3.3向量空间

小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点1、空间向量的加法、减法、数乘及运算律都是平面向量的对应推广，规则没有变，既可以用平行四边形法则，也可以用包含目标向量的封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子。

2、因为向量可以平移 ，所以，任意两个向量都是共面 向量。

3、向量的数量积：a ·bba4、5、a 与b 平行(共线)的充要条件：存在实数λ，使得b =λa ；a ⊥b 的充要条件：a ·b =0。

6、三角形ABC 中，D 是BC 中点，则AD =21AB +21AC 。

7、给定四点O,P,A,B ，其中，O,A,B 为不共线的三点，且OP =x OA +y OB ，则A,P,B 三点共线 的充要条件是 x+y=1 .8、空间向量基本定理：如果1e 、2e 与3e 是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量a ，存在唯一的实数λ,μ,ν，使得a =λ1e +μ2e +ν3e 。

9、对于空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C ，都有OP =x OA +y OB +z OC 。

则点P 与A,B,C 四点共面 的充要条件是 x+y+z=1 .10、空间向量的坐标表示：a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），则①a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2）；②λa =（λx 1，λy 1，λz 1）；③a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ；④ 11、空间直角坐标系中，x 轴，y 轴，z 轴两两互相垂直 。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 ，分别为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，三个坐标平面把空间划分成八 个部分。

3.3 向量之间的关系教学目的与要求：理解向量组的线性相关性与线性方程组的关系； 注意加强代数与几何的结合，讲授与讨论的结合，具体与抽象的结合，辅导答疑与实练的结合，理论分析与具体例题的结合重点：向量组的线性相关性理论及应用3.3.1 向量的共线与共面本节讨论几何空间中向量的共线与共面问题,这将引领我们建立向量的线性表示等概念及其相关理论.定理 3.3.1 如果向量0a ≠r,那么向量a b r r ,共线的充分必要条件是存在实数k 使得b ka =r r . 并且当a b r r ,共线时,k 是被a b rr ,唯一确定的.当向量a b r r ,有关系b ka =r r 时,称向量b r 可以由向量a r线性表示.证明 如果b r 与a r 共线,那么由于0a ≠r ,当b r 与a r同向时,取||||b k a =rr ,当b r 与a r 反向时,取||||b k a =−rr ,这时显然有b ka =r r.为证明k 的唯一性. 假设另有b xa =r r ,那么ka xa =r r ,即()0x k a −=r . 由0a ≠r得0x k −=,即x k =.反之,如果存在实数k 使得b ka =r r,显然b r 与a r 共线.定理3.3.2 如果向量a b r r ,不共线,那么向量c r 与a b rr ,共面的充分必要条件是存在实数x, y使得c xa yb =+r r r . 并且当c r 与a b rr ,共面时,x, y 是被a b c r r r ,,唯一确定的.当向量a b r r ,有关系c xa yb =+r r r 时,我们称向量c r可以由向量a b r r ,线性表示.证明 由于向量a b r r ,不共线,我们可以假设0,0a b ≠≠rr .必要性. 设c r 与a b r r ,共面. 如果c r 与a r(或b r )共线,那么由定理 3.3.1有0c xa b =+r r r (或0c a yb =+r r r )；如果c r 与a b rr ,都不共线,把a b c r r r ,,归结到共同的始点O , 如图3.15,,OD a =r uuu r ,OE b OP c ==r r uuu r uuu r .过P 分别作OD,OE 的平行线依次与 OD,OE 所在直线交于点A,B, 根据向量加法 的平行四边形法则,并利用定理3.3.1,得.c OP OA OB xa yb =+=+=r r ruu u r uur uuu r充分性. 如果c xa yb =+r r r,那么, 当0x =或0y =,c r 与b r 或a r共线,从而c r 与a b rr ,共面. 当0x ≠且0y ≠时,易知c r 与,xa yb r r 共面,因此c r 与a b rr ,也共面.最后证明x, y 的唯一性. 事实上,如果另有c x a y b ′′=+r r r ,那么xa yb c x a y b ′′+==+r r r r r ,即()()x x a y y b ′′−=−r r . 如果0x x ′−≠那么y y a b x x ′−=′−rr ,根据定理3.3.1知a b r r ,共线. 矛盾.所以0,x x x x ′′−==,同理,y y ′=.定理3.3.3 设123,,e e e r r r是几何空间中三个不共面的向量,则几何空间的任意向量r r 总可以图3.15D P表示为123r xe ye ze =++r r r r ,其中,,,x y z 是被123,,,r e e e rr r r 唯一确定的实数.证明 把123,,e e e r r r 归结到共同的始点O ,设OP r =uuu r r ,过P 分别作123,,e e e r r r所在直线的平行线可得平行六面体OBP C AB PC ′′′−（图3.16）,那么分别存在实数,,x y z ,使得123,,,OB xe BP ye P P ze ′′===uuu r uuur uuur r r r 从而, 123r OP OB BP P P xe ye ze ′′==++=++uuu r uuu r uuur uuur r r r r .下面证明这个表示式的唯一性. 设123123r xe ye ze x e y e z e ′′′=++=++r r r r r r r , 则123()()()0x x e y y e z z e ′′′−+−+−=r r r . 如果表示式不唯一,那么上述等式中 的系数不全为零,不妨设0x x ′−≠,从而123y y z z e e e x x x x ′′−−=′′−−+r rr ,利用定理3.3.2的结论,123,,e e e r r r共面. 矛盾.例3.3.1 已知三角形OAB,其中,OA a OB b ==rr uur uu u r ,而M, N 分别是三角形两边OA, OB 上的点,且(01),(01)OM a ON b λλµµ=<<=<<r ruuur uuu r ,设AN 与BM 相交于点P （如图3.17）,如果,OP a b x y =+r ruu u r 试用,λµ表示x, y.解 我们用两种方式表示向量:BP uur首先,()(1).BP OP OB a b b x y xa y b =−=+−=+−r r ruur uu u r uu u r r r其次,有).()(BP BM OM OB a b m a mb m m m λλ=−==−=−r r r ruur uuur uuur uu u r 由于OA a OB b ==r r uur uu u r ,不共线,所以BP uur可以由a b r r ,唯一地线性表示,从而 ,1x m y m λ=−=−,(1)x y λ=−.同理,(1)y x µ=−, 所以(1)(1),.11x y λµµλλµλµ−−==−−3.3.2 向量组的线性相关性通过上节的学习,我们知道,平面上两个非零向量a b r r ,互相平行的充要条件是,b a λλ=r r是一个数. 若a b r r ,不平行,则平面上任一向量c r可由a b r r ,表示为c xa yb =+r r r ,其中x y ,是由a b c r r r,,唯一确定的数. 这些结论表明,几何空间向量之间的位置关系可以用他们之间的代数表达式刻画. 对于一般的线性空间,向量的这种线性关系也是极为重要的.在这一节里,我们将研究这种线性关系. 我们约定：除了特别说明以外,以下谈到的向量都是指某一给定数域K 上的线性空间中的向量,涉及的数都是指数域K 中的数.定义3.3.1 对于向量1m αααL ,,,,如果存在数域K 中的数12m k k k L ,,,使得1122m m k k k αααα=+++L ,则称向量α是12m αααL ,,,的一个线性组合,或者说α可以由12m αααL ,,,线性表示.例如,设123,,e e e r r r是几何空间中三个不共面的向量,则几何空间中任意一个向量r r 总可以表示为123r xe ye ze =++r r r r .即几何空间中任意一个向量r r 可以由三个不共面的向量123,,e e e r r r图3.17图3.16 P13e r线性表示.特别地,零向量可以由任意一组向量12m αααL ,,,线性表示：120000m ααα=+++L .定义3.3.2 设12m αααL ,,,是m 个向量. 如果存在不全为零的数12m k k k L ,,,使得11220m m k k k ααα+++=L .则称向量组12m αααL ,,,线性相关,如果不存在不全为零的数12m k k k L ,,,使得上式成立,则称向量组12m αααL ,,,线性无关.由定义容易验证,单独一个非零向量线性无关,而包含零向量的向量组线性相关. 例3.3.2 设向量组123,,ααα线性无关,判断向量组1122123323,32,βααβαααβαα=−=−++=+的线性相关性.解 设有一组数123,,k k k 使得1122330k k k βββ++=,将123,,βββ关于123,,ααα的表达式代入整理并由向量组123,,ααα线性无关得121232330,0,20.k k k k k k k −−++=+= = 这个线性方程组有非零解(1,1,2)−,所以123,,βββ线性相关.利用向量的线性相关性,我们可以给出几何空间中向量共线与共面关系的新刻画. 定理3.3.4 在几何空间中,两向量a b rr ,共线的充分必要条件是他们线性相关.证明 如果a b r r ,共线,当a r 是零向量时,结论显然成立；当a r是非零向量时,由定理3.3.1,,b a λλ=r r 是一个数,从而(1)0a b λ+−=r r ,依定义,a b rr ,线性相关.反之,如果a b r r ,线性相关,那么一定存在不全为零的数12,k k 使得120k a k b +=r r.不妨设20k ≠,从而12,k b a k =−r r 即a b rr ,共线.定理3.3.5 在几何空间中,三向量,a b c r r r,共面的充分必要条件是他们线性相关.证明 如果,a b c r r r ,共面,那么当a b r r ,共线时,由定理3.3.4得a b rr ,线性相关,即存在不全为零的数12,k k 使得120k a k b +=r r ,当然有1200k a k b c ++=r r r ,这就是说,a b c r r r ,线性相关；当a brr ,不共线时,由定理3.3.2,存在实数12,k k 使得12c k a k b =+r r r ,当然也有12k a k b +r r (1)+−0c =r,依定义,,a b c r r r,线性相关.反之,,a b c r r r ,线性相关,则存在不全为零的数123,,k k k 使1230k a k b k c ++=r r r. 不妨设30k ≠,从而1233k k c a b k k =−−r r r . 当a b r r ,不共线时,由定理3.3.2立得c r 与a b rr ,共面；当a b r r ,共线时,c r 与a b r r ,都共线,从而,a b c r r r,共面.例 3.3.3 在几何空间中,如果向量a b r r ,不共线,且1212,a a c a a b d b b b ++==r r r r r r ,那么c d rr ,两向量共线的充分必要条件是12120a a b b =. 证明 根据定理 3.3.4,c d rr ,两向量共线的充分必要条件是它们线性相关,即存在不全为零的数12,k k 使得120k c k d +=r r ,从而11122122()()0.a a k b k a k b k b +++=r r 又向量a b rr ,不共线,a b rr ,线性无关,所以111221220,0.a k b k a k b k +=+= 注意到12,k k 不全为零,所以c d rr ,共线的充分必要条件是12120a a b b =. 现在,我们回到一般的线性空间,直接从定义推导关于线性空间中的向量的简单事实. 性质3.3.1 向量组12m αααL ,,,中的每一个向量都可以由这组向量线性表示. 证明 由于11100100i i i i m αααααα−+=++++++L L ,结论显然.性质 3.3.2（线性表示的传递性）如果向量γ可以由12,,,r βββL 线性表示,而每一(1,2,,)i i r β=L 又都可以由12s αααL ,,,线性表示,那么γ可由12s αααL ,,,线性表示.证明 由于1ri i i b γβ==∑,并且对任意1,2,,,i r =L 有1si ij j j a βα==∑,所以,1111()rssri ij j i ij j i j j i b a b a γαα======∑∑∑∑.性质3.3.3 如果向量组12m αααL ,,,线性无关,那么它的任意一个部分组也线性无关. 或者说：如果向量组12m αααL ,,,有一部分向量线性相关,那么整个向量组12m αααL ,,,也线性相关.证明 设12m αααL ,,,中有()r r m ≤个向量线性相关. 不妨设前r 个向量12rαααL ,,,线性相关. 依定义,存在不全为零的数12r k k k L ,,,,使11220r r k k k ααα+=++L .从而11221000r r r m k k k ααααα+++++++=L L .又1200r k k k L L ,,,,,,不全为零,故12m αααL ,,,线性相关. 下面的定理给出了向量组线性相关的一个常用判别条件.定理3.3.6 向量组12(2)m m ααα≥L ,,,线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量 是其余向量的线性组合.证明设12(2)m m ααα≥L ,,,有一个向量(不妨设为m α)可由其余向量线性表示:112211m m m αλαλαλα−−=+++L ,那么1122110m m m λαλαλαα−−+++−=L .依定义12m αααL ,,,线性相关.如果12m αααL ,,,线性相关,即有不全为零的数12m k k k L ,,,,使 11220m m k k k ααα+++=L .不妨设10k ≠,从而21211m m k k k k αα=−−−L ,即1α能由其余向量12m αααL ,,,线性表示.定理3.3.7 设向量组12m αααL ,,,线性无关,向量组12m βαααL ,,,,线性相关. 那么,β一定可以由12m αααL ,,,线性表示,且表示式是唯一确定的. 反之亦然.证明 首先设12m βαααL ,,,,线性相关,即存在不全为零的数k ,12m k k k L ,,,使11220m m k k k k βααα++++=L .若0k =,则12m k k k L ,,,不全为零,这时上式变成11220m m k k k ααα+++=L ,这与12m αααL ,,,线性无关矛盾. 所以0k ≠. 从而1212m m k k k kkkβααα=−−−−L .即β可以由12m αααL ,,,线性表示.下面证明表示式的唯一性. 如果β由12m αααL ,,,线性表示时,有如下两种形式：11221122,,m m m m k k k k k k βαααβααα′′′=+++=+++L L 那么,111222()()()0m m m k k k k k k ααα′′′−+−++−=L .由于12m αααL ,,,线性无关,所以1122,,,m m k k k k k k ′′′===L .反之,如果β可以由12m αααL ,,,线性表示,由定理 3.3.6, 12m βαααL ,,,,线性相关.下面证明12m αααL ,,,线性无关. 如若不然,则存在不全为零的数12m k k k L ,,,使得11220m m k k k ααα+++=L .设0(1)i k i m ≠≤≤,那么当1212m m l l l βααα=+++L 时,有121122()()()m m m l l l k k k βααα=++++++L .但i i i l k l +≠,即β的上述两种表示式不同,矛盾与定理的假设.定义3.3.3 设12r αααL ,,,和12s βββL ,,,是两个向量组. 如果每一i α都可以由12ββ,,s βL ,线性表示,这时,称向量组12r αααL ,,,能由向量组12s βββL ,,,线性表示. 如果12r αααL ,,,与12s βββL ,,,可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.比如,当1122122, αββαββ=+=+时,向量组12,αα与向量组12,ββ等价.这是因为在假设条件下还有112212, 2.βααβαα=−=−+由性质3.3.1及性质3.3.2得知向量组之间的等价有以下性质： 自反性：每一个向量组都与它自身等价.对称性：如果向量组12r αααL ,,,与12s βββL ,,,等价,那么向量组12s βββL ,,,也与12r αααL ,,,等价.传递性：如果向量组12r αααL ,,,与12s βββL ,,,等价,而向量组12s βββL ,,,又与12m γγγL ,,,等价,那么向量组12r αααL ,,,与12m γγγL ,,,等价.现在证明线性相关性的一个重要性质.定理3.3.8 设向量组12r αααL ,,,线性无关,且每个i α都可以由12s βββL ,,,线性表示,那么r s ≤.证明 由于每个i α均可由12s βββL ,,,线性表示,设1122,1,2,,i i i si s a a a i r αβββ=+++=L L .由于向量组12r αααL ,,,线性无关,所以11220r r x x x ααα+++=L 有唯一零解. 又()()()()()()11221111212121212222112211112211211222121122.r rs s s s r r r sr s r r s s s s sr r r x x x x a a a x a a a x a a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x αααββββββββββββ+++=++++++++++++=++++++++++++L L L L L L L L L我们需证明r s ≤. 用反证法,如果s r <,考虑齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.r r r rs s sr r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=L L LL L由于这个线性方程组未知量的个数r 大于方程组的方程个数s ,由上一章末尾的讨论知此线性方程组有非零解12,,,m k k k L ,从而11220.r r k k k ααα+++=L 矛盾. 故r s ≤.推论3.3.9 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.证明 设12,,,r αααL 和12,,,s βββL 是等价的线性无关向量组,于是12,,,r αααL 线性无关且每个i α可由12,,,s βββL 线性表示,由定理3.3.8有r s ≤. 同理可证s r ≤. 所以r s =.定义 3.3.4 向量组12,,,m αααL 的一个部分组()12,,,ri i i r m ααα≤L 称为一个极大线性无关组,如果：(i) 部分组21,,,r i i i αααL 本身是线性无关的; (ii) 在12,,,ri i i αααL 中任意添一个向量1r iα+（如果还有的话）,所得部分组121,,,,rr i i i i αααα+L 线性相关.设12,,,m αααL 是一组不全为零的向量,从中任意挑选出一个不为零的向量1i α,则1i α线性无关,再逐个考虑()1i i i α≠与1i α的关系,如果还有某个2i α和1i α线性无关,则再逐个考虑()12,i i i i α≠与12,i i αα的线性相关性,依此类推,最后得到一个极大线性无关组. 这就是说,每一个不全为零的向量组都有极大线性无关组.有例子表明：尽管一个向量组的极大线性无关组可能不止一个, 但其每个极大线性无关组含有的向量个数却相等. 比如,a r是几何空间的非零向量,(1,2,,)k ka k n α==r L ,那么其中每个k α都是12,,,n αααL 的极大线性无关组. 一般地,有定理 3.3.10 向量组与它的极大线性无关组等价. 特别地,一个向量组的任意两个极大线性无关组含有相同个数的向量.证明 设12,,,ri i i αααL 是向量组12,,,m αααL 的一个极大线性无关组,由性质3.3.1每个()1,2,,si s r α=L 可以由12,,,m αααL 线性表示.反之,由定义3.3.4及定理3.3.6,每个()12,,,i r i i i i α≠L 可由12,,,ri i i αααL 线性表示.从而每个()1,2,,i i n α=L 均可由12,,,ri i i αααL 线性表示. 故向量组12,,,m αααL 与12,,,ri i i αααL 等价. 再设12,,,sj j j αααL 是向量组12,,,m αααL 的又一个极大线性无关组. 那么,向量组12,,,ri i i αααL 与向量组12,,,sj j j αααL 均与向量组12,,,m αααL 等价,从而向量组12,,,ri i i αααL 与12,,,sj j j αααL 等价. 由推论3.3.9即知r s =.定义 3.3.5 向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.特别地,线性无关的向量组的极大线性无关组就是它自身. 所以,向量组12,,,n αααL 线性无关,当且仅当（由定理3.3.10得）其秩等于n .推论3.3.11 等价的向量组必有相同的秩.习 题 3.31. 如果向量组12,,,n αααL 两两线性无关,试问12,,,n αααL 是否线性无关？2. 设123,,ααα线性无关,证明122331,,αααααα+++也线性无关. 3．设12,,,n αααL 线性无关,试问（1）n 是什么数时向量组122311,,,,n n n αααααααα−++++L 线性相关？（2）如果12,,,n βαβαβα+++L 线性相关,那么β一定可以由12,,,n αααL 线性表示吗？4. 设121,,,n ααα−L 线性相关,23,,,n αααL 线性无关,试问1α可由21,,n αα−L 线性表示吗？n α可由121,,,n ααα−L 线性表示吗？5. 证明：几何空间中任意4个或4个以上的向量都是线性相关的.6．设向量组12,,,r αααL 和12,,,s βββL 的秩分别为,k l , 试问：向量组1212,,,,,,r αααββL,s βL 的秩是k l +吗？7．设一直线上三点A, B, P 满足(1),AP PB O λλ=≠−uuu r uuu r是几何空间的任意一点,证明.1OA OB OP λλ+=+uuu r uuu r uuu r8．证明：点M 在直线AB 上的充分必要条件是存在实数12,k k 使得12,OM k OA k OB =+uuur uuruuu r且121k k +=.9．证明：不同的三点A, B, C 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数123,,k k k 使1230k OA k OC OB k +=+uuruuu r uuu r且1230.k k k ++=.10．证明：不同的四点A, B, C,D 共面的充分必要条件是存在不全为零的实数1234,,,k k k k 使12340k OA k OC OD OB k k +=++uuruuu r uuu r uuu r且12340.k k k k +++=*11．用向量方法证明（契维定理）：如果三角形的三条边AB,BC,CA 依次被分割成：123123::,::,::AF FB k k BD DC k k CE EA k k ===,其中123,,k k k 是正数. 那么三角形ABC 的顶点与它对边的分点的连线交于一点 M . 并且对于空间的任意一点O ,有2112331().OM k OA k OC k k OB k k ++=++uuuruuruuu r uuu r12．证明：12,,,r αααL （其中10,2r α≠≥）线性相关的充分必要条件是存在(1)i i r α<≤可被121,,,i ααα−L 线性表示. 13．设V 为数域K 上的线性空间,12,,,r αααL 是V 中取定的r 个向量,V 的下列子集是否构成V 的子空间？（1）{}12,,,,r V βαααβ∈L 线性相关； （2）{}12,,,r V βαααβ∈L 不能由线性表示. 14．设向量β可以由12,,,r αααL 线性表示,但不能由121,,,r ααα−L 线性表示 证明,向量组（I ）：12,,,r αααL 与（II ）：121,,,,r αααβ−L 等价 15．设12,,,r αααL 线性无关,而12,,,,,r αααβγL 线性相关,证明:β与γ中至少有一个可以由12,,,r αααL 线性表示. 或者向量组（I ）：12,,,,r αααγL 与（II ）12,,,,r αααβL 等价. 16. 向量组（I ）：12,,,r αααL 可以由向量组（II ）：12,,,s βββL 线性表示,那么向量组（I ）的秩不超过向量组（II ）的秩.*17. 设A 、B 分别是定直线a,b 上的定点,P ,Q 分别是a,b 上的动点,满足条件:AP BQ k =（定值）. 点R 在PQ 上,使PR:RQ=m:n （定比）,求动点R 的轨迹.18. 设ABCD 是平行四边形,P ,Q 分别是边BC,CD 上的点且11,,33BP BC CQ CD ==uuu r uuu r uuu r uuu r,AP AQ 与对角线BD 的交点E,F （图3.18）,试问BE 是BD 的几分之几？图3. 18 图3.1919．如图3.19,从三角形一个顶点到对边三等分点作线段,过第二个顶点的中线被这些线段分成连比::x y z （即::BG GH HD ）,求::x y z .AQ B F E PC D B E F H G A D C。

§3.3空间向量与空间距离
※ 学习探究
探究任务一：用向量求点到点的距离（即空间线段的长度）
问题1：如何用向量方法求空间线段的长度？
如图，在平行六面体中，以顶点A 为端点的三条棱长都为2，，且它们彼此的夹角都是60°，求体对角线的长？
新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a =求出线段长度.
问题2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？
探究任务一：点到平面的距离的求法
问题3：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ?
新知：用向量求点到平面的距离的方法：
设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则d =
反思：当过点作平面的垂线比较困难的情况下，可以利用向量方法求解.
练习：已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.。

第二章 空间向量与立体几何第三节 向量的坐标表示和空间向量基本定理 第5课时 3.3空间向量的运算的坐标表示【课堂互动】 新知1 坐标运算例1. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,DD DB 中点，G 在棱C D 上，14C G CD =，H 是1C G 的中点，（1）求证：1EF B C ⊥； （2）求E F 与1C G 所成的角的余弦；（ 3）求F H 的长笔记：新知2 夹角的坐标法例2. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值笔记：【堂中精炼】3.若B A ,的坐标分别是)2,sin 2,cos 2(),2,sin ,(cos ββααB A ，则的取值范围是（ ） A.]9,5[ B.]5,1[ C.]9,1[ D.]5,1[4.如果三点)2,3,(),1,4,2(),2,5,1(+-b a C B A 在同一直线上，那么（ ） A.1,2=-=b a B.2,3==b a C.1,6-==b a D.3,3-==b a5.已知点)3,2,1(P ，)2,5,3(-Q ，它们在面xoy 内的射影分别是','Q P =（ ）A.5B.6C.7D.86.已知)0,1,3(),1,1,2(),1,0,1(=--==c b a ，则=+-b （ ）A.5B.10 C.102 D.1037.已知向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ，则=-⋅+)2()32(b a b a （ ） A.-220 B.-200 C.-244 D.-2608. 已知),1,(),5,2,3(x x b a -=，且4=⋅b a ，则=x （ ）A.1B.2C.-1D.-2点睛：在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间相象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数点睛：一用11BB BC BA BD ++=11BB BC C B -=，以及数量积的定义，可求出cos ＜C B BD 11,＞，从而得到异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的【反馈测评】1.已知点)1,sin ,(θθP 在面xoz 内，则（ ）A.点P 在x 轴上B.点P 在y 轴上C.点P 在z 轴上D.不能确定点P 是否在坐标轴上 2.已知)cos ,1,(sin ),sin ,1,(cosθθθθ==b a ，则向量b a +与b a -的夹角是（ ）A.90 B.60 C.30 D.3如果三点)2,3,(),1,4,2(),2,5,1(+-b a C B A 在同一直线上，则（ ）A.3,3-==b aB.1,6-==b aC.2,3==b aD.1,2=-=b a4点)5,3,1(P 关于平面xoz 对称的点是Q ，则向量=PQ （ ）A.)10,0,2(B.)0,6,0(-C.)0,6,0(D.)10,0,2(-- 5.已知点),,(z y x P 到原点的距离为1，则z y x ,,所满足的关系式为6与)1,0,2(--=a 共线且满足方程10-=⋅b a 的向量=b7已知空间三点)3,2,2(),4,0,1(),1,1,1(--C B A ，则CA AB ,的夹角的大小是8已知)1,1,1(),1,0,0(-B A ，则直线AB 与平面xoy 的交点的坐标为9. 已知四点)17,14,10(),3,2,2(),6,4,4(),1,0,(D C B t A 共面，求t 的值。