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张量分析课件-2.4 二阶张量的标准形

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张量分析

张量分析

eijk有27个量，其中 个不为零。其标号中，每相 个量， 个不为零。 个量 其中6个不为零 其标号中， 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。位置变 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 它将改变正负号。 它将改变正负号。如
AB BA [C ij ] = [C ij ]T
r r 则有(板书演示 板书演示) 因为 eiA ⋅ e jA = δ ij ，则有 板书演示
AB BA C ik C kj = δ ij
或
AB BA [C ij ][C ij ] = [ I ]
BA 根据 [C ijAB ] = [C ij ]T ，可见
r r r ei × e j = eijk ek
12:17
16
r r r r r A × B = Ai ei × B j e j = Ai B j eijk ek
eijk = −ejik r r r r A× B = −B × A
易证
r r r ei ⋅ (e j × ek ) = eijk
上式亦可作为e 的定义。 上式亦可作为 ijk的定义。
aij b j = aik bk
ϕ ,i dxi = ϕ ,k dxk
12:17
7
如果标号不是字母，而是数字， 如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约 定，如
σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ x + σ y + σ z(求和约定 求和约定) 求和约定
不求和) 其中 σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ z (不求和 不求和 另外 (σ x + σ y + σ z )(σ x + σ y + σ z ) 应写成 σ iiσ jj ，不 因为后者的标号重复了4次 能写作σ iiσ ii，因为后者的标号重复了 次。 两矢量的点乘积应写成 r r r r A ⋅ B = Ai ei ⋅ B j e j

张量基础知识

张量基础知识
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：

第2章二阶张量

第2章二阶张量

+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]

张量分解学习PPT课件

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.
26
CP分解
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到
下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a1ob 1oc2a1ob2oc1a2ob 1oc1
纤维：x i j :
.
6
基本概念及记号
切片（slice）
水平切片：X i : :
侧面切片：X : j :
正面切片：X ::k ( X k )
.
7
基本概念及记号
内积和范数
◦ 设 X,Y¡I1× I2× L× IN
内积：
I1 I2
IN
X,Y
L x y i1i2LiN i1i2LiN
i11i21 iN1
R
X§A,B,C¨arobrocr r1
X
c1 b 1
c2 b2
L
cR b R
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
.
20
CP分解
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a 1 a2 LaR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X (1) A C e B T X (2) B C e A T X (3) C B e A T
◦ 对于高阶张量，有
X ┈ λ ;A (1 ),A (2 ),L ,A (N ) Rra ( r 1 )o a ( r 2 )o L o a ( r N ) r 1
其展开形式为
X ( n ) A ( n ) d i a g ( λ ) A ( N ) e L e A ( n 1 ) e A ( n 1 ) e L e A ( 1 )T

2019-【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间-PPT精品文档-文档资料

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4
r2 3 a 2 b1 2 1
b2 b3 r3 a3
( 1 t ) ( 3 , 1 ) t ( 4 , 1 ) 0 t 1 , t F ： r 1 与 r 2 ：(取 sb b ) a b ( 1 t ) ( a s ) t ( b s )a t b 2 2 1 1 ( 1 t ) ( 2 1 . 65 , 2 . 3 0 ) t ( 1 1 . 65 , 2 2 . 3 )a t b ( 0 . 35 t , 2 . 3 2 t )a t b ( 0 . 35 t , 2 . 3 2 t ) ( 0 . 65 , 4 . 3 ) 当 t b 时： ( 0 . 35 t , 2 . 3 2 t ) ( 0 , 3 ) 当 t a 时： .35 b 1 。显然由（1.1-7）式可知 r 1∥r 2 ，但 由此可得 a0 ， 0 . 3 5 0 由（1.2-1）式可知 r1 和 r 2 不等价（因为 a ）。
确定的矢量 u x x y 所构成的一类矢量，称为矢量 y的等价类。V 0 中所有矢量按（1.2-1）所构成 的等价类的集合称为自由矢量集合。记为 V 0 。 应当注意的是自由矢量的集合中的一个元素是 一类按平行性等价的约束矢量，而不是一个矢 量。
r1 ： ( 1 t ) ( 2 , 0 ) t ( 1 , 2 ) 0 t 1 , t F
定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算：
x ( xxxx ,, ) ( ,, )(,, x x )
1 n 1 n 1 n
x y ( x y ,x y ) ( zz , n ) z 1 1 n n 1

数学张量分析PPT课件

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x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知

第2章 二阶张量

第2章 二阶张量

111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]

2.4二阶张量的标准形

2.4二阶张量的标准形
l1 0 0 1 0 0 l1


T
i j
l1
0
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l 1 Σ l 0 0
1
1
l
l1 0
1 l l 1 0
T λ1 g 1 g g 1 λ1 g 2 g g 2 λ1 g 3 g
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g g3 g2 g1 T·1=l1g1 g T·2=l2g2 g
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
1
l 2 l i
2 3
1 2 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g
g3
g2 g1
T·2=l1g2 g
T·1=l1g1 g
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0 l l1 0 0 J 1 l 3 0 1
主分量为
P1 P2 P3 1 3 J1
则
P
1 3
J 1G
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N·3=N3a3 a
ei ai ai ai ai
2
a3
a2 a1 N·1=N1a1 a N·2=N2a2 a
N
a

【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析

【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
| x x0 |
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。

张量分析课件

张量分析课件

P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.

第二章 二阶张量

第二章 二阶张量

第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。

张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量

张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量
3 J1 T 11 T 2 T 2 3
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2

2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3

3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中来自J trT T 1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i
1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2

二阶张量的定义

二阶张量的定义

二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。

在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。

本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。

我们来定义二阶张量。

在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。

一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。

这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。

这些分量可以对应于矩阵的四个元素。

二阶张量的分量具有特定的变换规律。

当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。

具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。

这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。

二阶张量具有一些重要的性质。

首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。

其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。

这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。

在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。

在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。

通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。

此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。

二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。

总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。

二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。

第 2 章 二阶张量

第 2 章 二阶张量
a1 ⋅ N ⋅ a2 − a2 ⋅ N ⋅ a1 = (λ2 − λ1 )a1 ⋅ a2 = 0 ⇒ a1 ⋅ a2 = 0
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j

第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件

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• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量：N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量：N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能 用加法分解，而要用乘法分解。
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
可证： Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )

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(T
)
T
3
J1T T
2
J
T 2
T
J
T 3
G
O
由于
T3
J1TT 2
J
T 2
T
J
T 3
G
，T
n
均可用
T 2 来表达。
也就是说，H f (T ) f (T 2 ,T ,G) k0G k1T k2T 2
ki ki
J1T
,
J
T 2
,
J3T
H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。
二阶张量的二阶张量函数
➢ 经典《解析几何》中，解析地描述一个几何图形 的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不 动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思 想：坐标不动，图形移动。
➢ 注意：运动学思想之重要！
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形，一个矢量 u 。研究两种相
对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量
通过正交变换，使 X i X i
从而使 f ( Xi ), (i 1, 2, , n)
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数 例子请见《张量分析》的92 ~ 93页。
矢量的标量函数
• Cauchy基本表示定理： 矢量 vi (i 1, 2, , m) 的标量函数 f (vi ) 为各向同性 f 可表示为内积 vi v j (i 1, 2, , m) 的函数。
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系

张量ppt

张量ppt

示多重求和。
例如：
33
aij xi xj
aij xi x j
i1 j1
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，
一般应加求和号。如：
3
a 1b1c1 a 2b2c2 a 3b3c3 aibici i 1
24
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
aibi aici
bi ci
两边消去ai导得
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d xj d xi d xi d xj d xj
即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而 自动消失。
29
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
符号ij 与erst
➢ 常用实例
1. 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。 它具有如下重要性质：
✓ 每个基矢量的模为1，即 ei e j 1 (当i＝j时) ✓ 不同基矢量互相正交，即 ei e j 0 (当i≠j时)
上述两个性质可以用ij 表示统一形式：
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i1
Appendix A.1
张量基本概念
➢求和约定
如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次， 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。 该重复的指标称为哑指标，简称哑标。
3
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张量分析

张量分析
得
6a air aisait eijkerst
11:11
22
1.6 余弦变换矩阵

A A 设 ei 及 e j 分别为笛卡尔系，则 A B AB AB ei e j cosij : Cij A A AB ij 为 ei 与 e j 间的夹角。表为“定义为”；
AB 共九个分量。于是有 Cij A AB B ei C ij e j B BA A ei C ij e j
AB ij 2
AB det[Cij ] 1
11:11
25
r ( x j e j ) ji e j ei xi xi
AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为正常(或正向)正交矩阵； AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为非正常(或负向)正交矩阵。
(续)
1.9 二阶基矢及其坐标变换
1.10 二阶张量——不变量
1.11 张量的记法
11:11
4
1.1 字母标号

为了书写简洁，便于采用求和约定，在张量记法 中均采用字母标号，即将某一物理量的所有分量 用同一个字母表示，并用标号(指标)区别其中的 各个分量。例如
将 x,
y, z写成x1, x2, x3, 用xi(i=1, 2, 3)表示； i , j , k e , e , e , 用 ei ( i 1,2,3) 表示； 1 2 3

11:11
9

下列方程组
a11 x a12 y a13 z b1 a21 x a22 y a23 z b2 a31 x a32 y a33 z b3
aij x j bi
同一方程中，不能任意改变其中一项或部分项的 自由标号；若有必要，须将各项的自由标号同时 改变。
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T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T· g3=l3g3 g3 T· g2=l1g2 g2 g1 T· g1=l1g1
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l 经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0
即
T
i j
T 11 T 12 0 2 2 T 1 T 2 0 3 3 T 3 T T 2 3 1
进一步，依据特征方程根的性质，选择g1，g2，将T 化为某 种形式的标准形（不一定是对角标准形）。
2.4.2.1
特征方程无重根的情况
（1）特征方程具有3个不等的实根——l1,l2亦为实根。 3个不等的实根分别对应3个线性无关的特征矢量g1，
l l ij T i j
的初等因子决定。当矩阵 l的初等因子都是简单的 （即一次的）式时， l经过初等变换可以化为对交标 准形；当矩阵 l的初等因子不全是简单的（即有高于 一次的初等因子）时， l化为几个约当块按对角排 列构成的标准形。 无论哪一种情况，当特征方程有重根时，特征方向 都不唯一。


T
i j
l1 0 0
1
l1
0
0 0 l1
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l1 Σ l 0 0 1 l l1 0 0 1 l l1
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g 2 g2 λ1 g3 g 3
张量分析 及连续介质力学
2.4 二阶张量的标准形
例：已知一点的应力（应变）状态， 求主应力（或主应变）。 求二阶张量的标准形问题：相当于在矩阵代数学中，通 过初等变换将一个矩阵化为标准形与求特征值的问题。
2.4.1
实对称二阶张量的标准形
总可以化为对角型标准形且主方向互相正交。 2.4.1.1 基本概念
2. 特征方程具有三重根（l1l2l3）
（1）具有3个全为1次的初等因子（l－l1）
l l1 Σ l 0 0 0 l l1 0 l l1 0 0
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g 2 λ1 g3 g 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l1
（2）具有初等因子(l－l1)2， (l－l1)
l l1 Σ l 0 0 1 l l1 0 l l1 0 0
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g 2 λ1 g3 g 3
由于T 的分量、从而其不变量是实数，故特征方程是一个 实系数方程，它必定有一个实根，记作l3。设l3对应的特 征矢量为g3，则
T g3 l3 g3
任选与g3 线性无关的矢量g1，g2，与g3 构成一组基矢量，则
1 2 2 T T 11 g1 g1 T 12 g1 g 2 T 2 g g T g g 1 2 2 2 1 3 2 3 3 T3 g g T g g T g g 1 3 2 3 3 3
T
i j
l 0

l
0
0 0 l3
g'1
T· g'3=l3g'3 T· g'2 g'3 g'2 g'1
lg'2
T· g'1
g'2
l1g'1
2.4.2.2
特征方程有重根的情况
由于实系数方程的复根必须成对出现，所以对于T 的特征方程有重根的情况，无论有二重根或三重根，它 们都应是实根。此时，T 一般可化为约当（Jordan）标 准形，这由T 的特征矩阵
2
初等因子全简单
2 3 2 T 2 3 2 l1 l3 2 1 2 T 2 0,

T 12 0,

22为任意
22T 12 1,
3
初等因子非全简单

T
1 2
0,


2 2
1 T
1 2
1 2 为任意，所以 g2不唯一。



Nij l ij ii jj Ni j
2.4.2
非对称二阶张量的标准形
不一定能化为对角型标准形且主方向不正交。
设a，l 分别为T 的特征矢量和特征值，则
即 特征方程
l
T a la
i j
Tij a j 0
3 T 1 2 T 2 T 3

l l J l J l J 0




T
i j
l1 0 0
1
l1
0
0 1 l1
l 0
i j i i

及
N
i j
l 0
i j j i

ii 或ij 有非零解得条件是
l det l ij Ni j 0
解得l 的三个根，便可求出对应的 ii 或ij 及相应的坐标 i x i的方向，即 N i 取驻值的方向。由此可得
N a la
i j j
i
l det l
i j
l
Ni j a j 0
i j
Ni j 0

l l3 J1N l2 J 2N l J 3N
特征方程的解：特征根
齐次方程组的非零解矢量：特征矢量
2.4.1.3
实对称二阶张量的特征根必为实根
2.4.1.6
主分量是当坐标变换时N 的混合分量对交元素之驻值 条件极值问题
max .or min. st.
N ii ii ij N i j
ii ii 1
引入拉格朗日乘子l ,求无条件极值问题
max .or min.
N l ij ij 1
i i j i i j i i
取极值得必要条件是 d=0，即
N
i j
l ij iidij ij dii 0


N
N
i j
i j
l ij iidij ij dii 0


由 dij , dii 的任意性得
可令
g1 g2 g1 g 2 i g1 g2
g3 g3
, g 在 g1 2 , g 3 构成的坐标系中，T 可以化为实数形式的标
准形
3 2 3 g T lg1 g g l g g l g g 2 1 2 3 3
l l1 0 0 J1 l3 0
1 l l1 0
l l3 0 0
式中Jn(li)称为对应于特征根li的n阶约当块。T 可以化为约 当标准形
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g 2 g1g 2 λ3 g3 g 3
定义 对于一个实对称二阶张量
N Ni j gi g j
（gi 是初始坐标系的基矢量），必定存在一组正交标准化基 e1，e2，e3，在这组基中，N 化为对角标准形
N N1e1e1 N 2e2e2 N3e3e3
其对应的矩阵是对角形的，即
N1 N 0 0
0 N2 0
0 0 N3
1 P1 P2 P3 J1 3
则
1 P J1G 3
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N· a3=N3a3
ei
ai ai

ai ai2
a1
a3
a2 N· a2=N2a2
N· a1=N1a1
N
a
1
N1
2
a1 a1
a
2
N2
2
a2 a2
a
3
N3
2
a3 a3
i g2 2 gi
g1 g1
g3 g3
在 g1 , g 2 , g3 为基矢量的坐标系内
2 3 T λ1 g1 g1 T 12 g1 λ1 g2 T 3 g g λ g g 2 3 3 3


T
i j
l1 0 0
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为 一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
l2 l i
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g 2 λ3 g3 g 3
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
式中，与l1,l2 对应的特征矢量g1，g2涉及复数。为了将T 表示成某种实数形式的标准形（不一定是对角标准形），
g2，g3，它们可构成一组基矢量（反证法）。在此坐标 系中，T 可化为对角标准形
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g 2 λ3 g3 g 3
l1 0 0 0 0 0 l3
T· g3=l3g3 g3 T· g2=l2g2 g2 g1
T
i j
l2
0
T· g1=l1g1
反证法（略） 2.4.1.4 实对称二阶张量主方向的正交性
（1）若l1＞l2＞l3,则a1，a2，a3 唯一且互相正交。 （2）若l1=l2≠l3,则a3及任意的a1，a2 a3 为主方向。在 a3的平面内，任取互相垂直的a1，a2 为其中的二个主方向。 （3）若l1=l2=l3,则在空间任一组正交标准化基中N 都化为 对角标准形，称这种张量为球形张量，记作P。球形张量的 主分量为