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20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 20X X X X -20X X X X -3得分 适用专业 理工各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 20XXXX0分钟可带计算器 一． 填空题（每空3分，共30分） 1．差分方程是解决实际问题的主要数学工具，请列举3个本课程已介绍的差分方程模型 。
2．考虑抢渡长江问题。
假设江两岸是一组平行直线，江面宽为H ，终点在起点下游江对岸的L 处，水流速度及游泳速度分别为常数,v u ，游泳偏角θ（,u v 夹角）保持不变。
则能够成功到达对岸的必要条件为 。
如果800,1000,2/,90L m H m v m s θ====，则最小的u 值为 。
3．已知11A=13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1A (mod19)-= 。
4．考虑微分方程0.25(1)(0)0.2dx x x dt x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，该方程的解为 。
解曲线变化率最大的时刻为 。
5．考虑差分方程组11000.80.250.20.751200,2400n n n n n n x x y y x y x y ++=+⎧⎪=+⎨⎪==⎩， 其平衡点为 。
6 已知Leslie 矩阵 01 1.80000.40L s ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
如果该种群不仅结构稳定，而且总数始终保持不变，则s = ，年学号 姓名 密 封 线 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效龄结构向量为。
7．已知非线性差分方程21(12)(0)n n n x bx x b +=->的正平衡点是稳定的，则b 的取值范围为 。
二 。
简述与分析（20XXXX 分）（1）简述无差别曲线的两个主要特征。
（2）考虑如下形式的方程族 1/21/22(,)(34)f x y x y c =+=。
判别其是否满足无差别曲线的特征。
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 2010-2011-2 得分 适用专业 各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 （考试可带计算器） 所有数值结果精度要求为保留小数点后两位 一．填空题：（每题2分，共10分） 1. 用Matlab 做AHP 数学实验，常用的命令有 ， 等等。
2. 矩阵A 关于模36可逆的充要条件是： 。
3. 泛函332230()()2()3J x x t t x t t dt ⎡⎤=++⎣⎦⎰&取极值的必要条件为 。
4. 请补充一致矩阵缺失的元素136A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
5. 请列出本人提交的上机实验内容（标题即可） 。
二．选择题：（每题2分，共10分） 1. 在下列Leslie 矩阵中，能保证主特征值唯一的是 ( ) A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； B. 0 1.200.10000.30⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C. 0070.30000.10⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都对 2. 下列论述正确的是 （ ） A.判断矩阵一定是一致矩阵 B.正互反矩阵一定是判断矩阵 C.能通过一致性检验的矩阵是一致矩阵 D.一致矩阵一定能通过一致性检验 3. n 阶Leslie 矩阵有 个零元素。
（ ）A.不超过2(1)n -；B.不少于2(1)n -；C.恰好2(1)n -；D.恰好21n -4. Matlab 软件内置命令不可以 （ ）A.求矩阵的主特征值B. 做曲线拟合;C. 求解整数线性规划D. 求样条插值函数5. 关于等周问题，下面的描述不正确的有 （ ）A.目标泛函可以表示为最简泛函；B.条件泛函为最简泛函；C.条件泛函取值为常数；D. 函数在区间两个端点处可以取任意值三．判断题（每题2分，共10分）1. 马氏链模型中，矩阵一定有特征值1。
（ ）2. 插值函数不要求通过样本数据点。
个人资料整理仅限学习使用2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式<包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人<包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们参赛选择的题号是<从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为<如果赛区设置报名号的话）：所属学校<请填写完整的全名）：成都理工大学参赛队员(打印并签名> ：1.苏建龙2.黄雯丽3.傅戈平指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名>：白林日期：2009年9月13日赛区评阅编号<由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号<由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号<由全国组委会评阅前进行编号）： 制动器实验台的控制方法分析摘要：本文通过对车辆制动系统研究中台试及路试过程中各特征量之间的相关物理特性分析，以能量守恒思想为主导，分别建立了描述台试及路试过程车辆速度及能量变化规律的数学模型，在保证车辆制动实际物理过程精确模拟再现的原则下，以两过程速度变化时刻一致及制动力时刻对等为约束，实现两过程的统一，从而展开对补偿电流和离散可观测量之间关系的研究。
问题一：对于台试模拟过程的分析，需要将车辆系统在制动前平动动能等效转化为实验台上飞轮及转轴等机构转动时具有的转动动能，与此能量相对应的转动惯量被称为等效转动惯量。
因此，我们建立车辆平动动能与转动能动能的平衡方程，由此解得等效转动惯量为251.9989/equ J kg m =；问题二：依据转动惯量关于内径、外径及飞轮厚度的关系得到三种机械惯量：2/0083.30m Kg ，260.0166/kg m ，2120.0332/kg m ，可组成八种机械惯量。
东南大学考试卷（A卷）课程名称高等数学B期末考试学期09-10-3 得分适用专业选修高数B的各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e4xzx x y yzπ-++=在点(0,1,2)处的法线方程是；2.设u=，则梯度；3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B，则A在B方向的投影；4.设闭曲线:1C x y+=，取逆时针方向，则曲线积分2d dCy x x y-⎰的值是；5.设函数(,)F x y具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分()2221e cos d dxx yy xy x y+≤+⎰⎰的值是；7. 设S为球面：2222x y z R++=，则曲面积分()222dSx y z S++⎰⎰的值是；8.设C是折线11(02)y x x=--≤≤，则曲线积分dCy s⎰的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数2nna∞=∑收敛，且级数2lnnna n∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x yϕ=-，其中f具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂.解11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥. 解12．（本小题满分8分）计算二次积分1121321d e d xxyx y y -⎰⎰. 解，13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标. 解三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程. 解四（15）。
（本题满分7分）计算d Sx S z⎰⎰，其中S 是柱面222(0)x y ay a +=>被锥面z 和平面2z a =所截下的部分.解五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x CI y x xy y y =+-⎰，其中C 为曲线x =y 增大的方向.解 六（17）（本题满分7分）计算()()222d d d d ()d d SI y xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧⎰⎰，其中S为2z =0z =所截部分，取上侧.解七（18）（本题满分6分）证明不等式1(1)eyyx x-<，01x<<，0y<<+∞.证08-09-3高数B 期末试卷（A ）参考答案09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-； 2.设u =(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ； 3. 已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A 4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰的值是2-； 5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =； 6. 二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7. 设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sxy z S ++⎰⎰的值是44R π； 8. 设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂. 解12zf f xϕ∂=+∂， 21111222()z f x f x f f x y ϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂ 11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dxxy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥.解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰. 解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标.解 0x y ==（1分）)22cos 340122cos 240125d sin cos d d 2518d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z==垂直的直线方程. 解 设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而312001l m n -=，即30l m --= （1），又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++= （2）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==-- 四（15）。
制动器试验台的控制方法分析摘要制动器试验台是专门模拟车辆制动过程的试验台。
通过分析制动器试验台的工作原理,可知对制动器实验台的控制实质是对一个闭环系统的控制。
由于制动器制动过程中存在着力矩平衡关系，通过对此力矩平衡关系的变换，得以在电动机驱动电流和可观测量之间建立起可靠的数学关系，为系统数学模型的建立、优化以及系统反馈控制提供了依据。
由于制动器实验台进行的模拟实验需代替车辆路试，所以要求试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致，即要求在制动过程中，试验台上飞轮的制动角减速度与路试时车轮上的制动角减速度尽可能一致。
但由于飞轮与主轴组成的机械惯量和车辆的等效转动惯量之间总存在差异，所以需要利用试验台上的电机补偿扭矩，以达到路试的效果。
这就要求制动器实验台控制系统需有较高的控制精度。
考虑到当前PID （即比例—积分—微分）控制成熟的应用环境和良好的控制效果,本文将其引入到制动器试验台的控制中。
通过对制动器试验台的分析,本文首先建立了理想的纯比例控制模型（模型一），但由于此模型在干扰的情况下总存在波动和稳态误差，所以就有必要对纯比例控制模型进行优化，于是导出了更为符合实际控制情况的PID 控制模型（模型二）,并详细论述了决定PID 模型控制效果的三个参数(p K 、e T 、d T )的整定方法,继而引出PID 控制模型的计算机控制方法，同时编写了PID 模型的单片机控制例程，使PID 模型在制动器试验台的应用上具有了实在的意义。
在本文中,还从模拟实验的原则和制动消耗的能量误差两个方面对问题4给出的某种控制方法进行了评价，综合的评价结果是该种控制方法基本可行。
关键字：模拟试验台 控制 PID一、问题的提出汽车行驶时能在短时间内停车且方向稳定和在下长坡时能维持一定车速的能力，称为汽车的制动性。
汽车制动性能直接关系到行车安全，是汽车的主要性能之一，直接影响着人身和车辆的安全。
为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。
共 8 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称高等数学A 期末考试学期 09-10-3得分适用专业 选修高数A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 将22222d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标系下的三次积分 ；2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ；3. 设1,0()2,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，则(3)S π= ，(2)S π-= ；4. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,____a b ==；5. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则1d (i)(4)C z zz =+-⎰ ；6. 留数ln(12)Res ,01cos z z +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；7. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；8.设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑∧+∧+-∧=⎰⎰ ；9. 设()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰，其中2,0(,)0,x y x x f xy ⎧≥≥=⎨⎩且其它，则(2)F = . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)共 8 页 第 2 页10．设 (,)z z x y =是由方程e e e z y xz x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂. 11．计算22222d ed d d yy x y x y x y x ----+⎰⎰⎰.12．判断级数111(1)!179n n n n n-∞-=-⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性.13. 求幂级数ln 12n nn x n∞=∑的收敛域. （注：级数若在收敛区间的端点处收敛，须说明是绝对收敛还是条件收敛.）共 8 页 第 3 页三（14）．（本题满分7分）设1,022()0,2x f x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩在[0,]π上展开成正弦级数，并写出它的和函数.四（15）。
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 数学建模与数学实验 考试学期09-10-3得分适用专业 理工各专业考试形式 开卷闭卷半开卷 考试时间长度 120分钟（可带计算器）注：以下各题只需计算到小数点后两位。
一 填空与选择（每题3分，共30分） 1 已知113,(mod19)02A A -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则 。
2 已知一组(1,1),(2,1),(3,2)-观测数据，则其分段线性插值多项式为 。
3 根据一组等距节点的观测数据分析知其2阶差分波动最小，则其最合适的拟合多项式阶数是 。
4 已知微分方程'()0.005(1/10000)(0)2000x t x x x =-⎧⎨=⎩，则其变化率最大时间为 。
5考虑V olterra 模型'0.050.001'0.10.0001x x xyy x xy=-⎧⎨=-+⎩， 则,x y 的周期平均值为x y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 6 已知非线性差分方程 21(2)n n n x bx x +=-的正平衡点稳定 （b>0），则参数b 的取值范围为 。
7 记123()((),(),())a k a k a k a k =考虑马氏链0.40.30.3(1)()0.40.40.2(0)(0.3.0.4.0.3)0.30.20.5a k a k a ⎡⎤⎢⎥+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，其正平衡点为 。
自觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效8 轮渡船上甲板总面积为A 。
它能运载小轿车，每辆小轿车所占甲板面积为C ，能运载卡车，每辆卡车所占甲板面积为 L 。
每辆小轿车要付渡船费p 元；每辆卡车要付q 元。
调度想知道在渡船上运载多少辆小轿车(x) 和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润？ 下列哪一个选项给出利润函数及需满足的约束条件？ （ ）A. yq xp +，满足 A xL yC ≤+B. yq xp +，满足 A yL xC ≤+C. ))((q p y x ++， 满足A yL xC ≤+D. ))((q p y x ++ ，满足A L C y x ≤++))((9 下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型？ （ ）A t e --1B 2)1(t -C2t t - D 1t e -+10 模型检验是建模过程中的必要步骤，以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。
2009年数学建模比赛A题制动器实验台控制方法的分析模型摘要：本文研究制动器实验台上对所设计的路试进行模拟的问题，介绍了一种采用电动机进行能量补偿实现惯量模拟的方法，给出了能量补偿的数学模型。
第三题中，运用物理学刚体转动中的转动惯量知识，并大量计算和证明，逐渐建立电动机驱动电流依赖于客观测量的数学模型。
文中用MATLAB软件对数据进行处理和分析，并结合拟合图像顺利完成对模型的改造。
关键字：等效转动惯量机械惯量路试扭矩驱动电流一．符号说明Q J 等效转动惯量； M J 为机械惯量；0ω为制动初始角速度；()t ω为t 时刻的制动角速度；()E t 为电动机提供的能量；()W t 电动机从初始到t 时间内所做的功；E M 为电动机在制动过程中提供的扭矩；i ω为第i 到第i+1时间的角速度；i M 为第i 到第i+1时间段的扭矩； i m 电动机提供的扭矩；M 制动器恒定外力提供的扭矩；i e 在i 到i+1时间段内路试与实验台能量差；i α是i 时刻的角加速度。
二．问题分析汽车的行车制动器联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。
制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。
为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。
第一题和第二题主要求解等效转动惯量大小，转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量，它等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和，如果刚体上的质点是连续分布的，则其转动惯量可以用积分进行计算，即2J r dm =⎰。
[1]第三题建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，其中可观测量包括主轴的瞬时转速与瞬时扭转，且实验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，所以问题转化为求电动机的扭矩，求解扭矩需应用一些知识 ：（1）功率P ＝扭矩×角速度ω（公式推导：功率P ＝功W÷时间t=力F×距离s/t＝F×速度v ，这里的v 是线速度，v ＝角速度ω×半径r ，得：功率P ＝Fr ω ； 而 力F×半径r ＝扭矩 得出：功率P ＝扭矩×角速度ω）。
2009年全国大学生数学建模竞赛选拔试题时量：180分钟满分：200分系别：专业：学号：姓名：一、数学模型部分(共90分)1、简述数学建模论文的基本结构。
答：应该主要包含论文标题，摘要，问题重述，问题分析，模型建立，模型求解，模型验证，模型分析与改进，模型评价，参考文献等内容。
2、简述数学建模论文摘要的要求及其应包含的主要内容。
答：摘要要用独立的一页来写，字数为300字左右。
应该主要包含建模的思想，建模的方法，建立的模型，模型的求解，模型的改进，模型的评价，以及主要创新点和亮点。
3、试建立桌子在四条腿脚呈长方形时的数学模型，以说明桌子能否在地面上放稳的问题。
4、请把1~9共9个数字填入3乘以3的正方形格子，使3个行中每个行的数字总和为15，3个列中每个列的数字总和也15，两条对角线数字总和也15。
(1)中间格的数字应该为多少？并证明之。
(2) 用推理或建立模型方法求出其它数字(说明求解过程)，最终结果请填入右图。
解:(1) 把第2行,第2列,两对角线所有数字相加,1,2,3,4,5,6,7,8,9数字各出现1次,而中间数字记为x 多出现了3次,列出方程1543)987654321(⨯=+++++++++x 解方程得 x=5, 中间格x 22为5(2) 数字1不能填对角,否则相应一个对角为9而1对应行,列总和为14,而14=6+8仅有一种排法 由对称性有右图填法 ( 2分) 把余下数分3个一组,按总和为15分为第一组(3,4,8)预放入第1行,第2组(2,6,7) 预放入第3行 ( 2分) 调整次序不难得出右图最终结果 (2)别一法:利用上图列出方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=++=++610141515k c n b m a k n m c b a 解空间是1维, 取k 为自由变量(k=2,3,4,,6,7,8),取k=2时其它变量全为整数。
5、 设一个鞋店平均每天卖出鞋100双，批发一次差旅费为每次200元，每双鞋每存储一天的费用为0.01元。
“制动器试验台的控制方法分析”评阅综述与参考解答方沛辰 吉林大学数学学院这是2009A 题,这道题目涉及了一些专业知识，但是作为理工科的大学生，大学物理和理论力学都是刚学过所涉及的知识都是熟悉的，就算不熟悉临时看也能搞明白的，只有我们这些年纪大的数学老师可能感到不适应。
为此介绍它们的关系如下:平动 转动路程 x 角度 θ速度 .v x = 角速度 .ωθ=加速度..a x = 角加速度 ..αθ=质量 m 转动惯量 2J r dm =⎰力 F ma = 力矩 M J α= 动能 212E mv = 动能 212E J α=功率W Fv==功率W Mω一、问题的来源与处理这道题目源自一个实际问题。
上世纪八十年代以前，我国还没有制动器试验台，这方面处于空白。
后来由吉林大学在1988年填补了这项国家空白，到现在已生产出至少有100多台各种各样的制动器试验台。
题目就是沿着试验台如何进行设计展开的。
制动器的本质是利用摩擦把动能转化为热能从而使车辆减速，换句话说制动器是能量转换部件。
谈到制动器的性能不得不涉及到温度、热量和制动器内部的压力、刹车片在不同温度下的摩擦系数等物理量。
制动器的性能实际就是对在不同温度下能量转换的效率的描述。
试验台是测量一个制动器性能的设备，实际使用的试验台都有温度、压力的测量值。
为了简化成一个赛题，题目中没有提到温度也没有改变正压力，即假设制动器内部的压力恒定。
显然在不同的温度下由于摩擦系数的改变制动力矩不是常量。
我们仅从制动器的外特性上考虑问题，即把制动器特性看做制动力矩是时间和已制动能量的函数，从而回避了制动器内部产生热量造成温升使得制动力矩下降即对内特性的正面研究，所以这是做了大幅度简化的实际问题。
我们仅从用电流驱动电动机产生扭矩辅助制动角度考虑同一架试验台做不同的制动试验的场合。
这样一来，制动器试验台研制中的核心问题就是电动机驱动电流的确定策略。
也是这道题目最后两问的问题。
共8 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷答案（A 卷）课程名称信号与线性系统考试学期 09-10-3得分适用专业 信息学院、吴健雄学院 考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一、选择题（每题只有一个正确答案，共10小题，每小题2分） 1、已知某系统的状态方程为)(1056432121t e x x xx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ，则下列选项中不可能是该系统的零输入响应的是（ C ）A )(t e t ε-;B 0;C )(9t e t ε;D )(9t e t ε-2、 连续时间信号()f t 的最高频率分量为100 Hz ，现对信号4(510)f t -进行理想抽样，则奈奎斯特抽样频率为（ D ）A 100 HzB 200 HzC 500 HzD 1000 Hz 3、 LTI 因果离散系统5(2)(1)()2(1)4()2y k y k y k e k e k ++++=++，系统稳定性描述正确的是（ A ）A 不稳定B 稳定C 临界稳定D 不确定4 、LTI 离散系统的差分方程为(2)()(1)()y k y k e k e k +-=++,则该系统的状态变量的个数是（ B ）A 一个B 二个C 三个D 无法确定 5、某函数的双边拉氏变换为)1)(3()(--=s s ss F ，则其收敛区为（ D ）A Re[s]<1B Re[s]>3C 1<Re[s]<3D 无法确定6、已知左边序列的z 变换12)(32+-+=z z zz z F ，则?)1(=-f ( A )A 1B 2C 0D －1共8 页 第 2 页7、若已知 ，则 的傅里叶变换为（ D ）。
A )2(212ωωj F e j -B )2(212ωωj F e j --C)2(212ωωj F e j - D )2(212ωωj F e j --- 8、信号)800cos(7)200cos(5)(t t t e +=通过一具有如下零极图的系统，则下述结论中正确的是（ DA 幅度失真、相位不失真B 幅度不失真、相位不失真C 幅度失真、相位失真D 幅度不失真、相位失真9、周期信号（T=2）如下图所示,下列对其含有的谐波分量的描述中最准确的是（ A ）A 只有直流、正弦项B 只有直流、余弦项C 只有奇次余弦项D 只有偶次正弦项10、下列叙述中错误的是：( C )A ． 若)(k f 是一个实数序列，则)()(*ωωi i e F e F -=； B. 若)(k f 是一个实数序列，则)()(*ωωi i e F e F -=；C. 若)(k f 是一个实奇序列，则)()(ωωi i e F e F -=； D. 若)(k f 是一个实偶序列，则)()(ωωi i e F e F -=；)()]([ωj F t f F =)24(t f -共8 页 第 3 页二、简答题（共8题，共50分）1、（7分）已知11()(2)(1)k f k k ε+=+，2()(2)(1)f k k k δε=-++。
华中科技大学《数学建模》考试卷（半开卷）2009～2010学年度第一学期 成绩学号 专业 班级 姓名一、选择题 （每题2分，共10分）（1）建模预测天气。
在影响天气的诸多因素及相互关系中，既有已知的又有许多未知的非确定的信息。
这类模型属于（ b ）。
a.白箱模型b.灰箱模型c.黑箱模型（2）在城镇供水系统模型中，水箱的尺寸是（ c ）。
a.常量b.变量c.参数 （3）在整理数据时，需处理和分析观测和实验数据中的误差，异常点来源于（ c ）。
a.随机误差b.系统误差c.过失误差（4）需对一类动物建立身长与体重关系的模型。
在对模型的参数进行估计时，如已有30组数据，且参数估计精度要求较高，应采用（ b ）估计参数。
a.图解法 b.统计法 c.机理分析法（5）在求解模型时，为了简化方程有时会舍弃高价小量（如一阶近似、二阶近似等），由此带来一定的误差，此误差是（ a ）。
a.截断误差b.假设误差c.舍入误差二、填空题 （每空1分，共10分）（1）已知函数 ()()22y 1a sin x a cos x ωωω=++，当a 很小时，一阶近似为（ ()y 1a sin x ω=+ ），当ω很小时，二阶近似为（ 22y 1a x a ωω=++ ），而当x 很小时，一阶近似为( 22y 1a x a ωω=++ ），二阶近似为（ 222421y 1a x a a x 2ωωω=++-）。
（2）学校共有3个系， 甲系103人，乙系63人，丙系34人。
学生会共设有20个成员， 按Hamilton 方法分配名额为（10 ，6 ，4 ），按Q 值法分配名额为（ 11 ，6 ，3 ）。
（3）使用三次样条函数()()3n 123j j 23301j 1x x xxS x x 2!3!3!βαααα-+=-=++++∑进行插值，在两节点间()3S x 是（ 3 ）次多项式，在每个节点上()3S x 既连续又（ 光滑 ）。
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：华南师范大学增城学院参赛队员(打印并签名) ：1. 何高志2. 曾庆东3. 曾利指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2013 年 8 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：制动器试验台的控制方法分析摘要本文在专门的汽车行车制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验，检测汽车的行车制动器的综合性能，检验设计的优劣。
针对此问题，我们结合实际，对转动惯量、补偿惯量、驱动电流、控制方法等问题作了深入详细的分析，建立了相应的数学模型，较好地解决了制动器试验台的控制方法分析问题，并且对模型和结果进行了评价和分析。
对于问题1，根据转动惯量的表达式，结合力学知识，代入数据从而求得车辆单个前轮滚动的等效转动惯量约为522m kg ⋅。
对于问题2，首先需要理解机械惯量与飞轮单个惯量、基础惯量和电动机补偿惯量之间的关系。
根据题意，进行推断，可知机械惯量是组合问题。
即飞轮组与基础惯量可以组合8种数值的机械惯量。
问题1中得到等效的转动惯量522m kg ⋅，且电动机能补偿的能量有限，所以符合题意，在范围内的有2种，分别为飞轮1加基础惯量；飞轮2加基础惯量。
东南大学考试卷（A卷）姓名学号班级课程名称数学建模与实验考试学期 09-10-2 得分适用专业各专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟共10页第6页共10页 第6页一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 。
3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是： 。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正) 。
5. 请补充判断矩阵缺失的元素13192A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共10分）1. 在下列Leslie 矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是 ( )A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； B.1.1 1.230.20000.40⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C. 0030.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是 （ )A. 0.1CR <B. 0.1CI <C. 0.1CR >D.0.01CR <3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( ) A. 12 B.5 C.14 D.74. 线性最小二乘法得到的函数不可能为 （ ）A.线性函数B. 对数函数C. 样条函数D. 指数函数5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有 （ ）A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ*=；B. 泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ*=；C. 泛函()J x 在x *处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ*=；D. A,B,C 均正确三．判断题（每题2分，共10分）1. Hill 密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。
（ ）2. 拟合函数不要求通过样本数据点。
共10页 第1页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）姓名 学号 班级课程名称 数学建模与实验 考试学期 09-10-2得分适用专业 各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 。
3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是： 。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正) 。
5. 请补充判断矩阵缺失的元素13192A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共10分）1. 在下列Leslie 矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是 ( )A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； B.1.1 1.230.20000.40⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C. 0030.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是 （ )A. 0.1CR <B. 0.1CI <C. 0.1CR >D.0.01CR <3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( ) A. 12 B.5 C.14 D.74. 线性最小二乘法得到的函数不可能为 （ ）A.线性函数B. 对数函数C. 样条函数D. 指数函数5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有 （ ）A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ*=；B. 泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ*=；C. 泛函()J x 在x *处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ*=；D. A,B,C均正确三．判断题（每题2分，共10分）1. Hill密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。
（）2. 拟合函数不要求通过样本数据点。
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）姓名 学号 班级课程名称 数学建模与实验 考试学期 09-10-2得分适用专业 各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 。
3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是： 。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正) 。
5. 请补充判断矩阵缺失的元素13192A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共10分）1. 在下列Leslie 矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是 ( )A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； B.1.1 1.230.20000.40⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C. 0030.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是 （ )A. 0.1CR <B. 0.1CI <C. 0.1CR >D.0.01CR <3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( ) A. 12 B.5 C.14 D.74. 线性最小二乘法得到的函数不可能为 （ ）A.线性函数B. 对数函数C. 样条函数D. 指数函数5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有 （ ）A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ*=；B. 泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ*=；C. 泛函()J x 在x *处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ*=；D. A,B,C 均正确三．判断题（每题2分，共10分）1. Hill密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。
（）2. 拟合函数不要求通过样本数据点。
（）3. Matlab软件内置命令程序可以直接求解一般的整数线性规划问题。
（）4. V olterra模型得到的周期解里，食饵与捕食者可以同时达到峰值。
（）5.一阶线性齐次差分方程平衡点的稳定性由系数矩阵谱半径决定。
( )四．应用题（共70分）1.（5分）某外贸进出口公司拟用集装箱托运甲乙两种货物，每包体积、重量、可获利润学模型，不需要求出具体结果。
2（10分）深水中的波速v与波长λ、水深d、水的密度ρ和重力加速度g有关。
用量纲分析法确定λ与其余变量,,,v d g ρ之间的关系。
3.（15分）某种电热水器加热时间x 与水温y 之间有如下的实验数据：试确定x 与y 的最佳拟合多项式的阶数，确定该拟合函数表达式，并估计加热1小时时的温度。
4.（20分）如果在用层次分析法建模时构造了某个判断矩阵141133143131A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1） 计算矩阵A 的最大特征值（保留到小数点后2位，采用其它方法计算不给分）；（2）判断该矩阵能否通过一致性检验？附表随机一致性指标值n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 5．（20分）某企业根据去年(t=0)的统计得知，共有技术人员300名，其中技术员职称（初级职称）的有140名，助理工程师（中级职称）100名，工程师（包括高级工程师，高级职称）60名。
现规定技术员每年可以有30%晋升为助理工程师，又有10%的技术员因各种原因调离该企业，余下60%留任原岗位，助理工程师每年要有40%留任，30%晋升工程师，30%调离,工程师则每年有60%留任，40%调离或退休。
同时，该企业计划每年向社会招聘80名大学生一补充技术员队伍。
现要求（1）建立合适的数学模型，以便可以预测今后若干年内该企业中的各类技术人员的人数分布情况；（只要求建立数学模型，不要求具体结果）（2）在（1）的基础上，建立合适的数学模型，以便可以预测今后若干年内该企业中的技术人员总量情况。
（只要求建立数学模型，不要求具体结果）2参考答案 一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 x(t)=1000/(1+9exp(-0.5t) )。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 ode45,ode23等等。
（写欧拉法等方法而非Matlab 命令的不给分）（本题着重考察数学实验有没有认真做！） 3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是：m 和12没有质数公因子。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正)50ln354.93≈5. 请补充判断矩阵缺失的元素131219193121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共10分）1.C ；2. A;3.B;4.C.5.C 三．判断题（每题2分，共10分）1.×;2..√;3.×;4. ×;5. ×（应考虑谱半径＝1的特殊情况） 四．应用题（共70分）1）.中间关键步骤不能少，否则不给分！2）开头计算错误，但整体思路、算法正确适当给一些分。
1.（5分）解：设x1、x2分别为每个集装箱中甲乙两种货物的托运包数，f 为总利润，则该问题可以视为整数线性规划问题，其数学模型为：1212121212max 2010.. 5424 2513 ,0,,f x x s t x x x x x x x x Z=++≤+≤≥∈ 目标函数1分，每个约束条件各1分常见错误：没有非负、整数约束，未写ILP 标准形式2（10分）解：问题的物理量有：波速v 与波长λ、水深d 、水的密度ρ和重力加速度g 。
令(,,,,)0v d g ϕλρ=.取g 1=λ，g 2=v ，g 3=d ，g 4=ρ，g 5=g基本量纲为M ， L ， T ，各物理量的量纲为：[g 1]=L , [g 2]=LT -1，[g 3]=L , [g 4]= M -1L -3, [g 5]= LT -2。
―――――2分量纲矩阵为：000101113101002M A L T v d g λρ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥=- ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭, r (A )=3, ―――――2分 0Ay =的一个基本解系为：()()121,2,0,0,1,0,2,1,0,1T Ty y =-=-, ――――――2分从而得到两个无量纲量21,v g πλ-= 22,v dg π-= ――――――2分注：此处有且仅有两个无量纲量（形式可以有所不同），并且只有一个含有λ，否则后面无法求解！由Backingham 定理得(,,,,)0v d g ϕλρ=与某一方程12(,)0ππΦ=等价。
由隐函数定理可得()12fππ=()2221v v f v dg g gλπ-==。
――――――2分3.（15分）解：因为自变量为等距分布，故采用差分表确定拟合多项式阶数： 注：1.因指定采用多项式形式，故其它拟合函数一律不给分！2.最佳阶数应由差分表确定！主观认定或散点图认定均不给分。
3.采用代入部分点求解参数的方法不给分，应为不符合拟合原则！ y 12.1600 13.9700 14.9600 15.4900 16.8000 dy 1.8100 0.9900 0.5300 1.3100 d2y -0.8200 -0.4600 0.7800d3y 0.3600 1.2400 ―――――――4分一阶差分波动为0.82，二阶差分波动为1.24，根据差分表确定最佳多项式的次数为1。
―――――――1分假设x 与y 之间的关系为：12y a x a =+。
根据最小二乘法，求解本问题的正规方程：TTA Ax A y =。
其中，151201251301351A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12a x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12.1613.9714.9615.4916.8y ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭――――――5分则33751251888.5,125573.4T T A A A y ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解此正规方程可得：0.2169.276x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故最佳多项式为：0.2169.276y x =+。
―――――――4分当加热1小时，即60x =时，代入拟合函数计算可得此时温度22.236℃。
―――1分4.（20分）注：本题如果采用和法、根法等不能保证精度的算法求解得到的max λ只能作为其它算法的初值，不能作为最终结果使用，否则不给分。
解法一：A 的特征多项式： ()()32det 3 2.25fI A λλλλ=-=--，用牛顿迭代公式32123 2.2536k k k k k kλλλλλλ+--=--，可根据根的隔离方法得出隔离区间，从中取初值，建议取为3，解出max 3.2174λ≅（取 3.15～3.25均可算对），代入验证0.190.1CR =>，所以A 的不一致程度不在容许范围之内。
解法二： A 为3阶矩阵，对应的RI=0.58由层次分析法一致性检验可知，当随机一致性比率0.1CICR RI=<时可以认为A 的不一致程度在容许范围之内，其中一致性指标1max --=n nCI λ。
因此如果A 的不一致程度在容许范围之内，则()max 30.10.58313 3.116λ≤<⨯⨯-+= 将max λ的上界3.116代入A 的特征多项式： ()()32det 3 2.25fI A λλλλ=-=--，直接计算可知()3.116 1.12370f ≅-<，因为()0f ∞>，从而由连续函数介值定理可以知道max 3.116λ>，因此假设不成立，所以A 的不一致程度不在容许范围之内。
――――――――――两问各10分 5．（20分） 常见错误：1.将本模型混同为Leslie 模型。
2.不知所云，生搬硬套书上定岗定编模型，转而求解平衡点、稳定域等概念。
解：假设第n 年技术人员分布情况用向量()1,2,3,,,n n n n x x x x =表示，总人数为3,1n n i i N x ==∑,调入企业人数为R=80,退出企业人数为n W .内部一步转移概率矩阵为00.60.3000.40.3000.6P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，调入分布向量()1,0,0r =,退出向量()0.1,0.3,0.4w =.则Tn n W x w =.关于人数分布情况的演化规律可以用下面的模型描述：()100140,100,60n n x x P Rr x -=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即,11,1,21,11,2,31,21,30,10,20,30.6800.30.40.30.6140,100,60n n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----=+⎧⎪=+⎪⎨=+⎪⎪===⎩或者由递推法可以知道: ()()()210200200132300000n n n n n n k n k x x P Rr x P Rr P Rr x P Rr P I x P Rr P P I x P Rr P-----==+=++=++=+++==+∑L ――――16分()()10000000.60.3000.40.3000.6140,100,60,80,1,0,0n n k n k x x P Rr P P x R r -=⎧=+⎪⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪=⎨ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪===⎪⎩∑ 记()1,1,1e =，则Tn n N x e =，关于总量的演化规律可以用下面的模型描述：（直接表达式）10000n Tn k Tn n k N x e x P Rr P e -=⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑或者（间接表达式）,1,2,30.90.70.680T n n n n n N x e x x x ==+++ ―――――4分。
