下载文档原格式
《勾股定理的应用举例》教学设计一、课程标准：1.会运用勾股定理求直角三角形的边长。
2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。
二、学习目标：1.应用勾股定理解决简单的实际问题；利用勾股定理逆定理解决简单的实际问题，进一步发展学生的应用意识。
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
三、教材分析本节是义务教育课程标准鲁教版七年级（上）第三章《勾股定理》第３节。
具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力。
教学重点：利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点。
四、学情分析本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动。
学生在学习六年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础。
难点：将实际问题抽象出几何图形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的难点。
五、评价设计1、通过合作探究完成利用勾股定理解决实际问题的目标教学，通过变式练习检测目标1的教学。
2、通过做一做完成利用勾股定理逆定理解决实际问题的目标2教学。
六、教学过程第一环节：复习导入在初一的时候我们学过立体图形的展开图，你还记得吗？圆柱体、圆锥的侧面展开图分别是什么？正方体的展开图呢？在导学案上画出正方体的展开图，最后教师在展台展示展开图。
这节课我们就研究一下和展开图相关的知识。
设计意图：通过复习能使学生将立体和平面的知识联系起来，对下面探究环节起到启示作用。
《勾股定理的应用举例》教案教学目标教学知识点能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.能力训练要求1、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：1、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2、在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.教学重点难点重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学过程1、创设问题情境，引入新课前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC＝12米，BC＝5米，AB是梯子的长度.所以在Rt △ABC中，AB2＝AC2＋B C2＝122＋52＝132；AB＝13米.所以至少需13米长的梯子.2、讲授新课：①蚂蚁怎么走最近？A BA B出示问题：有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面上圆的周长等于18cm ．在圆行柱的下底面点A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的的最短路程是多少？(1)自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？(小组讨论)(2)如图1-12，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(学生分组讨论，公布结果)我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形，好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA ′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A →A ′→B ； (2)A →B ′→B ；(3)A →D →B ； (4)A →B .哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.②做一做李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC 是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺.(1)你能替他想办法完成任务吗？(2)李叔叔量得边AD 长是30cm ，边AB 长是40cm ，边BD 长是50cm ，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？(3)小明随身只有一个长度为20cm 的刻度尺，他能有办法检验边AD 是否垂直于边AB 吗？边BC 与边AB 呢？也就是要检测∠DAB ＝90°，∠CBA ＝90°.连结BD 或AC ，也就是要检测△DAB 和△C BA 是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.解答：(2) ∴AD 和AB 垂直.③随堂练习(1)甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6km /h 的速度向正东行走.1时后乙出发，他以5km /h 的速度向正北行走.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：(如图)根据题意，可知A 是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B 点，则AB ＝2×6＝12(km )；乙到达C 点，则AC ＝1×5＝5(km).在Rt △ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2＝52＋122＝169＝132，所以BC ＝13km .即甲、乙两人相距13km .例题：1、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x 尺，则芦苇长为(x ＋1)尺，由勾股定理可求得(x ＋1)2＝x 2＋52，x 2＋2x ＋1＝x 2＋25解得x ＝12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.2、某隧道的界面是一个半径为4.2m 的半圆形，一辆高3.6m ,宽3m的卡250040302222=+=+AB AD 25002=BD 222BD AB AD =+∴车能通过该隧道吗？课时小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.课后作业课本习题3.4、3.5.。
课题鲁教版七年级数学（上）第三章 1.探索勾股定理（二）作者及工作单位教材分析《探索勾股定理》是鲁教版七年级上册第三章第一节，本节有二课时，本课是第二课时，主要内容是探索勾股定理的证明。
勾股定理是直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形密切联系起来，在几何学中占有非常重要的位置。
同时勾股定理在生产、生活中也有很大的用途。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。
因为勾股定理的出现，使数学从单一的纯计算进入了几何图形的证明，所以为了让学生感受数形结合这一数学思想，让学生亲自动手，互相协作，因此引入了“等积法”证明勾股定理。
学情分析学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。
另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。
教学目标知识与技能：1. 掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。
2. 能利用勾股定理进行简单的几何计算 过程与方法：通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程 情感、态度、价值观：通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。
教学重点和难点重点：掌握勾股定理的内容及其初步应用 难点：勾股定理的证明教学过程教学环节教师活动学生活动和预设学生活动 设计意图一、 设情景问题， 引入课题1.名言激趣：数学是上帝用来书写宇宙的文字。
勾股定理的应用举例●教材分析：本节位于七年级上册教材第三章第3节，在前面学习了应用勾股定理及勾股定理的逆定理的基础之上进行的探究勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，学生能够通过简单操作发现在圆柱侧面找最短路径方法，会利用勾股定理解决问题，初步感受应用勾股定理解决问题的思路，为后面探究它的应用做铺垫●学情分析：学生对于勾股定理是一个新的认识，初二的学生对于符号语言不是很规范，所以在讲解时，注意扮演步骤。
且本节课的内容较难，所以一定要让学生多动手操作，引导他们多发现问题，多交流●教学目标学习目标：应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题，能力目标：1、通过解决实际问题，培养学生分析问题，解决问题的能力，进一步发展学生的应用意识2、动手操作实践的过程中，探索发现立体图形中求两点距离最短的方法，渗透转化的数学思想。
情感目标：1、应用定理解决问题时，感受勾股定理的奥妙2、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识和合作交流的习惯●教学重点：利用勾股定理求立体图形侧面两点的最短距离●教学难点：如何把立体图形侧面转化为平面图形●教学方法：启发、诱导法.动手操作以及学生的互动合作相结合.●教学工具：圆柱体，多媒体，导纲●教学过程：是上底面的直径。
点我们叫上下两底面的相对点。
你能沿侧面画出连接A,C的最短的五、探究活动二：勾股定理的逆运用六、硕果飘香——小结你知道了什么知识？你体会了什么数学思想？你还有疑问吗？七、拓展提高：一个长方体盒子，它的长、宽、高分，8cm，12cm，一只蚂蚁想沿侧面从盒底的点A爬到盒顶的点，最短路径是多少？九、布置作业作业：勾股定理的应用举例（1）教学设计。
鲁教版数学七年级上册3.3 勾股定理的应用举例（2）一、教材与学情分析本节课是在探究了勾股定理后运用勾股定理解决生活中的实际问题，本节内容分两课时，第一课时有两部分内容，第一部分立体图形表面上两点间最短距离，构造的直角三角形中已知两边，可以直接运用勾股定理解决实际问题；第二部分已知三角形的三边判断所构造的三角形是否为直角三角形，应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
第二课时在第一课时的基础上，进一步研究勾股定理的两方面实际应用，第一是在直角三角形中已知一边和其他两边等量关系时，要运用方程思想求未知边；第二是决策问题：判断车能否过隧道问题，构造已知两边的直角三角形，判断第三边。
学生在学习勾股定理的直接应用后，当已知两边能熟练求直角三角形的第三边。
因此本课时的重点利用勾股定理的等量关系式列方程求未知边，和通过计算判断并作出决策。
其中难点是在决策问题中如何构造直角三角形。
二、教学目标（一）知识与技能1、应用勾股定理解决简单的实际问题，当所构造的直角三角形中只有一边已知时，可以根据勾股定理列方程解决问题2、应用勾股定理解决生活中一类决策问题（二）过程与方法1、在探究问题解决方法的过程中感受方程思想方法，感受构建方程模型的必要性2、在探究问题过程中如何构造直角三角形，体会转化的数学思想方法（三）情感态度与价值观在讨论问题过程中，进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智，从而增强学习数学的兴趣.三、教学资源PPT 课件、三角板等四、教学设计思路复习总结→创设问题引入新课→合作探究解决问题→巩固提升→梳理总结升华收获五、教学实施过程：（一）复习导入师：同学们，前面学习了勾股定理，知道根据勾股定理能求出直角三角形的边长，请看：1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，则2、总结并板书1）已知两直角边能求斜边2）已知一直角边和斜边能求另一直角边【设计意图】让学生明确直角三角形已知两边第三边能直接运用勾股定理求出第三边，为下面例1中只知一条边时求边要借助方程的方法，不能直接运用勾股定理做好铺垫. ===222b a c ,,AC B a cb师：勾股定理是一个非常重要的定理，从古代到现代，人们在生活中广泛应用。
课时课题：第三章第一节探索勾股定理第1课时课型：新授课授课时间：教学目标：1、经历在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，体会“割”“补”“拼”求面积的数学方法及数形结合和从特殊到一般的数学思想，并且体验解决问题方法的多样性。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，掌握勾股定理，能用其解决一些简单的实际问题。
3、学生通过实践、猜想、归纳等操作，深刻感受数学知识的发生发展过程，感受数学魅力，在本节的合作学习中享受成功的喜悦和探索的乐趣。
通过介绍勾股定理的历史知识，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的热情，激励学生的民族自豪感。
教学重点与难点：重点：探索勾股定理的过程．难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．教法与学法指导：教法分析：针对七年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。
引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，先让学生独立思考问题，然后再小组交流各自的想法，从而获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
课前准备：教师：电脑、多媒体课件、音频、几何画板、微视频．教学过程：一、创设情境，导入新课同学们，在我们美丽的地球上，参天古树带给我们神秘的遐想，而在古老的数学王国上，也存在着一棵树，我们把它称为勾股树（播放幻灯片：勾股树），大家看到的这棵树只是勾股树的一部分，下面我们一起来欣赏其他的一些运动中的勾股树（播放幻灯片：几何画板，勾股树），大家现在看到的是一棵只有四层的勾股树，下面观看一下它的运动状态（点击几何画板），这棵树可以无限生长，当我们改变它的层数的时候它将变成这样的一棵树（改变参数），同学们，这棵树美吗？那么今天这节课呀，我们就从最简单的只有一层的勾股树开始研究，看看它身上蕴含着怎样的数学知识。
勾股定理的应用举例
教学内容
课题:七年级上册第三章第三节《勾股定理的应用举例》
本节课的教材内容主要围绕勾股定理及其逆定理，按照“问题情景—建立模型—解释—应用与拓展”的模式展开活动，让学生能够应用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
本节课的综合性和拓展性较强，教材图文并茂，既能吸引学生的注意力，又能激发学生的学习兴趣。
通过本课的学习，引导学生将所学知识与实际生活紧密联系，增强合作精神，培养学生数形结合能力和实践能力。
教学目标
知识与技能:会用勾股定理解决实际问题。
过程与方法:将实际问题转化为含有直角三角形的数学模型。
在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯
情感态度与价值观:
1.让学生感受生活中的数学,体会数学的应用性。
2.培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，通过与同伴交流，培养协作与交流的意识。
3.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其他方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
教学重点：
1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题。
2.探索空间与平面图形之间的关系。
3.掌握两个定理之间的联系与区别。
教学难点：
熟练运用勾股定理解决最短路径实际问题，增强学生的数学应用能力。
课前准备：
制作长方体、彩纸、白纸、圆柱、双面胶。
.
教法方法：
互动式教学、合作探究学习
教学过程
一、回顾与思考（一）
1. 复习勾股定理，巩固勾股定理的公式、符号语言及变形公式。
2. 小结：勾股定理实质是在直角三角形中，已知两条边，可以求出第三条边。
[设计意图]：通过定理的回顾熟悉知识，引导学生建立找直角三角形和求边长的意识。
二、定理的应用（一）
1.问题情景一：爸爸指着墙角的桌子对小明说：“桌面的角是直角，我测出来两条桌边的长是5分米和12分米，你能计算出桌面的对角线的长度吗？”“太简单了。
”你知道小明是如何计算的吗？
[设计意图]：（1）轻松的话题引到在桌面（一个平面）的求边的问题，从而给学生建立起一种构造直角三角形解决问题的模型。
（2）引领下一环节，让学生探索若在平面有一只蚂蚁想从A走到B，如何走最近，让学生说出两点之间线段最短的性质。
2.趣味探究一：在高为12厘米，底面直径5厘米的圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B点出的食物，需要爬行（穿过柱体）的最短路程是哪条？
[设计意图]：（1）题目设计为在同一平面内的问题。
（2）本环节是以小组为单位进行探究，拿空心圆柱与小棒探索蚂蚁走过的路程、所在的平面，引导学生把同一平面的实际问题直接抽象成直角三角形。
（3）“蚂蚁觅捷径”问题，融知识性和趣味性于一体，体会数学学习的系统性、整体性和联系，有利于提
高同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神。
[知识小结]：归纳解题思路，强化解题步骤
3.趣味探究二：在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的出的食物，需要爬行（仅在侧面）的最短路程是哪条？
[设计意图]：（1）题目设计在同一个曲面内的问题。
（2）本环节仍然是在小组合作探究的基础上，通过先猜测探索多种路径，求最短距离，最终落脚在展开圆柱的侧面，引导学生展动点所在的曲面成为平面图形，借助于两点之间线段最短的性质，构建直角三角形利用勾股定理解决。
（3）趣味引领，让学生在动手中感悟由曲面变平面的过程。
[知识小结]：在曲面内求两点线段最短的方法。
[学以致用]：如图，一个圆柱体的底面周长为12cm，高AB为5cm，BC是上底面直径。
有一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，你能算出蚂蚁爬行的最短路程吗？
4.趣味探究三：在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的出的食物，需要爬行（若在表面）的最短路程是哪条？
[设计意图]：（1）题目设计在不同的曲面内。
（2）通过动手做模型，同时直观演示，引导学生动手设计不同的方案，把立体图形转化为平面图形，确定最短路线，掌握在不同曲面构建直角三角形的方法，降低难度，并培养学生的动手动脑能力、数形结合的思维、学数学用数学的能力以及求异思维。
[大胆尝试]：
蚂蚁想从盒子的表面A处爬到B处吃食物，已知盒子的长为3厘米，宽为2厘米，高为1厘米的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的哪一条路程是最短路程呢？
具体操作：学生利用手中的彩纸把蚂蚁经过的面，粘到白纸上，再利用所学求出相应的最短线段。
题目设计目的巩固前面所学。
[知识小结]：归纳立体的实际问题，应如何转化成直角三角形的问题，利用勾股定理解决。
三、回顾与思考（二）
1. 复习直角三角形的判定条件，掌握定理的符号表示及注意事项。
2.小结：直角三角形的判定条件是已知三角形中最短两边平方和等于最长边的平方，就可以说明这个三角形是直角三角形。
四、定理应用（二）
1.问题情境二
爸爸又继续对小明说：“只给你一个带有刻度的皮尺，你能用他来判断桌面的角是直角吗？”小明自信的说：“我能通过测量并计算做出判断。
”你知道如何判断吗？
[设计意图]：（1）与应用一同样的情境导入，前后衔接，让学生再次感受“数学源于生活，又应用于生活”。
（2）激发学生兴趣，易于让学生体会它们区别，体会求直角的方法。
2.做一做：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD边和BC边是否分别垂直于底边CD，但他随身只带了卷尺，(1)你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是4厘米，CD长是3厘米，AC长是5厘米。
AD边垂直于CD边吗？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于CD 边吗？BC边与CD边呢？
[设计意图]：（1）题目从平面到立体，培养了培养学生分析、解决问题的能力，通过此题变式创新探究，降低难度，放缓坡度。
（2）通过第三问，让学生掌握直角三角形的判定条件的实质是线段的数量关系而不是数值的大小。
五、比较与收获
将数形间转化，形象地表述出来，培养学生数形结合思想。
六、能力与提升
小明的爸爸开垦了一块四边形土地，爸爸想让小明计算一下土地的面积。
已知∠ACB=90°，小明测得AB=13米，BC=12米，CD=3米，DA=4米。
很快小明计算出了土地的面积，你知
道小明是如何计算的吗？
[设计意图]：（1）本环节主要培养学生综合运用勾股定理以及逆定理解决实际问题的能力。
（2）请学生简单小结，明确勾股定理应用的方法和条件。
控制课堂节奏，优化师生互动，生生互动，构建“输出-反馈-调节-再输出”的智能探究模式。
七、反思与总结
通过让学生相互合作交流，一起回顾小结，突出本节重点，帮助学生理解、掌握所学知识，培养学生的总结归纳能力，同时渗透“归纳”“转化”、“数形结合”、“分类讨论”的思想，让学生在反思中不断进步。
六、学习加油站
必做题：课本112页1、2题。
选做题：有兴趣的同学可以探究一下若蚂蚁在圆柱的表面爬行两周时，最短的路程会是怎样的？
[设计意图]：巩固已学知识，发现和弥补教学中的遗漏和不足，培养学生良好的学习习惯；在学生研究蚂蚁爬行趣味问题时，加深探讨的内容，从而激发学生继续专研的欲望，培养学生自主探究的学习习惯。
教学设计说明
我对教材《勾股定理的应用》的知识进行了适当的加工与深挖，把重点放在应用一上，让蚂蚁爬行问题非常系统的展现在学生面前，力求给学生提供研究、探讨的时间和空间，让学生通过动手操作充分经历自主“做数学”的过程，将“数学教学活动，转变为数学活动的教学”扎扎实实地落到实处，促进学生在自主中求知、在合作中获取、在探究中发展.
本节课运用创设情景，问题设疑，自主探究，观察演示，动手实践，合作交流等方式，步步深入，层层引发，引导学生积极探索、发现、归纳的探究式思维训练让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。
在教师适时的引导下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律，感受“数学源于生活，又用于生活”这一主线。
通过对多类问题的探究，让学生感受到“归纳”“数形结合”“转化”“分类讨论”等数学思想的实用价值，培养了学生的创新意识和创新精神，培养了学生的思维能力和解决实际问题的能力。
增长了学生“学数学，用数学”的信心。
板书设计，采用一题贯穿整节课的形式。
应用一一次板书，应用二一次板书，这两个合起来正好是综合应用的板书，这样大大节省了教学的时间和和黑板的空间，规范了学生的做题步骤。
