数模201001A卷

共5页 第1页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 数学模型与数学实验 考试学期 04-05-3得分适用专业 数学各专业 考试形式开卷考试时间长度 120分钟一. (20`)在计时工资制体系下,雇主的付薪方式是按计时工资率（元/小时）付薪（kt w =）。

如果雇员的满意度曲线为2/1).(3=+-c t w （c 为参数） （1） 如果协议为每天工作6小时，给出雇员的满意度曲线。

（2） 求雇员与雇主的协议曲线。

解 （1）协议时间为=t 6，对应雇员的满意度曲线上点（2/)(,3c t t +）,过此点的切线方程为 2/)()(32/)(23t T c t c t W -+=+-， 4` 它应与雇主的付薪曲线()232W kT t c T ==+一致。

由此得到t c 2=。

4` 因为12,6==c t ，所以 2/)12(3+=t w 4`（2）所求的切点为（2/27,3t t ）， 4` 协议曲线为 2/273t w =。

4`共5页 第2页二. (20`) 在层次分析法建模中，我们用到了一致矩阵的概念，即如果矩阵[]nn ija A ⨯=是成对比较矩阵，且k j i a a a jk ij ik ,,.∀=，。

证明（1）A 的转置也是一致矩阵。

（2）A 的秩为1，且A 的非零特征值位n ； 证明（1）只需验证一致矩阵的几个条件成立即可。

令 )(ij Tb A =ij ji ji ij b b a b /1,0=>= 1` jk ij ik b b b = 4` （2）只需证明对应行的元素呈比例jijkkj lj il ik lj il kj ik ij a a a a a a a a a a a ====, 3`上式表明j i ,列元素呈比例，令1=i 得所有列均与第一列呈比例，所以A 的秩为1。

2`令],,,[],,,,[][21321n Tn ij b b b a a a a a A == 3` 由 1=ii a ，得 i i a b /1= 3` Tn Tn a a a n a a a A ],,,[],,,[2121 = 2` 得非零特征值为 n. 2`共5页 第3页三. (20`)如果雨滴的下落速度v 仅与雨滴的半径r 、重力加速度g 和粘性系数μ（压强xvP ∂∂=μ）有关，利用量纲分析法給出速度v 与其它变量的关系。

数学与统计学学院2010年数学建模竞赛试题（请先仔细阅读竞赛要求）A题、武汉房地产价格问题房地产价格是一个备受关注的问题。

现在请你就以下几个方面的问题进行讨论1．给出你的房地产价格指标的定义（考虑房子所处的位置（交通，学校，医院，商场…），房子的户型，房子的楼层，房子的朝向，小区的内环境（绿化，容积率…等等），房子的开发商，物业，房子的质量，小区的大小，噪音大小，空气等等…）；2．请搜集武汉近两年来的房子日销售情况表（至少搜集10天的武汉的房子日销售情况表）；对你的上述房地产价格指标的定义做简化，给出一个简化的武汉的房地产价格指标的定义；并且假设：以你搜集到的10天的武汉的房子日销售情况表中时间最早的那一天武汉的房地产价格指标为100，利用你的简化的武汉的房地产价格指标的定义，计算其他天的武汉的房地产价格指标；3．请搜集相应10天的武汉（或者全国）的物价指标，请你建立武汉的房地产价格指标与武汉（或者全国）的物价指标的关系模型，并假设有一天武汉（或者全国）的物价指标，是你搜集到的10天的武汉的房子日销售情况表中时间最早的那一天的武汉（或者全国）的物价指标的100倍，请你预测那一天的武汉的房地产价格指标；4．如果某人准备在武汉买房，请你给他买房的时机的建议。

中南民族大学数学与统计学学院2010年首届数学建模竞赛要求1、参赛者为中南民族大学任意在校本科生, 以队为单位参赛。

学生自愿组队，每队有且仅有三人，鼓励学生跨院系组队。

比赛开始后不允许更换队员。

2、竞赛时间为：2010年4月9日16时至4月14日16时。

3、竞赛按照甲、乙组分别命题，甲组(参加对象为2007,2008级学生)分为A，B两题，乙组(2009级学生)分为C，D两题，每个参赛队可任选一题，4月9日16时起可在院网页上下载试题。

4、竞赛采取开放的竞赛方式，竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要运用了积分知识和几何知识分析解决储油罐的变位识别和罐容表标定问题。

模型一的对象是小椭圆形储油罐（两端平头的椭圆柱体）。

我们首先运用几何知识对变位罐体进行分析，得到垂直于罐体的液高1h 和储油罐水平状态下的液高2h 之间的关系，2h =1h +1L ×tan()α（倾斜角α，1L =0.4m ，为罐体长的一部分）。

然后以椭圆中心为中心，以椭圆的长轴和短轴分别为x 轴y 轴，建立空间直角坐标系，再对x 求定积分可得椭圆面上的储油面积为S =(2)f h dx ⎰，继而求得储油的体积V =S ×L （L 为罐体的水平总长度）。

并且在不同的情况下，运用分段函数的思想将罐容分为四段，解得各部分罐容表达式。

并且，以附件一中给出的油位高度为自变量，运用matlab 求得对应的罐容。

将求的的罐容与附件一中加上初始油量后的罐容相比较，分析数据得到其平均误差率为0.038371<0.05，较为合理。

因此，便可根据上述函数关系编定小椭圆罐体罐体变位后的油位高度1h 间隔为1cm 的罐容表标定。

模型二对于图4所示的实际储油罐，可由题中所给数据算出球冠形封头的半径为1.625m,所对应的圆心角为134.76度，弧长为 3.822m考虑到所对圆心角较大及弧长相对于油罐的高度D = 3m 相差不是很大，利用问题一中的模型可近似的认为 当液面由倾斜状态转化为水平状态时，两球冠形内的液面高度与卧式圆柱体内的液面高度近似相等，都等于圆柱体内的油在水平状态下的高度2h ，此时罐内液体的体积为两球冠形封头内液体的体积与圆柱体内液体的体积之和。

当油罐同时在倾斜和偏转的状态下时，利用油浮子测得的液面高度为3h ,3h 可化为仅在倾斜状态下的液面高度1h ，进而转化为水平状态下的液面高度2h ，从而h2可油位高度及纵向倾斜角α和横向偏转角β 表示出来，即()()()()()()13cos ,212tan 3cos tan h R h R h h R h R βαβα=+-=+=+-+cos(β)在已建立的较合理的模型一的基础上建立问题二的模型，将h2带入即可求得罐体变位后储油量与油位高度和变位参数α，β的关系。

2010全国大学生数学建模竞赛A题合作人：何争流，史剑作者：学院：计算机科学与技术；学号：文摘：加油站、燃油生产厂一般都用储油罐来储存燃油，并通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

但许多储油罐在使用一段时间后，罐体位置会因地基变形等原因发生变化，从而导致罐容表发生改变，故需定期对罐容表进行重新标定。

关键词：储油罐，变位，重新标定，几何法，拟合--插值法。

正文：储油罐可能发生纵向倾斜和横向偏转，故需从这两方面研究罐体变位后的标定问题，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，进而对罐容表进行重新标定。

两端平头的小椭圆形储油罐情形拟合—插植法首先我们根据所给的数据，求出拟合函数：设x为测得油位高度，y为罐内油量。

(1)进油情形：1、无变位进油，初值为262L。

设v为测量体积，h为测量高度，对表中数据进行拟合。

2、斜变位进油（θ=4.1），初始值为215L。

设v2为测量体积，h2为测量高度，则由表中数据进行拟合。

对无变位（θ=0）和斜变位（θ=4.1）进油时的数据作图、拟合得到油位高度与罐内储油量的函数关系。

函数的差别为系数不同，而系数不同是由角度不同引起的，所以我们想到对系数关于θ插值，得出θ为变位角，转化为弧度表示则a7 = -2.7165e-005*g-5.5000e-008a6=0.0134*g+2.4000e-005a5= -2.7332*g+0.0043a4=315.3631*g+0.42a3= -2.0587e+004*g-26a2=8.0726e+005*g+1200a1= -1.6824e+007*g+4600a0=1.5337e+008*g+19000当θ=1.8时，g=0.0314,带入上面的式子得到：y=-9.0841e-007*x^7+4.4497e-004*x^6-0.0816*x^5+10.3274*x^4-672.7597*x^3+2.6561e+004*x^2-5.2394e+005*x+4.8373e+006根据这个方程，计算得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的实际罐容量。

高教杯数学建模竞赛——2001年A题优秀论文【数学建模】A题血管的三维重建四院九九向为王瑛伍微摘要：对此问题我们提出的是一个搜索模型，从而求出原始球（形成包络的球）的半径，以及中轴线。

首先我们把每一个切片图的bmp文件转化为一个512×512的0,1矩阵（0代表无象素，1代表有）。

再求切片的轮廓线，也存为0，1矩阵。

然后在题设条件下证明了以下几个结论：1．能够被切片包含的半径最大的圆的半径等于原始球（形成包络的球）的半径；2．可以被切片包含的圆的半径一定小于等于原始球的半径；3．不能被包含于切片的圆的半径一定大于原始球的半径。

根据上述结论，对每一个切片，只要找到能够被切片包含的半径最大的圆就能求出原始球的半径。

我们设计了一个二分搜索算法求该半径，再根据半径搜索求出每个切片和中轴线相交的点的坐标。

算法概要：1．求粗略的r （原始球半径上限）；2．求粗略的rmin（原始球半径下限）；3．切片内所含的标准圆（以原始球的半径为半径的圆）的圆心O不可能在离切片边缘距离小于rmin的点。

则在切片上去掉这些点后，就得到了O可能存在的位置区域；4．用二分法不断缩小原始球半径r0可能的取值范围，从而求出r0；5．求出切片内所含的标准圆的圆心的坐标，这就是为切片和中轴线相交的点的坐标。

搜索原始球的半径时，因为所给的图象数据的精度有限，所以在执行算法时遵循以下规则：1．在判断一个圆面是否有一部分在切片的外部时，把这个圆和切片都看成由一个一个的像素点组成，若圆面中有像素点在切片的外部，就认为圆超出了切片；2．几何上的半径为r的圆面转化为像素圆面的方法是，当一个像素的中心离圆心的距离小于等于r时，这个像素属于这个圆面；3．因为所给数据精度有限，所以包含于切片中的以原始球的半径为半径的圆可能不止一个。

取这些圆的圆心的重心为含于切片内的标准圆的圆心，即中轴线与切片的交点。

最后对中轴线上已知的点进行拟合，由于一个z只对应于一个x和一个y,故可分别对其投影分别在YZ、ZX平面上进行多项式拟合，求出y=f1(z)和y= x=f2(z)。

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学的罐地平线 图1 储油罐正面示意图 油位探针2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B 题 2010年上海世博会影响力的定量评估 20101851年伦互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. 【解析2】232322323i i ii i i+-+==-- (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=B. C.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80k=-=-【解析2】cos(80)k -︒=cos(80)k⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin 80tan1001008018080oo ocon con con -︒===--=(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.x +20y -=【解析2】11222z x y y x z =-⇒=-，画图知过点()1,1-是最大，()1213Max z =--= （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析1】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===， 37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====【解析2】123a a a =5325a ⇒=；789a a a =103810,a ⇒=6333528456550a a a a a a a ⇒==⇒==(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 5.C 【解析】12451335333322(1(1161281510105x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 的系数是 -10+12=2(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数AB C DA 1B 1C 1D 1 O学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种. 【解析2】33373430C C C --=(7)正方体ABCD-1111A BC D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A3237.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.与【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)22ACD S AC AD ∆==⨯=,21122ACD S ADCD a ∆==. 所以1313A C D A C D S D D D O a S ∆∆==,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin 3DO DD θ==,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos 1/3O O O OD OD ∠===（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e , 3221log log 2e <<< ，32211112log log e<<<； c=12152-=<=，∴c<a<b (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)(C)(D)9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||2y =【解析2】由焦点三角形面积公式得：120226011cot 1cot 222222F PF S b c h h h θ∆=====⇒=（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y=+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-(B)3-(C) 4-+(D)3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+故min ()3PA PB ∙=-+.此时x =【解析2】法一： 设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭ 法二：换元：2sin,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x xx--∙==+-≥或建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3(B)3(C)(D) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =. 【解析2】()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题”。

（2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”。

具体需要把握以下几个方面：第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题（1）要明确给出小椭圆型油罐正常体位（无变位）的不同油位高度与储油量的计算模型和公式，正确的结果(具体表达形式不唯一)是：21[()2arcsin ]2a h b V ab h b bh h ab L b bπ-=+--+，其中,,a b L 分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度，h 为罐内的油位高度。

通过代入几何参数计算得到正常（即标准）的罐容表对应值。

表1：正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果油位高度/cm油量/L 油位高度/cm油量/L 油位高度/cm油量/L 油位高度/cm油量/L 10 163.59 40 1199.31 70 2489.15 100 3659.88 20 450.27 50 1621.00 80 2910.84 110 3946.55 30803.54602055.07903306.611204110.15（2）讨论罐体变位的影响，要求给出纵向倾斜变位后修正模型，用不同方法可能有不同的表达形式，但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。

将变位参数代入模型，计算出修正后的罐容表标定值，并与正常的标定值进行比较，分析罐体变位的影响。

实际上，对于纵向倾斜变位的影响明显，最大误差在257L 以上，平均误差达到190L 以上，平均相对误差达30%以上。

第七届数学建模竞赛与第一届数学竞赛赛题2010-5-16系部 班级 学号 姓名 成绩2010桂林理工大学第一届数学竞赛赛题1、请叙述高等数学的主要内容。

（10分）2、将累次积分rdr r r f d ⎰⎰2cos 0)sin ,cos (πθθθθ化成直角坐标下的累次积分。

（5分） 3、已知正项级数∑∞=1n n a 发散，判定级数∑∞=+11n nna a 的敛散性。

（5分） 4、设)(t x x =由方程0sin 12=-⎰--t x u du et 所确定，请计算022=t dtxd 。

（10分）5、求0)1(22222=--++dy x y y x ydx x ，10==x y 的特解。

（10分） 6、设)(x f 具有二阶导数，在0=x 的某去心邻域内0)(≠x f ，且0)(lim=→xx f x ， 4)0(''=f ，请计算xx x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。

（10分） 7、设00,21,2,)21ln()(=≠->⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x f 且，请计算)0()100(f 。

（10分） 8、设)(lim 1x f x →存在，)(x f 在]1,0[上可积，且恒有)(lim 3)(243)(112x f dx x f x x x f x →--+=⎰，求)(x f 。

（10分）9、设)(x f 在),(+∞-∞内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞→-∞→=，证明存在),(+∞-∞∈c 使0)('=c f 。

（10分） 10、计算dS zx ⎰⎰∑2，其中∑是柱面az z x 222=+被锥面22y x z +=所截下的部分。

（10分）11、设)(x ϕ二阶连续可导，L 为不过y 轴的任一闭曲线，且曲线积分0)('])()('[2=--+⎰dy x dx x yx x x x Lϕϕϕ，求函数)(x ϕ。

第一部分：基本操作（任选三题）（1）求当 x =1, y =2 时的z值。

其中：z =（2）用 while 循环求 1～200 之间的整数之和。

（3）输入如下两个矩阵 A 和 B ，对矩阵 A 和 B 作关系运算，标识出两矩阵中元素相等的位置，元素值不等的位置，并标识出矩阵 A 中所有小于 0 的元素。

143328523B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦123213321A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （4）编写一个 M 文件，画出下列分段函数所表示的曲面。

2222220.75 3.75 1.560.75 3.75 1.50.54 1(,)0.7575 110.5457 1x y y x y x y y e x y p x y e x y e x y -------+⎧+>⎪⎪=-<+≤⎨⎪+≤-⎪⎩（5）用曲面图命令 surf 表现函数22z x y =+的图像。

（6）绘制颜色为蓝色，数据点用五角星标识的下述函数在(0,5)上的虚线图。

sin xy xe=（7）编写一个 M 文件，画出下列分段函数所表示的曲面。

2222220.75 3.75 1.560.75 3.75 1.50.54 1(,)0.7575 110.5457 1x y y x y x y y e x y p x y e x y e x y -------+⎧+>⎪⎪=-<+≤⎨⎪+≤-⎪⎩（8）用plot 、fplot 绘制函数y=cos(tan(πx))图形（9）用ezplot 绘制函数exy-sin(x+y)=0在[-3，3]上图形。

（10）在同一平面中的两个窗口分别画出心形线和马鞍面。

要求 （1）、在图形上加格栅、图例和标注 （2）、定制坐标 （3）、以不同角度观察马鞍面第二部分：基本建模题（任选两题）问题一：俗话说“大饺子能装馅”，是组建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。

问题二：层次分析法使用层次分析法解决一个实际问题，比如，为学校评选优秀学生过优秀班级构造层次分析模型；给自己毕业后选择工作做出决策；为高中毕业生建立一个填报志愿的层次结构模型。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲1105所属学校（请填写完整的全名）：中国海洋大学参赛队员 (打印并签名) ：1.刘润华2.赵利娜3.刘泽指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组日期：2010年9月13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是罐体变位对罐容表的影响。

通过建立空间直角坐标系，利用体积的二重积分求出进油量，得出罐内油位高度与储油量的关系。

对于问题一，我们分别对储油罐无变位和倾斜角为 4.1α= 的纵向变位两种情况分别进行研究，对罐体无变位情况我们建立直角坐标系求出进油量的底面进行求解即可得到罐内油的体积；对于有倾斜积，利用柱体的体积公式V S h=底角的情况我们先利用定积分求出沿罐外壁方向切面的面积，再根据油浮子示数与实际油面与罐底之间的关系，沿油罐外壁对切面面积进行积分求出罐内油的总体积。

对于问题二，我们首先根据油罐中的液面分布情况，将问题分为三种情况，可是考虑到实际因素，只对液面与两端球冠有交点并且不接触到油罐的顶端这种情况进行考虑。

又因为储油罐的横向和纵向的变位在实际中非常小，所以将此问题两端球冠处的液面分布进行平行简化，进而针对两球冠和中间的柱体分别进行积分，进而建立储油罐内的容量V与桶内油浮子所表示的液面高度h之间的数学模型。

10年春季学期《数学模型及数学软件》试卷A B卷解评分参考详解(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除22010年春季学期《数学模型及数学软件》试卷A 卷一、 填空题（每空2分，满分14分）：1、虽然数学建模所面临的问题千差万别，使用的方法灵活多样，但建模的基本步骤还是有规律可循的。

所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 、 、、 、 。

2、 在市场经济需求和供应关系中，设某地区某种商品第n 期的市场需求量n x 、市场供给量n y 及价格n q 等之间满足12120,36n n n n x q y q -=-+=-，那么该商品的均衡价格是 ，供求关系是否能稳定？二、简答题（每小题2分，满分8分）： 从下面一段不太明确的叙述中确定出要研究的问题，指出需要搜集哪些数据资料（至少列举3个），要做些什么建模的具体前期工作（至少列举3个），指出可以建立何种类型的数学模型：“一座高层办公楼有三部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决”。

1、要研究的问题是2、所需搜集资料为3、要做的具体建模前期工作4、可以建立 模型，亦可 模型三、M 程序翻译题（每小题6分，满分12分）： 将下列Matlab 程序翻译成为数学模型或数学问题.1、 f = [13 ,9, 10 ,11, 12,8];A = [ ,, 1 ,0,0, 0; 0, 0, 0, ,, ];b = [800; 900];Aeq=[1, 0 ,0 ,1, 0 ,0; 0 ,1, 0 ,0, 1, 0; 0 ,0, 1,0 ,0 ,1];beq=[400, 600, 500];vlb = zeros(6,1);vub=[];[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)2、x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);3z=cos(x);plot(x,y,'r',x,z,'go')gtext('sin(x)');gtext('cos(x)');四、刹车问题（12 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S 米，刹车时的速度V 千米/小时，汽车的总重量T（吨）三者满足关系S=KV 2T （K 为常数），现有一辆空车，它在60千米/小时的速度下行驶的刹车距离为10米。