专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)

第 1 页共16 页 2022年高考数学总复习：直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系．d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧ >0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离d >r 1＋r 2 无解 外切d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 内切d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解 1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)。

专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识点精讲（一）点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r 的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r ；同时，到定点的距离等于r 的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r 的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思： （1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：①到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：②和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：③到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.（二）直线与圆、圆与圆的位置关系判定(1)设有直线l 和圆心为O 且半径为r 的圆，怎样判断直线l 和圆O 的位置关系？如图：不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d r >时，直线和圆相离，如圆O 与直线1l ；当圆心到直线的距离d r =时，直线和圆相切，如圆O 与直线2l ；当圆心到直线的距离d r <时，直线和圆相交，如圆O 与直线3l .在直线与圆相交时，设两个交点分别为A 、B .若直线经过圆心，则AB 为直径；若直线不经过圆心，如图，连结圆心O 和弦AB 的中点M 的线段OM 垂直于这条弦AB .且在Rt OMA V 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾股定理，有222()2AB r d -=当直线与圆相切时，如图，,PA PB 为圆O 的切线，可得PA PB =，.OA PA ⊥，且在Rt POA 中，222PO PA OA=+PT 为圆O 的切线，PAB 为圆O 的割线，我们可以证得PAT PTB ，因而2PT PA PB =⋅.(2)设圆1O 与圆2O 半径分别为,()R r R r ≥，它们可能有哪几种位置关系？。

直线与圆、圆与圆位置关系【考纲说明】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。

2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

【知识梳理】一、直线与圆的位置关系1、 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法（1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式24b ac ∆=-0∆>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点0∆=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点0∆<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点2、圆的切线方程若圆的方程为222x y r +=，点P 00(,)x y 在圆上，则过P 点且与圆222x y r +=相切的切线方程为2o o x x y y r +=.经过圆22()()x a y b r -+-=上一点P 00(,)x y 的切线方程为222()()22o o x x y y a b r ++-+-=. 3、直线与圆相交直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有2224l r d =+，即l =二、圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。

2、判断圆与圆的位置关系常用方法（1）几何法：设两圆圆心分别为12,O O ，半径为1212,()r r r r ≠，则1212OO r r >+⇔圆1O与圆2O 相离⇔有4条公切线 1212OO r r =+⇔圆1O与圆2O 外切⇔有3条公切线 121212||r r OO r r -<<+⇔圆1O与圆2O 相交⇔有2条公切线 1212||OO r r =-⇔圆1O与圆2O 内切⇔有1条公切线 1212||OO r r <-⇔圆1O与圆2O 内含⇔有0条公切线. （2）代数法：方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩ 有两组不同的实数解⇔两圆相交；有两组相同的实数解⇔两圆相切；无实数解⇔两圆外离或内含。

一、点与圆的位置关系1.确定圆的条件（1）圆心(定点)，确定圆的位置；（2）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2.点与圆的位置关系（3）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．（4）设O=；⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r>；点在圆上⇔d r 点在圆内⇔d r<.如下表所示：二、过已知点的圆1.过已知点的圆（1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．（2）经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．（3）过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，圆心、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的（4）过n()4圆的圆心．2.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2）“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1.三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7【巩固】1、一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．2、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）DA ．2b a + B ．2ba - C ．22b a b a -+或D ．b a b a -+或3、定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形ABCD如图，14cm 12cm AB BC ==，，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．【例2】 已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，AB 的中点为M ，⑴以C 为圆心，2为半径作C ⊙，则点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系如何？ ⑵若以C 为圆心作C ⊙，使A ，B ，M 三点至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，求C ⊙半径r 的取值范围．M CBA【巩固】1、Rt ABC ∆的两条直角边3BC =，4AC =，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以12r =，2 2.4r =，33r =为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系.DCBA2、在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴当r 取何值时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内部？⑵当r 在什么范围内取值时，点A 在C ⊙外部，且点B 在C ⊙的内部？ ⑶是否存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部？CBA二、过三点的圆【例3】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例4】 如图，在平面直角坐标系中，O '与两坐标轴分别交于A B C D ，，，四点，已知：()60A ，，()03B -，，()20C -，，则点D 的坐标是（ ） A ．()02，B ．()03，C ．()04，D ．()05，三、三角形的外接圆及外心【例5】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC =.【巩固】等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．ABCD ．12【例6】 设Rt ABC ∆的两条直角边长分别为3，4，则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为 ．【巩固】1、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．2、ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例7】 在等腰ABC ∆中，AB BC =，BH 是高，点M 是边AB 的中点，而经过点B ，M 于C 的圆同BH的交点是K ，求证32BK R =，其中R 是ABC ∆的外接圆半径．【巩固】1、已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ．⑴求证：AD的延长线平分∠CDE；⑵若30∠=︒BAC，∆ABC中BC边上的高为2∆ABC外接圆的面积．AB CD E2、已知如图，ACD∆的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，求证：BA BD=．一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则AB l⊥．②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB过圆心，AB l⊥，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l⊥，AB过切点M，则AB过圆心．l 3.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．l4.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系cb acbaO F ED CBACBAC B A设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-． 一、直线与圆位置关系的确定【例1】 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是A ．0≤x B．x C ．－1≤x ≤1D ．x【例2】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12cm AC =，16cm BC =，以点C 为圆心，r 为半径的圆和AB 有怎样的位置关系？为什么？⑴ 9cm r =；⑵10cm r =；⑶9.6cm r =．DCBA【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =︒∠，且AB AD BC >+，AB 是O 的直径，则直线CD 与O 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定【巩固】如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作O的切线AD，BA DA⊥，10BC=，4AD=，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是．二、切线的性质及判定【例4】已知：O为BAC∠平分线上一点，OD AB⊥于D，以O为圆心．以OD为半径作圆O．求证：O⊙与AC相切．【巩固】如图，ABC∆为等腰三角形，AB AC=，O是底边BC的中点，O⊙与腰AB相切于点D，求证AC与O⊙相切．【例5】已知：如图，ABC∆内接于O，AD是过A的一条射线，且B CAD∠=∠．求证：AD是O的切线．【巩固】已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例6】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，C 点在圆上，CD AB ⊥于D ．P 在BA 延长线上，且PCA ACD ∠=∠．求证：PC 是O ⊙的切线．BP【例7】 如图，O ⊙是Rt ABC ∆的外接圆，90ABC ∠=︒，点P 是圆外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA PB =． （1）求证：PB 是O ⊙的切线．（2）已知1PA BC ==，求O ⊙的半径．【巩固】1、如图，AB 为O ⊙的直径，D 是BC 的中点，DE AC ⊥交AC 的延长线于E ，O ⊙的切线BF 交AD 的延长线于点F ．求证：DE 是O ⊙的切线；FAB2、如图，已知O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心、OA 长为半径的O ⊙与BC 相切于M ，与AB 、AD 分别相交于E 、F ． （1）求证：CD 与O ⊙相切．（2）若正方形ABCD 的边长为1，求O ⊙的半径．【例8】 如图，AB BC =，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 是O ⊙的切线；（2）作DG AB ⊥交O ⊙于G ，垂足为F ，若308A AB ∠=︒=，，求弦DG 的长．【巩固】如图，AC 为O ⊙的直径，B 是O ⊙外一点，AB 交O ⊙于E 点，过E 点作O ⊙的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点．求证：BC 是O ⊙的切线；D CB A【例9】 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且ECF E ∠=∠． （1）证明CF 是O 的切线；（2）设O 的半径为1，且AC CE =，求MO 的长．A1. 已知60ABC ∠=︒，点O 在ABC ∠的平分线上，5cm OB =，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则O 与BC 的位置关系是________．2.如图，半径为3cm 的O ⊙切直线AC 于B ，3cm AB BC =，，则AOC ∠的度数是 ．3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．E B4.如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．5.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分ACB ∠． ⑴ 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； ⑵ 试判断线段AC AD BC 、、之间的数量关系，并说明理由； ⑶ 若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．。

高中数学辅导讲义[解析版]知识图谱直线与圆的位置关系知识精讲一．点与圆的位置关系已知点()00,M x y 及圆C ：()()()2220x a y b r r -+-=>．1．点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； 2．点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； 3．点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=．二．直线与圆的位置关系直线:0l Ax By C ++=和圆C ：()()222x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切三种位置关系. 位置关系可通过两种方法来判断： 1. 几何方法：比较圆心到直线的距离与半径的大小，设圆心到直线的距离为d ，则， （1）d r <⇔相交； （2）d r >⇔相离； （3）d r =⇔相切． 2. 代数方法：判断直线与圆方程联立所得一元二次方程解的情况， （1）0∆>⇔相交； （2）0∆<⇔相离； （3）0∆=⇔相切；三．圆的切线问题1. 过圆上一点的切线：（1）过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程是：200xx yy r +=.（2）过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的切线方程是：200()()()()x a x a y b y b r --+--=.2. 从圆外一点作圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（圆心到直线的距离等于半径）来求.3. 过圆外一点()00x y ，引圆的切线，两切点所在直线方程为200xx yy r +=.4. 切线长：（1）过圆220x y Dx Ey F ++++=外一点00(,)P x y 220000x y Dx Ey F ++++ （2）过圆222()()x a y b R -+-=外一点00(,)P x y 22200()()x a y b R -+--四．圆的弦长问题圆的弦长的计算：常利用弦心距d ，弦长一半2l及圆的半径r 所构成的直角三角形，通过勾股定理来解： 222()2lr d =+．三点剖析一．方法点拨1. 判断直线与圆的位置关系时，尽量用几何方法，过程比较简洁．2. 根据圆心与直线的距离与半径的大小关系来判断圆上有几个点到直线距离相等．3. 与圆有关的最值问题（1）形如y nz x m-=-的最值问题，可转化为圆上一点(),x y 到点(),m n 的斜率问题. （2）形如z ax by =+的最值问题，可转化为直线截距的最值问题.（3）形如()()22z x m y n =-+- 的最值问题，可转化为点(),x y 到点(),m n 距离的平方的最值问题.4. 形如()22y r x a =--(),0a 为圆心的半圆.判定直线与圆的位置例题1、 直线与圆的位置关系是（）A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心但与圆相交D.相离例题2、 已知圆的方程为直线，当为何值时， （1）圆与直线有两个交点 （2）圆与直线只有一个公共点 （3）圆与直线没有公共点．例题3、 （2012北京人大附中朝阳学校高二上期中文理）圆x 2+y 2+2x+4y -3=0上到x+y+1=02的点共有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 随练1、 直线与圆的位置关系为（） A.相交但直线不过圆心B.相交且直线过圆心10x y -+=()2211x y ++=222,x y +=y x b =+b 210x y -+=2222410x y mx my m +--+-=C.相交或相切D.相交．相切或相离随练2、 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（）A.6B.4C.3D.3弦长问题例题1、 自点向圆引割线，所得弦长为，则这条割线所在直线的方程是________________．例题2、 若圆上至少有三个不同点到直线：的距离为的取值范围是_________．例题3、 （2012陕西师大附中高一下期中考试文理）直线y=kx+3与圆（x -3）2+（y -2）2=4相交于M ，N 两点，若3k 的取值范围是（ ）A.[-34，0]B.(-∞，-34]∪[0，+∞)C.[33]D.[-23，0] 随练1、 已知圆直线．（1）证明：无论取什么实数，直线与圆恒相交．（2）求直线被圆截得的弦长最小时直线的方程．切线问题例题1、 是直线上的动点，直线分别与圆相切于两点，则四边形（为坐标原点）的面积的最小值为（）A. B. C.D.例题2、 求经过点且与圆相切的切线方程． 随练1、 已知圆的半径为，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为（）A. B. C. D.圆与圆的位置关系知识精讲一．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则有下列五种可能的位置关系：1．外离：1212O O r r >+，有四条公切线； 2．外切：1212O O r r =+，有三条公切线； 3．相交：121212<r r O O r r -<+，有两条公切线； 4．内切：1212O O r r =-，有一条公切线；P ()()22314x y -++=Q 3x =-PQ ()64P -，2220x y +=622244100x y x y +---=l y kx =22k ()()22:1225,C x y -+-=()()():211740l m x m y m m R +++--=∈m l l C l P 2100x y ++=PA PB 、224x y +=A B 、PAOB O 241684()1,7P -22:25C x y +=O 1PA PB 、A B 、PA PB ⋅42-+32-422-+322-+5．内含：12120O O r r ≤<-，无公切线．二．圆系方程经过两个定点A B ，的圆有无数多个，那么能表示这无数多个圆的方程称为圆系方程．1. 经过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为：()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，其中R λ∈．2. 经过圆221111:0C x y D x E y F ++++=与圆222222:0C x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为：()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=，其中R λ∈且1λ≠-，此方程不能表示圆2C ；当1λ=-时，方程化为()()1212120D D x E E y F F ---+-=，表示两圆公共弦所在直线方程．三点剖析一．方法点拨1. 用两圆的圆心距d 与两圆的半径12r r ，之间的关系来判断圆与圆的位置关系．2. 将两相交圆的方程221110x y D x E y F ++++=与222220x y D x E y F ++++=相减，即得相交弦所在直线的方程（由公共弦方程求两圆公共弦长时，用圆心到直线的距离，再运用勾股关系即可求）．判定圆与圆的位置例题1、 方程分别是的两圆的位置关系是（） A.内含B.相切C.相离D.相交例题2、 两圆与相切，则等于（）A. B. C. D.例题3、 两圆方程分别为与，两圆公切线有（）条． A.1 B.2 C.3 D.4例题4、 两圆与公共弦长的最大值为（） A. B.2D.随练1、 已知圆和圆（为锐角），则两圆的位置关系（） A.相离B.外切C.内切D.相交与圆有关的轨迹问题例题1、 已知圆和交于两点，且这两点平分圆的圆周，求圆的圆心的轨迹方程，并求其半径的最小时圆的方程．随练1、 若圆（x -a ）2+（y -b ）2=b 2+1始终平分（x+1）2+（y+1）2=4的周长，则a ，b 应满足的关系式（ ）A.a 2-2a -2b -3=0B.a 2+2a+2b+5=0C.a 2+2b 2+2a+2b+1=0D.3a 2+2b 2+2a+2b+1=0随练2、 （2007四川高考理）已知∪O 的方程是x 2+y 2-2=0，∪O'的方程是x 2+y 2-8x+10=0，由动点P 向∪O 和∪O'所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是____．22224,68110x y x y x y +=+-+-=()()221:3425C x y -+-=()()()2222:120C x y r r -+-=>r 2522-522+522-522+2284110x y x y +--+=22230x y y ++-=22222210x y ax ay a ++++-=22222210x y bx by b ++++-=2212211812236x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()229sin 116x y α-+-=α2221:2210C x y mx ny m +--+-=222:2220C x y x y +++-=A B 、2C 1C 1C圆系方程（北京不选）例题1、 求经过两圆和的交点且圆心在直线上的圆的方程． 例题2、 （1）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线的圆的方程；（2）求经过圆和圆的交点和点的圆的方程． 随练1、 求经过圆和圆的交点和点的圆的方程．拓展1、 （2012陕西高考文）已知圆C ：x 2+y 2-4x=0，l 为过点P （3，0）的直线，则（ ） A.l 与C 相交 B.l 与C 相切 C.l 与C 相离 D.以上三个选项均有可能2、 直线被圆截得的弦长为（） A.1B.2C.4D.3、 （2012陕西西安高级中学高一上期末）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：（x+3）2+（y -1）2=4和圆C 2：（x -4）2+（y -5）2=4（1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为3l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．4、 半径为的圆与轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为（）A.B. C. D.5、 已知的斜边的两个端点分别在两轴正方向上移动，点和原点分别在两侧，则点的轨迹是（） A.圆B.线段C.射线D.一段圆弧6、 已知圆和圆求圆．圆的公切线方程．22640x y x ++-=226280x y y ++-=40x y --=22640x y x ++-=226280x y y ++-=40x y --=2260x y x +-=224x y +=()2,2P -2260x y x +-=224x y +=()2,2P -2550x y +-+22240x y x y +--=66x ()2231x y +-=()()22466x y -+-=()()22466x y ±+-=()()224636x y -+-=()()224636x y ±+-=Rt ABC ∆BC x y 、A BC A 221:2690C x y x y ++++=222:6210,C x y x y +-++=1C 2C答案解析直线与圆的位置关系判定直线与圆的位置例题1、 【答案】 B【解析】 求得圆心到直线的距离从而直线过圆心． 例题2、【答案】 （1）；（2）或；（3）或． 【解析】 圆心到直线的距离为半径例题3、 【答案】 C【解析】 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，熟练运用点到直线的距离公式是解本题的关键．将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r ，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d ，即可确定出圆上到x+y+1=02的点有3个． 解：将圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y+2）2=8， ∪圆心坐标为（-1，-2），半径为2 ∪圆心到直线x+y+1=0的距离22， 则圆上到直线x+y+1=023个． 故选C 随练1、 【答案】 A【解析】 圆心为，则圆心到直线的距离，，所以相交且不过圆心． 随练2、 【答案】 B【解析】 的最小值即转化为点圆心的最小值，易知垂直于轴时最小，此时弦长问题例题1、【答案】 或【解析】 设割线所在方程为，圆心到割线的距离为，半径22101011d --+==+，22b -<<2b =-2b =2b <-2b >()0,0O 2b d 2r (),2m m 22155m m d -+==241r m =+0d r d <≠，，PQ P ()31O -，PO y min 336 4.OP PQ =+=∴=，717240x y ++=20x y +-=()46y k x +=-()0,0O 2461k d k +=+25r =或例题2、【答案】【解析】 化为标准型得，半径圆心到直线的距离分析可知，则例题3、【答案】 A 【解析】解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x 轴相切．当|MN|=23时，弦心距最大，由点到直线距离公式得21k+≤1解得k∪[-34，0]；故选A ．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B ，考虑区间不对称，排除C ，利用斜率估值， 故选A ． 随练1、【答案】 （1）见解析；（2）． 【解析】 （1）证明：将的方程整理为由所以直线经过点．因为．所以点在圆的内部，故直线与圆相交．（2）圆心，当截得的弦长最小时，由得直线的方程为即．切线问题例题1、 【答案】 C【解析】 当最小时，面积最小，从而求得面积为例题2、 【答案】【解析】 解法一：设切线方程为①，将①式代入圆的方程，整理得判别式，解得或22227,172470217l d r k k k ⎛⎫+=⇒++=⇒=-⎪⎝⎭1k =-23,23⎡⎤-+⎣⎦()()222218x y -+-=32,r =2221k d k -=+'32222d r d ≤-=-=2222232 3.1k k k -≤⇒-≤≤++250x y --=l ()()4270,x y m x y +-++-=40,3,270. 1.x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩l ()3,1A ()()223112525-+-=<A C l ()1,2C ,l AC ⊥1,2ACk =-l ()123,y x -=-250x y --=PO 8.()71y k x +=-2225x y +=()()2222121414240,kx k k x k k +-++++=()()()22222144114240k k k k k ∆=+-+++=43k =从而切线方程为：或． 解法二：设切线方程为，则圆心到直线的距离，由可得，解得或从而切线方程为：或． 解法三：设切线方程为其中是圆上的点，将坐标代入后得，联立，解得或 因此切线方程为：或．随练1、 【答案】 D【解析】 设，则，当且仅当时取等号．圆与圆的位置关系判定圆与圆的位置例题1、 【答案】 D【解析】 圆心距半径分别为由此得从而相交． 例题2、【答案】 D【解析】 两圆相切，可以内切或外切，分别求得即可. 例题3、 【答案】 C【解析】 根据圆与圆的位置关系可判断出两圆外切，从而有三条公切线. 例题4、 【答案】 B【解析】 当两圆重合时，公共弦长最大为直径 随练1、 【答案】 D【解析】 根据圆心距与半径之间的关系易判断.与圆有关的轨迹问题例题1、【答案】 （1）；（2）【解析】 两圆相减得公共弦所在直线方程为，由题可知圆的圆心在公共弦上，，所以圆的圆心的轨迹方程为，圆3,4k =-43250x y --=34250x y ++=()71y k x +=-271k d k +=+,d r =2127120k k --=43k =3,4k =-43250x y --=34250x y ++=025,xx yy +=()00,x y ()1,7-00725x y -=220025x y +=004,3.x y =⎧⎨=-⎩003,4.x y =-⎧⎨=-⎩43250x y --=34250x y ++=2APB θ∠=,APO BPO θ∠=∠=()22cos 2cot cos 2PA PB PA θθθ⋅==⋅()2221sin 12sin sin θθθ-=⋅-221/sin 2sin 3223θθ=+-≥2sin 22θ=()22345d =+-，1226r r ==，，1212r r d r r -<<+，r 2.()()2122x y +=-+22240x y x y +++=AB ()()2212110m x n y m +++--=2C ()()()()22212110122m n m m n ∴-+-+--=⇒+=-+1C ()()2122x y +=-+的半径，当且仅当取等号，故半径最小值为，此时圆的方程为随练1、 【答案】 B 【解析】∵圆（x -a ）2+（y -b ）2=b 2+1始终平分（x+1）2+（y+1）2=4的周长 ∪两圆交点的直线过（x+1）2+（y+1）2=4的圆心（-1，-1） 两圆方程相减可得：（2+2a ）x+（2+2b ）y -a 2-1=0 将（-1，-1）代入可得-2-2a -2-2b -a 2-1=0 即5+2a+2b+a 2=0 故选B 随练2、【答案】 x=32【解析】 本题考查圆一般方程的圆心、半径的表示及勾股定理，同时考查方程的思想．首先由圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示出圆心（-2D ，-2E ），半径12224D E F +- 再由勾股定理分别表示出切线长22||PO r -22||PO r ''- ∪O ：圆心O （0，0），半径2∪O'：圆心O'（4，0），半径6．设P （x ，y ），由切线长相等得x 2+y 2-2=x 2+y 2-8x+10，即x=32．所以动点P 的轨迹方程是x=32．圆系方程（北京不选）例题1、【答案】【解析】 解法一：两圆方程相减得公共弦所在直线方程为两圆的连心线所在直线方程为，由圆心在直线上解得圆心坐标为圆心到直线的距离为解两圆所在的方程组得两圆交点坐标为，求得公共弦弦长，所以圆的方程为 解法二：设所求圆的方程为，其圆心坐标为代入求得即得所求圆的方程为 例题2、【答案】 （1）（2） 【解析】 （1）设所求的圆的方程为即圆心为且其在直线上，故所求的圆的方程为 1C )2152r n n +≤-2,1n m =-=-522240x y x y +++=227320x y x y +-+-=40x y -+=30x y ++=40x y --=1722⎛⎫- ⎪⎝⎭，，40x y -+=17422422d ++==，()()1362---，，，52l =2228922l r d ⎛⎫=+=⎪⎝⎭227320.x y x y +-+-=()()22226462801x y x x y y λλ++-+++-=≠-3311λλλ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，-，40x y --=7λ=-，227320.x y x y +-+-=227320;x y x y +-+-=22320.x y x +--=()()22226462801,x y x x y y λλ++-+++-=≠-22664280.111x y x y λλλλλ++++-=∴+++33,,11λλλ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭40x y --=33407.11λλλλ-+-=⇒=-++227320.x y x y +-+-=（2）设所求圆的方程为由圆过点，得故所求方程为随练1、【答案】 【解析】 所求圆的方程为由圆过点，得故所求方程为拓展1、【答案】 A 【解析】将圆的方程化为标准方程得：（x -2）2+y 2=4， ∪圆心C （2，0），半径r=2，又P （3，0）与圆心的距离22(32)0-+=1＜2=r ， ∪点P 在圆C 内，又直线l 过P 点， 则直线l 与圆C 相交． 故选A 2、【答案】 C【解析】 圆心到直线的距离为又 3、【答案】 （1）y=0或7x+24y -28=0；（2）P 1（52，-12）或P 2（-32，132）． 【解析】 （1）由于直线x=4与圆C 1不相交； ∪直线l 的斜率存在，设l 方程为：y=k （x -4）圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，∪l 被∪C 1截得的弦长为3222(3)-=1 21k +从而k （24k+7）=0即k=0或k=-724∪直线l 的方程为：y=0或7x+24y -28=0 （2）设点P （a ，b ）满足条件，由题意分析可得直线l 1、l 2的斜率均存在且不为0， 不妨设直线l 1的方程为y -b=k （x -a ），k≠0则直线l 2方程为：y -b=-1k（x -a ）∪∪C 1和∪C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等， ∪∪C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等21k +21|5(4)|11a b k k+--+整理得|1+3k+ak -b|=|5k+4-a -bk|∪1+3k+ak -b=±（5k+4-a -bk ）即（a+b -2）k=b -a+3或（a -b+8）k=a+b -5()()22226401,x y x x y λλ+-++-=≠-C ()2,2P -()()()2222221222401,λλ+--++--=⇒=22320.x y x +--=22320x y x +--=()()22226401,x y x x y λλ+-++-=≠-C ()2,2P -()()()2222221222401,λλ+--++--=⇒=22320.x y x +--=()1,2C 225551,12d -+=+5r =51,42ll ∴=-⇒=11 因k 的取值有无穷多个，所以2030a b b a +-=⎧⎨-+=⎩或8050a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或32132a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 这样的点只可能是点P 1（52，-12）或点P 2（-32，132） 经检验点P 1和P 2满足题目条件4、【答案】 D【解析】 由题可求得半径为与圆内切，从而的圆心坐标为，选D. 5、【答案】 B【解析】 因为四点共圆，从而又固定，从而不变，轨迹为线段. 6、【答案】 或或或【解析】 圆的圆心坐标为，半径圆的圆心坐标为半径由知两圆外离，当两圆的公切线斜率存在时，设为，则，解得或或但由两圆位置关系可知，公切线应为四条，说明另一条公切线的斜率不存在，设为则由公切线性质知：即是另一条公切线方程．综上所述，所求公切线方程为或或或6，()2231x y +-=()46±，ABCO ACB AOB ∠=∠，Rt ABC ∆BOA ∠40y +=430x y -=0x =34100.x y ++=1C ()11,3O --11,r =2C ()23,1,O -2 3.r =1212,O O r r >+y kx b =+1,3.==3,45.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩0,4.k b =⎧⎨=-⎩4,30,k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,x l =11,0,3 3.l l l ⎧+=⎪∴=⎨-=⎪⎩0x =40y +=430x y -=0x =34100.x y ++=。

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习()点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外d＞r ②点P 在圆上d=r ①点P在圆内d＜r点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．符号读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 5.直线和圆的位置关系直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．1①直线l和⊙O相交d＜r ②直线l和⊙O相切d=r ③直线l和⊙O相离d＞r．6.切线的性质切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．切线性质的运用定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理2圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离d＞R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r＜d＜R+r；④两圆内切d=R-r；⑤两圆内含d＜R-r．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 13.相交两圆的性质相交两圆的性质：相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条公切线，则它们的交点一定在连心线上．34. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D是线段BC的中点.试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理. 过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.4【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：相交r1r2dr1r2；外切dr1r2；内切dr1r2；外离dr1r2；内含0dr1r2 【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为A．相离B．相切 C．相交D．内含例2. 如图1，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．B50°，C60°，连结OE，OF，DE，DF，则EDF等于 A．40°B．55° C．65°D．70°例3. 如图，已知直线L和直线L外两定点A、B，且A、B到直线L的距离相等，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有A．0个B．1个C．无数个D．0个或1个或无数个例4．已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为 D. 1cm或7cm 例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足___ ___时，两圆相交；当d满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O半径为，点P为直线L上一点，且OP=，则直线与⊙O的位置关系是____例8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，若PA 长为2，则△PEF的周长是_．例9. 如图，⊙M与x轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y轴切于点C，则圆心M的坐标是5例10. 如图，四边形ABCD内接于⊙A，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=43，求DB的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是 A．相离B．外切C．内切D．相交2.⊙A和⊙B相切，半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为 A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上答案均不对3.如图，P是⊙O的直径CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于A. 15B. 30C. 45D. 604. 如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于 AA）6 25 210 214 O BDC5.如图，在第3题图10× 6的网格图中第4题图(每个小正方形的边长均为第5题图1 个单位长)．⊙第6A题图半径为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A图示的位置向左平移个单位长.6. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于A.54 B. 45 C. 354 D. 6 7.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在△ABC中，ABAC，A120°，BC23，⊙A与BC 相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．O1O2O6第8题图第9题图第10题图第11题图 10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30o，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm。

高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________． 解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6. 答案：6考点二 圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A 级1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24 C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24. 6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r 2－d 2＝2555. 答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． 解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0， 圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离， 所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.B 级1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 20＝1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2，当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB ―→·CD ―→＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝π4，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以 直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案：33．(2018·安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.。