专题50：圆与圆的位置关系2021届新课改地区高三数学一轮专题复习(解析版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲）考点一直线与圆的位置关系【例1】（1）（2021·遵义师范学院附属实验学校）圆22(3)(3)8x y-+-=与直线3460x y++=的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定（2）．（2021·全国高二专题练习）直线():120l kx y k k R-++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个（3）（2021·黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A的直线l与曲线22231x y有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．⎡⎣B．(C．33⎡-⎢⎣⎦D．,33⎛-⎝⎭（4）（2021·浙江高二期末）已知曲线y=与直线10kx y k-+-=有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．30,4⎛⎫⎪⎝⎭C．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】（1）C （2）D （3）C （4）A【解析】（1）圆心为()3,3，半径r =()3,3到直线3460x y ++=的距离为333462755d r ⨯+⨯+==>所以直线与圆相离故选：C（2）将直线l 的方程变形为()210k x y ++-=，由2010x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =-⎧⎨=⎩，所以，直线l 过定点()2,1P -，()22215-+=，即点P 在圆C 上，因此，直线l 与圆C 相交或相切.故选：D.（3）由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得k ≤≤.故选：C. （4）曲线y =22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k =，所以234k =，1101112k --==--，所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：A ．【一隅三反】1．（2021·江苏南京市·高二期末）直线10x +=与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ） A ．直线过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交【答案】B【解析】圆()2211x y -+=的圆心为()1,0 ，半径1r =圆心()1,0到直线10x +=的距离1d r ===所以直线10x -+=与圆()2211x y -+=相切故选：B 2．（2021·四川成都市）若圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则 a 的值为（ ） A ．1 BC ．2D．【答案】C【解析】因圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则直线0x -=与圆22()1x a y -+=切线，圆心(,0)a 到该直线距离为半径1，1||2a =⇔=，而0a >，则有2a =，所以 a 的值为2.故选：C3．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关【答案】A【解析】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内， 故直线与圆必然相交．故选：A ．4．（2021·全国高二专题练习）若直线0x y b +-=0y +=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A．[- B．[C ．[1,1]-D．[【答案】B【解析】根据题意，y =，变形可得x 2+y 2＝1（0y ≤），为圆x 2+y 2＝1的下半部分，若直线x +y ﹣b ＝0与曲线y =有公共点，则当直线经过点A 时，直线x +y ﹣b ＝0与曲线y =有公共点此时b ＝1=1，解可得bb <0，则b =，则b的取值范围为[；故选：B ．5．（2021·河北保定市·高二期末）（多选）已知圆22:(1)(1)169C x y -+-=，直线:450,l kx y k k R --+=∈．则下列选项正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点B ．直线l 与圆C 的位置可能相交、相切和相离 C ．直线l 被圆C 截得的最短弦长为12D ．直线l 被圆C 截得的最短弦长对应的k 值为34-【答案】AD【解析】由直线:450,l kx y k k R --+=∈得():54,l y k x k R -=-∈， 所以直线l 过定点()4,5，故A 选项正确；此时将点()4,5代入圆22:(1)(1)169C x y -+-=得22(41)(5125)169-+<-=，所以点()4,5在圆内，故直线l 与圆C 的位置是相交，故B 选项错误；当直线l 与过点()4,5和圆心的直线垂直时，直线l 被圆C截得的弦长最短，为24=，此时直线l 的斜率为1351441k -==---，故C 选项错误，D 选项正确.故选：AD 考点二 直线与圆的弦长【例2】（1）（2021·四川成都市）直线1y x =-被圆22220x y y ++-=截得的弦长为（ ） A ．1B ．2CD．（2）．（2021·浙江高二期末）已知直线:0l kx y k -+-=被圆224x y +=截得的弦长为点(),m n 是直线l 上的任意一点，则22m n +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】（1）B （2）A【解析】（1）圆的标准方程为()2213x y ++=，圆心为()0,1-，半径为r =所以圆心到直线的距离d ==2l ===，故选：B .（2）圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r，圆心到直线的距离1d ==， 所以22m n +的最小值为21d =.故选：A 【一隅三反】1．（2021·安徽省泗县第一中学）直线40x y -+=被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长为（ ） AB．C．D．【答案】B【解析】圆22(2)(2)2x y ++-=的圆心()2,2-到直线40x y -+=的距离为：0d ==．即圆心过直线40x y -+=直线被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长等于圆的直径：．故选：B ． 2．（2021·浙江高二期末）已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是（ ） A ．43130x y +-= B ．34150x y +-=C ．34150x y +-=或1x =D ．43130x y +-=或1x =【答案】D【解析】圆()2224x y -+=的圆心为点()2,0，半径为2r，圆心到直线l 的距离为1d ==.①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，此时圆心到直线l 的距离为1，合乎题意； ②若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k -+-=， 圆心到直线l的距离为1d ===，解得43k =-.此时直线l 的方程为43130x y +-=.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =. 故选：D.3．（2021·贵溪市实验中学高二期末）直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为（ ）A ．B ．2C D ．与k 的取值有关【答案】A【解析】由于圆222x y +=的圆心在直线y kx =上，所以截得弦为圆222x y +=，故截得的弦长为故选：A4．（2021·天水市第一中学高二期中）已知直线0x ay a +-=和圆220x y x +-=的交点为A ，B ，且1AB =，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．1-【答案】C【解析】由220x y x +-=得2211()24x y -+=，即圆心1(,0)2，半径12r =，因为12AB r ==，所以直线0x ay a +-=过圆心，即102a -=，解得12a =，故选：C5．（2021·全国高二课时练习）若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0【答案】A【解析】圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为M (1，0)． 因为直线MP 与AB 垂直，所以k AB ＝－1MPk ＝－10(1)12---＝1.又因为直线AB 过点P (2，－1)，所以直线AB 方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.故选：A6．（2021·辽宁辽阳市·高二期末）已知圆22:4850C x y x y +-+-=，直线:20l mx y m --=. （1）证明：直线l 与圆C 相交.（2）设l 与圆C 交于,M N 两点，若MN =，求直线l 的倾斜角及其方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）证明：直线:2()0l m x y --=过定点()2,0，因为224250-⨯-<，所以点()2,0在圆C 的内部，故直线l 与圆C 相交. （2）圆C 的标准方程为()2225()42x y -++=，则圆C 的圆心坐标为4(2,)C -，半径为5，且圆心C 到直线l 的距离d ==因为MN==d ==，得3m =±当3m=时﹐直线l 的方程为)2y x =-，倾斜角为6π当m =l 的方程为)23y x =--，倾斜角为56π 考点三 圆上的点到直线距离【例3】（1）（2021·福建三明市·高二期末）圆()2222x y -+=上动点到直线20x y ++=的距离的最小值为（ ） AB ．C．D ．（2）（2021·四川巴中市·（文））圆22(1)(1)4xy ++-=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】（1）A （2）C【解析】（1）∵圆()2222x y -+=，∴圆心()2,0，半径r =∴圆心到直线的距离d ==，∴圆()2222x y -+=上的点到 直线20xy ++=的距离最小值为=，故选：A.（2）由题知，圆心(1,1)-到直线:0l x y ++=12=<，则直线l 与圆相交，由圆的半径为2知，圆上到直线的距离为1的点有3个.故选：C 【一隅三反】1．（2021·六安市裕安区新安中学）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】半径为2的圆经过点(1,0)，设圆心坐标为(,)a b ，则圆的方程为22(1)(0)4a b -+-=所以该圆的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆故圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为点(1,0)152215=-=故选：B2．（2021·全国高二课时练习）已知点M 是直线3420x y +-=上的动点，点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点，则||MN 的最小值为 A ．45B ．1C ．95D ．135【答案】A【解析】MN 的最小值为3424155N l d r -----=-=,选A. 3．（2021·全国高二专题练习）在圆()2224x y -+=上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则a 的取值范围为__________． 【答案】()()21,111,9---【解析】由圆的方程知其圆心为()2,0，半径2r，设圆心到直线340x y a ++=的距离为d ，则65ad +=； 圆上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则12rd r <<+， 即6135a+<<，解得：2111a -<<-或19a -<<， a ∴的取值范围为()()21,111,9---.故答案为：()()21,111,9---.考点四 圆与圆的位置关系【例4】（1）（2021·浙江高二期末）圆221:(1)1C x y -+=与圆222:(4)(4)17C x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切B ．相切C ．相交D ．外离（2）（2021·北京高二期末）已知圆1O 的方程为22()()4x a y b -+-=，圆2O 的方程为22(1)1x y b +-+=，其中,a b ∈R ．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ） A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】（1）C （2）C【解析】圆()221:11C x y -+=的圆心为1(1,0)C ，半径11r =，圆()()222:4417C x y -+-=的圆心为2(4,4)C ，半径2r =所以211212151r r C C r r -=<==<+= C （2）由两圆的标准方程可得()1,O a b ，12r =，()20,1O b -，21r =；则12121O O r r =≥=-，所以两圆不可能内含.故选：C.【一隅三反】1．（2021·全国高二专题练习）圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】A【解析】圆221:20C x y x +-=，即22(1)1x y -+=，表示以1(1,0)C 为圆心，半径等于1的圆.圆222:(1)(2)9C x y -++=，表示以2(1,2)C -为圆心，半径等于3的圆.∴两圆的圆心距|20|2d =--=，231=-，故两个圆相内切.故选：A.2．（2021·江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称，圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】B【解析】22210x y x my +-++=即222124mm x y ，圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为圆1C 关于直线210x y ++=对称，所以圆心1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭在直线210x y ++=上， 即12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得2m =，()()22111x y -++=，圆心()1,1-，半径为1， ()()222316x y ++-=，圆心()2,3-，半径为4，5，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相切， 故选：B.3．（2021·全国高二（文））已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆2C ：22430x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】C【解析】由题意可得，圆()()221:4425C x y -+-=的圆心为()4,4，半径为5因为圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，所以2102m-+=（），得m =所以圆()(222:24C x y -+=的圆心为(2,，半径为2，则两圆圆心距12C C =因为1252725C C -<<<=+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交， 故选：C .4．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞【答案】C【解析】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ，所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.5．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C【解析】圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =圆心距12|1|d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则12d r r >+或12d r r <-1|a ->1|a -<02a <<或4a >故选：C考点五 圆与圆相交弦【例5】（1）（2021·湖南湘潭市）已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B两点，则两圆的公共弦AB =A ．B ．CD ．2（2）（2021·天津市南仓中学高二期末）已知圆221:4C x y +=和圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为2，则实数a 的值为（ ）A BC ．2D【答案】（1）A （2）A【解析】（1）圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相减得AB 所在的直线方程：20x y -+=.∵圆221:40C x y +-=的圆心()10,0C ，2r ，∴圆心()0,0到直线AB ：20x y -+=的距离d ==，则AB===．故选A（2）圆221:4C x y +=的圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:260C x y ay ++-=即()2226x y a a ++=+，圆心()20,C a -，半径226r a ，圆1C 和圆2C 的公共弦方程为()2222264x y x y ay +-++-=，即1y a=， 圆心()10,0C 到1y a=的距离为1a ，因为公共弦长为2，所以222121a，解得3a=或3-，故选：A. 【一隅三反】1．（2021·辽宁高三其他模拟）圆O ：229x y +=与圆1O ：()()222316x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（ ）A ．6B ．5C ．13D ．13【答案】D【解析】圆O 的半径3r =，圆1O 的半径14r =，1OO = 故在1AOO中，22211111cos sin 2r OO r AOO AOO r OO +-∠===⇒∠=⋅，故1sin 2AB r AOO AB =∠=⇒=． 故选：D2．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（ ）A ．12||2C C =B ．直线AB 的方程是14x =C ．12AC AC ⊥D ．||2AB =【答案】ABD【解析】圆1C 的圆心是()0,0，半径11r =，圆()222:24C x y -+=，圆心()2,0，22r =，122C C ∴=，故A 正确；两圆相减就是直线AB 的方程，两圆相减得1414x x =⇒=，故B 正确； 11AC =，22AC =，122C C =，2221212AC AC C C +≠，所以12AC AC ⊥不正确，故C 不正确；圆心()0,0到直线14x =的距离14d =，2AB ===，故D 正确. 故选：ABD3．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+【答案】ABD【解析】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为d ==1r =所以AB ==，故C 不正确； 对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y-=的距离为2d =，半径1r =，即P到直线AB 1+，故D 正确.故选：ABD考点六 切线及切线长【例6-1】（2021·浙江高二单元测试）由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 BC ．D ．3【答案】B【解析】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1==B ．【例6-2】（1）（2021·全国）经过点M 的圆2210x y +=的切线方程是（ ）A ．100x -= B 2100y -+= C ．100x -+=D ．2100x +-=（2）（2021·重庆字水中学高二期末）（多选）过点(2,0)作圆222690x y x y +--+=的切线l ，则直线l 的方程为（ ）A ．3460x y +-=B ．4380x y +-=C ．20x -=D ．20x +=（3）（2021·全国）过点(2,2)-作圆224x y +=的切线，若切点为A 、B ，则直线AB 的方程是（ ） A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【答案】（1）D （2）BC （3）B【解析】（1）222(6)10+=，M ∴在圆上，且2OM k =，∴过M 的切线斜率为1OMk -=∴过M 的切线方程为：2)y x =-，即2100x +-=.选:D .（2）22222690(1)(3)1x y x y x y +--+=∴-+-=圆心(1,3)到直线2x =距离等于1，所以直线l 的方程可以为2x = 当直线l 的斜率存在时，设:(2)l y k x =-441:(2)438033k l y x x y =∴=-∴=--∴+-=故选：BC（3）根据题意，设(2,2)P -，圆224x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r ，有||OP ==则2222||||||4PA PB OP r ==-=，则以P 为圆心，||PA 为半径为圆为22(2)(2)4x y ++-=，即224440x y x y ++-+=， 公共弦所在的直线即直线AB ，则222244440x y x y x y ⎧+=⎨++-+=⎩，变形可得20x y -+=； 即直线AB 的方程是20x y -+=；故选：B.【例6-3】（2021·四川眉山市·高二期末（文））圆221:1C x y +=与圆222:870C x y y +-+=公切线的条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】221:1C x y +=的圆心坐标1(0,0)C ，半径为11r =；222:870C x y y +-+=化为标准方程为()222:49C x y +-=，所以圆心坐标2(0,4)C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以两个圆外切，所以公切线条数为3条.故选：D.【例6-4】（2021·全国高二课时练习）已知P （x ，y ）是直线kx +y +3=0（k >0）上一动点，PA ，PB 是圆C ：2x +2y -2y =0的两条切线，.A 、B 是切点，若四边形PACB k 的值为（ ）A BC ．D ．【答案】A【解析】圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACBPBC S ∆∴的最小值1(2rd d =是切线长）d ∴=最小值所以|PC|2=，所以20,k k k ∴=>∴=故选：A ．【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）P 是直线x +y -2=0上的一动点，过点P 向圆22:(2)(8)4C x y ++-=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．2【答案】C【解析】∵圆22:(2)(8)4C x y ++-=，∴圆心(2,8)C -，半径2r .由题意可知，点P 到圆22:(2)(8)4C x y ++-=的切线长最小时，CP 垂直于直线20x y +-=.∵圆心到直线的距离d ==2=.故选：C.2．（2021·西安市铁一中学高二期末（理））由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为A B C ．D 【答案】B【解析】圆心(4,2)A -,半径1r = ，圆心到直线的距离d ==则切线长的最小值=3．（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二期末（文））若从坐标原点O 向圆22:12270C x y x +-+=作两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为（ ）A ．32B ．3CD ．【答案】D【解析】圆C 标准方程是22(6)9x y -+=，圆心为(6,0)C ，半径为3r =，所以,A B 关于OC 对称，即关于x 轴对称，而OA CA ⊥，6,3OC CA ==，所以OA =，所以2AB ==．故选：D ． 4．（2021·重庆市南坪中学校高二月考）过坐标原点O 作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的两条切线，切点为A ，B ．直线AB 被圆截得弦AB 的长度为（ ）A B C ．13D ．13【答案】B【解析】如图所示,易得OC =故213OB BC AB OC ⋅===.故选：B5．（2021·浙江高二期末）过点()2,1作圆224x y +=的切线，切线的方程为（ ） A ．34100x y +-=B ．3420x y --=C ．2x =或3420x y --=D ．2x =或34100x y +-=【答案】D 【解析】圆224x y +=的圆心为()0,0，半径2r ，过点()2,1作圆224x y +=的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足条件，当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，则2d ==，解得34k =-，故切线方程为34100x y +-=， 综上可得切线方程为34100x y +-=或2x =故选：D6．（2021·全国高二课时练习）经过点()2,1M -作圆225x y +=的切线，则切线的方程为 A ．250x y --=B 50y ++=C 5y +=D ．250x y ++=【答案】A 【解析】因为点()2,1M -在圆225x y +=上，所以1k 2OM =-，因此切线斜率为2，故切线方程为()y 12x 2+=-，整理得2x y 50.--=7．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（ ）A ．1B ．2 C．3 D ．4【答案】B【解析】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3； 圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.8．（2021·六安市裕安区新安中学高二开学考试（理））若圆22(1)(3)4x y -+-=与圆22(2)(1)5x y a +++=+有且仅有三条公切线，则a =（ ） A ．-4B ．-1C ．4D ．11【答案】C 【解析】圆22(1)(3)4x y -+-=的圆心为()1,3，半径为2， 圆22(2)(1)5x y a +++=+的圆心为()2,1--()5a >-，两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切，2=4a =.故选：C. 9．（2021·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试（文））已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）A ．2BC ．D ．4 【答案】A【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆． 由于四边形PACB 面积等于122PA ACPA ⨯⨯⨯=，而PA =故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而d ==故四边形PACB 2=，故选A.考点七 实际生活运用【例7】（2021·上海高二专题练习）如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）2220600x y x y +--=（2）该船有触礁的危险【解析】（1）如图所示，(40,40)A 、(20,0)B ，设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，得：222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-，60E =-，0F =，故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=，圆心为(10,30)C，半径r =（2）该船初始位置为点D，则(20,D --，且该船航线所在直线l 的斜率为1，故该船航行方向为直线l：200x y -+-=，由于圆心C 到直线l的距离d ==<，故该船有触礁的危险.【一隅三反】1．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ； 由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =， 所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-， 所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为2CD x ===米.故选：C.2．（2021·上海高二专题练习）有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A 地的运费是B 地运费的2倍﹐已知A ､B 两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系（1）求A 、B 两地的售货区域的分界线的方程﹔（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.【答案】（1）()22516x y -+=；（2）答案见解析.【解析】（1）以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，则点()3,0A 、()3,0B -，设每单位距离B 的运费为a 元，设售货区域内一点为(),P x y ，若在两地的购货费用相同，则2=()22516x y -+=， 故在A 、B 两地的售货区域的分界线的方程为()22516x y -+=；（2）由（1）可知，A 、B 两地的售货区域的分界线是以点()5,0为圆心，以4为半径的圆，所以，在圆()22516x y -+=上的居民从A 、B 两地购货的总费用相同.由2>()22516x y -+>， 所以，在圆()22516x y -+=外的居民从B 地购货便宜；由2<()22516x y -+<，所以，在圆()22516x y -+=内的居民从A 地购货便宜.考点八 综合运用【例8】（2021·全国高二课时练习）已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线l 的斜率是定值，并求出该定值．【答案】（1）（x ﹣3）2+y 2＝25；（2）x ＝0或7x +24y ﹣96＝0；（3）证明见解析，（﹣6，﹣12）；（4）证明见解析，34-. 【解析】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径，所以圆的标准方程为()22325x y -+=.（2）①k 不存在时，直线l 的方程为：0x =，||8AB ==，满足题意；②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，3d ==3,724d k ==∴=-， 所以直线l 的方程为：724960x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=.（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +，1212442AM AN kx t kx t k k x x +-+-⋅=⋅= ()()()()2212122440k x x k t x x t ⇒-+-++-=①联立方程()()()22222126160325y kx t k x kt x t x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩， 所以()122261kt x x k --+=+，2122161t x x k-=+代入① 得()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=， 化简得26t k =+，所以直线l 的方程为：26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以过定点()6,12--. （4）设直线AM ：y ＝kx +4，联立方程()()()222241680325y kx k x k x x y =+⎧⎪⇒+--=⎨-+=⎪⎩， 所以M 点的坐标为22268464,11k k k k k ⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭， 同理N 点的坐标为22268464,11k k k k k ⎛⎫+--+ ⎪++⎝⎭． 所以34M N MN M N y y k x x -==--， 故直线l 的斜率是定值，且为34-． 【一隅三反】 1．（2021·全国高二课时练习）已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的最短弦长并求此时直线l 的方程；（3）已知点(,)P x y 在圆C 上，求22x y +的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）250x y --=（3）30+【解析】（1）由()():211740l m x m y m +++--=得(27)40x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即直线l 经过定点(3,1)， 因为22(31)(12)25-+-<，所以点(3,1)在圆()()22:1225C x y -+-=内，所以不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点.（2）由()()22:1225C x y -+-=可知，圆心(1,2)C ，半径为5，设(3,1)M ，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则||d CM≤==，当且仅当CM l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离为d 最大，此时直线被圆 C截得的弦长最短，最短弦长为==，因为211132CM k -==--，所以直线l 的斜率为2， 所以直线l 的方程为12(3)y x -=-，即250x y --=.（3）设坐标原点为O ，则||OC =，所以max ||||55OP OC =+=，所以2222||x y OP +==的最大值为25)30=+2（2021·浙江高二单元测试）已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线1:0l kx y k --=，且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ，定点A 的坐标为(1,0).（1）求实数k 的取值范围；（2）若,P Q 两点的中点为M ，直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值.【答案】（1）4(,)(0,)3-∞-⋃+∞（2）10【解析】（1）因为圆22(3)(4)16x y -+-=与直线1l 与交于不同的两点，4<，即2340k k +>，解得43k <-或0k > （2）由0{240kx y k x y --=++=可得245()2121k k N k k --++， 由220{(3)(4)16kx y k x y --=-+-=可得2222(1)(286)890k x k k x k k +-+++++= 设P Q ，两点横坐标分别为12x x ，，则21222861k k x x k+++=+ 得22224342()11k k k k M k k +++++，所以AM AN ⋅=10== 3．（2021·内蒙古包头市·高二期末（文））已知圆O ：228x y +=，()1,2M -是圆O 内一点，()4,0P 是圆O 外一点．（1）AB 是圆O 中过点M 最长的弦，CD 是圆O 中过点M 最短的弦，求四边形ACBD 的面积；（2）过点P 作直线l 交圆于E 、F 两点，求OEF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【答案】（1）；（2）4，)4y x =-. 【解析】（1）过M 最长的弦为直径，最短的弦为垂直于OM 的弦，圆的半径R =OM =所以AB =CD ==所以1122ABCD S AB CD =⨯⨯=⨯=四边形（2）OE OF ==1sin 2OEF S OE OF EOF =⨯⨯⨯∠△， 当90EOF ∠=︒时，OEF 面积的最大值为4，此时，O 到l 的距离为2，4OP =所以l 的倾斜角为30或150︒，则l 的斜率为±l 的方程为)43y x =±-．。

高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.在平面直角坐标xoy中，设圆M的半径为1，圆心在直线上,若圆M上不存在点N，使,其中A（0，3），则圆心M横坐标的取值范围 .【答案】【解析】设，由得：化简得：，表示为以为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B与圆无交点，即或，解得圆心M横坐标的取值范围为：【考点】动点轨迹，圆与圆位置关系2.设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2，＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，∴S＝·|△AOB |||＝·≥×6＝3.3.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 4.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.5.圆：与圆：的公共弦长等于.【答案】【解析】将的方程化为标准方程得：.将两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.圆心到弦的距离为，所以弦长.【考点】两圆的位置关系及弦长.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29，0)．(1)求圆弧C2所在圆的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l 的距离．【答案】（1）x2＋y2－28x－29＝0.（2）P不存在（3）【解析】(1)由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍去)；由解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，因为EF>2r1，EF>2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋，即＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.7.已知圆C1：x2＋y2－2y＝0，圆C2：x2＋(y＋1)2＝4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且直线PC1，PC2的斜率之积为－.(1)求动点P的轨迹M的方程；(2)是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得|C1C|＝|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在【解析】(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0，1)，和C2(0，－1)，设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC1，PC2的斜率分别为(x≠0)和 (x≠0)．由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．所以动点P的轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠0)．(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．联立方程组得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①依题意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.当－<k<时，设交点分别为C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点为N(x，y)，则x1＋x2＝，则x＝＝，所以y0＝k(x－2)＝k＝.要使|C1C|＝|C1D|，必须C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，因为Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0无解，所以不存在直线，使得|C1C|＝|C1D|，综上所述，不存在直线l，使得|C1C|＝|C1D|.8.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线11.圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切 D相离【答案】B【解析】两圆圆心间的距离，两圆半径的差为和为，因为，故两圆相交，选B.【考点】圆与圆的位置关系.12.若直线y＝kx与圆－4x＋3＝0的两个交点关于直线x＋y＋b＝0对称，则（）A．k＝1，b＝－2B．k＝1，b＝2C．k＝－1，b＝2D．k＝－1，b＝－2【答案】A【解析】：若直线与圆的两个交点关于直线对称，则直线与直线垂直,故斜率互为负倒数,可知,而过弦的中点,且与弦垂直的直线必过圆心,而圆心的坐标为,代入直线得,.【考点】直线与圆的位置关系，考查学生数形结合能力.13.两圆和的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．外离【答案】C【解析】圆的圆心为，半径；圆的方程可以变形为，其圆心为，半径．圆心距，所以圆内切于圆．【考点】平面内两圆的位置关系．14.已知圆，直线．（Ⅰ）若与相切，求的值；（Ⅱ）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2【解析】(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y－3)2=9，圆心为C(－1，3)，半径为 r = 3， 2分若l与C相切，则得=3，∴(3m－4)2=9(1+m2)，∴m =． 5分(Ⅱ)假设存在m满足题意。

2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。

[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。

第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( ) A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选 C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b|12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x ＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y ＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y ＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r>0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x－1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C(－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：45π9．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M(x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B.若|AB|≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA⊥AC，MC⊥AB， 则S △MAC ＝12×|MA|×|AC|＝12×|MC|×|AB|2.又由|AC|＝1，变形可得|AB|＝2×|MA||MC|，则有|MA||MC|≥22.又由M(x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC|2＝x 20＋14，|MA|2＝|MC|2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12， 解得x 0≤－72或x 0≥72， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C(1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|， 不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3AD →＝5DB →可得|BD|＝3m ，|AB|＝8m ，则|DE|＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m)2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C(a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．。

高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.2.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.3.已知数列，圆，圆，若圆C2平分圆C1的周长，则的所有项的和为.【答案】4024【解析】设圆与圆交于,，则直线的方程为：，化简得：又圆平分圆的周长，则直线过,代入的方程得：, ∴.【考点】圆与圆的位置关系、直线方程、数列求和.4.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4B．－1 C．6－2D．【答案】A【解析】设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C′1(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝＝5而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】由得2ay＝2，即y＝，则2＋2＝22，解得a＝1.6.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1< <5，所以两圆的位置关系为相交．7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．8.若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0(b∈R)外切，则a＋b的最大值为________．【答案】3.【解析】依题意知C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1，则|C1C2|＝＝2＋1＝3，∴a2＋b2＝9，∴ (θ为参数)，∴a＋b＝3(sin θ＋cos θ)＝3 sin≤3.9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．11.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线12.直线l1：y=x、l2:y=x+2与⊙C：的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1B．0或-1C．-1D．1【答案】B【解析】直线l1：y=x与l2:y=x+2之间的距离为，⊙C：的圆心为（m，m），半径r2=m2+m2，由题意可得解得 m=0或m=-1，故选B.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离.13.已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，-3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即故选A．【考点】圆与圆的位置关系点评：中档题，利用数形结合思想，将|PM|+|PN|的最小值转化成为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和。

2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分51直线与圆、圆与圆的位置关系1．已知点M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋yy＝a2与该圆的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．相切或相离解析：因M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，故x20＋y20＜a2，圆心到直线x0x＋y0y＝a2的距离d＝|a2|x2＋y20＞|a2||a|＝a，故直线与圆相离．答案：C2．若圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0(m＜3)的一条弦AB的中点为P(0,1)，则垂直于AB的直径所在直线的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：由圆的方程得该圆圆心为C(－1,2)，则CP⊥AB，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB的直径所在直线的方程为y－1＝－x，即x ＋y－1＝0.答案：B3．过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为() A．x＋y＝0B．x－y＝0C ．x ＋y ＝0或x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2， ∴k 2＝1，∴k ＝±1，∴直线方程为y ＝±x . 答案：C4．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A ．k ＝12，b ＝－4 B ．k ＝－12，b ＝4 C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4.答案：A5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D.17解析：圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝(2－3)2＋(－3－4)2－4＝52－4，故选A 项．答案：A6．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－ 3解析：曲线y＝1－x2的图像如图所示：若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，设l：y＝k(x－2)，则点O到l的距离d＝－2k k2＋1.又S△AOB＝12|AB|·d＝12×21－d 2·d＝(1－d2)·d2≤1－d2＋d22＝12，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以2k 2k 2＋1＝12，∴k 2＝13，∴k ＝－33.故选B 项．答案：B7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有__________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个．答案：28．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于__________．解析：依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34.答案：349．已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是__________．解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝110．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4.所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. B 级 能力提升练11．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案：A12．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时|OA →＋OB →|＞33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.答案：C13．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解析：(1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0.∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3. (3)设AB 与MQ 交于P ， 则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |， 即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9， ∴x ＝±5，∴Q (±5，0)．∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3 )1＋k2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ→＝(6，－2)， 所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .a21508 5404 各21593 5459 呙]A26866 68F2 棲33564 831C 茜36689 8F51 轑23017 59E9 姩32224 7DE0 締K28822 7096 炖xi36605 8EFD 軽。

专题08圆与圆的位置关系【知识梳理】1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d ．当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．5、圆系方程（1）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（2）以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；（3）与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；（4）过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【专题过关】【考点目录】考点1：圆与圆的位置关系考点2：两圆的公共弦问题考点3：公切线问题考点4：圆系方程的应用【典型例题】考点1：圆与圆的位置关系1．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆221:49C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，这两圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切【答案】B【解析】由题意得，圆1C 圆心()0,0，半径为7；圆()()222:3416C x y -+-=，圆心()3,4，半径为4，5=，因为74574-<<+，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.2．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）圆224x y +=与圆2286160x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内含D ．外切【答案】D【解析】由题，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆2286160x y x y +--+=，即()()22439x y -+-=，所以圆心为()4,3，半径为3；523==+，所以两圆外切.故选：D3．（2021·吉林油田高级中学高二期中）圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】D【解析】圆2264120x y x y +-++=的圆心坐标是()3,2-，半径是1；圆22142140x y x y +--+=的圆心坐标是()7,1，半径是6，561==-，故两个圆内切.故选：D.4．（2021·安徽滁州·高二期中）已知圆1C ：()()22225x a y -++=，圆2C ：()()2214x y a +++=，若圆1C 与圆2C 内切，则实数a 的值是（）A ．2-B ．2C ．1-或2D ．1或2-【答案】C【解析】由题可知圆心()1,2C a -，半径15r =，圆心()21,C a --，半径22r =，因为圆1C 与圆2C 内切，所以12123C C r r ==-=，解得1a =-或2a =．故选：C ．5．（多选题）（2021·辽宁大连·高二期中）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．PQ 的最小值为3B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交【答案】ABC【解析】根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距125C C ==>R +r ，故两圆外离，故D 错误；则PQ 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 正确，B 正确；对于C ，两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，故C 正确.故选：ABC.6．（2020·江西·宜春九中高二期中（文））已知圆C ：22680x y x y m +--+=，其中R m ∈．(1)已知圆C 与圆：221x y +=外切，求m 的值；(2)如果直线30x y +-=与C 相交所得的弦长为m 的值．【解析】（1）由圆22:680C x y x y m +--+=，可得22(3)(4)25x y m -+-=-，则圆心(3,4)C ，半径r =由圆221x y +=，可得圆心(0,0)，半径1R =，因为两圆外切，1=，解得9m =．（2）圆C 的圆心坐标为(3,4)圆心到直线的距离d ==又直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为∴2225m +=-，解得3m =-．m ∴的值为3-．7．（2021·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知圆1C 的圆心在x 轴上，且过()5,2，()0,3两点．(1)求圆1C 的方程；(2)若圆1C 与圆()()()2222:120C x y r r +++=>有公共点，求r 的取值范围．【解析】(1)由题意，设()()222111:0C x a y r r -+=>，由圆1C 过()5,2，()0,3两点可得()()2222215203a r a -+==-+，解得2a =，1r =所以圆1C 的方程为()22213x y -+=．(2)()()2222:12C x y r +++=(r ＞0)的圆心为()21,2C --，半径为r ，因为圆1C 与圆2C 有公共点，所以两圆外切、相交或内切，所以1121r r C C r r -≤≤+，又21C C =r r +，0r ≤≤又0r >，所以(0,r ∈.8．（2018·湖北·葛洲坝中学高二期中（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2-4x =0及点A （-1，0），B （1，2）．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =AB ，求直线l 的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得PA 2+PB 2=12?若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．【解析】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心C （2，0），半径为2．因为l ∥AB ，且A （-1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2011(1)-=--．设直线l 的方程为x -y +m =0，则圆心C 到直线l 的距离为|20|2|22d ==因为222222MN AB =+而2222MN CM d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2(2)422m +=+，解得m =0或m =-4，所以直线l 的方程为x -y =0或x -y -4=0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则22(2)4x y -+=，所以PA 2+PB 2=2222(1)(0)(1)(2)12x y x y ++-+-+-=，整理得x 2+y 2-2y -3=0，即x 2+（y -1）2=4．因为22|22|(20)(01)22-<-+-<+，所以圆（x -2）2+y 2=4与圆x 2+（y -1）2=4相交，所以点P 的个数为2．9．（2021·广东番禺中学高二期中）已知圆C 1:(x -1)2+(y +5)2=50，圆C 2:(x +1)2+(y +1)2=10.（1）证明圆C 1与圆C 2相交；（2）若圆C 3经过圆C 1与圆C 2的交点以及坐标原点，求圆C 3的方程.【解析】（1）证明:依题意得，C 1(1，-5)，r 1，C 2(-1，-1)，r 2，因此，C 1C 2|=C 1与C 2相交.（2）设圆C 1与圆C 2的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立2222(1)(5)50(1)(1)10x y x y ⎧-++=⎨+++=⎩，，两式相减得x -2y +4=0，即x =2y -4，代入第一个式子得，(2y -5)2+(y +5)2=50，解得12120240y y x x ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，，，，∴圆C 3过A (-4，0)，B (0，2)，原点O (0，0).易得△ABO 为直角三角形，∴r=1||2AB =AB 的中点(-2，1)，∴圆C 3的方程为(x +2)2+(y -1)2=5.10．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，(0,0)O ，(0,3)A -，动点M 满足2AM MO =，M 的轨迹方程为____，M 的轨迹与圆()()22241,(0)x y r r -+-=>有公共点，则实数r 的取值范围是____．【答案】22(1)4x y +-=[2,6]【解析】设(,)M x y ，由2AM MO =得()()222234x y x y ++=+，化简得22(1)4x y +-=；M 的轨迹与圆()()22241,(0)x y r r -+-=>有公共点，两圆心分别为(0,1),(4,1)，圆心之间的距离为4，故242r r -≤≤+，解得26r ≤≤.故答案为：22(1)4x y +-=；[2,6].考点2：两圆的公共弦问题11．（多选题）（2021·福建宁德·高二期中）（多选）下列命题正确的有（）A ．直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()33-，B ．已知圆2214C x y +=：与圆2222210C x y x y +--+=：相交于A B ，两点，则直线AB 的方程为2250x y ++=.C ．圆()2211x y ++=与圆()()222420x y m -+-=-恰有三条公切线，则4m =D ．已知点P Q ，分别为圆()()22121x y -++=与直线3450x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为3.【答案】AC【解析】对于A ，直线()()34330R m x y m m ++-+=∈化为：()33430m x x y +++-=，令303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()33-，，故A 正确；对于B ，两圆的方程相减得2214x y +-=，所以直线AB 的方程为2250x y +-=，故B 错误；对于C ，若圆()2211x y ++=与圆()()222420x y m -+-=-恰有三条公切线，所以两圆外切，圆()2211x y ++=的圆心为()1,0-，半径为1，圆()()222420x y m -+-=-圆心为()2,41=4m =，故C 正确；对D ，已知点P Q ，分别为圆()()22121x y -++=与直线3450x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，圆心()1,2-到直线3450x y +-=2=，所以PQ 的最小值为211-=，故D 错误.故选：AC.12．（2022·上海市控江中学高二期中）已知圆222450x y x y ++--=与22210x y x ++-=相交于A B ､两点，则公共弦AB 的长是___________.【答案】2【解析】由题意AB 所在的直线方程为：()()2222245210x y x y x y x ++---++-=，即1y =-，因为圆22210x y x ++-=的圆心()1,0O -，半径为r =所以，圆心()1,0O -到直线1y =-的距离为1，所以2AB ==.故答案为：213．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）已知两圆221:210240C x y x y +-+-=，222:2280C x y x y +++-=，则下列结论正确的是（）A ．两圆外离B ．两圆有3条公切线C ．两圆相交，且两圆的公共弦长为D ．两圆的公共弦方程为240x y -+=【答案】CD【解析】由题得221:(1)(5)50C x y -++=，圆心1C 坐标为1(1,5),r -=222:(1)(1)10C x y +++=,圆心2C 坐标为2(1,1),r --=.所以12||C C ==所以121212||r r C C r r -<<+，所以两圆相交.所以选项AB 错误.两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程240x y -+=；所以圆心1C 到公共弦所在直线的距离d =∴公共弦的长为=．所以选项CD 正确.故选：CD14．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+【答案】AD【解析】由2220x y x +-=与22240x y x y ++-=作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确，B 错误；对于C ，圆心1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为2d ==，圆1O 的半径1r =，所以AB ==C 错误；对于D ，点P 为圆1O 上一动点，则点P 到直线AB 距离的最大值为12d r +=+，故D 正确.故选：AD.15．（多选题）（2021·山东·菏泽一中高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:460O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．两圆圆心距12OO =【答案】ABD【解析】2220x y x +-=①，22460x y x y ++-=②，用①减去②即得到公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确；把圆221:20x y x O +-=化为标准方程得22(1)1x y -+=，圆心1O 为(1,0)，半径为11r =，把圆222:460O x y x y ++-=化为标准方程为22(2)(3)13x y ++-=，圆心2O 为(2,3)-，2r 线段AB 中垂线即为圆心1O 与圆心2O 两点构成的直线为10x y +-=，故B 正确；圆心1O 到公共弦所在直线0x y -=的距离为22d ==，故公共弦AB 的长为，故C 错误；圆心1O 到圆心2O 的距离12O O ==，故D 正确.故选：ABD.16．（2022·全国·高二期中）已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度.【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为221:(1)(5)50C x y -++=，222:(1)(1)10C x y +++=,则圆1C 的圆心为(1,5)-，半径1r =圆2C 的圆心为(1,1)--，半径2r =.12C C =12r r +=12r r -=121212r r C C r r ∴-<<+，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.(3)由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩,解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴两圆的交点坐标为(4,0)-和(0,2).∴=17．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知圆M 经过点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C .(1)求圆M 的一般方程；(2)求圆M 与圆222x y +=的公共弦长.【解析】(1)设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，把(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C 三点坐标代入圆M得：042044220F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得：220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆M 的一般方程为22220x y x y +--=(2)联立22220x y x y +--=与222x y +=得：1x y +=，即1y x =-，代入到圆222x y +=中，解得：112x =，212x +=，分别代入1y x =-，求出112y +=，212y =，所以两交点的坐标为11,22⎛+ ⎝⎭，1122⎛+- ⎝⎭，则公共弦长等于=18．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）已知圆2222122610:1012450C x y x y C x y x y +---=+--+=：，(1)求证：12,C C 相交；(2)求圆12,C C 的公共弦所在的直线方程．【解析】(1)圆221:2610C x y x y +---=的圆心1(1,3)C，半径1r =222:1012450C x y x y +--+=的圆2(5,6)C，半径24r ==，12||5C C，124||54C C =<+，∴圆1C 和圆2C 相交．(2)两圆221:2610C x y x y +---=，222:1012450C x y x y +--+=，∴两圆相减，得圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线方程为：86460x y +-=，即43230x y +-=．19．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）已知线段AB 的端点B 的坐标是(5,2)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动．(1)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(2)求曲线M 与22(1)(2)2x y -+-=的公共弦长．【解析】(1)设(,)M x y ，00(,)A x y ，则0052,,22x x y y +=+=，即025x x =-，022y y =-，又00(,)A x y 在已知圆上，所以2200(1)4x y ++=，即22(251)(22)4x y -++-=，化简得22(2)(1)1x y -+-=．即为点M 的轨迹方程；(2)由（1）知点M 的轨迹是圆，与已知圆22(1)(2)2x y -+-=方程相减得：2210x y -++=，即2210x y --=．圆22(2)(1)1x y -+-=的圆心为(2,1)C ，半径为1r =，C 到直线2210x y --=的距离为24d =，所以公共弦长为l ===考点3：公切线问题20．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆221:(1)(2)9C x y -+-=，222:(2)(3)4C x y -+-=(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线l 与圆1C 交于P ，Q ，且线段PQ 的长度为C ，直线l 总与之相切.【解析】（1）由圆221:(1)(2)9C x y -+-=可得()11,2C ，半径13r =，由圆222:(2)(3)4C x y -+-=可得()22,3C ，半径22r =，12C C =所以12121215r r C C r r =-<<+=，所以圆12,C C 相交.设直线RS 分别与圆12,C C 切于R ，S ，连接12,C R C S ，在直角梯形12C C SR 中，12123,2,C R C S C C ===所以||1RS =，即它们的公切线之长为1；（2）设线段PQ 的中点为D ，则1C D PQ ⊥，因为动直线l 与圆1C 交于P ，Q ，且线段PQ 的长度为所以1C D =又因为1C D PQ ⊥，所以点()11,2C 到直线l 所以直线l 总与圆22(1)(2)3x y -+-=相切，所以存在一个定圆22:(1)(2)3C x y -+-=，直线l 总与之相切.21．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知两圆221:1C x y +=，222:68110C x y x y +---=，则两圆的位置关系为___________，两圆的公切线方程为___________.（用一般式表示）【答案】内切3450x y ++=【解析】由圆221:1C x y +=可得圆心()10,0C ，半径1r =，由222:68110C x y x y +---=可得()()223436x y -+-=，可得圆心()23,4C ，半径6R =，因为圆心距125C C ==，5R r -=，所以12C C R r =-，所以两圆的位置关系为内切，设公切线方程为：y kx b =+，由题意可得16==，因为两圆圆心所在直线12C C 垂直于公切线，且1243C C k =，所以34k =-1=可得54b =，经检验54b=6=，所以54b =-，所以两圆的公切线方程为3544y x =--即3450x y ++=.故答案为：内切；3450x y ++=.22．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知两圆方程分别为224x y +=和()()22349x y -+-=．则两圆的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【解析】两圆的圆心分别为(0,0)和(3,4)，半径分别为2和3523==+，则两圆外切，公切线有3条．故选：C23．（2022·上海·格致中学高二期中）已知圆221:4O x y +=，圆()222:22400O x y mx my m +---=≠，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）A ．4条B ．2条C ．1条D ．0条【答案】B【解析】由221:4O x y +=，得圆()10,0O ，半径为12r =，由()222:22400O x y mx my m +---=≠，得()2,O m m ，半径为2r ==所以210O O >，2120r r ->，122r r +=+所以121212O O r r r r -<<+，所以圆1O 与圆2O 相交，所以圆1O 与圆2O 有两条公共的切线.故选：B.24．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）两圆221:1C x y +=，222:(3)(4)16C x y -+-=的公切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【解析】圆221:1C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径11r =，圆222:(3)(4)16C x y -+-=的圆心2(3,4)C ，半径24r =，而1212||5C C r r ==+，即圆1C 与2C 外切，它们有3条公切线，所以圆1C 与2C 的公切线有3条.故选：C25．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））圆221:20O x y y +-=和圆222:8120O x y y +-+=的公切线的条数为______．【答案】3【解析】由题知圆1O ：2220x y y +-=的圆心()10,1O ，半径11r =，圆2O ：228120x y y +-+=的圆心()20,4O ，半径22r =，所以123O O =，123r r +=，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线.故答案为：326．（2021·湖南·高二期中）若圆221:20C x y x m +--=与圆222:40C x y y m +++=恰有2条公切线，则m 的取值范围为（）A ．()0,4B ．()1,4-C ．()1,0-D ．[)0,4【答案】B【解析】因为圆221:(1)1C x y m -+=+与圆222:(2)4C x y m ++=-恰有2条公切线，所以10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨解得1 4.m -<<故选：B ．考点4：圆系方程的应用27．过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是_______．【答案】22310x y x y +-+-=【解析】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=．28．已知圆221:230C x y x +--=与圆222:4230C x y x y +-++=相交于A 、B 两点．（1）求公共弦AB 所在直线方程；（2）求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程．【解析】（1）22230x y x +--=，①224230x y x y +-++=，②①-②得2260x y --=即公共弦AB 所在直线方程为30x y --=．（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++-++-+=因为圆过原点，所以330λ-+=，1λ=所以圆的方程为2230x y x y +-+=29．已知圆222212:6160,:450C x y x C x y x ++-=+--=．求证：对任意不等于1-的实数λ，方程()2222616450x y x x y x λ++-++--=是通过两个已知圆交点的圆的方程．【解析】若(,)m n 是圆1C 、圆2C 的交点坐标，则226160m n m ++-=且22450m n m +--=，所以(,)m n 必在()2222616450x y x x y x λ++-++--=上，又()22222261645(1)(1)(64)1650x y x x y x x y x λλλλλ++-++--=++++---=，所以2222329925(1(1)x y λλλλλ+=-+++++，则在1λ≠-时221919()240(1)λλ++>+，方程表示圆，综上，对任意不等于1-的实数λ，方程()2222616450x y x x y x λ++-++--=是通过两个已知圆交点的圆的方程．30．已知圆221:4440C x y x y ++-+=和圆222:20C x y x ++=．（1）求证：两圆相交；（2）求过点()2,3-，且过两圆交点的圆的方程．【解析】（1）证明：∵圆221:4440C x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，表示以()12,2C -为圆心，半径等于2的圆，圆222:20C x y x ++=，即()2211x y ++=，表示以()21,0C -为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距12C C =，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．（2）设过两圆交点的圆的方程为()222244420x y x y x y x λ++-++++=．把点()2,3-代入，求得13λ=．故所求圆的方程为()22221444203x y x y x y x ++-++++=，即2273302x y x y ++-+=．31．（2021·北京通州·高二期中）经过点(2,2)M -以及圆2260x y x +-=与圆22240x y x y +--=交点的圆的方程为________．【答案】2250x y x y +--=【解析】设过圆2260x y x +-=与圆22240x y x y +--=交点的圆的方程为：22226(24)0x y x x y x y λ+-++--=①把点M 的坐标(2,2)-代入①式得13λ=，把13λ=代入①并化简得2250x y x y +--=，∴所求圆的方程为：2250x y x y +--=，故答案为：2250x y x y +--=．。

高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.圆和圆的公切线条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【解析】由圆整理得，它的圆心坐标，半径为1.由圆整理得，它的圆心坐标，半径为2.,所以两个圆相交，所以两个圆的公切线有2条．【考点】两圆的公切线条数及方程的确定；圆与圆的位置关系及其判定.2.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理：.圆心坐标为，代入直线方程，解得：，代入得圆的方程：.【考点】经过两圆交点的圆的方程3.圆与圆的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】由两圆的方程可知，，∴，故两圆的位置关系为外切．【考点】圆与圆的位置关系．4.圆和的位置关系为（）A．外切B．内切C．外离D．内含【答案】A【解析】两圆的圆心为，半径为，而，则两圆相外切.【考点】本题考查两圆的位置关系，可以通过圆心距与半径和差的大小比较来判断.5.已知圆，交于A、B两点；（1）求过A、B两点的直线方程；（2）求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）过圆与圆交点的直线，即为两圆公共弦的直线.所以过A、B两点的直线方程. 5分（2）设所求圆的方程为. 6分则圆心坐标为 8分∵圆心在直线上∴将圆心坐标代入直线方程，得 9分解得. 11分∴所求圆的方程为. 12分【考点】圆与圆的位置关系与圆的方程点评：两圆相交时，其公共弦所在直线方程只需将两圆方程相减即可，求解圆的方程的题目常采用待定系数法：设出圆的方程，根据条件列出关于参数的方程组，解方程组得到参数值最后写出方程6.圆和的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【答案】D【解析】根据题意，由于圆的圆心（1,0），半径为1，和的圆心为（-2,0），半径为4，则可知圆心距d=3,而半径和为5，半径差为3，可知圆心距小于半径差，因此可知是两圆的相互内切，故选D.【考点】两圆的位置关系点评:解决两圆的位置关系的关键是根据圆心距和半径和的关系来确定，属于基础题，也是重要的知识点。

圆与圆的位置关系主标题：圆与圆的位置关系副标题：为学生详细的分析圆与圆的位置关系的高考考点、命题方向以及规律总结 关键词：圆与圆的位置关系，知识总结难度：3重要程度：3考点剖析：1.考查圆与圆的位置关系.2.考查通过数形结合思想，充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题.命题方向：1.从考查内容看，高考中主要侧重于对直圆与圆的位置关系的考查；2.从考查形式上看，以选择题、填空题为主，属中档题．知识梳理：1．圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含．外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切．两圆相离——没有公共点，两圆相切——有唯一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点．2．判断两圆的位置关系常用的方法是几何法二、圆与圆的位置关系 设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0). 常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 规律总结：1．处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 相离d ＞r 1＋r 2 无解 外切d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2 两组不同的实数解 内切d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 内含0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解。