2021选择性必修1题型精讲精练讲义3.3 抛物线(精讲)(含答案)

选择性必修第一册 3.3 抛物线一、选择题（共14小题）1. 抛物线y=−18x2的准线方程是( )A. x=132B. y=2 C. y=132D. y=−22. 已知A(0,1)和直线l:x=−5，抛物线y2=4x上动点P到l的距离为d，则∣PA∣+d的最小值是( )A. 6B. 5+√2C. 4+√2D. 4√23. 顶点在原点，准线方程为x=−2的抛物线方程为( )A. y=2x2B. y2=2xC. y2=8xD. y2=4x4. 抛物线y2=4x上一点M的横坐标为1，则点M到抛物线焦点的距离为( )A. 3B. 1C. 2D. 05. 顶点为原点，焦点为F(0,−1)的抛物线方程为( )A. y2=−2xB. y2=−4xC. x2=−2yD. x2=−4y6. 抛物线y=16x2的准线方程为( )A. x=124B. y=−124C. x=32D. y=−327. 已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，那么点P到y轴的距离是( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知抛物线y2=16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则∣NF∣9−4∣MF∣的最小值为( )A. 23B. −23C. −13D. 139. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A. 34B. 1 C. 54D. 7410. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动，M为线段AB的中点，则M点到y轴的最短距离为( )A. 12B. 1 C. 32D. 211. 抛物线y2=2px与直线2x+y+a=0交于A，B两点，其中A(1,2)，设抛物线焦点为F，则∣FA∣+∣FB∣的值为( )A. 3√5B. 5C. 6D. 712. 设点A的坐标为(1,√15)，点P在抛物线y2=8x上移动，P到直线x=−1的距离为d，则d+∣PA∣的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知抛物线 C ：y 2=8x 的焦点为 F ，P 是抛物线 C 的准线上的一点，且 P 的纵坐标为正数，Q是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点．若 ∣PQ ∣=√2∣QF ∣，则直线 PF 的方程为 ( ) A. x −y −2=0 B. x +y −2=0 C. x −y +2=0 D. x +y +2=014. 已知双曲线 x 2−y 2m=1 与抛物线 y 2=8x 的一个交点为 P ，F 为抛物线的焦点，若 ∣PF∣=5，则双曲线的渐近线方程为 ( )A. x ±2y =0B. 2x ±y =0C. √3x ±y =0D. x ±√3y =0二、填空题（共5小题） 15. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x =−2，则抛物线的方程是 ．16. 已知 F 为抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点，以 F 为顶点作一个两条对角线长分别为 2√3 和 2 的菱形 PFRQ （ ∣PR∣>∣FQ∣∣ ） ，如图所示．若抛物线经过 P ，R 两个顶点，则抛物线的方程为 ．17. 已知点 P 是抛物线 x 2=4y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是 Q ，若点 A (8,7)，∣PA ∣+∣PQ ∣的最小值为 ．18. 已知抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点为 F ，A ，B 为此抛物线上的异于坐标原点 O 的两个不同的点，满足 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12，且 FA⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则 p = ．19. 已知以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A ，B 两点，交 C 的准线于 D ，E 两点，若 ∣AB ∣=4√2，∣DE ∣=2√5，则 C 的焦点到准线的距离为 ．三、解答题（共5小题） 20. 抛物线的离心率能否变化?对抛物线形状有影响吗?21. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米．（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图），求该抛物线的方程．（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米?22. 如图，一座圆拱桥，当水面在m位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米．当水面下降1米后水面宽多少米?23. 对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P(a,0)都满足∣PQ∣≥∣a∣，试求a的取值范围．24. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，∣PQ∣，求C的方程．且∣QF∣=54答案1. B【解析】因为y=18x2，所以x2=−8y，所以其准线方程是y=2．2. C【解析】抛物线准线为x=−1，P到其距离为d1，则d=d1+4，所以∣PA∣+d=4+d1+∣PA∣=4+∣PF∣+∣PA∣≥4+∣FA∣=4+√2．3. C4. C5. D6. D【解析】将已知抛物线的方程化为x2=6y，焦点在y轴正半轴上，且p2=14(2p)=14×6=32，所以抛物线的准线方程为y=−32．7. C【解析】抛物线y2=4x，则准线方程为x=−1，因为P到其焦点的距离为5，则到其准线的距离也为5，所以P点到y轴的距离为4．8. D【解析】设∣NF∣=x，∣MF∣=y，由抛物线过焦点的弦性质，1∣MF∣+1∣NF∣=2p，所以1x +1y=28=14⇒1y=14−1x，而∣NF∣9−4∣MF∣=x9−4y=x9−4(14−1x)=x9−1+4x≥2√49−1=13.9. C【解析】由抛物线的标准方程可知p=12．假设点A到准线的距离为d1，点B到准线的距离为d2，则d1+d2=3．所以线段AB的中点到y轴的距离为32−p2=54．10. B【解析】如图所示，抛物线y2=2x的准线为l:x=−12，过A，B，M分别作AAʹ，BBʹ，MMʹ垂直于l，垂足分别为Aʹ，Bʹ，Mʹ．由抛物线定义知∣AAʹ∣=∣FA∣，∣BBʹ∣=∣FB∣．又M为AB中点，由梯形中位线定理得∣MMʹ∣=12(∣AAʹ∣+∣BBʹ∣)=12(∣FA∣+∣FB∣)≥12∣AB∣=12×3=32，则M到y轴的距离d≥32−12=1（当且仅当AB过抛物线的焦点时取“=”），所以d min=1，即M点到y轴的最短距离为1．11. D【解析】把A点坐标分别代入抛物线方程和直线方程可以求出p=2，a=−4．联立抛物线和直线的方程，可以解出B点的坐标为(4,−4)．所以∣FA∣+∣FB∣=7 .12. C【解析】点P到准线x=−2的距离为d+1，设点F为抛物线的焦点，则∣PF∣=d+1，所以d+∣PA∣=∣PF∣−1+∣PA∣，当A，P，F三点共线时，∣PF∣+∣PA∣取得最小值，故d+∣PA∣的最小值为∣AF∣−1=4−1=3．故选C．13. B【解析】如图，设准线与x轴的交点为M，过点Q作QH⊥PM于H．因为∣PQ∣=√2∣QF∣，由抛物线的定义得∣PQ∣=√2∣QH∣，所以在Rt△PQH中，∠PQH=π4，所以∠PFM=π4，所以直线PF的斜率k=−1，则直线PF的方程为y−0=(−1)(x−2)，即x+y−2=0，故选B．14. C【解析】因为点P在抛物线y2=8x上，∣PF∣=5，所以P(x0,y0)满足x0+p2=5，得x0=5−p2=5−2=3，因此y02=8x0=24，得y0=±2√6，所以点P(3,±2√6)在双曲线x2−y2m=1上，可得9−24m=1，解之得m=3，所以双曲线标准方程为x2−y23=1，得a=1，b=√3，渐近线方程为y=±bxa，即y=±√3x．15. y2=8x16. y2=2x【解析】由已知条件知∣FQ∣∣=2，∣PR∣=2√3，所以∣PF∣=2，且点P的横坐标为p2+1，根据抛物线的定义知∣PF∣=x p+p2=p2+1+p2=p+1，则由p+1=2，得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x．17. 918. 419. 420. 抛物线的离心率是固定不变的，抛物线的离心率e=1，但抛物线的形状不同，如y2=x与y2= 2x．21. （1）如图所示．根据题意可设该抛物线的方程为x2=−2py(p>0)．因为点C(5,−5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2=−5y．（2）设车辆高为ℎ米，则∣DB∣=ℎ+0.5，故D(3.5,ℎ−6.5)，代入方程x2=−5y，解得ℎ=4.05，所以通过隧道的车辆限制高度为4.05米．22. 以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A(6,−2)，设圆的半径为r，则C(0,−r)，即圆的方程为x2+(y+r)2=r2，将A的坐标代入圆的方程可得r=10，所以圆的方程是：x2+(y+10)2=100，则当水面下降1米后可设Aʹ的坐标为(x0,−3)（x0>0），代入圆的方程可得x0=√51，所以当水面下降1米后，水面宽为2√51米．23. 对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P(a,0)都满足∣PQ∣≥∣a∣．（1）若a≤0，显然适合．（2）若a>0，点P(a,0)都满足∣PQ∣≥∣a∣就是a2≤(a−y22)2+y2，即a≤y24+1≤1，0<a≤1，则a的取值范围(−∞,1]．24. 设点Q的坐标为(x0,4)，把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px(p>0)，可得x0=8p，由P(0,4)，得∣PQ∣=8p，又∣QF∣=x0+p2=8p+p2，∣QF∣=54∣PQ∣，所以8p +p2=54⋅8p，解得p=2或p=−2（舍去）．故C的方程为y2=4x．。

3.3.1抛物线及其标准方程一、抛物线的定义1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹.2、焦点：定点F 抛物线的焦点.3、准线：直线l 叫做抛物线的准线.4、集合表示：{},==为点到准线的距离P M MF d d M l .5、注意事项：（1）定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．二、抛物线的标准方程标准方程图形焦点坐标准线方程22(0)=>y px p ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭p 2=-px 22(0)=->y px p ,02⎛⎫- ⎪⎝⎭p 2=p x 22(0)=>x py p 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭p 2=-p y 22(0)=->x py p 0,2⎛⎫- ⎪⎝⎭p 2=p y 三、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数p ，从而得焦点坐标与准线方程，要注意0>p ；2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。

四、求抛物线标准方程的方法1、直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p ；2、待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p .当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为2=x my 或2=y mx ；注意：（1）已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；（2）已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。

题型一抛物线定义的理解【例1】抛物线218y x =-的准线方程是（）A．132x =B．2y =C．132y =D．2y =-【答案】B【解析】218y x =-可化为28x y =-，所以抛物线218y x =-的准线方程为2y =．故选：B．【变式1-1】已知抛物线()20x my m =>上的点()01x ，到该抛物线焦点F 的距离为2，则m =（）A．1B．2C．4D．6【答案】C【解析】由()20x my m =>，可得其焦点0,4m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为4m y =-，因为点()01x ，到该抛物线焦点F 的距离为2，所以点()01x ，到抛物线准线的距离为2，则124m+=，解得4m =，故选：C.【变式1-2】圆心在抛物线()220x y x =>上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是（）A．221204x y x y +---=B．222210x y x y ++-+=C．22210x y x y +--+=D．221204x y x y +--+=【答案】D【解析】由题意设所求圆的圆心为2(,)2a a ，半径为r ，其中0a >，因为抛物线()220x y x =>的准线方程为12y =-，且该圆与抛物线的准线及y 轴都相切，所以2122a a r =+=，解得1r a ==，所以该圆的方程为221(1)()12x y -+-=，即221204x y x y +--+=.故选：D.【变式1-3】抛物线W ：24y x =的焦点为F .对于W 上一点P ，若P 到直线5x =的距离是P 到点F 距离的2倍，则点P 的横坐标为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意得：()1,0F ，准线方程为1x =-，设点P 的横坐标为a ，0a ≥，由抛物线的定义可知：()11PF a a =--=+则521a a -=+，解得：1a =或7-（舍去），从而点P 的横坐标为1故选：A【变式1-4】已知抛物线232x y =的焦点为F ，抛物线上一点A 满足10AF =，则直线AF 的斜率为（）A．34-B．34C．34±D．【答案】C【解析】由抛物线232x y =得()0,8F ，准线为8y =-，设(),A m n ，则由抛物线的定义可得810AF n =+=即2n =，将(),2A m 代入抛物线可得8m =±，即()8,2A 或()8,2A -，当A 的坐标为()8,2时，则AF 的斜率283804k -==--；当A 的坐标为()8,2-时，则AF 的斜率283804k -==--；故选：C．题型二求抛物线的标准方程【例2】以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（）A．28y x=B．28y x=-C．28y x =或28y x=-D．28x y =或28x y=-【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为()220y px p =±>．因为焦点到准线的距离为4，所以4p =，所以28p =，所以抛物线方程为28y x =或28y x =-．故选：C．【变式2-1】过点()1,2-，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（）A．24y x =B．24y x=-C．212=-x yD．212x y =【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点()1,2-，所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C【变式2-2】已知抛物线的准线方程为1x =，则此抛物线的标准方程为（）A．22x y =-B．24x y=-C．22y x=-D．24y x=-【答案】D【解析】因为抛物线的准线方程为1x =，所以设抛物线方程为22(0)y px p =->，则12p=，得2p =，所以抛物线方程为24y x =-，故选：D，【变式2-3】以椭圆2212x y +=的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（）A．24y x =B．24y x =-或24x y =C．24x y =D．24y x =或24y x=-【答案】D【解析】因为椭圆2212x y +=的对称中心为原点，焦点为()1,0±所以抛物线的方程为24y x =或24y x =-故选：D【变式2-4】已知抛物线过点()2,4A -，则抛物线的标准方程为______．【答案】28y x =或2x y=-【解析】∵抛物线过点()2,4A -，且点A 在第四象限，∴抛物线的开口向右或向下．若开口向右，则设方程为()220y px p =>，∵过点()2,4A -，∴4p =，∴抛物线的标准方程为28y x =；若开口向下，则设方程为()220x py p =->，∵过点()2,4A -，∴12p =，∴抛物线的标准方程为2x y =-．综上，抛物线的标准方程为28y x =或2x y =-．题型三利用抛物线定义解决轨迹问题A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】由题意，动点(,)M x y 满足3412x y =-+，34125x y -+，即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（）A．22y x =B．24y x=C．24y x=-D．28y x=-【答案】D【解析】由题意知动点(),P x y 到直线2x =的距离与定点()2,0-的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以()2,0-为焦点，2x =为准线的抛物线，所以4p =，轨迹方程为28y x =-，故选：D【变式3-2】设圆C 与圆()2231x y +-=外切，与直线2y =-相切，则圆C 的圆心的轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆【答案】A【解析】设C 的坐标为(,)x y ，圆C 的半径为r 圆22(3)1x y +-=的圆心为A ，圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线2y =-相切1CA r ∴=+，C 到直线2y =-的距离d r=1CA d ∴=+，即动点C 到定点A 的距离等于到定直线3y =-的距离由抛物线的定义知：C 的轨迹为抛物线.故选：A【变式3-3】已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A．212x y =-B．212x y=C．212y x=D．212y x=-【答案】A【解析】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C (0，-3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，所以3,2122pp ==，其方程为212.x y =-，故选：A题型四抛物线中距离和差最值问题【例4】已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（）A．3B．4C．5D．112【答案】A【解析】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =．记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BA l ^于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+= ，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.【变式4-1】已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点742A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|PA |+|PM |的最小值是（）A．5B．92C．4D．32【答案】B【解析】依题意可知焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线x 12=-，延长PM 交准线于H 点．则|PF |＝|PH |，∴|PM |＝|PH |12-=|PF |12-∴|PM |+|PA |＝|PF |+|PA |12-，∴要使|PM |+|PA |当且仅当|PF |+|PA |最小．由三角形两边长大于第三边可知，|PF |+|PA |≥|FA |，①当P 与线段AF 与抛物线的交点0P 重合时取到最小值，．由7,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得5FA ==．则所求为()min 19522PM PA +=-=．故选：B．【变式4-2】已知抛物线C ：2y x =的准线为l ，点A 的坐标为()1,0，点P 在抛物线上，点P 到直线l 的距离为d ，则PA d -的最大值为（）A．34B．12C．1D．23【答案】A【解析】抛物线C ：2y x =的焦点1(,0)4F ，依题意，||d PF =，则3||||4PA d PA PF AF -=-≤=，当且仅当点P ，F ，A 共线，即点P 为抛物线顶点时取“=”，所以PA d -的最大值为34.故选：A 【变式4-3】已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()()22241x y ++-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】连接PF ，根据抛物线定义可知：点P 到抛物线准线的距离等于点P 到焦点()1,0F 的距离，连接圆心()2,4A -与焦点()1,0F ，交圆于1Q 点，交抛物线于点1P ，如图所示，此时点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小即为1Q F 的长度，其中5AF ==，故1514Q F =-=，故选：C【变式4-4】已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x =的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A．52B．522C．2【答案】B【解析】直线2:1l x =为抛物线24y x =-的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线40x y +-=的垂线，如下图所示，此时12d d +最小，为点F 到直线40x y +-=的距离.()1,0F -，则12522d d ==+．故选：B．【变式）A．5B．2C．6D．1【答案】C【解析】设x =()240x y y =≥，则曲线x =24x y =的右半部分．抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，设点()1,5A 到准线l ：1y =-的距离为d ，点P 为抛物线24x y =的右半部分上一点，设P 到准线l ：1y =-的距离为1d ，=1516PF PA d PA =+=+≥+=．故选：C题型五抛物线在实际问题中的应用【例5】苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知30m CD =，60m AB =，点D 到直线AB 的距离为150m ，则此抛物线顶端O 到AB 的距离为（）A．180m B．200m C．220m D．240m【答案】B【解析】以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意设()15,D h ，0h <，()30,150B h -，则()22152302150ph p h ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，解得502.25h p =-⎧⎨=⎩，所以此抛物线顶端O 到AB 的距离为()50150200m +=．故选:B．【变式5-1】如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（）米．A．B．C．D．【答案】B【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ，将A （2，﹣2）代入x 2＝my ，得m ＝﹣2∴x 2＝﹣2y ，B （x 0，﹣3）代入方程得x 0=故水面宽为m ．故选：B ．【变式5-2】某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线1AOA 及一个矩形11AC CA 的三边组成，尺寸如图（单位：m ）.（1）以隧道横断面抛物线的顶点O 为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，求该段抛物线1AOA 所在抛物线的方程；（2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3m ，车与集装箱总高4.5m ，此车能否安全通过隧道？请说明理由.【答案】（1）23x y =-；（2）不能，理由见解析.【解析】（1）由题设，可设抛物线方程为22x py =，由图知：1(3,3)A --，(3,3)A -，所以69p -=，则32p =-，故抛物线1AOA 所在抛物线的方程23x y =-.（2）由题设，令3(,)2y ±，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，则952y +≥，由（1）并将点代入可得：93434y =-=-，故179542y +=<.所以此车不能安全通过隧道.【变式5-3】如图，弯曲的河流是近似的抛物线C ，公路l 恰好是C 的准线，C 上的点O 到l 的距离最近，且为0.4km，城镇P 位于点O 的北偏东30°处，10km OP =，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l ，以便建立水陆交通网．（1）建立适当的坐标系，求抛物线C 的方程；（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q 的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．【答案】（1）2 1.6y x =；（2）作图见解析，9.806km ．【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，0.42p=，则抛物线2: 1.6C y x =．（2）如图，设抛物线C 的焦点为F ，则()0.4,0F ，∵城镇P 位于点O 的北偏东30°处，10km OP =，∴(P ，根据抛物线的定义知，公路总长6908.Q F Q P PF ''=+=≥．当Q '与Q 重合时（Q 为线段PF 与抛物线C 的交点），公路总长最小，最小值为9.806km ．。

3.3.1 抛物线及其标准方程基础练习一、单选题1．抛物线218y x =-的准线方程是（ ）A ．132x =B ．2y =C ．132y =D ．2y =-得最小值的P 的坐标为：（ ）A ．()0,0B ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．(D ．()2,23．设动圆圆心为P ，该动圆过定点，且与直线x a =-相切（0a >），圆心P 轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与x 轴垂直，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB =（ ） A ．2aB ．aC ．2aD ．4a【答案】DA ．2B ．3C ．5D ．75．已知抛物线2y px =上的点0到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是（ ） A ．22y x = B ．24y x = C ．22y x =- D ．24y x =-6．抛物线2:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．4曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知30m CD =，60m AB =，点D 到直线AB的距离为150m ，则此抛物线顶端O 到AB 的距离为（ ）A ．180mB ．200mC ．220mD ．240m【答案】B【分析】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解O 到AB 的距离. 【详解】以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意设()15,D h ，0h <，()30,150B h -，则()22152302150php h ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，解得502.25h p =-⎧⎨=⎩，所以此抛物线顶端O 到AB 的距离为()50150200m +=．二、多选题8．（多选题）对抛物线24x y =，下列描述不正确的是( ) A ．开口向上，焦点为()0,1B ．开口向上，焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭，C ．开口向右，焦点为()10，D ．开口向右，焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭， 【答案】BCD【解析】根据抛物线方程，直接确定开口方向和焦点，即可得出结果. 【详解】因为抛物线的标准方程为24x y =，所以24p =，2p =，开口向上， 因此抛物线的焦点为()0,1，准线为1y =-.故A 正确，BCD 都错.9．（多选）已知抛物线22y px =()0p >的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若(),2M m 是线段AB 的中点，则（ ） A ．4p =B ．抛物线的方程为216y x =C ．直线l 的方程为24y x =-D ．=10AB10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：20y px p =>的焦点为F ，准线为l ．设l 与x 轴的交点为K ，P 为抛物线C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QM PF ⊥交PF 于M ，过Q 作QN EP ⊥交线段EP 的延长线于N ，则（ ）A ．PE PF =B ．PF QF =C ．PN MF =D ．PN KF =【答案】ABD11．抛物线2x y =的焦点坐标是______. 【答案】1(0,)4##(0,0.25)______． 【答案】5【分析】利用焦半径公式即可求解.【详解】抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，设点M 的横坐标为0x ，则有016x +=，所以05x =．13．已知点F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，若OFP △的面积为2，则O 到直线PF 的距离为______. 【答案】45##0.8OFPS=OFPS=，故O 到14．若抛物线的焦点是1,0F ，准线方程为1x =-，则抛物线的标准方程是______． 【答案】24y x =15．已知抛物线22(0)y px p =>上有一点0与焦点之间的距离为3，则___________.16．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则实数m 的值为______．．已知抛物线上一点（位于第一象限）到焦点的距离等于，则直线MF 的斜率为_______________．18．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，04AF x =，则0x =______．19．若M 是抛物线4y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=︒，则MF =______．纵坐标为5，则AF BF +=______．22．若M 是抛物线22y x =上一动点，点103,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，设d 是点M 到准线的距离，要使d MP +最小，求点M 的坐标． 圆的圆心P 的轨迹方程． 【答案】y 2＝－8x .【分析】由题设易知P 到圆心A 的距离和到定直线x ＝2的距离相等，根据抛物线定义写出轨迹方程即可.【详解】由题意知：点P 到圆心A (－2, 0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等， 所以点P 的轨迹为抛物线，且焦点为A ，准线为x ＝2，故点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .24．在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 分别为直线x ＋y ＝2与x 、y 轴的交点，C 为AB 的中点．若抛物线()220y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离．26．分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．y+=；(1)准线方程是410(2)抛物线的焦点是双曲线22-=的左顶点；x y169144AF=.(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，5轴上方交抛物线于M、N 不同的两点，点P 是MN 的中点．求：(1)a 的取值范围； (2)AM AN +的值．一、单选题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，若A 、B 为抛物线上两点，且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ．当8AF BF +=，6OM =时，抛物线的方程为（ ）． A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =2．已知圆C 经过点(1,0P ，且与直线1x =-相切，则其圆心到直线30x y -+=距离的最小值为（） A ．3 B ．2C D 【答案】D【分析】利用已知可推出圆心A ．B ．8C ．D ．164．已知曲线C ：21m mx ny m +=-，则（ ）A ．当m =n =2时，C 为圆B ．当m =n =1时，C 为抛物线 C ．C 不可能为椭圆D ．C 可能为双曲线5．一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度20AB =米，拱高4OP =米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱22A B 的长度______米．【答案】3.84.##9625因为桥的跨度20AB =米，拱高OP =代入标准方程得：()()21024p -=--，解得：知MF ⊥NF ，|MF |＝5，则直线MN 与y 轴交点P 的坐标为_____．的坐标，由和抛物线的性质可得，可得数量积0FM FN⋅=，进而求出三点共线，可得向量共线，可得P的坐标．，准线方程为1x=-，，所以0FM FN⋅=，，解得：m=三点共线可得：//NP NM，而(1,NP n=，5(5, NM=所以5502⎛-⎝，解得：7．若过抛物线2y x=的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角4θ≥，点A 在x轴上方，则FA的取值范围是______．8．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，且焦点F 到其准线的距离为32，A 、B 、C 为抛物线上相异三点． (1)求p 的值；(2)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++的值． 【分析】（1）由题，结合抛物线性质即可求；）由0FA FB FC ++=，在x 轴方向上有2A B p FA FB FC x x ⎛⎫⎛ ⎪ +⎝⎭++=++⎝（1）由抛物线焦点F 到其准线的距离为．因为0FA FB FC ++=，在x 轴方向上有所以FA FB FC x ⎛++=⎝9．已知抛物线2:2C y px =的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程．(2)已知O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且4OA OB ⋅=-，D 为直线l 上一点，且OD l ⊥，证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值． 【答案】(1)24y x =；直线l 不与y 轴垂直，根据韦达定理和4OA OB ⋅=-求出 ＝2，212∵4OA OB ⋅=-，∴又∵2114y x =，48b -=-，得．已知抛物线的焦点到其准线的距离为．(1)求p 的值；(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点，求||AB ．由（1）可得抛物线的方程为28y x =，所以焦点(2,0)F ， 则直线AB 的方程为2,y x =-设()()1122,,,A x y B x y ，联立228y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得21240x x -+=，所以1212x x +=，由抛物线的性质可得12||12416AB x x p =++=+=． 11．已知动圆过定点()4,0，且在y 轴上截得的弦长为8． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知P 为轨迹C 上的一动点，求点P 到直线4y x =+和y 轴的距离之和的最小值．12．已知一个半径为32的圆的圆心在抛物线()2:20C y px p=>上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.(1)求抛物线C的方程；(2)当13PQ MN=时，求直线AB的方程.13．已知点0,1F ，直线:2l y =-，圆2:31C x y +-=．(1)若动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小1，试求点M 的轨迹E 的方程；(2)过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ，要使四边形P ACB 的面积S 最小，求P 点坐标及S 的最小值． PACS ，PACS=PACS ，12PACS=，2:2(0)C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,)T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A 、B 两点，2l 交抛物线C 于D ，E 两点，若线段AB 的中点为M ，线段DE 的中点为N ，证明：直线MN 过定点．。

3.3抛物线（精练）1．（2023春·陕西西安）已知()1,2P -为抛物线()2:20C y px p =->上一点，则C 的焦点坐标为（）．A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,0-2．（2023春·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（）A ．78B ．1516C ．34D ．03．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知直线l 与抛物线C ，则“l 与C 只有一个公共点”是“l 与C 相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023春·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中）已知抛物线方程24y x =，过点()1,2P 的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）抛物线22y x =的焦点为F ，点()1,1A ，P 为抛物线上的动点，则PA PF +的最小值为（）A ．32B ．3C ．2D 6．（2023·河北沧州·统考三模）设P 为抛物线C ：24y x =上的动点，()2,4A 关于P 的对称点为B ，记P 到直线1,3x x =-=-的距离分别1d ，2d ，则12d d AB ++的最小值为（）A ．2B ．2C2D 27．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若2,60AF DAF ∠== ，则抛物线C 的方程为（）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x=D ．2y x=8．（2023·全国·高三专题练习）抛物线()2:20C y px p =>的焦点是F ，点A 是该抛物线上一点，O 是坐标原点，AOF 的外接圆的圆心在C 上，且该圆周长等于6π，则p 的值是（）A ．6B ．4C ．3D ．29．（2023·全国·高三专题练习）设点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线AB ，垂足为B ，射线AF 交准线l 于点C ，若2AB =，BC =，则抛物线的方程为（）A ．2y x =B ．22y x=C ．24y x=D ．212y x =10．（2023春·四川成都）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST ），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST 模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（）A ．1B ．2C ．4D ．811．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，若直线l 过点()1,0P ，且8AB =，则抛物线C 的准线方程是（）A ．=3y -B ．=2y -C ．32y =-D ．1y =-12．（2023秋·高二课时练习）直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k （）A ．2或－2B ．2或－1C ．2D ．313．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线2:4G y x =，直线 l 交该抛物线于,A B 两点．若线段 AB 的中点坐标为()3,2，则直线l 斜率为（）A ．12B ．14C ．1D ．214．（2023·重庆渝中）（多选）已知抛物线C 的焦点在直线230x y ++=上，则抛物线C 的标准方程为（）A ．212y x=B ．212y x=-C ．26x y=-D ．26x y=15．（2023春·广西河池·高二统考期末）（多选）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 在直线:l y kx k =-上，直线l 与抛物线交于点,A B （O 为坐标原点），则下列说法中正确的是（）A ．2p =B ．准线方程为2x =-C ．以线段AB 为直径的圆与C 的准线相切D ．直线OA OB ､的斜率之积为定值16．（2023春·江西九江·高二校考期末）（多选）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，经过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列结论中正确的是（）A ．124x x =B ．128y y =C ．k 的取值范围是()1,1-D ．2k =时，以AB 为直径的圆经过点F 17．（2023春·陕西安康·高二校考期中）已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆22(2)1x y +-=上运动，则2||PM PQ的最小值.18．（2023秋·高二单元测试）已知P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为．19．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是抛物线C 上一动点，Q 是曲线2282160x y x y +--+=上一动点，则PF PQ +的最小值为．20．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m ，若行车道总宽度为7.2m ，则车辆通过隧道时的限制高度为m.21．（2023春·安徽·高二统考期末）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，满足AB 4=的直线l 有且仅有一条，则p =．22．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知抛物线C ：22x y =的焦点为F ，过点()0,2P -作C 的一条切线，切点为Q ，则FPQ △的面积为23．（2023·高二课时练习）已知点P 是曲线21y x =+上任意一点，()2,0A ，连接P A 并延长至Q ，使得2AQ PA =，求动点Q 的轨迹方程．24．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，F 到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过动点(),0A a 作抛物线C 的切线AB （斜率不为0），切点为B ，求线段AB 的中点D 的轨迹方程.25．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为()2,0F .(1)求p ；(2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，若16AB =求直线方程.1．（2023·福建三明）设抛物线焦点为F ，准线与对称轴交于点E ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，对称轴上一点C 满足3CA BE = ，若ACF △F 到抛物线准线的距离为（）A BC D 2．（2023春·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线于,A B 两点，若3AF BF =，则k =（）A ．3B ．3±C D ．3．（2023·江西赣州）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点()1,0F ，直线l 与该抛物线交于A ，B 两点（点A 在第一象限），以AB 为直径的圆E 与抛物线C 的准线相切于点D .若AD =，则点E 到y 轴的距离为（）A ．163B ．133C ．83D ．534．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆()()22124x y ++-=的一条通径与抛物线()220y px p =>的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p =（）A ．12B ．1C ．2D ．45．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）已知A ，B ，M ，N 为抛物线24y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 互相垂直且相交于焦点F ，O 为坐标原点，若AOF 的面积为2，则四边形AMBN 的面积为（）A ．1009B ．509C ．6259D ．625186．（2023·河南·统考三模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为:1l x =-，焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，点P 在l 上的射影为P '，则下列结论错误的是（）A ．若125x x +=，则7PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设(0,1)M ，则PM PP '+≥D ．过点(0,1)M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条7．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）已知直线()20y kx k =+>与抛物线C ：214y x =交于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线交于点P ，若ABP 的面积为，则k =（）A ．1B CD ．28．（2023春·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A ．200p =B ．Γ的准线方程为100y =C ．Γ的焦点坐标为()0,50-D ．弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为39．（2022秋·江西南昌·高二校考期中）（多选）已知(1,)P t 是抛物线:C 24y x =内一动点，直线l 过点P 且与抛物线C 相交于,A B 两点，则下列说法正确的是（）A ．0=t 时，||AB 的最小值为4B ．t 的取值范围是(2,2)-C ．当点P 是弦AB 的中点时，直线AB 的斜率为2tD ．当点P 是弦AB 的中点时，x 轴上存在一定点Q ，都有||||QA QB =10．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A ，B 是抛物线C ：22y x =上两动点，F 为抛物线C 的焦点，则（）A ．直线AB 过焦点F 时，AB 最小值为4B ．直线AB 过焦点F 且倾斜角为60 时，83AB =C ．若AB 中点M 的横坐标为2，则AB 最大值为5D ．112AF BF+=11．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）已知动点M 1x =+，直线1l ：1y x =+，过点()1,0F 且方向向量为(的直线2l 与动点M 的轨迹交于A ，B 两点，则（）A ．动点M 的轨迹是一条抛物线B ．直线1l 与动点M 的轨迹只有一个交点C ．16AB =D ．16AF BF =【答案】CD12．（2023春·云南大理·高二统考期末）（多选）过抛物线2:2C y px =上一点()1,2A 作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为,M N ，则（）A ．C 的准线方程是=1x -B ．过C 的焦点的最短弦长为2C ．直线MN 过定点()5,2-D ．若直线MN 过点()1,1-，则AMN 的面积为2413．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）（多选）抛物线C ：26y x =，AB 是C 的焦点弦（）A ．点P 在C 的准线上，则PA PB ⋅的最小值为0B ．以AB 为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9πC ．若AB 的斜率k =ABO 的面积12S =D ．存在一个半径为94的定圆与以AB 为直径的圆都内切14．（2023春·云南临沧·高二校考期末）（多选）已知抛物线()2:20x py p Γ=>，过其准线上的点(),1T t -作Γ的两条切线，切点分别为A 、B ，下列说法正确的是（）A ．4p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．直线AB 过定点()0,115．（2023春·江苏常州·）（多选）已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，点P 为直线2x =-上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（）A ．抛物线的准线方程为=1x -B ．直线AB 一定过抛物线的焦点C ．线段AB 长的最小值为D ．OP AB⊥16．（2023·福建南平·统考模拟预测）（多选）已知点()1,0A -，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于P ，Q 两点，则（）A ．||||PA PF B ．APQ △的面积最小值为2C ．当||||PA PF 取到最大值时，直线AP 与C 相切D ．当||||PA PF 取到最大值时，1tan 2QAF =∠17．（2023春·安徽宣城·高二统考期末）（多选）已知抛物线2:4C y x =，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AD l ⊥，垂足为D ，设()0,1E ，则（）A ．过E 点与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线恰有2条B ．已知曲线C 上的两点,M N 到点F 的距离之和为10，则线段MN 的中点的横坐标是4C ．AE AD +D ．AB 的最小值为4.18．（2023春·安徽黄山·高二统考期末）（多选）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足为11,A B ，O 为坐标原点，(1,0)Q -，则（）A ．11A FB F⊥B ．若3AF =，则 AOF ∆的面积为C ．若M 为抛物线C 上的动点，则MFMQ 的取值范围为,12⎤⎥⎣⎦D ．若60AQB ∠= ，则直线AB 的倾斜角α的正弦值为319．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）（多选）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A 、B 两点，且AB 4=，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M 、N 两点，则下列说法中正确的是（）A ．2p =B ．111MF NF+=C ．存在某条直线l ，使得25MF NF +=D ．若点()2,2G ，则GFM △周长的最小值为320．（2023春·广东韶关·高二统考期末）（多选）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，以线段AB 为直径的圆P 交y 轴于M ，N 两点，过P 且与y 轴垂直的直线交抛物线于点H ，则（）A ．圆P 与抛物线的准线相切B ．存在一条直线l 使||||3AF BF ⋅=C ．对任意一条直线l 有||||HP HF =D ．MPN ∠有最大值，且最大值为23π21．（2023春·江西宜春·高二灰埠中学校考期末）（多选）已知抛物线C ：22=y px 的焦点F 到准线l 的距离为2，则（）A ．抛物线为24y x =B ．若()2,3A ，B 为C 上的动点，则BA BF +的最小值为4C ．直线1y kx =+与抛物线C 相交所得弦长最短为4D ．若抛物线准线与y 轴交于点N ，点M 是抛物线上不同于其顶点的任意一点，t MN MF =，t ∈R ，则t 的最小值为222．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）（多选）已知过点()2,0的直线l 交抛物线2:4C y x =于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，P 点是线段AB 的中点，则下列说法正确的有（）A ．12y y 为定值－8B ．OAB S 的最小值为4C ．OA OB k k +的最小值为D ．P 点的轨迹方程为224y x =-23．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中学校考期末）（多选）抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线l 与x 轴相交于点K ，过点F 的直线与C 相交于A ，B 两点（A 点在第一象限），1AA l ⊥，1A 为垂足，1BB l ⊥，1B 为垂足，则下列说法正确的是（）A ．若以F 为圆心，FA 为半径的圆与l 相交于1A 和D ，则1A FA 是等边三角形B ．若点P 的坐标是()2,2，则PA AF +的最小值是4C ．1160A FB ∠=︒D ．两条直线AK ，BK 的斜率之和为定值24．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）写出一个与直线=1x -相切，且与圆()2221x y -+=外切的圆的方程.25．（2023春·浙江台州·高二统考期末）已知直线AB 与抛物线()220y px p =>及曲线1y x=-均相切，切点分别为,A B ，若AB =p =26．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）已知A ，B ，M ，N 为抛物线24y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 互相垂直且相交于焦点F ，O 为坐标原点，若AOF 的面积为2，则四边形AMBN 的面积为．27．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知A 、B 是抛物线C ：24y x =上的两点，M 是线段AB 的中点，过点A 和B 分别作C 的切线1l 、2l ，交于点P (1)证明：PM y ⊥轴：(2)若点P 的坐标为()2,2-，求PAB 的面积.注：抛物线22y px =在点()00,x y 处的切线方程为00()y y p x x =+.28．（2023春·河南驻马店·高二统考阶段练习）已知圆O ：2216x y +=与y 轴相交于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），过点B 作圆O 的切线1l ，P 是平面内一动点，过点P 作1l 的垂线，垂足为Q ，且()0PQ PA QA +⋅= ，记点P 的运动轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点A 且斜率不为0的直线2l 与曲线C 相交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点D ，证明：ADMN 为定值.29．（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考期末）已知O 是平面直角坐标系的原点，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且OAB 的重心G 在曲线29620x y -+=上.(1)求抛物线C 的方程；(2)记曲线29620x y -+=与y 轴的交点为D ，且直线AB 与x 轴相交于点E ，弦AB 的中点为M ，求四边形DEMG 面积的最小值.30．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰红旗中学松山分校校联考期末）在平面直角坐标系中，一个动点P 到定点()1,0F 的距离比它到0x =的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l 过定点()2,1P -，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与轨迹C ：没有公共点；只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点.。

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.3抛物线 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则9PN QM +的最小值为A ．36B ．42C ．49D ．50【答案】B 【解析】 【分析】设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，根据韦达定理可得124x x =，则229910PN QM PC QC +=++，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果. 【详解】设抛物线方程为22y px =由抛物线过定点()2,4得28p =，抛物线方程28y x =，焦点为()22,0C ，圆的标准方程为()2221,x y -+=∴圆心为()2,0，半径1r =，由于直线过焦点，可设直线方程为()2y k x =-，设()()1122,,,,P x y Q x y()()22248408y k x kx k x k y x⎧=-⇒-++=⎨=⎩，124x x ∴= 又()()22229199910PN QM PC QC PC QC +=+++=++()()121212292109302930123042x x x x x x =++++=++≥⋅=+=，12x x =时等号成立，9PN QM ∴+的最小值为42，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式a b +≥求最值，要注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”. 2．设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 则p 的值为( )A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据线条长度关系解除A 、B 点横坐标12x x 、（用p 表示）， 然后利用三角形面积公式列出一个关于p 的方程，解出p 即可. 【详解】过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ， 设点()()1122,,A x y B x y 、， 由3AF BF =得12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即123x x p -=……①， 又因为NF AM ∥,所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-， 所以()212142p OF ON NF x x x =+=+-=……②， 由①②可解得123,26p px x ==，在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=， 所以228443333BM p p p ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以143323CDF S P P ∆=⨯=, 解得62p =或62p =-（舍去）， 故选：C 【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键. 3．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C 10D 5 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==，∴()1,2C -，设抛物线22y px =，代入C 点，可得22y x =-∴焦点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴52PF =. 故选：D 【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.4．已知点A 是抛物线()220y px p =>上的一点，若以其焦点F 为圆心，以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B 、C 两点，若BFC θ∠=且满足22sin sin sin 23cos θθθθ+-=，当ABC 的面积为643时，则实数p 的值为( ) A ．4 B ．42C ．8D ．82【答案】B 【解析】由22sin sin sin23cos θθθθ+-=,移项得sin sin23cos θθθ-=-22sin θ,化简为2sin 2sin cos 3cos 22cos θθθθθ-=-+,即()()()sin 12cos cos 22cos 1θθθθ-=+-,可得()()2cos 1sin cos 20θθθ-++=,1cos ,23πθθ==,又由图知EF p =,则在EFB∆中,22tan2BC BE p θ==,设A 到BC 的距离为d,则d AF BF ==,cos2pBF θ=,211264···2tan ?22233cos 2ABC p S BC d p p θθ∆====,解得p=故选B.点睛:本题考查圆锥曲线和三角函数的综合问题,属于中难档题目.首先根据题中给出角的等式,利用二倍角公式和诱导公式,结合因式分解求出角的值,再根据三角形的面积公式,结合抛物线的定义以及圆的定义,将三角形的底和高都用抛物线方程中的p 和角θ来表示,列出三角形ABC 的面积,求出p 的值. 5．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A ．28y x =B ．28y x =（0x >）和0y =C ．28y x =（0x >）D ．28y x =（0x >）和0y =（0x <）【答案】D 【解析】圆2240x y x +-=化为()2224x y -+=，圆心()2,0C ，半径2r，设动圆的圆心为(),M x y ，半径为r ，则根据题意0r x =≠，且2MC r =+2x =+，当0x >时，化简有()()22222x y x -+=+，即28y x =，当0x <时，化简有()()22222x y x -+=-+，即0y =，故选择D.点睛：对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则MF d =，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.另外在对方程化简的过程中注意分类讨论思想方法的应用，考查学生划归转化能力.6．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线C ：24y x =，如图，一条平行于x 轴的光线从点()()114,14A y y <<发出，射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线C 的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于x 轴的方向射出至点()24,B y ，下列说法中正确的是（ ）A ．光路APQB 长度的最小值为10 B ．光路APQB 长度的最大值为10C ．光路APQB 长度恒等于10D ．以上说法均不正确【答案】C 【解析】 【分析】本题先求2p =，再化简P Q PQ x x p =++，4P PA x =-，4Q QB x =-，最后再确定光路APQB 长度等于PA PQ QB ++化简整理即可得到答案. 【详解】解：根据题意设(,)Q Q Q x y ，(,)P P P x y ，因为抛物线方程为：24y x =，所以24p =即2p =根据抛物线的定义：P Q PQ x x p =++，根据题意：4A P P PA x x x =-=-，4B Q Q QB x x x =-=-， 光路APQB 长度等于PA PQ QB ++，(4)()(4)810P P Q Q PA PQ QB x x x p x p ++=-++++-=+=，所以光路APQB 长度恒等于10. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的定义，焦点弦的几何意义，是中档题.7．已知双曲线22221x y a b-=5圆心在x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A ．25y x =B ．25y x =C ．25y x =D ．25y x =【答案】B 【解析】设双曲线渐近线的方程为by x a=，圆心坐标为(),0c ，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得222bca b =+ ，即2b = ，又因为离心率为245a a += ，可得1,5,5,252pa c p =∴=∴== ，所以抛物线的方程为245y x = ，故选B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8．已知直线是抛物线的准线，是上的一动点，则到直线与直线的距离之和的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由抛物线的定义可知点到准线的距离等于；点到直线的距离；结合图形可知当且仅当三点共线时，距离之和最小，其最小值为点到直线的距离，即，应选答案C 。