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!Update2011chen相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

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相平面法

相平面法
x2
0
x2
0
x1
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
17
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。
x2
0
x1
图8-32
纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系 统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部 平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不 能。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
23
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通 过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同， 称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可 在相平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
x1
3
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )

《自动控制原理》 相平面法

《自动控制原理》 相平面法

(8-24) (8-25) (8-26) (8-27)
c(t) = − b c(t) = kc(t)
+a
(8-28)
其中k为等倾线的斜率。当 a2 − 4b 0时，且 b 0 时，可得满
足k＝a的两条特殊的等倾线，其斜率为: ???
k1,2 = 1,2 = s1,2 = − a
a2 2
− 4b
(2)线性二阶系统的相轨迹
c + ac + bc = 0
当b>0时，上述(运动)微分方程又可以表示为
c + 2wnc + wn2c = 0
线性二阶系统的特征根
s1,2 = − a
a2 − 4b 2
相轨迹微分方程为 (相轨迹切线斜率ZX)
dc dc
=
−
ac − c
bc
令
−
ac − bc c
=
，可得等倾线方程为：
初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨
迹所组成的图形称为相平面图。
若已知x和 x 的时间响应曲线如图8-10(b),(c)所示，则可根据 任一时间点的x(t)和 x(t)的值，得到相轨迹上对应的点，并由此获
得一条相轨迹，如图8—10(a)所示。
相轨迹在某些特定情况下，也可以通过积分法，直接由微分方
U+jV 表示根为复数
2
2.00
2
7.46
s2 // jV -2.41 -2.00 0.00 -2.24 -7.46 -3.00 -2.00 -2.24 2.00 0.54
1)b<0。系统特征根
− a + a2 + 4b
s1 =
2

7-2相平面法

7-2相平面法
bx cx 0 x
当c > 0时，上述微分方程又可以表示为
2 2 n x n x 0 x
线性二阶系统的特征根
b b 4c s1 2
2
b b 2 4c s2 2
相轨迹方程为
dx bx cx dx x
假设由初始条件确定的点为图中的A点。则过A点作斜率为[ (1) + (1.2) ] / 2 = 1.1的直线，与a = 1.2的等倾线交于B点。再过B 点作斜率为的[ (1.2 ) + (1.4) ] / 2 = 1.3 直线，与a = 1.4的等 倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即 得系统近似的相轨迹。
x t4
(x, x0)
t3
0 t2 0
t1
x
x
t1
t2 t3 t4
4
当t变化时，系统状态在相 平面上移动的轨迹称为相轨迹。
t
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图 叫做相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。
7.3.2 相平面图的绘制
绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。 1. 解析法 解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可 以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时 一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分。 显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。 另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t， 5 从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。
x
0
x
22
④ = 0。系统特征根为一对纯虚根。系统的自 由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平 面图为围绕坐标原点的一簇椭圆（参阅例7-1），系 统相平面图:

第2章相平面分析201-资料

第2章相平面分析201-资料

(x,x)
x
(x,x)
0
x
相轨迹对称于原点
f( x ,x ) f( x , x )
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程 d xd x 可f( 知x ,,相x )平x 面上的点
只要不(同x,时x)满足
,则x 该 点0 ,相f轨(x 迹,x 的) 斜0 率是唯一确定
的。
这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。
用xf来(x表)示。
x(t)
x
t
x
方程的解
1.相轨迹：如果我们取 x 和 作x为平面的直角坐标，则
系统在每一时刻的 (x,均x)相应于平面上的一点。当 t 变化时， 这一点在 平面x上将x 绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。
它描述系统的运动过程。
2.相平面: x x平面称为相平面。对于一个系统，初始条件
f(x,x) xf(x,x)
x 给 定 一 个 α值 ,可 由 上 式 求 得 一 条 等 倾 线 ; 给 定 一 组 α值 ,则 可 求 得 一 组 等 倾 线 族 ,它 们 确 定 了 相 平 面 中 相 轨 迹 斜 率 的 分 布 .
设系统方程为: x 2x 2x 0
上式改写为:
x dx 2x 2x 0
一、相轨迹的共同特性
1.相轨迹的对称性
相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。 设二阶系统的方程为：
改写为：
xfx,x0
x = d x = d x d x = x d x , x d x fx ,x
d t d xd t d x d x
两边除以 dx 可x得： dt
dx f x,x----相轨迹的
dx
x 斜率方程

相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析x2x s x=1x sx=x2s x =1s x※稳定焦点不稳定焦点中心点xx2x s x=1x s x=220n n x x x ζωω+-=220n n x x x ζωω++=例已知线性系统的运动方程0=++e b e a e，分别给出系统在相平面中具有(a)稳定焦点和(b)鞍点时，参数a 和b 的取值范围。

解：由方程求出两根为1,2s =(a)稳定焦点10<<ζ，系统具有一对负实部共轭复根，0>a 、b a 42<且0>b ； (b)鞍点，系统具有符号相反的两个实极点0<b 。

例已知某二阶线性系统的运动方程为240e e e ++=，则系统的奇点类型和当输入()51()r t t =⋅时的系统稳态误差分别为__ B ____。

A ．稳定的节点，∞；B ．稳定的焦点，0；C ．稳定的焦点，∞；D ．稳定的节点，0 。

例8.6：设线性系统开始处于静止状态（即输出初始值为0），试利用相平面法对系统稳定性及稳态误差进行分析。

其中，1）()1(),r t R t R =⋅为常数：2）(),r t R t R =⋅为常数：解：因分析系统稳定性故从闭环系统传递函数出发，由闭环系统传递函数2()()C s KR s Ts s K=++，则2()[]()C s Ts s K KR s ++=。

于是描述该系统的运动方程为： Tc c Kc Kr ++=绘制e e -相平面相轨迹。

【注】：把相变量变成误差，分析最终奇点位置表示稳态误差情况。

当然c c -也行。

但是若没要求，一般建议e e -相平面。

因为e r c =-，即c r e =-，所以，Te e Ke Tr r ++=+————————（1）1）()1(),r t R t R =⋅为常数：0r r ==，于是得出关于误差e 的运动方程：0Te e Ke ++=，注：如果线性系统运动方程为典型的二阶系统运动方程，可以不用解析法求相轨迹，而直接根据此时特征方程根的分布情况，分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹。

非线性系统的分析-相平面1PPT课件

非线性系统的分析-相平面1PPT课件

ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
2021
7
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
止条件。
2021
43
(1) 具有死区特性的非线性控制系统
2021
44
取
作为状态变量，
因为
，
2021
45
给定参数T=1, K k =1，根据二阶线性系统相
轨迹分析结果，可得奇点类型
区域 I：奇点(-△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心
螺旋线(
);
区域 II：奇点(x，0)，x∈(-△, △)为稳定焦点，
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
的位置，可以有以下几种情况：
2021
12
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都
以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以
态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
2021
15
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中
两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
2021
16

解析法证明平面几何经典问题--举例

五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）（例1图） （例2图）例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．【部分题目解答】例1、(难度相当于高考压轴题)；，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+、；则，、，C B )()(4433y x E y xD ,1- ;12-2-)1,{)-(222212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mxy 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得：),-(---232322x x x x y y y y CD =方程为：直线 ,--Q 323223Q y y y x y x x =点横坐标：由此得,--P 141441P y y y x y x x =点横坐标：同理得,------141441323223P Q y y yx y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明NB即证明：）（）（）（）（321441143223-----y y y x y x y y y x y x ⋅=⋅将上式整理得：31442331242143212143)()(y y x y y x y y x y y x x x y y x x y y +++=+++，代入整理得：注意到：44332211 , ;,nx y nx y mx y mx y ====)]()([),()(214343212143243212x x x x x x x x mn x x x x n x x x x m +++=+++=右边左边)1)(1(n))(m -(2)121-121-()1)(1(n))(m -(2121-121-22222222222222222222222222+++=+⋅+++⋅+=+++=+⋅+⋅++⋅+⋅=n m r a amn m am n r a n an m r a mn n m r a amn m am n r a n n an m r a m 右边左边代入得：把上述韦达定理的结论 可见：左边=右边，故P Q -x x =，即AQ AP =. 证毕！例2、 .标系分析：如右图，建立坐、坐标后，求出直线、、、总体思路：设点AD D C B A 切值，证明这两个角度从而求出两个角度的正问题的关键是：如何设点C 、D 而C 、D 两点是相互独立运动的，故把点C 、D 设AD=BC= r ，则C 点可以看作是以B 为圆心，r 上的动点，类似看待D 点，故，设),sin cos D()sin cos C(ϕϕ,r r -a θθ,r r a ++、)2sin sin ,2cos cos N(ϕϕ++θθ从而得;2tan cos cos sin sin ,tan ,tan MN AD BC ϕθϕϕϕθ+=++===θθk k k 参数方程的美妙之处】【此处充分展现了圆的易得：。

平面解析几何技巧讲解+模拟题+真题

平面解析几何解题方法总结这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识。

解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.一、典型例题精析例1（中点弦问题）给定双曲线2212y x -=,过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

例2（焦点三角形问题）设(,)P x y 为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。

例3（直线与圆锥曲线位置关系问题）抛物线方程2(1)(0)y p x p =+>，直线x y t +=与x 轴的交点在抛物线准线的右边。

（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

例4（圆锥曲线的最值问题）已知抛物线22(0)y px p =>，过(,0)M a 且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A 、B ，2AB p ≤（1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

例5求曲线的方程问题（1）（曲线的形状已知）已知直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

若点()1,0A -和点()0,8B 关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程。

（2）（曲线的形状未知）已知直角坐标平面上点(2,0)Q 和圆221C x y +=：, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数()0λλ>,求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

平面解析几何 经典题(含答案)精编版

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围000180α≤<（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。

特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线 斜截式k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线 两点式是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直不包括垂直于x 轴和y 轴或线在y 轴上的非零截距过原点的直线一般式A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

第7章--相平面法


若输出的一次谐波分量为
y1 (t) A1 cost B1 sint Y1 sin(t 1 )
输入的正弦量为 X sin t
则描述函数的数学表达式如式 （7-75） 所示：
返回子目录
N

Y1 X


e
e e0 e e0
e r c
得到 Te e Ku Tr r
假定
1 1 1
2 KT
2 kKT
54
（1）阶跃输入 r(t)=R
• 系统方程变为
Te e Ke 0
Te e kKe 0
图7-51 阶跃输入下得相轨迹
55
（2）输入信号r(t)=Vt+R
• 其中y(t)与c(t)两个状态变量之间满足导函数关 系
d
•
y(t) c(t) dt
•
• 将相变量定义为满足导函数关系的一组状态变 量。显然，相变量也不唯一
• 相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统
2
c
o
a)
c(t)
c
o
t b)
o
c(t)
t
c)
3
• 图c是响应的时域曲线，图b是它的导函数曲 线，图a是以t为参变量,将输出响应特性及其导 函数特性绘在相平面上的曲线--输出响应特性 的“相轨迹”曲线 输出特性上既包含输出量大小的信息，也包含 它的导函数信息，特性上点的切线斜率就是该 点的导数
34
1、 在 c>h的区域
系统方程为
Tc(t) c(t) KM
c(t)

k1

k e(1/T )t 2

KMt
其中 k1 c0 (c0 KM )T k2 (c0 KM )T
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2 2 − 0.25c 02 2 − 2 ----相轨迹为开口向右的抛物线， c = 0.25c + c02 = 0.25c
在开关线处的交点 -(-1, 2)以此类推，求得如图的极限环。
c
1 -2 T2 0 1 T1
c
II
III
I
注意: 每个区的初始值是不同的。 当进入 II 区时的第一个位置即为 II 的初始值， 每个区的初始值的求法就是根 据上一个区的区域根轨迹方程可以求出进入下一区的初始值，以此一个个区经 过后，会变成一个连续的曲线轨迹——非线性系统的相轨迹。 问题 2：运动一周所需时间为
⎧ x = 0, | e |≤ 2 数学表达式： ⎪ ⎨ x = e − 2, e > 2 ⎪ x = e + 2, e < −2 ⎩
2）因为线性部分：
C ( s) 1 = x = ，则微分方程为： c X ( s) s 2
平面相轨迹图。因为 e = r − c ， c = r − e ， c =r −e ，c = 。代入则 r −e 3）绘制 e − e e = −x + r （1）
2 2
2
0 1 1 de = − de = 1 ∫2 e ∫ 2 2 振幅——代表此时的位移，也就是此时与横轴的交点位置大小——即 C 点的横 坐标。 这是因为，对于整个非线性系统的奇点是（0，0 ） 。对于该点，最大的 位移就是振幅，因此是 C 点的横坐标 4。实际上，阶跃响应的超调量也是 4。
相平面法例题解析： 要求：
之间关系的 1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程， 也就是 e − e ） 方程（或 c − c 。会画相轨迹（模型中是给具体数的） 。※※关键是确定开关线方
程。
2. ※※※如果发生自持振荡，计算振幅和周期。 注意相平面法一般应： 1）按照信号流向与传输关系。线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。连在一 或者 e 的运动方程。 起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有 c 2）※※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。开关线方程确定 很关键。 3）※※※根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变量积分法或者消去 t 法） 和e−e 之间关系。 不同线性分区对应的相轨迹方程，即 c − c 4）※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期 和振幅等。
c
0
c
（3 分）稳态误差：0 3） 3− 2 超调量： σ % = =50% 2 可见：开关线不一定垂直于横轴。 见作业 ：P438 8-10 (1)(2) ，且设输出初始值为 0（见 PPT）
>0 c <0 c
I区 II 区
2） （4 分）I 区：
dc c−2+M =− dc c 2 2 = A12 ，当 M = 0.5 时， A1 = 1.5 ， (c − 2 + M ) + c
=0 2 = 1.52 所以： (c − 1.5) 2 + c 轨迹为圆，奇点为 c = 2 − M ， c 2 2 2 = A 2 ，当 M = 0.5 时， A 2 = 0.5 ， II 区： (c − 2 − M ) + c =0 2 = 0.52 轨迹为圆，奇点为 c = 2 + M ， c 所以： (c − 2.5) 2 + c 则起点为（0，0）的相轨迹如图：
平面相轨迹图。 e = r − c ，令 r = 0 ， e = −c ， 3）绘制 e − e
= 0 | c |≤ 1 I ⎧c ⎪ = −2 c > 1 II 则 ⎨c ⎪c ⎩ = 2 c < −1 III 4）开关线方程： c = ±1 ， 0 = 0 ， ( 2,0) 从 II 区开始，下面绘制相轨迹： 5）由已知条件，起点 c0 = 2 ， c
= 0, | e |≤ 2 − −I ⎧ e ⎪ = 0 ， = 2 − e, e > 2 − − − II r = 0 。代入，则 ⎨ e 当t > 0，r ⎪ = −e − 2, e < −2 − − − III ⎩e
分为 3 个线性区。 由于非线性环节有 3 个分区，相平面 e − e
结论：III 区以 奇点（- 2，） 0 为中心的圆。以此例推，出现了一个封闭椭圆。—— 极限环 e
-4
0 D I
2 A
C
e
II
III
问题 2： 若相平面中出现了稳定的极限环——对应着非线性的自持振荡。 问题：自持振荡的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？如图： 这是个椭圆，1）周期： T = 4(tCA + t AD ) 21 2 1 II 区： tCA = ∫ de = ∫ de ， 4 e 4 − 4 − (e − 2) 2 + (e − 2) = 4 → e 在图中为负的。 = − 4 − (e − 2) ，注意， e 这是因为： e
= −2 ，则 c = −2t + c 0 = −2t ； c = −t 2 + c 0t + c0 = −t 2 + 2 ； Ⅱ区： c
2 2 + 0.25c 0 2 + 2 ； 相轨迹为开口向左的抛物线， c = −0.25c + c0 = −0.25c
01 = −2 ---(1,-2) 2 + 2 c 在右开关线 c = 1 处的交点为 c01 =1 , 1 = −0.25c
= 0 ， e = C = −2 ，水平线，与左开关线 e = −2 的交点 B（-2，-2） I 区： e ，则e = −2，所以奇点（-2，） e=0且e=0 0 e + e + 2 = 0 ， ( III 区：
特征方程： s + 1 = 0， s = ± j , 奇点对应着中心点——没有一阶导数。
为相变量，写出相轨迹分区运动方程源自8 分） 1、以 c − c ；(0) = 0 的相轨迹（4 分） 2、若 M=0.5，画出起始于 c (0) = 0 、 c ；
3、利用相轨迹计算稳态误差及超调量（3 分） 。
（8 分）根据系统结构图可得： 解：1）
⎧ >0 c ⎪M 1区 b=⎨ <0 c ⎪ 2区 ⎩− M 各区的运动方程： ⎧ = r − c − M ⇒ c + c = 2 − M ⎪c ⎨ = r − c + M ⇒ c + c = 2 + M ⎪ ⎩c =0 开关线： c
2
或者※※※用解析法求：上课时按照此方法求的： de e −e − 2 斜率方程 ，则分离变量积分得 = = de e e
∫
e
−2
= ∫ −(2 + e)de （注意新的初始值 B（-2，-2） ede ）
−2
e
之间的相轨迹方程为 则e−e
2 + (e + 2) 2 = 4 e
T = 4( ∫
1
2
01 1 0 1 1 1 2 + 2 , dc + ∫ dc) = 4( ∫ dc + ∫ dc) = 6 （因为 II 区 c = −0.25c 1 2 1 c c −2 − 4(2 − c)
，注意， e 在图中为负的。 则 − 4(2 − c) = c ）
注意: 并不是所有开关线都是垂直于横轴的， 开关线关键要看各个线性区域的边 界条件。 例 4 ：2008 年 非线性控制系统如下图所示。图中 r (t ) = 2 ⋅1(t ) 。
例 2：具有死区特性的非线性系统分析。设系统开始处于静止状态。 k=1 1 r e x c 0 2 2 + s 问题 1. 用相平面法分析系统在输入 r(t) = 4.1(t)时的运动情况。 问题 2. 如果发生自持振荡 ，求自持振荡的周期和振幅。 解：问题 1：1）设系统结构图，死区特性的表达式：
I 区： t AD =
0
例 3：具有继电器特性的非线性系统分析
2006-B (15 分)非线性控制系统如图。
。(10 分) 0 = 0 的相轨迹图 c − c 问题 1：给出起点在 c0 = 2 ， c
问题 2：计算相轨迹旋转一周所需时间。(5 分)
r +
解：问题 1：(10 分)
e -
2
x
2
或者※※※用解析法求：上课时按照此方法求的： e e e 2 − e de = ∫ (2 − e)de 斜率方程 ，则分离变量积分得 ∫ ede = = 0 4 de e e
之间的相轨迹方程为 则e−e
2 + (e − 2) 2 = 4 e
结论：II 区以 奇点（2，） 0 为中心的圆，与右开关线 e = 2 的交点 A（2，-2）
= 0 ， =c 01 = −2 ；c = −c 01t + c01 = −2t + 1 ； Ⅰ区：c 则c 相轨迹为平行横轴的直线 （因 为纵坐标不变-2，而横坐标虽时间变化） ；
02 = −2 ---(-1,-2) 在左开关线处的交点为 c02 =-1 , c = 2t + c 02 = 2t − 2 ； c = t 2 + c 02t + c02 = t 2 − 2t − 1 ； Ⅲ区： c
4） 系统开关线： e = ±2 。
(0) = 0 在 II 区，则从初始值出发绘制相轨迹： 5） 由题意知初始条件 e(0) = 4 ， e
，则e = 2，所以奇点（2，）） e=0且e=0 0 e + e-2 = 0 不是标准形式 ( II 区：
特征方程： s + 1 = 0， s = ± j , 奇点对应着中心点——没有一阶导数。