线段垂直平分线的判定

作图题 1、如图，在直 线L上求作一点P，使 PA=PB.
L
A
B
p
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为Байду номын сангаас活实践服务
作图题2
．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD
A
C
B D
如图，七（1）班与七（2）班两 个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动， 现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶 水供应点P，使P到两条道路的距离相等， 且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并 B 说明理由。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
任何图形都是有点组成的。因 三、 此我们可以把图形看成点的集 线段的垂直平分线的集合定义： 合。由上述定理和逆定理，线 线段的垂直平分线可以看作是到线 段的垂直平分线可以看作符合 段两上端点距离相等的所有点的集合 什么条件的点组成的图形？
A
证明：
M
M’
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 ∴PA=PB(？) 点的距离相等）. 同理 PB=PC.
B
P C
N ∴PA=PC. (到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) N’ ∴点P在AC的垂直平分线上; ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
M
N
A
C
一、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等。 二、线段垂直平分线判定定理：到线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上

如果一条直线上的点到线 段两个端点的距离相等， 那么这条直线是这条线段 的垂直平分线。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。

（结合全等三角形来证明）
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。

能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。

【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。

这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。

(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分 ∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
达标检测
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分， ∴OC＝OD，AO＝OB， 且AC＝BC＝AD＝BD； (2)OE＝OF，理由如下： 在△AOC和△AOD中，
∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC≌△AOD(SSS)， ∴∠CAO＝∠DAO. 又∵OE⊥AC，OF⊥AD， ∴OE＝OF.
这样的点的组合共有 无数 种.
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.
A
B
【作用】判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
知识精讲
人教版数学八年级上册
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个 到线段AB两端点距离相等的点？ 这些点能组成什么几何图形？
与A，B 的距离相等的点都在直线l上， 所以直线l 可以看成与A、B两点的距
离相等的所有点的集合.
A
l P
证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上.
达标检测
人教版数学八年级上册
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（A ）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
Ｃ
C．AB与CD互相垂直平分；
人教版数学八年级上册
第十三章第1节

线段垂直平分线的判定定理
线段垂直平分线判定定理是平面几何学一个重要的定理。

它指出，如果给定的任意一
条线段，它的任意一点P可以被称为该线段的垂直平分点，即PP'等于半条线段PQ的长度，则从点P出发的垂线做线段PQ的垂直平分线，这条垂直平分线一定也过线段PQ的中点。

线段垂直平分线判定定理的证明：假设给定的线段PQ的中点是M，设点P到P'的距
离为半线段PQ的长度n，且垂足为R，令OA平行于PQ，使得 OA=PM。

由此可知，MR=ON，而OQ=OP+PN=2n。

结合OA=PM，M为PQ的中点，MR=ON，得MR=MQ=QO的一半，即MR=OQ的一半，所以
MR=OB，故BR=RM，于是BR=OM，因此OM=BR。

又由OM=BR，MR=RM，可得OM=BM，即O为PQ
的中点M的对称中心。

因此点R为线段PQ的垂直平分点，而由点R出发的垂线为PQ的垂
直平分线，这条垂直平分线一定也过PQ的中点M，证毕。

线段垂直平分线判定定理的存在为几何图形的研究和推理提供了可靠的依据，给几何
图形的仿射、对称、对称中心等直接性质的研究提供了有力的理论支撑，同时也为许多类
似的几何学问题的解决提供了有益的参考，加强了几何学的连贯性，具有显著的教育意义。

垂直平分线判定步骤1.引言1.1 概述概述垂直平分线是在几何学中常见的一个概念，它是指一条直线将一条线段垂直地平分成两个相等的部分。

垂直平分线具有一些特殊的性质，因此在几何问题中具有重要的应用价值。

本文将介绍垂直平分线的定义和性质，并详细说明判定垂直平分线的步骤。

了解这些内容可以帮助读者更好地掌握几何学中的相关知识，提升解题能力。

在正文部分，我们将首先给出垂直平分线的定义和相关性质，包括垂直平分线与直线段的垂直关系、垂直平分线与等距离点的关系等。

通过了解这些性质，我们可以更清晰地认识垂直平分线的特点和作用。

接下来，我们将详细介绍判定垂直平分线的步骤。

在几何问题中，判断一条线是否为垂直平分线是很关键的一步。

我们将通过几个具体的案例，逐步介绍判定步骤，并给出详细的解题思路和方法。

最后，在结论部分，我们将对本文进行总结，并探讨垂直平分线的应用。

垂直平分线在几何学中有广泛的应用，例如在建筑设计、地图制作、光学测量等领域都可以看到其重要作用。

了解垂直平分线的性质和判定步骤，可以帮助我们更好地理解和解决与垂直平分线相关的问题。

通过阅读本文，读者将能够全面了解垂直平分线的定义、性质和判定步骤，为解决几何问题提供有力的工具和方法。

无论是学生还是专业人士，都可以从本文中获得有益的帮助。

让我们一起深入探索垂直平分线的奥秘吧！1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括如下内容：文章结构部分的主要目的是为读者提供对整篇文章的整体框架和内容安排的概览。

通过清晰地呈现文章的结构，读者可以更好地理解文章的内容，并能够更有针对性地阅读感兴趣的部分。

本篇文章共分为引言、正文和结论三个部分。

第一部分是引言，主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。

其中，概述部分简单介绍垂直平分线的判定问题，并说明其重要性和应用价值。

文章结构部分即本部分的内容，详细介绍了整篇文章的结构和目录，准确指导读者阅读。

第二部分是正文，主要包括垂直平分线的定义和性质以及垂直平分线的判定步骤两个子部分。

线段的垂直平分线的判定一条线段的垂直平分线是指将一条线段准确的分割成两段，使得这两段的长度和宽度都相同的一条线段。

一般来说，垂直平分线的概念与数学相关，特别是线段的几何，在二维空间中，垂直平分线的长度是一维的，其判断的核心是垂直的两条线的位置。

一条线段的垂直平分线有一些基本的原则，一些重要原则如下：
（1）垂直平分线的位置应在线段上，两端点不可搭在同一侧，否则将无法垂直平分；
（2）垂直平分线应垂直于线段上的点，或线段两端点的连线；
（3）除了其原则以外，垂直平分线的长度也与线段长度有关联。

如线段的长度是a，则其垂直平分线的长度也是a；
（4）经过线段上的某点的垂直平分线的位置，可用两个角点的坐标表示，即角点的坐标之和除以2；
（5）如果有交点的存在，垂直平分线的位置应在线段的中点；
（6）垂直平分线需要满足线段长度平分为两半，或者按边重新平分。

总之，一条线段的垂直平分线是一条线段能被垂直分割为两等段
的一条线段，无论是判定一条线段的垂直平分线的位置还是其中原则，涉及到的数学概念都是相关的，运用的最重要的数学知识就是线段的
几何，由总长度和中点坐标可以确定线段的垂直平分线的位置。

想一想
（1）线段AB的垂直平分线上的所有点都满 足“和点A、B的距离相等”这一条件吗？
（2）满足“和A、B的距离相等”的所有点都 在线段AB的垂直平分线上吗？
线段的垂直平分线可以看作是和线段两 个端点距离相等的所有的点的集合

线段垂直平分线性质
性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等。
符号语言： ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
M
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离
相等).
P
A
C
B
1、如图直线MN垂直平分
线段AB，则相等的线段
有
。
A
M C
B D
N
3、如图PA=PB，则直 线MN是线段AB的垂直 平分线。

线段的垂直平分线的判定
线段的垂直平分线是指将一条线段在其中点处垂直于本身，将其一分为二的一条线段。

它在几何学中具有重要意义，可以用来表示构成物体形状和构造的组成部分的对称性，而这种对称性则恰恰是美学中的基础。

因此，如何判断一条线段的垂直平分线是一门重要的学科。

一般来说，判断一条线段的垂直平分线可以通过三种方法：
（1）直线法。

即通过在线段的两端画上同样长度的直线，使它们垂直于线段，然后再画一条直线将它们连接起来，就得到了线段的垂直平分线。

（2）三角形法。

即将线段的两端分别作为三角形的两边，线段的中点作为三角形的顶点，再画出三角形的第三条边，就可以得到线段的垂直平分线。

（3）数学法。

以线段AB所在直线的斜率为k，则线段AB的垂直平分线斜率为-1/k。

例如，线段AB的斜率为3，则线段AB的垂直平分线斜率为-1/3。

上述三种方法都可以用来判断线段的垂直平分线，但是对于有些特殊的情况，还需要根据实际情况选择合适的方法。

如果线段的两端不在同一条直线上，则可以使用三
角形法；如果两端是在同一条直线上的，但是斜率不容易计算，则可以使用直线法。

有时候，当线段的两端都在同一条直线上，斜率也容易计算时，可以使用两种方法结合起来：先用直线法将线段分割，再用数学法计算线段垂直平分线的斜率，最后再画出线段的垂直平分线。

总之，判断一条线段的垂直平分线有多种方法，具体选择哪种方法取决于具体情况。

习题二：求解矩形中垂直平分线的长度问题
总结词
求解矩形中垂直平分线的长度问题，需要理解矩形的性质以及矩形中垂直平分线的定义和性质。
详细描述
首先，我们需要明确矩形的性质。在矩形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，并且AC=BD。接着，我们可以利用 矩形的性质来求解垂直平分线的长度问题。具体地，由于AC是BD的垂直平分线，我们可以得到AB=AD， BC=DC。因此，我们可以得到矩形中垂直平分线的长度为AC或BD的长度。
《线段的垂直平分线》
2023-11-08
目 录
• 定义与性质 • 定理与推论 • 垂直平分线的判定 • 垂直平分线的作法 • 垂直平分线的应用 • 习题与解析
01
定义与性质
定义
垂直平分线
一条直线把线段分成两段，其中每段与原线段的两个端点之间的线段相等，这 条直线叫做这条线段的垂直平分线。
中垂线
06
习题与解析
习题一
总结词
证明三角形中垂直平分线的性质定理，需要理解三角 形中线、高线的概念以及它们与垂直平分线的关系。
详细描述
首先，我们需要明确三角形的中线与垂直平分线的定 义。在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，则有 AB=AC，BD=DC，AD垂直平分BC。接着，我们可以 利用三角形全等的证明方法来证明垂直平分线的性质 定理。具体地，由于三角形ABD与三角形ACD全等， 我们可以得到角BAD=角CAD，从而证明AD是角BAC 的角平分线。此外，我们还可以证明AD是BC的高线。 因此，我们证明了三角形中垂直平分线的性质定理。
总结词
经过一个已知点作一条线段的垂直平分线， 方法有多种，其中一种是利用中垂线的性质 。
详细描述
首先，需要明确线段的中点，然后过该中点 作一条与原线段垂直的直线，即为所求的垂 直平分线。

证明垂直平分线的方法
垂直平分线的判定：垂直平分线垂直且平分其所在线段。

垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

判定方法
①利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。

垂直平分线的性质定理
性质
1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

4、垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点;（2）直线⊥线段。

定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

怎样画垂直平分线
用圆规，随便拉比所求线段1/2更长的距离，然后以线段两个端点为圆点画弧线，左边画右弧线，右边画左弧线，左右两边弧线相交在线段上下交于两点。

两点相连，画出的就是线段的垂直平分线。

这样做的原理是：菱形对角线垂直平分。

P
A N
C
B
试一试：
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
A
O
P
B
基础闯关
1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上 的一点,如果EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 0. ∠ECD=600,那么∠EDC= 60
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定性质:
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
C
二、线段垂直平分线的判定:
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”， “箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木 棒垂直呢？为什么？
A
答：当PA=PB时，射出的箭 的方向与木棒垂直
O
P
与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
B
二、线段垂直平分线的判定:
线段垂直平分线的性质和判定
垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段 的垂直平分线。
图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

垂直平分线的判定方法在几何学中，垂直平分线是指一条直线能够将另一条线段垂直分割成两个相等的部分。

判定一条线段是否有垂直平分线是几何学中常见的问题，本文将介绍几种判定方法。

方法一，利用垂直平分线的定义。

根据垂直平分线的定义，一条直线能够将另一条线段垂直分割成两个相等的部分。

因此，我们可以通过测量线段的长度并利用几何工具，如直尺和量角器，来确定是否存在垂直平分线。

具体步骤如下：1. 使用直尺测量线段的长度，并在两端点处做标记。

2. 利用量角器在两个端点处分别构造与线段相垂直的直线。

3. 如果两条垂直线相交于线段的中点，并且线段被垂直分割成相等的两部分，则可以确定存在垂直平分线。

方法二，利用垂直平分线的性质。

除了利用垂直平分线的定义外，我们还可以利用垂直平分线的性质来判定是否存在。

垂直平分线的性质包括以下几点：1. 垂直平分线与线段的中点重合。

2. 垂直平分线与线段的两端点连线相互垂直。

基于以上性质，我们可以采用以下方法来判定是否存在垂直平分线：1. 找到线段的中点，并画出经过中点且与线段垂直的直线。

2. 判断该直线是否与线段的两端点连线相互垂直。

3. 如果满足以上条件，则可以确定存在垂直平分线。

方法三，利用坐标几何的方法。

在坐标几何中，我们可以利用坐标系中点的坐标来判定是否存在垂直平分线。

具体步骤如下：1. 假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。

2. 求出线段的中点坐标M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

3. 计算线段AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。

4. 判断通过中点M且斜率为-k的直线是否存在于坐标系中。

5. 如果存在，则可以确定存在垂直平分线。

综上所述，我们可以通过几何工具的测量、垂直平分线的性质和坐标几何的方法来判定是否存在垂直平分线。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题，从而更好地理解和运用垂直平分线的概念。

详细描述
首先，将圆规的两脚分开，分别置于 已知线段的两个端点上。然后，将圆 规的笔头置于线段的中点，旋转圆规 即可得到垂直平分线。
利用尺规作图作垂直平分线
总结词
尺规作图是一种更为精确的作图方法 ，通过尺规作图可以作出更为精确的 垂直平分线。
详细描述
首先，用直尺画出已知线段。然后， 用圆规以线段的中点为圆心，分别在 已知线段的两侧画弧。接着，用直尺 连接两个交点，即可得到垂直平分线 。
02
垂直平分线也是一条直线，它经 过线段的中点，并且与线段垂直 。
垂直平分线的图形定义
在几何图形中，垂直平分线通常用一 条通过线段中点并与线段垂直的虚线 表示。
这条虚线将线段分为两个相等的部分 ，并且与线段垂直。
垂直平分线的性质
垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等。 经过线段中点的直线是该线段的垂直平分线。
利用垂直平分线性质解决实际问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
垂直平分线的性质在实际问题中有着广泛的应用，如解决 几何作图问题、确定物体的位置等。
在几何作图问题中，利用垂直平分线的性质可以确定对称 点的位置。在解决实际问题时，如建筑、机械设计等领域 ，垂直平分线的性质可以帮助确定物体的位置和方向，简 化问题的解决过程。
垂直平分线的逆定理
总结词
垂直平分线的逆定理是，如果一条直线是某点的垂直平分线，则这条直线上有两点到该点的距离相等。
详细描述
垂直平分线的逆定理是一个与判定定理相反的结论。如果一条直线是某点的垂直平分线，那么在这条直线上存在 两个点，它们到该点的距离是相等的。这个逆定理常常用于证明两条线段相等，或者确定一个点是否在某条直线 上。
质等来进行判定。

2.如图，AB=AC,MB=MC上, 求证： 直线AM是线段BC的 垂直平分线上．
A
M
B
C
1． 如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD ＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上．
证明：∵ BD＋AD＝BC
∴AD=BC-BD=CD
∴点D在AC的垂直平分 线上(到一条线段两个端 点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上)
C
B
判断
（1）如图，CDAB于D，则AC＝BC。（ ）
C A
D
C
B
A
D
B
（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（ ）
C
A
D
B
1. 已知线段AB （1）若CA=CB，问：过C点的直线是 不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出 反例.
（2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？
解：∵ED是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD
A
∴ △BCD的周长=BD+DC+BC
=AD+DC+BC
B
E
D
12
C
变式：如图，若AC=12，△BCD的周长=25， AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求BC。
=AC+BC =12+7 =19 所以△BCD的周长为19。 7
4.在△ABC中,DE为BC 的垂直平分 线,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于 点E,EF⊥AB于F点, A
B
C
线段的垂直平分线
一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1.∵ CD ⊥AB.且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2.∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点.并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形.则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之.也成立。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4.∵ OE 是∠AOB 的平分线.F 是OE 上一点.且CF ⊥OA 于点C.DF ⊥OB 于点D. ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形.它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5.∵点P 在∠AOB 的内部.且PC ⊥OA 于C.PD ⊥OB 于D.且PC ＝PD.图1图2图4∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点.并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6.如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F.则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.【典型例题】例1、如图1.在△ABC 中.BC ＝8cm.AB 的垂直平分线交AB 于点D.交边AC 于点E.△BCE 的周长等于18cm.则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【跟踪练习】（1）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果△EBC 的周长是24cm.那么BC=_________;（2）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果BC=8cm.那么△EBC 的周长是______;（3）如图.AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果∠A=28度.那么∠EBC=___.例2、已知： AB=AC.DB=DC.E 是AD 上一点.求证：BE=CE.【跟踪练习】已知：在△ABC 中.ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC.求证：点O 在BC 的垂直平分线.例3、在△ABC 中.AB=AC.AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°.△ABC 的底角∠B的大小为_______________。