北京中考数学一、二模拟考试代几综合试题汇编

目录北京中考数学试题分类汇编 ............................................................................................................一、实数（共18小题）..................................................................................................................二、代数式（共2小题）................................................................................................................三、整式与分式（共14小题）......................................................................................................四、方程与方程组（共11小题）..................................................................................................五、不等式与不等式组（共6小题） ............................................................................................六、图形与坐标（共4小题）........................................................................................................七、一次函数（共11小题）..........................................................................................................八、反比例函数（共5小题）........................................................................................................九、二次函数（共10小题）..........................................................................................................一十、图形的认识（共11小题）..................................................................................................一十一、图形与证明（共33小题） ..............................................................................................一十二、图形与变换（共12小题） ..............................................................................................一十三、统计（共15小题）..........................................................................................................一十四、概率（共6小题）............................................................................................................北京中考数学试题分类汇编（答案） ............................................................................................一、实数（共18小题）..................................................................................................................二、代数式（共2小题）................................................................................................................三、整式与分式（共14小题）......................................................................................................四、方程与方程组（共11小题）..................................................................................................五、不等式与不等式组（共6小题） ............................................................................................六、图形与坐标（共4小题）........................................................................................................七、一次函数（共11小题）..........................................................................................................八、反比例函数（共5小题）........................................................................................................九、二次函数（共10小题）..........................................................................................................一十、图形的认识（共11小题）..................................................................................................一十一、图形与证明（共33小题） ..............................................................................................一十二、图形与变换（共12小题） ..............................................................................................一十三、统计（共15小题）..........................................................................................................一十四、概率（共6小题）............................................................................................................2011-2016年北京中考数学试题分类汇编本套试卷汇编了11-16年北京市中考数学试题真题，将真题按照知识点内容重新进行编排，通过试卷可看出北京中考数学学科各知识点所占整套试卷的百分比，知识点所对应的出题类型。

目录丰台区2012年初三统一练习 石景山2012年初三统一练习 顺义区2012年初三统一练习 大兴区2012年初三统一练习 通州区2012年初三统一练习 门头沟2012年初三统一练习 房山区2012年初三统一练习 延庆县2012年初三统一练习 密云县2012年初三统一练习 海淀区2012年初三统一练习丰台区2012年初三统一练习（二）数 学 试 卷学校 姓名 准考证号 考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2-的绝对值是A ．12-B ．12 C ．2 D ．2-2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为A ．62.510⨯ B ．50.2510-⨯ C ． 62.510-⨯ D ．72510-⨯ 3．如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，如果AD =1， BD =2，那么DEBC的值为 ED AA．12B．13C．14D．194．在4张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形和圆，在看不见图形的情况下随机抽取1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是A．14B．12C．34D．15．若230x y++-=则y x的值为A．－8 B．－6 C．6 D．86．下列运算正确的是A．222()a b a b+=+ B．235a b ab+=C．632a a a÷= D．325a a a⋅=7．小张每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为2 800米，骑自行车的平均速度是步行的平均速度的4倍，骑自行车上学比步行上学少用30分钟．设步行的平均速度为x米/分．根据题意，下面列出的方程正确的是A．30428002800=-xxB．30280042800=-xxC．30528002800=-xxD．30280052800=-xx8．如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上．．一面的字是A．北 B．京 C．精 D．神二、填空题（本题共16分，每小题4分）91x-x的取值范围是．10．分解因式：=+-babba25102．11．如图, ⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，如果1OD=，那么BAC∠=________︒．DOCBA12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+，2(2)12f =+，2(3)13f =+，2(4)14f =+，…，利用以上运算的规律写出()f n = (n 为正整数) ；(1)(2)(3)(100)f f f f ⋅⋅⋅= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算： ()︒⎪⎭⎫ ⎝⎛+45sin 4-211-3-272-03 ．14．已知2230a a --=，求代数式2(1)(2)(2)a a a a --+-的值．15．解分式方程：21124x x x -=--．16．如图，在△ABC 与△ABD 中， BC 与AD 相交于点O ，∠1=∠2，CO = DO ．求证：∠C =∠D ．17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =-x 的图象与反比例函数ky x=的图象交于A 、B 两点． （1）求k 的值；（2）如果点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直角三角形，直接写出点P 的坐标．18．为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1 4月份总用电量/千瓦时电费/元 小刚 200 小丽30021DOCBA（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y （元）与用电量x （千瓦时）之间的函数关系式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．20．已知：如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，联结AB 交O C 于点D ，AC =CD ． （1）求证：OC ⊥OB ；（2）如果OD =1，tan∠OCA =52，求AC 的长．21．某课外小组为了解本校八年级700名学生每学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查，根据收集的数据绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图(各组数据包括最小值，不包括最大值)． （1）补全下面的频数分布表和频数分布直方图：（2）可以估计这所学校八年级的学生中，每学期参加社会实践活动的时间不少于8小时的学生大约有多少人？分组/时 频数 频率 6～8 2 0.04 8～10 0.12 10～12 12～14 18 14～16 10 0.20 合 计501.00OD CBAMFEBCDA22．小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，连结EF ，△AEF的三条高线交于点H ，如果AC =4，EF =3，求AH 的长．小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH 平移至△GCF 的位置(如图2)，可以解决这个问题．请你参考小杰同学的思路回答： （1）图2中AH 的长等于 ．（2）如果AC =a ，EF =b ，那么AH 的长等于 ．BA D CEFHG HFECDA B图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程242(1)0x x k -+-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果抛物线242(1)y x x k =-+-与x 轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k 的值；（3）直线y =x 与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C ，点P 是射线OC 上的一个动点（点P 不与点O 、点C 重合），过点P 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于点M ，点Q 在直线PC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．24．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．12345–1–2–3–412345–1–2xy O（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图225．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A （32，0），C （0，2）． (1) 抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度α（0°<α<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标； （3）如图（2），将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°<θ<180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E ，联结CE ，当θ= °时，线段CE 的长度最大，最大值为 ．AEFPD CE BAD F P北京市丰台区2011_2012学年第二学期初三综合练习（二）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CCBCADAA题号 91011 12答案x ≥12)5(-a b 60°21n+；5151 13．解：原式=3-1+4-422⨯……4分 =6-22….5分14．解：2(1)(2)(2)a a a a --+-=22224a a a --+……1分. =224a a -+． ……2分2230a a --=， ∴223a a -=．…3分∴原式=224347a a -+=+=．….….5分 15．21124x x x -=-- 解：2(2)(4)1x x x +--=．……1分 22241x x x +-+=．……2分23x =-．…… 3分32x =-．…….4分 检验：经检验，32x =-是原方程的解．∴原方程的解是32x =-．……5分16．证明：∠1=∠2， ∴OA=OB ．…1分在△COA 和△DOB 中 ，OA=OB ，∠AOC =∠BOD ，CO=DO ．∴△COA ≌△DOB ．……….4分∴∠C =∠D ． …………….5分 17．解： （1）反比例函数ky x=的图象经过点A (-1，1) ， ∴-11-1k =⨯=．…………1分 （2）P 1(0，2)、 P 2(0，-2)、P 3(0，2)、 P 4(0，-2) ……5分18．解：（1）……2分4月份总用电量/千瓦时电费/元 小刚 200 98 小丽300150.5（2）当0230x ≤≤时，0.49y x =；……3分 当230400x <≤时，0.54-11.5y x =；……4分当400x >时，0.79-111.5y x =．……5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：联结BD ． ∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ．……1分 又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ．∴四边形EFBD 为平行四边形．……2分 ∴FB = ED =2．……3分 ∵E 是AD 的中点． ∴AD =2ED =4．……4分 ∴菱形ABCD 的周长为4416⨯=．……5分20．（1）证明：∵OA =OB ， ∴∠B =∠4． ∵CD =AC ， ∴∠1=∠2．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1． ∵AC 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AC ．……1分∴∠OAC =90°．∴∠1+∠4=90°． ∴∠3+∠B =90°． ∴OC ⊥OB ．……2分（2）在Rt △OAC 中 ，∠OAC =90°， ∵tan∠OCA =52， ∴52OA AC =．……3分 ∴设AC =2x ，则AO =5x ．由勾股定理得，OC =3x ．∵AC =CD ， ∴AC =CD =2x ． ∵OD =1， ∴OC =2x +1．∴2x +1=3x ．……4分∴x =1． ∴AC =21⨯=2．……5分21．解： （1）……3分（注：错一空扣1分，最多扣3分）…4分（2）700⨯（1-0.04）=672．……5分答：这所学校每学期参加社会实践活动的时间不少于8小时的学生大约有672人．22．解：（1）7；……3分（2）22a b -．……5分 分组/时 频数 频率 6～8 2 0.04 8～10 6 0.1210～12 14 0.28 12～14 18 0.36 14～16 10 0.20合 计 50 1.0023．解：（1）由题意得△>0． ∴△=2(4)4[2(1)]8240k k ---=-+>．……1分 ∴解得3<k ．……2分（2）∵3<k 且k 为正整数，∴1=k 或2．……3分当1=k 时，x x y 42-=，与x 轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意； 当2=k 时，242+-=x x y ，与x 轴的交点不是整数点，故舍去． 综上所述，1=k ．……4分（3）∵2,4y x y x x =⎧⎨=-⎩，∴点C 的坐标是（5，5）．∴OC 与x 轴的夹角为45°．过点Q 作QN ⊥PM 于点N ，（注：点Q 在射线PC 上时，结果一样，所以只写一种情况432ABCD O1即可）∴∠NQP =45°，NQ PM S ⋅=21．∵PQ ，∴NQ =1．∵P （t t ,），则M （t t t 4,2-），∴PM =t t t t t 5)4(22+-=--．……5分 ∴t t S 5212+-=． ∴当50<<t 时，t t S 25212+-=；……6分 当5>t 时，t t S 25212-=．……7分24．解：（1）DE =DF ．……1分（2）DE =DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠． ∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠．∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分 ∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分25．解：（1）∵矩形OABC ，A （32，0），C （0，2），∴B （32，2）．∴抛物线的对称轴为x =3．∴b =3．……1分∴二次函数的解析式为：2232y x x =-++．……2分(2)①当顶点A 落在对称轴上时，设点A 的对应点为点A ’，联结OA ’，设对称轴x =3与x 轴交于点D ，∴OD =3． ∴OA ’ = OA =32．在Rt △OA ’D 中，根据勾股定理A ’D =3． ∴A ’(3，-3) ． ……4分 ②当顶点落C 对称轴上时(图略)，设点C 的对应点为点C ’，联结OC ’， 在Rt △OC ’D 中，根据勾股定理C ’D =1． ∴C ’(3，1)．……6分 (3) 120°，4．……8分石景山区2012年初三第二次统一练习数 学 试 卷7654321NMCD BPFEACA B yxB'C'DA'O考 生 须 知 1．本试卷共10页．第10页为草稿纸，全卷共五道大题，25道小题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名和准考证号． 4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．题号 一 二 三 四五 总分 分数第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后的括号内．1．2的算术平方根是（ ） A ．21B ．2C ．2-D ．2±2．2012年2月，国务院同意发布新修订的《环境空气质量标准》增加了PM2.5监测指标．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米=0．000 001 米，那么数据0.000 002 5用科学记数法可以表示为（ ） A ．6105.2-⨯ B ．5105.2-⨯ C ．5105.2⨯- D ．6105.2-⨯-3．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120︒ 的菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒ 4年星级饭店客房出租率（%）的情况如下表：年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 出租率62625265626160524956A ．61、62B ．62、62C ．61.5、62D ．60.5、625．如图，有6张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京精神——“爱国、创新、包容、厚德”的字样．背面完全相同，现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片恰好是“创新”的概率是（ ） A ．31 B ．32 C ．61 D ．41 6．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）第3题图爱国创新包容厚德爱国创新A ．5B ．6C ．7D ．87．将二次函数2x y =的图象如何平移可得到342++=x x y 的图象（ ） A ．向右平移2个单位，向上平移一个单位 B ．向右平移2个单位，向下平移一个单位 C ．向左平移2个单位，向下平移一个单位 D ．向左平移2个单位，向上平移一个单位8．已知正方形纸片的边长为18，若将它按下图所示方法折成一个正方体纸盒，则纸盒的边（棱）长是（ ） A ．6B ．23C ．29D ．32第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分式3-x x有意义的条件为 ． 10．分解因式：=-339ab b a ______ ________． 11．已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是 ．12．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）第8题图 第11题图111210987654321第12题图13．()22145cos 314.38-⎪⎭⎫⎝⎛+︒---π．解：14．解分式方程123482---=-xxx ．解：15．已知，如图，点D 在边BC 上，点E 在△ABC 外部，DE 交AC 于F ，若AD =AB ，∠1=∠2=∠3． 求证：BC=DE ． 证明：16．已知：0162=-+x x ，求代数式()()()()3312122+-+--+x x x x x 的值．解：17．已知一次函数y kx b =+的图象与直线3y x =-平行且经过点()3,2-，与x 轴、y轴分别交于 A 、 B 两点． (1)求此一次函数的解析式；(2)点C 是坐标轴上一点，若△ABC 是底角为︒30的等腰三角形，求点C 的坐标． 解：18．列方程（组）解应用题：如图是一块长、宽分别为60 m 、50 m 的矩形草坪，草坪中有宽度均为x m 的一横两纵的甬道．（1）用含x 的代数式表示草坪的总面积S ；yx O 321FEABC D（2）当甬道总面积为矩形总面积的4.10%时，求甬道的宽． 解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠B =30º．折叠纸片使BC 经过点A ，点B 落在点B’处，EF 是折痕，且BE =EF =4，AF ∥CD ． （1）求∠BAF 的度数； （2）当梯形的上底AD 多长时，线段DF 恰为该梯形的高？ 解：20．以下是根据全国 2011年国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的统计图的一部分． 请根据以上信息，解答下列问题：（产量相关数据精确到1万吨）（1）请补全扇形统计图；（2）通过计算说明全国的粮食产量与上一年相比，增长最多的是 年； （3）2011年早稻的产量为 万吨；（4）2008-2011这三年间，比上一年增长的粮食产量的平均数为多少万吨，若按此平均数增长，请你估计2012年的粮食产量为多少万吨．（结果保留到整数位） 解：21．已知：如图，M 是⊙O 的直径AB 上任意一点，过点M 作AB 的垂线MP ，D 是MPA BDEC B 'F 6%22%%早稻夏粮秋粮2011年各类粮食占全体 粮食的百分比分组统计图的延长线上一点，联结AD 交⊙O 于点C ，且PC PD =． （1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若22tan =D ，3=OA ，过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ．求弦AN 的长．解：22．阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中. （1）请你回答：︒=∠AOB . （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题： 已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB =60°，∠DCB =30°，AC =5，CD =4.求四边形ABCD 的面积. 解：五、解答题（本题满分22分,第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：直线122y x =+分别与 x 轴、y 轴交于点A 、点B ，点P （a ，b ）在直线AB 上，点P 关于y 轴的对称点P ′ 在反比例函数xky =图象上．(1) 当a =1时，求反比例函数xky =的解析式；DCBAM CODPB图⑴ 图⑵ 图⑶（C ）OCBAOCB A(2) 设直线AB 与线段P'O 的交点为C ．当P'C =2CO 时，求b 的值；(3) 过点A 作AD //y 轴交反比例函数图象于点D ，若AD =2b，求△P ’DO 的面积．解：24．在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.A B C D E AE B C D图1 图2y x O 备用图解：25．已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝2x交于点B、C（B在右、C在左）．（1）求抛物线的解析式；∠=∠，（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得BFE CFE 若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．解：yOx备用图草稿纸石景山区2012初三第二次统一练习数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）题 号 12345678答 案Ｂ A D D A C C Ｂ二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．3≠x ； 10．()()b a b a ab 33-+； 11．225-225π； 12．10；6． 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）13．解：()22145cos 3--14.38-⎪⎭⎫⎝⎛+︒-π=4223122+⨯-- ……………………………4分 =322+…………………………………………………5分 14． 123482---=-xxx解：()()123228---=-+x x x x ……………………………1分 ()()()42382--+-=x x x ……………………………3分46822+---=x x x ……………………………4分∴10-=x经检验：10-=x 是原方程的根．………………………5分15．证明：∵∠1=∠2=∠3∴DAE BAC ∠=∠…………………………… 1分 又∵AFE DFC ∠=∠∴E C ∠=∠ …………………………… 2分 在△ABC 和△ADE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AB EC DAE BAC …………………………… 3分 ∴△ABC ≌△ADE ……………………………………………………… 4分∴BC=DE ． ……………………………………………………… 5分 16．解：原式222922144x x x x x -++-++= …………………………………2分1062++=x x ………………………………… 3分当0162=-+x x 时，162=+x x ………………………………… 4分 原式11=． …………………………………5分17．解：(1)∵一次函数y kx b =+的图象与直线3y x =-平行且经过点()3,2-∴⎩⎨⎧-=+-=323b k k 解得⎩⎨⎧=-=33b k∴一次函数解析式为33+-=x y …………………………………1分(2)令0=y ，则1=x ；令0=x 则3=y∴()()3,0,0,1B A∵1=OA ,3=OB …………………………2分 ∴2=AB ∴︒=∠30ABO若AC AB =，可求得点C 的坐标为()0,31C 或()3,02-C ………………………4分 若CA CB =如图︒=︒-︒=∠3030603OAC ，3330tan 3=︒=OA OC ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,03C …………………………………………5分 ∴()0,31C ,()3,02-C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,03C 18．解：（1）S = 6050⨯－（60 x + 2×50 x －2×x 2 ）=3000 + 2x 2－160x ．………2分（2）由题意得：-2x 2+160x =60501000104⨯⨯， ………………3分 解得 x = 2 或 x = 78． …………………………………4分 又0＜x ＜50，所以x = 2，答：甬道的宽是2米． ……………………………………5分 19. 解：（1）∵BE =EF ∴∠EFB =∠B ，由题意，△EF B '≌△BEF∴∠EFB ’ =∠EFB =∠B=30° ∴△BFA 中，︒=︒-︒-︒-︒=∠90303030180BAF ……………………………………2分 （2）联结DF ，∵AD //BC ，AF ∥CD∴四边形AFCD 是平行四边形 ……………………………………3分 ∴∠C =∠A FB =60°∴CD =AF =3230cos =︒EF ……………………………………4分 若BC DF ⊥，则360cos =︒=CD FC此时3=AD ． ……………………………………5分 20．（1）72%；（2）2011；（3）3427； ……………………每空1分，共3分（4）（57121-52871）÷3≈=1417 ………………………………………4分57121+1417=58538. ………………………………………5分21.（1）联结CO , … …………………………………1分∵DM ⊥AB∴∠D+∠A=90° ∵PC PD = ∴∠D=∠PCD ∵OC=OA∴∠A=∠OCA∴∠OCA+∠PCD=90° ∴PC ⊥OC∴直线PC 是⊙O 的切线 …………………………………2分 （2）过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ． ∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN ⊥OC,设垂足是Q ∴Rt △CQA 中 ∴22tanD QAC tan ==∠ ∴设CQ=x ，AQ=x 2 ∴OQ=x -3∵222AQ OQ OA +=∴222)3()2(3x x -+=解得2=x …………………………………4分 ∴22=AQ∴242==AQ AN …………………………………5分22. 解：（1）150° ………………………1分(2) 如图，将△ADC 绕点A 顺时针旋转60°，使点D 与点B 重合，………2分 得到△O AB '，连结O C '. 则△O AC '是等边三角形，可知4,5'===='DC BO CA O C ，ADC ABO ∠=∠'……………………3分在四边形ABCD 中，︒=∠-∠-︒=∠+∠270360DCB DAB ABC ADC ,)(360''ABO ABC BC O ∠+∠-︒=∠∴︒=︒-︒=90270360． ……………………4分34522=-=∴BC 6432543215432''-=⨯⨯-⨯=-=∴∆∆BCO ACO ABCD S S S 四边形．………………5分23．（1）∵点P 在直线AB 上, 1=a 时，2121+⨯=b =25………………………1分 ∴)25,1(P ，∴)25,1(-'P ，代入x k y = 得25-=k ， ∴x y 25-= …………………………2分 （2）联结'PP∵点P 和点P '关于y 轴对称 ∴'PP ∥x 轴P 'Pxy ODC BA O 'DCBA∴OCA C PP ∽△△'∴'PP ∶=OA C P '∶CO …………3分 ∵CO C P 2'= ∴'PP =OA 2∵221+=x y 与x 轴交于点A 、点B ∴)0,4(-A ，)2,0(B 可得4=OA∴8'=PP ∴a =4∴42421=+⨯=b ………………………5分 （3）当点P 在第一象限时：∵点P 和点P '关于y 轴对称且),(b a P∴),('b a P -∵y AD ∥∴)24-(b D ， ∵D P 、点点'在xk y =上 ∴b a b⨯-=⨯-24 ∴2=a∴32221=+⨯=b ∵),23,4(-D )3,2('-P∴29'=DO P S △ …………6分当点P 在第二象限时：)24-(bD -，∴b a b⨯-=-⨯-24∴2-=a∴12)2(21=+-⨯=b∵),21,4(--D )1,2('P∴23'=DO P S △ …………7分24.解：（1）DC DB 2= (2) DC DB 2=证明：过点C 作CF ∥BE 交AD 的延长线于点F , 在 AD 上取点G 使得CF CG =A∴76∠=∠=∠F∵︒=∠=∠=∠602BAC CED BED ∴︒=∠=∠606F ,︒=∠30CED ∴41205∠=︒=∠∵︒=∠+∠=∠=∠+∠6021713 ∴23∠=∠ ∵AC AB = ∴△ABE ≌△CAG ∴AG BE AE CG ==, ∵︒=∠-∠=∠306CED GCE ∴EG CG =∴BE AG CG CF 2121===由△DBE ∽△DCF 得2==FCBEDC BD∴DC DB 2=(3) 结论：DC DB 2=.25.解：（1）点A （0，2m -7）代入y ＝－x 2＋2x ＋m -2，得m =5∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 ………………………2分（2）由⎩⎨⎧=++-=x y x x y 2322得⎪⎩⎪⎨⎧==323y x ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=323y x∴B （32,3），C （32,3--）B （32,3）关于抛物线对称轴1=x 的对称点为)32,32('-B可得直线C B '的解析式为32632-+=x y ， 由⎩⎨⎧=-+=132632y x y ，可得⎩⎨⎧==61y x∴)6,1(F ………………………5分（3）当)2,2(t t M --在抛物线上时，可得03242=-+t t ，4131±-=t ， 当)2,(t t P --在抛物线上时，可得32=t ，3±=t ，舍去负值，所以t 的取值范围是34131≤≤+-t ．………………8分87654321E D AGF图(2)F E B AO 顺义区2012届初三第二次统一练习考生须知1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的平方根是A ．3B ．-3C ．3±D ．132．据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表示应为A ．59.110⨯B ．49.110⨯C ．49110⨯D ． 39.110⨯ 3．如图，下列选项中不是．．正六棱柱三视图的是（ ）A B C D4．把2416a b b -分解因式，结果正确的是A ．2(24)b a - B ． (22)(22)b a a +-C ．24(2)b a -D ．4(2)(2)b a a +-5．北京是严重缺水的城市，市政府号召居民节约用水，为了解居民用水情况，小敏在某小区随机抽查了10户家庭的5月份用水量，结果如下（单位：立方米）：5，6，6，2，5，6，7，10，7，6，则关于这10户家庭的5月份用水量，下列说法错误的是 A.众数是6 B.极差是8C.平均数是6D.方差是46．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位， OF=3个单位，则圆的直径为A ．7个单位B ．6个单位C ．5个单位D ．4个单位7．从1,-2, 3，-4四个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是A ．14 B ．13 C ．12D ．238．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是DCBA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若分式261xx--的值为0，则x的值等于．10．如图，□ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若2BE=，3EC=，则BFDF的值为．11．将方程2410x x--=化为2()x m n-=的形式，其中m，n是常数，则m n+=．12．如图，△ABC中，AB=AC=2 ，若P为BC的中点,则2AP BP PC+的值为；若BC边上有100个不同的点1P，2P，…，100P，记i i i im AP BP PC=+(1i=，2，…，100)，则12m m++…100m+的值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：101()322sin45(32)4---+︒-．14．解不等式2(2)x+≤4(1)6x-+，并把它的解集在数轴上表示出来．15．已知：如图，E，F在BC上，且AE∥DF，AB∥CD ，AB=CD．FEDCBAP i P CBAFBA求证：BF = CE ．16．解分式方程：32322x x x -=+-．17．已知2x －3=0，求代数式5(2)(2)(4)1x x x x ---++的值．18．某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y （万吨）随着时间x （年）逐年成直线上升，y 与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的关系式；(2)请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少?四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB=AB ，DE 与AB 相交于点F ，AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．20．已知：如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，BC ∥OP 交⊙O 于点C ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若BC=2，11sin23APC ∠=，求PC 的长及点C 到PA 的距离．21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课FEDC B AOCBAP外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：图书种类 频数 频率科普常识 840 b名人传记 8160.34 中外名著 a0.25 其他1440.06（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比； （2）求表中a ，b 的值；（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？22．阅读下列材料：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，直线AB 经过第一象限，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P为线段AB 上任意一点（不与A 、B 重合），过点P 分别向x 轴、y 轴PyB D作垂线，垂足分别为C 、D ．设OC=x ，四边形OCPD 的面积为S ． （1）若已知A （4，0），B （0，6），求S 与x 之间的函数关系式； （2）若已知A （a ，0），B （0，b ），且当x=34时，S 有最大值98，求直线AB 的解析式； （3）在（2）的条件下，在直线AB 上有一点M ，且点M 到x 轴、y 轴的距离相等，点N在过M 点的反比例函数图象上，且△OAN 是直角三角形，求点N 的坐标． 24．已知：如图，D 为线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），CD ⊥AB ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD ．（1）如图1，当点D 恰是AB 的中点时，请你猜想并证明∠ACE 与∠BCF 的数量关系； （2）如图2，当点D 不是AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF 的度数（用含α的式子表示）．图1 图225．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为P ．（1）求二次函数的解析式；（2）设D 为线段OC 上的一点，若DPC BAC ∠=∠，求点D 的FED CBAFE D C B A坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 在抛物线212y x bx c =++上，点N 在y 轴上，要使以M 、N 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M 、N 是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．顺义区2012届初三第二次统一练习 数学学科参考答案及评分细则二、填空题（本题共16分，每小题4分，）9．3； 10．25； 11．7； 12．4，400． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：101()322sin 45(32)4---+︒--2432212=-+⨯- …………………………………………………… 4分 322=- …………………………………………………………………… 5分 14．解：去括号，得 24x +≤446x -+．…………………………………………… 1分移项，得 24x x -≤464-+-．…………………………………………… 2分 合并，得 2x -≤-2 ． ………………………………………… 3分 系数化为1，得 x ≥1 ． ……………………………………………… 4分 不等式的解集在数轴上表示如下：……………………………………… 5分15．证明：∵ AE ∥DF ，∴∠1=∠2． ………………………… 1分 ∵ AB ∥CD ， ∴ ∠B =∠C ．………………………… 2分在△ABE 和 △DCF 中， 12,,,B C AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABE ≌△DCF ．…………………………………………………… 4分 ∴ BE =CF ． ∴BE -EF =CF -EF ．即BF =CE ．……………………………………………………………… 5分16．解：去分母，得 3(2)2(2)3(2)(2)x x x x x --+=+-．…………………… 1分去括号，得 223624312x x x x ---=-． ………………………… 2分 整理，得 88x -=-．…………………………………………………… 3分解得 1x =． ……………………………………………………………… 4分 经检验，1x =是原方程的解．……………………………………………… 5分 ∴ 原方程的解是1x =．17．解：5(2)(2)(4)1x x x x ---++22510(28)1x x x x =--+-+ ……………………………………………… 2分22510281x x x x =---++24129x x =-+ ………………………………………………………………… 3分(23)(23)x x =+- …………………………………………………………… 4分当2x －3=0时，原式(23)(23)0x x =+-=．………………………………… 5分18．解：（1）设y 与x 之间的关系式为y=kx+b ．……………………………………… 1分21F EDC B A由题意，得20084,2010 6.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,2004.k b =⎧⎨=-⎩ …………………… 3分∴y 与x 之间的关系式为y ＝x －2004（2008≤x ≤2012）． …………… 4分（2）当x ＝2012时，y ＝2012－2004＝8．∴该市2012年因“限塑令”而减少的塑料消耗量约为8万吨．……… 5分19．解：∵四边形ABCD 是矩形，且AD=2，CD=1，∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC =∠C= 90°，AB ∥DC ．∴EB=AB=1． ………………………………………………………………… 1分 在Rt △ABE 中，222AE AB BE =+=．………………………………… 2分在Rt △DCE 中，22221310DE DC CE =+=+=．………………… 3分∵AB ∥DC ，∴12EF EB DF BC ==． …………………………………………………………… 4分 设EF x =，则2DF x =．∵EF DF DE +=， ∴210x x +=． ∴10x =． ∴22103DF x ==5分 20．解：（1）直线PC 与⊙O 相切．证明：连结OC ，∵BC ∥OP ，∴∠1 =∠2，∠3=∠4． ∵OB=OC ， ∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．又∵OC=OA ，OP=OP ，∴△POC ≌△POA ． ……………………………………………… 1分 ∴∠PCO =∠PAO ． ∵PA 切⊙O 于点A ， ∴∠PAO =90°． ∴∠PCO =90°．∴PC 与⊙O 相切． ……………………………………………… 2分（2）解：∵△POC ≌△POA ，∴∠5=∠6=12APC ∠． ∴11sin 5sin 23APC ∠=∠=．∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°． ∴1cos 2sin 53∠=∠=． 4321O C B AP图3MPCBAD85674321O CBAP∵∠3=∠1 =∠2， ∴1cos 33∠=． 连结AC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∴261cos 33BC AB ===∠．………………………………………… 3分∴OA=OB=OC=3，2242AC AB BC =-=．∴在Rt △POC 中，9sin 5OCOP ==∠．∴2262PC OP OC =-=．…………………………………… 4分 过点C 作CD ⊥PA 于D ， ∵∠ACB =∠PAO =90°，∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． ∴∠3=∠8．∴1cos 8cos 33∠=∠=．在Rt △CAD 中，14cos 842233AD AC =∠=⨯=． ∴22163CD AC AD =-=．……………………………………… 5分 21．解：（1）∵1-28%-38%=34%．∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%．……… 1分（2）∵1440.062400÷=，∴24000.25600a =⨯=， ……………………………………………… 2分84024000.35b =÷=． ……………………………………………… 3分（3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，∴全校学生总人数为20434%600÷=． ……………………………… 4分 ∴该校学生平均每人读课外书：24006004÷=．答：该校学生平均每人读4本课外书． ………………………………… 5分22．解：图2中∠APB 的度数为 135° ．……………… 1分 （1）如图3，以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形是 △APM ．（含画图）………… 2分 （2）以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55° ．……………… 5分23．解：（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，由A （4，0），B （0，6），得40,6.k b b +=⎧⎨=⎩ 解得3,26.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为362y x =-+．……………………………… 1分 ∵OC=x ，∴3(,6)2P x x -+． ∴3(6)2S x x =-+． 即2362S x x =-+（0< x <4）． …………………………………… 2分 （2）设直线AB 的解析式为y mx n =+，∵OC=x ，∴(,)P x mx n +．∴2S mx nx =+．∵当x=34时，S 有最大值98，∴3,24939.1648n m m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,3.m n =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为23y x =-+．………………………………… 3分∴A （32，0），B （0，3）． 即32a =，3b =．……………………………………………………… 5分（3）设点M 的坐标为（M x ，M y ），由点M 在（2）中的直线AB 上， ∴23M M y x =-+．∵点M 到x 轴、y 轴的距离相等， ∴M M x y =或M M x y =-．当M M x y =时，M 点的坐标为（1，1）． 过M 点的反比例函数的解析式为1y x=． ∵点N 在1y x=的图象上，OA 在x 轴上，且△OAN 是直角三角形， ∴点N 的坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………………… 6分 当M M x y =-时，M 点的坐标为（3，-3），BD C FEA 过M 点的反比例函数的解析式为9y x=-． ∵点N 在9y x=-的图象上，OA 在x 轴上，且△OAN 是直角三角形， ∴点N 的坐标为3,62⎛⎫-⎪⎝⎭．……………………………………………… 7分 综上，点N 的坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭或3,62⎛⎫- ⎪⎝⎭．24．解：（1）猜想：∠ACE=∠BCF ．证明：∵D 是AB 中点，∴AD=BD ，又∵AE=BD ，BF=AD ， ∴AE=BF ． ∵CD ⊥AB ，AD=BD ， ∴CA=CB ．∴∠1 =∠2． ∵AE ⊥AB ，BF ⊥AB ， ∴∠3 =∠4=90°．∴∠1+∠3 =∠2+∠4．即∠CAE=∠CBF ． ∴△CAE ≌△CBF ．∴∠ACE=∠BCF ．……………………………………………… 2分（2）∠ACE=∠BCF 仍然成立．证明：连结BE 、AF ．∵CD ⊥AB ，AE ⊥AB ， ∴∠CDB=∠BAE=90°． 又∵BD = AE ，CD = AB ，△CDB ≌△BAE ．……………… 3分∴CB=BE ，∠BCD=∠EBA ．在Rt △CDB 中，∵∠CDB =90°，∴∠BCD+∠CBD =90°． ∴∠EBA+∠CBD =90°．即∠CBE =90°．∴△BCE 是等腰直角三角形．∴∠BCE=45°． ……………………………………………… 4分 同理可证：△ACF 是等腰直角三角形．∴∠ACF=45°． ……………………………………………… 5分 ∴∠ACF=∠BCE ．∴∠ACF -∠ECF =∠BCE -∠ECF ．即∠ACE=∠BCF ．……………………………………………… 6分（3）∠ECF 的度数为90°-α．……………………………………………… 7分4321F E DCB A。

2024年中考第二次模拟考试数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（　）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．37．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A ．23B ．34C ．25D ．358．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9x 可取的一个数是 ．10．将2327m n n -因式分解为 ．11．方程12131x x =+-的解为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0k y k x =≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值 ．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于 .14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为.CE=．连接15．如图，在矩形ABCD中，4AB=，5BC=，E点为BC边延长线一点，且3⊥于点H，则DH=．AE交边CD于点F，过点D作DH AE16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e 的卡片写有数字 ．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()20211π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭18．（本题5分）解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中1x =．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE的形状，并证明；(2)连接EF，若EF CD的长．21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺为3m，且空白区域A B贴用纸费用分别为：A区域10元2/m，铺贴三个区域/m，B区域15元2/m，C区域20元2共花费150元，求C区域的面积．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖人数101010第一次竞赛平均数828795人数21216第二次竞赛平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/m y 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y 是x 的函数，并对y 随x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y ，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m ；此时距离A 的水平距离为___________m ；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m 时补光效果最好，若在距离A 处水平距离1.5m 的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m ？（灯的大小忽略不计）26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()0y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，AB =若线段AB 是O的关于直线()0y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．2024年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒【答案】B 【分析】根据∠AOC 和∠BOC 的度数得出∠AOB 的度数，从而得出答案．【详解】∵∠AOC =70°，∠BOC =30°，∴∠AOB =70°－30°=40°，∴∠AOD =∠AOB +∠BOD =40°+70°=110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+22a b <，∴C 选项的结论不成立；22a b +<+，∴D 选项的结论成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a ，b 的取值范围是解题的关键．5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（　）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n -∙︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】 正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A ．23B ．34C ．25D ．358．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③==+，∴DF AC a b∵DF DE<，+<，①正确，故符合要求；∴a b c∵EAB BCD≌△△，第Ⅱ卷非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9x可取的一个数是．∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．10．将2327m n n -因式分解为．【答案】()()333n m m +-【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．【详解】解：2327m n n -=()239n m -=()()333n m m +-故答案为：()()333n m m +-．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．11．方程12131x x =+-的解为 ．【答案】x ＝3【分析】根据分式方程的解法解方程即可；【详解】解：去分母得：3x ﹣1＝2x +2，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入得：(x +1)(3x ﹣1)≠0，∴分式方程的解为x ＝3．故答案为：x ＝3．【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0k y k x=≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值 ．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于 .AB是直径，CD丄AB∴=，CE DE=BD BC=60︒，∠ACDA∴∠=︒，30∴∠=∠=︒，DOE A26014．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为.CE=．连接15．如图，在矩形ABCD中，4AB=，5BC=，E点为BC边延长线一点，且3⊥于点H，则DH=．AE交边CD于点F，过点D作DH AE16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．【答案】B；4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，∴第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()20211π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭18．（本题5分）解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪．∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++，其中1x =．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE 的形状，并证明；(2)连接EF ，若EF =CD 的长．四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，60HDE ∠=︒ ，633OE OD ∴===21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为3m ，且空白区域AB 、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A 区域10元2/m ，B 区域15元2/m ，C 区域20元2/m ，铺贴三个区域共花费150元，求C 区域的面积．【答案】25m 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A 区域的面积为m x ，根据题意得出101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，再求出C 区域的面积即可．【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，9225-⨯=，答：C 区域的面积是25m ．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖人数101010第一次竞赛平均数828795人数21216第二次竞赛平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n 91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．【答案】(1)见详解；(2)88m =，90n =；(3)第二次【分析】（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/m y 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m；此时距离A的水平距离为___________m；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m？（灯的大小忽略不计）【答案】(1)见解析；(2)4；3；(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m．【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；（2）结合图表回答，即可解答；x=，求得函数值，即可解答．（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令 1.5【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为距离为3m ；故答案为：4；3；（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫⎪⎝⎭，，代入得，18342c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >，不符合题意，当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-；∴a 的取值范围是1a <-；综上所述：a 的取值范围是3a >或1a <-.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)CF DF =【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【详解】（1）解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；（2）CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE ≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC ≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()0y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，AB =若线段AB 是O的关于直线()0y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．发现线段11A B 的对称线段是⊙O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，⊙O 的关于直线故答案为：11A B ；（2）已知()30y x b b =-+>交x 轴于点是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的以及相应的BC 长．解：∵直线()30y x b b =-+>交x 轴于点当0y =时，()030x b b =-+>，将点C 代入直线3y x b =-+中，得0解得：23b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴22125BC B C '==+=，∴当A '为()10，时，如图，OC 最大，此时2024年中考第二次模拟考试数学·参考答案 第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．12345678BDBDCBDD第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9．如4等（答案不唯一，3x ≥）10．()()333n m m +-11．x ＝312．2-（答案不唯一）13．14．()621031x x-=1516．B ；4三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）【详解】解：原式1144=-+-+....................（2分）114=-++-....................（4分）4=．....................（5分）18．（5分）【详解】解：221352x xxx+<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x>，....................（2分）解不等式②得：5x<，....................（4分）∴不等式组的解集为35x<<．....................（5分）19．（5分）【详解】解：原式22121211(1)x x xx x x⎛⎫---=+÷⎪+++⎝⎭()()22112x x xx x-+=⋅+-....................（2分）()1x x=-+....................（3分）2x x=--，....................（4分）当1x=时，原式)1113=--+=-....................（5分）20．（5分）【详解】（1）解：四边形DFHE是菱形，理由如下：CD平分ACB∠，过点D作DE BC⊥于点E，DF AC⊥于点F，60ACB∠=︒，DF DE∴=，30FCD DCE∠=∠=︒，....................（1分）点H是CD的中点，FH CH DH∴==，EH CH DH==，FH HE∴=，30DCE∠=︒，DE CB⊥，60HDE∴∠=︒，DHE∴ 是等边三角形，DE HE DH∴==，DF DE HE FH∴===，∴四边形DFHE 是菱形；....................（2分）（2）解：连接EF ，交DH 于点O ，四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，12OF OE EF ===EF DH ⊥，....................（3分）60HDE ∠=︒，OD ∴===....................（4分）24CD DH OD ∴===....................（5分）21．（5分）【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，....................（1分）解得2x =，....................（2分）9225-⨯=，....................（3分）答：C 区域的面积是25m ．....................（5分）22．（5分）【详解】（1）解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，....................（1分）该一次函数的表达式为112y x =-+，....................（2分）令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；....................（3分）（2）解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，....................（4分）4m ∴>-．....................（5分）23．（6分）【详解】（1）解：如图所示；....................（2分）（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，....................（3分）∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第15和第16个数，∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；....................（4分）（3）第二次竞赛，学生成绩的平均数、中位数和众数均高于第一次竞赛，故第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．....................（6分）24．（6分）【详解】（1）解：∵BAC ADB∠=∠∴ AB BC =，....................（1分）∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，....................（2分）∴ AD CD =，∴ AB AD BC CD +=+，即 BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；....................（3分）（2）解：∵90BAD ∠=︒，CF AD ∥，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵ AD CD =，∴AD DC =．∵AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．....................（4分）∵BD 平分ADC ∠，∴1302CDB ADC ∠=∠=︒．∵BD 是直径，∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒-︒=︒，∴12FB BC =．....................（5分）∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径，∴此圆半径的长为142BD =．....................（6分）25．（6分）【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示， ....................（1分）（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m ；此时距离A 的水平距离为3m ；故答案为：4；3；....................（3分）（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入得，18311423c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得1321a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，....................（4分）∴抛物线的解析式为21213y x x =-++，令 1.5x =，则21331321 3.253224y ⎛⎫=-⨯+⨯+== ⎪⎝⎭，()3.25 1.5 1.75m -=，....................（5分）答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ．....................（6分）26．（6分）【详解】（1）解：∵抛物线解析式为()22230y ax a x a =--≠，。

2022北京中考数学二模分类——几何综合压轴题一、手拉手共5小题1.（2022密云二模27题） 如图, 在等边 中, 点 在的延长线上, 点 是边上的一个动点 (点 不 与点 重合), 将线段绕点 逆时针旋转 得到线段, 连接和.(1) 依据题意, 补全图形; (2) 比较与的大小, 并证明; (3) 用等式表示线段与之间的数量关系, 并证明.手拉手 6题 中点问题（附加2题） 一线三垂 1题猜证类 1题等腰结论 1题共计 14题倍长2题相似3题2.（2022丰台二模27题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC =120°，D 是BC 中点，连接AD .点M 在线段AD上 (不与点A，D 重合)，连接MB，点E 在CA 的延长线上且ME = MB，连接EB .（1）比较∠ABM 与∠AEM 的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE 之间的数量关系，并证明 .3.（2022西城二模27题）在中, , 过点作射线, 使 (点与点在直线的异侧), 点是射线上一个动点 (不与点重合), 点在线段上, 且.(1) 如图 1, 当点与点重合时, 与的位置关系是 , 若, 则的长为； (用含的式子表示)(2) 如图 2, 当点与点不重合时, 连接.①用等式表示与之间的数量关系, 并证明；②用等式表示线段之间的数量关系, 并证明.4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD, AD, BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）5.（2022东城二模27题）如图，在ABC△中，AB AC=，2CABα∠=，在△ABC的外侧作直线()901802AP a PAC a︒−<∠︒−，作点C关于直线AP的对称点D，连接,,AD BD BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：ACE ABE∠=∠；（3）过点A作AF CE⊥于点F，用等式表示线段,2,BE EF DE之间的数量关系，并证明。

2022北京市中考数学一模分类汇编——代数综合1．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．2．（2022•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+4）x+3经过点（2，m）．（1）若m＝﹣3，①求此抛物线的对称轴；②当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在此抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．3．（2022•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+n（k≠0）经过A，B两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）；（3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围．4．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．（1）若y1＝y2，求y3的值；（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．5．（2022•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，p）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m ＜p＜n，求t的取值范围．6．（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a ＞0）上．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．7．（2022•通州区一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）过A（﹣1，m），B（2，n），C （3，p）三点．（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；（2）若mnp＜0，求a的取值范围．8．（2022•房山区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，﹣3），其顶点为P．（1）求二次函数的解析式及P点坐标；（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是﹣4≤y≤2m，求m的值．9．（2022•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2（m是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式农示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y＝1的距离为1，直接写出m的取值范围；（3）如果点A（a，y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．10．（2022•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．11．（2022•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，﹣2）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．若0＜n＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．12．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+6．（1）若此二次函数图象的对称轴为x＝1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y5（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”）；（2）若a＜﹣2，当﹣2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．2022北京市中考数学一模分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．【分析】（1）把点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得出关于a的方程，解方程求出a的值，进而求出二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）先求出一次函数的解析式，把点（m，y1）代入一次函数解析式得出y1＝2m+5，把点（m+4，y2）代入二次函数解析式得出y2＝m2+6m+8，再由y1＞y2得出2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，利用二次函数的性质求出不等式的解集，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，解得：a＝1，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，∴﹣2+b＝3，∴b＝5，∴y＝2x+5，∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，∴y1＝2m+5，∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，∵y1＞y2，∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，令y＝m2+4m+3，当y＝0时，m2+4m+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），∵抛物线开口项上，∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解决问题的关键．2．（2022•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+4）x+3经过点（2，m）．（1）若m＝﹣3，①求此抛物线的对称轴；②当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在此抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．【分析】（1）①将（2，﹣3）代入解析式求解．②将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．（2）由m＞0，抛物线经过（2，m）可得a的取值范围，从而可得抛物线对称轴，由5x1+5x2≥14可得点（x1，y1），（x2，y2）到对称轴距离的大小关系，进而求解．【解答】解：（1）①将（2，﹣3）代入y＝ax2﹣（a+4）x+3得﹣3＝4a﹣2（a+4）+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣5x+3．∴抛物线的对称轴为直线x＝；②∵y＝x2﹣5x+3＝（x﹣）2﹣，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（，﹣），把x＝5代入y＝x2﹣5x+3得y＝3，∴当1＜x＜5时，﹣≤y＜3．（2）将（2，m）代入y＝ax2﹣（a+4）x+3得m＝4a﹣2（a+4）+3＝2a﹣5，∵m＝2a﹣5＞0，∴a＞，∵y＝ax2﹣（a+4）x+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝+＜，∵5x1+5x2≥14，∴x1+x2≥，∴≥＞，∵x1＜x2，∴（x1，y1）到抛物线对称轴的距离小于（x2，y2）到抛物线对称轴的距离，‘∴y1＜y2．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．3．（2022•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+n（k≠0）经过A，B两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a＝b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）；（3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围．【分析】（1）将抛物线的解析式写成顶点式，即可得出答案；（2）先确定出抛物线的对称轴，再用点C，D到对称轴的距离的大小，即可得出答案；（3）先确定出n＝m2+1，得出直线AB的解析式为y＝kx+m2+1，再联立抛物线解析式，化简得x[x﹣（2m+k）]＝0，最后利用对于x1＜﹣3时，总有k＜0，即可求出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（m，1）；（2）由（1）知，抛物线的顶点坐标为（m，1），∴抛物线的对称轴为x＝m，∵|m+2﹣m|＝2，|m﹣2﹣m|＝2，∴点C和点点D到抛物线的对称轴的距离相等，∴a＝b，故答案为：＝；（3）针对于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1①，令x＝0，则y＝m2+1，∴A（0，m2+1），∵点A在直线y＝kx十n（k≠0）上，∴n＝m2+1，∴直线AB的解析式为y＝kx+m2+1②，联立①②整理得，x2﹣2mx+m2+1＝kx+m2+1，∴x[x﹣（2m+k）]＝0，∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，∵点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，∴x1≠0，∴x1＝2m+k，∵对于x1＜﹣3时，总有k＜0，∴2m+k＜﹣3，总有k＜0，∴k＜﹣2m﹣3，总有k＜0，∴﹣2m﹣3≤0，∴m≥﹣．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，解不等式，求出x＝2m+k是解本题的关键．4．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．（1）若y1＝y2，求y3的值；（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．【分析】（1）由y1＝y2可得抛物线对称轴为y轴，由抛物线经过（﹣2，0），（2，y3）可得y3的值．（2）由抛物线经过（﹣2，0）可得4﹣2b+c＝0，分别将（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）代入解析式，根据y2＜y1＜y3及b的取值范围求解．【解答】解：（1）当y1＝y2时，（﹣1，y1），（1，y2）关于对称轴对称，则抛物线对称轴为y轴，∴（﹣2，0），（2，y3）关于y轴对称，∴y3＝0．（2）将（﹣2，0）代入y＝x2+bx+c得4﹣2b+c＝0，将（1，y2）代入y＝x2+bx+c得y2＝1+b+c，将（﹣1，y1）代入y＝x2+bx+c得y1＝1﹣b+c，∵y2＜y1，∴1+b+c＜1﹣b+c，∴b＜0，将（2，y3）代入y＝x2+bx+c得y3＝4+2b+c，∵y1＜y3，∴1﹣b+c＜4+2b+c，∴b＞﹣1，∵4﹣2b+c＝0，∴y3＝4+2b+c＝4b，∴﹣4＜4b＜0，即﹣4＜y3＜0．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．5．（2022•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，p）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m ＜p＜n，求t的取值范围．【分析】（1）将点M（2，m），N（4，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣6a，再求对称轴即可；（2）根据c＝0，可知抛物线过原点，再根据mn＜0，且m＜p＜n，可知抛物线与x轴的另一交点在2和4之间，从而确定出对称轴的取值范围．【解答】解：（1）∵点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，m＝n，∴，解得：b＝﹣6a，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3；（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），∴抛物线开口向上且经过原点，∵mn＜0，且m＜p＜n，∴m＜0，n＞0，∴抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个点为（2t，0），∴2＜2t＜4，∴1＜t＜2，∵点P（﹣1，p），点P关于对称轴的对称点为（2t+1，p），∵m＜p＜n，∴2＜2t+1＜4，∴＜t＜．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．6．（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a ＞0）上．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线与y轴交点坐标，再由抛物线经过（4，2）可得抛物线对称轴．（2）①由t＝可得x1与x2的取值范围，从而可得点P，Q到对称轴的距离大小关系，进而求解．②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），由y1≠y2可得x0≠x2，x1≠x2，通过解不等式求解．【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+2得y＝2，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2），又∵抛物线经过（4，2），∴抛物线对称轴为直线x＝2．（2）①∵a＞0，∴抛物线开口向上，当t＝时，点＜x1＜，＜x2＜．∴|x1﹣2|＜，|x2﹣2|，∴点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离，∴y1＜y2．②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），则x0＝4﹣x1，∵t＜x1＜t+1，∴3﹣t＜x0＜4﹣t，∵4﹣t＜x2＜5﹣t，∴x0≠x2，当t+1≤4﹣t或5﹣t≤t时，x1≠x2，解得t≤或t≥．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．7．（2022•通州区一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）过A（﹣1，m），B（2，n），C （3，p）三点．（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；（2）若mnp＜0，求a的取值范围．【分析】（1）将（2，n）代入解析式求解．（2）将A（﹣1，m），B（2，n），C（3，p）代入解析式，求出m，n，p与a的关系，分类讨论a＞0，a＜0时满足mnp＜0的条件，进而求解．【解答】解：（1）将（2，n）代入y＝ax2﹣4ax+2得n＝4a﹣8a+2＝﹣4a+2．（2）∵y＝ax2﹣4ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4a+2），将（﹣1，m）代入y＝ax2﹣4ax+2得m＝a+4a+2＝5a+2，将（2，n）代入y＝ax2﹣4ax+2得n＝﹣4a+2，将（3，p）代入y＝ax2﹣4ax+2得p＝﹣3a+2，当a＜0时，抛物线开口向下，若mnp＜0，则n＞0，p＞0，m＜0，∴5a+2＜0，解得a＜﹣，当a＞0时，抛物线开口向上，若mnp＜0，则n＜0，p＞0，m＞0，∴，解得，综上所述，a＜﹣或．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．8．（2022•房山区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，﹣3），其顶点为P．（1）求二次函数的解析式及P点坐标；（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是﹣4≤y≤2m，求m的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数得出答案；（2）分①﹣2≤m＜﹣时，②当﹣≤m≤﹣1时，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）∵点A、C在二次函数的图象上，∴，解得，∴二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P为（﹣1，﹣4）；（2）m≤x≤m+1时，y的最小值为﹣4，∴m≤﹣1≤m+1，即﹣2≤m≤﹣1，①﹣2≤m＜﹣时，y最大值＝m2+2m﹣3，由m2+2m﹣3＝2m，解得：m＝（舍去），m＝﹣，②当﹣≤m≤﹣1时，y最大值＝（m+1）2+2（m+1）﹣3，由（m+1）2+2（m+1）﹣3＝2m，解得：m＝0（舍去），m＝﹣2（舍去），综上：m的值为﹣．【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．9．（2022•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2（m是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式农示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y＝1的距离为1，直接写出m的取值范围；（3）如果点A（a，y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线开口向下可得抛物线顶点在直线y＝2与直线y＝0之间，从而列不等式求解．（3）由顶点在第四象限可得m的取值范围，由抛物线开口向下，y1＞y2，可得a与m之间的关系，进而求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2＝﹣（x﹣m）2+m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，m﹣2）．（2）∵抛物线开口向下，∴当抛物线与直线y＝0有两个交点且与直线y＝2无交点时满足题意，∵抛物线顶点坐标为（m，m﹣2），∴0＜m﹣2＜2，解得2＜m＜4．（3）∵抛物线顶点（m，m﹣2）在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵抛物线开口向下，∴x≥m时，y随x增大而减小，∴点A，B在对称轴右侧时，满足题意，即a≥m，当点A在对称轴左侧时，设点A（a，y1）关于对称轴对称点A'坐标为（2m﹣a，y1），∴点B在A'右侧时，满足题意，即2m﹣a＜a+2，解得a＞m﹣1，∴a＞m﹣1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．10．（2022•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．【分析】（1）将（2，0）代入解析式求解．（2）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．（3）根据抛物线开口方向及点A，B到对称轴的距离可得y2＞0，y1＜0，将两点坐标代入解析式求解．【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝x2﹣2bx得0＝4﹣4b，解得b＝1，∴y＝x2﹣2x．（2）∵y＝x2﹣2bx，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝b．（3）∵y＝x2﹣2bx，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b，∵b﹣（b﹣1）＜b+2﹣b，∴点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离，∴y2＞y1，∵y1•y2＜0，∴y2＞0，y1＜0，将（b﹣1，y1）代入y＝x2﹣2bx得y1＝（b﹣1）2﹣2b（b﹣1）＝﹣b2+1＜0，解得b＜﹣1或b＞1，将（b+2，y2）代入y＝x2﹣2bx得y2＝（b+2）2﹣2b（b+2）＝﹣b2+4＞0，∴﹣2＜b＜2，∴﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2满足题意．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．11．（2022•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，﹣2）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．若0＜n＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．【分析】（1）将（2，﹣2）代入解析式可得a与b的关系，根据抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．（2）由抛物线开口向下，可得与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，进而求解．【解答】解：（1）将（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2得﹣2＝4a+2b﹣2，∴b＝﹣2a，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1．（2）∵a＜0，∴抛物线开口向下，与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，∵0＜n＜1，∴n﹣2＜n﹣1＜1＜n+1，∵1﹣（n﹣2）＝3﹣n，1﹣（n﹣1）＝2﹣n，n+1﹣1＝n，0＜n＜1，∴3﹣n＞2﹣n＞n，∴y1＜y2＜y3．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．12．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+6．（1）若此二次函数图象的对称轴为x＝1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y＞5（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”）；（2）若a＜﹣2，当﹣2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．【分析】（1）①根据对称轴公式即可求得a＝1，从而求得二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+6；②根据二次函数的性质即可得到结论；（2）解析式化成顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a，函数有最小值为﹣a2+6，根据题意﹣当﹣2≤x≤2时，原函数的函数值y随x的增大而增大，求得x＝﹣2时，y＝10十4a，则10+4a＞a，解得a＞﹣，即可得出a的取值范围是a≤﹣3．【解答】解：（1）①∵二次函数y＝x2﹣2ax+6，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，∵对称轴为x＝1，∴a＝1，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+6；②∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，∴当x＝1时，函数有最小值5，∴当x≠1时，函数值y＞5，故答案为：＞；（2）∵y＝x2﹣2ax+6＝（x﹣a）2﹣a2+6，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a，函数有最小值为﹣a2+6，∵a＜﹣2，∴当﹣2≤x≤2时，原函数的函数值y随x的增大而增大，∵x＝﹣2时，y＝4十4a+6＝10十4a，∴10+4a＞a，解得a＞﹣，∴a的取值范围为﹣＜a＜﹣2．【点评】本题考查了二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

中考数学一模分类汇编——代几综合题因动点特殊情况产生相似1．（石景山）已知二次函数)34()22(22-+++-=m m x m x y 中，m 为不小于0的整数，它的图像与x 轴交于点A 和点B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，已知AD=AC （D 在线段AB 上），有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q 从点C 出发，以某一速度沿线段CB 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的情况下，求四边形ACQD 的面积． 25.（1）∵二次函数的图像与x 轴有两个交点，∴()[]()016834422-22>+-=-+-+=∆m m m m∴2<m . ………….1分 ∵m 为不小于0的整数，∴m 取0、1. ………….2分 当m=1时，242+-=x x y ，图像与x 轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；当m=0时，322--=x x y ，符合题意.∴二次函数的解析式为：322--=x x y …………..3分 （2）∵AC=AD ，∴∠ADC=∠ACD∵CD 垂直平分PQ ，∴DP=DQ ，∴∠ADC=∠CDQ. ∴∠ACD=∠CDQ ，∴DQ ∥AC∴△BDQ ∽△BAC ，∴ABBDAC DQ =…………..4分 ∵AC=10，BD=10-4，AB=4.∴DQ=25-10， …………..5分∴PD=25-10. ∴AP=AD-PD=25，∴t=25125=÷ …………..6分（3）∵△BDQ ∽△BAC∴224104⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AB BD S S BACBDQ易求6=∆BAC S ，∴4101239-=∆BDQ S ………..7分∴4151012S ACQD -=四边形. …………8分动点产生图形2.（延庆） 在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y 1=ax 2+3x +c 的图像经过原点及点A （1,2），与x 轴相交于另一点B 。

代几综合题2018 昌平二模28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点 A 、 B 、 C 我们给出如下y定义：“横长” a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”4 b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差， 若三点的横长与纵长相等，3 我们称这三点为正方点 .2 例如：点 A ( 2 ,0)，点 B (1,1) ，点 C( 1, 2 ) ，则 A 、B 、B1AxC 三点的 “横长” a =| 1 ( 2) |=3 ， A 、 B 、 C 三点的“纵长” –4–3–2–1 O1 2 3 4–1b =| 1 ( 2) |=3.因为 a =b ，所以 A 、 B 、 C 三点为正方点 .C–2–3 （1）在点 R (3 ， 5) ， S (3 ， 2 ) ， T (4 ， 3 ) 中，与点 A 、–4B 为正方点的是；（2）点 P (0 ，t ) 为 y 轴上一动点， 若 A ， B ， P 三点为正方点， t 的值为 ；（ 3）已知点 D (1 ，0).①平面直角坐标系中的点 E 满足以下条件：点 A ， D ， E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点 E 组成的图形；②若直线 l ： y1m 的取值x m 上存在点 N ，使得 A ， D ， N 三点为正方点，直接写出2范围．yy 5 5 4 4 3 322 A1 A1 DDxx–5–4–3–2–1 O 1 2 3 4 5–5–4–3–2–1 O 1 2 3 4 5–1 –1 –2 –2 –3 –3 –4 –4–5–52018 朝阳二模28.对于平面直角坐标系 xOy中的点 P 和直线 m，给出如下定义：若存在一点P，使得点 P 到直线 m的距离等于，则称P为直线m的平行点．（1）当直线m的表达式为y=x 时，①在点 P1（1，1）， P2（0，2）， P3（2，2）中，直线 m的平行点是；22②⊙ O的半径为10，点 Q在⊙ O上，若点 Q为直线 m的平行点，求点Q的坐标.（2）点A的坐标为（n， 0），⊙A半径等于1，若⊙A上存在直线y3x 的平行点，直接写出 n 的取值范围．2018 东城二模28. 研究发现， 抛物线 y1 x2 上的点到点 F (0 ，1) 的距离与到直线 l ： y 1 的距离相等 .4 1 x 2上任意一点， PH ⊥ l 于点 H ，则 PF如图 1 所示，若点 P 是抛物线 yPH .4基于上述发现， 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M ，记点 M 到点 P 的距离与点 P 到点 F的距离之和的最小值为d ，称 d 为点 M 关于抛物线 y1x 2 的关联距离；当 2≤d ≤4 时，1x 2 的关联点 .4称点 M 为抛物线 y4（ 1 ）在点 M 1 (2，0) ， M 2 (12)， ， M 3 (4，5) ， M 4 (0， 4) 中，抛物线 y1x 2 的关联点是4______ ；（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，点 A(t ，1) ，点 C(t 1，3)①若 t =4，点 M 在矩形 ABCD 上，求点 M 关于抛物线y1 x2 的关联距离 d 的取值范围；1 x2 4②若矩形 ABCD 上的所有点都是抛物线y的关联点，则 t 的取值范围是4__________.2018 房山二模28.已知点 P，Q为平面直角坐标系 xOy中不重合的两点，以点 P 为圆心且经过点 Q作⊙ P，则称点 Q为⊙ P 的“关联点” ，⊙ P 为点 Q的“关联圆”.13（1）已知⊙O的半径为1，在点E（ 1，1），F（－2，2），M（ 0，－ 1）中，⊙O的“关联点”为；（2）若点（2，0），点（ 3，），⊙ 为点P 的“关联圆” ，且⊙ 的半径为 5 ，求n的P Qn Q Q值；（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆” ，直线y 4 x 4 与x轴，3y 轴分别交于点， . 若线段上存在⊙D的“关联点” ，求的取值范围 .A B AB m2018 丰台二模28．在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点P x 1 , y 1 与 Q x 2， y 2 之间的“直距”定义为：D PQ x1x 2y 1 y 2 .例如：点（ ， 2 ），点 （ ，5），则 DMN 1 32 ( 5) 5.M 1N 3已知点 A (1 ， 0) 、点 B (-1 ， 4).（1）则 D AO _______ ， D BO _______ ；（ 2）如果直线 AB 上存在点 C ，使得 D CO 为 2，请你求出点 C 的坐标；（ 3）如果⊙ B 的半径为 3，点 E 为⊙ B 上一点，请你直接写出 D EO 的取值范围 .yy6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 117 6 5 4 3 2 1 O1 2 3 4 5 6 x 7 6 5 4 3 2 1O 1 2 3 4 5 6 x1 12 23 34 45 56 67 7 882018 海淀二模28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 k ，对于函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点 (a,b1) ，(a1,b2 ) ， b2 b1k 都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y x 2 ，当 x 取值 a 和a 1时，函数值分别为b1a 2 ， b2 a 1，故 b2 b11k ，因此函数 y x 2 是限减函数，它的限减系数为1．（1）写出函数y 2x 1的限减系数；（2）m0，已知 y11 x m, x 0）是限减函数，且限减系数k 4 ，求m的取（x值范围．（ 3）已知函数y x2的图象上一点P ，过点 P 作直线l垂直于 y 轴，将函数 y x2的图象在点 P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k1，直接写出P点横坐标n的取值范围．y y6655443322117 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 x 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 x11223344556677882018 平谷二模28．对于平面直角坐标系xOy中的点 P和⊙M，给出如下定义：若⊙M 上存在两个点A，，使=2 ，则称点P为⊙M的“美好点”．B AB PM（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时，1 点P2，0， P11，， P2，2 中，⊙O的“美好点”是；○○123O点 P 为直线 y=x+b 上一动点，点P 为⊙的“美好点”，求 b 的取值范围；2（2）点为直线y=x上一动点，以 2 为半径作⊙M，点P为直线y=4 上一动点，点P为⊙MM 的“美好点”，求点M的横坐标 m的取值范围．2018 石景山二模28．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意点 P ，给出如下定义：若⊙ P 的半径为 1，则称⊙ P为点 P 的“伴随圆” ．（1）已知，点 P 1,0 ，①点 A 1 ,3在点 P 的“伴随圆”（填“上”或“内”或“外” ）；22②点 B 1,0 在点 P 的“伴随圆”（填“上”或“内”或“外” ）；（2）若点 P 在 x 轴上，且点 P 的“伴随圆”与直线 y3x 相切，求点 P 的坐标；（3）已知直线 y x 2与 x 、 y 轴分别交于点3x 2与 x 、 y 轴分别交于点A ，B ，直线 yC ，D ，点 P 在四边形 ABCD 的边上并沿 ABBCCDDA 的方向移动，直接写出点 P 的“伴随圆”经过的平面区域的面积．2018 西城二模28. 对于平面直角坐标系xOy中的点（ x≠0），将它的纵坐标y 与横坐标 x 的比y称Q( x, y)x为点 Q的“理想值” ，记作 L Q.如 Q(22 . 1,2) 的“理想值” L Q1（1）①若点Q(1,a)在直线 y x 4上，则点Q的“理想值” L Q等于_________；②如图， C(3,1) ，⊙ C的半径为 1.若点 Q在⊙ C上，则点 Q的“理想值”L Q的取值范围是.（2）点D在直线y3x+3 上，⊙ D的半径为1，点 Q在⊙ D上运动时都有0≤L Q≤3 ，3求点D的横坐标 x D的取值范围；（3）M (2, m)（m＞ 0），Q是以r为半径的⊙ M上任意一点，当0≤ L Q≤2 2时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）2018 怀柔二模28. A为⊙C上一点，过点A作弦AB，取弦AB上一点P，若满足1AP1，则称P 为3AB点 A 关于⊙ C的黄金点．已知⊙C的半径为3，点 A 的坐标为（1， 0）．(1)当点 C的坐标为（4，0）时，①在点 D（3，0）， E（4，1）， F（7，0）中，点 A 关于⊙ C的黄金点是；②直线 y33x上存在点 A 关于⊙ C的黄金点 P，求点 P的横坐标的取值范围；33(2) 若y轴上存在点A关于⊙C的黄金点，直接写出点C横坐标的取值范围．．．2018 门头沟二模28.在平面直角坐标系 xOy 中的某圆上，有弦 MN，取 MN的中点 P，我们规定:点 P 到某点（直线）的距离叫做“弦中距” ，用符号“ d中”表示 .以 W ( 3 , 0) 为圆心，半径为 2的圆上 .（ 1）已知弦长度为 2.MN①如图 1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的d中的长度；②如果 MN在圆上运动时，在图 2 中画出示意图，并直接写出到点O的d中的取值范围.（2）已知点 M ( 5 , 0) , 点N为⊙W上的一动点，有直线 y x 2 ，求到直线 y x 2 的 d中的最大值 .yy M P NWO x W Ox 图 1图 2yW O x备用图2018 顺义二模28．已知边长为 2a 的正方形 ABCD ，对角线 AC 、 BD 交于点 Q ，对于平面内的点 P 与正方形，给出如下定义：如果a ≤PQ ≤2a ，则称点P 为正方形的“关联点” ．ABCDABCD在平面直角坐标系xOy 中，若 (-1 ， 1) ， (-1 ， -1) ， (1 ， -1) ， (1 ， 1) ．ABCD（1）在 P 1 ( 1 ,0) ， P 2 ( 1 , 3 ) ， P 3 (0, 2) 中，正方形 ABCD 的“关联点”有；2 2 2 （2）已知点 E 的横坐标是 m ，若点 E 在直线 y 3x 上，并且 E 是正方形 ABCD 的“关联点”，求 的取值范围；m（3）若将正方形 ABCD 沿 x 轴平移，设该正方形对角线交点 Q 的横坐标是 n ，直线 y3x 1与 x 轴、 y 轴分别相交于 M 、N 两点．如果线段 MN 上的每一个点都是正方形 ABCD 的“关联 点”，求 n 的取值范围．yOx。

代几综合1.（.昌平一模25）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 在x 轴上，点A ，E 在y 轴上，OB ︰OC =1︰3，AE =7，且tan ∠OCE =3，tan ∠ABO =2. （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）点D 在（1）中的抛物线上，四边形ABCD 是以BC 为一底边的梯形，求经过B 、D 两点的一次函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点D 作直线DQ ∥y 轴交线段CE 于点Q ，在抛物线上是否存在点P ，使直线PQ 与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD 的底角，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.OCEA Bxy2.（.朝阳一模25）如图，二次函数y =ax 2+2ax +4的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，∠CBO 的正切值是2． (1)求此二次函数的解析式．(2)动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点． ①直接写出点P 所经过的路线长．②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC 于点E 、作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．yC3.（.大兴一模25）小明同学在研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请你帮小明解答以下问题： （1）若测得22OA OB ==（如图1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，小明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 所连的线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．4.（.东城一模25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2229y x mx m =-+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧，且OA ＜OB ），与y 轴的交点坐标为（0，-5）.点M 是线段AB 上的任意一点，过点M （a ，0）作直线MC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，记点C 关于抛物线对称轴的对称点为D （C ，D 不重合），点P 是线段MC 上一点，连结CD ，BD ，PD . （1）求此抛物线的解析式；（2）当1a =时，问点P 在什么位置时，能使得PD ⊥BD ； （3）若点P 满足14MP MC =，作PE ⊥PD 交x 轴于点E ，问是否存在这样的点E ，使得PE =PD ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.A B xO · Cy 5.（.房山一模25）已知：半径为1的⊙O 1与x 轴交A 、B 两点，圆心O 1的坐标为（2, 0)，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A 、B 两点，与y 轴交于点C （1）求这个二次函数的解析式；（2）经过坐标原点O 的直线l 与⊙O 1相切，求直线l 的解析式；（3）若M 为二次函数2y x bx c =-++的图象上一点，且横坐标为2，点P 是x 轴上的任意一点，分别联结BC 、BM ．试判断PC PM -与BC BM -的大小关系，并说明理由.（第25题图）6.（.丰台一模25）如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心坐标为（－2，－2），半径为2．函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为直线AB 上一动点．（1）若△POA 是等腰三角形，且点P 不与点A 、B 重合，直接写出点P 的坐标； （2）当直线PO 与⊙C 相切时，求∠POA 的度数；（3）当直线PO 与⊙C 相交时，设交点为E 、F ，点M 为线段EF 的中点，令PO ＝t ，MO＝s ，求s 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．7.（.海淀一模25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C .（1）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧. ①若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得2'QB +的值最小，则这个最小值为 .8.（.怀柔一模25）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的解析式；（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．9.（.门头沟一模25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ，过点A 的直线与抛物线交于点E ，与y 轴交于点F ，且点B 的坐标为（3，0），点E 的坐标为（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点G 为抛物线对称轴上的一个动点，H 为x 轴上一点，当以点C 、G 、H 、F 四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G 、H 的坐标； （3）设直线AE 与抛物线对称轴的交点为P ，M 为直线AE 上的任意一点，过点M 作MN∥PD 交抛物线于点N ，以P 、D 、M 、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？ 若能，请求点M 的坐标；若不能，请说明理由．xy1 1O10.（.密云一模25）如图，经过原点的抛物线22(0)y x mx m =-+>与x 轴的另一个交点为A.过点(1,)P m 作直线PM x ⊥轴于点M ，交抛物线于点B.记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B 、C 不重合）.连结CB,CP 。

2022北京中考数学二模分类——几何综合压轴题一、手拉手共5小题1.（2022密云二模27题） 如图, 在等边 中, 点 在的延长线上, 点 是边上的一个动点 (点 不 与点 重合), 将线段绕点 逆时针旋转 得到线段, 连接和.(1) 依据题意, 补全图形; (2) 比较与的大小, 并证明; (3) 用等式表示线段与之间的数量关系, 并证明.手拉手 6题 中点问题（附加2题） 一线三垂 1题猜证类 1题等腰结论 1题共计 14题倍长2题相似3题2.（2022丰台二模27题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC =120°，D 是BC 中点，连接AD .点M 在线段AD上 (不与点A，D 重合)，连接MB，点E 在CA 的延长线上且ME = MB，连接EB .（1）比较∠ABM 与∠AEM 的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE 之间的数量关系，并证明 .3.（2022西城二模27题）在中, , 过点作射线, 使 (点与点在直线的异侧), 点是射线上一个动点 (不与点重合), 点在线段上, 且.(1) 如图 1, 当点与点重合时, 与的位置关系是 , 若, 则的长为； (用含的式子表示)(2) 如图 2, 当点与点不重合时, 连接.①用等式表示与之间的数量关系, 并证明；②用等式表示线段之间的数量关系, 并证明.4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD, AD, BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）5.（2022东城二模27题）如图，在ABC△中，AB AC=，2CABα∠=，在△ABC的外侧作直线()901802AP a PAC a︒−<∠︒−，作点C关于直线AP的对称点D，连接,,AD BD BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：ACE ABE∠=∠；（3）过点A作AF CE⊥于点F，用等式表示线段,2,BE EF DE之间的数量关系，并证明。

代几综合1.（2018.昌平一模25）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 在x 轴上，点A ，E 在y 轴上，OB ︰OC=1︰3，AE=7，且tan ∠OCE=3，tan ∠ABO=2.（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）点D 在（1）中的抛物线上，四边形ABCD 是以BC 为一底边的梯形，求经过B 、D 两点的一次函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点D 作直线DQ ∥y 轴交线段CE 于点Q ，在抛物线上是否存在点P ，使直线PQ 与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD 的底角，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2018.朝阳一模25）如图，二次函数y=ax 2+2ax+4的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，∠CBO 的正切值是2．(1)求此二次函数的解析式．(2)动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点． ①直接写出点P 所经过的路线长．②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC 于点E 、作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由． ③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．3.（2018.大兴一模25）小明同学在研究某条抛物线2(0)y ax a =<于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请你帮小明解答以下问题：（1）若测得OA OB ==1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥ 轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，小明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 所连的线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．4.（2018.东城一模25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2229y x mx m =-+-与x 轴交于A ，B 两点（点A在点B 的左侧，且OA ＜OB ），与y 轴的交点坐标为（0，-5）.点M 是线段AB 上的任意一点，过点M （a ，0）作直线MC⊥x 轴，交抛物线于点C ，记点C 关于抛物线对称轴的对称点为D （C ，D 不重合），点P 是线段MC 上一点，连结CD ，BD ，PD. （1）求此抛物线的解析式；（2）当1a =时，问点P 在什么位置时，能使得PD⊥BD； （3）若点P 满足14MP MC =，作PE⊥PD 交x 轴于点E ，问是否存在这样的点E ，使得PE=PD ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.5.（2018.房山一模25）已知：半径为1的⊙O 1与x 轴交A 、B 两点，圆心O 1的坐标为（2, 0)，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A 、B 两点，与y 轴交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）经过坐标原点O 的直线l 与⊙O 1相切，求直线l 的解析式；（3）若M 为二次函数2y x bx c =-++的图象上一点，且横坐标为2，点P 是x 轴上的任意一点，分别联结BC 、BM ．试判断PC PM -与BC BM -的大小关系，并说明理由.（第25题图）6.（2018.丰台一模25）如图，在平面直角坐标系xO y 中，⊙C 的圆心坐标为（－2，－2），半径为2．函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为直线AB 上一动点． （1）若△POA 是等腰三角形，且点P 不与点A 、B 重合，直接写出点P 的坐标； （2）当直线PO 与⊙C 相切时，求∠POA 的度数；（3）当直线PO 与⊙C 相交时，设交点为E 、F ，点M 为线段EF 的中点，令PO ＝t ，MO ＝s ，求s 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．7.（2018.海淀一模25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C .（1）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧. ①若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得'QB 的值最小，则这个最小值为 .8.（2018.怀柔一模25）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的解析式；（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．9.（2018.门头沟一模25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ，过点A 的直线与抛物线交于点E ，与y 轴交于点F ，且点B 的坐标为（3，0），点E 的坐标为（2，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点G 为抛物线对称轴上的一个动点，H 为x 轴上一点，当以点C 、G 、H 、F 四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；（3）设直线AE 与抛物线对称轴的交点为P ，M 为直线AE 上的任意一点，过点M 作MN ∥PD 交抛物线于点N ，以P 、D 、M 、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？ 若能，请求点M 的坐标；若不能，请说明理由．10.（2018.密云一模25）如图，经过原点的抛物线22(0)y x mx m =-+>与x 轴的另一个交点为A.过点(1,)P m 作直线PM x ⊥轴于点M ，交抛物线于点B.记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B 、C 不重合）.连结CB,CP 。

2021北京中考数学一模分类汇编——代数综合1．（2021•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．2．（2021•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若AB＝4，求抛物线所对应的函数解析式；（3）已知点P（a+4，1），Q（0，a+1），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．3．（2021•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y ＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当x＝a时，求y的值；②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．4．（2021•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．5．（2021•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x．（1）若抛物线过点（2，0），求抛物线的对称轴；（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点．①当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，求a的值；②若对于x1＞x2≥﹣2，都有y1＜y2，求a的取值范围．6．（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围．7．（2021•通州区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）．（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0），N（x2，0）（其中x1＜x2），且满足x1＜6﹣2x2，求a的取值范围．8．（2021•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4．（1）求抛物线的对称轴；（2）求c的值（用含a的式子表示）；（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0，求a的取值范围．9．（2021•平谷区一模）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．（1）当抛物线过点（2，﹣3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；（2）求这个二次函数图象的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（a，a）和B（b，﹣b），当a＜0，b＞0时，总有a+b＞0，求m的取值范围．10．（2021•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与y 轴交于点A．（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；（2）直线y＝﹣ax+3a与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a围成的区域（不包括边界）记作G．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．①当a＝1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．11．（2021•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．12．（2021•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．（1）求该二次函数图象的对称轴；（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2tx+1上，试比较m、n的大小；（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．13．（2021•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；（1）求点C的坐标；（2）对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．2021北京中考数学一模分类汇编——代数综合1．（2021•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．【分析】（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2变形为y＝a（x﹣1）2﹣2，即可得到顶点坐标；（2）①a＝2时，抛物线对称轴x＝1，由图象G为轴对称图形，可得t的值，从而求出A、B坐标，得到m的值；②分四种情况讨论：t≤﹣1，﹣1＜t≤0，0＜t＜1，t≥1，根据m＝2分别列出方程，由t的范围即可求出a的范围．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2，∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2的顶点为（1，﹣2）；（2）①当a＝2时，y＝2x2﹣4x，抛物线对称轴x＝1，∵图象G为轴对称图形，M（t，0），N（t+2，0），∴1﹣t＝t+2﹣1，∴t＝0，∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，∴A（0，0），B（2，0），∵顶点为（1，﹣2），∴m＝0﹣（﹣2）＝2；②∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，∴A（t，at2﹣2at+a﹣2），B（t+2，a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2），又a＞0，抛物线对称轴x＝1，（一）当t+2≤1，即t≤﹣1时，图象G上A的纵坐标的值最大，B的纵坐标的值最小，（at2﹣2at+a﹣2）﹣[a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2]＝2，解得t＝﹣，∴﹣≤﹣1，∴a≤；（二）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1≤1﹣t，即﹣1＜t≤0时，图象G上A的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，∴（at2﹣2at+a﹣2）﹣（﹣2）＝2，∴a＝，又﹣1＜t≤0，∴＜a≤2；（三）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1＞1﹣t，即0＜t＜1时，图象G上B的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（﹣2）＝2，∴a＝，又0＜t＜1，∴＜a＜2；（四）当t≥1时，图象G上B的纵坐标的值最大，A的纵坐标的值最小，∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（at2﹣2at+a﹣2）＝2，∴t＝，又t≥1，∴a≤，综上所述，若存在实数t，使得m＝2，则0＜a≤2．【点评】本题考查二次函数知识的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象G 上纵坐标的最大值与最小值列方程．2．（2021•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若AB＝4，求抛物线所对应的函数解析式；（3）已知点P（a+4，1），Q（0，a+1），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式即可得；（2）根据题意求得a＝±2，即可求得抛物线所对应的函数解析式；（3）根据点P（a+4，1），Q（0，a+1），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a；（2）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝±2，∴a＝±2，∴抛物线所对应的函数解析式为y＝2x2﹣8x+1或y＝﹣2x2﹣8x+1；（3）当a＞0时，抛物线过点P（a+4，1）时，则＝a，解得a＝4，∴Q（0，5），此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．当a＜0时，抛物线过点P（a+4，1）时，a+4＝0，解得a＝﹣4，此时，Q（0，﹣3），抛物线与线段PQ有一个公共点；综上所述，当0＜a≤4或﹣4≤a＜0时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．3．（2021•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当x＝a时，求y的值；②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴x＝﹣，计算即可；（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a，计算即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，即可得出x1的值．（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；（2）①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a＝0；②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，∵x1＜x2，∴x1＝a﹣2；（3）方法一、①当a≥﹣1时，∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．若x1＜x2＜a﹣1，∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，∴y1＜y2，符合题意；若x1＜a﹣1＜x2，∵a﹣1≥﹣2，∴2（a﹣1）≥﹣4，∵x1+x2＜﹣4，∴x1+x2＜2（a﹣1）．∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，∴y1＜y2，符合题意．②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．方法二、y1﹣y2＝﹣x12+（2a﹣2）x1+x22﹣（2a﹣2）x2＝（x2﹣x1）（x2+x1）+（2a﹣2）（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（2a﹣2﹣x1﹣x2）＜0，∵2a﹣2＞x1+x2，∴x1+x2＜﹣4，∴2a﹣2≥﹣4，∴a≥﹣1．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．4．（2021•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．【分析】（1）利用x＝﹣求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；（3）分类讨论，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上，∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大，∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2，∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；综上，t的值为﹣1或2．【点评】本题考查的是二次函数的最值，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．5．（2021•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x．（1）若抛物线过点（2，0），求抛物线的对称轴；（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点．①当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，求a的值；②若对于x1＞x2≥﹣2，都有y1＜y2，求a的取值范围．【分析】（1）把点（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣（a+1）x，求出解析式，再利用对称轴公式计算即可；（2）当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，说明M（x1，y1）与N（x2，y2）对称，根据对称轴公式计算a即可；（3）利用二次函数的性质，即可求得．【解答】解：（1）∵函数图象过点（2，0），∴0＝4a﹣2（a+1），∴a＝1，∴y＝x2﹣2x，对称轴x＝﹣＝﹣＝1，∴二次函数的对称轴为直线x＝1．（2）①∵x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，∴，∴．②由题意可知，对于任意的x≥﹣2，y随x的增大而减小，从而：，解得：．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．6．（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围．【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，可以求得点A坐标；（2）因为OA与x轴夹角为45°，则点A到坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时，也可以发现点A在直线y ＝2x+1上运动；（3）先由平移知识，可以得到Q点坐标，且PQ∥x轴，画出草图，可以发现，顶点A 所在直线y＝2x+1也经过P点，并且当A与P重合时，此时m取得最小值，当A沿直线y＝2x+1向上运动时，m值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过Q点时，同时，要注意排除抛物线与直线PQ的两个交点均落在线段PQ上的特殊情况．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x﹣m）2+2m+1，∴顶点A（m，2m+1）；（2）设x＝m，y＝2m+1，消掉m，得y＝2x+1，∴A在直线y＝2x+1上运动，∴A所在象限可能为第一、第二、第三象限，∵射线OA与x轴所成的夹角为45°，∴可以分两类讨论，①当A在第一、第三象限时，m＝2m+1，解得m＝﹣1，②当A在第二象限时，m+2m+1＝0，解得m＝，∴m＝﹣1或；（3）当P（0，1）向右平移4个单位长度得到Q，则Q（4，1），且PQ∥x轴∵抛物线与线段PQ只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y＝2x+1上运动，∴由图1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m＝0，由图2，数形结合，当顶点A沿直线y＝2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，当抛物线经过Q点时，即当x＝4，y＝1时，﹣（4﹣m）2+2m+1＝1，∴m＝2或8，当m＝2时，抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+5，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，当m＝8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，∴当0≤m≤8，且m≠2时，抛物线与线段PQ只有一个交点【点评】此题考查的是二次函数综合题，主要考查的是数形结合思想，根据题意，充分挖掘题目中的数据参数，是画图的关键，根据图象，判断临界位置，即可解决问题．7．（2021•通州区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）．（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0），N（x2，0）（其中x1＜x2），且满足x1＜6﹣2x2，求a的取值范围．【分析】（1）由二次函数的对称轴x＝﹣，求出对称轴x＝1；（2）由二次函数与x轴有两个交点，Δ＞0，求根公式求出x1，x2，且x1＜6﹣2x2，求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），∴a＝a，b＝﹣2a，c＝1，∴函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1；（2）由求根公式得：x1＝＝，x2＝＝，∴x1+x2＝2，∵x1＜6﹣2x2，∴x1+2x2＜6，即x1+x2+x2＜6，∴x2＜4，即＜4，∵二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0），N（x2，0），∴△＝4a2﹣4a＞0，解得•：a＞1或a＜0，①当a＞1时，2a+＜8a，解之得a＞1或a＜﹣（舍去），∴a＞1，②当a＜0时，2a+＞8a，即＞6a恒成立，∴a＜0．③a小于0的时候，x2需要小于4，所以x＝4时应该保证y＜0，即16a﹣8a+1＜0，所以a＜﹣．∴a的取值范围：a＞1或a＜﹣．解法二：（2）y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣a+1），∴x1+x2＝2，又x1＜6﹣2x2，解得：x2＜4，①当a＞0时，二次函数开口向上，如图：二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0），N（x2，0），∴顶点在x轴的下方，x＝4时，y＞0，则，解得：a＞1；②当a＜0时，二次函数开口向下，如图：顶点在x轴的上方，x＝4时，y＜0，则，解得：a＜﹣．∴a的取值范围：a＞1或a＜﹣．【点评】本题考查了，二次函数对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，判别式Δ＞0，解不等式等知识．关键是二次函数的应用．8．（2021•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4．（1）求抛物线的对称轴；（2）求c的值（用含a的式子表示）；（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0，求a的取值范围．【分析】（1）由二次函数的对称轴公式，求出对称轴x＝1；（2）根据对称轴求出抛物线于x轴的交点坐标，即可得出结论；（3）先判断出点，M，N关于抛物线的对称轴对称，再用x1（x2﹣5）≤0，判断出x1≤﹣3或0≤x1≤1，再用判别式判断出a＞0或a＜﹣，用a表示出x1，再分两种情况解不等式（组），即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+c（a≠0），∴函数的对称轴为直线x＝﹣＝1；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，∴c＝﹣3a；（3）∵点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），∴点M，N关于对称轴x＝1对称，∴＝1，∴x2＝2﹣x1，∵x1（x2﹣5）≤0，∴x1（2﹣x1﹣5）≤0，∴﹣x1（x1+3）≤0，∴x1（x1+3）≥0，∴x1≤﹣3或x1≥0，∵x1＜x2，∴x1＜1，∴x1≤﹣3或0≤x1＜1，∴x1、x2是方程ax2﹣2ax+c＝3的根，即ax2﹣2ax﹣3a﹣3＝0的两个根，∴△＝16a2+12a＝4a（4a+3）＞0，∴a＞0或a＜﹣，∴x＝＝，当a＞0时，解不等式≤﹣3得，0≤a≤；即0＜a≤；当a＜﹣时，解不等式组0≤＜1得，a≥﹣1，∴﹣1≤a＜﹣即0＜a≤或﹣1≤a＜﹣．【点评】此题主要考查了抛物线的对称轴公式，抛物线的性质，确定出点M，N关于对称轴对称是解本题的关键．9．（2021•平谷区一模）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．（1）当抛物线过点（2，﹣3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；（2）求这个二次函数图象的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（a，a）和B（b，﹣b），当a＜0，b＞0时，总有a+b＞0，求m的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，令x＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点；（2）利用对称轴公式求得即可；（3）由题意可知|a|＜|b|，即可判断抛物线的对称轴在y轴的右侧，即m＞0．【解答】解：（1）∵抛物线过点（2，﹣3），∴﹣3＝4﹣4m﹣3，∴m＝1，∴抛物线为：y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴抛物线与y轴交点（0，﹣3）；（2）∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，∴对称轴x＝﹣＝m；（3）∵a+b＞0，∴b＞﹣a，∵a＜0，b＞0，∴|a|＜|b|，∵点A（a，a）和B（b，﹣b）是抛物线y＝x2﹣2mx﹣3上的两点，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴m＞0．【点评】本题考查了抛物线与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2021•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与y 轴交于点A．（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；（2）直线y＝﹣ax+3a与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a围成的区域（不包括边界）记作G．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．①当a＝1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）把y＝ax2﹣4ax+3a化成顶点式y＝a（x﹣2）2﹣a，可得顶点坐标；令x＝0，y＝3a，可求出点A的坐标；（2）①当a＝1时，则y＝﹣x+3，y＝x2﹣4x+3，再根据整点的定义可得结论；②对a进行讨论，再结合整点的定义进行分析．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，∴顶点坐标（2，﹣a）；∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与y轴交于点A，∴A（0，3a）；（2）①当a＝1时，y＝﹣x+3，y＝x2﹣4x+3，可得y＝﹣x+3与y＝x2﹣4x+3的交点为（3，0），（0，3）；则（1，1），（2，0）是区域G中的两个整点，即区域G中整点的个数为2个；②联立直线y＝﹣ax+3a与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a，可得交点为（0，3a），（3，0），∴区域G是0≤x≤3，﹣a≤y≤3a组成；当x＝1时，与直线的交点为（1，2a），与抛物线的交点为（1，0），同理可得，当x＝2时，与直线的交点为（2，a），与抛物线的交点为（2，﹣a），区域G中的整点不包括边界，整点有6个，如图，当0＜a＜1时，G中最多有1个整点；当a＝1时，G中有2个整点；当1＜a≤1.5时，G中最多有5个整点；当1.5＜a≤2时，G中最多有6个整点；当2＜a≤3.5时，G中最多有13个整点；∴当时，区域G中恰有6个整点．【点评】本题属于新定义类问题，主要考查二次函数图象的性质，利用数形结合思想分析会更直观．11．（2021•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m ＜3时，n的取值范围；（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，∴顶点坐标为（b，﹣2）；（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），得b＝2，或b＝﹣2（舍去），∴b＝2，∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣2），结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；当x＝0时，y＝2，∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，y max＝（3﹣b）2﹣2≤2，∴1≤b≤5，矛盾，不成立；②若3≤b≤5时，则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，∴3≤b≤5；③当b≤3≤m≤5时，y max＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；综上，b的取值范围为3≤b≤5．【点评】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及待定系数法求解析式，数形结合思想等，利用数形结合思想结合图象求取值范围是常见方法．12．（2021•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．（1）求该二次函数图象的对称轴；（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2tx+1上，试比较m、n的大小；（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；（2）根据二次函数的性质即可判断；（3）当t≤1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，当t＞1时，令x1＝﹣1时，y1＞y2，不符合题意，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+1＝（x﹣t）2﹣t2+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝t；（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝t，∴点M（t﹣2，m）关于对称轴的对称点为（t+2，m），t＜t+2＜t+3，∴m＜n，故答案为：＜；（3）当t≤﹣1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，符合题意；只要满足x1到对称轴距离小于3到对称轴距离，从而取﹣1与3的中点1，即可得之．综上所述：t≤1．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．13．（2021•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；（1）求点C的坐标；（2）对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．【分析】（1）令y＝0代入y＝﹣2x+6中，可得B的坐标，已知中BC＝2，即可得C的坐标；（2）①令y＝﹣2x+6中令x＝0，则可求A的坐标．设二次函数y＝ax2+bx+c，分别把A、B代入抛物线解析式，当C（1，0）抛物线解析式可求，当C（5，0）时抛物线解析式可求．由已知条件，知x＞2时，二次函数单调递增，即可得抛物线表达式y＝2x2﹣8x+6；②把y＝6代入抛物线可得x＝0或4，即可得D坐标为（4，6），y＝kx﹣2必过E（0，﹣2），两点确定一条直线解析式，CD的直线解析式为y＝2x﹣2，代入可得E在直线CD 上．E、C、D直线表达式为y＝k1x﹣2，设过E、F点的表达式为y＝k2x﹣2，k2≤k≤k1，将y＝k2x﹣2与抛物线联立可得一元二次方程，令Δ＝0，解得k2＝0，即可得k的取值范围．【解答】解：（1）令y＝﹣2x+6中y＝0，则x＝3，∴B点为（3，0），C在x轴上且BC＝2，∴C为（1，0）或C为（5，0）；（2）①设y＝ax2+bx+c，令y＝﹣2x+6中x＝0，则y＝6，∴A点为（0，6），把A点为（0，6）代入到二次函数中，得6＝c，又由（1）B为（3，0）代入到二次函数中得，0＝9a+3b+6，当C为（1，0）时，得0＝a+b+c＝a+b+6，解得a＝2，b＝﹣8，∴y＝2x2﹣8x+6，当C为（5，0）时，得0＝25a+5b+c＝25a+5b+6，解得a＝，b＝﹣，∴y＝x2﹣x+6，由题目任意两点P1（x1，y1）P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，∴当x＞2时，二次函数单调递增，当y＝2x2﹣8x+6时，对称轴为直线x＝﹣＝＝2，∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上，∴x＝2左边函数单调递减，x＝2右边函数单调递增，符合要求；当y＝x2﹣x+6，对称轴x＝﹣＝4，a＝＞0，抛物线开口向上，∴在x＝4左边函数单调递减，即当2＜x＜4时，函数单调递减，与题干分歧，∴舍去，综上，y＝2x2﹣8x+6；②令y＝6，∴6＝2x2﹣8x+6，∴2x2﹣8x＝0，∴2x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，∵A点x＝0，∴D点坐标为（4，6），可知y＝kx﹣2必过点E（0，﹣2），C、D坐标分别为（1，0），（4，6），设CD直线解析式为y＝ax+b，把C、D代入上式，得0＝a+b，6＝4a+b，∴y＝2x﹣2，∴直线CD必过点E，如图作y＝k1x﹣2过C、D、E点，过y＝k2x﹣2过E、F点，已知k1＝2，k2≤k≤k1，当y＝k2x﹣2，与二次函数有交点时，k2x﹣2＝2x2﹣8x+6，得2x2﹣（8+k2）x+8＝0，而y＝k2x﹣2与二次函数恰有一公共点，即x恰有解，∴△＝（8+k2）2﹣2×4×8＝0，解得k2＝0，又k2≠0，综上0＜k≤2．【点评】本题考查二次函数应用，解本题关键代入法求二次函数解析式和一次函数的解析式，二次函数的性质，一元一次方程根的情况等．。

2013年北京市中考数学一、二模拟考圆试题汇编圆1.（2013昌平一摸19）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，延长AB到E，使BE=AB，连接CE.（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点F，若OF=2,求EF的长.2.（2013朝阳一摸20）如图，⊙O是△ABC是的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若sin∠CAD=，⊙O的半径为8，求CD长．3.（2013东城一摸21）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE 的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P. （1）求证：PC是⊙O的切线.（2）若AB=4，∶=1∶2，求CF的长.4.（2013房山一摸20）如图，BC为半⊙O的直径，点A，E是半圆周上的三等分点，，垂足为D，联结BE交AD于F，过A作∥BE交CB的延长线于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若直径BC=2，求线段AF的长．5.（2013海淀一摸20）已知：如图，在△中，．以为直径的⊙交于点，过点作⊥于点.(1)求证：与⊙相切；(2)延长交的延长线于点.若，=求线段的长.6.（2013怀柔一摸20）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.7.（2013门头沟一摸20）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC＝DE．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）如果DM＝15，CE＝10，，求⊙O半径的长．。

2022年北京中考数学分类汇编——代数综合1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．2022年北京中考数学分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣求解．（2）由抛物线的对称性及m＝0可得抛物线关于y轴对称，从而可得a的值，进而求解．（3）分别将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3），解不等式组．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．（2）∵m＝0，y1＝y3，∴（﹣2，y1），（2，y3）关于抛物线对称轴对称，∴抛物线关于y轴对称，即a＝0，∴y＝x2+1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），∴y2＝1为函数最小值，∴y1＞y2．（3）将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）代入y＝x2﹣2ax+1得y1＝m2﹣4m﹣2am+4a+5，y2＝m2﹣2am+1，y3＝m2﹣4m+2am﹣4a+5，∵y1＞y2＞y3，∴m2﹣4m﹣2am+4a+5＞m2﹣2am+1＞m2﹣4m+2am﹣4a+5，解得m﹣1＜a＜1，∵m＞1，∴0＜a＜1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，根据抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，利用一元二次方程根的判别式即可求得答案；（3）根据题意得：y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，由于当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，可得﹣＜at＜+，当a＜0时，+＜t＜﹣，可得＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，可得0＜a＜．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，故c的值为﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，得：ax2﹣2ax﹣2＝﹣6，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，∵抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＜0，即a（a﹣4）＜0，∵a≠0，∴当a＜0时，a﹣4＞0，即a＞4，此时，无解；当a＞0时，a﹣4＜0，即a＜4，∴0＜a＜4，综上所述，a的取值范围为0＜a＜4；（3）∵点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，∴y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，∴|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，∵当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，∴﹣＜a（2t﹣1）＜，∴﹣＜at＜+，∵a≠0，∴当a＜0时，+＜t＜﹣，∴，解得：＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，∴，解得：0＜a＜；综上所述，a的取值范围是＜a＜0或0＜a＜．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，运用分类讨论思想是解题的关键．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝3，求出b＝﹣6a，进而得出抛物线解析式，最后将x＝3代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），进而判断出x A＜0，x B＞6，得出AB＝|x B﹣x A|＞6，判断出此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x＝1时，得出a﹣6a+1≥0，求出a≤，＝﹣9a+1＜0，即可得出答案．再根据y顶点【解答】解：（1）针对于抛物线y＝ax2+bx+1，令x＝0，则y＝1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，当x＝3时，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣9a+1）；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），∵抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝3，∴x A＜0，x B＞6，∴AB＝|x B﹣x A|＞6，∵AB≤4，∴此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，由（2）知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），∵AB≤4，∴当x＝1时，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，∴a≤，∵抛物线与x轴有两个交点，＝﹣9a+1＜0，∴y顶点∴a＞，∴＜a≤．【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．【分析】（1）由抛物线的对称轴公式即可得出答案；（2）由二次函数的性质与不等式求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（a+2）x+2a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣﹣1，即直线x＝﹣﹣1；（2）y＝x2+（a+2）x+2a，整理得：y＝（x+2）（x+a），当x＝﹣1时，y1＝（﹣1+2）（﹣1+a）＝a﹣1，当x＝a时，y2＝（a+2）（a+a）＝2a2+4a，当x＝1时，y3＝（1+2）（1+a）＝3a+3，∵y1＜y2，∴a﹣1＜2a2+4a，解得：a＞﹣或a＜﹣1，∵y2＜y3，∴2a2+4a＜3a+3，解得：﹣＜a＜1，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1，∴a的取值范围为：﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识，熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式：x＝﹣，即可得到答案；（2）分三种情况讨论，得到关于a的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣3，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a；（2）①当a＜x2＜x1时，y1＞y2，则a+1＜1﹣2a，即a＜0；②当x1﹣a＞a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＞a﹣（a+1），即a＜；③当x1﹣a＜a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＜a﹣（a+1），即a＞，综上，a＜0或a＞．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定a的范围是本题的难点．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝﹣1，再将点（1，1）代入y＝﹣x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）求得函数y＝﹣x+2在x＝﹣1时的函数值为3，根据点（﹣1，3）结合图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，∴k＝﹣1，又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点（1，1），∴﹣1+b＝1．∴b＝2，∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+2；（2）当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3，把点（﹣1，3）代入y＝mx﹣1，得m＝﹣4，∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝﹣x+2的值，∴﹣4≤m≤﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．7．（2022•密云区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（1，2）．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．【分析】（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2可得答案；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2，即可解决问题；（3）由（1）得，b＝﹣a，则二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，再分当x＜或x＞，分别可得答案．【解答】解：（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2得，a+b+2＝2，∴b＝﹣a；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2得，a+a+2＝0，∴a＝﹣1，∴b＝1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；（3）由（1）得，b＝﹣a，∴二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，∵a＜0，∴当x＜时，y随x的增大而增大，∵x1＝﹣2，y1＞y2，∴x2＜﹣2，当x＞时，y随x的增大而减小，∵P（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点坐标为（3，y1），∴x2＞3，综上：x2＜﹣2或x2＞3．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）①先将m＝﹣3代入抛物线的解析式，并利用对称轴公式可得结论；②抛物线开口向上，根据离对称轴距离越远，函数值越大可列不等式解答；（2）根据平移的性质可得Q的坐标，把n＝2代入抛物线的解析式，分三种情况：抛物线过点P，顶点在PQ上，过点Q结合图象可解答．【解答】解：（1）①当m＝﹣3时，y＝x2﹣3x+n，对称轴是：直线x＝﹣＝；②∵抛物线的对称轴是直线x＝，且开口向上，则点与对称轴的距离越大函数值越大，∵点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，∴|x2﹣|＜|﹣1|，∴1＜x2＜2；（2）∵点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q，∴Q（2，1），∵n＝2，∴y＝x2+mx+2，当抛物线经过点P（﹣1，1）时，1＝1﹣m+2，∴m＝2，当抛物线的顶点在PQ上时，x＝﹣，y＝﹣+2，则y＝1，即﹣+2＝1，解得：m1＝2，m2＝﹣2，当抛物线经过点Q时，4+2m+2＝1，解得：m＝﹣，此时与抛物线有2个交点，则当m＜﹣时，符合题意，综上所述，结合函数图象，得m≥2或m＜﹣或m＝﹣2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，对称轴公式，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．9．（2022•大兴区二模）关于x的二次函数y1＝x2+mx的图象过点（﹣2，0）．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．【分析】（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx，即可得出m的值；（2）根据图象y1与y2仅交于（0，0），故图象y3＝kx+b过（0，0），从而得出b的值；②根据y1与y3只有一个交点得x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，根据Δ＝0，可得答案．【解答】解：（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx得，0＝（﹣2）2﹣2m，解得m＝2，∴二次函数的表达式为y1＝x2+2x；（2）①∵y1＝x2+2x和y2＝﹣x2+2x，令y1＝y2，∴x2+2x＝﹣x2+2x，∴x＝0，∴图象y1与y2仅交于（0，0），∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，∴y1﹣y3≥0，y3﹣y2≥0，∴x＝0时，y1＝y2＝y3＝0，∴y3＝kx+b过（0，0），∴b＝0，②由①知，y3＝kx，联立方程组，∴x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，∵两图象只有一个交点，∴Δ＝（2﹣k）2＝0，∴k＝2．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，利用数形结合思想确定直线过原点是解题的关键．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．【分析】（1）①把（4，﹣1）代入解析式，确定b＝﹣4a，再把b＝﹣4a代入对称轴公式计算即可；②根据对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，判定抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），代入解析式确定a，b的值即可；（2）根据x＝﹣＝t，得到b＝﹣2at，从而解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）分别代入解析式，根据y3＞y1＞y2，列出不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）①若抛物线过点（4，﹣1），∴﹣1＝16a+4b﹣1，∴b＝﹣4a，∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝2；②∵当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，抛物线的对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，∴抛物线必过点（﹣1，0）和（5，0）．∴把（5，0），（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1（a＞0）得：，解得，抛物线的表达式为，如图所示：（2）∵x＝﹣＝t，∴b＝﹣2at，∴解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）的坐标分别代入解析式，得：y3＝a﹣2at﹣1，y1＝16a+8at﹣1，y2＝4a+4at﹣1，∵y3＞y1＞y2，∴，解得：，∴t的取值范围是﹣3＜t＜﹣．【点评】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【分析】（1）利用对称轴公式求解即可；（2）把m＝1代入即可；（3）翻折图象，出画图形，直接①②写出结论即可．【解答】解：（1）对称轴为直线x＝＝；（2）m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（3）画出y＝x2﹣2x﹣3的图象，把x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到图象M，如图，①y＝x+1与图形M公共点的个数是3个；②k＞2，或．当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与y＝x2﹣2x﹣3的图象相切时，k（x+2）﹣1＝x2﹣2x ﹣3，∴k1＝2﹣6，k2＝﹣2﹣6，∴k＞2或或k＜﹣2﹣6．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，画出正确的图形，利用数形结合是解题的关键．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解；（2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值；（3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，解得m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；（2）∵y＝x2﹣3x+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，∴n2﹣3n+1＝4﹣n，解得n1＝﹣1，n2＝3，∵n≤x≤1，∴n的值为﹣1；（3）根据平移的性质可知，a＝1，∵当x＜2时，y随x的增大而减小，∴h≥2．∵平移后的图象经过原点O，∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，∴k≤﹣4．【点评】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可；（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣计算；（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：（1）对于y＝x2+bx+1，当x＝0时，y＝1，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，解得：b＝﹣2；（3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即﹣＜1，解得：b＞﹣2，当1＞y2时，1＞1+b+1，解得：b＜﹣1，∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键．。

百度文库，精选试题代几综合题2018昌平二模ABC xOy我们给出如下在平面直角坐标系、中、对于任意三点、28.y a：三点中横坐标的最大值与最小值的差、“纵长”定义：“横长”4b若三点的横长与纵长相等、：三点中纵坐标的最大值与最小值的差、3.我们称这三点为正方点2B A1、 (, )例如：点 (,0) 、点、则(1,1) 、点C2?2AB?1?AxO3–1214–4–3–2CC BBAa2)?1?(三点的“纵|=3三点的“横长”、=|、、、–1–2C C BA=a2)?1?(.|=3. 因为长”=|、三点为正方点、所以、bb–3–4A3?S、、 (、) (3（1）在点、5) 、中、与点(3、) 4T?R2?B；为正方点的是PAB tP ty为三点为正方点、轴上一动点、若；、的值为（2）点 (0、、)0).(1、（3）已知点DA三点为正方点、在图中画出所有、①平面直角坐标系中的点满足以下条件：点、DEE组成的图形；符合条件的点E1A m mxy??NNl的取值上存在点三点为正方点、直接写出、使得②若直线、：、D2范围．yyAx––––––––––––––2–3–3–4–4–5–5试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题朝阳二模2018PPPmxOy、使得点和直线中的点28. 对于平面直角坐标系、给出如下定义：若存在一点mmP的距离等于、则称的平行点．到直线为直线xmy的表达式为时、（1）当直线=22?2mPPP11、）、的平行点是（0 、）、、）中、直线（；①在点（3212210QQOOmQ.②⊙上、若点的半径为为直线、点的坐标在⊙的平行点、求点y?3x AAAn的平行点、直接、若⊙上存在直线）、⊙半径等于2（）点1的坐标为（、0n的取值范围．写出试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018东城二模12x?yy??1lF的距离相等.28. 研究发现、抛物线(0、1)的距离与到直线：上的点到点41PF?PH2xy?HPHlP.⊥如图1所示、若点是抛物线上任意一点、、则于点4x O yM、记点到点的距离与点中的点到点基于上述发现、对于平面直角坐标系PPFM12xy?Mdd、2≤d≤4时、称关于抛物线为点的距离之和的最小值为的关联距离；当412x?y M的关联点为抛物线称点. 412，，M(0M2)?4)(15)(2，(4M，0)M xy?的关联点是）在点、中、抛物线、1、（42134；______1)C(t?13)，A(t，ABCD中、点2、在矩形（2、点）如图12xy?dtMABCDM的取值范围；关于抛物线①若=4、点在矩形求点上、的关联距离412xy?tABCD的取值范围是的关联点、则②若矩形上的所有点都是抛物线4__________.试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018房山二模PxOyPQP、Q、中不重合的两点、以点28. 已知点为平面直角坐标系作⊙为圆心且经过点QQPP.的“关联点”、⊙的“关联圆”为点则称点为⊙31OFMOE的“关联）中、⊙（0、、－（－、）、1（1）已知⊙的半径为1、在点）（1、122 ；点”为QnQQnPP 的、求为点的半径为的“关联圆”、且⊙2）若点）（2、0、点5 （3、、⊙）（值；4x?4y??xDHDmH轴、、直线与、⊙是点、点3（）已知点0（、2）的“关联圆”（、2）3yABABDm 的取值范围.若线段. 的“关联点”上存在⊙、求轴分别交于点、试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018丰台二模????xOy之间的“直距”定义为：中、将任意两点与28．在平面直角坐标系yPQx,y，x2121 D?x?x?y?y.2121PQ D?1?3??2?(?5)?5NM2?5?. ））、点（（1、3、、则例如：点MN AB(-1、、点已知点4).(1、0)D?______________?D；、（1）则BO AO D CABC的坐标；、请你求出点、使得（2）如果直线为上存在点2CO D BBE的取值范围上一点、请你直接写出为⊙（3）如果⊙.的半径为3、点EO yyx7788试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018海淀二模k、对于函数图象上横坐标之差为1对某一个函数给出如下定义：28．若存在实数的任意两kkb?b)b?(a?1,),b(a在所有满足条件的都成立、点、、则称这个函数是限减函数、1221a?1ax2?y??x 时、取值、当中、其最大值称为这个函数的限减系数．例如、函数和y??x?2k1?b??bb??a?2?1a???b 是限减、故、函数值分别为、因此函数1122?1．函数、它的限减系数为y?2x?1的限减系数；（1）写出函数1k?04m??y m0??x?m,x1?的取、求、已知）（2（）是限减函数、且限减系数x值范围．22lx?xy???y PP y的）已知函数（3、过点轴、将函数作直线垂直于的图象上一点l P翻折、其余部分保持不变、得到一个新函数的图象、如果右侧的部分关于直线图象在点1?k?n P的取值范围．、直接写出这个新函数是限减函数、且限减系数点横坐标yyx7788试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018平谷二模M M AxOyP、中的点上存在两个点和⊙28．对于平面直角坐标系、给出如下定义：若⊙M PABPMB 的“美好点”．=2为⊙、则称点、使M MO重合时、和点2、点（1）当⊙半径为??????O?222P0P，，P，11、中、⊙、；1点的“美好点”是○132O by=x+bPP的取值范围；上一动点、点的“美好点”、求为⊙2点为直线○M PyMy=xP为⊙上一动点、点为半径作⊙点、=4为直线（2）点为直线2上一动点、以M Mm的取值范围．的横坐标的“美好点”、求点试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018石景山二模xOy PPP、则称⊙的半径为、给出如下定义：若⊙28．在平面直角坐标系1中、对于任意点P的“伴随圆”为点．??1,0P）已知、点、（1??31?,A P；（填“上”或“内”??,0?1B P（填“上”或“内”或“外”在点）的“伴随圆”①点????22??或“外”）在点②点；的“伴随圆”3x PPP?yx的“伴随圆”与直线在轴上、且点相切、求点（的坐标； 2）若点3xx yy BA2?2x?xy?y?轴分别交于点、与、）已知直线轴分别交于点与、、直线3（BC?CDABABCD??DA PCD的方向移动、直接写出的边上并沿在四边形、、点P的“伴随圆”经过的平面区域的面积．点试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018西城二模y xyxOyx)yQ(x, 28. 对于平面直角坐标系与横坐标中的点称≠0）、将它的纵坐标的比（x2L Q1,2)?Q(. .、记作如的“理想值”为点的“理想值”2???L QQ?1L Q)(1,aQ4?y?x等于在直线_________上、则点；的“理想值”（1）①若点Q L3,1)C(QQCC的取在⊙、⊙的“理想值”的半径为1. ②如图、若点上、则点Q值范围是 .33LQDDD+3??xy、≤上运动时都有0上、⊙≤的半径为12（）点、点在直线在⊙Q3D x的取值范围；的横坐标求点D22LMQmr)(2,Mm时、画出满足条3）上任意一点、当0、（＞0）≤是以为半径的⊙≤（Q r的值.件的最大圆、并直接写出相应的半径（要求画图位置准确、但不必尺规作图）试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018怀柔二模AP11??PAB ACAABP为、则称作弦28.、取弦为⊙、若满足上一点、过点上一点AB3ACAC）、0的半径为3、点．点的坐标为（关于⊙1的黄金点．已知⊙C、0(1)当点）时、的坐标为（4CFAED关于⊙；的黄金点是1、）、）中、点（7、0 ①在点、（30）、（433xy??PACP关于⊙的横坐标的取值范围；②直线上存在点的黄金点、求点33yACC横坐标的取值范围．关于⊙的黄金点、直接写出点(2)若点轴上存在．．试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018门头沟二模xOyMNMNPP到某点（直:的中点点28.在平面直角坐标系、中的某圆上、有弦取、我们规定线）的距离叫做“弦中距”、用符号“”表示. d中以为圆心、半径为2的圆上. 0),?3W(MN长度为）已知弦2.（1MNxO的的长度；∥①如图1：当轴时、直接写出到原点d中MNO的的取值范围2中画出示意图、并直接写出到点②如果 . 在圆上运动时、在图d中NW上的一动点、有直线、求到直线的,2）已知点点为⊙（20)?2y?xy?x??M(5,d中y. 的最大值yP MNxW x O OW图1 图2y备用图试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2018顺义二模aABCDACBDQP与正方形的正方形、对角线交于点、28．已知边长为2、对于平面内的点PABCDABCD a的“关联点”．≤为正方形≤、则称点、给出如下定义：如果a2PQ xOyABCD(1、1)-1)、．(-1、-1)、 (1在平面直角坐标系、中、若1)(-1、、311ABCD)P,(2)(0,P、）在（1中、正方形的“关联点”有、；(P?,0)231222EABCDmEE x3y?的、若点“关联点”在直线上、并且、）（2已知点是正方形的横坐标是m的取值范围；求nQABCDx y?3x?1直线（3沿轴平移、设该正方形对角线交点的横坐标是）若将正方形、xyM、NMNABCD 的“关联轴分别相交于两点．如果线段与轴、上的每一个点都是正方形n的取值范围．点”、求yx O试题习题，尽在百度．。

202006初三数学二模试题整理：代几综合（新定义）（教师版） 一、以圆（弧）为背景的新定义压轴题1.（2020海淀二模28）在平面内，对于给定的△ABC ，如果存在一个半圆或优弧与△ABC 的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的弧为△ABC 的内切弧．当内切弧的半径为最大时，称该内切弧为△ABC 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系xOy 中，A (8,0)，B (0,6).（1）如图1，在弧G 1，弧G 2，弧G 3中，是△OAB 的内切弧的是 ； （2）如图2，若弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切， 求弧G 的半径的最大值；（3）如图3，动点M (m ,3)，连接OM ，AM .①直接写出△OAM 的完美内切弧半径的最大值；②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T ．点P 为弧T 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交x 轴和直线AB 于点D ，E ，点F 为线段PE 的中点，直接 写出线段DF 长度的取值范围．图 3备用图（2020海淀二模28）答案 28. 解：（1）弧G 2，弧G 3.（2）∵ 弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切,∴ 弧G 所在圆的圆心在∠OBA 的角平分线BI 上. 易知若弧G 的半径最大，则弧G 所在圆的圆心I 在 △OAB 的边OA 上. 设弧G 与边AB ，OB 相切分别 切于点O ，H. ∴ IH ⊥AB . ∵ A (8,0)，B (0,6),∴ BO ＝6，AO ＝8 ，AB＝10. ∵ ∠IOB ＝∠ IHB ＝90°，OI ＝IH ，BI ＝BI , ∴ △IOB ≌△IHB .∴ BH ＝BO ＝6.∴ AH ＝AB －BH =4，AI ＝AO －OI ＝8－OI ，OI ＝HI . 在Rt △AIH 中, AI 2＝AH 2＋HI 2, 即222(8)4OI OI -=+. 解得OI ＝3.（3）①△OAM 的完美内切弧半径的最大值为125.②线段DF 长度的取值范围是335DF ≤≤且4825DF ≠.2.（2020房山二模28）过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形 的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”.（1）如图，在等腰Rt ABC △中，90A =︒∠，2AB AC ==.①在下图中画出一条Rt ABC △的形内弧；②在Rt ABC △中，其形内弧的长度最长为____________.（2）在平面直角坐标系中，点()2,0D -，()2,0E ，()0,1F ，点M 为DEF △形内 弧所在圆的圆心. 求点M 纵坐标M y 的取值范围；（3）在平面直角坐标系中，点(2,M ，点G 为x 轴上一点. 点P 为OMG △最长 形内弧所在圆的圆心，求点P 纵坐标P y 的取值范围.（2020房山二模28）答案 28.（1）①类似以上作答，只要弧上所有点都出现在三角形内部，均给分. ……2分②当2OB =时，Rt ABC △的形内弧最长，此时弧长=π=.（学生不必画出图象） ………………………………3分ABC（2）当圆心在x 轴下方时，此时最长形内弧与线段DF ，EF 相切∵1DOF DOM △∽△∴21OF OM OD ⋅=∴14OM = ∴4M y ≤- ………………………………4分当圆心在x 轴上方时，此时最长形内弧与x 轴相切∵2EGM HEG △∽△∴22HG HM HE ⋅=∴EH =∴252EM =∴52M y ≥………………………………5分综上所述，4M y ≤-或52M y ≥（3）当4G x ≤-时，此时最长形内弧与x 轴相切∵1GOP GHO △∽△∴1GP =∴1P y ≥当40G x -<<时，此时最长形内弧与线段OM 相切解得2P y ≥当04G x <<时，此时最长形内弧与线段MG 相切解得3P y ≥………………………………6分当4G x ≥时，此时最长形内弧与线段MG 相切解得43P y ≤-………………………………7分综上所述，P y ≥或P y ≤3.（2020丰台一模28）过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆，特别地，半径最小．．的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆. 在平面直角坐标系xOy 中，点P （0，2）.（1）已知点A （0，1），B （1，1），C （2，2），分别以A ，B 为圆心，1为半径作⊙A ， ⊙B ，以C 为圆心，2为半径作⊙C ，其中是点P 与x 轴的点线圆的是 ； （2）记点P 和x 轴的点线圆为⊙D ，如果⊙D 与直线y 3+无公共点， 求⊙D 的半径的r 取值范围；（3）直接写出点P 和直线y =kx (k ≠0)的最小点线圆的圆心的横坐标t 的取值范围.（2020丰台二模28）答案28.解：（1）⊙A ，⊙C ； ……2分（2）如图1，⊙D 1过点P ，且与x 轴和直线y 3+都相切. 此时⊙D 1的半径r =1.如图2，⊙D 2过点P ，且与x 轴和直线y 3+都相切.切点分别为M ， N ，连接D 2M ，D 2N ，D 2P ，过点D 2作D 2Q ⊥y 轴于点Q .设D2M =r，∴D2P=D2M =r.易证OQ= D2M= r.∴PQ = r2-.∵∠MEN=60°，∴∠D2EM =30°.∴EM.∴OM = D2Q根据勾股定理可以得到：D2P2= D2Q2+ PQ 2,即2r=2-+()22-r.解得r1=1（舍），r2=7 3 .∴1< r <73. ………………………………………………………5分（3）12-≤x<0或0<x≤12. ………………………………………………………7分二、与“点”有关的新定义4.（2020西城一模28）对于平面直角坐标系xOy 中的定点P 和图形F ，给出如下定义：若在图形F 上存在一点N ，使得点Q ，点P 关于直线ON 对称，则称点Q 是点P 关于图形F 的定向对称点. （1）如图，(10)，A ，(11)，B ，(02)，P ，① 点P 关于点B 的定向对称点的坐标是 ；② 在点(02)C -，，(1D -，，(21)E -，中， 是点P 关于线段AB 的定向对称点.（2）直线3l y x b =+：分别与x 轴，y 轴交于点G ，H ，⊙M 是以点(20)，M 为圆心，(0)>r r 为半径的圆.① 当1=r 时，若⊙M 上存在点K ，使得它关于线段GH 的定向对称点在线段GH 上， 求b 的取值范围；② 对于0>b ，当3=r 时，若线段GH 上存在点J ，使得它关于⊙M 的定向对称点 在⊙M 上，直接写出b 的取值范围.（2020西城二模28）答案解：（1） ①()2,0； ② C ，D ．（2） ① 由题意，0b ≠，若0>b ，当直线l 与以点()2,0-为圆心，1为半径的圆相切时，=b当直线l 经过点()1,0-时，=b ．∴3≤b ≤3． 若0<b ，当直线l 经过点()1,0时，=b当直线l 与以点()0,0为圆心，3为半径的圆相切时，=-b ．∴-b ≤-综上，b 的取值范围是-b≤3-或3≤b ≤3．②33b ≤. ·················································································· 7分5.（2020顺义二模28）已知：如图，⊙O 的半径为r ，在射线OM 上任取一点P （不与点O 重合），如果射线OM 上 的点P'，满足OP ·OP'=r 2，则称点P'为点P 关 于⊙O 的反演点．在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为2． （1）已知点A (4，0)，求点A 关于⊙O 的反演 点A'的坐标；（2）若点B关于⊙O 的反演点B'恰好为直线y =与直线x =4的交点，求点B 的坐标；（3）若点C 为直线y =上一动点，且点C 关于⊙O 的反演点C'在⊙O 的内部，求点C 的 横坐标m 的范围；（4）若点D 为直线x =4上一动点，直接写出点D 关于⊙O 的反演点D'的横坐标t 的范围．28．解：（1）依题意得：OA =4，∵OA ·OA ’=22=4， ∴ OA ’=1． …………………………………1分 则A ’(1，0) ． …………………………………………………… 2分 （2）∵B ’恰好为直线y =与直线x =4的交点，y =与x 轴夹角为60°，∴ B ’点坐标为(4，． …………………………………………… 3分∴ OB ’=8．∵OB ·OB ’=22=4， ∴OB =12．∴ B (14)． ……………………………………………………… 4分（3）∵点C为直线y =上一动点，且点C 关于⊙O 的反演点C'在⊙O 的内部，∴点C 在⊙O的外部，直线y =与⊙O 的两个交点坐标的横坐标为1±， ∴ m 的取值范围是 m >1或 m <-1． ………………………………… 6分（4）t 的取值范围是： 0<t ≤1. …………………………………………… 7分6.（2020燕山二模28）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：若图形G 上存在两个 点A ，B ，使得△PAB 是边长为2的等边三角形，则称点P 是图形G 的一个“和谐点”． 已知直线l：0)y n n =+≥（与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，⊙O 的半径为r ．(1) 若n ＝0，在点1P (2，0)，2P (0，，3P (4，1)中，直线l 的和谐点是 ； (2) 若r ＝2，⊙O 上恰好存在2个直线l 的和谐点，求n 的取值范围； (3) 若n ＝MN 上存在⊙O 的和谐点，直接写出r 的取值范围．28．解：(1)直线l 的和谐点是 1P ，2P ； ……2分(2) 如图，设A ，B 在直线l 上，点C 在⊙O 上，△ABC 是边长为2的等边三角形， ∵0n ≥，∴当直线l 位于l 1时，⊙O 上只有1个点C 是直线l 的和谐点， 当直线l 位于l 2时，⊙O 上有3个点C ，C 2，C 3都是直线l 的和谐点， ∴满足条件的直线l 应位于直线l 1和l 2之间．设过点C 且与⊙O 相切的直线为l'，直线l 1，l 2，l'分别与x 轴，y 轴交于点M 1，N 1，M 2，N 2，M'，N'．连接OC ，则OC ⊥l'，OC ＝2．取AB 中点D ，连接CD ，则CDO ，C ，D 三点共线，∴OD ＝2．∵直线l：=+y n 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，∴M (－3n ，0)，N (0，n )，∴tan ∠MNO ＝OM ON＝3，∴∠MNO ＝30°．∴在Rt △OCN'和Rt △ODN 1中，ON'＝2OC ＝4， ON 1＝2OD ＝4＋∴N'N 1＝ON 1－ON'＝由对称性得N'N 2＝，即N 2(0，4－，∴n的取值范围是44-<+ ………………………………5分(3) r的取值范围是72r ≤≤． ………………………………7分7.（2020密云二模28）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（x 1，y 1），点B 的坐标为（x 2，y 2），且x 1x 2，y 1=y 2. 给出如下定义：若平面上存在一点P ，使△APB 是以线段AB 为斜边的直角三角形，则称点P 为点A 、点B 的“直角点”. （1）已知点A 的坐标为（1，0）.① 若点B 的坐标为（5，0），在点P 1（4，3）、P 2（3，-2）和P 3（2）中， 是点A 、点B 的“直角点”的是 ；② 点B 在x 轴的正半轴上，且AB = ，当直线y=-x+b 上存在点A 、点B 的“直 角点”时，求b 的取值范围；（2）⊙O 的半径为r，点D （1，4）为点E （0，2）、点F （m ，n ）的“直角点”，若使得 △DEF 与⊙O 有交点，直接写出半径r 的取值范围.（2020密云二模28）答案28．(1)① P 2 P 3 …………2分 ② ∵A （1，0）, AB = ∴线段AB 的中点C ，0）∴点A 、B 的“直角点”在以点C 的长为半径的⊙C 上≠12222∴当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点D ，与两坐标轴相交于点M 、N 时， ∵∠M=45°，CD =∴CM=2 ………3分 ∴OM=OC+CM= 1+2= 3，∴ON=OM= +3即b= 3 ……4分同理：当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点E 时， CH=2∴OH=OC - CH= -1即b= -1 综上所述：……………5分（2） ……………7分2123b -≤≤+229r ≤≤22222228.（2020平谷二模28）如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结P A，PB．当∠APB=60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2C上时，点P是⊙C的“”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点()1,3M，点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D(m,0)是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．28.（1）补全图形 (1)120° (1)（2）①)0,0()32,0(或P (4)图1 图2②2m 2≤≤- …..７三、与“距离”有关的新定义9.（2020东城二模28）对于平面直角坐标系xOy 内任意一点P ，过P 点作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，连接MN ，则称MN 的长度为点P 的垂点距离，记为h ．特别地，点P 与原点重合时，垂点距离为0．（1）点A (2，0)，B (4，4)，C (－2，√2)的垂点距离分别为_______，________，________；（2）点P 在以Q (√3，1)为圆心，半径为3的⊙M 上运动，直接写出点P 的垂点距离h 的取值范围；（3）点T 为直线l ：y =√3x +6位于第二象限内的一点，对于点T 的垂点距离h 的每个值有且仅有一个点T 与之对应，求点T 的横坐标t 的取值范围．（2020东城二模28）答案10.（2020朝阳二模28）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d(P,M)．（1）若b=2，①求d(B,⊙O)的值；②若点C在直线AB上，求d(C,⊙O)的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d(E,⊙O)＜6，直接写出b的取值范围．答案解：（1）①根据题意可知B（0,2）.∴d(B,⊙O)=3.②如图，过点O作OC⊥AB于点C，此时d(C,⊙O)取得最小值.∵直线323y x=+与x轴交于点A，∴A(23,0).∴OA=23,OB=2.∴∠OAB=30°.∴3OC=.∴d(C,⊙O)的最小值为31+.（2）57232357b b--＜≤或≤＜.。

北京中考一、二模分类汇编八 代几综合题顺义29．已知：如图1，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），根据对称性△AMB 恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB 为直角三角形时，就称△AMB 为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线2y x =的“完美三角形”斜边AB 的长； ②抛物线21y x +=与2y x =的“完美三角形”的斜边长的数量关系是； （2）若抛物线24y ax +=的“完美三角形”的斜边长为4，求a 的值；（3）若抛物线225y mx x+n=+-的“完美三角形”斜边长为n ，且225y mx x+n =+-的最大值为-1，求m ，n 的值．2备用图图2图1石景山29．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y轴的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l 的“理想矩形”．例如,下图中的矩形ABCD 为直线l（1）若点(1,2)A -，四边形ABCD 为直线1x =-的“理想矩形”，则点D 的坐标为； （2）若点(3,4)A ，求直线1y kx =+(0)k ≠的“理想矩形”的面积； （3）若点(1,3)A -，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为，此时点D 的坐标为．怀柔29. 对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，A(0，2)，B 是x 轴上一动点，当点B 在x 轴上运动时，点C 在坐标系中运动，点C 运动形成的轨迹是直线DE ，且DE ⊥x 轴于点G.则直线DE 的表达式是.（2）当△ABC 是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C 形成的轨迹也是一条直线.①当点B 运动到如图2的位置时，AC ∥x 轴，则C 点的坐标是.②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.③设②中这条直线分别与x,y 轴交于E,F 两点，当点C 在线段EF 上运动时，点H 在线段OF 上运动，（不与O 、F 重合），且CH=CE,则CE 的取值范围是.备用图。