工科数学分析7-8常系数线性微分方程组

常系数线性微分方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y =f(x)\]其中$y$是未知函数，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$是给定的常数，$f(x)$是已知的函数。

这类微分方程中，最高阶的导数的系数$a_n$不为零。

它的特点在于，常数系数的确定可缩减为一个初值问题，解的形式可以通过特征方程的根来确定。

为了更好地理解常系数线性微分方程，首先我们来介绍一些最基本的概念和性质。

1.常系数线性齐次微分方程当$f(x)=0$时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0\]称为常系数线性齐次微分方程。

它的特征方程为\[a_n r^n + a_{n-1} r^{(n-1)} + \cdots + a_1 r' + a_0 = 0\]其中$r$是一个未知数，称为特征根。

我们假设特征根的多重性是1，即每个特征根都有一个对应的线性无关的解。

2.常系数线性非齐次微分方程的通解当 $f(x) \neq 0$ 时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(x)\]称为常系数线性非齐次微分方程。

它的通解可以表示为齐次解与特解的和，即\[y=y_h+y_p\]其中$y_h$是齐次方程的通解，$y_p$是非齐次方程的一个特解。

3.特解的构造方法特解的构造方法主要有待定系数法和常数变易法两种。

(1)待定系数法当$f(x)$是多项式、指数函数、三角函数等形式时，我们可以通过观察$f(x)$所具有的性质，设定待定系数，再将特解代入原方程，确定待定系数的值。

(2)常数变易法当 $f(x)$ 是形如 $e^{kx}$ 的指数型函数时，我们可以通过设定常数变易法，即设定特解的形式为 $Ae^{kx}$，其中 $A$ 是待定常数。

§5.3 常系数线性微分方程组本节研究常系数线性微分方程组的问题，主要讨论齐线性微分方程组x Ax '= （5.33）的基解矩阵的结构，这里A 是n n ⨯常数矩阵。

我们将通过代数的方法，寻求（5.33）的一个基解矩阵。

最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。

5.3.1 矩阵指数exp A 的定义和性质为了寻求（5.33）的一个基解矩阵，需要定义矩阵指数exp A （或写作Ae ），这要利用5.1.2中关于矩阵序列的有关定义和结果。

如果A 是一个n n ⨯常数矩阵，我们定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和20exp !2!!k mA k A A A A e E A k m ∞===+++++∑ （5.34）其中E 为n 阶单位矩阵，mA 是矩阵A 的m 次幂。

这里我们规定0A E =，0!1=。

这个级数对于所有的A 都是收敛的，因而，exp A 是一个确定的矩阵。

事实上，由5.1.2中的性质1，易知对于一切正整数k ，有!!kkA A k k ≤ 又因对于任一矩阵A ，A 是一个确定的实数，所以数值级数22!!mAA E A A m +++++是收敛的（注意，它的和是1An e-+）。

由5.1.2知道，如果一个矩阵级数的每一项的范数都小于一个收敛的数值级数的对应项，则这个矩阵级数是收敛的，因而（5.34）对于一切矩阵A 都是绝对收敛的。

级数0exp !k kk A t At k ∞==∑ （5.35）在t 的任何有限区间上是一致收敛的。

事实上，对于一切正整数k ，当t c ≤（c 是某一正常数）时，有!!!k k kk k kA t A c A t k k k ≤≤ 而数值级数()0!kk A c k ∞=∑是收敛的，因而（5.35）是一致收敛的。

矩阵指数exp A 有如下性质：1 如果矩阵A ，B 是可交换的，即AB BA =，则exp()exp exp A B A B +=+ （5.36）事实上，由于矩阵级数（5.34）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，如项的重新排列不改变级数的收敛性和级数的和以及级数的乘法定理等都同样地可以用到矩阵级数中来。

常系数线性微分方程- Introduction微积分学是数学的重要分支之一，常系数线性微分方程是微积分学的一个重要内容。

在工程、物理、化学、经济等学科中，常系数线性微分方程都有着重要的应用价值。

因此，本文将从数学基础、概念定义、解析方法、应用等方面，探讨常系数线性微分方程的相关知识。

- 数学基础为了理解常系数线性微分方程的概念和解析方法，我们需要先了解一些数学基础知识。

微互分学中的微分方程是一类关于未知函数及其导数的方程，它是一个重要的数学工具，用来描述一些自然、社会现象等。

一般来说，微分方程可分为常系数和变系数两类。

常系数是指微分方程中参数系数是常数，变系数是指微分方程中参数系数是函数。

在常系数线性微分方程中，方程的系数都是常数。

- 概念定义在微分方程中，有一个重要的类别称为“线性”。

所谓线性，指的是未知函数及其导数只出现一次，并且系数可以是常数、函数或常数和函数的乘积。

若未知函数y(x)的n阶导数出现在方程中，且系数都是常数，则称其为“n阶常系数线性微分方程”，简称“n阶常微分方程”。

n阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$$其中，$a_1,a_2,...,a_n$均为常数，$f(x)$是已知函数。

- 解析方法n阶常微分方程的解法一般包括“常数变易”法、“齐次线性微分方程”法、“非齐次线性微分方程”法等。

其中，“齐次线性微分方程”法与“非齐次线性微分方程”法最为常用。

1. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程指的是非齐次线性微分方程中的$f(x)=0$。

在这种情况下，我们通常采用以下步骤来解方程：（1）找出$n$次齐次方程的通解$y_h(x)$；（2）设非齐次方程的特解为$y_p(x)$；（3）得出非齐次方程的通解$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。

2. 非齐次线性微分方程法非齐次线性微分方程指的是$f(x)≠0$。

大学微分方程中的常系数线性微分方程在大学微分方程课程中，常系数线性微分方程是一种非常重要的类型。

它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍常系数线性微分方程的定义、性质和解法，并通过一些例子来说明其应用。

一、常系数线性微分方程的定义和性质常系数线性微分方程是指形如下式的微分方程：\[a_ny^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1y'(x) + a_0y(x) = f(x) \]其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为常数，$y^{(n)}(x), y^{(n-1)}(x), \cdots, y'(x), y(x)$为待求函数$y$的各阶导数，$f(x)$为已知函数。

常系数线性微分方程有以下几个重要性质：1. 齐次性质：如果$f(x)=0$，即方程右端为零函数，那么称该方程为齐次常系数线性微分方程；2. 非齐次性质：如果$f(x)\neq0$，即方程右端不为零函数，那么称该方程为非齐次常系数线性微分方程；3. 线性性质：常系数线性微分方程是线性方程，即方程中的未知函数$y(x)$及其各阶导数的线性组合；4. 一阶方程：当$n=1$时，方程称为一阶常系数线性微分方程；5. 高阶方程：当$n>1$时，方程称为高阶常系数线性微分方程。

二、一阶常系数线性微分方程的解法对于一阶常系数线性微分方程$ay'(x)+by(x)=f(x)$，其中$a$和$b$为常数，我们可以使用以下步骤来求解：1. 首先求齐次方程的通解：假设$y(x)$是方程$ay'(x)+by(x)=0$的解，我们可以使用分离变量法或者特征方程法求解齐次方程；2. 然后求非齐次方程的一个特解：根据$f(x)$的形式和齐次方程的通解形式，选择一个特解形式，并代入方程求解；3. 最后得到非齐次方程的通解：将齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解相加，即可得到非齐次方程的通解。

常系数线性微分方程(组)1.什么是常系数线性微分方程(组)常系数线性微分方程(组)是一类用来描述变量之间关系的数学方程(组)。

这类方程(组)可以用来求解变量随时间变化的规律。

常系数线性微分方程(组)的形式如下：对于一元方程：a1y' + a2y = b对于二元方程组：a1x' + a2y' = b1a3x' + a4y' = b2其中，a1、a2、a3、a4是常数，y'和x'分别表示y和x关于时间的导数。

2.常系数线性微分方程(组)应用常系数线性微分方程(组)在实际生活中有许多应用。

下面是几个具体的例子：在物理学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述物体运动的轨迹。

例如，对于一个物体在地面上匀加速直线运动的情况，我们可以用如下方程来描述：s = v0t + 0.5a*t^2其中，s是物体位移，v0是初始速度，a是加速度，t是时间。

在经济学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述经济变量之间的关系。

例如，对于一个国家的人口数量随时间变化的情况，我们可以用如下方程来描述：P' = rP - aP^2其中，P是人口数量，P'是人口数量关于时间的导数，r是人口增长率，a是人口密度。

在生物学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述生物群体数量随时间变化的情况。

例如，对于一种动物的数量随时间变化的情况，我们可以用如下方程来描述：N' = rN - dN其中，N是动物数量，N'是动物数量关于时间的导数，r是动物生长率，d是动物死亡率。

在自动控制工程中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述系统的动态行为。

例如，对于一个机器人的运动控制系统，我们可以用如下方程来描述：x'' + kx' + cx = u其中，x是机器人的位置，x''是机器人位置关于时间的二次导数，k是阻尼系数，c是弹性系数，u是控制输入。