数学实验第二次作业任务常微分方程数值求解

常微分方程的数值解法专业班级：信息软件 姓名：吴中原 学号：120108010002 一、实验目的1、熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序；2、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；通过计算更加了解各种 算法的优越性。

二、实验题目1、根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算；2、试分别取不同步长，考察某节点j x处数值解的误差变化情况； 3、试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常； 4、分析各个算法的优缺点。

三、实验原理与理论基础（一） 欧拉法算法设计对常微分方程初始问题(6-1)(6-2)用数值方法求解时，我们总是认为(6-1)、(6-2)的解存在且唯一。

欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。

从(6-2)式由于y (x 0) = y 0已给定，因而可以算出),()('000y x f x y =。

设x 1 = h 充分小，则近似地有：),()(')()(00001y x f x y hx y x y =≈-(6-3)记 ,n ,,i x y y i i 10 )(== 从而我们可以取),(0001y x hf y y ==作为)(1x y 的近似值。

利用1y 及f (x 1, y 1)又可以算出)(2x y 的近似值：),(1112y x hf y y +=一般地，在任意点()h n x n 11+=+处)(x y 的近似值由下式给出),(1n n n n y x hf y y +=+(6-4)这就是欧拉法的计算公式，h 称为步长。

⎪⎩⎪⎨⎧==)( ),(d d 00y x y y x f x y（二）四阶龙格-库塔法算法设计：欧拉公式可以改写为：()111,i i i i y y k k hf x y +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，它每一步计算(),f x y 的值一次，截断误差为()2o h 。

改进的欧拉公式可以改写为：()()()11212112,,i i i i i i y y k k k hf x y k hf x h y k +⎧=++⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎩，它每一步要计算(),f x y 的值两次，截断误差为()3o h 。

实验报告实验项目名称常微分方程的数值解法实验室数学实验室所属课程名称微分方程数值解实验类型上机实验实验日期2013年3月11日班级10信息与计算科学学号2010119421姓名叶达伟成绩实验概述：【实验目的及要求】运用不同的数值解法来求解具体问题，并通过具体实例来分析比较各种常微分方程的数值解法的精度，为以后求解一般的常微分方程起到借鉴意义。

【实验原理】各种常微分方程的数值解法的原理，包括Euler法，改进Euler法，梯形法，Runge-Kutta方法，线性多步方法等。

【实验环境】（使用的软硬件）Matlab软件实验内容：【实验方案设计】我们分别运用Euler法，改进Euler法，RK方法和Adams隐式方法对同一问题进行求解，将数值解和解析解画在同一图像中，比较数值解的精度大小，得出结论。

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）我们首先来回顾一下原题：对于给定初值问题：1. 求出其解析解并用Matlab画出其图形；2. 采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解（2.16）,并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;3. 采用改进Euler法求解（2.16），步长取为0.5；4. 采用四级Runge-Kutta法求解（2.16），步长取为0.5；5. 采用Adams四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级Runge-Kutta格式确定。

下面，我们分五个步骤来完成这个问题：步骤一，求出（2.16）式的解析解并用Matlab 画出其图形； ，用Matlab 做出函数在上的图像，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015y=exp(1/3 t 3-1.2t)exact solution图一 初值问题的解析解的图像步骤二，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解(2.16),并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;我们采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解，并且将数值解与解析解在一个图中呈现，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Numerical solution of Euler and exact solutionexact solution h=0.5h=0.25图二 Euler 方法的计算结果与解析解的比较从图像中不难看出，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解的误差不尽相同，也就是两种方法的计算精度不同，不妨将两者的绝对误差作图，可以使两种方法的精度更加直观化，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Absolute error of numerical solution and exact solutionh=0.5h=0.25图三 不同步长的Euler 法的计算结果与解析解的绝对误差的比较 从图像中我们不难看出，步长为0.25的Euler 法比步长为0.5的Euler 法的精度更高。

常微分方程数值解实验报告实验报告：常微分方程数值解1.引言常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学领域中一个重要的研究对象，涉及到许多自然科学和工程技术领域的问题。

解常微分方程的数值方法是一种求解差分方程的方法，通过计算机找到方程的近似解，对于模拟和预测连续过程非常有用。

本实验旨在通过数值解法，验证和应用常微分方程的解，并比较不同数值方法的精度和效率。

2.实验目的2.1理解常微分方程的基本概念和数值解法；2.2掌握将常微分方程转化为数值求解问题的基本方法；2.3运用数值解法求解常微分方程；2.4比较不同数值解法的精度和效率。

3.实验内容3.1 欧拉方法（Euler Method）给定一个一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，通过将其离散为差分形式，欧拉方法可以通过以下递推公式来求解：y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)其中，h为步长，x_n和y_n为当前的x和y值。

3.2 改进的欧拉方法（Improved Euler Method）改进的欧拉方法使用欧拉方法的斜率的平均值来估计每一步中的斜率。

具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h,y_n+h*k1)y_{n+1}=y_n+h*((k1+k2)/2)3.3 二阶龙格-库塔法（Second-order Runge-Kutta Method）二阶龙格-库塔法通过计算每个步骤中的两个斜率来估计每个步长中的斜率。

具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h/2,y_n+(h/2)*k1)y_{n+1}=y_n+h*k24.实验步骤4.1选取常微分方程，并将其转化为数值求解问题的形式；4.2根据给定的初始条件和步长，使用欧拉方法、改进的欧拉方法和二阶龙格-库塔法求解该方程；4.3比较三种方法的数值解与理论解的差异，并分析其精度和效率；4.4尝试不同的步长，观察相应的数值解的变化。

实验二微分方程数值解（2学时）
一．实验目的：
掌握欧拉法、四阶龙格库塔法的程序编制方法。

二．实验方法及预习内容：
对微分方程描述的控制系统，利用欧拉法、二阶龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法分别编写M文件，进行数值计算和作图。

三．实验内容：
1．分别用欧拉法、二阶龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法求下面系统的输出响应y(t)在0≤t≤1上，h=0.1时的数值解：
'2,(0)1
y y y
=-=
要求保留4位小数，并将三种方法的结果与真解2
()t
y t e-
=进行比较。

2. 四阶龙格-库塔法求下面系统的输出响应y(t)在2≤t≤3上，h=0.5时的数值解：
2
1(),23,(2)1
y t y t y
'=+-≤≤=
要求保留5位小数，并将结果与真解
1
1
y t
t
=+
-
进行比较。

四．实验总体要求：
1．每次实验应做好实验前的预习和准备；
2．实验后应及时提交仿真程序（M文件与Word文档）、实验结果和图示、实验分析与总结；
3．认真撰写实验报告。

五．本次实验要求：
熟悉微分方程数值解法（欧拉法、二阶与四阶龙格-库塔法）。

第8章常微分方程的数值解法8.4单步法的收敛性与稳定性8.4.1相容性与收敛性上面所介绍的方法都是用离散化的方法，将微分方程初值问题化为差分方程初值问题求解的.这些转化是否合理？即当h →∞时，差分方程是否能无限逼近微分方程，差分方程的解n y 是否能无限逼近微分方程初值问题的准确解()n y x ，这就是相容性与收敛性问题.用单步法(8.3.14)求解初值问题(8.1.1)，即用差分方程初值问题100(,,)()n n n n y y h x y h y x y ϕ+=+⎧⎨=⎩(8.4.1)的解作为问题(8.1.1)的近似解，如果近似是合理的，则应有()()(,(),)0 (0)y x h y x x y x h h hϕ+--→→(8.4.2)其中()y x 为问题(8.1.1)的精确解.因为0()()lim ()(,)h y x h y x y x f x y h→+-'==故由(8.4.2)得lim (,,)(,)h x y h f x y ϕ→=如果增量函数(,(),)x y x h ϕ关于h 连续，则有(,,0)(,)x y f x y ϕ=(8.4.3)定义8.3如果单步法的增量函数(,,)x y h ϕ满足条件(8.4.3)，则称单步法(8.3.14)与初值问题(8.1.1)相容.通常称(8.4.3)为单步法的相容条件.满足相容条件(8.4.3)是可以用单步法求解初值问题(8.1.1)的必要条件.容易验证欧拉法和改进欧拉法均满足相容性条件.一般地，如果单步法有p 阶精度（1p ≥），则其局部截断误差为[]1()()(,(),)()p y x h y x h x y x h O h ϕ++-+=上式两端同除以h ，得()()(,,)()p y x h y x x y h O h hϕ+--=令0h →，如果(,(),)x y x h ϕ连续，则有()(,,0)0y x x y ϕ'-=所以1p ≥的单步法均与问题(8.1.1)相容.由此即得各阶龙格－库塔法与初值问题(8.1.1)相容.定义8.4一种数值方法称为是收敛的，如果对于任意初值0y 及任意固定的(,]x a b ∈，都有lim () ()n h y y x x a nh →==+其中()y x 为初值问题(8.1.1)的精确解.如果我们取消局部化假定，使用某单步法公式，从0x 出发，一步一步地推算到1n x +处的近似值1n y +.若不计各步的舍入误差，而每一步都有局部截断误差，这些局部截断误差的积累就是整体截断误差.定义8.5称111()n n n e y x y +++=-为某数值方法的整体截断误差.其中()y x 为初值问题(8.1.1)的精确解，1n y +为不计舍入误差时用某数值方法从0x 开始，逐步得到的在1n x +处的近似值（不考虑舍入误差的情况下，局部截断误差的积累）.定理8.1设单步法(8.3.14)具有p 阶精度，其增量函数(,,)x y h ϕ关于y 满足利普希茨条件，问题(8.1.1)的初值是精确的，即00()y x y =，则单步法的整体截断误差为111()()p n n n e y x y O h +++=-=证明由已知，(,,)x y h ϕ关于y 满足利普希茨条件，故存在0L >，使得对任意的12,y y 及[,]x a b ∈，00h h <≤，都有1212(,,)(,,)x y h x y h L y y ϕϕ-≤-记1()(,(),)n n n n y y x h x y x h ϕ+=+，因为单步法具有p 阶精度，故存在0M >，使得1111()p n n n R y x y Mh ++++=-≤从而有111111111()()()(,(),)(,,)()(,(),)(,,)n n n n n n n p n n n n n n p n n n n n n e y x y y x y y y Mh y x h x y x h y h x y h Mh y x y h x y x h x y h ϕϕϕϕ+++++++++=-≤-+-≤++--≤+-+-1(1)p nMh hL e +≤++反复递推得11111101110(1)(1)1(1)(1)(1)(1)1(1)p p n n n p n n p n e Mh hL Mh hL e hL hL Mh hL e hL Mh hL e hL+++-+++++⎡⎤≤++++⎣⎦⎡⎤≤+++++++⎣⎦+-≤++因为00()y x y =，即00e =，又(1)n h b a +≤-，于是ln(1)1()(1)(1)b a b a hL n L b a h h hL hL e e --++-+≤+=≤所以()11()p L b a p n M e h e O h L -+⎡⎤≤-=⎣⎦推论设单步法具有p (1p ≥)阶精度，增量函数(,,)x y h ϕ在区域G ：, , 0a x b y h h ≤≤-∞<<+∞≤≤上连续，且关于y 满足利普希茨条件，则单步法是收敛的.当(,)f x y 在区域:,D a x b y ≤≤-∞<<+∞上连续，且关于y 满足利普希茨条件时，改进欧拉法，各阶龙格－库塔法的增量函数(,,)x y h ϕ在区域G 上连续，且关于y 满足利普希茨条件，因而它们都是收敛的.关于单步法收敛的一般结果是：定理8.2设增量函数(,,)x y h ϕ在区域G 上连续，且关于y 满足利普希茨条件，则单步法收敛的充分必要条件是相容性条件(8.4.3).8.4.2稳定性稳定性与收敛性是两个不同的概念，收敛性是在假定每一步计算都准确的前提下，讨论当步长0h →时，方法的整体截断误差是否趋于零的问题.而稳定性则是讨论舍入误差的积累能否对计算结果有严重影响的问题.定义8.6若一种数值方法在节点值n y 上有一个大小为δ的扰动，于以后各节点()m y m n >上产生的偏差均不超过δ，则称该方法是稳定的.我们以欧拉法为例进行讨论.假设由于舍入误差，实际得到的不是n y 而是n n n y y δ=+，其中n δ是误差.由此再计算一步，得到1(,)n n n n y y hf x y +=+把它与不考虑舍入误差的欧拉公式相减，并记111n n n y y δ+++=-，就有[]1(,)(,)1(,)n n n n n n y n nh f x y f x y hf x δδηδ+⎡⎤=+-=+⎣⎦其中y f f y∂=∂.如果满足条件1(,)1y n hf x η+≤，(8.4.4)则从n y 到1n y +的计算，误差是不增的，可以认为计算是稳定的.如果条件(8.4.4)不满足，则每步误差将增大.当0y f >时，显然条件(8.4.4)不可能满足，我们认为问题本身具有先天的不稳定性.当0y f <时，为了满足稳定性要求(8.4.4)，有时h 要很小.一般的，稳定性与方法有关，也与步长h 的大小有关，当然也与方程中的(,)f x y 有关.为简单起见，通常只考虑数值方法用于求解模型方程的稳定性，模型方程为y y λ'=(8.4.5)其中λ为复数.一般的方程可以通过局部线性化转化为模型方程，例如在(,)x y 的邻域(,)(,)(,)()(,)()x y y f x y f x y f x y x x f x y y y '==+-+-+略去高阶项，再作变量替换就得到u u λ'=的形式.对于模型方程(8.4.5)，若Re 0λ>，类似以上分析，可以认为方程是不稳定的.所以我们只考虑Re 0λ<的情形，这时不同的数值方法可能是数值稳定的或者是数值不稳定的.当一个单步法用于试验方程y y λ'=，从n y 计算一步得到1()n n y E h y λ+=(8.4.6)其中()E h λ依赖于所选的方法.因为通过点(,)n n x y 试验方程的解曲线（它满足,()n n y y y x y λ'==）为[]exp ()n n y y x x λ=-，而一个p 阶单步法的局部截断误差在()n n y x y =时有1111()()p n n n T y x y O h ++++=-=，所以有1exp()()()p n n y h E h y O h λλ+-=(8.4.7)这样可以看出()E h λ是h e λ的一个近似值.由(8.4.6)可以看到，若n y 计算中有误差ε，则计算1n y +时将产生误差()E h λε，所以有下面定义.定义8.7如果(8.4.6)式中，()1E h λ<，则称单步法(8.3.14)是绝对稳定的.在复平面上复变量h λ满足()1E h λ<的区域，称为方法(8.3.14)的绝对稳定区域，它与实轴的交称为绝对稳定区间.在上述定义中，规定严格不等式成立，是为了和线性多步法的绝对稳定性定义一致.事实上，()1E h λ=时也可以认为误差不增长.(1)欧拉法的稳定性欧拉法用于模型方程(8.4.5)，得1(1)n n y h y λ+=+，所以有()1E h h λλ=+.所以绝对稳定条件是11h λ+<，它的绝对稳定区域是h λ复平面上以(1,0)-为中心的单位圆，见图8.3.而λ为实数时，绝对稳定区间是(2,0)-.Im()h λRe()h λ2-1-O 图8.3欧拉法的绝对稳定区域(2)梯形公式的稳定性对模型方程，梯形公式的具体表达式为11()2n n n n h y y y y λλ++=++，即11212n nh y y h λλ++=-，所以梯形公式的绝对稳定区域为12112h h λλ+<-.化简得Re()0h λ<，因此梯形公式的绝对稳定区域为h λ平面的左半平面，见图8.4.特别地，当λ为负实数时，对任意的0h >，梯形公式都是稳定的.Im()h λRe()h λO 图8.4梯形公式的绝对稳定区域(3)龙格－库塔法的稳定性与前面的讨论相仿，将龙格－库塔法用于模型方程(8.4.5)，可得二、三、四阶龙格－库塔法的绝对稳定区域分别为211()12h h λλ++<23111()()126h h h λλλ+++<2341111()()()12624h h h h λλλλ++++<当λ为实数时，二、三、四阶显式龙格－库塔法的绝对稳定区域分别为20h λ-<<、2.510h λ-<<、 2.780h λ-<<.例8.5设有初值问题21010101(0)0xy y x x y ⎧'=-≤≤⎪+⎨⎪=⎩用四阶经典龙格－库塔公式求解时，从绝对稳定性考虑，对步长h 有何限制？解对于所给的微分方程有2100,(010)1f x x y xλ∂==-<≤≤∂+在区间[0,10]上，有201010max ||max51t x x λ<<==+由于四阶经典龙格－库塔公式的绝对稳定区间为 2.7850h λ-<<，则步长h 应满足00.557h <<.。

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称常微分方程数值解
所属课程名称数值方法B
实验类型验证
实验日期2013.11.11
班级
学号
姓名
成绩
图1 h=0.1时三个方法走势图
图2 h=0.05时三个方法走势图
图4 h=0.05时三个方法走势图
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。

数值分析中的常微分方程数值求解常微分方程是自然科学中一类最为普遍的数学模型，涉及到热力学、物理、化工等多个领域。

然而，解常微分方程并非易事。

尤其是当我们面对一些复杂、非线性、多维的方程组时，常微分方程数值求解成为了一个十分关键的问题。

因此，数值求解方法成为了常微分方程研究中的重要组成部分。

本文将介绍一些数值解常微分方程的常见方法和应用。

1. 一般线性方法一般线性方法（general linear methods）是经典的常微分方程数值解法之一。

它以一种特殊的形式给出步进公式：$$ y_{n+1}=\sum_{i=0}^{s-1}\alpha_i y_{n-i}+h\sum_{i=0}^{s-1}\beta_i f(t_{n-i},y_{n-i}) $$ 其中，$y_{n}$为第$n$步的项值，$f(t_n,y_n)$为时间$t_n$处函数$y(t)$的导数。

$\alpha_i$和$\beta_i$是常数，可以通过确定如下特征方程来选择：$$ \sum_{i=0}^{s-1}\alpha_i\ lambda^{i}=0,~(\lambda\in C) $$ 与此同时，也可以通过选择$\beta_i$来使方法达到一定的准确性和稳定性。

2. Runge-Kutta方法比一般线性方法更为流行的方法是Runge-Kutta方法。

通常附加一个或多个修正以获得更好的数值稳定性和误差控制。

第1阶Runge-Kutta方法仅使用导数$f(t_n,y_n)$估算下一个项的值：$$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$ 许多高阶方法可以使用中间的“插值”来更准确地估计下一个步骤：$$y_{n+1}=y_n+h\sum_{i=1}^kb_ik_i$$$$k_i=f(t_n+c_ih,y_n+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_j)$$ $k_i$是第$i$台车的估计值，$a_{ij}$和$b_i$在经典Runge-Kutta方法和其他变体中具有不同的取值。

实验2 常微分方程数值解法实验目的与要求1）熟悉求解常微分方程初值问题的有关方法和理论，主要是改进 欧拉法和四阶龙格库塔法2）会编制改进欧拉法的计算程序；3）针对实验内容编制的程序能够正确调试并运行所需结果实验内容：请用改进欧拉法和四阶龙格库塔算法解算法介绍 1、改进欧拉算法概要 20011112111205(0)2(,)()(,)[(,)(,)](,)[(,)(b an i i i i hi i i i i i i i i i h i i i i i y xy x y y f x y a x b y x y y y hf x y y y f x y f x y y y hf x y y y f x y f x 解一阶常微分方程初值问题将区间[a,b]作n 等分，取步长h=欧拉公式为梯形公式为改进欧拉法的公式为-+++++++ì¢ï=-＃ïíï=ïîì¢=＃ïïíï=ïî=+=++=+=++111,)](,)(,)1()2i p i i i c i i i i p c y y y hf x y y y hf x y y y y 或表示为+++ìïïíïïîìïïï=+ïïï=+íïïïï=+ïïî2、龙格库塔算法概要算法函数示例：void ModEuler(float(*f)(float,float),float x0,float y0,float xn,int n){int i;float yp,yc,x=x0,y=y0,h=(xn-x0)/n;printf("x[0]=%f\ty[0]=%f\n",x,y);for(i=1;i<=n;i++){yp=y+h*(*f)(x,y);x=x0+i*h;yc=y+h*(*f)(x,yp);y=(yp+yc)/2;printf("x[%d]=%f\ty[%d]=%f\n",i,x,i,y);}}void Runge_Kutta(float(*f)(float x,float y),float a,float b,float y0,int n){float x=a,y=y0,K1,K2,K3,K4;float h=(b-a)/N;int i;printf("x[0]=%f\ty[0]=%f\n",x,y);for(i=1;i<=n;i++){K1=(*f)(x,y);K2=(*f)(x+h/2,y+h*K1/2);K3=(*f)(x+h/2,y+h*K2/2);K4=(*f)(x+h,y+h*K3);上各个节点初的近似值，在区间出发，可得未知函数，由初值取步长为库塔公式常用的四阶龙格对于初值问题：][a )(),()2,2()2,2(),()22(6)(...........).........,(034231214321100'b x y y h hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y y x y b x a y x f y i i i i i i i i i i ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=-⎩⎨⎧=≤≤=+y=y+h*(K1+2*K2+2K3+K4)/6;x=a+i*h;printf("x[%d]=%f\ty[%d]=%f\n",i,x,i,y); }}。

常微分方程的数值解法实验报告实验报告：常微分方程的数值解法摘要：常微分方程（ODE）是描述动力学系统中物理量随时间变化的数学方程，广泛应用于自然科学和工程领域。

然而，对于一些复杂的非线性ODE，很难找到解析解。

因此，我们需要数值解法来求解这些方程。

本实验报告将介绍四种常见的常微分方程数值解法，分别是欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法和自适应步长的龙格-库塔法，并通过数值实验比较它们的精度和效率。

1.引言在实际问题中，许多物理量的变化规律可以由常微分方程描述。

然而，对于复杂的非线性ODE，很难找到解析解。

因此，为了解决这类问题，我们需要借助数值方法来求解。

2.方法本实验采用四种常见的常微分方程数值解法：欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法和自适应步长的龙格-库塔法。

（1）欧拉法是最简单的数值解法，通过将微分方程转化为差分方程，使用离散的步长来近似微分方程。

（2）改进的欧拉法在欧拉法的基础上进行了改进，使用预估-校正的方法来提高精度。

（3）四阶龙格-库塔法是一种经典的数值解法，通过利用不同步长处的斜率来近似微分方程，具有较高的精度。

（4）自适应步长的龙格-库塔法是在四阶龙格-库塔法的基础上改进而来的，根据步长的大小自适应地选择不同的步长，同时保证精度和效率。

3.实验设计为了比较这四种数值解法的精度和效率，我们设计了两个实验。

实验一是求解一阶常微分方程：dy/dx = -2x，初始条件y(0) = 1，解析解为y = 1 - x^2、实验二是求解二阶常微分方程：d^2y/dx^2 + y = 0，初始条件y(0) = 0，dy/dx(0) = 1，解析解为y = sin(x)。

4.结果与分析实验一中，比较四种数值解法在不同步长下的近似解和解析解，计算其误差。

实验结果表明，四阶龙格-库塔法和自适应步长的龙格-库塔法具有较高的精度，而欧拉法和改进的欧拉法的精度较低。

实验二中，我们比较四种数值解法在不同步长下的近似解和解析解，并计算其误差。

琼州学院实验报告课程名称：__________ ___开课学期：____ ______院（部）:__理工学院_________开课实验室：________ __学生姓名:__梁小叶_______ __专业班级:________ __学号:__________常微分方程数值解---实验报告一 实验目的： 1．掌握用MATLAB 求微分方程初值问题数值解的方法；2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题；3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。

二 实验内容:用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较22'2,(1)(01),322;(0)1',(2)(010).(0)0(0)1x y y x x y e x y y x y x y y =+⎧≤≤=--⎨=⎩⎧=-≤≤⎨==⎩精确解或三 问题分析：怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？【程序如下】:function f=f(x,y)f=y+2*x;clc;clear;a=0;b=1; %求解区间[x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解；%% 以下利用Euler 方法求解y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N;x=a:h:b;for i=1:Ny(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));endfigure(1)plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图title('数值解与真解图');legend('RK4','Euler','真解');xlabel('x');ylabel('y');figure(2)plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差title('龙格库塔方法的误差')xlabel('x');ylabel('Error');figure(3)plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler 方法的误差title('Euler 方法的误差')xlabel('x');ylabel('Error');【运行结果如下】：5总结体会：自己写了哦。

实验二 常微分方程数值解一、火箭飞行器㈠问题描述小型火箭初始质量为1400kg ，其中包括1080kg 燃料，火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s ，由此产生32000N 的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭，设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m ，求引擎关闭瞬间火箭的高度，速度，加速度及火箭达到最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。

㈡方法与公式1、简要分析本题的求解需要用到常微分方程，而整个过程又被分为两个阶段：火箭加速上升阶段和燃料燃尽后减速的阶段。

由题目易知第一个阶段持续时间T 1=108018=60s 列出第一阶段的方程组：设M0为火箭本身质量，m 为燃料质量，g 为重力加速度 = 9.8m/s 2,燃料燃烧率为a ，空气阻力的比例系数为k ，F 为推进力。

M0 = 1400-1080 = 320kg; v̇=F−kv 2−(M0+m )g M0+mm =−a初值v̇=0，m =1080。

由以上各式可以求出t=T 1时火箭的速度。

再求解第二阶段：v̇=−kv 2−M0g M0m =0可以求出火箭速度降为0的时刻。

将整个过程中的时间向量以及速度向量联合起来，利用第三章所学插值与数值积分的方法可以求得任意时刻火箭的近似高度。

2、方法求解常微分方程时，我分别采用了自己编写的欧拉公式、改进欧拉公式、4级4阶龙格-库塔公式，以及MATLAB自带的龙格-库塔方法，求解数值积分时采用辛普森公式。

由于Matlab自带的Simpson公式是自适应的，因此需要使用自己在上一次实验时所编的Simpson公式。

㈢结果与分析1、各种公式的对比首先，我作出了各种不同公式计算得到的火箭速度随时间变化的图像，图如下：从图中可以看出，各种公式计算得到的结果基本一致，为确定其区别，将图像放大，放大约2000 倍后，得到下图：分析：从图中可以看出，自编欧拉公式距离MATLAB 自带龙格-库塔公式最远，精度最差；自编的改进欧拉公式和自编的龙格-库塔公式结果基本一致，两者中自编龙格-库塔公式距MATLAB 自带龙格-库塔公式的结果稍近。

数学实验第⼆次作业任务常微分⽅程数值求解实验4常微分⽅程数值解实验⽬的：1.练习数值积分的计算；2.掌握⽤MATLAB软件求微分⽅程初值问题数值解的⽅法；3.通过实例学习⽤微分⽅程模型解决简化的实际问题；4.了解欧拉⽅法和龙格——库塔⽅法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。

实验内容：3.⼩型⽕箭初始质量为1400kg，其中包括1080kg燃料，⽕箭竖直向上发射是燃料燃烧率为18kg/s，由此产⽣32000N的推⼒，⽕箭引擎在燃料⽤尽时关闭。

设⽕箭上升是空⽓阻⼒正⽐于速度的平⽅，⽐例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间⽕箭的⾼度，速度，加速度，及⽕箭到达最⾼点是的⾼度，速度和加速度，并画出⾼度，速度，加速度随时间变化的图形。

解答如下：这是⼀个典型的⽜顿第⼆定律问题，分析⽕箭受⼒情况；先规定向上受⼒为正数建⽴数学模型：A燃料未燃尽前，在任意时刻（t<60s）⽕箭受到向上的-F=32000N，向下的重⼒G=mg，g=9.8，向下的阻⼒f=kv^2, k=0.4, v表⽰此时⽕箭速度；此时⽕箭收到的合⼒为F1=（F-mg-f）；⽕箭的初始质量为1400kg，燃料燃烧率为-18kg/s;此刻⽕箭质量为m=1400-18*t根据⽜顿第⼆定律知，加速度a=F1/m=(F-mg-f)/(m-r*t)=(32000-(0.4.*v.^2)-9.8.*(1400-18.*t))由此可利⽤龙格-库塔⽅法来实现，程序实现如下Function [dx]=rocket[t,x] %建⽴名为rocket的⽅程m=1400;k=0.4;r=-18;g=9.8; %给出题⽬提供的常数值dx=[x(2);(32000-(k*x(2)^2)-g*(m+r*t))/(m+r*t)];%以向量的形式建⽴⽅程[a]=(32000-(k*x(2)^2)-g*(m+r*t))/(m+r*t); %给出a的表达式End;ts=0:60; %根据题⽬给定燃烧率计算出燃料燃尽的时间，确定终点x0=[0,0]; %输⼊x的初始值[t,x]=ode15s(@rocket,ts,x0); %调⽤ode15s计算[t,x];h=x(:,1);v=x(:,2);plot(t,x(:,1)),grid; %绘出⽕箭⾼度与时间的关系曲线title('h-t');xlabel('t/s');ylabel('h/m'),pause;plot(t,x(:,2)),grid ; %绘出⽕箭速度与时间的曲线关系title('v-t');xlabel('t/s');ylabel('v/m/s'),pause;a=(32000-(0.4.*v.^2)-9.8.*(1400-18.*t))/(1400-18.*t);plot(t,a),grid; %绘出⽕箭加速度与时间的曲线关系title('a-t'); xlabel('t/s'),ylabel('a/m^2/s'),pause⽕箭⾼度随时间变化的曲线⽕箭速度随时间变化的曲线⽕箭加速度随时间变化的曲线数据过多，故截取部分如下第⼀列为时间，第⼆列为⽕箭⾼度，第三列为⽕箭速度由此可以，在t=60s时，即⽕箭燃料燃尽瞬间，引擎关闭瞬间，⽕箭将到达12912m的⾼度，速度为267,29m，加速度a=0.9m/s^2B燃料燃尽之后，与A 类似，分析受⼒如下⽕箭受到向上的F=0向下的重⼒G=mg，g=9.8，向下的阻⼒f=kv^2, k=0.4, v表⽰此时⽕箭速度；此时⽕箭收到的合⼒为F2=（-mg-f）；⽕箭的初始质量为320kg，恒定根据⽜顿第⼆定律,加速度a=F2/m=-g-0.4v^2/320;程序实现如下function [ dx ] = rocket2( t,x ) %建⽴以rocket2为名的函数dx=[x(2);-9.8-0.4.*x(2).^2/320]; %以向量的形式建⽴⽅程ts=60:120; %给出初始时刻，估计终点时刻x0=[12190,267.26]; %给出x初始值[t,x]=ode15s(@rocket2,ts,x0); %调⽤ode15s计算[t,x]plot(t,x(:,1)),grid; %绘出⽕箭⾼度随时间变化的曲线title('h-t');xlabel('t/s'),ylabel('h/m'),pause;plot(t,x(:,2)),grid; %绘出⽕箭速度随时间的变化曲线title('v-t');xlabel('t/s'),ylabel('v/m/s'),pause;v=x(:,2);a=-9.8-0.4*v.^2/320; %给出加速度的具体表达式plot(t,a),grid; %绘出⽕箭加速度随时间变化的曲线title('a-t'); xlabel('t/s'),ylabel('a/m^2/s'),pause得到的曲线图形如下⽕箭⾼度随时间的变化曲线从图中可以⼤致看出，最⾼点在13km左右，⽕箭速度随时间的变化曲线加速度随时间变化曲线如下数据表格⼤致如下从图表中可以看出，在71s左右速度到达0，即此时到达最⾼处，⾼度为13117m加速度为-9.8m/m/s^2;本题总结：这道题是典型的物理⽜顿⼒学的题⽬，通过受⼒的正确分析，可以知道，以[h,v]为向量建⽴微分⽅程即可求解，h的微分是速度v，速度v的微分是加速度a解题过程中存在的难点是：取值步长不太容易确定，⽽且是哪种算法不确定，先⽤ode15s速度较快，ode23s速度差不太多，其他两种速度较慢，等待时间较长5．⼀只⼩船渡过宽为d 的河流，⽬标是起点A 正对着的另⼀岸B 点。