高二北师大数学选修22第二课时3.1.2函数的极值导学案

函数的极值教课过程：一、创建情形，导入新课1、经过上节课的学习，导数和函数单一性的关系是什么？（发问学生回答）2、察看图 1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间 t 变化的函数h(t) =-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题：（ 1）在点t=a附近的图象有什么特色？（2）函数在 t=a 处的函数值和邻近函数值之间有什么关系？（3）在点 t=a 邻近的导数符号有什么变化规律？（4）函数在 t=a 处的导数是多少？共同概括 : 函数 h(t) 在 a 点处 h/ (a)=0,在 t=a 的邻近 , 当 t ＜a 时 , 函数h t单一递加 , h't＞0; 当 t ＞ a 时, 函数h t单一递减 , h't ＜0,即当t在a的邻近从小到大经过 a 时 ,' t '/h先正后负 , 且h t连续变化 , 于是 h (a)=0.3、察看以下函数的图像，回答以下问题。

单一递减单一递加aob f , (x)0f , (x)0f , (a)0问题同上（略）学生议论回答。

4、关于这一案例是这样，对其余的连续函数是否是也有这类性质呢？二、函数极值观点的形成1、极大值：一般地，设函数 f(x)在点 a 邻近有定义，假如对 a 邻近的全部的点，都有 f(x)＜f(a)，f , (a)0 且在点x=a邻近的左边 f , ( x)0 ，右边 f , ( x)0 就说f(a)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值 =f(a)， a 是极大值点2、极小值：模仿极大值的定义让学生自己写出来。

3、极大值与极小值统称为极值在定义中，获得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值注：观点解说完，在剖析观点的时候分别从 f(a)和他邻近函数值的大小，以及 x=a 处的导数值和邻近导数符号的正负加以剖析。

三、加强观点、例题分析（一）、给出图象，找出图中的极值点。

（以幻灯片的形式给出图像）经过察看图像得出结论结论：（1）函数的极值不是独一的；（ 2）极大值未必大于极小值；（ 3）区间的端点不可以成为极值点 例 1．（课本例 4）求 fx1 x 3 4x 43的极值解：由于 fx1 x 3 4x 4 ，所以3f ' xx 2 4 ( x 2)( x 2) 。

高中数学北师大版选修2-2第三章《1.2函数的极值》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.知识与技能
〈1〉结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
〈2〉理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值
2.过程与方法
师生的共同讨论与讲授法结合
让学生通过学习,掌握利用导数求函数的极值
3.情感与价值
增强学生数形结合的思维意识,提高利用导数的基本思想去分析与解决实际问题的能力
2学情分析
学生有简单的知识储备,需要系统化,规律化
3重点难点
重点:利用导数求函数的极值
难点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】教学设计
〈一〉导入新课
前面我们学习了利用导数判定函数的单调性,今天我们大家一起学习怎样应用函数的导数求函数的极值
〈二〉讲授新课
1.如图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数 =-4.9t2+6.5t+10的图象。

函数的极值.理解极大值，极小值的概念.(难点).掌握求极值的步骤.(重点).会利用导数求函数的极值.(重点)[基础·初探]教材整理极值点与极值阅读教材“练习”以下至“例”以上部分，完成下列问题..极大值点与极大值在包含的一个区间(，，如图--都小于或)内函数＝()在任何一点的函数值，，点的函数值称点为函数＝()的等于其函数值()为函数的极大值极大值点.，图--.极小值点与极小值在包含的一个区间(，，如图--，)内都大于或函数＝()在任何一点的函数值，点的函数值称点为函数＝()的等于.极小值极小值点其函数值()为函数的，图--.极值的判断方法，)上是增加的如果函数＝()在区间(在区间(，)上是减少的，则是极大值，极大值()是点；如果函数＝()在区间(，)上是增加的，，在区间(，)上是减少的则是，极小值点.极小值()是，.求函数＝()极值的步骤()求出导数′().()解方程′()＝. ()对于方程′()＝的每一个解，分析′()在左、右两侧的符号(即()的单调性)，确定极值点：左正右负“若′()在两侧的符号”①，；极大值点则为左负右正“②”若′()在两侧的符号，则为点；极小值若′()在两侧的符号相同，③.则不是极值点判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()函数()＝＋－＋必有两个极值.( )()在可导函数的极值点处，切线与轴平行或重合.( )()函数()＝有极值.( )【答案】()√()√()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]。

1.3.2 函数的极值与导数[学习目标] 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数极值的概念1．极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数________的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．________、________统称为极值点，________和________统称为极值．思考(1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？(2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？知识点二求可导函数f(x)的极值方法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求f (x )的拐点，即求方程________的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 思考 可导函数f (x )若存在极值点x 0，则x 0能否为相应区间的端点吗？题型一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．跟踪训练1 求下列函数的极值． (1)y ＝2x 3＋6x 2－18x ＋3； (2)y ＝2x ＋8x .题型二 利用函数极值确定参数的取值范围(或值)例2 已知函数f (x )＝6ln x －ax 2－8x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝3为f (x )的一个极值点． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若y ＝f (x )的图象与x 轴正半轴有且只有3个交点，求实数b 的取值范围．反思与感悟 解决参数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用． 跟踪训练2 设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4，若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．题型三 函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝－13x 3＋a2x 2－2x (a ∈R )，若过点⎝⎛⎭⎫0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．反思与感悟 求出函数的所有极值，有利于我们整体把握函数图象的特征，也就为我们证明有关不等式、解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据，因而函数的极值在中学数学中应用广泛，是高考命题的热点．跟踪训练3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．因忽视对所得参数进行检验而致误例4 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，试求a ，b 的值． 错解 由导数公式表和求导法则得， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.错因分析 由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件．因此，本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错．正解 由导数公式表和求导法则得， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3不符合题意，应舍去．而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.防范措施 根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍．1．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A ．(2,3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)2．下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A ．导数值为0的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值 C ．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数3．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2D．a＜－3或a＞65．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．1.求函数极值的基本步骤：(1)求函数定义域；(2)求f′(x)；(3)解f′(x)＝0；(4)列表(f′(x)，f(x)随x的变化情况)；(5)下结论．2．函数的极值的应用：(1)确定参数的值，一般用待定系数法；(2)判断方程根的情况时，利用导数研究函数单调性、极值，画出函数大致图象，利用数形结合思想来讨论根的情况．提醒：完成作业 1.3.2[答案]精析知识梳理知识点一1．f′(x)＜0f′(x)＞02．f′(x)＞0f′(x)＜0y＝f(x)极大值点极小值点极大值极小值思考(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同．如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点．(2)不一定．知识点二1．(1)极大值(2)极小值2．(2)f′(x)＝0思考不能．题型探究例1解由题意可知f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝283.当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.跟踪训练1解(1)函数的定义域为R.y ′＝6x 2＋12x －18＝6(x ＋3)(x －1)， 令y ′＝0，得x ＝－3或x ＝1.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：从上表中可以看出，当x ＝－3时，函数取得极大值，且y 极大值＝57. 当x ＝1时，函数取得极小值，且y 极小值＝－7. (2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， y ′＝2－8x 2＝2⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝2⎝⎛⎭⎫1－2x ⎝⎛⎭⎫1＋2x ， 令y ′＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ＜－2时，y ′＞0；当－2＜x ＜0时，y ′＜0. 即x ＝－2时，y 取得极大值，且极大值为－8. 当0＜x ＜2时，y ′＜0；当x ＞2时，y ′＞0. 即x ＝2时，y 取得极小值，且极小值为8.例2 解 (1)∵f ′(x )＝6x －2ax －8，∴f ′(3)＝2－6a －8＝0，解得a ＝－1.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 由(1)知f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋b . ∴f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(x 2－4x ＋3)x .由f ′(x )＞0可得x ＞3或0＜x ＜1， 由f ′(x )＜0可得1＜x ＜3(x ＜0舍去)．∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3)．(3)由(2)可知函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．且当x ＝1和x ＝3时，f ′(x )＝0.∴f (x )的极大值为f (1)＝6ln 1＋1－8＋b ＝b －7，f (x )的极小值为f (3)＝6ln 3＋9－24＋b ＝6ln 3＋b －15.∵当x 充分接近0时，f (x )＜0，当x 充分大时，f (x )＞0，∴要使f (x )的图象与x 轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝b －7＞0，f (3)＝b ＋6ln 3－15＜0.∴b 的取值范围是7＜b ＜15－6ln 3.跟踪训练2 解 因为a ＞0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由f ′(x )－9x ＝0(即ax 2＋(2b －9)x ＋c ＝0)的两实数根分别为1,4，可得⎩⎪⎨⎪⎧9－2b a ＝5，c a ＝4，故2b＝9－5a ，c ＝4a .所以对于一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．不等式ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，解得1≤a ≤9.易验证a ＝1与a ＝9均满足题意，故a 的取值范围是[1,9]．例3 解 设点P (t ，－13t 3＋a2t 2－2t )是函数y ＝f (x )图象上的切点，则过点P 的切线的斜率k＝f ′(t )＝－t 2＋at －2， 所以过点P 的切线方程为y ＋13t 3－a2t 2＋2t ＝(－t 2＋at －2)(x －t )， 因为点⎝⎛⎭⎫0，－13在该切线上， 所以－13＋13t 3－a2t 2＋2t ＝(－t 2＋at －2)(0－t )，即23t 3－12at 2＋13＝0.若过点⎝⎛⎭⎫0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线， 则方程23t 3－12at 2＋13＝0有三个不同的实数根．令g (t )＝23t 3－12at 2＋13，则函数y ＝g (t )的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点． 令g ′(t )＝2t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a 2.因为g (0)＝13，g (a 2)＝－124a 3＋13，所以必须有g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－124a 3＋13＜0，即a ＞2，使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点． 所以实数a 的取值范围为(2，＋∞)． 跟踪训练3 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， 所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得0<x <2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为(0，2a3)；当a <0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得2a 3<x <0，故函数f (x )的单调递增区间为(2a3，0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2a 3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞)．所以f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b . 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极大值>0，f (x )极小值<0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b >0，b <0，解得－4a 327<b <0.因为对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，人教版高中数学选修2-211 所以b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4. 所以实数b 的取值范围为(－4,0)．当堂检测1．B [∵f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，且在x ＝2处有极值， ∴f ′(2)＝0,24＋4a ＋36＝0，a ＝－15，∴f ′(x )＝6x 2－30x ＋36＝6(x －2)(x －3)，由f ′(x )＞0得x ＜2或x ＞3.]2．D [由极值的概念可知只有D 正确．]3．C [在x ＝x 0的两侧，f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．]4．D [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为f (x )既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，解得a ＞6或a ＜－3.]5．9[解析] f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a 18＝1，所以a ＝9.。

1.3.2 函数的极值与导数（教案）一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系提出问题，激发求知欲组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t =a 处的导数是多少呢？（2）在点t =a 附近的图象有什么特点？（3）点t =a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳: 函数ℎ(t)在a 点处ℎ′(a )=0,在t =a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是ℎ′(a )=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？<二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y =f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y =f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2） 函数y =f(x)在a.b .点的导数值是多少?（3）在a.b 点附近, y =f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义: a o ht我们把点a 叫做函数y =f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y =f(x)的极小值；点b 叫做函数y =f(x )的极大值点，f(a)叫做函数y =f(x)的极大值。

函数的极值一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区间上的极值。

2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。

3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。

二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习引入 1、常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；；x x sin )'(cos -=； xx 1)'(ln =e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(； a a a x x ln )'(= 2、法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3、复合函数的导数： x u x u y y '''⋅=4、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数5、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间 （二）、探究新课1、极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点 2、极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4、判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5、求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x ；(2)求方程/()f x =0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。

1.3.2 函数的极值与导数教学目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识链接在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在点x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y ＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在点x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在点x ＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.教学导引1.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值. 课堂讲义要点一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值.解 由题意可知f ′(x )＝x 2－4. 解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2； 由f ′(x )＜0得－2＜x ＜2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗283↘－43↗由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.跟踪演练1 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由.(1)y ＝8x 3－12x 2＋6x ＋1； (2)y ＝x |x |； (3)y ＝1－(x －2)23.解 (1)∵y ′＝24x 2－24x ＋6， 令y ′＝0，即24x 2－24x ＋6＝0， 解得x ＝12，当x >12时，y ′>0；当x <12时，y ′>0.∴此函数无极值.(2)令y ＝x |x |＝0，则x ＝0，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x ≥0，－x 2x <0，当x >0时，y ＝x 2是单调增函数； 当x <0时，y ＝－x 2也是单调增函数. 故函数y ＝x |x |在x ＝0处无极值.另外，∵当x >0时，y ′＝2x ，y ′＝0无解； 当x <0时，y ′＝－2x ，y ′＝0也无解， ∴函数y ＝x |x |没有极值.(3)当x ≠2时，有y ′＝－23(x －2)31-.当x ＝2时，y ′不存在，因此，y ′在x ＝2处不可导. 但在点x ＝2处的左右附近y ′均存在， 当x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0.故y ＝f (x )在点x ＝2处取极大值，且极大值为f (2)＝1. 要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即x ＝±1是3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值. 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.要点三 函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ). (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围. 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a3).当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得0<x <2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为(0，2a3)；当a <0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得2a 3<x <0，故函数f (x )的单调递增区间为(2a3，0).(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2a 3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞).所以f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b . 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f x 极大值>0，f x 极小值<0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b >0，b <0，解得－4a 327<b <0.因为对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，所以b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.所以实数b 的取值范围为(－4,0).规律方法 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数. 跟踪演练3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x ＞2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2).当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示. 所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根. 所以，实数a 的取值范围是(5－42，5＋42). 当堂检测1.下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D.若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 [答案]D[解析]由极值的概念可知只有D 正确.2.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.－1＜a ＜2 B.－3＜a ＜6 C.a ＜－1或a ＞2 D.a ＜－3或a ＞6[答案]D[解析]f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0， 解得a ＞6或a ＜－3.3.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. [答案]9[解析]f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.。

导数与函数的单调性（三）一、教学目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法二、教学重难点：利用导数判断函数单调性.三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：1. 函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.2. 导数的概念及其四则运算3、定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y ≥0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y ≤0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数4、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x ).②令f ′(x ) ≥0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )≤0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（二）、探究新课例1、确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2.令2x －2＞0，解得x ＞1.∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.令2x －2＜0，解得x ＜1.∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.例2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x ，令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.例3、证明函数f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)=21122111x x x x x x -=-∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )= x1在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证)∵f ′(x )=( x 1)′=(－1)·x －2=－21x ，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x＜0. ∴f ′(x )＜0， ∴f (x )= 21x在(0，+∞)上是减函数. 例4、求函数y =x 2(1－x )3的单调区间.解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1)=x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x )令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜52. ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，52) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞52且x ≠1.∵1x =为拐点， ∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(52，+∞) 例5、已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤；所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．（三）、小结：本节课学习了利用导数判断函数单调性.（四）、课堂练习：第62页练习4（五）、课后作业：1、求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+ 当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．2、已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-。