合肥工大高数第12章微分方程15页word

第十二章 微分方程一、内容提要（一）主要定义【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.一般形式为： ()(),,,,,0n F x y y y y '''=.标准形式为：()()()1,,,,n n yf x y y y -'=.【定义12.3】 微分方程的解 若将函数()y x ϕ=代入微分方程使其变成恒等式 即 ()()()(),,0,n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎣⎦或者 ()()()()()()1,,,,n n x f x x x x ϕϕϕϕ-⎡⎤'=⎣⎦则称()y x ϕ=为该方程的解.根据()y y x =是显函数还是隐函数 ,分别称之为显式解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件. （二）主要定理与公式1 可分离变量的方程一般形式()()12dyf x f y dx= 或 ()()()()12120M x M y dx N x N y dy +=. 解法： 先分离变量()()g y dy f x dx =, 再两边积分()()g y dy f x dx =⎰⎰,可得通解 ()()G y F x C =+.2.齐次方程 一般形式⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ 解法(变量替换): 令xy u =⇒ux y =, dy duu x dx dx =+，于是，原方程⇒()du u xu dx ϕ+=⇒分离变量()du dx u u x ϕ=- ⇒两边积分()du dxu u xϕ=-⎰⎰⇒积分后再用xyu =回代，便得通解. 3. 一阶线性微分方程 一般形式 ()()dyP x y Q x dx+= 解法： 常数变易法 （1） 先解出对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解()P x dx y Ce -⎰=； （2） 作变换将C 换成u ，令()()P x dxy u x e -⎰=代入方程，求出u ，即得通解为()()()()P x d xP x d xP x d xy e Q x ed xC e --⎰⎰⎰=+⎰.4. 伯努利方程()()n y x Q y x P dxdy=+ ()1,0≠≠n n 解法: 变量替换法令nyz -=1,化为一阶线性微分方程.***************************************************** 5. 全微分方程 当Q px y∂∂=∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 是全微分方程. 即 ()()(,),,0du x y P x y dx Q x y dy =+= 解法: (1)第二类曲线积分; (2)公式法()()()00,,,x y x y x y pdx Qdy μ=+⎰; (3)凑微分法.通解为 C y x u =),(.当Q px y∂∂≠∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 不是全微分方程. 方程两边乘上积分因子(),x y μ（(),0x y μ≠）后所得的方程()(),,0P x y dx Q x y dy μμ+=是全微分方程.经常用到的微分倒推公式有()dx dy d x y ±=± (),xdy ydx d xy +=222()x y xdx ydy d ++=d =22arctan ()ydx xdy xd x y y -=+2()ydx xdy yd x x -=-ln ()ydx xdy xd xy y-=221ln 2()xdy ydx x yd x y x y-+=-- 6. 可降阶的高阶微分方程 1) ()()n yf x =型解法: 对方程两边连续积分n 次,便可得到其含有n 个任意常数的通解. 2) (),y f x y '''=型(无y 项)解法: 令()x P y =',()x P y '='',代入原方程(),y f x y '''=,则有()P x f P ,=',设其解为()1,C x P ϕ=,则()1,C x y ϕ=',得通解()21,C dx C x y +=⎰ϕ.3) (),y f y y '''=型（无x 项）解法: 令()y P y =',则dy dP dx dP y ==''dydPPdx dy =, 有()P y f dydPP,=——自变量为y ,函数为P 的微分方程.设其解为()1,C y P ϕ=代回原变量,()1,C y y ϕ='变量分离得通解()21,C x C y dy+=⎰ϕ.7. 线性微分方程解的理论1) 设21,y y 是二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=的解,则2211y C y C +也是它的解.2) 二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=一定有两个线性无关的特解,且这两个解的线性组合是该方程的通解.3) 设1y 为()(1)111()()()n n n y P x yP x y f x --+++=的解,2y 为()(1)1()n n y P x y-+++12()()n P x y f x -=的解,则21y y +为()(1)1112()()()()n n n y P x yP x y f x f x --+++=+的解.4)设*y 为()()()y p x y q x y f x '''++=的一个特解,Y 为对应的齐次方程()y p x y '''++()0q x y =的通解，则*Y y +为()()()y p x y q x y f x '''++=的通解.8. 二阶常系数线性微分方程1) 二阶常系数齐次线性方程0y py qy '''++=.2）n 阶常系数齐次线性方程()()()121210n n n n n yp y p y p y p y ---'+++++=)sin k k C x D x+++3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解()y py qy f x '''++=通解为*y Y y =+.其中Y 为对应齐次方程的通解,*y 为该方程的一个特解.4) 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式 1°()()xm f x e P x λ=型2°()()()cos sin xl n f x e P x x P x x λωω⎡⎤=+⎣⎦型 (其中{}max ,m l n =)二、典型题解析（一） 填空题【例12.1】2234331x y xy y x y x ''''''+++=-是 阶微分方程.解 微分方程的阶是方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，所以此方程是三阶的微分方程.【例12.2】 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为 .解 分离变量，得 1y y x'=-. 两边积分，得 ln ln ln y x C =-+. 通解为 Cy x=. 将初始条件()12y =代入，得所求特解为2y x=. 【例12.3】若()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程，则函数M N 、应满足 .解 函数M N 、应满足M Ny x∂∂=∂∂时，()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程.【例12.4】 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为 .解 设()()tan ,cos P x x Q x x ==，所以所求微分方程的通解为tan tan cos xdx xdx y e xe dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰[]cos x x C =+. 【例12.5】与积分方程0(,)xx y f x y dx =⎰等价的微分方程初值问题是 .解 方程两边求导得(),,y f x y '=当0x x =时0y =.所以等价的初值问题是()0,0x x y f x y y ='⎧=⎪⎨= ⎪⎩. 【例12.6】 已知21231,,y y x y x ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 .解 221311,1y y x y y x -=--=-是对应的齐次方程的两个线性无关的解，所以原方程的通解为()()212111y C x C x =-+-+.【例12.7】 微分方程22xy y y e '''-+=的通解为 . 解 原方程相应的齐次线性方程为220y y y '''-+=.其特征方程为2220r r -+=.特征根为1,21r i =±.故齐次方程的通解为()12cos sin xY e C x C x =+.因 1λ=，不是特征根，从而设其特解为*xy ae =，把它代入原方程，得1a =，由此原方程的通解为()12cos sin xxY e C x C x e =++.（二） 选择题【例12.8】 微分方程0dy xdx y+=的通解为 [ ] （A ）()22x y c c R +=∈ （B ） ()22x y c c R -=∈ （C ）()222x y cc R +=∈ （D ）()222x y c c R -=∈解 分离变量得到：0ydy xdx +=，积分得：22x y c +=，这里常数c 必须满足0c ≥，于是可以将方程同解写为：()222x y a a R +=∈.则应选C.【例12.9】 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程通解是 [ ]（A ）()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ （C ）()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦ （D ）()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦解 ()()12y x y x -是齐次的方程()0y P x y '+=的解，()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦是齐次方程()0y P x y '+=的通解.非齐次方程的通解为齐次方程的通解加非齐次方程的特解，所以()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦是非齐次方程的通解. 则应选B.【例12.10】 若方程()0y p x y '+=的一个特解为cos 2y x =,则该方程满足初值条件()02y =的特解为 [ ]（A ）cos 22x + （B ）cos 21x + （C ）2cos x （D ）2cos 2x .解 一阶线性齐次方程()0y p x y '+=的通解为()P x dxy Ce -⎰=,任意两个解只差一个常数因子，所以A,B,C 三项都不是该方程的解.故应选D.【例12.11】 设()p x 在(),-∞+∞连续且不恒等于零，()1y x 和()2y x 是微分方程()0y p x y '+=的两个不同特解，则下列结论中不成立的是 [ ] （A ）()()21y x y x ≡常数；（假设其中()10y x ≠）； （B ） ()12c y y -构成方程的解. （C ）12y y -=常数； （D ）()()12y x y x -在任何一点不等于零. 解 因为，在()p x 不恒等于零的条件下，非零常数不可能是微分方程()0y p x y '+=的解，如果()1y x 和()2y x 是两个不同的解，那么12y y -也是这个方程的解，从而12y y -不能等于非零的常数,故应选C.【例12.12】 微分方程2221d yy dx+=的通解是 [ ]（A ）121sin 2c c ++ （B ） 1212c c e ++（C ） 12c c + （D ）12c c e +.解 直接看出12y *=是方程的一个特解，12c c +是相应的齐次方程的通解,应选A.【例12.13】 微分方程23x y y y e x -'''+-=+的一个特解是 [ ]（A ）x aebx c -++ （B ）x axe bx c -++（C ）()x axe x bx c -++ （D ）()x ae x bx c -++.解 微分方程23x y y y e x -'''+-=+的特解等于下列两个微分方程23x y y y e -'''+-=,23y y y x '''+-=的特解之和.非齐次微分方程23x y y y e -'''+-=具有形如xaxe -的特解； 非齐次方程23y y y x '''+-=具有形如bx c +的特解， 因此，非齐次微分方程23xy y y e x -'''+-=+具有形如xaxe bx c -++的特解，于是应当选B.【例12.14】 设12,2x y e y x -==是三阶齐次线性常系数微分方程ay by '''''++0cy =的两个解，则,,a b c 的值分别为 [ ]（A ）2,1,0a b c === （B ）1,1,0a b c ==-=（C ）1,0,1a b c === （D ）1,0,0a b c =-==.解 该微分方程的特征方程为320ar br c ++=.由于该微分方程有特解1x y e -=，说明11λ=-是该方程的一个特征根；又由于该微分方程有特解22y x =，说明20λ=是该方程的一个特征根，而且是重根.于是特征方程0ay by cy '''''++=有一个单根11λ=-和一个二重根20λ=，由此得到1,1,0a b c ==-=，从而选择B.（三） 非客观题1.可分离变量的微分方程【例12.15】求下列微分方程的通解. （1）23dyxy xy dx=+. （2）221y x y xy '=+++. (3) ()()112xy xy x yy y ''-=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解 （1）将变量分离,23dyxdx y y=+, 两边积分,得()2111ln ln 332y y x c -+=+，解出 213323x C y e e y=+.记 13,C C e =± 则 2323x y Ce y =+.（2）将221y x y xy '=+++右端分解因式，得，()()211y x y '=++，分离变量，有()211dyx dx y =++.积分得 2a r c t a n 2x y x C =++ 即通解为 2arc tan 2x y x C =++. （3）直接可以看出,1y ≡是方程的一个特解.当1y ≠时, 可以将方程写成 211ydy xdxy x =-+, 两端积分得到 ()211ln 1ln 12y y x C +-=++.两端取指数得 ()1221ln1ln 1xy y C eee ++-=.当1y >时, ()1Cyey e -=当1y <时,1C y e y e-=-记1C C e =±,上两式又可写作())10yey C -=≠.由于1y ≡是方程的一个解,故上式中常数C 也可以为零,于是方程通解为 ())1yey C R -=∈.将()12y =代入通解得到 2C =,所求解为 ()1yey -=【注】在(1)解题过程中，把任意常数13c e ±改写为C .适当地进行改写，使解的形式更为简便.2.可化为可分离变量的方程【例12.16】求满足方程()222120x y dx x dy ++=且过点()1,2的积分曲线.解 不能直接分离变量，令xy u =, 则 du ydx xdy =+. 原方程化为()2120u u dx x du dx x ⎛⎫++-=⎪⎝⎭, 即()221dudx x u =--.积分得 11ln 12x C u -=-+-回代得方程的通解11ln 21x C xy -=-再代入1,2,1x y C ===-得.故所求积分曲线为11ln 1.21x xy -=--【例12.17】求方程()21y x y '=-的通解.解 不能直接分离变量，令x y u -=，则y x u =-, 且 1dy du dx dx=-, 代入原方程，得222111,du du u dx u dx u--==分离变量，得 221u du dx u =-， 即 2111du dx u ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭. 积分，得 111ln 21u u x C u -+=++， 将u x y =-回代，即得通解211y x y Ce x y --=-+.3.齐次方程或可化为齐次方程的微分方程【例12.18】求ln dy yxy dx x =的通解. 解 方程变形为ln dy y y dx x x =, 此方程为齐次方程,令,yu y xu x==则,方程化为 ln du x u x xu u dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,整理且分离变量得()ln 1du dxu u x=-.积分得 ()ln ln 1ln ln u x C -=+ .即 ln 1u Cx -=,1Cx u e +=,通解为 1Cx y xe+=.【例12.19】求21241dy x y dx x y ++=+-的解.解 此方程为可化为齐次的微分方程.因为12024=,故作变换2z x y =+, 则原方程化为111221dz z dx z +⎛⎫-= ⎪-⎝⎭， 4121dz z dx z +=-即. 当410z +≠,分离变量,得该方程的通解为843ln |41|x z z c -++=(c 为任意常数).将2z x y =+代入上式得原方程的通解为483ln 481x y x y c -+++=(c 为任意常数)另外410z +=,即14z =-是方程的特解. 故原方程由特解为 4810x y ++=.【例12.20】求24dy y x dx x y --=++的解. 解 此方程为可化为齐次的微分方程 ，一般形式为111dyax by c f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭. 因为112011-=-≠,作变换x X hy Y k=+⎧⎨=+⎩,则,dx dX dy dY ==,代入原方程得, 24dY Y X k h dX X Y h k -+--=++++, 解方程组2040k h h k --=⎧⎨++=⎩得3,1h k =-=-. 令 31x X y Y =-⎧⎨=-⎩,原方程化为 11Y dY Y X XY dX X Y X--==++, 令Y u X =， 则 1,1d u u u XdX u -+=+ 分离变量 211u dXdu u X +=-+, 得 ()21ln 1arctan ln 2u u X C ++=-+,原方程的通解为1a r c t a n3y x Ce+-+=.4.一阶线性微分方程 【例12.21】解下列方程 （1）1sin dy x y dx x x +=. （2）()tan 5dy x y dx-=. （3）2.y xdy ydx y e dy -= （4）()()21arctan y dx y x dy +=-.解 （1）（解法一）公式法 在方程中，()1,P x x =()sin x Q x x= 方程的通解为 ()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 11sin dx dx x x x e edx C x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()1cos x C x=-+. （解法二）常数变易法 对应的齐次方程10dy y dx x+=，得通解ln ln c cy y x x ==或者.令()c x y x=，并代入原方程得，()()sin ,cos c x x c x x c '==-+,代入得原方程的通解为 ()1cos y x c x=-+. （2）将方程化为标准形式cot 5cot y y x x '-=,这里cot ,5cot P x Q x =-=，所以方程的通解为()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ cot cot 5cot xdx xdx e e xdx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()sin 5csc x x C =-+.即原方程的通解为 sin 5y C x =-.（3）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程改写成 y dx xye dy y-=-， 这是一阶线性方程.对应的齐次方程0dx xdy y-=的通解是 x cy =, 然后用常数变异法得原方程的通解 yx cy ye =-.（4）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程变形为 22arctan 11dx x ydy y y+=++ 这是一阶非齐次线性方程,它的通解是2211112arctan 1dy dyy y y x e e dy C y -++⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎰ arctan arctan [arctan arctan ]yy ey e d y C -=⋅+⎰ 分部积分求出原方程的解为 arctan arctan 1y x y Ce -=-+.5.伯努利方程【例12.22】求下列方程的通解.（1）26dy y xy dx x =-； （2）232y x y xy+'=. 解 （1）化为标准形式26dy y xy dx x -=-，此方程是伯努利方程. 两边除以2y ，得 216dy yy x dx x---=-. 令1z y -=， 则 2dz dy y dx dx -=- 方程变为6dz z x dx x+=， 这是一阶线性微分方程.解得 268c x z x =+还原y 得原方程的通解2686188c x x x c y x y =+-=或者. （2）方程化为标准形式2122y x y y x -'-=，此方程是伯努利方程. 以y 乘两端，得 22122x yy y x '-=. 令2z y =，得 21z z x x'-=，这是一阶线性微分方程，解得 22x z x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将2z y =代回，得原方程的通解为222x y x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.********************************************************************6.全微分方程与可化为全微分方程的方程 【例12.23】求下列方程的通解.（1）()()220x y dx x y dy ++-=. （2）(1)(1)0x x y yx e dx e dy y++-=.（3）()()120y dx x y dy ++--=. （4）()3230ydx x x y dy +-=. （5）()210xdy ydx x dx ---=解 （1）方法一 设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微, 且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 由公式，得 ()()()00,,0,xyu x y P x dx Q x y dy=+⎰⎰ ()()202x yxdx x y dy=++-⎰⎰3213x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. 方法二 设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微,且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 用不定积分求解.因为()2,uP x y x y x∂==+∂ 对上式两边对x 积分，得()()()()2,,u x y P x y dx x y dx y ϕ==++⎰⎰()313x xy y ϕ=++. 又因为 (),u Q x y y ∂=∂ ,()3123x xy y x y y ϕ∂⎡⎤++=-⎢⎥∂⎣⎦()2y y ϕ'=-，故()2.y y ϕ=-从而 ()321,.3u x y x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. （2） 设1, (1).x x yyx P e Q e y=+=-2xy Q x Pe x y y ∂∂=-=∂∂所以此方程为全微分方程. 方法一 （用公式计算）设此方程的通解为(),u x y c =,在平面上取一确定点()0,1,则 ()()()1,0,,y xu x y Q y dy P x y dx =+⎰⎰10011x y x yye dy e dxy ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰101xyxydy e dx⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ 1x yx ye =+-.因此方程的通解为 x yx ye C +=.方法二 （用分项组合法求解） 将方程各项重新组合为 0x x yyx dx e dy ye d y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 0x x yyydx xdy dx e dy e y ⎛⎫-++=⎪⎝⎭积分，得 ()0x yd x ye +=， 故通解为 x yx ye C +=.（3）在方程()()120y dx x y dy ++--=中， 设()(),1,,2P x y y Q x y x y =+=--，易知 1P Q y x∂∂==∂∂，此方程为全微分方程. 现将方程写成20ydx xdy dx ydy dy ++--=， 或 ()21202d xy dx dy d y ⎛⎫+--=⎪⎝⎭.积分得通解 2112,2xy x y y C +--= 或 2224xy x y y C +--=.（4）设32,3P y Q x x y ==-, 因为22119P Qx y y x∂∂=≠-=∂∂,所以此方程不是全微分方程.原方程改写为 3230ydx xdy x y dy +-= (1), 取()31xy 为积分因子.方程(1)两端同乘以()31xy ,原方程变为()33,ydx xdydyyxy +-即 ()()213ln 02d d y xy ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭,积分，得原方程的通解为 ()213ln 2y C xy +=. （5）本题不是全微分方程.需要寻找积分因子使其化为全微分方程,对于微分形式xdy ydx -,乘以函数22221111,,,x y xy x y+中的每一个都可成为一个全微分方程,如果同时使后面一项也成为全微分,可取积分因子()21,x y xμ=,将原方程变成全微分方程22110xdy ydx dx x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭,积分得到原方程通解21.y x Cx ++= 7.可降阶的高阶微分方程（1）()ny f x =型【例12.24】求微分方程cos y x x '''=-的通解. 解 两边积分，得 211sin ,2y x x C ''=-+ 两边再积分，得 3121cos ,6y x x C x C '=+++ 两边再积分，得通解 421231sin .242C y x x x C x C =++++ （2）(,)ny f x y '=型【例12.25】解初值问题()()ln 101xy y y y y e⎧''''=⎪=⎨⎪'=⎩.解 令()dy y p x dx '==, 22d y dpdx dx =, 代入方程,则原方程化为ln dp x p p dx=, 这是可分离变量方程,解出 1C xp e =,于是原方程的通解为 ()1121C xC y p x dx e C ==+⎰,由初值条件()1121110,C x C x y e C =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得到 11210CC e C +=,再由初值条件 ()111C x x y ee ='==又得到 ()11C y ee '==,于是 121,C C e ==-.所求特解为x y e e =-.在解可降阶的二阶微分方程的初值问题时，一出现任意常数，就应及时利用初值条件确定它，这样可以简化后面的求解过程.（3）(,)y f y y '''=型【例12.26】求微分方程22212dy d y dx dx y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的通解.解 令(),dy p p y dx ==则22d y dp dy dp p dx dy dx dy =⋅=,代入原方程，得212dp p p dy y+=， 是一阶线性齐次微分方程. 分离变量221pdp dy p y=+, 积分得 ()21ln 1ln ln p y C +=+即 211dy C y dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,分离变量dx =两端积分 ，得2x C =+, 化简得通解 ()()2122141C y x C C -=+.8.二阶和高阶常系数线性微分方程【例12.27】设μ为实数,求方程0y y μ''+=的通解. 解 此方程为二阶常系数线性微分方程.其特征方程为20r μ+=,可以分三种情况讨论:(1) 0μ>,此时特征方程有一对复根r =±因此方程的通解为12y C C =+(2) 0μ=,此时特征方程有两个相等的重根120r r ==,于是方程的通解为12y C C x =+.(3) 0μ<,此时特征方程有两个单实根r =于是方程的通解为12y C C e =+,()12,C C R ∈.【例12.28】求方程221y y x '''+=+的通解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()x m P x eλ型（其中()221,0m P x x λ=+=）.与所给方程对应的齐次方程为 0y y '''+=,它的特征方程为 20r r +=. 有两个实根120,1r r ==-,于是与所给方程对应的齐次方程的通解为12x Y C C e -=+.因为0λ=是特征方程的一个单根,所以应设特解为()*2y x ax bx c =++.把它代入所给方程，得()()22326221ax b a x c b x ++++=+.比较两端x 的同次幂的系数,得3226021a b a c b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解此方程组，得 2,2,53a b c ==-=.于是求得一个特解为 *322253y x x x =-+. 从而所求的通解为 32122253xy C C ex x x -=++-+. 【例12.29】求方程244x y y y e -'''++=满足初始条件()()00,01y y '==的特解.解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()1,2m P x λ==-）.与所给方程对应的齐次方程为对应齐次方程为 440y y y '''++=.它的特征方程 2440r r ++=有两个重根122r r ==-，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为()212x Y C C x e-=+. 由于2λ=-是特征方程的重根,所以应设方程的一个特解为*22x y ax e -=.把它代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 12a =, 因此求得一个特解为 *2212x y x e -=从而原方程的通解为 ()2221212xx y C C x e x e --=++. 代入初始条件()()00,01y y '==，得120,1C C ==-.原方程所求的特解为 22212xx y xex e --=-+. 【例12.30】求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，非齐次项为两项之和.根据定理，它的特解是下面两个方程的特解之和.y y x ''+= （1）cos y y x ''+= （2）所给方程对应的齐次方程 0y y ''+= 它的特征方程 210r +=, 特征根为 r i =±, 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为:12cos sin Y C x C x =+.设方程y y x ''+=的特解1y *,因为0λ=不是特征根，所以该方程具有形如1y ax b *=+的特解，将其代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 1,0,a b ==所以方程（1）的特解为 1y x *=设方程cos y y x ''+=的特解为2y *,因为i λ=是特征根,所以该方程具有形如2(cos sin )y x a x b x *=+的特解, 将其代入方程比较等式两端同次幂的系数,得10,,2a b ==所以方程（2）的特解为 *21sin 2y x x =.从而原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【例12.31】求三阶常系数非齐次线性微分方程2441y y y x ''''''-+=-的通解.解 这是一个三阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()21,0m P x x λ=-=）.所给方程对应的齐次方程为 440y y y ''''''-+=.它的特征方程为 32440,r r r -+=特征根为 1230,2r r r ===，所以对应齐次线性微分方程的通解为()2123x Y C C C x e =++.因为0λ=是方程的特征根，所以其特解设为 ()2y x A x B x C *=++，代入方程，解得111,,.1248A B C ===于是32111.1248y x x x *=++ 因此方程的通解为()2321231111248x y C C C x e x x x =+++++.9.微分方程的应用【例12.32】设曲线l 过点()1,1，曲线上任一点(),P x y 处的切线交x 轴于点T ，若,P T O T =求曲线l 的方程.解 （1）列方程 设曲线l 的方程为()y y x =，则曲线l 在点(),P x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-，切线与x 轴的交点T 的坐标为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭.P (1,1)故PT ==y OT x y =-'. 由 PT OT =，有()22222212,y y y y x x y y y '+=-+'''即 222.xyy x y '=-（2）初值问题 由题意，曲线l 过点()1,1，得初值问题22121y dx x y dy xyx =⎧-=⎪⎨⎪= ⎩ （1） （3）解方程 方程（1）为齐次微分方程，令x uy =，（1）可化为变量分离的方程221u dydu u y-=+，解得21.1Cy u =+代回x uy =，得通解221.x y C y +=由初值条件11y x ==，得12.C =故所求曲线l 的方程为()222 0.x y y x +=>【例12.33】 某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内的含污染物A 的污水量为6V ,流入湖泊内不含污染物A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V,已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标。

§12.2 特殊的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 12121()()n n n n n n f x dx C x C x C x C ---⎰+++++次,,y p '''=⇒则原方程(,)p f x p '=—一阶方程，设其1)C ,即1(,)y g x C '=，则原方程的通解为1(,)y g x C dx =⎰p p y ，把看作的函数，则 dp dp dy dpy p dx dy dx dy''==⋅= 把 二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 ()()0y p x y q x y '''++= （1） 二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++= （2）1、 若12(),()y x y x 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合1122()()C y x C y x +（12,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当12()()()y x y x λλ≠为常数，也即12()()y x y x 与线性无关时，则方程的通解为1122()()y C y x C y x =+。

2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而1122()()C y x C y x +为对应的二阶齐次线性方程的通解（12,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。

3、 设12()()y x y x 与分别是1()()()y p x y q x y f x '''++=与2()()()y p x y q x y f x '''++=的特解，则12()()y x y x +是12()()()()y p x y q x y f x f x '''++=+的特解 三、二阶常系数齐次线性方程：0,,y py qy p q '''++=为常数特征方程20p q λλ++=特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当240,p q ∆=->特征方程有两个不同的实根12,λλ 则方程的通解为1212x x y C e C e λλ=+（2）当240,p q ∆=-=特征方程有而重根12λλ=， 则方程的通解为112()x y C C x e λ=+（3）当240,p q ∆=-<特征方程有共轭复根i αβ±, 则方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+四、二阶常系数非齐次线性方程 方程 (),y py qy f x p q '''++=其中为常数通解 1122()()y y C y x C y x =++其中1122()()C y x C y x +为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。