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第十一章 曲线积分与曲面积分第1节 曲线积分以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上的函数的定积分.本节将研究定义在平面或空间曲线段上函数的积分.1.1 第一型积分的概念与性质在设计曲线形细长构件时，通常需要计算它们的质量, 而构件的线密度(单位长度的质量)却是因点而异的. 工程技术人员常常用这样的方法计算一个构件的质量： 设构件为平面xOy 平面内一条有质量的曲线 L ， L 上任一点(,)f x y 处的线密度为(,)ρx y ，这样就可以把实际问题定量化(如图11-1)：将曲线L 分成n 小段曲线(1,2,)=i L i n ,i s ∆表示曲线段i L 长度;任取(ξi , ηi )∈ L i , 得第i 小段质量的近 似值(,)ρξηi i i s ∆;图11-1整个曲线构件的质量近似的等于1(,)ρξη=∆∑ni i i i s ;当把L 分割的越来越细(即λmax{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }0→), 则整个曲线构件的质量为01lim (,)λμξη→=∆∑ni i i i s .这种和的极限在研究其它问题时也会遇到，因此给出下面概念.定义1 设L 为xOy 面内的一条光滑曲线段, 函数(,)f x y 在L 上有界.在L 上任意插入一点列P 1, P 2, ⋅ ⋅ ⋅, P n -1把L 分在n 个小段. 设第i 个小段的长度为i s ∆, (,)i i ξη 为第i 个小段上任意取定的一点, 作乘积 (,)i i i f s ξη∆ (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 并作和i i i ni s f ∆=∑),(1ηξ, 如果各小弧段长度的最大值 λ→0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数(,)f x y 在曲线L 上的第一型曲线积分或对弧长的曲线积分, 记作(,)d Lf x y s ⎰, 即01(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==∆∑⎰. （11-1-1）其中，(,)f x y 叫做被积函数, L 叫做积分路径 , d s 弧长微元.特别地，如果L 是闭曲线, 那么函数(,)f x y 在闭曲线L 上第一型曲线积分记作(,)d Lf x y s ⎰.若L 为空间上的光滑曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似的定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上第一型曲线积分，记作(,,)d Lf x y z s ⎰.这样，本节开始所求的曲线形构件的质量可表示为(,)d LM x y s ρ=⎰.类似于函数的定积分，并不是所有的(,)f x y 在曲线L 上都是可积的. 然而，当函数(,)f x y 在光滑曲线弧L 上连续时, 第一型曲线积分(,)d Lf x y s ⎰都是存在的. 因此，下文中我们总假定(,)f x y 在L 上是连续的.关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述重要性质. 性质1(线性性) 设α、β为任意常数, 则[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰;性质2(路径可加性) 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰.1.2 第一型曲线积分的计算方法定理1 设(,)f x y 在曲线段L 上连续, L 的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t ) ( α ≤t ≤ β ),其中ϕ(t )、ψ(t ) 在[α, β]上具有一阶连续导数, 且ϕ'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分(,)d Lf x y s ⎰存在, 且(,)d [(),(Lf x y s f t t t βαϕψ=⎰⎰.证明 设 [(),(I f t t t βαϕψ=⎰. 如图11-1，在L 上顺次插入((),())(1,21)i i i P t t i n ϕψ=-，0((),())P A ϕαψα==，((),())n P B ϕβψβ==，其中011n n t t t t αβ-=<<<<=. 设i s ∆为弧段P i-1P i 的长度，则1.ii t i t s t -∆=⎰令1((),())ni i i i f s σϕξψξ==∆∑，其中((),()i i ϕξψξ)为弧段P i-1P i 上任意一点. 那么[111((),())[(),(((),())((),()).ii ni i i i nt i i t i I f s f t t tf f t t t βασϕξψξϕψϕξψξϕψ-==-=∆-=-∑∑⎰⎰设L 的弧长为s. ((),())f t t ϕψαβ为[,]上的连续函数，因此一致连续. 所以对任意给定正数ε，存在δ，当1i i t t δ--<时，有|((),())((),())|i i f f t t sεϕξψξϕψ-<. (1,[,]i i i t t t ξ-∈）,因此11|||((),())((),())|.ii nt i i t i I f f t t tt s s sβασϕξψξϕψεεε-=-≤-<==∑⎰⎰又10(1,2)i i t t i n --→=等价于λmax{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }0→.从而(,)d lim =[(),(Lf x y s f t t t βαλσϕψ→=⎰⎰.特别地，如果平面光滑曲线L 的方程为 y =ψ(x ) (a ≤x ≤b ) 则(,)d (,(bLaf x y s f x x x ψ=⎰⎰如果平面光滑曲线L 的方程为x =ϕ(y ) ( c ≤x ≤d )则2(,)d ((),)()1d dLcf x y s f y y y y ϕϕ'=+⎰⎰若空间曲线L 的方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) (α≤t ≤β), 则222(,,)d ((),(),())()()()d Lf x y z s f t t t t t t t βαϕψωϕψω'''=++⎰⎰.例1 计算d Ly s ⎰, 其中L 是抛物线 y =x 2 上点 O (0, 0) 与点 B (1, 1) 之间的一段弧.解 曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1) (图11-2), 因此12220d 1()d Ly s x x x '=+⎰⎰12014d x x x =+⎰)155(121-=.图 11-2 图11-3 例2 计算22d x y Les +⎰，其中L 是从(0,1)A 沿圆周221x y +=到22(,)22B -处的一段劣弧(如图11-3).解 曲线段L 的参数方程为 cos ,sin ,42x t y t t ππ==-≤≤.从而 22d (sin )(cos )d d s t t t t =-+=.因此22243d d 4x y L es e t e πππ+-==⎰⎰.例3 计算曲线积分222()d Lx y z s ++⎰, 其中L 为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到2π 的一段弧.解 在曲线 L 上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 22222d (sin )(cos )d d s a t a t k t a k t =-++=+,于是222()d Lxy z s ++⎰2222220()d a k t a k t π=++⎰)43(3222222k a k a ππ++=. 例 4 计算22(2)d Lx y z s ++⎰，其中L 为球面2222x y z a ++=和平面0x y z ++=的交线.解 有对称性得2222221d d d ()d 3LLLLx s y s z s x y z s ===++⎰⎰⎰⎰ 由于在L 上成立2222x y z a ++=，且L 是一个半径为a 的圆周，因此222223()d d d 2.LLLx y z s a s a s a π++===⎰⎰⎰ 同理1d d d ()d 0.3LLLLx s y s z s x y z s ++=++=⎰⎰⎰⎰ 于是222234(2)d d d 2d .3L L L Lx y z s x s y s z s a π++++=⎰⎰⎰⎰=1.3 第二型曲线积分在物理学中还会碰到另一种类型的曲线积分. 例如一质点在xOy 面内受变力 F (x , y )=P (x , y )i +Q (x , y )j 的作用下沿光滑曲线弧L 从点A 移动到点B , 求变力F (x , y ) 所作的功. 这样就可以把实际问题定量化(如图10-4).在曲线L 上插入点A =P 0, P 1, P 2, ⋅ ⋅ ⋅, 1n P -, P n =B 把有向曲线L 分成n 个小弧段. 设 P k =(x k , y k ), 则有向曲线1i i P P -在x 轴与y 轴上的投影分别为1i i i x x x -∆=- 与 1i i i y y y -∆=- , 所以(,)i i i x y =∆∆L (i =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1，n ).显然, F (x , y )沿有向小弧段1i i P P -所作的功可以近似为 图11-4 1(,)(,)(,)i i i i i P P i i i i i i W P x Q y ξηξηξη-=⋅=∆+∆F L ;其中(,)i i ξη为小弧段1i i P P -内任一点. 于是, 变力F (x , y )所作的功近似为 111(,)(,).n n niiiiiiii i i W W P x Q y ξηξη=====∆+∆∑∑∑当有向曲线L 的分割越细，上式右边的和就越接近正确值. 因此，0λ→（λ 是各小弧段长度的最大值）时的极限就是变力在L 上所作的功的精确值: ]),(),([lim1i i i ni i i i y Q x P W ∆+∆=∑=→ηξηξλ.这种类型的和式极限就是下面所要求的第二型曲线积分的定义:定义2 设函数 P (x , y ), (,)Q x y 在有向光滑曲线L 上有界. 在L 内插入一点列012=A, ,n P P P P B =得到n 个有向小弧段1(1,2,)i iP P i n -=，设1i i i x x x -∆=-，1i i i y y y -∆=-; (ξi , ηi )为L i 上任意一点, λ 为各小弧段长度的最大值. 如果极限 011lim[(,)(,)]n niiiiiii i P x Q y λξηξη→==∆+∆∑∑总存在, 则称此极限为函数P (x , y ),(,)Q x y 在有向曲线L 上的第二型曲线积分或对坐标轴的曲线积分, 记作(,)d (,)d (,)d (,)d LABP x y x Q x y y P x y x Q x y y ++⎰⎰或. （11-1-2）特别地，如果L 是有向闭曲线，则记作(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰. （11-1-3）若记F (x , y )=((,)P x y , (,)Q x y )，d (d ,d )x y =r , 则 (11-1-2) 式可写成向量形式d L⋅⎰F r 或d AB⋅⎰F r （11-1-4）这样，在变力F (x , y )=P (x , y )i +Q (x , y )j 作用下沿光滑曲线弧L 从点A 移动到点B 所作的功为(,)d (,)d LW P x y x Q x y y =+⎰.第二类曲线积分定义在有向曲线上，它具有的性质如下：性质1(方向性) 设L 是有向曲线弧, -L 是与L 方向相反的有向曲线弧, 则⎰⎰+-=+-L L dy y x Q dx y x P d y x Q dx y x P ),(),(),(),(.性质2(线性性) 设α、β为任意常数, F ，G 为向量函数，d (d ,d )x y =r ，则[]d d d LLLαβαβ+=+⎰⎰⎰F G r F r G r .性质3（路径可加性) 如果把L 分成L 1和L 2, 则12LL L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy +=+++⎰⎰⎰.1. 4第二型曲线积分的计算方法定理2 设(,)P x y , (,)Q x y 是定义在光滑有向曲线L : x =ϕ(t ), y =ψ(t ),上的连续函数, 当参数t 单调地由 α 变到 β 时, 点M (x , y ) 从L 的起点A 沿L 方向运动到终点B , 则(,)d (,)d ((),())()((),())()d LP x y x Q x y yP t t t Q t t t t βαϕψϕϕψψ+''=+⎰⎰ 对于沿封闭曲线L 的第二型曲线积分（11-1-2）的计算，可在L 上任意选取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点. 若空间曲线L 的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ (t ), z =ω(t ) ,则(,,)d (,,)d (,,)d LP x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰⎰'=βαϕωψϕ )()](),(),([{t t t t P [(),(),()]()[(),(),()]()}d .Q t t t t R t t t t t ϕψωψϕψωω''++其中α 对应于L 的起点, β 对应于L 的终点.例5 计算224(2)d ()d Lx xy x x y y +++⎰，其中L 为由点(0,0)O 到点(1,1)A 的直线段 .解 L 的参数方程为 ,,01x t y t t ==≤≤2241222403510(2)d ()d (2)d 4123|.3515Lx xy x x y y t t t t tt t +++=+++=+=⎰⎰例6 计算d Lxy x ⎰, 其中L 为抛物线y 2=x 上从点A (1, -1)到点B (1, 1)的一段弧（图11-5）.解法一 以x 为参数. L 分为AO 和OB 两部分:AO 的方程为x y -=, x 从1变到0; OB 的方程为x y =, x 从0变到1. 因此d d LAOOBxydx xy x xy x =+⎰⎰⎰311214()d d 2d 5x x x x x x x x =-+==⎰⎰⎰. 解法二 以y 为积分变量. L 的方程为 x =y 2, y 从-1变到1. 因此1221d ()d Lxy x y y y y -'=⎰⎰14142d 5y y -==⎰ . 图11-5 例7 计算3sin d x Lx y y e s +⎰，其中22:1L x y +=.解 L 的参数方程为 cos ,sin ,x y θθπθπ==-≤≤.则33cos sin d cos sinsin sin d x Lx y y e s e πθπθθθθ-+=+⎰⎰.又3cos cos sinsin sin e θθθθ+为θ的奇函数，所以3sin d 0x Lx y y e s +=⎰.例8 设在力场(,,)y x z =-F 作用下，质点由A (R,0,0) 沿L 移动到B (R ,0, 2k π),其中L 为 (1) x =R cos t , y =R sin t , z= kt ,0≤t ≤2π; (2) 直线AB. 解 d yd d zd LLW x x y z =⋅=-+⎰⎰F r(1)由于d x =-Rsint d t , d y =Rcost d t , dz=k d t , 所以2222220222220(sin cos )()2()W R t R t k t dtk t R dt k R ππππ=--+=-=-⎰⎰(2) L 的参数方程为 图11-6 x=R , y=0, z=t , 0≤t ≤2k π. 由于d x =0, d y =0, dz=d t . 所以22202k W tdt k ππ==⎰1.5两类曲线积分之间的关系若在定向光滑曲线L 上，取点(,)x y 的一个L 的弧长微元d s ，作向量d d s =sτ，其中(cos ,sin )αβ=τ为曲线L 上在(,)x y 处与L 同向的切向量. 那么d s 在x 轴上的投影为cos d s α，可记为d x ，即d cos d x s α=. 同理d cos d y s β=. 第二型曲线积分又可以表示为(,)d (,)d [(,)cos (,)sin ]d LLP x y x Q x y y P x y Q x y s αβ+=+⎰⎰,或d d LLs ⋅=⋅⎰⎰F r F τ.其中F =(P (x ，y ), Q (x ，y )), (cos ,sin )αβ=τ为有向曲线弧L 上点(x , y ) 处切向量,d (d ,d )x y =r .类似地有d d d [cos cos cos ]d LLP x Q y R z P Q R s αβγ++=++⎰⎰,或d d LLs ⋅=⋅⎰⎰F r F τ.其中F =(P , Q , R ), τ=(cos α, cos β, cos γ)为有向曲线段L 上点(x , y , z )处切向量,d (d ,d ,d )x y z =r .例9 设221(,)ln()2f x y x y =+，2:,12L y x x =≤≤,试计算d L fs ∂∂⎰τ. 其中 f ∂∂τ 表示函数(,)f x y 沿L 的正向切方向τ的方向导数.解cos ,sin ,x y ff x f y ∂''=<>+<>∂τττ2222cos ,sin ,x yx y x y x y =<>+<>++ττ 由第一、二型曲线积分的关系知222222242111d d d d d (ln 5ln 2)2L L f x y x y s x y x y x y x y x x y y ∂=+=+=+∂++++⎰⎰⎰⎰τ.习题11-11、求下列第一型曲线积分： (1）计算积分32Ly ds ⎰.其中L 是直线y x =上介于(0,0)、(1,1)之间的线段；(2）计算积分22()d Lx y s +⎰.其中L 为cos x a t =，sin y a t =(0a >02t π≤≤)；(3）计算⎰+L ds y x )(.L 是由1x y +=、1x y -=-与0y =围成的三角形区域的边界曲线；（4）计算积分22Lx y ds +⎰.L 为圆周：22x y ax +=（0a >）； （5）求ds y x nL⎰+ 22)(.其中L 为圆周,cos t a x =t a y sin =)20,0(π≤≤>t a ；（6）ds xy L ⎰.其中L 为圆周222a y x =+；（7）ds zy x ⎰Γ++2221.其中Γ为曲线t e x t cos =，t e y tsin =，t e z =上相应于t 从0变到2的弧段.2、求下列第二型曲线：（1）,Lxdy ydx -⎰其中L 为曲线22y x =上介于(0,0)、(1,2)之间的一段弧；（2）⎰+-L xdy dx y a )2(.其中L 是摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧；（3）⎰-++Ldy y x dx y x 22)2()2(.其中L 是曲线x y --=11对应于0=x 的点到2=x 的点；（4）dy y x x dx xy y L)22()2(22 ++++⎰.其中L 是由点)0,4(A 到点)0,0(O 的上半圆周24x x y -=.213.,,(01,0)2x a y at z at t a ρ===≤≤>求曲线的质量，设其线密度函为 4 ⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(.其中Γ是曲线：⎪⎩⎪⎨⎧===32tz t y t x 上t 由0到π2的一段弧.5．计算⎰-++L dy x y dx y x )()(，其中L ：（1）抛物线x y =2上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧； （2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）曲线1,1222+=++=t y t t x 上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧.6.设质点受力的作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由(,0)a 沿椭圆移动到(0,)b ，求所做的功.7.设(,)f x y 为定义在平面曲线段AB 上非负连续函数，且在AB 上恒大于零. (1)试证明(,)ds>0ABf x y ⎰(2)第二型曲线积分(,)d >0ABf x y x ⎰是否成立？为什么？第2节 格林公式2. 1 格林公式本节讨论区域D 上的二重积分与D 的边界曲线L 上的第二型曲线积分之间的联系. 单连通与复连通区域: 设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D , 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域(即区域D 内有“洞”)(如图11-7).图11-7对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正方向如下: 当观察者沿L 行走时, 区域D 总在他的左边. 相反的方向称为负方向，记为-L.区域D 的边界曲线L 的方向:图11-8定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函数P (x , y )及Q (x , y )在D 上具有一阶连续偏导数, 则有()d d d d LDQ Px y P x Q y x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰, （11-2-1）其中L 是D 的取正向的边界曲线.证明 根据区域D 的不同形状，一般可分为三种情况证明. I ） 当D 既是X Y －型的区域(如图11-9)(即平行于坐标轴 的直线和L 至多交于两点的情形) .设 D ={(x , y )|ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b }. 因为yP ∂∂连续, 所以由二重积分的计算法有 图11-921()()21(,)d d {d }d {[,()][,()]}d .b x a x DbaPP x y x y y x y y P x x P x x x ϕϕϕϕ∂∂=∂∂=-⎰⎰⎰⎰⎰另一方面, 由第二型曲线积分的性质及计算法有12d d d [,()]d [,()]d b aLACBBEAabP x P x P x P x x x P x x x ϕϕ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰12{[,()][,()]}d baP x x P x x x ϕϕ=-⎰.因此d d d LDPx y P x y∂-=∂⎰⎰⎰.设D ={(x , y )|ψ1(y )≤x ≤ψ2(y ), α≤y ≤β}. 类似地可证d d d LDQx y Q x x ∂=∂⎰⎰⎰.由于D 既是X Y －型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得d d d d LD Q P x y P x Q y x y ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰.II ）若区域D 不满足以上条件，则可通过加辅助线将其 分割为有限个既是X Y －型区域的区域(如图11-10).11()d d ()d d d d ().k kDnk D nk k D k Q Px y x yQ Px y x yP x Q y D D =∂=∂∂-∂∂∂∂=-∂∂=+∂⎰⎰∑⎰⎰∑⎰表示正向边界III)若区域D 为有限个“洞”的复连通区域，我们只证明只有一个洞的情况（图11-11）.()()1212d d d d d d D L ABL NML L Q P x y x y P x Q y P x Q y⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭=++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 对复连通区域D , 格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D 来说都是正向.证毕例1 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线, L 方向为正方向证明22d d 0Lxy x x y +=⎰.证 令P =2xy , Q =x 2, 则022=-=∂∂-∂∂x x yPx Q . 因此, 由格林公式有22d d 0d d 0LDxy x x y x y +==⎰⎰⎰.例2 计算曲线积分2(cos )d sin d LI y y x x y y =-+⎰. 其中:sin ,0L y x x π=≤≤.解 记2cos ,sin P y y Q x y =-=补充：:0(0),AO y x π=≤≤则L AO +构成封闭曲线. 由格林公式20()(cos )d sin d 2d d (1)d 2L AOAODI y y x x y yy x y xππ+=--+=--=-⎰⎰⎰⎰⎰ 图11-12设区域D 的边界曲线为L , 取P =-y , Q =x , 则由格林公式得到一个计算平面区域D 的面积D S 公式：1d d d d 2D LDS x y x y y x ==-⎰⎰⎰.我们可以用上述公式来求平面图形的面积.例3 求椭圆22221x y a b+= 所围成图形的面积S .解 设D 是由椭圆x =a cos θ , y =b sin θ 所围成的区域.令P y =-, Q x =, 则2Q Px y∂∂-=∂∂. 于是由格林公式, 1d d d d 2LDS x y y x x y ==-+⎰⎰⎰2221(sin cos )d 2ab ab πθθθ=+⎰201d 2ab πθ=⎰=πab . 2. 2 平面上曲线积分与路径无关的条件很容易想象，当函数沿着连接A ，B 两个端点的路径L 积分，一般来说，积分的值会因端点的变化而变化，还会随着路径的不同而不同. 然而，像重力做功只与路径的端点值有关而与路径无关.下面来探究曲线积分与路径无关的条件.首先给出积分与路径无关的定义. 设D 是一个平面区域, P (x , y )、Q (x , y )在区域D 内具有一阶连续偏导数. 如果对于区域D 内任意指定的两个点A 、B 以及区域D 内从点A 到点B 的任意两条光滑曲线L 1、L 2, 等式⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx恒成立, 则称曲线积分⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关, 否则说与路径有关.设曲线积分⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关, L 1和L 2是D 内任意两条从点A 到点B 的曲线, 则有⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ,因为⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔021=+-+⎰⎰L L Qdy Pdx Qdy Pdx⇔021=+++⎰⎰-LL Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔120L L Pdx Qdy -++=⎰,所以有以下结论: 曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在D 内与路径无关的充要条件是沿D 内任意闭曲线L 的曲线积分⎰+L Qdy Pdx 等于零.定理2 设区域D 是一个单连通域, 函数P (x , y )及Q (x , y )在D 内具有一阶连续偏导数,则曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在D 内与路径无关（或沿D 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式xQy P ∂∂=∂∂在D 内恒成立.证明 充分性 ： 若x Q y P ∂∂=∂∂, 则0=∂∂-∂∂yP x Q , 由格林公式, 对任意闭曲线L , 有 ⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+D L dxdy y P x Q Qdy Pdx 0. 必要性: 假设存在一点M 0∈D , 使0≠=∂∂-∂∂ηyPx Q , 不妨设η>0, 则由y P x Q ∂∂-∂∂的连续性, 存在M 0的一个δ 邻域U (M 0, δ), 使在此邻域内有2η≥∂∂-∂∂y P x Q . 于是沿邻域U (M 0, δ)边界l 的闭曲线积分02)(2),(0>⋅≥∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰πδηδM U ldxdy y P x Q Qdy Pdx , 这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在D 内0=∂∂-∂∂yPx Q . 证毕定理要满足区域D 是单连通区域, 且函数P (x , y )及Q (x , y )在D 内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P 、Q 及y P ∂∂、xQ ∂∂连续性的点称为奇点.例4 计算⎰+L dy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0) 到B (1, 1) 的一段弧.解 因为xxQ y P 2=∂∂=∂∂ 在整个xOy 面内都成立, 所以在整个xOy 面内, 积分⎰+L dy x xydx 22与路径无关.⎰⎰⎰+++=+ABOAL dy x xydx dy x xydx dy x xydx 2222221112==⎰dy . 图11-13例5 计算⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为一条分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向.解 记L 所围成的闭区域为D . 令 22y x y P +-=, 22y x x Q +=.I)当(0, 0)∉D 时, 由格林公式得022=+-⎰L y x ydxxdy ;II)当(0, 0)∈D 时, 在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0). 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得02222=+--+-⎰⎰l L y x ydxxdy y x ydx xdy ,其中l 的方向取逆时针方向. 于是⎰⎰+-=+-l L y x ydxxdy y x ydx xdy 2222 ⎰+=πθθθ2022222sin cos d r r r =2π. 例6 已知1(0),2f =确定(),f x 使(())d ()d B x A e f x y x f x y +-⎰与路径无关.解 由积分与路径无关的条件知[()][()],x e f x y f x y x∂∂+=-∂∂ 即 ()(),xe f x f x '+=- 亦即()().x f x f x e '+=-解此方程得 1().2xx f x ce e -=- 又1(0),2f =从而 C=1. 所以所求函数 1().2x x f x e e -=-2. 3 二元函数的全微分求积曲线积分在D 内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x 0, y 0)与终点(x , y )有关. 如果⎰+L Qdy Pdx 与路径无关, 则把它记为⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx . 即⎰⎰+=+),(),(0y x y x L Qdy Pdx Qdy Pdx .若起点(x 0, y 0)为D 内的一定点, 终点(x , y )为D 内的动点, 则u (x , y )⎰+=),(),(0y x y x Qdy Pdx为D 内的的函数.二元函数u (x , y ) 的全微分为d u (x , y )=u x (x , y )d x +u y (x , y )d y . 而表达式P (x , y )d x +Q (x , y )d y 与二元函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P (x , y )d x +Q (x , y )d y 是某个二元函数u (x , y )的全微分呢？当这样的二元函数存在时，怎样求出这个二元函数呢？定理3 设区域D 是一个单连通域, 函数P (x , y )及Q (x , y )在D 内具有一阶连续偏导数, 则P (x , y )d x +Q (x , y )d y 在D 内为某二元函数u (x , y )的全微分的充分必要条件是等式 xQ y P ∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.证明 必要性: 假设存在某一函数u (x , y ), 使得d u =P (x , y )d x +Q (x , y )d y ,则有 y x u x u y y P ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(, x y uy u x x Q ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(.因为y P y x u ∂∂=∂∂∂2、x Q x y u ∂∂=∂∂∂2连续, 所以xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22, 即x Qy P ∂∂=∂∂.充分性: 因为在D 内xQy P ∂∂=∂∂, 所以积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(在D 内与路径无关.在D 内从点(x 0, y 0)到点(x , y )的曲线积分可表示为00(,)(,)(,)(,)x y x y P x y dx Q x y dy +⎰.考虑函数u (x , y )⎰+=),(),(0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P . 下证(,),(,)u uP x y Q x y x y∂∂==∂∂. 因为0000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)d (,)d (,)d (,)d (,)(,)d (,)d (,)(,)d x x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x y u x x y P x y x Q x y yP x y x Q x y yu x y P x y x Q x y y u x y P x y x+∆+∆+∆+∆+∆=+=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰由偏导数定义知(,)(,)00(,)d ()()lim lim(,)x x y x y x x P x y x u u x x u x P x y x xx+∆∆→∆→∂+∆-===∂∆∆⎰(,)(,)(,)d (,),0 1.x x y x y P x y x P x x y x θθ+∆=+∆∆≤≤⎰其中类似地有),(y x Q yu =∂∂, 从而d u =P (x , y )d x +Q (x , y )d y . 即P (x , y )d x +Q (x , y )d y 是某一函数的全微分.证毕 下面我们给出求全微分的原函数的公式: ⎰⎰+=y y xxdy y x Q dx y x P y x u 0),(),(),(0 或 ⎰⎰+=xx y y dx y x P dy y x Q y x u 0),(),(),(0.例7 应用曲线积分求22d d xy x x y y +的原函数. 解 这里 P =xy 2, Q =x 2y .因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有yP xy x Q∂∂==∂∂2, 取积分路线为从O (0, 0)到A (x , 0)再到B (x , y )的折线, 则所求函数为 ⎰+=),()0 ,0(22),(y x ydy x dx xy y x u 20220202y x ydy xydy xyy==+=⎰⎰.习题10-21．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1) 22dy-d Lxy x y x ⎰.其中L 为正向圆周922=+y x ；(2)⎰-++Ly y dy y xe dx y e )2()(.其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界；(3)⎰+-Ldy xy ydx x 22.其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB .（4）22Lxy dx x ydy -⎰.其中L 为圆周222x y a +=)0(>a ，取逆时针方向；（5）⎰---Lx dy y y dx y e ])sin ()cos 1[(.其中L 为闭区域x y x D sin 0,0:≤≤≤≤π的正向边界.2.计算dy m y e dx my y e x Lx )cos ()sin ( -+-⎰.其中L 为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x ,沿逆时针方向.3．计算曲线积分⎰+--+Lyx dyy x dx y x 22)()(. 其中L ：（1）闭区域)0(2222>>≤+≤a b b y x a 的正向边界； （2）圆周222a y x =+)0(>a 按逆时针方向；4．设函数)(u f 具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L ，有⎰=+Lxdy ydx xy f 0))((.5. 证明曲线积分dy xy y x dx y xy )36()6(22(3,4))2,1( 32-+-⎰在整个坐标面xoy 上与路径无关, 并计算积分值.6. 求原函数),(y x u(1)dy ye y x x dx xy y x du y )128()83(2322++++= (2)(2)(2)du x y dx x y dy =+++ 7.求下列曲线所围成的面积：(1)22916144x y += (2)星形线33cos ,sin .x a t y a t == 8.为了使曲线积分(,)()LF x y ydx xdy +⎰与路径无关，可微函数(,)F x y 应满足怎样的条件？第三节 曲面积分3. 1第一型曲面积分的概念及其性质类似于第一型曲线积分，面密度函数 ρ(x , y , z ) 在曲面∑上连续时，曲面∑质量为 i i i i ni S M ∆==→∑),,(lim 10ζηξρλ (λ 为各小块曲面直径的最大值).定义1 设曲面∑是光滑的, 函数(,,)f x y z 在∑上有界. 把∑任意分成n 小 块: ∆∑1, ∆∑2 , ⋅ ⋅ ⋅, ∆∑n (∆S i 代表曲面的面积), 在 ∆∑i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 如果当各小块曲面的直 径的最大值 λ→0时, 极限i i i i ni S f ∆=→∑),,(lim 10ζηξλ总存在, 则称此极限为函数(,,)f x y z 在曲面∑上 的第一型曲面积分或对面积的曲面积分, 记作⎰⎰∑dS z y x f ),,(, 即 图11-14i i i i ni S f dS z y x f ∆==→∑∑⎰⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 其中(,,)f x y z 叫做被积函数, ∑叫做积分曲面.我们指出当(,,)f x y z 在光滑曲面∑上连续时第一型曲面积分总是存在的.今后总假定(,,)f x y z 在∑上连续.特别地，当(,,)f x y z =1时，曲面积分dS ∑⎰⎰为曲面∑的面积.根据上述定义光滑曲面 ∑ 的面密度为 ρ(x , y , z )，则曲面 ∑ 的质量 M 可表示为 ρ(x , y , z ) 在 ∑ 上的第一型曲面积分:⎰⎰∑=dS z y x f M ),,(3. 2 第一型曲面积分的计算 定理1 设光滑曲面∑：(,),(,),D xy xy z z x y x y D =∈为∑xoy 在平面上的投影. (,,)f x y z 在曲面∑上为连续函数，则 图11-1522(,,)d [,,(,)]1(,)(,)d d x y Df x y z S f x y z x y z x y z x y x y ∑=++⎰⎰⎰⎰.定理证明与第一节定理证明相仿，这里不再重复.例1 求d xyz S ∑⎰⎰.其中:1x y z ∑++=第一象限部分(如图11-16).解 1z x y ∑=--的方程：，:0,0,1xy D x y x y ≥≥+=(如图11-17).d (1)3d d xyD xyz S xy x y x y ∑=--⎰⎰⎰⎰1103d (1)d xx xy x y y -=--⎰⎰=340图11-16 图11-17例2 计算曲面积分1d S z ∑⎰⎰, 其中∑是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z =h (0<h <a )截出的顶部(如图11-18).解 ∑的方程为222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2. 因为 222y x a x z x ---=, 222yx a y z y ---=,22222d 1d d d d x y a S z z x y x y a x y=++=--,所以2221d d d xyD aS x y z a x y ∑=--⎰⎰⎰⎰ 图11-18 22222d d a h r r a a r πθ-=-⎰⎰22022)]ln(21[2h a r a a ---=πh a a ln 2π=.3. 3 第二型曲面积分通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如由方程z =z (x , y ) 表示的曲面分为上侧与下侧. 封闭的曲面分为内侧与外侧. 在讨论第二型曲面积分时， 需要指定曲面的侧, 我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧. 不妨设n =(cos α, cos β, cos γ) 为曲面上取定的法向量, 则曲面上满足cos γ>0的侧为上侧， 满足cos γ<0的侧为下侧. 封闭曲面如果取法向量的指向朝外，我们就认为取曲面的外侧. 这种通过确定法向量亦即确定侧的曲面称为有向曲面. 设∑是有向曲面. 在∑上任取一小块曲面∆∑ , 把∆∑投影到xOy 平面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为()xy σ∆. 假定∆∑上各点处的法向量与z 轴的夹角γ 的余弦cos γ 有相同的符号(即cos γ 都是正的或都是负的). 我们规定∆∑在xOy 面上的投影()xy S ∆ 为() cos 0()0cos 0() cos 0xy xy xy S σγγσγ∆>⎧⎪∆==⎨⎪-∆<⎩类似地可以定义∆∑i 在yOz 面及在zOx 面上的投影(∆S)yz 及(∆S)zx .有了上面的说明我们就可以解决这样的问题，设稳定流动的不可压缩流体在(,,)x y z 点的流度可表示为v (x , y , z )=(P (x , y , z ) , Q (x , y , z ) , R (x , y , z ))，求在单位时间内流向定向曲面∑的流体的质量, 即流量Φ.图11-19类似于第一型曲面积分，把曲面∑分成n 小块: ∆∑1, ∆∑2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆∑n (∆S i 代表第i 小块曲面的面积). 在∑是光滑的和v 是连续的前提下, 只要∆∑i 的直径很小, 我们就可以用 ∆∑i上任一点 (ξi , ηi , ζi ) 处的流速v i =v (ξi , ηi , ζi )=P (ξi , ηi , ζi )i +Q (ξi , ηi , ζi )j +R (ξi , ηi , ζi )k代替∆∑i 上其它各点处的流速, 以该点(ξi , ηi , ζi ) 处曲面∆∑i 的正侧面上单位法向量n i =(cos αi , cos βi , cos γi )代替∆∑i 正侧面上其它各点处的单位法向量. 从而得到通过∆∑i 流向指定侧的流量的近似值v i ⋅n i ∆S i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ,n )于是, 通过曲面∑流向指定侧的流量 i i i ni S ∆⋅≈=∑n v 1Φi i i i i i i i i i i i i ni S R Q P ∆++==∑]cos ),,(cos ),,(cos ),,([1γζηξβζηξαζηξ,又因为cos αi ⋅∆S i ≈(∆S i )yz , cos βi ⋅∆S i ≈(∆S i )zx , cos γi ⋅∆S i ≈(∆S i )xy ,因此上式可以写成]))(,,())(,,())(,,([1xy i i i i zx i i i i yz i i i i ni S R S Q S P ∆+∆+∆≈Φ=∑ζηξζηξζηξ令λ→0取上述和的极限, 就得到流量Φ的精确值： {(,,)cos (,,)cos (,,)cos }d P x y z Q x y z R x y z S αβγ∑Φ=++⎰⎰.这样的极限还会在其它问题中遇到，我们就抽象出如下曲面积分的概念.定义2 设 ∑ 为光滑的有向曲面, 函数P 、Q 、 R 在 ∑上有界. 把∑任意分成n 块小曲面 ∆∑i (∆S i 代表第i 小块曲面的面积). ∆∑i 在三个坐标平面上的投影分别为为(∆S i )xy , (ξi , ηi , ζi ) 是 ∆∑i 上任意取定的一点. 当各小块曲面直径的最大值λ→0时，xy i i i i ni S R ))(,,(lim 10∆=→∑ζηξλ总存在, 则称此极限为函数(,,)R x y z 在有向曲面∑上第二型曲面积分，记作(,,)d d R x y z x y ∑⎰⎰=xy i i i i ni S R ))(,,(lim 10∆=→∑ζηξλ其中(,,)R x y z 叫做被积函数，∑叫做积分曲面.类似地可定义函数(,,)P x y z 在有向曲面∑上的第二型曲面积分(,,)d d P x y z y z ∑⎰⎰及函数(,,)Q x y z 在有向曲面∑上第二型曲面积分(,,)d d Q x y z z x ∑⎰⎰分别为(,,)d d P x y z y z ∑⎰⎰=01lim (,,)()ni i ii yz i P S λξηζ→=∆∑(,,)d d Q x y z z x ∑⎰⎰=01lim (,,)()ni i i i zxi Q S λξηζ→=∆∑以上三个曲面积分也称为对坐标的曲面积分.我们指出，当(,,)(,,)(,,)P x y z Q x y z R x y z 、、在有向光滑曲面∑上连续时，第二型曲面积分是存在的，以后总假设P Q R 、、在∑ 上连续.第二型曲面积分常常以下面形式出现，(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰,或(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑∑∑++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.因此，上面流向∑指定侧的流量Φ可表示为 Φ(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑=++⎰⎰.若记A =((,,)P x y z , (,,)Q x y z ，R (x, y, z))，d (d d ,d d ,d d )y z z x x y =S , 则第二型曲面积分也可写成向量形式d ∑⋅⎰⎰A S第二型曲面积分具有与第二型曲线积分类似的一些性质. 如下性质1(方向性) 设∑是有向曲面, -∑表示与∑取相反侧的有向曲面, 则d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y -∑∑++=-++⎰⎰⎰⎰.性质2(线性性) ,αβ为常数,(,,),(,,)P Q R P Q R '''==A B d (d d ,d d , d d )y z z x x y =S(+)d d d αβαβ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰A B S A S B S性质3(可加性) 如果把∑分成∑ 1和∑2, 则d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++⎰⎰12d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑=+++++⎰⎰⎰⎰.3.4 第二型曲面积分的计算方法设积分曲面∑由方程 z=z (x , y ) 给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy , 函数z=z (x , y )在D xy 上具有一阶连续偏导数, 被积函数R (x , y , z )在∑上连续, 则有(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,其中，当∑正侧面取上侧时, 积分前取“+”; 当∑正侧面取下侧时, 积分前取“-”. 这是因为, 按第二型曲面积分的定义, 有(,,)d d R x y z x y ∑⎰⎰=∑=→∆ni xy i i i i S R 1))(,,(lim ζηξλ. 当∑正侧面取上侧时, cos γ>0, 所以(∆S i )xy =(∆σi )xy . 又因(ξi , ηi , ζi )是∑上的一点, 故ζi =z (ξi , ηi ). 从而有∑∑==∆=∆ni xy i i i i i n i xy i i i i z R S R 11))](,(,,[))(,,(σηξηξζηξ.令λ→0取上式两端的极限, 就得到(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=⎰⎰⎰⎰.同理当∑取下侧时, 有(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=-⎰⎰⎰⎰.这是因为n =(cos α, cos β , cos γ)}1 , ,{1122y x yx z z z z --++±=, d d S x y =,(,,)d d (,,)cos d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z S R x y z x y x y γ∑∑==±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.类似地, 如果∑由x =x (y , z )给出, 则有(,,)d d [(,),,]d d yzD P x y z y z P x y z y z y z ∑=±⎰⎰⎰⎰.如果∑由y =y (z , x )给出, 则有(,,)d d [,(,),]d d zxD Q x y z z x Q x y z x z z x ∑=±⎰⎰⎰⎰.例3 计算曲面积分d d xyz x y ∑⎰⎰, 其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分.解 把有向曲面∑分成以下两部分:1∑: 221y x z --=(0,0x y ≥≥)的上侧, 2∑: 221y x z ---=(0,0x y ≥≥)的下侧.∑1和∑2在xoy 面上的投影区域都是 22:1,0,0.xy D x y x y +≤≥≥ 于是12d d d d d d xyz x y xyz x y xyz x y ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221d d (1)d d xyxyD D xy x y x y xy x y x y =------⎰⎰⎰⎰2221d d xyDxy x y x y =--⎰⎰1222002sin cos 1d d r r r r πθθθ=-⎰⎰152=. 例4 计算d d z x y ∑⎰⎰，（1）∑为锥面22y x z +=在10≤≤z 部分的下侧(如图11-20)； （2）∑为锥面22yx z +=与平面1=z 所围曲面的内侧(如图11-21).图11-20 图11-21解（1）∑：22yx z +=，10≤≤z ，下侧. xy D ：122≤+y x . 则d d z x y ∑⎰⎰22d d xy D x y x y =-+⎰⎰212002d d 3r r πθπ=-=-⎰⎰.（2）21∑+∑=∑，1∑ ：22y x z +=，10≤≤z ，上侧；2∑ ：1=z ，122≤+y x ，下侧.xy D ：122≤+y x .12zdxdy zdxdy zdxdy ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰21d d d .33xy xyD D x y x y πππ=-=-=-⎰⎰⎰⎰3.5两类曲面积分之间的联系设积分曲面∑由方程z =z (x , y )给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy , 函数z =z (x , y )在D xy 上具有一阶连续偏导数, 被积函数R (x , y , z )在∑上连续. 如果∑取上侧, 则有(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=⎰⎰⎰⎰.另一方面, 因上述有向曲面∑的法向量的方向余弦为 221cos yx xz z z ++-=α, 221cos yx yz z z ++-=β, 2211cos yx z z ++=γ,故由第一型曲面积分计算公式有(,,)cos d [,,(,)]d d xyD R x y z S R x y z x y x y γ∑=⎰⎰⎰⎰.由此可见, 有(,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰.如果∑取下侧, 则有(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=-⎰⎰⎰⎰.但这时2211cos yx z z ++-=γ, 因此仍有(,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰,类似地可推得 (,,)d d (,,)cos d P x y z y z P x y z S α∑∑=⎰⎰⎰⎰,(,,)d d (,,)cos d Q x y z z x P x y z S β∑∑=⎰⎰⎰⎰.综合起来有d d d d d d (cos cos cos )d P y z Q z x R x y P Q R S αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰,其中cos α, cos β, cos γ 是有向曲面∑上点(x , y , z )处的法向量的方向余弦. 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式:d d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰A S A n 或 d d nA S ∑∑⋅=⎰⎰⎰⎰A S .其中A =(P , Q , R ), n =(cos α, cos β, cos γ) 是有向曲面∑上点 (x , y , z ) 处的单位法向量, d S =n d S =(d y d z , d z d x , d x d y ), 称为有向曲面元, A n 为向量A 在向量n 上的投影.例5 计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰, 其中∑是曲面)(2122y x z +=介于平面z =0及z =2之间的部分的下侧.解 由两类曲面积分之间的关系, 可得222cos ()d d ()cos d ()d d cos z x y z z x S z x x y ααγ∑∑∑+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 在曲面∑上, 曲面上向下的法向量为(x , y , -1)221cos y x x ++=α, 2211cos y x ++-=γ,d d S x y =. 故22()d d d d [()()]d d zx y z z x y z x x z x y ∑∑+-=+--⎰⎰⎰⎰2222222411{[()]()()}d d 42x y x y x x x y x y +≤=++⋅--+⎰⎰ 2222241[()]d d 2x y x x y x y +≤=++⎰⎰22222001(cos )d 2d r r r r πθθ=+⎰⎰=8π. 习题11-31．计算曲面积分(,,)d ,f x y z S ∑⎰⎰其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分，(,,)f x y z 分别如下：（1）(,,)1f x y z = （2）22(,,)f x y z x y =+（3）(,,)3f x y z z = 2.dS y x z ⎰⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++342,其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分.3.计算22d Sx y ∑+⎰⎰,其中∑是界于平面0=z 及)0(>=H H z 之间的圆柱面222R y x =+. 4．计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为半球面2222,0.x y z a z ++=≥ 5．2221dS x y z ∑++⎰⎰，⑴∑是球面2222x y z R ++=；⑵∑是介于平0z =，1z =之间的圆柱面222x y R +=.6. 计算下列第二型曲面积分 （1）zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221xy +=被平面0z =及3z =所截下的第一卦限内部分的前侧; （2）22x y zdxdy ∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧; 7．计算⎰⎰∑++-+=dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz I )2()(2322，其中∑为上半球体222x y R +≤，2220y x R z --≤≤的外侧．8.计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为半球面222y x R z --=的上侧。
word 完美格式第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
