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2012考研《数学》大纲解析及备考指导汇总考试科目:微积分 . 线性代数 . 概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150分,考试时间为 180分钟 .二、答题方式答题方式为闭卷、笔试 .三、试卷内容结构微积分约 56%线性代数约 22%概率论与数理统计 22%四、试卷题型结构试卷题型结构为:单项选择题选题 8小题,每题 4分,共 32分填空题 6小题,每题 4分,共 24分解答题 (包括证明题 9小题,共 94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性 . 单调性 . 周期性和奇偶性复合函数 . 反函数 . 分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系 .2. 了解函数的有界性 . 单调性 . 周期性和奇偶性 .3. 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念 .4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念 .5. 了解数列极限和函数极限 (包括左极限与右极限的概念 .6. 了解极限的性质与极限存在的两个准则, 掌握极限的四则运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限的方法 .7. 理解无穷小的概念和基本性质 . 掌握无穷小量的比较方法 . 了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系 .8. 理解函数连续性的概念 (含左连续与右连续 ,会判别函数间断点的类型 .9. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性, 理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理 . 介值定理 ,并会应用这些性质 .二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数 . 反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L´Hospital法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性 . 拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系, 了解导数的几何意义与经济意义 (含边际与弹性的概念 ,会求平面曲线的切线方程和法线方程 .2. 掌握基本初等函数的导数公式 . 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数 .3. 了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数 .4. 了解微分的概念, 导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性, 会求函数的微分 .5. 理解罗尔 (Rolle定理 . 拉格朗日 ( Lagrange中值定理 . 了解泰勒定理 . 柯西(Cauchy中值定理,掌握这四个定理的简单应用 .6. 会用洛必达法则求极限 .7. 掌握函数单调性的判别方法, 了解函数极值的概念, 掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用 .8. 会用导数判断函数图形的凹凸性 (注:在区间内,设函数具有二阶导数 . 当时,的图形是凹的 ; 当时,的图形是凸的 ,会求函数图形的拐点和渐近线 .9. 会描述简单函数的图形 .三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨 (Newton- Leibniz公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常 (广义积分定积分的应用考试要求1. 理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质和基本积分公式,掌握不定积分的换元积分法和分部积分法 .2. 了解定积分的概念和基本性质, 了解定积分中值定理, 理解积分上限的函数并会求它的导数, 掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法 .3. 会利用定积分计算平面图形的面积 . 旋转体的体积和函数的平均值,会利用定积分求解简单的经济应用问题 .4. 了解反常积分的概念,会计算反常积分 .四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值 . 最大值和最小值二重积分的概念 . 基本性质和计算 **区域上简单的反常二重积分考试要求1. 了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义 .2. 了解二元函数的极限与连续的概念, 了解有界闭区域上二元连续函数的性质 .3. 了解多元函数偏导数与全微分的概念 , 会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分 , 会求多元隐函数的偏导数 .4. 了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件, 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值, 会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决简单的应用问题 .5. 了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法 (直角坐标 . 极坐标 . 了解 **区域上较简单的反常二重积分并会计算 .五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级杰的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径 . 收敛区间 (指开区间和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1. 了解级数的收敛与发散 . 收敛级数的和的概念 .2. 了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件, 掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件,掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法 .3. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系, 了解交错级数的莱布尼茨判别法 .4. 会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 .5. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质 (和函数的连续性、逐项求导和逐项积分 ,会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数 .6. 了解 ... 及的麦克劳林 (Maclaurin展开式 .六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 .2. 掌握变量可分离的微分方程 . 齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法 .3. 会解二阶常系数齐次线性微分方程 .4. 了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式 . 指数函数 . 正弦函数 . 余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 .5. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 .6. 了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 .7. 会用微分方程求解简单的经济应用问题 .线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行 (列展开定理考试要求1. 了解行列式的概念,掌握行列式的性质 .2. 会应用行列式的性质和行列式按行 (列展开定理计算行列式 .二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1. 理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质,了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质 .2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律, 了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质 .3. 理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件, 理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵 .4. 了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法 .5. 了解分块矩阵的概念,掌握分块矩阵的运算法则 .三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1. 了解向量的概念,掌握向量的加法和数乘运算法则 .2. 理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念, 掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法 .3. 理解向量组的极大线性无关组的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩 .4. 理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行 (列向量组的秩之间的关系 .5. 了解内积的概念 . 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特 (Schmidt方法 .四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆 (Cramer法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组 (导出组的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1. 会用克莱姆法则解线性方程组 .2. 掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法 .3. 理解齐次线性方程组的基础解系的概念, 掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法 .4. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 .5. 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法 .五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1. 理解矩阵的特征值、特征向量的概念, 掌握矩阵特征值的性质, 掌握求矩阵特征值和特征向量的方法 .2. 理解矩阵相似的概念, 掌握相似矩阵的性质, 了解矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 .3. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 .六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1. 了解二次型的概念, 会用矩阵形式表示二次型, 了解合同变换与合同矩阵的概念 .2. 了解二次型的秩的概念, 了解二次型的标准形、规范形等概念, 了解惯性定理,会用正交变换和配方法化二次型为标准形 .3. 理解正定二次型 . 正定矩阵的概念,并掌握其判别法 .概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1. 了解样本空间 (基本事件空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系及运算 .2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes公式等 .3. 理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算 ; 理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法 .二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1. 理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率 .2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念, 掌握 0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松 (Poisson分布及其应用 .3. 掌握泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布 .4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念, 掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用,其中参数为的指数分布的概率密度为5. 会求随机变量函数的分布 .三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1. 理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质 .2. 理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布 .3. 理解随机变量的独立性和不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件,理解随机变量的不相关性与独立性的关系 .4. 掌握二维均匀分布和二维正态分布,理解其中参数的概率意义 .5. 会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布, 会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布 .四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望 (均值、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫 (Chebyshev不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1. 理解随机变量数字特征 (数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征 .2. 会求随机变量函数的数学期望 .3. 了解切比雪夫不等式 .五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利 (Bernoulli大数定律辛钦 (Khinchine大数定律棣莫弗 -拉普拉斯 (De Moivre-Laplace定理列维 -林德伯格 (Levy-Lindberg定理考试要求1. 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 (独立同分布随机变量序列的大数定律 .2. 了解棣莫弗 -拉普拉斯中心极限定理 (二项分布以正态分布为极限分布、列维 -林德伯格中心极限定理 (独立同分布随机变量序列的中心极限定理 ,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 .六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1. 了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念, 其中样本方差定义为2. 了解产生变量、变量和变量的典型模式 ; 了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数,会查相应的数值表 .3. 掌握正态总体的样本均值 . 样本方差 . 样本矩的抽样分布 .4. 了解经验分布函数的概念和性质 .七、参数估计考试内容点估计的概念考试要求估计量与估计值矩估计法最大似然估计法 1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念. 2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩和最大似然估计法 2012 考研数学大纲(数三的延伸阅读——GCT 考试各科技巧小贴士 GCT 有四部分组成：英语、数学、语文、逻辑。
2012考研《数学》大纲综述及备考指导2011年9月15日教育部考试中心发布了2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲，与去年相比考试内容和考试要求上没有变化，具体如下：试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分;填空题 6小题，每小题4分，共24分;解答题(包括证明题) 9小题，共94分.数学一高等数学部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.概率论与数理统计部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.数学二高等数学部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.数学三2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.概率论与数理统计部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.农学数学高等数学部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.概率论与数理统计部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.大纲在考试要求和考试内容上没有变化，对于考生来说可以按照既定的复习计划，按部就班的进行备考了。
与此同时，同学们最好能够根据考试大纲上的知识点再系统的复习一下相应的考试点，一方面可以起到巩固提高的作用，另外一方方面，可以形成知识体系脉络。
第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义 定义：若极限()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，此极限值称为函数()y f x =在点0x 处的导数。
记为： ()0f x '、0x x y ='、0x x dy dx =、()0x x df x dx = （或极限()()lim 000x x f x f x x x →--存在也可）()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆单侧导数：左导数：()()lim 000x f x x f x x-∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x -→--存在，则称左导数存在，记为：()0f x -'。
右导数：()()lim 000x f x x f x x+∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x +→--存在，则称右导数存在，记为：()0f x +'。
【例1】（89一）已知()32f '=，则【例2】（87二）设()f x 在x a =处可导，则（A ）()f a '. （B ）()2f a '.（C ）0. （D ）()2f a '.【例3】（89二）设()()()()12f x x x x x n =+++，则()0f '= .（C）可导，但导数不连续. （D）可导，但导数连续.处的（A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在.（C）左导数不存在，但右导数存在.（D）左、右导数都不存在.【例7】（96二）设函数()f x在区间(,)-δδ内有定是()f x的（A）间断点. （B）连续而不可导的点. （C）可导的点，且()00f'=.（D）可导的点，且()00f'≠.【例8】（90三）设函数()f x 对任意的x 均满足等式()()1f x af x +=，且有()0f b '=，其中a 、b 为非零常数，则（A ）()f x 在1x =处不可导.（B ）()f x 在1x =处可导，且()1f a '=.（C ）()f x 在1x =处可导，且()1f b '=.（D ）()f x 在1x =处可导，()1f ab '=.二、导数的几何意义和物理意义导数的几何意义： 切线的斜率为：()()tan lim 00x x f x f x k x x →-==-α， ()()00f x f x x x --导数的物理意义：某变量对时间t 的变化率，常见的有速度和加速度。
高联考研 考研数学高分基础班讲义20122012年考研数学高分基础班讲义(武忠祥)第一部分 考研数学复习指导 为了使考生更好的复习数学，达到事半功倍。
我们给考生提供以下四个方面的建议：一、了解命题的指导思想1．以教育部颁布的《硕士研究生入学统一考试大纲》为指导进行命题。
考试内容、考试要求、内容比例、题型比例符合大纲规定，不出超纲题、偏题、怪题。
2．试题以考查数学的基本概念、基本思想和基本原理为主，在此基础上加强对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考查。
3．确定试卷题量的标准使优秀水平的考生能在规定的时间里完成试题作答并有一定的检查时间。
试题的排列顺序遵循先易后难，先简后繁的原则，有利于考生发挥其真实水平。
4．充分发挥各题型的功能。
填空题主要考查三基以及数学的重要性质，一般不出纯粹只靠计算的大计算量题，以中、低等难度试题为主。
选择题主要考查考生对数学概念、数学性质的理解并能进行简单的推理、判定、计算和比较，以中等难度试题为主。
主观性试题也有坡度，有些考查基本运算，有些考查综合应用，有些考查逻辑推理，有些考查分析问题和解决问题的能力。
5．试题有一定的内容覆盖面，但不要求面面俱到。
由于数学考试内容广泛，而考试时间有限，数量有限 ，一般要求保证重点章节被考查。
作为硕士研究生入学考试，应注重考查能力，试题不追求面面俱到，节节有题。
二、关于复习的建议数学复习可分为三个阶段：高联考研 2012考研数学高分基础班讲义1.基础阶段：(7月之前)全面复习，打好基础。
基本概念、基本理论、基本方法在这个阶段考生应根据考试大纲的要求选定教材（该课程的教科书），利用教材对所学过的基本概念、基本理论、基本方法进行全面系统的复习，对概念、理论和方法不能只停留在记忆，而要理解和消化。
这个阶段考生需做一些基本练习题，一般可做所选定教材后的练习题，不一定全做，每种类型选做一部分，这个阶段一般应在放暑假前完成。
新东方在线考研资料免费下载中心2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案解析一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim11x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =--- ,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'== . 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=-- .故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=-- 1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >= ，123n n S a a a a =++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( ) （A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【详解】因0(1,2,)n a n >= ，所以123n n S a a a a =++++ 单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n = ，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y >（C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( )（A ）π （B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】D【详解】本题涉及到的主要知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对或为奇函数，对或为偶函数在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰5222221(1sin )(1sin )2x x dx x dx πππππ--=---=-⎰⎰ 其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d y dx== .【答案】1【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。
试卷结构（一）题分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）内容比例高等教学约80％线性代数约20% （三）题型比例填空题与选择题约40％解答题（包括证明题）约60%。
全国硕士研究生入学考试数学二考试大纲[考试科目] 高等数学、线性代数、高等数学。
一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容。
导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数和微分的四则运算复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数的极值函数单调性的判别函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．4. 会求分段函数的一阶、二阶导数．5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．10．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分定积分的应用考试要求1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解广义积分的概念，会计算广义积分．6．了解定积分的近似计算法．7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数、隐函数求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。
年数学考试大纲考试内容和考试要求2010年数学考试大纲考试内容和考试要求 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 0sin lim 1x x =， 1lim 1x x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 ．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． ．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， 1lim 1x x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及利用两个重要极限求极限的方法．．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质．导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微微分中值定理 洛必达（L'Hospital ）法则 函函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率曲率圆与曲率半径 ．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital ）法则 数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径 考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程． ．会用降阶法解下列形式的微分方程： (,)f x y ' 和 (,)y f y y '''=．．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．．会用微分方程解决一些简单的应用问题． 分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用 考试要求 1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y '''== 和 (,)y f y y '''=． 4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理． 5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程． 6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程． 7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 ．了解行列式的概念，掌握行列式的性质． ．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的等价 分块矩阵及其运算 ．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质． ．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质． ．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵． ．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．．了解分块矩阵及其运算．可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算 考试要求 1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质． 3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法． 5．了解分块矩阵及其运算． 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性向量组的极大线性无关组 等价向量组 向向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的的正交规范化方法维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会考试内容 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法 考试要求 1．理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念． 2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法． 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会）方法．密特（Schmidt）方法．线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系非齐次线性方程组的通解．会用克莱姆法则．．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．．会用初等行变换求解线性方程组．考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．。
第二讲 导数与微分考研数学大纲考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.2.1内容概述一、导数的概念1、导数定义设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量xΔ（点x x Δ+0仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量)()(00x f x x f y −+=ΔΔ；如果y Δ与x Δ之比当0→x Δ时的极限存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称这个极限为函数)(x f y =在点0x 处的导数，即xx f x x f x y y x x x x ΔΔΔΔΔΔ)()(lim lim 00000−+==′→→= 记为)(0x f ′，0x x y =′，0x x dx dy =或0)(x x dx x df =．函数)(x f 在点0x 处可导时也说成)(x f 在点0x 具有导数或导数存在． 2、左导数、右导数设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，则称x x f x x f x f x ΔΔΔ)()(lim )(0000−+=′−→−（存在） 为)(x f 在0x 的左导数.设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，则称x x f x x f x f x ΔΔΔ)()(lim )(0000−+=′−→+（存在） 为)(x f 在0x 的右导数.显然，函数)(x f y =在点0x 可导的充分必要条件左、右导数存在且相等，即存在)(0x f ′)()(00x f x f +−′=′⇔．如果函数)(x f y =在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数)(x f 在开区间I 内可导, 这时, 对于任一I x ∈, 都对应着)(x f 的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数)(x f y =的导函数, 简称为导数，记作y ′,)(x f ′, dx dy , 或dx x df )(.即xx f x x f y x ΔΔΔ)()(lim 0−+=′→. 如果函数)(x f 在开区间),(b a 内可导, 且右导数)(a f +′和左导数)(b f −′都存在, 就说)(x f 有闭区间],[b a 上可导.3、导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f ′在几何上表示曲线)(x f y =在点))(,(00x f x M 处的切线的斜率, 即αtan )(0=′x f ，其中α是切线的倾角.如果)(x f y =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线)(x f y =)在点))(,(00x f x M 处具有垂直于x 轴的切线0x x =.4、导数的物理意义若质点作直线运动，在t 时刻质点的坐标为)(t f ，则)(0t f ′表示质点在0t 时刻的瞬时速度．二、导数的计算1、常数和基本初等函数的导数公式0)(=′C 1)(−=′μμμx xx x cos )(sin =′ x x sin )(cos −=′x x 2sec )(tan =′ x x 2csc )(cot −=′x x x tan sec )(sec =′ x x x cot csc )(csc −=′a a a x x ln )(=′ x x e e =′)(x a 1)(log =′ x 1)(ln =′ 211)(arcsin x x −=′ 211)(arctan x x +=′ 211)(arccos x x −−=′ 211)cot arc (x x +−=′． 2、函数的和、差、积、商的求导法则);()(])()([)1(x v x u x v x u ′±′=′±);(])([)2(x u x Cu ′=′);()()()(])()([)3(x v x u x v x u x v x u ′+′=′⋅)0)(()()()()()(])()([)4(2≠′−′=′x v x v x v x u x v x u x v x u 3、反函数的导数如果函数)(y x ϕ=在某区间y I 内单调、可导且0)(≠′y ϕ，那么它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ′=′，或dydx dx dy 1=．4、复合函数的求导法则如果)(x g u =在点x 可导, 函数)(x f y =在点)(x g u =可导, 则复合函数))((x g f y =在点x 可导, 且其导数为 )()(x g u f dxdy ′⋅′=或dx du du dy dx dy ⋅=． 5、隐函数的导数如果在方程0),(=y x F 中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程0),(=y x F 在该区间内确定了一个隐函数．其导数可通过等式0),(=y x F 两边对x 求导，将y 作为中间变量，按复合函数求导法则而得到．6、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数．设)(t x ϕ=具有单调连续反函数)(1x t −=ϕ, 且此反函数能与函数)(t y ψ=构成复合函数))((1x y −=ϕψ, 若)(t x ϕ=和)(t y ψ=都可导, 0)(≠′t ϕ，则)()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ′′=⋅=⋅=， 即 )()(t t dx dy ϕψ′′=或dtdx dt dy dx dy =. 若)(t x ϕ=和)(t y ψ=都二阶可导，0)(≠′t ϕ，那么由)(t x ϕ=, )()(t t dx dy ϕψ′′=有 dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ′′==)(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ′⋅′′′′−′′′= )()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ′′′′−′′′=. 注：参数方程所确定的函数的二阶导数公式不要死记，应掌握推倒过程．7、高阶导数（1）定义一般地, 函数)(x f y =的导数)(x f y ′=′仍然是x 的函数. 我们把)(x f y ′=′的导数叫做函数)(x f y =的二阶导数, 记作y ′′、)(x f ′′或22dxy d , 即 )(′′=′′y y , ])([)(′′=′′x f x f ，(22dx dy dx d dxy d =. 相应地, 把)(x f y =的导数)(x f ′叫做函数)(x f y =的一阶导数. 一阶导数的导数, 叫做二阶导数，类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地，)1(−n 阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ′′，y ′′′, L ,)4(y , )(n y 或22dx y d ，33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , n n dxy d . 函数)(x f y =具有n 阶导数, 也常说成函数)(x f y =为n 阶可导. 如果函数)(x f y =在点x 处具有n 阶导数, 那么函数)(x f y =在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.（2）几种常见函数的n 阶导数)2 sin()(sin )(π⋅+=n x x n )2cos()(cos )(π⋅+=n x x n x n x e e =)()( a a a n x n x ln )()(=⎪⎩⎪⎨⎧<=>+−−=−nm n m n m m x n m m m x n m n m 0!)1()1()()(L ， n n n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+−−=+− （3）高阶导数的运算法则)()()()(n n n v u v u ±=±v u n n v nu v u v u n n n n ′′−+′+=⋅−−)2()1()()(!2)1()( )()()()1()1(n k k n uv v u k n n n +++−−+−L L )()(0k k n nk k n v u C −=∑=．（莱布尼兹公式）．三、函数的微分1、微分的定义设函数)(x f y =在某区间内有定义, 0x 及x x Δ+0在这区间内, 如果函数的增量)()(00x f x x f y −+=ΔΔ可表示为)(x o x A y ΔΔΔ+=，其中A 是不依赖于x Δ的常数, 那么称函数)(x f y =在点0x 是可微的, 而x A Δ叫做函数)(x f y =在点0x 相应于自变量增量x Δ的微分, 记作dy , 即x A dy Δ=．2、函数可导、可微与连续之间的关系函数)(x f y =在点x 可微的充分必要条件是函数)(x f y =在点x 可导, 且当函数)(x f y =在点x 可微时, 其微分一定是)(x f dy ′=．函数)(x f 在点x 处可导⇔函数)(x f 在点x 处可微⇒)(x f 在点x 处连续．3、微分的几何意义当y Δ是曲线纵坐标增量时，dy 就是切线纵坐标对应的增量．如图设函数)(x f y =有导数)(x f ′，若x 是自变量时，dx x f dy )(′=；若x 是中间变量时，即x 是另一变量t 的可微函数)(t x ϕ=，则dt t x f dy )()(ϕ′′=，无论x x是自变量还是中间变量，函数)(x f y =的微分都具有形式dx x f dy )(′=，称之为微分形式的不变性．2.2 难点、疑点解析及重要公式与结论一、导数定义及其与极限的关系1、设)(0x f ′存在如果0)(lim =x u ，则)()())((lim 000x f x f x u x f ′=−+； 如果0)(lim x x u =，则)()()())((lim 00x f xx u x f x u f ′=−−． 2、设)(x f 在0x x =处连续，则A x f x f A x f x x =′=⇔=→)(,0)()(lim 0000； A x f x f k A x x x f k x x =′=⇒>=−→)(,0)()1()()(lim 0000； 0)()10()()(lim 000=⇒<<=−→x f k A x x x f k x x ，)(0x f ′不存在． 二、可导、可微、连续与极限的关系可导⇔可微⇒连续⇔)()(lim 00x f x f x x =→ 三、导数的几何意义切线方程： ))(()(000x x x f x f y −′=−． 法线方程： )()(1)(000x x x f x f y −′−=−． 特别地，如果0)(0=′x f ，切线方程为)(0x f y =，法线方程为0x x =；如果∞=′)(0x f ，切线方程为0x x =，法线方程为)(0x f y =．四、奇偶函数周期函数的导数（1）可导的偶函数的导数是奇函数，且0)0(=′f ；（2）可导的奇函数的导数是偶函数．（3）可导的周期函数的导数是周期函数，特别地，若周期函数)()(x f T x f =+，)(0x f ′存在，则)()(00x f T x f ′=+′．五、左右导数与导数的关系函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f −′和右导数)(0x f +′都存在且相等.六、含绝对值函数的可导性1、设)(lim 0x g x x →存在，那么||)(0x x x g −在0x 可导⇔0)(lim 0=→x g x x ．特别地，||0x x −在0x 不可导，)0(||)(00>−−ααx x x x 在0x 可导．2、设0)(0=x f ，)(0x f ′存在，则|)(|x f 在0x 可导⇔0)(0=′x f ．七、高阶导数公式1、设函数u 和v 具有n 阶导数，则)()()()()1(n n n v u v u ±=±v u n n v nu v u v u n n n n ′′−+′+=⋅−−)2()1()()(!2)1()()2( )()()(!)1()1(n k k n uv v u k k n n n +++−−+−L L )()(0k k n nk k n v u C −=∑=．（莱布尼兹公式）2、参数方程确定的函数的二阶导数设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的．若)(t x ϕ=和)(t y ψ=都二阶可导，0)(≠′t ϕ，那么由)(t x ϕ=, )()(t t dx dy ϕψ′′=有 dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ′′==)(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ′⋅′′′′−′′′= )()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ′′′′−′′′=． 3、基本初等函数的n 导数公式（1）!)()(n x n n =，（2）b ax n n b ax e a e ++=)()(， a a a n x n x ln )()(=， （3）)2sin())(sin()(π⋅++=+n b ax a b ax n n ， )2cos())(cos()(π⋅++=+n b ax a b ax n n ， （4）1)()(!)1(1++−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n n n n b ax n a b ax ， nn n n b ax n a b ax )()!1()1())(ln()(+−−=+．2.3典型例题题型Ⅰ 利用导数定义解题【解题提示】利用导数定义解题的情形：（1）分段函数在分界点处的导数；（2）已知)(0x f ′存在求极限或已知极限求)(0x f ′；（3）已知条件或要求的结论中涉及抽象函数)(x f 在某点0x 处的导数)(0x f ′等．【例2.1】 已知)(x f 在a x =处可导，则=−−+→xx a f x a f x )()(lim 0（ ） (A))(a f ′; (B) )(2a f ′; (C) 0; (D) )2(a f ′【分析】已知一点的导数，应考虑在此点按导数定义进行讨论．【评注】一般地，若)(0x f ′存在，则)()()()(lim 0000x f a b ah x f bh x f h ′−=+−+→ 【例2.2】 设函数)(arctan )()]sin(1ln[)(32x a x a x x f −+−+=，求)(a f ′【分析】因0)(=a f ，用定义直接求比较方便．【例2.3】 设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,1,32)(23x x x x x f ，则)(x f 在点1=x 处的（ ） (A)左、右导数都存在；(B) 左导数存在，但右导数不存在；(C) 左导数不存在，但右导数存在；(D) 左、右导数都不存在．【分析】利用左、右导数的定义讨论左、右导数，直接得正确选项．【评注】本题考查左、右导数的定义及按定义求导．【例2.4】 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，则=′)0(f 【分析】0=x 为分段函数)(x f 的分段点，直接用定义计算即可．【例2.5】 设)(x f 可导，|)|sin 1)(()(x x f x F +=，则0)0(=f 是)(x F 在0=x 处可导的（ ）(A)充分必要条件； (B)充分但非必要条件；(C)必要但非充分条件； (D)既非充分条件又非必要条件【分析】)(x F 的表达式中含有绝对值，本质上是一分段函数，因此其在分段点0=x 处的导数应按定义通过左、右进行分析．【评注】（1）含有绝对值的函数，一般来说应当做分段函数看待，因此其在一点的极限、连续和导数问题均应按定义通过左、右两侧进行分析讨论．（2）在分段点的导数一般用结论：A x f x f A x f =′=′⇔=′+−)()()(000【例2.6】 函数||)2()(32x x x x x f −−−=不可导点的个数是（ ）(A) 3 ； (B) 2 ； (C) 1； (D)0【分析】本题可按定义逐点讨论绝对值符号内为零的点是否均为不可导点，但计算工作量会很大．注意到||0x x −在0x x =处不可导，但||)(00x x x x −−在0x x =处可导，则可方便地找到答案．【评注】一般地，若)(|)(|)(x x f x F ϕ=，其中0)(0=x f ，)(0x f ′存在且不为零，)(x ϕ在0x x =处连续，则)(x F 在0x x =处可导的充要条件是0)(0=x ϕ．【例2.7】 设)(x f 在0=x 处连续，且1]2)(ln[lim 0=+→x f x ，则=′)0(f 【分析】xf x f f x )0()(lim )0(0−=′→，必须先由已知条件求出)0(f ，再进行讨论．【例2.8】 设0)1(=f ，a f =′)1(，求极限xx f e f x x cos ln )sin 1(1)(21lim 202++−+→． 【例2.9】 设)1()1(201lim )(−−→+++=x n x n x e b ax e x x f 可导，求a ，b 的值． 【例2.10】 函数||sin ||)2()(32x x x x x x f −−+=的不可导点是【分析】利用结论：设)(lim 0x g x x →存在，则||)()(0x x x g x f −=在0x 处可导⇔0)(lim 0=→x g x x 【例2.11】 设⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)(x f ′． 【分析】由于分段点0=x 的左右两边表达是不同，因此它的导数要通过左右导数来讨论，而非分段点处的导数利用导数公式计算即可．【例2.12】 设0)0(=f ，则)(x f 在点0=x 可导的充要条件为 （ ） (A) cosh)1(1lim 20−→f h h 存在； (B) )1(1lim 0h h e f h−→存在 ； (C) sinh)(1lim 20−→h f h h 存在(D) )]()2([1lim 0h f h f hh −→存在 【分析】当0)0(=f 时，)(x f 在点0=x 可导的充要条件是极限xx f x f x f f x x )(lim )0()(lim )0(00→→=−=′存在，因此四个答案中，关键是找出哪一个是与这个极限存在是等价的．【评注】（1）某些常见的不可导函数，如||)(x x f =在点0=x 处不可导，应该熟练掌握，这是典型的反例．事实上，在高等数学中每一章节的常见反例均应该适当记忆．【例 2.13】 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,10,1sin )(3x x x x x e x f x ，2)(x x x g +=，)()()(x g x f x =ϕ．试求)0(ϕ′′【例2.14】 设)(x f 有一阶连续导数，且0)0(=f ，0)0(=f ，则)1ln(10)](1[lim x x x f +→+=题型Ⅱ 导数在几何上的应用【解题提示】导数在几何上的应用主要是求曲线的切线与法线方程，而本质上是在一点导数的计算问题．因此，应熟练掌握显函数、隐函数、参数方程函数以及极坐标方程函数在一点的导数如何计算．一般地，曲线)(x y y =过其上一点),(00y x 的切线方程为 ))((000x x x y y y −′=− 法线方程为 )(1000x x y y −′−=− 【例2.15】 曲线⎩⎨⎧=+=221ty t x 在2=t 处的切线方程为 【分析】按照参数方程求导得切线斜率，代入点斜式即得切线方程．【例2.16】 曲线⎩⎨⎧==te y t e x t t cos 2sin 在点)1,0(处的法线方程为 【分析】本题通过求曲线的法线方程，考查参数方程所确定的函数在一点的导数．注意，由曲线过点)1,0(知此时对应参数0=t ．【例 2.17】 设函数)(x f y =由方程1)cos(2−=−+e xy e y x 所确定，则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为 ．【分析】本题综合了隐函数求导和导数的几何应用两个知识点，方程两边直接对x 求导得到0=x 处的导数值)0(f ′后，相应法线方程的斜率为)0(1f ′−，再用点斜式即可求出法线方程．【评注】对于由方程所确定的隐函数，若只已知0x x =，则应先将0x x =代入原方程确定相应的0y y =，再求过点),(00y x 的导数，得切线的斜率，再进行计算．【例 2.18】 已知曲线的极坐标方程是θρcos 1−=，求该曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程． 【分析】将极坐标方程化为参数方程，求出对应于6πθ=时点的直角坐标，利用参数方程求导得曲线在给定点处切线与法线的斜率，由点斜式得曲线的切线方程、法线方程．【评注】此题的关键是求极坐标定义的函数的导数，一般极坐标方程可化为参数方程：θθρcos )(=x ，θθρsin )(=y而求切线、法线方程则是一般的常规题型．【例2.19】 已知)(x f 是周期为5的连续函数，它在0=x 的某个邻域内满足关系式)(8)sin 1(3)sin 1(x x x f x f α+=−−+，其中)(x α是当0→x 时比x 高阶的无穷小，且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点))6(,6(f 处的切线方程．【分析】求点))6(,6(f 处的切线方程，关键是求出)6(f ′，而根据)(x f 是周期为5的函数知，问题进一步转化为求在1=x 处的导数)1(f ′，这恰好可通过已知关系式得到．【评注】若)(x f 是以T 为周期的可导函数，则由)()(x f T x f =+，有)()(x f T x f ′=+′，即其导数仍为同周期函数．本题只知)(x f 连续，且在一点1=x 处可导，因此其在6=x 处的导数，不能直接套用公式)()(x f T x f ′=+′，而必须根据导数定义进行计算．【例2.20】 162131)(23+++=x x x x f 的图形在点)1,0(处切线与x 轴交点的坐标是（ ） (A) )0,61(− (B) )0,1(− (C) )0,61( (D) )0,1( 【例 2.21】 若曲线b ax x y ++=2和312xy y +−=在点)1,1(−处相切，其中a ，b 是常数，则(A) 0=a ，2−=b ； (B) 0=a ，2−=b ；(C) 1=a ，3−=b ； (D) 1−=a ，1−=b【分析】两曲线在一点相切，说明在此点两函数的导数相等，且均经过此点．【例2.22】 已知曲线)(x f y =在点)0,1(处的切线在y 轴上的截距为1−，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→nn n f 111lim ．题型Ⅲ 利用导数公式与运算法则求导【解题提示】（1）区别()[]x f ϕ′与()[]()′x f ϕ：()[]()[]ϕϕϕd x df x f =′，()[]()′x f ϕ=()[])(x x f ϕϕ′′ （2）()[]x f ϕ′是()x u ϕ=的函数，故()[]()[]()x x f dxx f d ϕϕϕ′⋅′′=′ 【例2.23】 已知x e y −=arcsin ，求y ′．【例2.24】 设()112+−=x x f y ，31ln )(x x f =′，则=dx dy ． 【分析】应注意这里)(x f ′与dx dy 的含义是不同的，它们在本题中不相等，应该把31ln )(x x f =′中的x 理解为中间变量，即31ln )(u u f =′．【例2.25】 若()tx x xt 211lim +∞→，则=′)(t f ． 【分析】先求出极限，再求导数即可．【例2.26】 设)(x f 在点1=x 处有连续的一阶导数，且()21=′f ，则 =−+→)1(cos lim 1x dxd x ． 【例2.27】 设xe y x1sin 1tan ⋅=，则=′y ． 【分析】利用求导法则求导数即可．【例2.28】 设x x x x x y sin 11+−+=，求y ′． 【评注】在某些场合，通过先取对数再求导可简化计算． 【例2.29】 设5)2)(3(32−+−=x x x y ，求y ′． 【分析】求多个因式的乘除、乘方及开方的导数，用对数求导法．【例2.30】 设n a n a a a x a x a x y )()()(2121−−−=L ，求y ′．【例2.31】 设函数)100()4)(3)(2)(1()(++−+−=x x x x x x f L ，则=′)1(f 【例2.32】 求函数()x x y ln =的导数．【分析】求幂指函数的())(][x v x u y =的导数，通常方法有：（1）先两边取对数，再利用隐函数求导法则求导；（2）利用对数恒等式化为指数函数，再利用复合函数求导法则求导．【例2.33】 设函数)(x y y =由方程y xe y −=1确定，求0|=x dx dy ． 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），也可利用一阶微分形式不变性或隐函数存在定理求解．【例2.34】 求由方程0=−+e xy e y 所确定的隐函数的导数y ′．【例2.35】 设函数)(x y y =由方程01ln =++x y e xy 所确定，则=′)0(y ． 【评注】（1）在求隐函数的导数时，首先将方程的两边对自变量x 求导，凡遇到含有因变量y 的项，将y 看成x 的函数，用复合函数求导法则，先对y 求导再乘以y 对x 的导数y ′，然后从含有y ′的方程中把y ′解出，从而得出y 对x 的导数y ′，即dxdy ． （2）在隐函数的导数的表达式中允许含有因变量字母y ．（3）求隐函数在一具体点0x 的导数时，要由原方程求出对应的因变量值0y ，再代入所求的导数表达式中．【例2.36】 设)(x y y =由⎩⎨⎧=+−=52arctan 2t e y t y t x 所确定，求dx dy ． 【分析】)(x y y =由参数方程和隐函数方程联合确定，求dxdy 需先分别求出dt dx 和dt dy ，而求dtdy 应按隐函数求导法．也可以将x t tan =代入方程522=+−t e y t y 中，两边对x 求导便可解出dxdy . 【例2.37】 设|)1()1(|)(32+−==x x x f y ，求y ′．【评注】对于含有绝对值符号的函数式子，求导时，首先去掉绝对值符号将其化为分段函数．分段函数在分界点处的导数，一定要用导数定义分别计算出在分界点0x 处的左、右导数)(0x f −′，)(0x f +′，再看)(0x f −′与)(0x f +′是否相等：若)(0x f −′=)(0x f +′，则)(0x f ′存在，否则说明)(0x f ′不存在，)(x f 在0x x =处不可导．【例2.38】 已知x x xf +=1)1(，则=′)(x f ． 【分析】先求)(x f 的表达式，再求导．【例2.39】 已知xx f +=11)(，x x g ln )(=，求)]([x g f ′′． 【例2.40】 设函数)(x y y =由方程y x xy +=2所确定，则==0|x dy ．【分析】本题可用微分形式不变性或隐函数求导方法进行计算，注意0=x 时，代入对应方程得1=y ，因此相当于求在点)1,0(处的微分．【评注】一般来说，求隐函数在一点的导数或微分，应先将0x x =代入方程，确定出对应的0y y =后，再将点),(00y x 的坐标代入所求导数或微分的表达式．【例2.41】 设)()(ln x f e x f y =，其中函数f 可微，则=dy ．【分析】利用微分公式及微分形式不变性．【例2.42】 设x f y 12)]([=，其中f 为可微的正值函数，求dy ．【评注】此类幂指函数的导数，也可以借助于对数求导法．【例2.43】 设)(ln 2x f y =，其中f 为二阶可导函数，求y ′′．【例2.44】 设)(x f 为单调二阶可导函数，其反函数为)(x g ，且已知 2)1(=f ，31)1(−=′f ，1)1(=′′f ，求)2(g ′′ 【例2.45】 设函数⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=11x x f y 满足x e x f −=′)(，则==2|x dx dy ． 【例2.46】 证明：星形线θ3cos a x =，θ3sin a y =，πθ20≤≤上任意点（不在坐标轴上）处切线被x 轴与y 轴所截的线段之长是定数．【评注】此题也可以用星形线的直角坐标方程：323232a y x =+，然后借助于隐函数求导法解题．【例2.47】 若)(x f y =存在着单值反函数，且0≠′y ，0≠′′y ，求22dyx d ． 【评注】由dx ′=1，得=2dy x d ⎟⎠⎞⎜⎝⎛′y dy dx 1)(y y ′′′′−=，结果是错误的，原因是′1是以x 为变量的函数，而不是以y 为变量的函数，因此对y ′1中的y 求导时，应将y ′1中的x 看做中间变量，然后用复合函数求导法则得出22dy x d 的结果． 【例2.48】 已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f =′，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（ ）(A) 1)]([!+n x f n ； (B) 1)]([+n x f n (C) n x f 2)]([ (D) n x f n 2)]((x f x f =′的一个函数xx f 1)(−=（解微分方程可得），再求导：)()(x f n 111)1(!++−=n n xn )(!1x f n n +=． 【例2.49】 设x e y x sin =，求)(n y ．【分析】先通过逐次求导数，观察出规律，再用数学归纳法证明所观察的结论是正确的．【评注】求高阶导数，一般可考虑下列方法：（1）利用常见函数的n 阶求导公式；（2）利用莱布尼兹公式计算乘积形式的函数的n 阶导数；（3）通过代数运算或函数运算化为易求高阶导数的函数；（4）逐次求导找出规律，然后通过数学归纳法证明；（5）利用泰勒（Taylor）展开公式．【例2.50】 设x e x x y −−−=)12(2，求)(n y ．【分析】因为0)12(2=′′′−−x x ，利用莱布尼兹公式计算较简便．【评注】求两个因式乘积的n 阶导数，有时利用莱布尼兹公式计算较为简便，容易找出规律，此题如果用逐次求导的方法求)(n y 就非常繁琐．【例2.51】 设x x xx y n 2cos 1+−=，求)(n y （2≥n ）． 【评注】复合函数求导数是此部分的重点，最近几年参数方程、隐函数求导数成为常考的题型．考生应特别注意参数方程和隐函数二阶导数的求法．考生常犯的一个错误是：在求出)()(t x t y dx dy ′′=之后，得222)]([)()()()(t x t x t y t x t y dx y d ′′′′−′′′=， 实际上，322)]([)()()()(t x t x t y t x t y dx dt dx dy dt d dx dy dx d dx y d ′′′′−′′′=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=．题型Ⅳ 可导、可微、连续与极限的关系【解题提示】1.极限、连续和导数三者之间的关系是：可导⇒连续⇒极限存在，但反过来不成立．可导与可微之间的关系是：可导⇔可微；2.分段函数在分段点的极限、连续和导数问题一般都需要采用定义通过左右两端来进行讨论．3.含有绝对值的函数表达式本质上应当作分段函数看待．【例 2.52】 设函数在点0x 处可微，则必存在0x 的一个δ邻域，使在该邻域内函数)(x f(A) 可导； (B)连续未必可导； (C) 有界； (D))(lim 0x f x x →未必存在 【例 2.53】 设函数)(x f ，且曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线与直线x y −=2垂直，则当0→x Δ时，该函数在0x x =处的微分dy 是x Δ的（ ）(A) 同阶但非等价无穷小； (B) 等价无穷小；(C) 高阶无穷小； (D) 低阶无穷小．【评注】（1）设)(x f 在点0x x =可微，0)(0≠′x f ，则当0→x Δ时，)(x f 在0x x =处的微分0|x x dy =是x Δ的同阶无穷小（特别，当1)(0=′x f 时为等价无穷小）；函数的增量)()(00x f x x f y −+=ΔΔ也是x Δ的同阶无穷小（事实上，0)(lim 00≠′=→x f xy x ΔΔΔ），但是0|x x dy y =−Δ是x Δ的高阶无穷小． （2）当u 为自变量时，u du Δ=，即自变量的微分就是自变量的增量（也称改变量）；当u 是另一变量的函数)(x u ϕ=时，一般情况下，u du Δ≠，它们之间相差一个x Δ的高阶无穷小量)(x o Δ，例如2x u =2x u =，x x du Δ⋅=2，222)(2)(x x x x x x u ΔΔΔΔ+⋅=−+=；但是当u 为x 的线性函数，即b ax u +=时，容易验证有u du Δ=．【例2.54】 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin ||)(2x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） (A) 极限不存在；(B) 极限存在但不连续； (C) 连续但不可导； (D)可导【分析】利用函数在一点连续和可导的定义来判断．【评注】函数表达式中含有绝对值，应作为分段函数处理，利用左、右极限讨论．【例2.55】 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>−=0,)(0,cos 1)(2x x g x x x x x f ，其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ）．(A) 极限不存在； (B) 极限存在但不连续； (C) 连续但不可导； (D)可导【例2.56】 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,cos sin 0,)1ln()(22x x x x x x x f ，求)(x f ′，并讨论导函数的连续性．【分析】分段点处的导数按左、右导数的定义进行讨论和计算．【例2.57】 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠−=−0,00,)()(x x x e x g x f x ，其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(=g ，1)0(−=′g ，求)(x f ′，并讨论)(x f ′在),(∞+−∞内的连续性．【例2.58】 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x x x x f βα，其中0>β，讨论在什么条件下，)(x f ′在0=x 处连续．二、历年真题精选精解【例 2.59】 （2-96，3分）设函数)(x f 在区间),(δδ−内有定义，若当),(δδ−∈x 时，恒有2|)(|x x f ≤，则0=x 必是)(x f 的（ ）(A) 间断点； (B) 连续而不可导的点；(C) 可导的点，且0)0(=′f ； (D) 可导的点，且0)0(≠′f【例2.60】 （2-05，6分）设函数n n n x x f 3||1lim )(+=∞→，则)(x f 在),(∞+−∞内（ ）(A) 处处可导； (B) 恰有一个不可导点；(C) 恰有两个不可导点； (D) 至少有三个不可导点【分析】先求出)(x f 的表达式，再讨论其可导情形．【评注】本题综合考察了数列极限与分段函数在分段点的导数问题，将两个或三个知识点综合起来命题是考题的一种典型表现形式．【例2.61】 （2-04，10分）设函数)(x f 在),(∞+−∞内有定义，在区间]2,0[上，)4()(2−=x x x f ，若对任意的x 都满足)2()(+=x kf x f ，其中k 为常数．(1)写出)(x f 在]0,2[−上的表达式；（2）问k 为何值时，)(x f 在0=x 处可导． 【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论．【例2.62】 （1-97,3分）对数螺线θρe =在点),(),(πθρπe =处的切线的直角坐标方程为 ．【分析】关键是求出在对应直角坐标点处切线的斜率，即导数，这可通过参数方程求导或隐函数求导得到．【评注】应熟练掌握极坐标方程、直角坐标方程之间的转换．【例2.63】 （2-03,4分）设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x f y =在点)1,1(处的切线方程是 ．【分析】先求出在点)1,1(处的导数，然后根据点斜式写出切线方程即可．【评注】对于由方程所确定的隐函数，若只已知0x x =，则应先将0x x =代入原方程，确定出对应的0y y =后，再求过点),(00y x 的导数，即切线的斜率． 【例2.64】 （2-05,4分）设函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(22t y t t x 确定，则曲线)(x y y =在3=x 处的法线与x 轴交点的横坐标是（ ） (A) 32ln 81+； (B) 32ln 81+−； (C) 32ln 8+−； (D) 32ln 8+ 【分析】先由3=x 确定t 的数值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标．【评注】注意本题法线的斜率应为8−．此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意，答案就可能出错．【例2.65】 （1-92,3分）设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy e y x 所确定，则=dxdy ． 【评注】本题是常规题型，也可用微分形式不变性求解．【例2.66】 （2-05,4分）设x x y )sin 1(+=，则==πx dy |【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导．【评注】幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数而直接运用相应的求导公式．【例2.67】 （1,2-06,4分）设函数)(x f y =具有二阶导数，且0)(>′x f ，0)(>′′x f ，x Δ为自变量x 在点0x 处的增量，y Δ与dy 分别是在点0x 处对应的增量和微分，若0>x Δ，则 （ ）(A) y dy Δ<<0； (B) dy y <<Δ0； (C) 0<<dy y Δ； (D) 0<<y dy Δ【分析】根据几何意义用图示法求解，或用拉格朗日中值定理，或用泰勒公式．【评注】应注意函数改变量y Δ、自变量改变量x Δ和微分dy 之间的联系和区别，若函数改变量)()()()(000x o x x f x f x x f y ΔΔΔΔ+′=−+=，则x x f dy Δ)(0′=．往往考生记住了公式dx x f dy )(0′=，而忘记了x x f dy Δ)(0′=．【例2.68】 （1-92,3分）设||3)(23x x x x f +=，则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为（ ）(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) 3【分析】由于33x 任意阶可导，因此本题实际上只要考虑||2x x 使)0()(n f 存在的最高阶数n 即可．【例2.69】 （1-02,3分）已知函数)(x y y =由方程0162=−++x xy e y 确定，则=′′)0(y ．【分析】连续两次对x 求导，再将坐标0=x ，0=y 代入计算即可．【评注】求隐函数在某点0x x =处的一阶（或二阶）导数，应先将0x x =代入原方程确定相应的0y y =，然后再将0x x =，0y y =代入y ′（或y ′′）中求出)(0x y ′（或)(0x y ′′）．【例2.70】 （2-00,5分）求函数)1ln()(2x x x f +=在0=x 处的n 阶导数)0()(n f （3≥n ）【分析】求)(x f 在点0x x =处的n 阶导数，通常可考虑将此函数在点0x x =处按一般公式展开为泰勒级数，和函数表达式中根据已知函数的泰勒展开所得级数进行比较，求得该点处的n 阶导数．但考虑到本题)(x f 是由两项乘积所构成，且其中一个因子为2x ，其三阶以上的导数均为零，因此可通过莱布尼兹公式进行计算．【评注】本题若试图通过求)(x f 的一阶、二阶、三阶甚至更高阶导数后，再找出一般性的规律是困难的．从本题的求解可看出，常见函数如x e ，x sin ，x cos ，)1ln(x +以及α)1(x +等的泰勒展开式应当熟练掌握．【例2.71】 （2-96,8分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>−≤≤−−<−=2,161221,1,21)(22x x x x x x x f , （1）写出)(x f 的反函数)(x g 的表达式；（2）)(x g 是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点．【分析】先解出)(x f 的反函数)(x g ，再利用)(x g 的表达式或)(1))((x f x f g ′=′讨论)(x g ′不存在的点． 【评注】)(x g 与其反函数)(x f 的导数之间的关系为)(1))((x f x f g ′=′，因此，)(x f 的不可导点和使0)(=′x f 的点x 对应的值)(x f 均是)(x g 的不可导点．【例2.72】 （1-07,4分）设函数)(x f 在0=x 处连续，下列命题错误的是（ ） (A)若x x f x )(lim 0→存在，则0)0(=f ； (B)若xx f x f x )()(lim 0−+→存在，则0)0(=f ； (C)若x x f x )(lim 0→存在，则)0(f ′存在；(D)若xx f x f x )()(lim 0−−→存在，则)0(f ′存在． 【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论．【例2.73】 （1-08,4分）曲线x x y xy =−+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程是 ．三、拓展提高题【例 2.74】 设)(x f 在),(∞+−∞上有定义，且1)0(=′f ，又x y e y f e x f y x f )()()(+=+，求)(x f ．【评注】此题也可以看作是求解函数方程的题型．常用的方法是利用导数定义，将函数方程转化为微分方程，求解微分方程得函数的表达式．一般地，若)()()()()(x g y f y g x f y x f +=+，1)0()0()0(==′=′g f g ，则有)()()(x g x f x f +=′【例2.75】 设)(x f 有连续导数，且01)(lim 1=−→x x f x ，)1(f ′′存在， 令∫−+′=10])1(1[)(dt t x f x ϕ，求)(x ϕ′，并讨论)(x ϕ′在1=x 处的连续性．【评注】此题常犯的错误是，由0)1(=ϕ直接得0)1(=′ϕ．本题在求1≠x 时的)(x ϕ的表达式时，也可不用变量代换，而凑微分直接积分．【例2.76】 )(x f 在0=x 的某邻域内有连续导数，且0211])(ln[lim 0=+−+′→xe xf x x ，则点0=x (A) 不是)(x f 的驻点； (B) 是)(x f 的驻点但不是极值点；(C) 是)(x f 的极大值点； (D) 是)(x f 的极小值点．【评注】1.利用定义求导数是历年考研数学的常考题型，考生应对导数的几个等价定义十分熟悉，并应灵活应用．。
