自动控制原理拉氏变换

z 变换理论z 变换是从拉氏变换引申出来的一种变换方法，是研究线性离散系统的重要数学工具。

一、 z 变换定义由式(8-5)，采样信号)(*t e 的拉氏变换∑∞=-=0*)()(n nsT e nT e s E (1-1)可见()E s *为s 的超越函数。

为便于应用，进行变量代换sTe z = （1-2）将式(8-19)代入式(8-18)，则采样信号)(*t e 的z 变换定义为∑∞=-===0ln 1*)()()(n n z Ts z nT e s E z E (1-3)z 变换定义式（1-3）表示变量n z -的系数代表连续时间函数在采样时刻nT 上的采样值。

有时也将)(z E 记为[][])()()]([)(*s E Z t e Z t e Z z E === (1-4)这些都表示对离散信号)(*t e 的z 变换。

二 z 变换方法常用的z 变换方法有级数求和法和部分分式法。

1. 级数求和法根据z 变换的定义，将连续信号)(t e 按周期T 进行采样，将采样点处的值代入式（1-3），可得+++++=---n z nT e z T e z T e e z E )()2()()0()(21再求出上式的闭合形式，即可求得)(z E 。

例1-1 对连续时间函数⎩⎨⎧<≥=)0(0)0()(t t a t e t按周期1=T 进行采样，可得⎩⎨⎧<≥=)0(0)0()(n n a n e n试求)(z E 。

解 按(1-3)z 变换的定义++++===---∞=-∞=-∑∑31211010)()(1)()()(az az az az znT e z E n n n n若a z >，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为a z az zz E >-=)(2. 部分分式法（查表法）已知连续信号)(t e 的拉氏变换)(s E ，将)(s E 展开成部分分式之和，即)()()()(21s E s E s E s E n +++=且每一个部分分式,,2,1,)(n i s E i =都是z 变换表中所对应的标准函数，其z 变换即可查表得出)()()()(21z E z E z E z E n +++=例1-2 已知连续函数的拉氏变换为)1(2)(2++=s s s s E 试求相应的z 变换)(z E 。

自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换附录1. 拉普拉斯变换附录1.1拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。

一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3） 0()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。

式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。

为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2）式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。

同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。

表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。

一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。

单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。

它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。

第一讲 拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。

3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。

4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法 1.2.重点讲解1, 对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。

而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。

2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。

应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式g()g g l a b l a l b +≠+说明取对数的运算显然不满足线性关系。

3, 为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数()f t 在t 时为零。

即原函数应写成0<()1()f t t ⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里()1()f t ⋅t 为()0()1()00f t t f t t t > ⋅=<下面给出()f t 、()1()f t t ⋅、、0()1()f t t t ⋅−00()1(f t t t t )−⋅−、0(f t t )−的函数关系，以说明通常所说“将()f t 延迟t ” 的正确表示。

显然应当是图1-1中的(d) ，不是(c)或(e) 0()1()f t t ⋅0()1()f t t t ⋅−00()1()f t t t t −⋅− (d)(c)(b) (a) (e)图1-1 将()f t 延迟t基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。

例题1-2图1-2 波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。

解 图1-2中的波形可以看成、()1()t t ⋅001(t t t t )−⋅−、t t 01()t 0⋅−这三个信号的代数和，读者可画出这三个信号的波形图以验证下式的正确性。

自动控制原理胥布工拉氏变换
注：本回答是在一般背景下对于自动控制原理中使用的拉氏变换（Laplace Transform）进行解释。

拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于自动控制原理中。

它是将时域的函数转换为复频域的函数的一种变换方法。

在自动控制系统中，通过对系统的输入和输出信号进行拉氏变换，可以更方便地分析系统的稳态性能、动态响应等。

拉氏变换可以将时域的函数f(t)变换为复频域的函数F(s)，其中s为复变量。

拉氏变换的定义如下：
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞](f(t)e^(-st))dt
其中，F(s)表示拉氏变换后的函数，s表示复变量，L{}表示拉氏变换操作符，f(t)表示时域的函数，t表示时间。

在自动控制系统中，常常使用拉氏变换来分析系统的传递函数和频率响应。

传递函数是系统的输出与输入之间的关系，通过拉氏变换可以将微分方程转换为代数方程，更方便地进行分析和设计。

同时，拉氏变换也经常用于求解系统的稳态性能。

通过对系统的输入信号进行拉氏变换，可以得到系统的频率响应，进而分析系统对不同频率的输入信号的响应情况。

总之，拉氏变换是自动控制原理中非常重要的数学工具，通过将时域函数转换为复频域函数，方便了对系统性能的分析和设计。

它在自动控制系统的建模、分析和设计等方面具有广泛的应用。

基于拉氏变换的自动控制原理介绍作者：段宇来源：《艺术科技》2014年第04期摘要：本文通过分析生活中常见的大门开闭控制系统，建立数学模型进行求解，并最终实现控制的过程介绍自动控制的基本原理、思想与实现过程。

关键词：自动控制；大门开闭控制系统；基本原理1 问题的引出随着社会发展与科学进步，人类越来越多的借助机械完成各种劳动活动，在这样的大背景下，如何更好地控制机械达到预想的目的，成为人们需要重点考虑的问题，而这便是控制科学。

控制科学与理论伴随着人类生产力的发展而不断进步，进入21世纪，我们可以随处可见控制理论的应用，无论是在工业，农业，手工业，运输业还是科技国防领域，都离不开控制系统，控制走进了人们的生产生活之中，了解基本的控制理论以及控制概念，对于从事各个行业的人们都是十分必要的。

随着人们生活水平的提高，自动控制技术已经深入到每个家庭的日常生活中，平时人们所使用的家用电器均体现了自动控制原理的用处。

近几十年来计算机的发展使得控制技术有了较大的突破，自动控制所能完成的任务更为困难，所以无论是工程人员、科技工作者，还是在校学生，掌握一定的自动控制原理与基础都是十分必要的。

而在众多控制系统中，大门自动开闭系统是十分常见而且基础的控制系统，通过分析这类控制系统，可以很好地阐述控制的基本原理与实现途径。

2 大门开闭系统分析（1）基本工作原理。

当将开门开关闭合时，在放大器输入端得到了正的偏差电压，经过放大器放大之后，输入给电动机使电动机正转，从而拖动绳轮按照从左向右所视方向的逆时针转动，将大门提起，直至偏差电压为零时，电动机停止转动，此时大门完全打开，关门过程与之类似，每一步结果与之相反。

（2）各元、部件功能。

电桥产生正负偏差电压，开关用于调节正负偏差电压，放大器用于放大偏差电压数值，电动机转动带动绳轮滚动，从而将大门提起或者放下。

从上式看见，当开关输入一个指示后，经一系列的传递函数变换，在大门处会产生高度变化的响应，从而实现大门的自动开闭。