=90°，又∵E，F分别为AD，BC中点，AD=2AB，∴AE∥BF，ED∥CF，AE=BF=DE=CF=AB=DC，∴∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=∠DFC=45°，∴∠BEN=90°，又∵DE BF，AE FC，∴四边形EMFN是矩形，∴AM⊥BE，BM⊥AF，∴AM=ME，BM=MF=AM，∴ME=MF，∴四边形EMFN是正方形．故选：A．6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．解：A、正确．∵∠ACB=∠EFD=30°，∴AC∥DF，∵AC=DF，∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．B、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD=90°，故错误．C、正确．B、E重合时，易证FA=FD，∵四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形，D、正确．当四边相等时，∠AFD=60°，∠FAC=120°，∴四边形AFDC不可能是正方形．故选B．7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．解：与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为③，故选C．8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】由题意可得四边形AECF为一矩形，要使四边形AECF是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，∴∠ECF=90°．∵MN∥BC，∴∠FEC=∠ECH，∵∠ECH=∠ECO，∴∠FEC=∠ECO，∴OE=OC．同理OC=OF，∴OE=OF，∵点O运动到AC的中点，∴OA=OC，∴四边形AECF为一矩形，若∠ACB=90°，则CE=CF，∴四边形AECF为正方形．故选：D．9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．8【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠FCD+∠BCD=180°，∴∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，∴DE=4．故选C．10．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，∴EH=FE=GF=GH==，∴四边形EFGH的面积是：×=34，故选B．二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是①③④．【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 1：2 时，四边形MENF是正方形．【分析】首先得出四边形MENF是平行四边形，再求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM，∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，故答案为：1：2．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是①②③．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC 进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当①BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项①正确；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．故答案为：①②③．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个①②或①④（填代号）．【分析】因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．解：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，若AB=AD，则四边形ABCD为正方形；若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．故填：①②或①④．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为2．【分析】作辅助线，构建正方形AHGF，则AF=GH=GF，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，DG=x﹣1，在Rt△DGC中，利用勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理计算AC的长即可．解：过A作AE⊥DC于E，将△AEC沿AC翻折得△AFC，将△ADE沿AD翻折得△ADH，延长FC、HD交于G，则∠EAC=∠CAF，∠EAD=∠HAD，∠H=∠F=90°，∴∠EAC+∠EAD=∠CAF+∠HAD，∵∠DAC=45°，即∠EAC+∠EAD=45°，∴∠HAF=90°，∴四边形AHGF是矩形，∵AH=AE，AE=AF，∴AH=AF，∴四边形AHGF是正方形，∴AF=GH=GF，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=2，由折叠得：FC=EC=2，HD=DE=3，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，∴DG=x﹣1，在Rt△DGC中，DC2=DG2+GC2，52=（x﹣1）2+x2，解得：x1=4，x2=﹣3（舍），∴AF=x+2=4+2=6，Rt△ACF中，AC==2．故答案为：2．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是57.75 ．【分析】运用拼图的方法，构造一个正方形，用大正方形的面积﹣小正方形的面积，即可得出所求多边形的面积．解：运用拼图的方法，构造一个正方形，如图所示：大正方形的边长为12+8=20，小正方形的边长ED+DF=13，∴多边形ABCFDE的面积=（大正方形的面积﹣小正方形面积）=（202﹣132）=57.75．故答案为：57.75．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．【分析】先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的矩形是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴∠BEC=90°，BE=CE∴四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）【分析】过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG=DF，同理得到DE=DG，等量代换得到DE=DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证．证明：如图，过D作DG⊥AB，交AB于点G，∵∠C=∠DEC=∠DFC=90°，∴四边形CEDF为矩形，∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF=DG；∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DG，∴DE=DF，∴四边形CEDF为正方形．20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2（1）四边形EFGH的形状是正方形；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）【分析】（1）根据正方形性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，求出AH=DG=CF=BE=5，证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，推出EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，证出∠EHG=90°，即可得出答案．（2）在Rt△AEH中，由勾股定理求出EH=，根据正方形面积公式求出即可．（3）四边形EFGH的周长是×4，求出即可．解：（1）四边形EFGH是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，∵AE=BF=CG=DH=2，∴AH=DG=CF=BE=5，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，∵∠A=∠D=90°，∴∠DGH+∠DHG=90°，∴∠AHE+∠DHG=90°，∴∠EHG=180°﹣90°=90°，∴四边形EFGH是正方形，故答案为：正方形．（2）在Rt△AEH中，AE=2，AH=5，由勾股定理得：EH==，∵四边形EFGH是正方形，∴EF=FG=GH=EH=，∴四边形EFGH的面积是（）2=29．（3）四边形EFGH的周长是×4=4≈4×5.39≈21.6．21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，又因为CF=AE，BE=EC=BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度．解：（1）四边形BECF是菱形．∵EF垂直平分BC，∴BF=FC，BE=EC，∴∠3=∠1，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F 在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？【分析】（1）已知AF=EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可证得AF∥EC；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值；（3）通过已知在△ABC中，∠ACB=90°，推出∠ACE＜90°，不能为直角，进行说明．解：（1）四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE=AE，FD∥AC．∴BD=CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=AF．∴∠F=∠5=∠1=∠2．∴∠FAE=∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF=EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，由（1）知CE=AB，∴AC=CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF不可能是正方形，∵∠ACB=90°，∴∠ACE＜∠ACB，即∠ACE＜90°，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形．。

学科：数学 教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____． （3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。