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中考数学知识点复习难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．类型1 “K”字型相似基本图形1图Z2－1条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：例题分层分析(1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P的坐标为________．图Z2－2例题分层分析(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．解题方法点析“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．类型2 “K”字型相似基本图形2条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图Z2－3结论：△BDE∽△CFD.证明：例题分层分析(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明∠E＝∠CDF?【应用】1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z2－4(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．例题分层分析(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答．(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2．如图Z 2－5，已知直线y ＝kx 与抛物线y ＝－427x 2＋223交于点A (3，6)．图Z 2－5(1)求直线y ＝kx 的函数表达式和线段OA 的长度．(2)若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上(与点O ，A 不重合)，点D (m ，0)是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE ＝∠BED ＝∠AOD .探究：m 在什么范围内时，符合条件的点E 分别有1个、2个？例题分层分析(1)利用待定系数法求出直线y ＝kx 的函数表达式，根据A 点坐标用勾股定理求出线段OA 的长度．(2)①延长AB 交x 轴于点F ，由∠BAE ＝∠AOD 可求出点F 的坐标为________，进而再求得点B 的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB 的长为________；②由已知条件∠BAE ＝∠BED ＝∠AOD ，可得到“K ”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE ＝a ，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a 的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a 的值分别为1个、2个时m 的取值范围．解题方法点析“K ”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K ”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．专 题 训 练1．[2017·常州] 如图Z 2－6，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是( )A ．(2，7)B ．(3，7)C ．(3，8)D ．(4，8)图Z 2－62．如图Z 2－7，在矩形ABCD 中，把DA 沿AF 对折，使得点D 与CB 边上的点E 重合，若AD ＝10，AB ＝8，则EF ＝________．图Z 2－73．[2017·攀枝花] 如图Z 2－8，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，BD ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE ＝________．图Z 2－84．如图Z2－9，在直角梯形ABCF中，CB＝14，CF＝4，AB＝6，CF∥AB，在边CB 上找一点E，使以E，A，B为顶点的三角形和以E，C，F为顶点的三角形相似，则CE＝________．图Z2－95．如图Z2－10，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝3，AB＝6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°.(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；(2)若射线EF经过点C，则AE的长是________．图Z2－106．[2017·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D 在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点．若CA＝5，AB＝6，AD∶AB＝1∶3，则MD＋12MA·DN的最小值为________．图Z2－117．如图Z2－12，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图Z2－128．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD ＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图Z2－139．[2017·天水] △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图Z2－1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图Z 2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB ，AC 交于点E ，F 时，连结EF ，请说明△BPE ∽△CFP .(2)操作：将三角板绕点P 旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E ，F ，连结EF .①探究1：△BPE 与△CFP 相似吗？请说明理由； ②探究2：△BPE 与△PFE 相似吗？请说明理由．图Z 2－15 参考答案类型1 “K ”字型相似基本图形1 例1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A ＝∠DCE ，∠ACB ＝∠D ，从而可证得△ABC ∽△CED . 证明：证明过程略． 应用【例题分层分析】(1)根据“K ”字型相似，可得到△AOP ∽△PCB ，所以AO PC ＝OPCB.(2)设P (x ，0)，因为AO ＝OC ＝4，BC ＝1，所以OP ＝x ，PC ＝4－x ，所以44－x ＝x1，解得x ＝2，从而得到点P 的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA ⊥PB ， ∴∠APO ＋∠BPC ＝90°.∵AO ⊥x 轴， ∴∠APO ＋∠PAO ＝90°，∴∠PAO ＝∠BPC . 又∵BC ⊥x 轴，AO ⊥x 轴， ∴∠BCP ＝∠POA ＝90°， ∴△BCP ∽△POA ，∴AO PC ＝OPCB.∵点A (0，4)，B (4，1)，∴AO ＝4，BC ＝1，OC ＝4. 设P (x ，0)，则OP ＝x ，PC ＝4－x ，∴44－x ＝x1，解得x ＝2，∴点P 的坐标为(2，0)． 类型2 “K ”字型相似基本图形2 例2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K ”，因此称之为“K ”字型相似图形．(2)∵∠B ＝∠EDF ＝∠C ＝∠α，由外角性质可知∠EDC ＝∠B ＋∠E ＝∠α＋∠E . 又∵∠EDC ＝∠EDF ＋∠FDC ＝∠α＋∠CDF ， ∴∠E ＝∠CDF .证明：∵∠B ＝∠EDF ＝∠C ＝∠α，由外角性质可知∠EDC ＝∠B ＋∠E ＝∠α＋∠E . 又∵∠EDC ＝∠EDF ＋∠FDC ＝∠α＋∠FDC ，∴∠E ＝∠FDC .又∵∠B ＝∠C ，∴△BDE ∽△CFD .应用1【例题分层分析】(1)过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，易求得BQ ＝4，故得到点B 的坐标为(4，4)．(2)由“K ”字型相似可得到△POC ∽△DAP ，所以OC AP ＝OP AD， 设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AD ＝25AB ＝2，AP ＝7－x ， 所以57－x ＝x 2，解得x ＝2或x ＝5， 所以点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．解：(1)过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q .∵AB ＝OC ，∴AQ ＝(7－1)÷2＝3，在Rt △BQA 中，BA ＝5，由勾股定理，得BQ ＝AB 2－AQ 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，4)．(2)∵∠CPA ＝∠OCP ＋∠COP ，即∠CPD ＋∠DPA ＝∠COP ＋∠OCP ，而∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ，∴∠OCP ＝∠APD ，∴△OCP ∽△APD ，∴OC AP ＝OP AD. ∵BD AD ＝32，∴AD ＝2. 设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AP ＝7－x ，∴57－x ＝x 2， 解得x ＝2或x ＝5，∴点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．应用2【例题分层分析】(1)直线y ＝kx 的函数表达式为y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5. (2)①点F 的坐标为(152，0)，点B 的坐标为(6，2)， AB ＝5.②根据“K ”字型相似的基本图形2，可得到△ABE ∽△OED ，设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a (0＜a ＜3 5)， 由△ABE ∽△OED 得AE AB ＝OD OE， ∴3 5－a 5＝m a ，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0，依题意知m >0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个． 解：(1)把点A (3，6)的坐标代入y ＝kx ，得6＝3k ，∴k ＝2，∴y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC ⊥OA 于点C ，过点A 作AR ⊥x 轴于点R.∵∠AOD ＝∠BAE ，∴AF ＝OF ，∴OC ＝AC ＝12OA ＝32 5.∵∠ARO ＝∠FCO ＝90°，∠AOR ＝∠FOC ，∴△AOR ∽△FOC ，∴OF OC ＝AO OR ＝3 53＝5，∴OF ＝32 5×5＝152， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0. 设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，把点A (3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a ＝－43，b ＝10，∴y ＝－43x ＋10， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝2，∴B (6，2)，∴AB ＝5.∵∠BAE ＝∠BED ，∠ABE ＋∠BAE ＝∠DEO ＋∠BED ，∴∠ABE ＝∠DEO .∵∠BAE ＝∠EOD ，∴△ABE ∽△OED .设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a (0＜a ＜3 5)，由△ABE ∽△OED 得AE AB ＝OD OE， 即3 5－a 5＝m a ，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0.依题意得m >0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个； 当Δ＞0，即(－35)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个． 专题训练1．A 2.5 3.54 4．2或12或285[解析] 两个三角形相似，可能是△EFC ∽△EAB ，也可能是△EFC ∽△AEB ，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．5．(1)6 (2)2或5 [解析] (1)过点E 作EG ⊥DF ，由E 是AB 的中点，得出DG ＝3，从而得出∠DEG ＝60°，由∠DEF ＝120°，得∠FEG ＝60°，由tan ∠FEG ＝FG GE，即可求出GF 的长，进而得出DF 的长．(2)过点B 作BH ⊥DC ，延长AB ，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，则BH ＝AD ＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE ＝x ，则BE ＝6－x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EC 的长，再判断出△EDC ∽△BCE ，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．6．2 3 [解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MD DN，求出MA ·DN ＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7．解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC .∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ，∴AB ∥DE .∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D 作DM ⊥BC 于点M ，∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ，∴DM ∥AB .∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12－9＝3.设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7－a ，EM ＝a －3，BE ＝12－a ， 可证△FBE ∽△EMD ，∴BF EM ＝BE DM ，即7－a a －3＝12－a 7， 解得a ＝5或a ＝17.∵点F 在线段AB 上，∴AF ＝CE ＜AB ＝7，∴CE ＝5.8．解：(1)证明：∵∠APC ＝∠PAB ＋∠B ，∠APD ＝∠B ，∴∠DPC ＝∠PAB ，又AB ＝AC ，∴∠ABP ＝∠PCD ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP ＝BP CD， ∴AC CP ＝BP CD，∴AC ·CD ＝CP ·BP . (2)∵PD ∥AB ，∴∠DPC ＝∠B ，∴∠PAB ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，∴∠PAB ＝∠C .又∠PBA ＝∠ABC ，∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝AB BC， ∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253.9．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C ＝45°，AB ＝AC ，∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE (SAS )；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠DEF ＝45°，∵∠BEQ ＝∠EQC ＋∠C ，即∠BEP ＋∠DEF ＝∠EQC ＋∠C ，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC ＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC ，∴△BPE ∽△CEQ ，∴BP CE ＝BE CQ， ∵BP ＝2，CQ ＝9，BE ＝CE ，∴BE 2＝18，∴BE ＝CE ＝3 2，∴BC ＝6 2.10．解：(1)∵在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝30°.∵∠B ＋∠BPE ＋∠BEP ＝180°，∴∠BPE ＋∠BEP ＝150°.又∵∠BPE ＋∠EPF ＋∠CPF ＝180°，∠EPF ＝30°，∴∠BPE ＋∠CPF ＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)①△BPE∽△CFP，理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．。
初中几何绝对经典必须学会的“K”字模型的提炼及应用相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题能力的重要载体.本文从探究的一个基本模型——“K”字模型入手，尝试从复杂的图形中分离和构造基本形图，从而将三角形问题“模块”化，以拓展解题思路，提高解题效率.一、探索模型起源，树立模型意识下面以大家熟知的勾股定理证明为例，对“K”字模型进行深入探究和有意识构建，以培养我们的模型使用意识.勾股定理的证明方法有很多，用四个全等的直角三角形来验证，除了赵爽的经典弦图之外，还有著名的“毕达哥拉斯证法”.我们在“毕达哥拉斯证法”的基础上，将图1中的图形截取一半，使他成为直角梯形，由两个全等的直角三角形和等腰直角三角形构成，重新设置顶点字母后，如图2所示.这种验证勾股定理的方法通常称为“总统证法”.因此，勾股定理的“总统证法”与“毕达哥拉斯证法”的本质相同，利用面积关系均可证明勾股定理.“总统证法”中构造的几何图形是一个非常重要的几何模型，它在解题中有着广泛的应用.利用这一几何模型，可简解与之相关的试题.观察图形便知，模型图为直角梯形，其中含有两个全等的直角三角形、一个等腰直角三角形，隐藏着正方形;蕴含着角相等、角互余、角互补、线垂直、线平行等多种特殊关系，即在Rt△ABC和Rt△CDE中(如图2)，有AC=CE,∠B=∠D=∠ACE=90°，点B,C,D在同一直线上，则Rt△ABC≌Rt△CDE.现将条件作适当改变而基本图形不变，对“总统证法”作进一步探索研究如下:注本题图形书从数量看是一线三直角，从结构特征看是夹角为90°的“K”字形，则有两三角形相似.由此可见，通过对勾股定理的多种证法及其对应模型的进一步剖析，可以发现其内在的基本模型' K'，字形图的存在依据，从而使我们对“K”字形的模型有了深刻的认识，为巧妙利用基本模型来解题打好基础.二、认知提炼模型，灵活解决问题在上述模型意识的基础上，如何在多样的变化中识别问题特征，灵活解决问题?具体来说，应不断深化对模型的认知层次:初级认知是在不同情境中举一反三，直接运用基本图形来解决问题;中级认知是基于模型的关键点建立知识联系，在添加辅助线构造基本图形，再运用基本图形解决问题;高级认知是在解题人心中具备成熟模型意识，只需根据条件进行调用，拓展基本图形，分析它们的联系即可.下面，举例进行说明.1.直接运用基本图形例1如图4，在边长为9的正方形ABCD中，F为AB上一点，连结CF.过点F作FE⊥，交AD于点E,AF=3，则AE等于( )(A) 1 (B) 1.5 (C)2 (D) 2. 5注本题是直接利用“K”字形图的基本图形来解决问题.通过条件确定基本模型，得出两个三角形相似，根据对应边得出比例关系，即可举一反三得出答案.2.添加辅助线后运用基本图形当无法直接发现“K”字形图，欲利用基本模型来解决问题，可以通过添加辅助线的形式，构造出我们熟悉的模型.注不同类型的问题有着相同的内在规律，我们通过识图可发现图形的本质，以添加辅助线方法构造基本的解题模型，就能迅速找到这类问题的切入口.比如本题求比值时，可以通过距离，联想作垂直辅助线，建立基本模型“K”字形图，再根据其性质可立即解决问题.3.弱化条件“直角”，拓展基本图形在利用基本模型解题时，我们还要进行一题多问的发散、一题多变的尝试，从而实现思维的提升，知识的迁移.上述通过分析研究“总统证法”发现，将线段相等的条件弱化，得到的“K”字形图(一线三垂直)，仍有三角形相似.下面再将垂直条件弱化.拓展二如图6，如果弱化条件“直角”，仍有点B,O,C三点共线，∠B=∠C=∠AOD，那么△BOA∽△CDO成立吗?分析按照基本图形的证明方法，结论仍然成立.如图7，在△ABC中，O是BC上一点，点E,F分别在AB,AC上，∠B=∠C=∠EOF=α，则△BOE∽△CFO.(证明略)综上，我们得到了“K”字形图(一线三等角)，必有相似形.分析如下:当点E与A重合时，如图8，则△BOA∽△CFO(证明略).当点O为BC中点时，如图9，则△BOE∽△CFO∽△OFE (证明略).以上通过对“K”字形模型在“一线三垂直”的基础上，进行有效扩充，完成了“一线三等角”的验证，使得“K”字形模型的运用领域更加广泛.您给我转评赞，有一样就谢谢您了！。
“K ”字形相似教学设计宜兴丁蜀实验中学 周维教学目标1、理解“K ”字形相似的概念，掌握基本图形。
2、能判断所给图形是否为“K ”字形相似。
3、利用“K ”字形相似解决相关问题。
教学重点： 理解“K ”字形相似的概念。
教学难点：利用“K ”字形相似解决相关问题。
教学准备：多媒体 教学过程 一、情景引入：1.复习相似三角形判定的方法2.相似常见的基本图形，A 型，X 型,K 型 二．探索研究1.已知如图1AD=DE ，点B,D,C 在一直线上，∠ABD=∠ADE=∠C=90° 求证：△ABD ∽△DCE （学生证明老师板书）图1 图22. 已知如图2，点B,D,C 在一直线上，∠ABD=∠ADE=∠C=90° 求证：△ABD ∽△DCE （学生证明老师板书）3.从特殊到一般：已知如图3，∠1=∠2=∠3， 求证：△ABC ∽△CDE （学生讨论完成）CEDB ACEDBAB4.小结：K 字形的特点：条件：（1）两个三角形形如“K ” （2）共线的三个角相等 结论: 图中的两个三角形相似 三、新知应用1.如图，正方形ABCD, ∠AED=∠CFD=90°,AE=3，CF=1，则EF= 第1题 第2题2.如图，已知A （-2,1），O A=OB, ∠AOB=90°，则点B 的坐标为 （提示：如何构造K 字形？）3.如图，等边△ABC 的边长为3，点D 是BC 上的一点，且BD=1，在AC 上取点E ，使∠ADE=60°，AE=.第3题 第4题4.如图，点A 在反比例函数 ()44y x x=＞ 的图像上，点B 在反比例函数 ()90y x x=-＜的图像上，且∠AOB=90°，则tan ∠AOB 的值为 FCEDBAxyA(-2,1)ACEDB（提示：如何构造K字形？）四、课堂反馈完成能力训练五、课堂小结K字形的常见形态：三角形基架，矩形基架，梯形基架六、作业布置完成学案。
相似三角形——“K 字型”相似模型教学目标：1、理解“K 型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，2、利用“K 型图”中两个三角形的相似性解决一些计算、证明等问题；教学重点难点：1、在已知图形中观察关键特征——“K 型”；2、在非“K 型”图形中画辅助线，得到“K 型”图形；3、在“K 型”图的两个三角形中，探索其相似条件。
教学过程：一、前测练习1.如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连结BF ，则∆ ∽∆2.在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADE=60°, 则∆ ∽∆二、模型探究课前完成填空，上课请学生回答答案，根据答案回答以下问题：问题1判定这两个三角形相似的依据是什么？学生答：两个角对应相等的两个三角形相似。
问题2图中已知角有什么共同特征？学生答：图1中顶点共线三角都是直角，图2中顶点共线三角都是60°。
问题3若顶点共线三等角的度数不是90°也不是60°，对应两个三角形还相似吗？图形演示，提问：此时这两个三角形相似吗？请同学们自己画图并证明。
请学生叙此时述证明过程：已知： n C ADE B =∠=∠=∠求证：ABD ∆∽DEC ∆证明： n B =∠n ADB BAD -=∠+∠∴180 AB D En ADE =∠n ADB CDE -=∠+∠∴180CDE BAD ∠=∠∴C B ∠=∠ABD ∆∴∽DEC ∆（或者依据外角等于不相邻的两内角之和）展示学生书写，教师分析，该同学找出的两三角形相似的第一个条件是（C B ∠=∠）第二个条件是（CDE BAD ∠=∠），他是怎么证明这两个角相等呢？方法1、外角等于不相邻的两内角之和；方法2、三角形的内角和等于平角求解，都可行。
问题4若保持共线三等角的度数不变，改变边的长度，对应两个三角形还相似吗？学生答：相似。
因为我们是依据两个角对应相等判定两个三角形相似的。
第二轮复习第74讲 几何证明与计算 （“K ”字型的妙用）三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内容，试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特殊三角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。
学习目标：1. 学会识别、构造“K”字型，积累作辅助线的数学经验2. 经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力 学习重点：会用“K”字型的性质解决问题 学习难点：“K”字型的构造 学习过程： 一、温故知新观察下列基本图形，你能得出什么结论？（1）如图，已知：点B 、C 、D 在同一直线上，AC ⊥EC ，AB ⊥BD ，ED ⊥DB. 追问1：这个图形有什么特征？追问2：若AC=CE ，若AC≠CE ，你有什么新的发现？（2）如图，已知：∠ABC=∠ACE=∠D ，问：∠A 、∠ECD 有何关系？ （3）“K”字型呈现形式：AD EABCDE二、自主练习：1．如图，等边△ABC的边长为9，BD=3，∠ADE=60度，则AE长为.2．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（）.A．45°B．50°C．60°D．不确定三、经典例题：例：如图，在ABC∆中，90ABC∠=，过点C作AC的垂线CE，且CE=CA，连接AE、BE.（1）若3tan,2BAC AE∠==，求四边形ABCE的面积；（2）若EA EB=，求证2AB BC=.四、赢在中考：1．小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上（如图），已知∠2=35°，则∠1的度数为（）.A．55°B．35°C．45°D．125°2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=32C的坐标为．3．正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作EF⊥CE交AB于点F．若BF=2，BC=6，求FE的长. CMDAy五、感悟数学：六、课后作业：1． 如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数 y = 2x 的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数 y = k x 的图象上，且OA ⊥OB ，t anB= 33 ， 则k 的值2. 如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，点B 在x 轴上，且()01，-B ，A 点的横坐标是2，AB=3BC ，双曲线()04＞m xmy =经过A 点，双曲线xmy -=经过C 点，则m 的值为（ ）A ．12B ．9C ．6D ．33．如图， 矩形ABCD 的顶点A 、D 在反比例函数6(0)y x x=>的图象上，顶点C 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且2ABBC=，再在其右侧作正方形DEFG 、FPQR （如图所示），顶点F 、R 在反比例函数6(0)y x x =>的图象上，顶点E 、Q在x 轴的正半轴上，则点R 的坐标为 ．4．已知：在ABCD 中，AE ⊥CD ，垂足为E ，点M 为AE 上一点，且ME=AB ，AM=CE ，连接CM 并延长交AD 于点F ．（1）若点E 是CD 的中点，求证：△ABC 是等腰三角形． （2）求证：∠AFM=3∠BCF ．德中命制人：邓宏书审稿人：刘加勇“K”字型的妙用参考答案二、自主练习：1．72.【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．【解答】解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，∵E是BF的垂直平分线EM上的点，∴EF=EB，∵E是∠BCD角平分线上一点，∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，Rt△BHE和Rt△EIF中，，∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），∴∠HBE=∠IEF，∵∠HBE+∠HEB=90°，∴∠IEF+∠HEB=90°，∴∠BEF=90°，∵BE=EF，∴∠EBF=∠EFB=45°．故选：A．【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．三、经典例题：【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）易求得AC的长，即可求得BC，AC的长，根据四边形ABCE的面积=S△ABC+S△ACE即可解题；（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，易证∠BAC=∠ECF，即可证明△ABC≌△CFE，可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可解题．【解答】解：（1）∵AC⊥CE，CE=CA，∴AC=CE=AE=，∵tan∠BAC=，∴∠BAC=30°，∴BC=AC=，∴AB=BC=，∴四边形ABCE的面积=S△ABC+S△ACE=AB•BC+AC•CE=××+××=+1；（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，则四边形BDEF为矩形，∴EF=BD，∵∠ACB+∠ECF=90°，∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠ECF，∵在△ABC和△CFE中，，∴△ABC≌△CFE，（AAS）∴EF=BC，∵△ABE中，AE=BE，ED⊥AB，∴AD=BD，∴AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC，即AB=2BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证△ABC≌△CFE是解题的关键．四、赢在中考：1.【考点】平行线的性质；余角和补角．【分析】根据∠ACB=90°，∠2=35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1=∠3，代入即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠2=35°，∴∠3=180°﹣90°﹣35°=55°，∵a∥b，∴∠1=∠3=55°．故选A．【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出∠3的度数和得出∠1=∠3，题目比较典型，难度适中．2.【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，MP⊥y轴，根据正方形的性质可以得出MB=MA，可证明△AMP≌△BMF ，就可以得出PM=MF，就可以证明四边形OFMP是正方形，由勾股定理就可以求出OF的值，再由△AOBP≌△BECF，从而得出C 点的纵坐标．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，∴∠MFO=∠CEO=∠AOB==∠APM=90°，∴四边形POFM是矩形，∴∠PMF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠AMB=90°，AM=BM，∴∠OAB=∠EBC，∠AMP=∠BMF，∴△AMP≌△BMF（AAS），∴PM=FM，PA=BF，P∴四边形POFM是正方形，∴OP=OF==3 ，2∵A（0，2），∴OA=2，∴AP=BF=3-2=1，∴OB=3+1=4，∵在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OB=CE=4 ，AO=BE=2．∴OE=4+2=6，∴C（6，4）．故答案为：（6，4）．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分线段定理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证四边形POFM是正方形是关键．3.【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】连接CF，由正方形的性质得出∠B=90°，再由EF⊥CE，证得△MEF≌△NCE，得出△CEF为等腰直角三角形，求得EF==CF，再由勾股定理求得CF即可．【解答】解：连接CF,过点E作MN∥AD，交边AB于点M，边CD于点N.如图所示：∵四边形ABCD为正方形，可得四边形AMND为矩形，∴MN=AD=CD∵∠DNE=90°，∠BDC=45°，∴DN=EN∴ME=CN∵EF⊥CE，∴∠CEF=90°，∴∠MEF=∠ECN且∠FME=∠ENC=90°∴△MEF≌△NCE（ASA），∴EF=CE∴△CEF为等腰直角三角形，∴EF==CF，由勾股定理得：CF===2，∴EF=×2=2，故答案为：2．【点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．六、课后作业：1.【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得，根据tanB==，可得，根据待定系数法，可得答案．【解答】解：作AD⊥x轴于点D，作BC⊥x轴于点C，设A点坐标是（x，y），∴∠C=∠D=90°．∵∠AOB=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠D=∠C ，∴△OAD ∽△BOC ，．∵tanB==， ∴， y=AD=OC ，x=OD=BC ，∵第一象限内的点A 在反比例函数y=的图象上， ∴xy=OC ×BC=2，∴k=OC •BC=2×3=﹣6， 故答案为：﹣6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，待定系数法求函数解析式．2.【考点】反比例函数系数k 的几何意义．【分析】过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ，由A 点的横坐标是2，且在双曲线y=4mx上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程求解．【解答】解：过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ， ∵A 点的横坐标是2，且在双曲线y=4mx上， ∴A （2，2m ），∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠CBF=∠ABC+∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠FCB ， ∴△ABE ∽△BCF ， ∴===3，∴CF=1，BF=23m， ∴C （﹣1﹣23m，1），∵双曲线y=mx 经过C 点，∴﹣1﹣23m=﹣m ，∴m=3， 故选D ．【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形．3.【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】过D作DM⊥x轴，FN⊥x轴，RI⊥FN，RH⊥x轴，由ABCD为矩形，利用对称性得三角形OBC为等腰直角三角形，继而得到三角形CDM为等腰直角三角形，即两三角形相似，且相似比为1：2，设OB=OC=a，则有CM=DM=2a，表示出D坐标，代入反比例解析式求出a的值，确定出D坐标，得出DM与OM长，利用AAS得到三角形DME与三角形EFN全等，利用全等三角形对应边相等得到ME=FN，DM=EN，设F纵坐标为b，代入反比例解析式得到横坐标为，由OM+ME+EN表示出ON，即为横坐标，列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出F坐标，得到ON，FN的长，同理得到三角形RFI 与三角形RQH全等，设R纵坐标为c，由ON+NH表示出横坐标，将R坐标代入反比例解析式求出c的值，即可确定出R坐标．【解答】解：过D作DM⊥x轴，FN⊥x轴，RI⊥FN，RH⊥x轴，∵ABCD为矩形，A与D在反比例图象上，且AB=2BC，∴∠BCD=90°，∠OBC=∠OCB=45°，∴∠MCD=∠MDC=45°，∴△BOC∽△CMD，且相似比为1：2，设OC=OB=a，则CM=DM=2a，OM=OC+CM=a+2a=3a，∴D（3a，2a），将D坐标代入反比例y=中得：6a2=6，即a2=1，解得：a=1（负值舍去），∴DM=2，OM=3，∵DEFG为正方形，∴DE=EF，∠DEF=90°，∴∠MDE+∠MED=90°，∠MED+∠NEF=90°，∴∠MDE=∠NEF，在△DME和△ENF中，，∴△DME≌△ENF（AAS），∴DM=EN=2，FN=ME，设F（，b），则FN=ME=b，ON=OM+ME+EN=3+b+2，可得5+b=，即b2+5b﹣6=0，即（b+6）（b﹣1）=0，解得：b=1或b=﹣6（舍去），∴F（6，1），即ON=6，FN=1，同理△RFI≌△RQH，设RH=RI=NH=c，即R（6+c，c），将R坐标代入y=中得：c（6+c）=6，即c2+6c+9=（c+3）2=15，解得：c=﹣3+或c=﹣3﹣（舍去），则R（3+，﹣3+）．故答案为：（3+，﹣3+）．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．4.【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）易证△ADC是等腰三角形，所以AC=AD，根据平行四边形的性质可知：AD=BC，所以AC=BC，即△ABC是等腰三角形．（2）连接BM，由已知条件可证明：△ABM≌△ECM，所以∠CME=∠AMF，再根据三角形外角之间的关系即可证明：∠AFM=3∠BCF．【解答】证明：（1）∵AE⊥CD，CE=DE，∴AC=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）连接BM，∵AB∥CD，∴∠BAM=∠CEM，在△ABM和△ECM中，，∴△ABM≌△ECM（SAS），∵∠AMF=∠ACM+∠CAM，∠CME=∠AMF，∴∠CME=∠ACM+∠CAM，∵∠CAE=∠DAE，∴∠AFM=3∠BCF．。
