偏微分方程理论学习总结

偏微分方程理论学习总结>任荣珍院系：理学院|班级：19 班学号：34偏微分方程理论学习总结偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。

下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介：谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。

）十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。

而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支——数学物理方程的建立。

J.达朗贝尔(D ’Alembert)(1717-1783)、L.欧拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利 (Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P .拉普拉斯(Laplace) (1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840)、J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。

十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。

而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：2222220V V VV x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一块以6章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用(在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等单位分解定理：(设12,,...,k ΩΩΩ是开集组，K 是紧集，满足1kj j K ϕ=⊂，则存在函数0()j j C ϕ+∞∈Ω，使得0j ϕ≥，11kj j ϕ=≤∑，且在K 的领域内11kj j ϕ==∑)、；接下来介绍一些重要的不等式： 一、基本不等式 (1) Cauchy 不等式对任意的,0a b ≥，有2222a b ab ≤+：(2) 带ε的Cauchy 不等式对任意的,0a b >和0ε>，有2222a b ab εε≤+(3) Jensen 不等式设:R R ϕ→是下凸的，则11(())(())b ba a f t dt f t dtb a b aϕϕ≤--⎰⎰ 对有限区间[,]a b 及可积函数:[,]f a b R →均成立 (4) Young 不等式~对任意,0a b ≥,1,p q <<∞，111p q+=，有 p qa b ab p q≤+(5) 带ε的Young 不等式对任意,0a b ≥和0ε>，1,p q <<∞，111p q +=，有 pq p qa b ab pqεε-≤+(6) Holder 不等式pp LL uvdx uv Ω≤⎰， 1,p q ≤≤∞，111pq+=(7)一般的Holder 不等式^121212......p p p kk kL L L u u u dx u u u Ω≤⎰，111...1kp p ++= (7’) Minkowski 不等式设1,p q ≤≤∞，,()p f g L ∈Ω，则()p f g L +∈Ω，使()()()p p p L L L f gfgΩΩΩ+≤+(8) 几何与算术平均不等式对任意12,,...,0k a a a ≥，有11212...(...)k k k a a a a a a k++≤(9) p L 空间的内插不等式;1rsta a LLLuuu-≤， s r t ≤≤，11a a r s t-=+ 二、内插不等式 (1) (Green 恒等式)2u u udx u dx uds nΩΩ∂Ω∂∆=-∇+∂⎰⎰⎰ 记号()()()()()i i x x u x u x n x u x n x n∂=∇=∂为u 在点x 的外法向导数。

(2) (内插不等式)设2p ≤<∞，u 是光滑函数，在∂Ω上，0u =，则2121,1()()()i i j psnnrp r s x x x i i j u dx C u dx u dx ΩΩΩ==≤∑∑⎰⎰⎰@其中C 是仅依赖于p 的常数，且211p r s=+ 三、Sobolev 不等式设0():p Ln n u W R R R ∈→，则对1P n ≤<，有111()()n n inpp p p x RRi udx C u dx **=≤∑⎰⎰其中C 仅依赖于p 及n这些重要的不等式在以后的文章写作中也会用到，而且这是偏微分方程中最基本的知识。

偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、函数论、拓扑学、代数、复分析的紧密联系，偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念、基础思想和基本方法，并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响，极值原理及其应用就是这种相互影响的经典范例，下面就来介绍一下弱极值原理及解的上下界估计、强极值原理、弱解的极值原理、极值原理等等弱极值原理: 假设:u R Ω→是20()()C C ΩΩ函数，满足微分不等式！0i j i ij x x i x Lu a u bu cu ≡-++≤ in Ω其中ij a 满足椭圆性假设条件，i b 及c 有界，且()0c x ≥ in Ω，则sup max(0,sup )u u Ω∂Ω≤特别地，若0c ≡，则有sup sup u u Ω∂Ω=解的上下界模的估计：假设u 是方程()()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on ϕ-++=Ω⎧⎪⎨=∂Ω⎪⎩的解，其中ij a 满足椭圆形假设条件，i b 及c 有界，且在Ω内()0c x ≥，则存在仅依赖于Ω及系数ij a ，i b ，c 的常数C ，使得sup sup sup u C f ϕΩ∂ΩΩ≤+#弱极值原理断言，在一定条件下函数u 一定在Ω的边界取得它的最大值或最小值，但并不排除u 在Ω内也能取得最大(小)值，下面所讲的强极值原理说明，在一定条件下，若u 不恒为常数，则u 一定不能再内部达到最大值，下面就介绍强极值原理。

强极值原理：若函数20()()u C C ∈ΩΩ在Ω内满足0Lu ≤，且在一个内点处达到非负的最大值，()0c x ≥，则u 为常数。

接下来介绍弱解的极值原理，并由此获得问题()()()()0i j i i ij x x i x i x a u b u cu f f in u on -++=+Ω⎧⎪⎨=∂Ω⎪⎩弱解的存在性，这里我们采用DeGiorgi 迭代法。

为了更精确地叙述弱极值原理，我们需要引进上、下解的概念定义1：1()u H ∈Ω称为方程(,),a u v T v =的弱下解(弱上解、弱解)，如果对任意0()C ϕ∞∈Ω，0ϕ≥，有 00(,)(,),(,)(,)i i a u T f f D ϕϕϕϕ≤≥==-.其中(,)[()]i j i ij x x i x a u a u u bu cu v dx ϕΩ=++⎰事实上式00(,)(,),(,)(,)i i a u T f f D ϕϕϕϕ≤≥==-对于任意1()H ϕ∈Ω，max(,0)ϕϕϕ+==也成立 弱解的极值原理：设L 的系数满足式()ij a L ∞∈Ω与式2nniL L ib c+≤Θ∑，且在Ω内几乎处处成立，如果1()u H ∈Ω是方程(,),a u v T v =的弱下解，则对于任意p n >，我们有11()()sup sup ()npp n pn piLL ess u u C ff +-+ΩΩΩ∂Ω≤++Ω$其中C 仅依赖于n ，p ，θ，Θ，Ω以及i b ，c ，但与Ω的下界无关。

上面介绍的是一些关于线性椭圆形的不等式极值原理及应用，下面我们来介绍有关线性椭圆形中有关解的估计、存在性及连续性 梯度的边界估计：定理假设u 满足()0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω⎧⎪⎨=∂Ω⎪⎩其中系数ij a ，i b ，c 有界，f 也有界，0c ≥，且ij a 满足椭圆性假设条件，Ω满足外球条件，则存在仅依赖于ij a ，i b ，c ，f 及Ω的常数C ，使得sup u C ∂Ω∇≤解的梯度在Ω上的估计：,定理假设u 是问题()0()i j i ij x x i x a u b u cu f in u on -++=Ω⎧⎪⎨=∂Ω⎪⎩的解，其中ij a 满足椭圆假设条件，ij a ，i b 与c 有有界的导数，且0c ≥，则存在仅依赖于θ (出现在椭圆假设条件中)及ij a ，i b ，c 的1,W ∞模的常数C ，使得sup sup (sup sup sup )u u C u f f Ω∂ΩΩΩΩ∇≤∇+++∇解的梯度在Ω上的估计有时是无用的，因为难以估计sup u ∂Ω∇，在这种情况下，我们考虑函数2'22()()()()W x x u x u x ξλ=∇+其中()x ξ是一光滑的截割函数，在∂Ω附近它恒为0，我们可以选择ξ，使它在某严格内域'Ω⊂Ω上恒等于1，并且利用前述估计，得到借助sup u Ω，sup f Ω及【sup f Ω∇表示的sup u Ω∇的界。

一旦有了u ∇的界，利用同样的方法可得到高阶导数的界。

例如，我们可以利用极值原理于2''i j i j x x x x Wu u uλ=+∇，λ待定以得到u 的二阶导数的界，利用2'''2i j i j x x x x W u u u ξλ=+∇以得到局部的二阶导数估计。

1,2W 估计：记()max((),0)c x c x +=；()min((),0)()()c x c x c x c x -+=-=-定理：设u 是问题()+()()0()i j i i ij x x i x i x a u b u cu f f in u on -++=Ω⎧⎪⎨=∂Ω⎪⎩的光滑解，ij a 满足椭圆性假设条件，且ij a ，i b ，c 有界，若2,()i f f L ∈Ω，则存在仅依赖于θ及系数的常数1C 与2C ，使得22222121()()ni i u c u dx C f f dx C u dx +ΩΩΩ=∇+≤++∑⎰⎰⎰若min ()c x λ=充分大，则存在3C ，使得1,22223()1()ni Wi uC f f dx ΩΩ=≤+∑⎰注意，这个估计不要求ij a 或i f 的任何光滑性。