北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《正方形的性质与判定》同步练习

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定同步练习题一、选择题1．下列说法正确的是(C)A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是正方形C ．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形D ．对角线相等的矩形是正方形2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是(D)A ．BC ＝ACB ．BD ＝DFC ．CF ⊥BFD ．AC ＝BF3．如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，则AC 的长是(B)A ．1 B. 2 C. 3 D ．24.如图，正方形ABCD 的边长是2，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，且OE ⊥OF ，则四边形AFOE 的面积是(C)A ．4B ．2C ．1 D.125.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为坐标原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，对角线AC 与BD 相交于点E ，P 为BC 上一点，点P 坐标为(a ，b)，则点P 绕点E 顺时针旋转90°得到的对应点P ′的坐标是(D)A ．(a －b ，a)B ．(b ，a)C ．(a －b ，0)D ．(b ，0)二、填空题 6.如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ABE ，则∠BFC ＝60°.7．如图，在正方形ABCD 中，E 是BD 上一点，BE ＝BA ，则∠ACE ＝22.5°．8．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是3和4，则正方形ABCD 的面积是25．9.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AC ＝1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC ，BC 相交，交点分别为D ，E ，则两个三角形重叠部分的面积为14．三、解答题10.如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．又∵在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°.∴∠BEC ＝90°，BE ＝CE.∴四边形BECF 是正方形．11.如图，点M ，N 分别是正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 与BN 交于点P ，试探索AM 与BN 的关系．(1)数量关系AM ＝BN ，并证明；(2)位置关系AM ⊥BN ，并证明．解：(1)AM ＝BN.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠BCN ＝90°，AB ＝BC.在△ABM 和△BCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN(SAS)．∴AM ＝BN.(2)AM ⊥BN.证明如下：∵△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM ＝∠NBC.∵∠NBC ＋∠ABN ＝∠ABC ＝90°，∴∠BAM ＋∠ABN ＝90°.∴∠APB ＝90°.∴AM ⊥BN.12.如图，等边△AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°.求证：矩形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°.∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°.∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°.∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°－45°－60°＝75°.∴△AEB ≌△AFD(AAS)．∴AB ＝AD.∴矩形ABCD 是正方形．13.已知：如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E ，F 分别为垂足，求证：AP ＝EF.证明：连接PC.∵ABCD 是正方形，∴∠ABP ＝∠CBP ，∠BCD ＝90°.∵PE ⊥CD ，PF ⊥BC ，∴四边形PFCE 是矩形．∴EF ＝PC.在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP(SAS)．∴AP ＝CP.∴AP ＝EF.14.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 上一点，连接EB.过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F.求证：OE ＝OF.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE ＝∠AOF ＝90°，OB ＝OA.又∵AM ⊥BE ，∴∠BEO ＋∠MAE ＝∠AFO ＋∠MAE ＝90°.∴∠BEO ＝∠AFO.∴△BOE ≌△AOF(AAS)．∴OE ＝OF.15.已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ＝OF ＝OE ＝12BC ，OE ∥BC. 在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D ，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)．(2)当AB ⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)可得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB.∴∠AEO ＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．16.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN.求证：OM ＝ON.证明：∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°，OA ＝OB.∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°.在△AOM 和△BON 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOM ＝∠BON ，OA ＝OB ，∠OAM ＝∠OBN ，∴△AOM ≌△BON(ASA)．∴OM ＝ON.17.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ⊥ED 交DE 于点F ，交CD 于点G.(1)求证：△ADG ≌△DCE ； (2)连接BF ，求证：AB ＝FB.证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG ＝∠C ＝90°，AD ＝DC.又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG ＋∠ADF ＝∠CDE ＋∠ADF ＝90°.∴∠DAG ＝∠CDE.∴△ADG ≌△DCE(ASA)．(2)延长DE 交AB 的延长线于点H ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.又∵∠C ＝∠HBE ＝90°，∠DEC ＝∠HEB ，∴△DCE ≌△HBE(ASA)．∴BH ＝DC ＝AB.∴B 是AH 的中点．又∵∠AFH ＝90°，∴在Rt △AFH 中，BF ＝12AH ＝AB. 18.如图1，▱ABCD 中，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E.(1)求证：△AOD ≌△EOC ；(2)如图2，连接AC ，DE ，当∠B ＝∠AEB ＝45°时，求证：四边形ACED 是正方形．图1 图2证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E.∵O 是CD 的中点，∴OC ＝OD.在△AOD 和△EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E ，DO ＝CO ，∴△AOD≌△EOC(AAS)．(2)∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴四边形ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴四边形形ACED是正方形．19.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，连接BG，DE.(1)试判断BG与DE的关系； (2)当AB＝3，CE＝2时，求BE2＋DG2的值．解：(1)延长BG交DE于点H.∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形．∴DC＝BC，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°.∴Rt△BCG≌Rt△DCE(SAS)．∴BG＝DE，∠GBC＝∠EDC.∵∠BGC＋∠GBC＝90°，∠BGC＝∠DGH，∴∠DGH＋∠EDC＝90°.∴∠DHG＝90°.∴BG⊥DE.∴BG与DE的关系是BG＝DE且BG⊥DE.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝DC＝3.∴BE＝BC＋CE＝3＋2＝5.∵四边形CEFG是正方形，∴CG＝CE＝2.∴DG＝DC－CG＝3－2＝1.∴BE 2＋DG 2＝25＋1＝26.20.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任意一点，∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F.求证：AE ＝EF.证明：在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME.∵∠B ＝90°，CF 平分∠DCH ，∴∠BME ＝∠FCH ＝45°.∴∠AME ＝∠ECF ＝135°.∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°.∵∠AEB ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＝∠FEC.∵AB ＝BC ，BM ＝BE ，∴AM ＝EC.在△AME 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE ＝∠CEF ，AM ＝EC ，∠AME ＝∠ECF ，∴△AME ≌△ECF(ASA)．∴AE ＝EF.21.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，E 是对角线AC 上一点，且EB ＝ED.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若DE ＝EC ＝26，AD ＝43，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AE ，ED ＝EB ，∴△ADE ≌△ABE(SSS)．∴∠AED ＝∠AEB ，∠DAC ＝∠BAC.在△ADC 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC(SAS)．∴DC ＝BC.∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB.∴∠ACB ＝∠BAC.∴AB ＝BC.∴AB ＝BC ＝CD ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵DE ＝EC ＝26，AD ＝43，∴DE 2＋EC 2＝AD 2＝CD 2.∴∠DEC ＝90°.∴∠DCE ＝∠EDC ＝45°.∵△ADC ≌△ABC ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°.∴∠DCB ＝90°.∵四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形．22.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE.(1)求证：CE ＝CF ；(2)若点G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.23．如图，在▱ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，AE ＝CG ，AH ＝CF ，且EG 平分∠HEF.(1)求证：△AEH ≌△CGF ；(2)若∠EFG ＝90°，求证：四边形EFGH 是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C.在△AEH 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CG ，∠A ＝∠C ，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF(SAS)．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D.∵AE ＝CG ，AH ＝CF ，∴EB ＝DG ，HD ＝BF.∴△BEF ≌△DGH(SAS)．∴EF ＝HG.又∵△AEH ≌△CGF ，∴EH ＝GF.∴四边形EFGH 为平行四边形．∴EH ∥FG.∴∠HEG ＝∠FGE.∵EG 平分∠HEF ，∴∠HEG ＝∠FEG.∴∠FGE ＝∠FEG.∴EF ＝GF.又∵∠EFG ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．24.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，CD 上一点，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N.求证：MN 2＝BM 2＋DN 2.解：过点A 作GA ⊥AN ，使GA ＝NA ，连接GB ，GM.∵∠GAB ＋∠BAF ＝90°，∠NAD ＋∠BAF ＝90°，∴∠GAB ＝∠NAD.在△GAB 和△NAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAB ＝∠NAD ，BA ＝DA ，∴△GAB ≌△NAD(SAS)．∴∠ABG ＝∠ADN ＝45°，BG ＝DN.∴∠GBM ＝90°.∵∠EAF ＝45°，∠GAN ＝90°，∴∠GAM ＝45°.在△GAM 和△NAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△GAM ≌△NAM(SAS)．∴GM ＝MN.在Rt △GBM 中，GM 2＝GB 2＋BM 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2.25.如图，四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F.(1)如图1，若点G 在线段BC 上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(2)若点G 在BC 延长线上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若点G 在CB 延长线上，直接写出AF ，BF ，EF 之间的数量关系．解：(1)AF ＝EF ＋BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF.(2)AF ＋EF ＝BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＋EF ＝AE ＝BF.(3)AF ＋BF ＝EF.。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形3.正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________________．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四位同学的答案都正确，则黑板上画的图形是__________．7．对角线________的菱形是正方形，对角线________的矩形是正方形，对角线________________的平行四边形是正方形，对角线的四边形是正方形．8．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．10．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是()A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF12．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角.13．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为________．14．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．15．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．答案：1---3 DCB4. 有一组邻边相等的矩形是正方形5. AC＝BD6. 正方形7. 相等互相垂直互相垂直且相等互相垂直平分且相等8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形．∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．9. (1)证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形；(2)解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝12AB＝AD，故四边形ADCF是正方形10. A11. D12. 4513. 2 4(2 2)n14．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG ＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．15.证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.又∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK ≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形．。

新北师大版九上数学第一章特殊的平行四边形同步练习题一、填空题1、如图，将△A BC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件____________，使四边形ABCD为矩形．2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________．二、选择题4、矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等5、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( ) A．24 B．16 C．413 D．2136、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°7、如图,4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是( ) A．S四边形ABDC＝S四边形ECDF B．S四边形ABDC < S四边形ECDFC．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1 D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋28、如图4338，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．179、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B. 24 C. 123 D. 163三、简答题10、如图4，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F. 求证：DF＝DC.11、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD 是菱形．12、如图4342，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE. (1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．13、已知：如图4346，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝__________时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．14、如图4347，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t≤ 15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. (1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．参考答案一、填空题1、∠B ＝90°或∠BAC ＋∠BCA ＝90°2、123、5 解析：连接BP ，交AC 于点Q ，连接QD .∵点B 与点D 关于AC 对称，∴BP 的长即为PQ ＋DQ 的最小值，∵CB ＝4，DP ＝1.∴CP ＝3，在Rt △BCP 中，BP ＝222234+=+CP BC ＝5.二、选择题4、B5、C6、B7、A8、C9、D三、简答题10、证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠B ＝90°.∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB .又∵AD ＝AE ，∴△ADF ≌△EAB .∴DF ＝AB .∴DF ＝DC .11、证明：由平移变换的性质，得CF ＝AD ＝10 cm ，DF ＝AC ，∵∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴AC 2＝AB 2＋CB 2，即AC ＝10 cm.∴AC ＝DF ＝AD ＝CF ＝10 cm.∴四边形ACFD 是菱形．12、 (1)证明：∵点O 为AB 的中点，OE ＝OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC .即∠ADB ＝90°.∴四边形AEBD 是矩形．(2)解：当△ABC 是等腰直角三角形时，矩形AEBD 是正方形．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠DBA ＝45°.∴BD =AD .由(1)知四边形AEBD 是矩形，∴四边形AEBD 是正方形．13、 (1)证明：在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°，又∵M 是AD 的中点，∴AM ＝DM .∴△ABM ≌△DCM (SAS)．(2)解：四边形MENF 是菱形．证明如下：E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点，∴NE ∥MF ，NE ＝MF .∴四边形MENF 是平行四边形．由(1)，得BM ＝CM ，∴ME ＝MF .∴四边形MENF 是菱形．(3)2∶1 解析：当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由： ∵M 为AD 中点，∴AD ＝2AM .∵AD ∶AB ＝2∶1，∴AM ＝AB .∵∠A ＝90，∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°.同理∠DMC ＝45°，∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°.∵四边形MENF 是菱形，∴菱形MENF 是正方形．14、解：(1)在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ， ∴DF ＝2t ，又∵AE ＝2t ，∴AE ＝DF .(2)能．理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形．当AE ＝AD 时，四边形AEFD 是菱形，即60－4t ＝2t .解得t ＝10 s ，∴当t ＝10 s 时，四边形AEFD 为菱形．(3)①当∠DEF ＝90°时，由(2)知EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°.∵∠A ＝60°，∴AD ＝AE ·cos60°＝t .又AD ＝60－4t ，即60－4t ＝t ，解得t ＝12 s.②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形．在Rt △AED 中，∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°.∴AD ＝2AE ，即60－4t ＝4t ，解得t ＝215s. ③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在． 综上所述，当t ＝215s 或t ＝12s 时，△DEF 为直角三角形．。

1.3 正方形的性质与判定学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等（）A．矩形 B．菱形 C．平行四边形D．正方形2．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角形互相垂直平分3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A．B．C．1 D．1﹣4．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使EF过点A，若DE=9，那么DG的长为（）A．3 B．3 C．4 D．45．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（）A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90°D．OD=AC9．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D．邻边相等的矩形是正方形10．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN 分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．无法判断11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③ B．②④ C．②③④D．①③④12．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A．小青 B．小何 C．小夏 D．小雨二．填空题（共6小题）13．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．14．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是度．15．如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为．16．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：：①△EBF ≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．17．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．18．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．三．解答题（共5小题）19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．20．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．21．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG 的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．22．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．23．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC 于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．参考答案一．选择题（共12小题）1．D．2．B．3．A．4．C．5．D．6．B．7．C．8．C．9．B．10．B．11．C．12．B．二．填空题（共6小题）13．（﹣1，5）．14．67.5．15．．16．①②．17．3．18．9三．解答题（共5小题）19．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．20．解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．21．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；（2）BH=AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，∵AD=AB，∴DM=BE，由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，∴∠1=∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM=AE，∴BH=AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=HN=AE．22．解：（1）四边形BECF是菱形．∵EF垂直平分BC，∴BF=FC，BE=EC，∴∠3=∠1，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．23．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA=∠BCA，∴EQ=EP，∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，∴∠QEF=∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD，∴EF=ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC=AB=2，∵EC=，∴AE=CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°，②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°综上所述，∠EFC=120°或30°．。

第 2 课时正方形的判断知识点 1用定义判断正方形1．假如要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明()A ．AB＝BD 且 AC⊥BDB ．∠ A＝90°且 AB＝ADC．∠ A＝90°且 AC＝BDD ．AC 和 BD 相互垂直均分2．已知在四边形 ABCD 中，∠A＝∠ B＝∠ C＝90°，若使四边形 ABCD 是正方形，则还需加上一个条件：________________．知识点2利用菱形判断四边形是正方形3．在四边形 ABCD 中， AC，BD 订交于点 O，以下条件能判断四边形ABCD 是正方形的是 ()A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝ OB＝OC＝ODC．OA＝ OC，OB＝OD，AC＝BDD ．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD4．如图 1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，而后剪下一个角，翻开．假如要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成()A ．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角图1－3－175．教材习题 1.8 第 3 题变式题如图 1－3－18，有 4 个动点 P，Q，E，F 分别从正方形 ABCD 的 4 个极点出发，沿着 AB，BC，CD，DA 以相同的速度向 B，C，D，A各点挪动．请判断四边形 PQEF 的形状．图 1－3－18知识点3利用矩形判断四边形是正方形6．2019·齐齐哈尔矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 订交于点 O，请你添加一个适合的条件： ________，使其成为正方形． (只填一个即可)图 1－3－197．如图 1－3－19 所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 与 AD 边上的 AF 重合，则四边形ABEF 就是一个最大的正方形，他判断的方法是．8．2019·邵阳如图 1－3－20 所示，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 订交于点 O，∠ OBC＝∠ OCB.(1)求证：平行四边形ABCD 是矩形；(2)请增添一个条件使矩形ABCD 为正方形．图 1－3－209．若按序连结四边形ABCD 各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．对角线相互垂直的四边形C．菱形D．对角线相互垂直且相等的四边形10．如图 1－3－21，在△ABC 中，∠ ACB＝90°， BC 的垂直均分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE＝BF.增添一个条件，仍不可以判断四边形 ECFB 为正方形的是()A ．BC＝AC B．CF⊥BF图 1－3－21C．BD＝ DF D．AC＝BF11．教材习题 1.8 第 3 题变式题如图 1－3－22，正方形 ABCD 的边长为 8，在各边上按序截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是()图 1－3－22A ．30 B．34 C．36 D．4012．2019·贵阳期末如图 1－3－23，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 订交于点 O，E 是 BD 延伸线上的点，且△ ACE 是等边三角形．(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)若∠ AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD 是正方形．图 1－3－23 13．如图 1－3－24，在△ ABC 中， AB＝AC，AD⊥ BC，垂足为 D，AN 是△ABC 外角∠ CAM 的均分线， CE⊥AN，垂足为 N.(1)求证：四边形 ADCE 为矩形；(2)当△ABC 知足什么条件时，四边形ADCE 为正方形？并给出证明．图 1－3－2414．察看如图 1－3－25 所示图形的变化过程，解答以下问题：图 1－3－25如图 1－3－26，在△ABC 中， D 为 BC 边上的一动点 (点 D 不与 B，C 两点重合 )，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F.(1)尝试究当 AD 知足什么条件时，四边形AEDF 为菱形，并说明原因；(2)在(1)的条件下，当△ABC 知足什么条件时，四边形AEDF 为正方形？为何？图 1－3－26 15．如图 1－3－27，在四边形 ABCD 中，E，G 分别是 AD，BC 的中点， F，H 分别是 BD，AC 的中点．(1)当 AB，CD 知足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？并证明你的结论；(2)当 AB，CD 知足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？并证明你的结论；(3)当 AB，CD 知足什么条件时，四边形EFGH 是正方形？并证明你的结论．图 1－3－27正方形第二节1．B 2.AB＝ BC(答案不独一 )3．D4．C .5．解：在正方形ABCD 中， AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴AF＝BP＝CQ＝DE.又∵∠ A＝∠ B＝∠ C＝∠ D＝90°，∴△ AFP≌△ BPQ≌△ CQE≌△ DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∴四边形 PQEF 是菱形．∵△AFP≌△BPQ，∴∠ APF＝∠ BQP.∵∠ BPQ＋∠ BQP＝90°＝∠ BPQ＋∠ APF，∴∠ FPQ＝90°，∴四边形 PQEF 为正方形．6．AB＝BC 或 AC⊥BD(答案不独一 )7．有一组邻边相等的矩形是正方形8．解： (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠ OBC＝∠ OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD 是矩形．(2)AB＝AD(或 AC⊥BD，答案不独一 )．9．D10.D11．B12．证明： (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ ACE 是等边三角形，∴EO⊥AC，即 AC⊥BD，∴四边形 ABCD 是菱形．(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ ACE 是等边三角形，∴EO 均分∠ AEC，11∴∠ AED＝2∠AEC＝2×60°＝ 30°.又∵∠ AED＝2∠EAD，∴∠ EAD＝15°，∴∠ ADO＝∠ EAD＋∠ AED＝15°＋ 30°＝ 45°.∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形 ABCD 是正方形．13．解： (1)证明：∵在△ABC 中， AB＝AC， AD⊥BC，∴∠ BAD＝∠ DAC.∵AN 是△ABC 外角∠ CAM 的均分线，∴∠ MAE＝∠ CAE，1∴∠ DAE＝∠ DAC＋∠ CAE＝2×180°＝ 90°.又∵ AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ ADC＝∠ CEA＝90°，唐宋或更早以前，针对“经学” “律学”“算学”和“书学”各科目，其相应教授者称为“博士”，这与此刻“博士”含义已经相去甚远。

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形正方形的性质与判定同步训练题含答案1. 正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，那么∠BFC为( )A．45° B．55° C．60° D．75°3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线相互平分B．对角线相互垂直C．对角线相等D．对角线相互垂直且相等4. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它外形改动．当∠B＝90°时，如图①，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图②，AC＝( )A. 2 B．2 C. 6 D．2 25. 如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，那么EF的长是( )A．7 B．8 C．7 2 D．7 36. 假定正方形的对角线长为2cm，那么它的面积是 cm2.7. 如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离区分为1和2，那么正方形的边长是_____.8. 如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，衔接EE′，那么EE′的长等于_______.9. 如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，那么菱形的边长为 cm.10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，那么△BEQ周长的最小值为 .11. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，区分以AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，衔接FN、EC.求证：FN＝EC.12. 如图，并排摆放两个正方形ABCD和FEBG，其中正方形FEBG的边长为3cm，那么图中阴影局部的面积是多少？.13. 如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.(1)求证：AE＝CF；(2)假定∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．14. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，衔接CE、DF.求证：CE＝DF.15. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延伸线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)假定点G在AD上，且∠GCE＝45°，那么GE＝BE＋GD成立吗？为什么？16. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E区分是边AB、BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)证明：∠BAE＝∠FEC；(2)证明：△AGE≌△ECF；(3)求△AEF的面积．参考答案：1---5 DCAAC6. 27. 58. 259. 1310. 611. 解：∵四边形ABEF、BCMN为正方形，∴AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEB＝∠EBC ＝90°，∵AB＝2BC，∴BE＝2BN，∴EN＝NB＝BC，∴在△FEN和△EBC中⎩⎪⎨⎪⎧ EF ＝BE ∠FEB ＝∠EBCEN ＝BC ，∴△FEN ≌△EBC(SAS)，∴FN ＝EC.12. 解：设正方形ABCD 的边长为a ，那么S 阴影局部＝S △EBG ＋S 梯形GBCD －S △ECD ＝12×3×3＋12(3＋a)a －12(3＋a)a ＝92(cm 2)． 13. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∵BE ⊥BF ，∴∠FBE ＝90°，∵∠ABE ＋∠EBC ＝90°，∠CBF ＋∠EBC ＝90°，∴∠ABE ＝∠CBF ，∵BE ＝BF ，∴△AEB ≌△CFB(SAS)，∴AE ＝CF ；(2) 80°14. 证明：∵ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ，∠EBC ＝∠FCD ＝90°， 又∵E 、F 区分是AB 、BC 的中点，∴BE ＝CF ，在△CEB 和△DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ BC ＝CD ∠B ＝∠DCFBE ＝CF ，∴△CEB ≌△DFC ，∴CE ＝DF.15. 证明：(1) 在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE ＝CF ；(2) GE ＝BE ＋GD 成立．理由是：∵由(1)得△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF ，∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.16. 证明：(1)∵∠AEF ＝90°，∴∠FEC ＋∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，∠AEB ＋∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠FEC ；(2)∵G 、E 区分是正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，∴AG ＝GB ＝BE ＝EC ，且∠AGE ＝180°－45°＝135°.又∵CF 是∠DCH 的平分线，∴∠ECF ＝90°＋45°＝135°.在△AGE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AG ＝EC ∠AGE ＝∠ECF ＝135°∠GAE ＝∠FEC ，∴△AGE ≌△ECF ；(3)由△AGE ≌△ECF ，得AE ＝EF.又∵∠AEF ＝90°，∴△AEF 是等腰直角三角形．由AB ＝a ，BE ＝12a ，知AE ＝52a ，∴S △AEF ＝12·AE·EF＝12·52a·52a ＝58a 2.。

正方形的性质与判定同步练习（典型题汇总）一.选择题1. 在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）A．1个B．2个C．4个D．无穷多个2. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（）A．B．C．2 D．3. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则( )A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S与BE长度有关4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．65. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+ S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．196. 如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．8二.填空题7. 延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______．8. 在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果AB=cm，那么EF＋EG的长为______．9. 已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8 cm，CA＝6 cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______ cm．10. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____.11. 如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．12. 如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…S n（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=．三.解答题13. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？14. 如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数．15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．参考答案一.选择题1.【答案】D；【解析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形EFGH 为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．2.【答案】B；【解析】解：如图甲，∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形，连接BD，则AB2+AD2=BD2，∴AB=AD=1，如图乙，∠B=60°，连接BD，∴△ABD为等腰三角形，∴AB=AD=1，∴BD=故选B．3. 【答案】A；4.【答案】B【解析】由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．5.【答案】B；6.【答案】C；【解析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，DE＝4．二.填空题7．【答案】112.5°，8cm2；8．【答案】5cm；【解析】AC＝BD＝10，EF＋EG＝5.9．【答案】2；10.【答案】7；【解析】因为ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠A＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为DE⊥、BF⊥，根据AAS易证△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，则EF的长＝7．11.【答案】13.【解析】因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=cm，所以菱形的边长=cm．故答案为：13．12.【答案】128；【解析】根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n ﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．故答案为128．三.解答题13.【解析】解：作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：则∠ADO=∠OEC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵点A的坐标为（1，），∴OD=1，AD=，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=90°，OC=AO，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，在△OCE和△AOD中，，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∴点C的坐标为（﹣，1）.14.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝B C．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE．∴∠ADE＝∠BCE＝30°．∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE．（2）∵△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE．∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE，∴∠DAE＝∠AF B．∵AD＝CD＝DE，∴∠DAE＝∠DE A．∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°，∴∠AFB＝75°．15．【解析】（1）在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有∴△ADQ≌△ABQ；（2）△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF∴由△DEQ∽△DAP得解得∴时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD ①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD=QA 此时△ADQ是等腰三角形；②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；③如图，设点P在BC边上运动到CP=x时，有AD=AQ∵∴又∵，∴∴∵∴即当时，△ADQ是等腰三角形。

北师大版九年级数学上册第一章 1.3正方形的性质与判定同步练习题第1课时正方形的性质1．正方形具有而菱形不一定具有的特征有(C)A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°C．对角线相等 D．对角线平分内角2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED为(C)A．15° B．35° C．45° D．55°3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(C)A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF的中点，那么CH5．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为(－1，5)．6．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是CD，BC的中点，AE与DF交于点P，连接CP，则CP57．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，延长DA到H，使DH＝DB，在DB 上截取DG＝DC，连接GH交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC＋FG＝1.5.其中正确结论的序号是①②③．8．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE ＝DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°.在△ABE和△ADF中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)． (2)∵△ABE≌△ADF， ∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF. ∵∠BAE ＋∠EAD＝90°，∴∠DAF ＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°. ∴EF ＝2AE ＝5 2.9．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 在对角线BD 上，AE ∥CF ，连接AF ，CE. (1)求证：△ABE≌△CDF；(2)试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF＝45°， 又∵AE∥CF，∴∠AEF ＝∠CFE. ∴∠AEB ＝∠CFD. ∴△ABE ≌△CDF(AAS)．(2)四边形AECF 是菱形．理由如下： 连接AC 交BD 于点O ，则AC⊥BD. ∵△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF.又∵OB＝OD ，∴OB －BE ＝OD －DF ，即OE ＝OF.又∵AC⊥EF，OA ＝OC ， ∴四边形AECF 是菱形．10．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，E 为AB 边上一点，F 为BC 边上一点，△EBF 的周长等于BC 的长．(1)若AB ＝24，BE ＝6，求EF 的长； (2)求∠EOF 的度数．解：(1)设BF ＝x ，则FC ＝BC －BF ＝24－x. ∵BE ＝6，BE ＋BF ＋EF ＝BC ， ∴EF ＝18－x.在Rt △BEF 中，BE 2＋BF 2＝EF 2， ∴62＋x 2＝(18－x)2，解得x ＝8. ∴EF ＝18－x ＝10.(2)在FC 上截取FM ＝FE ，连接OM ， ∵C △EBF ＝BE ＋EF ＋BF ＝BC ， ∴BE ＋EF ＋BF ＝BF ＋FM ＋MC. ∴BE ＝MC ＝6.∵四边形ABCD 为正方形， ∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCM＝45°. 在△OBE 和△OCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCM，BE ＝CM ，∴△OBE ≌△OCM(SAS)．∴∠EOB ＝∠MOC，OE ＝OM. ∴∠EOM ＝∠BOC＝90°. 在△OFE 和△OFM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OM ，OF ＝OF ，EF ＝MF ，∴△OFE ≌△OFM(SSS)． ∴∠EOF ＝∠MOF＝12∠EOM＝45°.11．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CB ，DC 延长线上的点，且BE ＝CF ，过点E 作EG ∥BF ，交正方形外角的平分线CG 于点G ，连接GF.求证：(1)AE⊥BF；(2)四边形BEGF 是平行四边形．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD＝90°. ∴∠ABE ＝∠BCF＝90°.在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS)． ∴AE ＝BF ，∠BAE ＝∠CBF.∵EG ∥BF ，∴∠CBF ＝∠CEG.∴∠CEG＝∠BAE.∵∠BAE ＋∠BEA＝90°，∴∠CEG ＋∠BEA＝90°，即∠AEG＝90°. ∴AE ⊥EG.又∵EG∥BF，∴AE ⊥BF. (2)延长AB 至点P ，使BP ＝BE ，连接EP ， 则AP ＝CE ，∠EBP ＝90°. ∴∠P ＝45°.∵CG 为正方形ABCD 外角的平分线， ∴∠ECG ＝45°.∴∠P ＝∠ECG. 在△APE 和△ECG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠P＝∠ECG，AP ＝EC ，∠PAE ＝∠CEG，∴△APE ≌△ECG(ASA)．∴AE＝EG. ∵AE ＝BF ，∴EG ＝BF. ∵EG ∥BF ，∴四边形BEGF 是平行四边形．12．如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，∠CDE 的平分线交AM 延长线于点F.(1)如图1，若点E 为线段AM 的中点，BM ∶CM ＝1∶2，BE ＝10，求AB 的长； (2)如图2，若DA ＝DE ，求证：BF ＋DF ＝2AF.解：(1)设BM ＝x ，则CM ＝2x ，BA ＝BC ＝3x. 在Rt △ABM 中，E 为斜边AM 的中点，∴AM＝2BE＝210.∵AM2＝MB2＋AB2，∴40＝x2＋9x2，解得x＝2.∴AB＝3x＝6.(2)证明：如图，过点A作AH⊥AF，交FD的延长线点H，过点D作DP⊥AF于点P.∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2.∵DE＝DA，DP⊥AF，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∴∠2＋∠3＝45°.∴∠DFP＝90°－45°＝45°.∴AH＝AF.∴HF＝2AF.∵∠BAF＋∠DAF＝90°，∠HAD＋∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH.又∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADH(SAS)．∴BF＝DH.∵HF＝DH＋DF＝BF＋DF，∴BF＋DF＝2AF.第2课时正方形的判定1．下列说法中，不正确的是(D)A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．对角线垂直的矩形是正方形D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形2．如图，将矩形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE.若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(A)A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC ＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)A．①② B．②③ C．①③ D．②④4．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是(A)A．AB＝CD，AB⊥CDB．AB＝CD，AD＝BCC．AB＝CD，AC⊥BDD．AB＝CD，AD∥BC5．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，当边＋1)∶2时，四边形AECF是正方形．6．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是7．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD 外一点，连接BE，CE.现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的是①②③④．(填序号)8．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．正确结论的序号是①②③．9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE＋DF＝AF＋DE.其中正确的是②③④(填序号)．10．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB，PC相交于点P.(1)猜想四边形PCOB是什么四边形？并说明理由；(2)当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形？解：(1)四边形PCOB是菱形．理由如下：∵PB∥AC，PC∥BD，∴四边形PCOB为平行四边形．∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OC.∴四边形PCOB为菱形．(2)当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形．理由如下：∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，∴四边形PCOB为正方形．11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC. ∵△ACE 是等边三角形， ∴EO ⊥AC ，即 BD⊥AC. ∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵△ACE 是等边三角形，EO ⊥AC ，AO ＝OC ， ∴∠AEO ＝∠CEO＝30°.∵∠AED ＝2∠EAD，∴∠EAD ＝15°. ∴∠DAO ＝∠EAO－∠EAD＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BAD ＝2∠DAO＝90°. ∴四边形ABCD 是正方形．12．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC. (1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE≌△CDE(SSS)．∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD.∴∠CDE＝∠CBD.∴BC＝CD.∵AD＝CD，∴BC＝AD.∴四边形ABCD为平行四边形．∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.∵∠C BE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180°×22＋3＋3＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°.∴∠ABC＝90°.∴四边形ABCD是正方形．13．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝22，CE＝2，求CG的长；(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．解：(1)证明：作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，∵∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP.∴∠CEQ＝∠CEP＝45°.∴∠QEF ＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°. ∴∠QEF ＝∠PED.在△EQF 和△EPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠QEF＝∠PED，EQ ＝EP ，∠EQF ＝∠EPD，∴△EQF ≌△EPD(ASA)．∴EF＝ED. ∴矩形DEFG 是正方形．(2)在Rt △ABC 中，AC ＝2AB ＝4. ∵EC ＝2，∴AE ＝CE ＝2. ∴DE ⊥AC ，DE ＝EC.∴点F 与C 重合，此时△DCG 是等腰直角三角形． ∴CG ＝2.(3)∠EFC ＝130°或40°.第3课时 正方形的性质与判定的运用1．如图所示，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，过点O 作OE⊥OF，分别交AB ，BC 于E ，F.若AE ＝4，CF ＝3，则EF 的长为(C)A ．3B ．4C ．5D ．62．将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是(B)A．n B．n－1C．4(n－1) D．4n3．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O，点E是边AB上一动点，点F在边BC上，且满足OE⊥OF，在点E由A运动到B的过程中，以下结论中正确的个数为(B)①线段OE的大小先变小后变大；②线段EF的大小先变大后变小；③四边形OEBF的面积先变大后变小．A．0 B．1 C．2 D．34．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．5．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH26．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC，CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上．若CE＝35，且∠ECF＝45°，则CF的长为8．如图，已知在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC与CD上的点，且∠EAF＝45°，AE与AF分别交对角线BD于点M，N，则下列结论正确的是①②④．①∠BAE＋∠DAF＝45°；②∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；③BM＋DN＝MN；④BE＋DF＝EF.9．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是10．如图，已知正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°.求证：MN＝DN－BM.证明：在DN上截取DE＝MB，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD ＝AB ，∠D ＝∠ABM＝90°. 在△ABM 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABM ＝∠D，BM ＝DE ，∴△ABM ≌△ADE(SAS)． ∴AM ＝AE ，∠MAB ＝∠EAD. ∵∠MAN ＝∠MAB＋∠BAN＝45°， ∴∠DAE ＋∠BAN＝45°. ∴∠EAN ＝∠MAN＝45°.在△AMN 和△AEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AE ，∠MAN ＝∠EAN，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AEN(SAS)． ∴MN ＝EN. ∵EN ＝DN －DE ， ∴MN ＝DN －BM.11．操作：将一把三角尺放在如图1的正方形ABCD 中，使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q.探究：(1)如图2，当点Q 在DC 上时，求证：PQ ＝PB ；(2)如图3，当点Q 在DC 延长线上时，(1)中的结论还成立吗？简要说明理由．解：(1)证明：过点P 作PN⊥AB 于点N ，NP 延长线交CD 于点M ，在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACD ＝45°， ∴∠PMQ ＝∠PNB ＝∠CBN＝90°. ∴四边形CBNM 是矩形．∴CM ＝BN ，△CMP 是等腰直角三角形． ∴PM ＝CM ＝BN.∵∠PBN ＋∠BPN＝90°，∠BPN ＋∠MPQ＝90°， ∴∠MPQ ＝∠PBN.在△PMQ 和△BNP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPQ＝∠NBP，∠PMQ ＝∠BNP，PM ＝BN ，∴△PMQ ≌△BNP(AAS)． ∴PQ ＝PB.(2)(1)中结论成立．理由：过点P 作PN⊥AB 于点N ，NP 延长线交CD 于点M ， 在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACD ＝45°， ∴∠PMQ ＝∠PNB＝∠CBN＝90°. ∴四边形CBNM 是矩形．∴CM ＝BN ，∴△CMP 是等腰直角三角形． ∴PM ＝CM ＝BN.∵∠PBN ＋∠BPN＝90°，∠BPN ＋∠MPQ＝90°， ∴∠MPQ ＝∠PBN.在△PMQ 和△BNP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPQ＝∠NBP，∠PMQ ＝∠BNP，PM ＝BN ，∴△PMQ ≌△BNP(AAS)． ∴PQ ＝PB.12．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一动点(不与B，C重合)：①CE平分∠DCF；②AP⊥PE；③AP＝EP.以此三个条件中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①.(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答)；(2)请选择一个你认为正确的命题给予证明．解：(1)上述三个命题均正确．(2)答案不唯一，选①③⇒②证明：在AB上截取AM＝CP，则BM＝BP.∴∠BMP＝∠BPM＝45°，∠AMP＝135°.∵CE平分∠DCF，∴∠DCE＝45°.∴∠ECP＝135°.过点A作AG⊥MP交MP的延长线于点G，过点P作PH⊥EC交EC的延长线于点H，∴∠AMG＝∠PCH＝45°，∠G＝∠H.∴△AGM≌△PHC(AAS)．∴AG＝PH.∵AP＝PE，∴Rt△AGP≌Rt△PHE(HL)．∴∠GPA＝∠PEH.∵∠BPM＝∠CPH＝45°，B，P，C三点共线，∴M，P，H三点共线．∵∠PEH＋∠EPH＝90°，∴∠GPA＋∠EPH＝90°.∴∠APE＝90°.∴AP⊥PE.。

1.3《正方形的性质与判定》同步练习一、填空题1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______。

2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角。

它有______条对称轴。

3．正方形的判定：(1)____________________________________的平行四边形是正方形；(2)____________________________________的矩形是正方形；(3)____________________________________的菱形是正方形。

4．对角线________________________________的四边形是正方形。

5．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______。

6．延长正方形ABCD 的BC 边至点E ，使CE ＝AC ，连结AE ，交CD 于F ，那么∠AFC 的度数为______，若BC ＝4cm ，则△ACE 的面积等于______。

7．如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，则∠ACE ＝ 。

8．如图，已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 。

二、选择题。

1、已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( ) A ．选①② B ．选②③ C ．选①③ D ．选②④2、四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ，AC ⊥BD ，分别过点A ，B ，C ，D 作对角线的平行线，所成的四边形EFMN 是( )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．任意四边形3、已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是（ ） A.如果＝，＝，那么四边形是平行四边形 B.如果，＝，那么四边形是矩形 C.如果＝，，那么四边形是菱形 D.如果＝，垂直平分，那么四边形是正方第7题图 第8题图4、满足下列条件的四边形是正方形的是（）A.对角线互相垂直平分的平行四边形B.对角线互相平分且相等的矩形C.对角线互相垂直平分的菱形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形5、如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°题5图题6图题7图6、如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（）A.76B.70C.48D.247、如图,在四边形中，点是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是（）A.，B.，C.，D.，，8、如图，四边形是正方形，对角线，交于点，下列结论：①；②；③；④正方形有四条对称轴．上述结论正确的有（）A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④9、下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A.个B.个C.个D.个三、解答题1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB交AB于D，DF//BC,DE//AC。

第一章特殊的平行四边形一．选择题（共10小题）1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20 B．24 C．40 D．482．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．5B．2C．D．3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（）A．6 B．8 C．14 D．284．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的为（）A．OA＝OC B．BC＝DC C．AD＝BC D．AD＝DC5．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④6．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN，CN⊥AN，MN为垂足若AB＝a，则DM+CN的值为（）A．a B．a C．D．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（）A．B．2 C．1.5 D．8．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB 9．正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（）A．4B．32 C．64 D．12810．在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（）A．∠1＝∠2 B．BE＝DF C．∠EDF＝60°D．AB＝AF二．填空题（共10小题）11．已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝23°．则∠FEC＝度．12．在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝12，则菱形ABCD的面积是．13．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为（写出一个即可）15．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝5时，线段BC的长为．16．如图1，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，我们把的值叫做这个菱形的“形变度”．例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线BD分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为2：．如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，△AEF（A、E、F是格点）同时形变为△A′E′F′，若这个菱形的“形变度”k＝，则S△A′E′F′＝．17．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．18．如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为cm2．19．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．20．如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE＝5，BF＝3，则EF的长为．三．解答题（共7小题）21．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AB＝，OA＝a，OB＝b，且a，b满足：．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求的值．22．如图，点A、B、C、D依次在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，已知BE ∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）填空：若AD＝7，AB＝2.5，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，菱形BFCE的面积是．23．已知：AC，BD为菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点EF分别在AD，CD边上，且∠EBF＝60°．（1）求证：△BEF是等边三角形；（2）当∠ABE＝15°时，AB＝1+，求BE．24．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）求菱形AECF的面积．25．（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF ＝．若AB＝4，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．26．在正方形ABCD的外侧作等腰△ABE，已知∠EAB＝a，连接ED交等腰△ABE底边上的高AF所在的直线于点G．（1）如图1，若a＝30°，求∠AGD的度数；（2）如图2，若90°＜a＜180°，BE＝8，DE＝14，则此时AE的长为．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm；P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，求经过多长时间四边形ABQP为矩形？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5（cm），∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∵菱形ABCD的周长为24，∴AD＝AB＝6，∵AC+BD＝16，∴AO+BO＝8，∴AO2+BO2+2AO•BO＝64，∵AO2+BO2＝AB2，∴AO•BO＝14，∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，故选：D．4．【解答】解：A、若AO＝OC，且BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∴∠BAO＝∠OCD，且∠OAB＝∠OAD∴∠OAD＝∠OCD∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形故A选项不符合题意B、若BC＝DC，BO＝DO∴AC是BD的垂直平分线∴AB＝AD则不能判断四边形ABCD是菱形故B选项符合题意，C、∵∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，∴AB＝AD，且BO＝DO∴AC垂直平分BD∴BC＝CD，且AD＝BC∴AB＝AD＝BC＝CD∴四边形ABCD是菱形故C选项不符合题意D、∵∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，∴AB＝AD，且BO＝DO∴AC垂直平分BD∴BC＝CD，且AD＝CD∴AB＝AD＝BC＝CD∴四边形ABCD是菱形故D选项不符合题意故选：B．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，∴2OG＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△DEG（SAS），△BCO≌△DEG（SAS），△CDO≌△DEG（SAS），△AOD≌△DEG（AAS），△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），∴②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选：A．6．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，CD＝AB＝a，∴AN平分∠DAB，∴∠DAM＝45°，∴∠CEN＝∠DEM＝45°，∵DM⊥AN，CN⊥AN，∴△DME和△CNE是等腰直角三角形，∴DM＝DE，CN＝CE，∴DM+CN＝（DE+CE）＝CD＝a；故选：C．7．【解答】解：连接BE，如图所示：由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，∴S△BDE＝2S△BOE＝．∴DE•AB＝，又∵AB＝2，∴DE＝，∴BE＝在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝1.5．故选：C．8．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝∠CDB，∴OD＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．9．【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为8，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）∴S＝×8×8＝32，故选：B．10．【解答】解：由正方形的性质知，∠ACD＝∠ACB＝45°，BC＝CD，CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴BF＝FD，同理，BE＝ED，∴当BE＝DF，有BF＝FD＝BE＝ED，四边形BEDF是菱形．故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝∠EAF＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC，∴∠BAE＝∠FAC，且AB＝AC，∠B＝∠ACF∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝∠D＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，又∠AEC＝∠B+∠BAE＝83°，∴∠CEF＝83°﹣60°＝23°．故答案为：2312．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝6，∴∠AOD＝90°，∴OD＝＝8，∴BD＝2OD＝16，∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×12×16＝96，故答案为96．13．【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝10若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．∵AB•OC＝AC•BC，∴OC＝．∴OB＝＝∴AD＝AB﹣2OB＝故答案为：14．【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB＝AD（AD＝CD，BC＝CD，AB＝BC）也可添加∠1＝∠2，根据平行四边形的性质，可求AD＝CD．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．故答案为：AB＝AD（答案不唯一）15．【解答】解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．故答案为：5．16．【解答】解：如图，在图2中，形变前正方形的面积为：a2，形变后的菱形的面积为：a•a＝a2，∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：a2：a2＝2：，∵这个菱形的“形变度”为2：．∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比＝这个菱形的“形变度”，S△AEF＝×2×2+×2×2＝4，∵若这个菱形的“形变度”k＝，∴＝，即＝，∴S△A′E′F′＝．故答案为：．17．【解答】解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），所以剩余白色长方形的周长＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案为4b﹣2a．18．【解答】解：如图，向下平移2cm，即AE＝2，则DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4cm向左平移1cm，即CF＝1，则DF＝DC﹣CF＝6﹣1＝5cm则S矩形DEB'F＝DE•DF＝4×5＝20cm2故答案为：2019．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．20．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAF+∠EAD＝90°，∵BF⊥a，DE⊥a，∴∠AED＝∠AFB＝90°∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，∴△AFB≌△DEA，∴AF＝ED＝5，AE＝BF＝3，∴EF＝AF+AE＝5+3＝8，故答案为：8三．解答题（共7小题）21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∵OA＝a，OB＝b，AB＝，∴a2+b2＝5，，∵a，b满足：．∴a2b2＝4，∴ab＝2，∴△AOB的面积＝ab＝1，∴菱形ABCD的面积＝4△AOB的面积＝4；（2）∵a2+b2＝5，ab＝2，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，∴a+b＝3，∴＝．22．【解答】（1）证明：∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB，∴∠EBA＝∠FCD，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF，AB＝CD，∴四边形BFCE是平行四边形．（2）解：连接EF交BC于O，如图所示：∵AD＝7，AB＝DC＝2.5，∴BC＝AD﹣AB﹣DC＝2，∵四边形BFCE是菱形，∠EBD＝60°，EF⊥BC，OB＝BC＝1，OE＝OF，∴△CBE是等边三角形，∠BEO＝30°，∴BC＝EC＝2，∴OE＝OB＝，∴EF＝2，∴菱形BFCE的面积＝BC×EF＝×2×2＝2；故答案为：2．23．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝BC＝CD，且∠BAD＝60°∴△ABD是等边三角形，∠ADC＝120°∴AB＝AD＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°∴∠ABD＝∠EBF＝60°＝∠BDC，∴∠ABE＝∠DBF，∠BAD＝∠BDF＝60°，且AB＝BD∴△ABE≌△DBF（ASA）∴BE＝BF，且∠EBF＝60°．∴△BEF是等边三角形（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，作∠GEB＝∠ABE＝15°，∴∠EGH＝30°，GE＝GB，设HE＝x，在Rt△GHE中，∠EGH＝30°∴GE＝2x＝BG，HG＝x，在Rt△AHE中，∠BAD＝60°∴AH＝x，∵AB＝AH+HG+BG＝1+∴x+x+2x＝1+∴x＝∴HE＝∴BH＝∵BE2＝HE2+BH2，∴BE2＝（）2+（）2，∴BE＝24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACE，∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACF，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，∴a2＝122+（18﹣a）2，∴a＝13，∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝156cm2．25．【解答】解：（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，如图1，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF＝∠ABH，AD＝AB，在△ADF和△ABH中，，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH＝∠DAF，AF＝AH，∴∠FAH＝90°，∴∠EAF＝∠EAH＝45°，在△FAE和△HAE中，，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF＝HE＝BE+HB，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝EF+CE+CF＝BE+CE+DF+CF＝BC+CD＝2AB＝8．故答案为：EF；8．（2）EF＝BE+DF，理由如下：延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，如图2，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝∠C＝90°，∠EAF＝45°，即∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．26．【解答】解：（1）∵AE＝AB，AF⊥BE，∠EAB＝30°∴∠FAE＝15°∵∠EAB＝30°，∠BAD＝90°∴∠EAD＝120°，且AE＝AD∴∠AED＝∠ADE＝30°∴∠AGD＝∠AED+∠EAF＝45°（2）如图，连接AC，BD交于点O，连接FO，∵四边形ABCD是正方形∴BO＝DO，BD＝AB，∠ABD＝∠ADB＝45°∵AE＝AB，AF⊥BE∴∠AEB＝∠ABE，EF＝BF＝4，且BO＝DO∴FO＝DE＝7，FO∥DE∵AE＝AD∴∠AED＝∠ADE∵∠ABD+∠ADB+∠AED+∠ADE+∠AEB+∠ABE＝180°∴2（∠AEB+∠AED）＝90°∴∠DEB＝45°∵FO∥DE∴∠BFO＝45°，且BM⊥FO∴FM＝BM，∴BF＝BM＝4∴BM＝FM＝4∴MO＝3∴BO＝＝5∴BD＝2BO＝10∴AB＝5＝AE故答案为：527．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，∴AD＝BC＝12cm．当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ．①当0＜t＜3时，t＝12﹣4t，解得，t＝；②当3≤t＜6时，t＝4t﹣12，解得t＝4；③当6≤t＜9时，t＝36﹣4t，解得t＝；④当9≤t≤12时，t＝4t﹣36，解得，t＝12．综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．。