中考数学专题复习 圆与圆的位置关系
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专题 圆与圆的位置关系
【阅读与思考】
两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点,解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题,往往需要添加辅助线,常用的辅助线有: 1.相交两圆作公共弦或连心线;
2.相切两圆作过切点的公切线或连心线;
3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形. 熟悉以下基本图形和以上基本结论
.
【例题与求解】
【例1】 如图,大圆⊙O 的直径a AB cm ,分别以OA ,OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2,并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4,这些圆互相内切或外切,则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2
. (全国初中数学竞赛试题) 解题思路:易证四边形3241O O O O 为菱形,求其面积只需求出两条对角线的长.
B
【例2】 如图,圆心为A ,B ,C 的三个圆彼此相切,且均与直线l 相切.若⊙A ,⊙B ,
⊙C 的半径分别为a ,b ,c (b a c <<<0),则a ,b ,c 一定满足的关系式为( ) A .c a b +=2 B .c a b +=2
C .
b a
c 1
11+= D .
b
a c 111+= (天津市竞赛试题) 解题思路:从两圆相切位置关系入手,分别探讨两圆半径与分切线的关系,解题的关键是作圆的基本辅助线.
【例3】 如图,已知两圆内切于点P ,大圆的弦AB 切小圆于点C ,PC 的延长线交大圆于点D .求证: (1)∠APD =∠BPD ;
(2)CB AC PC PB PA •+=•2. (天津市中考试题)
解题思路:对于(1),作出相应辅助线;对于(2),应化简待证式的右边,不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手.
P
B
C
D
A
【例4】 如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处,⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上,⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证:O 1D ⊥BC .
(全俄中学生九年级竞赛试题)
解题思路:连接AB ,O 1B ,O 1C ,显然△O 1BC 为等腰三角形,若证O 1D ⊥BC ,只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角.
【例5】 如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =1,AB =2,DC =22,点P 在边BC 上
运动(与B ,C 不重合).设PC =x ,四边形ABPD 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)若以D 为圆心,
2
1
为半径作⊙D ,以P 为圆心,以PC 的长为半径作⊙P ,当x 为何值时,⊙D 与⊙P 相切?并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积. (河南省中考题) 解题思路:对于(2),⊙P 与⊙D 既可外切,也可能内切,故需分类讨论,解题的关键是由相切两圆的性质建立关于x 的方程.
D
C
P
B
A
【例6】 如图,ABCD 是边长为a 的正方形,以D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ,延长AP 交BC 于点N ,求
NC
BN
的值. (全国初中数学联赛试题) 解题思路:AB 为两圆的公切线,BC 为直径,怎样产生比例线段?丰富的知识,不同的视角激活想象,可生成解题策略与方法.
N P
B A C
D
【能力与训练】
A 级
1.如图,⊙A ,⊙B 的圆心A ,B 在直线l 上,两圆的半径都为1cm .开始时圆心距AB =4cm ,现⊙A ,⊙
B 同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动,则当两圆相切时,⊙A 运动的时间为_______秒.
(宁波市中考试题)
2.如图,O 2是⊙O 1上任意一点,⊙O 1和⊙O 2相交于A ,B 两点,E 为优弧AB 上的一点,EO 2及延长线交⊙O 2于C ,D ,交AB 于F ,且CF =1,EC =2,那么⊙O 2的半径为_______.
(四川省中考试题)
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
3.
如图,半圆O 的直径AB =4,与半圆O 内切的动圆O 1与
AB 切于点M .设⊙O 1的半径为y ,AM 的长为x ,则y 与
x 的函数关系是_________________.(要求写出自变量x 的取值范围)
(昆明市中考试题)
4.已知直径分别为151+
和315-的两个圆,它们的圆心距为115
-,这两圆的公切线的条数是__________. 5.如图,⊙O 1和⊙O 2相交于点A ,B ,且⊙O 2的圆心O 2在圆⊙O 1的圆上,P 是⊙O 2上一点.已知∠A O 1B =60°,那么∠APB 的度数是( )
A .60°
B .65°
C .70°
D .75°
(甘肃省中考试题) 6.如图,两圆相交于A 、B 两点,过点B 的直线与两圆分别交于C ,D 两点.若⊙O 1半径为5,⊙O 2的半径为2,则AC :AD 为( )
A .52:3
B .3:52
C .1:52
D .2:5 (第5题图) (第6题图) (第7题图)
7.如图,⊙O 1和⊙O 2外切于点T ,它们的半径之比为3:2,AB 是它们的外公切线,A ,B 是切点,AB =64,那么⊙O 1和⊙O 2的圆心距是( )
A .65
B .10
C .610
D .13
39
20
8.已知两圆的半径分别为R 和r (r R >),圆心距为d .若关于x 的方程0)(22
2
=-+-d R rx x 有两相等的实数根,那么这两圆的位置关系是( )
A .外切
B .内切
C .外离
D .外切或内切
E