【北师大版2020中考数学专项复习】：代几综合问题

中考代数综合3（北师大版）一、基础达标1：12a +有意义，则a 的取值范围为 .2、从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M ：“这个四边形是等腰梯形”.下列推断正确的是( )A.事件M 是不可能事件B. 事件M 是必然事件C.事件M 发生的概率为15D. 事件M 发生的概率为253、有下列函数：①y=-3x ；②y=x-1；③1y x=-(x ＜0)；④y=x 2+2x+1.其中当x 在各自的自变量取值范围内取值时，y 随着x 的增大而增大的函数有( ) A.①② B.①④ C.②③ D.③④4、如果点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)是直线y=kx-b 上的两点，且当x 1＜x 2时，y 1＜y 2，那么函数ky x=的图象大致是( )5、反比例函数3k y x-=的图象，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是6、设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为 ．7、已知点(－1，y 1)，(2，y 2），(3，y 3)在反比例函数21k y x--=的图象上．下列结论中正确的是（ ）A.y 1＞y 2＞y 3B.y 1＞y 3＞y 2C.y 3＞y 1＞y 2D.y 2＞y 3＞y 18、函数()()1240y x x y x x=≥=>0，的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A 的坐标为()22，；②当2x >时，21y y >；③当1x =时，3BC =； ④当x 逐渐增大时，1y 随着x 的增大 而增大，2y 随着x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是9、抛物线y=x 2+bx+c 图象向右平移2个单位再向下平移 3个单位，所得图象的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，则b 、c 的 值为（ ）A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=210、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+b 2－4ac 与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的 图象大致为（ ）11、如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是( ) A. 16 B. 14 C. 13 D. 1212、将抛物线y=﹣2x 2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A. 22(1)1y x =-+- B. 22(1)3y x =-++ C. 22(1)1y x =--+ D. 22(1)3y x =--+13、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则函数值y ＞0时，x 的取值范围是（ ） A.x<-1 B.x>3 C.-1<x<3 D.x<-1或x>314、如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热 气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A.200m B.3 C.3 D.31)m15、抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图所示，则以下结论：① b2-4ac<0；②a+b+c<0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、拓展题检测：16、如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=k x（k≠0）中k的值的变化情况是（）A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大17、若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是18、如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO 的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )19、如图，点A 在双曲线y=上，点B 在双曲线y=（k ≠0）上，AB ∥x 轴，过点A 作AD ⊥x 轴于D ．连接OB ，与AD 相交于点C ，若AC=2CD ，则k 的值为（ ） A ．6 B ．9C ．10D ．12二、拓展题：1、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，下列结论正确的是( ) A.方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根B. 存在一个大于1的实数x 0,使得当x ＜x 0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞x 0时，y 随x 的增大而增大.C. 当x=1时,y ＞0D. ac ＜02、已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示， 则2||n m m --可化简为 .3、如图5，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1(2,0)，A 2(1,－1)，A 3(0,0)，则依图中所示规律，A 2014的坐标为 .4、如图，直线3y x ，点A 1坐标为(1,0)，过点A 1作x 的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径 画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2x 的垂线交直线于点B 2， 以原点O 为圆心，OB 2长为半 径画弧交x 轴于点A 3，…,按 此做法进行下去，点A 5的坐 标为（ ， ）．5、如图，点A 在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC=2AB ， 点E 在线段AC 上，且AE=3EC ， 点D 为OB 的中点，若△ADE 的 面积为3，则k 的值为 .6、如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线(0)ky x x=>经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ，若S △OCD =9，则S △OBD 的值为三、解答题：1、一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同． (1)求摸出1个球是白球的概率；(2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；(3)现再将n 个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为57，求n 的值．2、如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象相交于A （-6，-2）、B （4，3）两点． （1）求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x 的取值范围. （3）求出线段AB 的长度．3、如图函数11y k x b =+的图象与函数22k y x=（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点.已知A 点的坐标为(2，1)，C 点坐标为(0，3). (1)求函数1y 的表达式和B 点坐标；(2)观察图象，比较当x ＞0时，1y 和2y 的大小. (3)求三角形AOB 的面积4、“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB 的长（精确到0.1米）（参考数据：sin76.1°≈ 0.97，cos76.1°≈ 0.24，tan76.1°≈ 4.0； sin68.2°≈ 0.93，cos68.2°≈ 0.37，tan68.2°≈ 2.5）5、小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长332米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离.6、如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且A点坐标为(－3,0)，经过B点的直线交抛物线于点D(－2，－3)（1）求抛物线的解析式和直线BD的解析式；（2）过x轴上点E(a，0)（E点在B点的右侧）作直线EF//BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由7、如图，已知二次函数213442y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ．（1）点A 的坐标为 ，点C 的坐标为 ； （2）△ABC 是直角三角形吗？若是，请给予证明；（3）线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．四、高手过招：1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论中正确的是 ①当x ＞3时，y ＜0； ②3a+b ＞0； ③-1≤a≤23-； ④3≤n≤42、已知二次函数y=ax 2+bx+1,一次函数2(1)4ky k x =--若它们的图象对于任意的非零实数k 都只有一个公共点，则a ，b 的值分别为( ) A.a=1，b=2 B.a=1，b=﹣2 C.a=﹣1，b=2 D.a=﹣1，b=﹣23、如图，已知动点A在函数4=yx(x>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于.1112。

代几综合题（以代数为主的综合）知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过(02)P A ，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

代数与几何综合题类型一动点型探究题1.如图①，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s.以AQ 、PQ 为边作四边形AQPD ，连接DQ ，交AB 于点E .设运动的时间为t (单位：s)(0＜t ≤4)，解答下列问题：(1)用含有t 的代数式表示AE ＝____；(2)如图②，当t 为何值时，四边形AQPD 为菱形；(3)求运动过程中，四边形AQPD 的面积的最大值．第1题图解：(1)5－t ；【解法提示】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴由勾股定理得：AB ＝10cm ，∵点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为2cm/s ，∴BP ＝2t cm ，∴AP ＝AB －BP ＝10－2t ，∵四边形AQPD 为平行四边形，∴AE ＝12AP ＝5－t .(2)如解图①，当四边形AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则cos ∠BAC ＝AE AQ ＝AC AB，即5－t 2t ＝810，解得t ＝2513，∴当t ＝2513时，四边形AQPD 是菱形；(3)如解图②，作PM ⊥AC 于M ，设平行四边形AQPD 的面积为S .∵PM ∥BC ，∴△APM ∽△ABC ，∴AP AB ＝PM BC ，即10－2t 10＝PM 6，∴PM ＝65(5－t )，∴S ＝AQ ·PM ＝2t ·65(5－t )＝－125t 2＋12t=15255122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--t (0＜t ≤4)，∵－125＜0，∴当t ＝52时，S 有最大值，最大值为15cm 2.第1题解图2.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；(3)如图②，当DE的长度为3时，求∠BFE的度数．第2题图解：(1)BG∥CD；【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠GFE＝∠FEC ＝90°，∵∠ACB＝∠GCE＝90°，∴∠GCB＝∠ECA，∵GC＝CE，CB＝CA，∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB＝90°，BC＝AC，D是AB的中点，∴∠CBG＝∠CAE＝45°，∠BCD＝45°，∴∠CBG＝∠BCD，∴BG∥CD.(2)∵CB＝CA，CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD＝3，∠CBA＝∠A＝45°，易得△CAE≌△CBG，∴∠CBG ＝∠A ＝45°，∴∠GBA ＝∠GBC ＋∠CBA ＝90°.∵∠BEN ＋∠BNE ＝90°，∠BEN ＋∠CED ＝90°，∴∠BNE ＝∠CED ，∵∠EBN ＝∠CDE ＝90°，∴△NBE ∽△EDC ，∴BN ED ＝BE CD ，∴y x ＝3－x 3，∴y ＝－31(x －32)2＋34，∵－31＜0，∴x ＝32时，y 的最大值为34；(3)如解图，作FH ⊥AB 于点H .∵CB ＝CA ，BD ＝CD ，∠BCA ＝90°，∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝3，∴tan ∠DCE ＝DE CD ＝33，∴∠DCE ＝30°，∵四边形EFGC 是正方形，∴EF＝EC，∵∠CDE＝∠EHF＝90°，易证∠DCE＝∠HEF，∴△CDE≌△EHF，∴∠DCE＝∠HEF＝30°，FH＝DE，CD＝EH，∵CD＝BD，∴BD＝EH，∴BH＝DE＝FH，∴△BHF是等腰直角三角形，∴∠BFH＝45°，∵∠EFH＝90°－∠HEF=60°，∴∠BFE＝∠BFH+∠EFH＝105°.第2题解图3.如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8cm，CD＝10cm，AD ＝6cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2cm/s，点F 同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1cm/s.设运动时间为t(s)，△CEF的面积为S(cm2)．(1)当0≤t≤3时，t＝________，EF＝10.(2)当0≤t≤3时(如图①)，求S与t的函数关系式，并化为S＝a(t－h)2＋k的形式，指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？(3)当3≤t≤8时(如图②)，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？第3题图解：(1)2；【解法提示】根据题意知，AF＝t，AE＝2t，∵∠A＝90°，∴AF2＋AE2＝EF2，即t2＋(2t)2＝(10)2，解得：t＝2(负值舍去)．(2)当0≤t≤3时，如解图①，过点C作CP⊥AB，交AB延长线于点P，第3题解图①∵∠A＝∠D＝90°，∴四边形APCD是矩形，则CP＝AD＝6cm，∵AB＝8cm，AD＝6cm，∴BF ＝(8－t )cm ，DE ＝(6－2t )cm ，则S ＝S 梯形ABCD －S △AEF －S △CBF －S △CDE＝12×(8＋10)×6－12×t ×2t －12×(8－t )×6－12×(6－2t )×10＝－t 2＋13t＝－(t －132)2＋1694，即S ＝－(t －132)2＋1694，∵当t ＜132时，S 随t 的增大而增大，∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30；(3)当3≤t ≤8时，如解图②，过点F 作FQ ⊥CD 于点Q ，第3题解图②由∠A ＝∠D ＝90°，知四边形ADQF 是矩形，∴FQ ＝AD ＝6cm ，∵AD ＋DE ＝2t ，AD ＝6cm ，CD ＝10cm ，∴CE ＝(16－2t )cm ，则此时S ＝12×(16－2t )×6＝48－6t ，∵－6＜0，∴S 随t 的增大而减小，∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30cm 2．4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D .点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．(1)①求线段CD 的长；②求证：△CBD ∽△ABC ；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使得△CPQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．(1)①解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝10，∵CD ⊥AB ，∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝6×810＝524，∴线段CD 的长为524；②证明：∵∠B ＝∠B ，∠CDB ＝∠BCA ＝90°，∴△CBD ∽△ABC ；(2)解：如解图②，过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，由题可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝524－t ，∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∴∠HCP ＝90°－∠DCB ＝∠B ，∵PH ⊥AC ，∴∠CHP ＝90°，∴∠CHP ＝∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ，∴PH AC ＝PC BA，∴PH 8＝10524t -，∴PH ＝9625－45t ，∴S ＝12CQ ·PH ＝12t (9625－45t )＝－25(t －125)2＋288125，∵52-＜0，∴当t ＝125时，S 最大＝288125；(3)存在，t ＝125或14.455或2411.【解法提示】①若CQ ＝CP ，如解图①，则t ＝524－t .解得：t ＝125；②若PQ ＝PC ，如解图②所示．∵PQ ＝PC ，PH ⊥QC ，∴QH ＝CH ＝12QC ＝t 2.∵△CHP ∽△BCA .∴CH BC ＝CP AB .∴t 26＝10524t -，解得t ＝14455；③若QC ＝QP ，如解图③，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，同理可得：t ＝2411.综上所述：当t 为524秒或14455秒或2411秒时，△CPQ 为等腰三角形．第4题解图5.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm.如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2cm/s 和1cm/s.FQ ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点P 和Q ，设运动时间为t (s)(0＜t ＜4)．(1)连接EF 、DQ ，若四边形EQDF 为平行四边形，求t 的值；(2)连接EP ，设△EPC 的面积为y cm 2，求y 与t 的函数关系式，并求y 的最大值；(3)若△EPQ 与△ADC 相似，请直接写出t 的值．解：(1)在矩形ABCD 中，∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴CD ＝AB ＝6cm ，AD ＝BC ＝8cm ，∠BAD ＝∠ADC ＝∠DCB ＝∠B ＝90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝10，∵FQ ⊥BC ，∴∠FQC ＝90°，∴四边形CDFQ 是矩形，∴DF ＝QC ，FQ ＝DC ＝6cm ，由题意知，BE ＝2t ，QC ＝DF ＝t ，∴EQ ＝BC －BE －QC ＝8－3t ，∵四边形EQDF 为平行四边形，∴FD ＝EQ ，即t ＝8－3t ，解得t ＝2；(2)∵∠FQC ＝90°，∠B ＝90°，∴∠FQC ＝∠B ，∴PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ，∴PQ AB ＝QC BC，即PQ 6＝t 8，∴PQ ＝34t ，∵S △EPC ＝12EC ·PQ ，∴y ＝12·(8－2t )·34t ＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3，即y ＝－34(t －2)2＋3，∵a ＝－34＜0，∴当t ＝2时，y 有最大值，y 的最大值为3；(3)t 的值为2或12857或12839.【解法提示】分两种情况讨论：若E 在FQ 左边，①当△EPQ ∽△ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝8－3t 8，解得t ＝2；②当△EPQ ∽△CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝8－3t 6，解得t ＝12857.若E 在FQ 右边，③当△EPQ ∽△ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝3t －88，解得t ＝4(舍去)；④当△EPQ ∽△CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝3t －86，解得t ＝12839.综上所述，若△EPQ 与△ADC 相似，则t的值为：2或12857或12839.类型二动线型探究题6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2cm.长为1cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动(运动前点M 与点A 重合)．过M ，N 分别作AB 的垂线交直角边于P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为t s.(1)若△AMP 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式(写出自变量t 的取值范围)，并求出y 的最大值；(2)在线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；(3)t 为何值时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？第6题图解：(1)当点P 在AC 上时，∵AM ＝t ，∴PM ＝AM ·tan60°＝3t ，∴y ＝12t ·3t ＝32t 2(0<t ≤1)，当t ＝1时，y 最大＝32；当点P 在BC 上时，PM ＝BM ·tan 30°＝33(4－t )，∴y ＝12t ·33(4－t )＝－36t 2＋233t ＝－36(t －2)2＋233(1＜t <3)，当t ＝2s 时，y 最大＝233，综上所述，y0<t ≤12＋233t ，1＜t <3，∴当t ＝2s 时，y 最大＝233；(2)∵AC ＝2，∴AB ＝4，∴BN ＝AB －AM －MN ＝4－t －1＝3－t .∴QN ＝BN ·tan 30°＝33(3－t )，由题知，若要四边形MNQP 为矩形，需PM ＝QN ，且P ，Q 分别在AC ，BC 上，即3t ＝33(3－t )，∴t ＝34，∴当t ＝34s 时，四边形MNQP 为矩形．(3)由(2)知，当t ＝34s 时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，除此之外，当∠CPQ ＝∠B ＝30°时，△QPC ∽△ABC ，此时CQ CP ＝tan 30°＝33，∵AM AP ＝cos 60°＝12，∴AP ＝2AM ＝2t ，∴CP ＝2－2t ，∵BN BQ ＝cos 30°＝32，∴BQ ＝BN 32＝233(3－t )，又BC ＝23，∴CQ ＝23－233(3－t )＝23t 3，∴23t 32－2t ＝33，解得t ＝12，∴当t ＝12s 或34s 时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm，BC＝6cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)如解图①，连接DF，第7题解图①∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中AD＝52－32＝4，∵EF //BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AQ AD，∴EF 6＝4－t 4，∴EF ＝32(4－t )，∵EF //BD ，∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形，∴32(4－t )＝3，∴t ＝2，∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；(2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，第7题解图②∵PN //DC ，∴PN DC ＝AP AC，∴PN 3＝5－t 5，∴PN ＝35(5－t )，∴y ＝12DC ·AD －12AQ ·PN ＝6－12(4－t )·35(5－t )＝6－(310t 2－2710t ＋6)＝－310t 2＋2710t (0＜t ＜4)；(3)存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .第7题解图③∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝12AP ＝12(5－t )，由题意cos ∠CAD ＝AD AC ＝AN AQ，∴12（5－t ）4－t＝45，∴t ＝73，∴当t ＝73s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．∵sin ∠FPH ＝FH PF ＝sin ∠CAD ＝35，∵PA ＝5－73＝83，AF ＝AQ ÷45＝2512，∴PF ＝712，∴FH ＝720.∴点F 到直线PQ 的距离h ＝720(cm)．类型三动图型探究题8.如图①，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，∠DBC ＝90°，现将△AEF 沿BD 的方向匀速平移，速度为2cm/s ，同时，点G 从点D 出发，沿DC 的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF 停止移动时，点G 也停止运动，连接AD ，AG ，EG ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t (s)(0＜t ＜4)．(1)当t ＝1时，求EH 的长度；(2)若EG ⊥AG ，求证：EG 2＝AE ·HG ；(3)设△AGD 的面积为y (cm 2)，当t 为何值时，y 可取得最大值，并求y 的最大值．第8题图解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，又∠DBC ＝90°，∴∠ADB ＝90°，又AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝10cm ，当t ＝1时，EB ＝2cm ，则DE ＝8－2＝6cm ，∵EH ⊥CD ，∠DBC ＝90°，∴△DEH ∽△DCB ，∴DE DC ＝EH BC ，即610＝EH 6，解得EH ＝3.6cm ；(2)∵∠CDB ＝∠AEF ，∴AE ∥CD ，∴∠AEG ＝∠EGH ，又EG ⊥AG ，EH ⊥CD ，∴△AGE ∽△EHG ，∴EG HG ＝AE EG，∴EG 2＝AE ·HG ；(3)由(1)得，△DEH ∽△DCB ，∴DE CD ＝EH BC ，即8－2t 10＝EH 6，解得，EH ＝24－6t 5，∴y ＝12×DG ×EH ＝－6t 2＋24t 5＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245，∴当t ＝2时，y 的最大值为245.9.把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图①摆放(点C 与点E 重合)，点B 、C (E )、F 在同一条直线上．已知：∠ACB ＝∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，EF ＝10cm.如图②，△DEF 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t (s)．(1)用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围；(2)连接PE ，设四边形APEQ 的面积为y (cm 2)，试求出y 的最大值；(3)当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．第9题图解：(1)AP ＝2t ，∵∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°，∴∠CQE ＝45°＝∠DEF ，∴CQ ＝CE ＝t ，∴AQ ＝8－t ，t 的取值范围是：0≤t ≤5；(2)如解图①，过点P 作PG ⊥x 轴于G ，可求得AB ＝10，sin B ＝45，PB ＝10－2t ，EB ＝6－t ，∴PG ＝PB sin B ＝45(10－2t )，∴y ＝S △ABC －S △PBE －S △QCE＝12×6×8－12(6－t )×45(10－2t )－12t 2＝－1310t 2＋445t ＝－1310(t －4413)2＋96865，∴当t ＝4413(s)(在0≤t ≤5内)，y 有最大值，y 最大值＝96865(cm 2)；第9题解图(3)若AP ＝AQ ，则有2t ＝8－t 解得：t ＝83(s)，若AP ＝PQ ，如解图②：过点P 作PH ⊥AC ，则AH ＝QH ＝8－t 2，PH ∥BC ，∴△APH ∽△ABC ，∴AP AH ＝AB AC ，即2t 8－t 2＝108，解得：t ＝4021(s)，若AQ ＝PQ ，如解图③：过点Q 作QI ⊥AB ，则AI ＝PI ＝12AP ＝t ，∵∠AIQ ＝∠ACB ＝90°∠A ＝∠A ，∴△AQI ∽△ABC ∴AI AQ ＝AC AB 即t 8－t ＝810，解得：t ＝329(s)，综上所述，当t ＝83(s)或4021(s)或329(s)时，△APQ 是等腰三角形．10.如图①，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF均为4.现将三角板EFG由图①所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，EG交AC于点K，GF交BC于点H.在旋转过程中，请你解决以下问题：(1)连接CG，求证：△CGH∽△AGK；(2)连接HK，求证：KH∥EF；(3)设AK＝x，△CKH的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．第10题图(1)证明：在Rt△ABC中，CG⊥AB，∠B＝30°，∴∠GCH＝∠GAK＝60°，又∠CGH＝∠AGK＝α，∴△CGH∽△AGK；(2)证明：由(1)得△CGH∽△AGK，∴GH GK ＝CG AG.在Rt △ACG 中，tan ∠CAG ＝CG AG ＝3，∴GH GK ＝ 3.在Rt △KHG 中，tan ∠GKH ＝GH GK ＝3，∴∠GKH ＝60°.∵在Rt △EFG 中，∠F ＝30°，∴∠E ＝60°，∴∠GKH ＝∠E ，∴KH ∥EF ；(3)解：由(1)得△CGH ∽△AGK ，∴CH AK ＝CG AG .由(2)知CG AG ＝3，∴CH AK ＝ 3.∴CH ＝3AK ＝3x ，在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∴AC ＝12AB ＝2，∴CK ＝AC －AK ＝2－x ，∴y ＝12CK ·CH ＝12(2－x )·3x ＝－32x 2＋3x ，又y ＝－32x 2＋3x ＝－32(x －1)2＋32，(0＜x ＜2)∴当x ＝1时，y 有最大值为32.。

第02讲_反比例函数的代几综合知识图谱反比例函数的代数综合知识精讲一．反比例函数与方程和不等式如图，双曲线与直线相交，则方程12k k x b x =+的解为交点的横坐标12x x 、；不等式12kk x b x+>的解为120x x x x ><<或．二．反比例函数与一次函数已知反比例函数与一次函数的一个交点，求函数解析式，只要把交点坐标分别代入到两个解析式即可．yxOx 1x 2y=k 2x+by=k 1x当反比例函数与正比例函数相交时，交点关于原点对称，即1212,x x y y =-=-．三点剖析一．考点：反比例函数与代数综合二．重难点：反比例函数与代数综合三．易错点：1．注意反比例函数解析式中0k ≠；2．反比例函数与一次函数结合经常会出现要解分式方程的情况，注意分式方程增根的情况； 3．利用图像解反比例函数与不等式的问题．与方程，不等式综合例题1、 如图，反比例函数y 1=的图象与正比例函数y 2=k 2x 的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（ ）A.0＜x ＜2B.x ＞2C.x ＞2或﹣2＜x ＜0D.x ＜﹣2或0＜x ＜2 【答案】 D【解析】 ∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∵A 、B 两点关于原点对称， ∵A （2，1）， ∵B （﹣2，﹣1），∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜﹣2时函数y 1的图象在y 2的上方， ∵使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜2． 故选D ．y 2y 1y=k 1xy=k 2x+bx 2x 1Oxy例题2、 已知直线y=x ﹣3与函数2y x=的图象相交于点（a ，b ），则代数式a 2+b 2的值是（ ） A.13B.11C.7D.5【答案】 A【解析】 根据题意得b=a ﹣3，b=2a， 所以a ﹣b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a ﹣b ）2+2ab=32+2×2=13． 故选A ．例题3、 求一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】 B【解析】 由x 3﹣x ﹣1=0得：x 3﹣x=1 方程两边同时除以x 得：x 2﹣1=，在同一坐标系中作出y=x 2﹣1和y=的图象为：观察图象有一个交点，∵可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有1个，随练1、 小兰画了一个函数y= 1a x -的图像如图，那么关于x 的分式方程1ax-=2的解是（ ）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4【答案】 A【解析】 由图可知当x=3时，y=0，即13a-=0， 解得a=3， 当31x-=2时， 解得x=1．随练2、 如图所示，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A.（12，0）B.（1，0）C.（32，0）D.（52，0）【答案】 D【解析】 ∵把A （12，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=1x 得：y 1=2，y 2=12，∴A （12，2），B （2，12），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP|＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB=AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大， 设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：122122k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：k=﹣1，b=52，∴直线AB 的解析式是y=﹣x+52，当y=0时，x=52，即P （52，0），1、 反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（ ）A.t ＜B ．t ＞C ．t≤D ．t≥【答案】【解析】 将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x 2﹣2x+1﹣6t=0． ∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∵，解得：t ＞．与一次函数综合例题1、 已知反比例函数ky x=（k≠0）和一次函数y ＝x －6． （1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P （2，m ），求m 和k 的值； （2）当k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点． 【答案】 （1）m ＝－4；k ＝－8 （2）k ＜－9【解析】 （1）把点P （2，m ）代入y ＝x －6，得m ＝－4，所以P （2，－4）．将点P （2，－4）代入反比例函数ky x=，得k ＝－8；（2）根据,6,k y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得6k x x =-， ∴260x x k --=，∵两图象没有交点，∴()()26410k --⨯⨯-<，即k ＜－9．例题2、 如图，在直角坐标系中，直线y ＝mx 与曲线ny x=相交于A （－1，a ），B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1．（1）求m，n的值；（2）求直线AC的解析式．【答案】（1）m＝－2；n＝－2（2）y＝－x＋1【解析】（1）∵直线y＝mx与曲线nyx=相交于A（－1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（－1，2），将A（－1，2）代入y＝mx，nyx=可得m＝－2，n＝－2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵y＝kx＋b经过点A（－1，2）、C（1，0）∴2k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1．例题3、已知反比例函数5myx-=（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．【答案】（1）m＜5（2）－1【解析】（1）∵在反比例函数5myx-=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，∴m－5＜0，解得：m＜5；（2）将y＝3代入y＝－x＋1中，得x＝－2，∴反比例函数5myx-=图象与一次函数y＝－x＋1图象的交点坐标为（－2，3），将（－2，3）代入5myx-=得532m-=-，解得1m=-．随练1、已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=1x的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】如图，设P（m，1m），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，∵A（﹣2，0），∴OA=2，OC=1，∴AC=1，BC∥y轴，∴12 AB ACAP AO==，∴P1，P3在y轴上，这样的点P 不存在，点P 4在AB 之间，不满足AP=2AB ， 过P 2作P 2Q ⊥x 轴于Q ， ∴P 2Q ∥B 1C ， ∴1212AB AC AP AQ ==， ∴1122m =--， ∴m=﹣4，∴P （﹣4，﹣14），∴满足条件的点P 的个数是1，随练2、 图中给出的直线1y k x b =+和反比例函数2k y x=的图像，判断下列结论正确的个数有（ ）①2k ＞b ＞1k ＞0；②直线1y k x b =+与坐标轴围成的△ABO 的面积是4；③方程组12y k x bk y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩的解为11x 6y 1=-⎧⎨=-⎩，22x 2y 3=⎧⎨=⎩；④当－6＜x ＜2时，有21k k x b x +> A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】 暂无解析随练3、 如图，双曲线x my =与直线b kx y +=相交于点M ，N ，且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x 的方程xm＝b kx +的解为（ ）A.1=xB.1=x 或3-=xC.3=xD.1-=x 或3=x【答案】 B【解析】 暂无解析随练4、 如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【答案】 （1）y=2x-；y=﹣x ﹣1 （2）x ＜﹣2或0＜x ＜1【解析】 （1）∵A （﹣2，1）在反比例函数y=mx的图象上， ∴1=2m-，解得m=﹣2． ∴反比例函数解析式为y=2x-， ∵B （1，n ）在反比例函数h 上， ∴n=﹣2，∴B 的坐标（1，﹣2），把A （﹣2，1），B （1，﹣2）代入y=kx+b ，得212k k b b -==-++⎧⎨⎩，解得：11b k =--=⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣1；（2）由图象知：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，一次函数的值大于反比例函数．随练5、 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y=mx的图象交于点B 、E ．（1）求反比例函数及直线BD 的解析式； （2）求点E 的坐标．【答案】 （1）y=﹣2x ；y=﹣x ﹣1 （2）E （﹣2，1）【解析】 （1）边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边在AD 在x 轴上，点B 在第四象限， ∴A （1，0），D （﹣1，0），B （1，﹣2）．∵反比例函数y=mx的图象过点B ，∴1m=﹣2，m=﹣2， ∴反比例函数解析式为y=﹣2x，设直线BD 的解析式为y=kx+b ， ∵y=kx+b 的图象过B 、D 点， ∴-2-k+b=0k b +=⎧⎨⎩，解得=-1b=-1k ⎧⎨⎩．直线BD 的解析式y=﹣x ﹣1；（2）解方程组2y=-x y=-x 1⎧⎪⎨⎪-⎩，解得-2y=1x =⎧⎨⎩或x=1y=-2⎧⎨⎩，∵B （1，﹣2），∴E （﹣2，1）．随练6、 定义运算max{a ，b}：当a≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜b 时，max{a ，b}=b ．如max{﹣3，2}=2． （1）max{7，3}=____________；（2）已知y 1=1k x 和y 2=k 2x+b 在同一坐标系中的图象如图所示，若max{1k x ，k 2x+b}=1kx，结合图象，直接写出x的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x ﹣2}的值．【答案】 （1）3（2）﹣3≤x ＜0或x≥2（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1， 当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2． 【解析】 （1）max{7，3}=3． 故答案为：3；（2）∵max{1k x ，k 2x+b}=1k x，∴1k x≥k 2x+b ， ∴从图象可知：x 的取值范围为﹣3≤x ＜0或x≥2；（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1， 当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．反比例函数与几何综合知识精讲一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．三点剖析一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．四．易错点：1.涉及到特殊三角形与动点问题时，一般都为多个解，注意不要漏解2.在求三角形和四边形面积用坐标表示线段长度时，注意正负号的问题．与三角形综合例题1、 在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数y=2x的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（ ） A.2个 B.4个 C.5个D.6个【答案】 D【解析】 ①当∠PAB=90°时，P 点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入y=2x 得y=﹣23，所以此时P 点有1个； ②当∠APB=90°，设P （x ，2x ），PA 2=（x+3）2+（2x ）2，PB 2=（x ﹣3）2+（2x）2，AB 2=（3+3）2=36， 因为PA 2+PB 2=AB 2，所以（x+3）2+（2x ）2+（x ﹣3）2+（2x）2=36， 整理得x 4﹣9x 2+4=0，所以x 2，或x 2， 所以此时P 点有4个，③当∠PBA=90°时，P 点的横坐标为3，把x=3代入y=2x 得y=23，所以此时P 点有1个； 综上所述，满足条件的P 点有6个．例题2、 如图，双曲线k y x=（x ＞0）经过A 、B 两点，若点A 的横坐标为1，∠OAB ＝90°，且OA ＝AB ，则k 的值为________．【答案】【解析】 作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，过B 点作BC ⊥y 轴于C ，交AE 于G ，如图所示：则AG ⊥BC ，∵∠OAB ＝90°，∴∠OAE ＋∠BAG ＝90°，∵∠OAE ＋∠AOE ＝90°，∴∠AOE ＝∠GAB ，在△AOE 和△BAG 中，90AOE GAB AEO AGB AO AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△BAG （AAS ），∴OE ＝AG ，AE ＝BG ，∵点A （1，n ），∴AG ＝OE ＝1，BG ＝AE ＝n ，∴B （n ＋1，n －1），∴k ＝n×1＝（n ＋1）（n －1），整理得：n 2－n －1＝0，解得：n =，∴n =∴k =．例题3、 如图，已知点A （4，0），B （0，43），把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内，使其斜边FD 在线段AB 上，三角尺可沿着线段AB 上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G 为边FD 的中点．（1）求直线AB 的解析式；（2）如图1，当点D 与点A 重合时，求经过点G 的反比例函数y=k x（k ≠0）的解析式； （3）在三角尺滑动的过程中，经过点G 的反比例函数的图象能否同时经过点F ？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．【答案】 （1）y=﹣3x+43；（2）y=33x； （3）能；y=1534x【解析】 （1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∵A （4，0），B （0，43），∴4043k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：343k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴直线AB 的解析式为：y=﹣3x+43；（2）∵在Rt △DEF 中，∠EFD=30°，ED=2，∴EF=23，DF=4，∵点D 与点A 重合，∴D （4，0），∴F （2，23），∴G （3，3），∵反比例函数y=k x经过点G ， ∴k=33，∴反比例函数的解析式为：y=33x； （3）经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ；理由如下：∵点F 在直线AB 上， ∴设F （t ，﹣3t+43），又∵ED=2，∴D （t+2，﹣3t+23），∵点G 为边FD 的中点．∴G （t+1，﹣3t+33），若过点G 的反比例函数的图象也经过点F ，设解析式为y=m x， 则3331343m t t m t t ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪⎩， 整理得：（﹣3t+33）（t+1）=（﹣3t+43）t ，解得：t=32， ∴m=1534， ∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，这个反比例函数解析式为：y=1534x 随练1、 如图，过点O 作直线与双曲线y=k x（k ≠0）交于A 、B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴，y 轴上分别取点E 、F ，使点A 、E 、F 在同一条直线上，且AE=AF ．设图中矩形ODBC 的面积为S 1，△EOF 的面积为S 2，则S 1、S 2的数量关系是（ ）A.S 1=S 2B.2S 1=S 2C.3S 1=S 2D.4S 1=S 2【答案】 B【解析】 设A 点坐标为（m ，﹣n ），过点O 的直线与双曲线y=k x交于A 、B 两点，则A 、B 两点关与原点对称，则B 的坐标为（﹣m ，n ）； 矩形OCBD 中，易得OD=n ，OC=m ；则S 1=mn ；在Rt △EOF 中，AE=AF ，故A 为EF 中点，由中位线的性质可得OF=2n ，OE=2m ；则S 2=12⨯ OF ×OE=2mn ； 故2S 1=S 2．随练2、 如图，反比例函数(0)k y x x=>的图像与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，若OC ＝2BD ，则实数k 的值为（ ）A.43B.2534C.932D.83【答案】 A 【解析】 过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，设OC ＝2x ，则BD ＝x ，在Rt △OCE 中，∠COE ＝60°，则OE ＝x ，3CE x =，则点C 坐标为(,3)x x ，在Rt △BDF 中，BD ＝x ，∠DBF ＝60°，则12BF x =，32DF x =， 则点D 的坐标为13(5,)22x x -， 将点C 的坐标代入反比例函数解析式可得：23k x =，将点D 的坐标代入反比例函数解析式可得：253324k x x =-， 则22533324x x x =-， 解得：x 1＝2，x 2＝0（舍去）， 故2343k x ==．随练3、 如图，已知点A （1，2）是反比例函数y=k x图象上的一点，连接AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，点P 是x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标是___________．【答案】 （﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）【解析】 ∵反比例函数y=k x图象关于原点对称， ∴A 、B 两点关于O 对称，∴O 为AB 的中点，且B （﹣1，﹣2），∴当△PAB 为等腰三角形时有PA=AB 或PB=AB ，设P 点坐标为（x ，0），∵A （1，2），B （﹣1，﹣2）， ∴AB=()()221122--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=25，PA=()2212x -+，PB=()2212x ++， 当PA=AB 时，则有()2212x -+=25，解得x=﹣3或5，此时P 点坐标为（﹣3，0）或（5，0）； 当PB=AB 时，则有()()2212x ++-=25，解得x=3或﹣5，此时P 点坐标为（3，0）或（﹣5，0）； 综上可知P 点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）随练4、 如图，在Rt ∵ABC 中，∵ABC=90°，点B 在x 轴上，且B （﹣1，0），A 点的横坐标是2，AB=3BC ，双曲线4m y x=（m ＞0）经过A 点，双曲线m y x =-经过C 点，则Rt ∵ABC 的面积为 ．【答案】 ．【解析】 过点A 作AE ∵x 轴于E ，过点C 作CF ∵x 轴于F ，∵A 点的横坐标是2，且在双曲线4m y x=（m ＞0）上， ∵A （2，2m ），∵∵ABC=90°，∵∵ABE+∵BAE=∵ABE+∵CBF=90°，∵∵BAE=∵CBF ，∵∵BFC=∵AEB ，∵∵ABE ∵∵BCF ， ∵=BC AB =13， ∵CF=1，BF=23m ， ∵C （﹣1﹣23m ，1）， ∵双曲线m y x=-经过C 点， ∵﹣1﹣23m =﹣m ， ∵m=3，∵A （2，6），C （﹣3，1），∵AE=6，CF=1，EF=5，BF=3﹣1=2，BE=1+2=3，∵Rt∵ABC 的面积=S 梯形ACFE ﹣S ∵BCF ﹣S ∵ABE =（6+1）×5﹣×2×1﹣×3×6=．10、 如图，在Rt △AOB 中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数k y x =在第一象限内的图像分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若S △BOD =4，（1）求反比例函数解析式；（2）求C 点坐标．【答案】（1）8yx=（2）（2，4）【解析】（1）∵S△BOD=12k，∴142k=，解得k=8，∴反比例函数解析式为8yx =；（2）设直线OA的解析式为y=ax，把A（4，8）代入得4a=8，解得a=2，所以直线OA的解析式为y=2x，解方程组28y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩得2244x xy y==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或，所以C点坐标为（2，4）．与四边形综合例题1、在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A坐标为（2，1），点C在反比例函数y=kX的图象上，则k的值为（）A.﹣5B.﹣2C.2D.5【答案】B【解析】如图所示：∵正方形OABC的顶点A坐标为（2，1），∴可得C点坐标为：（﹣1，2），故点C在反比例函数y=kX的图象上时，k的值为：﹣2．例题2、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y 轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为．【答案】（2，7）．【解析】过点D作DF∵x轴于点F，则∵AOB=∵DFA=90°，∵∵OAB+∵ABO=90°，∵四边形ABCD是矩形，∵∵BAD=90°，AD=BC，∵∵OAB+∵DAF=90°，∵∵ABO=∵DAF，∵∵AOB∵∵DFA，∵OA：DF=OB：AF=AB：AD，∵AB：BC=3：2，点A（3，0），B（0，6），∵AB：AD=3：2，OA=3，OB=6，∵DF=2，AF=4，∵OF=OA+AF=7，∵点D的坐标为：（7，2），∵反比例函数的解析式为：y=①，点C的坐标为：（4，8），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∵直线BC的解析式为：y=x+6②，联立①②得：或（舍去），∵点E的坐标为：（2，7）．例题3、如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．①求△AOP的面积；②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C（5，0），点B（6，4）（2）①S△AOP=3．②存在，点M的坐标为（2，0）或（1017，4017）．【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（1，4），∴m=1×4=4，∴反比例函数的关系式为y=4x（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC=5，点A（1，4），∴点C（5，0），点B（6，4）．（2）①延长DP交OA于点E，如图3所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（112，2）．令y=4x中y=2，则x=2，∴点P（2，2），∴PD=112﹣2=72，EP=ED﹣PD=32，∴S△AOP=12EP•（y A﹣y O）=12×32×（4﹣0）=3．②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，连接PM1、PM2，如图4所示．∵点P（2，2），O（0，0），∴点M1（2，0）；∵点A（1，4），点O（0，0），∴直线OA的关系式为y=4x．设点M2（n，4n），OM2=17n，OP=22，PM2=217n-20n+8，∵∠OM2P=90°，∴2222OM+PM=OP2，即17n2+17n2﹣20n+8=8，解得：n=1017，或n=0（舍去），∴点M2（1017，4017）．故在▱OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（1017，4017）．随练1、 如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB=45，反比例函数12y x =在第一象限内的图像经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于（ ）A.10B.9C.8D.6【答案】 A【解析】 过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，如图所示．设OA=a ，在Rt △OAM 中，∠AMO=90°，OA=a ，sin ∠AOB=45， ∴AM=OA•sin ∠AOB=45a ，OM=2235OA OM a -=， ∴点A 的坐标为34,55a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵点A 在反比例函数12y x=的图像上， ∴23412125525a a a ⨯==， 解得：a=5，或a=﹣5（舍去）．∴AM=4，OM=3，OB=OA=5．∵四边形OACB 是菱形，点F 在边BC 上，∴111022OBCA AOF S S OB AM ===菱形．随练2、如图，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）是矩形OACB的两个顶点．定义：如果双曲线y=kx经过AC的中点D，那么双曲线y=kx为矩形OACB的中点双曲线．（1）若a=3，b=2，请判断y=3x是否为矩形OACB的中点曲线？并说明理由．（2）若y=kx是矩形OACB的中点双曲线，点E是矩形OACB与中点双曲线y=kx的另一个交点，连结OD、OE，四边形ODCE的面积S=4，试求出k的值．【答案】（1）是，理由见解析（2）4，【解析】（1）是，理由：a=3，b=2，∴A（3，0），B（0，2），∴C（3，2），∴AC的中点坐标为（3，1），当x=3时，y=3x=33=1，∴AC的中点在双曲线y=3x的图像上，∴y=3x是为矩形OACB的中点曲线．（2）如图，∵点D，E在双曲线y=kx的图像上，∴S△OBE=12k，S△OAD=12k，∵四边形ODCE的面积S=4，∴矩形OACB的面积=k+4，∵y=kx是矩形OACB的中点双曲线，设点D（m，n），∴mn=k，C（m，2n），∴矩形OACB的面积为2mn=2k，∴2k=k+4，∴k=4，面积问题例题1、如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则∵AOC的面积为（）A.12B.9C.6D.4【答案】B【解析】∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∵D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∵k=﹣3×2=﹣6，∵∵BOC的面积=|k|=3．又∵∵AOB的面积=×6×4=12，∵∵AOC的面积=∵AOB的面积﹣∵BOC的面积=12﹣3=9．故选B．例题2、如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x（x＞0）和y=kx（x＞0）的图象交于P、Q两点，若S△POQ=14，则k的值为______．【答案】 ﹣20．【解析】 ∵S △POQ =S △OMQ +S △OMP ， ∴12|k|+12×|8|=14， ∴|k|=20， 而k ＜0， ∴k=﹣20．例题3、 如图，矩形OABC ，点A ，C 分别在x 轴，y 轴正半轴上，直线y=﹣x+6交边BC 于点M （m ，n ）（m ＜n ），并把矩形OABC 分成面积相等的两部分，过点M 的双曲线y=kx（x ＞0）交边AB 于点N ．若△OAN 的面积是4，求△OMN 的面积．【答案】 S △OMN =15.【解析】 ∵点M 、N 在双曲线y=kx（x ＞0）上， ∴S △OCM =S △OAN =4， ∴12mn=4， ∴mn=8，∵点M （m ，n ）在直线y=﹣x+6上， ∴﹣m+6=n ， ∴86mn m n =⎧⎨-+=⎩解得：24m n =⎧⎨=⎩或42m n =⎧⎨=⎩（舍去）∵直线y=﹣x+6分矩形OABC 面积成相等的两部分， ∴直线y=﹣x+6过矩形OABC 的中心， 设B （a ，4）∴E （2a，2）∴﹣2a+6=2∴a=8，∴OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，∴S △OMN =S 矩形OABC ﹣S △OCM ﹣S △BMN ﹣S △OAN =32﹣4﹣9﹣4=15．拓展1、 反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（ ）A.t ＜B ．t ＞C ．t≤D ．t≥【答案】【解析】将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∵，解得：t＞．2、如图，A、B、C是反比例函数y=kx（x＜0）图像上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A.4条B.3条C.2条D.1条【答案】A【解析】如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选A．3、已知一次函数y1＝x－3和反比例函数24yx=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A.x＜－1或x＞4B.－1＜x＜0或x＞4C.－1＜x＜0或0＜x＜4D.x＜－1或0＜x＜4【答案】B【解析】解方程组34y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩得：1141xy=⎧⎨=⎩，2214xy=-⎧⎨=-⎩，即A（4，1），B（－1，－4），所以当y1＞y2时，x的取值范围是－1＜x＜0或x＞4．4、 已知直线y=kx （k ＞0）与双曲线y=3x交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2+x 2y 1的值为（ ） A.﹣6B.﹣9C.0D.9【答案】 A【解析】 ∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是双曲线y=3x上的点 ∴x 1•y 1=x 2•y 2=3①，∵直线y=kx （k ＞0）与双曲线y=3x交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点， ∴x 1=﹣x 2，y 1=﹣y 2②，∴原式=﹣x 1y 1﹣x 2y 2=﹣3﹣3=﹣6． 故选：A ．5、 如图，一次函数y=kx +b 的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y=mx（x ＞0）的图象交于点B （2，n ），过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点P （3n ﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC ，求反比例函数和一次函数的表达式．【答案】 暂无答案【解析】 ∵点B （2，n ）、P （3n ﹣4，1）在反比例函数y=mx（x ＞0）的图象上， ∴234n m n m =⎧⎨-=⎩．解得：m=8，n=4．∴反比例函数的表达式为y=8x． ∵m=8，n=4， ∴点B （2，4），（8，1）．过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ，并延长交AB 与点P ′．在△BDP 和△BDP ′中， ''PBD P BD BD BDBDP BDP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BDP ≌△BDP ′． ∴DP ′=DP=6． ∴点P ′（﹣4，1）．将点P ′（﹣4，1），B （2，4）代入直线的解析式得：2441k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得：123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴一次函数的表达式为y=12x +3． 6、 如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，点A 的坐标为（2，1），BO=25 ，反比例函数y=kx的图象经过点B ，则k 的值为_________．【答案】 ﹣8【解析】 过点A 作AC ⊥x 轴，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，则∠OCA=∠BDO=90°， ∴∠DBO+∠BOD=90°， ∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC ， ∴△DBO ∽△COA ， ∴BO BD DOOA OC CA==， ∵点A 的坐标为（2，1）， ∴AC=1，OC=2， ∴AO=22125+= ，∴25215BDDO==，即BD=4，DO=2，∴B （﹣2，4），∵反比例函数y=kx的图象经过点B ， ∴k 的值为﹣2×4=﹣8．7、 过双曲线ky x=（k ＞0）上的动点A 作AB ⊥x 轴于点B ，P 是直线AB 上的点，且满足AP ＝2AB ，过点P 作x 轴的平行线交此双曲线于点C ．如果△APC 的面积为8，则k 的值是________． 【答案】 12或4【解析】 设点A 的坐标为（x ，kx），当点P在AB的延长线上时，∵AP＝2AB，∴AB＝AP，∵PC∥x轴，∴点C的坐标为（－x，kx -），由题意得，12282kxx⨯⨯=，解得，k＝4，当点P在BA的延长线上时，∵AP＝2AB，PC∥x轴，∴点C的坐标为（13x，3kx），∴2''3P C x=，由题意得，1228 23kxx⨯⨯=，解得，k＝12，当点P在第三象限时，情况相同，8、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=kx（x＞0）的图像经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图像交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）求△BMN面积的最大值；（3）若MA⊥AB，求t的值．【答案】（1）8（2）25 4（3）1 2【解析】解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=kx（x＞0）得：k=1×8=8，y=8x，∴k=8；（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，根据题意得：813k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：k=12，b=﹣3，∴直线AB 的解析式为：y=12x ﹣3； 设M （t ，8t ），N （t ，12t ﹣3）， 则MN=8t ﹣12t+3，∴△BMN 的面积S=12（8t ﹣12t+3）t=﹣14t 2+32t+4=﹣14（t ﹣3）2+254， ∴△BMN 的面积S 是t 的二次函数， ∵﹣14＜0， ∴S 有最大值，当t=3时，△BMN 的面积的最大值为254； （3）∵MA ⊥AB ，∴设直线MA 的解析式为：y=﹣2x+c ， 把点A （8，1）代入得：c=17，∴直线AM 的解析式为：y=﹣2x+17，解方程组2178y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得：1216x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或81x y =⎧⎨=⎩（舍去）， ∴M 的坐标为（12，16），∴t=12．9、 如图，直线y ＝－x 与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，过点B 作BD ∥x 轴，交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数k y x =的图象于另一点C ，则CBCA的值为（ ）A.1︰3B.1:C.2︰7D.3︰10【答案】 A【解析】 联立直线AB 及反比例函数解析式成方程组，y x k y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴点B的坐标为(，点A的坐标为．∵BD ∥x 轴，∴点D 的坐标为(0,)k -． 设直线AD 的解析式为y ＝mx ＋n ，将(,)A k k ---、(0,)D k -代入y ＝mx ＋n ，km n k n k⎧-+=--⎪⎨=-⎪⎩，解得：2m n k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为2y k =-+-．联立直线AD 及反比例函数解析式成方程组，2y x k ky x ⎧=-+-⎪⎨=⎪⎩， 解得：1122k x y k ⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩，22x k y k⎧=-⎪⎨=--⎪⎩， ∴点C 的坐标为(,2)2kk ---． ∴2222[()](2)123[()](2)2k k k k CB CA k k k k -----+---==----+----． 10、 如图，在Rt △AOB 中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数ky x=在第一象限内的图像分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若S △BOD =4， （1）求反比例函数解析式； （2）求C 点坐标．【答案】 （1）8y x=（2）（2，4） 【解析】 （1）∵S △BOD =12k ，∴142k =，解得k=8， ∴反比例函数解析式为8y x=；（2）设直线OA 的解析式为y=ax ，把A （4，8）代入得4a=8，解得a=2， 所以直线OA 的解析式为y=2x ，解方程组28y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得2244x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 所以C 点坐标为（2，4）．11、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=3x的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A.2B.4C.22D.42【答案】D【解析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．。

中考冲刺：代几综合问题—巩固训练（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2017•河北一模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．2.如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）二、填空题3. 将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线ｙ２的图象如图所示，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t的值，则t＝．4. （2017•宝山区一模）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果AC=8，tanA=，那么CF ：DF= ．三、解答题5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……依次类推.（1）试写出第n 层所对应的点数； （2）试写出n 层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？6.如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=10cm ，BC=6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒． （1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20cm 2？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．7.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2()0,a b -≥20,2,a ab b a b ab ∴-+≥∴+≥a b =只有当时，等号成立。

中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础； (2)认识综合题的结构是解综合题的前提； (3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键； (4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心． * 审题(读题、断句、找关键)； * 先宏观(题型、知识块、方法)； 后微观(具体条件，具体定理、公式) * 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合； * 观察——挖掘题目结构特征； 联想——联系相关知识网络； 突破——抓往关键实现突破； 寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、方程与不等式综合1．已知方程组2323,342 1.x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩的解满足0,0.x y >⎧⎨<⎩求a 的取值范围．【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．【答案与解析】解：23233421x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩①②①×3－②×2得：y ＝13a －4 ①×4－②×3得：x ＝18a －5 由题意令x ＞0，y ＞0得：1850,1340.a a ->⎧⎨-<⎩∴541813a <<. 【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．2．m 为何值时，222(2)21x m x m m --+++是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解． 【答案与解析】解：解法1：待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x 2-2(m-2)x+m 2-4m+4 所以m 2+2m+l ＝m 2-4m+4，12m =； 解法2：配方法原式＝22222(2)(2)(2)21x m x m m m m --+---+++． ＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，12m =； 解法3：判别式法因为是完全平方式，所以方程222(2)210x m x m m --+++=有两等根， △＝[-2(m-2)]2－4(m 2+2m+1)＝0，12m =； 解法4：因为是完全平方式，所以令222(2)21y x m x m m =--+++，所以抛物线顶点在x 轴上，2404ac b a-=， 224(21)4(2)04m m m ++--=，630m -=，12m =．【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的．类型二、方程与函数综合3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：(1)分别写出1l ，2l 中变量y 随x 变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．【答案与解析】解：(1)1:l y 的值随x 的增大而增大； 2:l y 的值随x 的增大而减小．(2)设直线1l ，2l 的函数表达式分别为11y a x b =+，22y a x b =+， 由题意得11111a b b +=⎧⎨=-⎩，2222130a b a b +=⎧⎨+=⎩．解得：1121a b =⎧⎨=-⎩，221232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线1l ，2l 的函数表达式分别为21y x =-，1322y x =-+． ∴所求的方程组为211322y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩．【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想．举一反三：【变式】已知：如图，平行于x 轴的直线y ＝a(a ≠0)与函数y ＝x 和函数xy 1=的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P(2，0)．(1)若a ＞0，且91tan =∠POB ，求线段AB 的长； (2)在过A ，B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中，已知线段38=AB ，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式； (3)已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离． 【答案】解：（1）设第一象限内的点B （m,n ），则1tan 9n POB m ∠==，得m=9n ，又点B 在函数1y x=的图象上，得1n=，所以m=3（－3舍去），点B 为1(3,)，B （1,a a），则183AB a a =-=,所以03832=-+a a ，解得 313=-=a a 或 .当a =－3时，点A （―3，―3），B 1(,3)3--，因为顶点在y = x 上，所以顶点为55(,)33--，所以可设二次函数为255()33y k x =+-，点A 代入，解得34k =-, 所以所求函数解析式为2355()433y x =-+- .同理，当13a =时，所求函数解析式为2355()433y x =--+；（3）设A （a , a ），B （1,a a），由条件可知抛物线的对称轴为122a x a =+ .设所求二次函数解析式为：91(2)()25y x x a a ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦. 点A(a,a)代入，解得31=a ，1362=a ，所以点P 到直线AB 的距离为3或613 [4．（门头沟区期末）已知：关于x 的方程mx 2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m 为正整数，求m 的值；（3）在（2）的条件下，令y=mx 2+（3m+1）x+3，如果当x 1=a 与x 2=a+n （n ≠0）时有y 1=y 2，求代数式4a 2+12an+5n 2+16n+8的值． 【思路点拨】（1）注意对m 的取值进行分类讨论：即当m=0和m ≠0时；（2）先解方程，由于方程有两个不同的整数根，且m 为正整数，得m 的值；（3）由（2）得函数解析式，利用函数的对称性，得a 与n 的关系，然后再利用整体代入的方法计算． 【答案与解析】（1）证明：当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=﹣3； 当m ≠0时，∵△=（3m+1）2﹣12m=9m 2﹣6m+1=（3m ﹣1）2．∵（3m ﹣1）2≥0，∴不论m 为任何实数时总有两个实数根，综上所述，不论m 为任何实数时，方程 mx 2+（3m+1）x+3=0总有实数根； （2）解：当m ≠0时，解方程mx 2+（3m+1）x+3=0得 x 1=﹣3，x 2=，∵方程mx 2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m 为正整数， ∴m=1；（3）解：∵m=1，y=mx 2+（3m+1）x+3，∴y=x 2+4x+3，又∵当x 1=a 与x 2=a+n （n ≠0）时有y 1=y 2，∴当x 1=a 时，y 1=a 2+4a+3，当x 2=a+n 时，y 2=（a+n ）2+4（a+n ）+3， ∴a 2+4a+3=（a+n ）2+4（a+n ）+3，化简得 2an+n 2+4n=0， 即 n （2a+n+4）=0， 又∵n ≠0， ∴2a=﹣n ﹣4，∴4a 2+12an+5n 2+16n+8=（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8=24．【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝，求m的值和此时方程的两根．【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根.（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1.∵|x1－x2|＝∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8.∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0.解得：m1=－3，m2=1.当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1，x2=.当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－，x2=－2.类型三、以代数为主的综合题5．（2017•曲靖一模）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+bx+c 过A（1，0），B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是以BN 为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．【答案与解析】解：（1）由题意点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，把点点B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x=2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，线段MN取最大值，最大值为．（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．当m=时，点N的坐标为（，），∴PB==，PN=，BN==．△PBN 为等腰三角形分三种情况： ①当PB=BN 时，即=，解得：n=±，此时点P 的坐标为（2，﹣）或（2，）； ②当PN=BN 时，即=，解得：n=，此时点P 的坐标为（2，）或（2，）．综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P ，使△PBN 是等腰三角形， 点P 的坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，）或（2，）．【总结升华】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质. 举一反三：【变式】如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．【答案】解：（1）根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=.0405,)1(4)1(022c a c a解得 ⎩⎨⎧-==.5,1c a∴二次函数的表达式为542--=x x y ．（2）令y =0，得二次函数542--=x x y 的图象与x 轴的另一个交点坐标C （5, 0）. 由于P 是对称轴2=x 上一点，连结AB ，由于2622=+=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC .因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点. 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得⎩⎨⎧+=-=.50,5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5,1b k所以直线BC 的解析式为5-=x y因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组⎩⎨⎧-==5,2x y x 的解，解得⎩⎨⎧-==.3,2y x所求的点P 的坐标为（2，-3）.。

专题：代数函数综合题一、题型说明及解题方法代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等．解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的．二、典型例题剖析【例1】已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1) x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．【例2】已知关于x的一元二次方程（k+4）x2＋3x+k2－3k－4=0的一个根为0，求k的值．【例3】已对方程 2x2 +3x－l＝0．求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．【例4】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：⑴在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立y与x的恰当函数模型。

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【例5】一次函数y=kx+b 和反比例函数y=2k x的图象相交于点P(n －l ，n ＋l ），点Q(0,a ）在函数y=k 1x+b 的图象上，且m 、n 是关于x 的方程2(31)2(1)0ax a x a -+++=的两个不相等的整数根．其中a 为整数，求一次函数和反比例函数的解析式．三、综合巩固练习：1、某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值1990年为8．6亿元人民币，1995年为10．4亿元人民币，2000年为12．9亿元人民币，经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系预测2005年该市国内生产总值将达到多少？2．二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图2－3－1所示。

【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合问题【中考展望】几何综合题是中考试卷中常有的题型，大概可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考察学生综合运用几何知识的能力.这种题型在近几年全国各地中考试卷中据有相当的重量，不单有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综共计算题,还有更侧重考察学生剖析问题和解决问题能力的研究性的问题、方案设计的问题等等.主要特色是图形较复杂，覆盖面广、波及的知识点许多，题设和结论之间的关系较隐蔽，经常需要增添协助线来解答.几何综合题的体现形式多样，如折叠种类、研究型、开放型、运动型、情形型等，背景鲜活，拥有适用性和创建性，考察方式侧重于考察考生剖析问题、研究问题、综合应用数学知识解决实质问题的能力.以几何为主的综合题经常在必定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数目关系（包含相等、和、差、倍、分及比率关系等）；2、证明图形的地点关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的地点关系等）；3、几何计算问题；4、动向几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，经常波及到以下各部分的知识：1、与三角形相关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相像三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形相关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注企图形的直观提示，注意察看、剖析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，经过增添协助线补全或结构基本图形；1/33【北师大版 2020中考数学专项复习】：几何综合题2、注意剖析发掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创建条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不停转变条件和结论来研究思路，找到解决问题的打破点；3、要运用转变的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵巧运用数学思想方法如数形联合、分类议论、转变、方程等思想来解决问题.【典型例题】种类一、动向几何型问题1．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EFBD 交BC 于F ，连结DF ，G为DF 中点，连结EG ，CG ．（1）直接写出线段 EG 与CG 的数目关系；（2）将图1中BEF 绕B 点逆时针旋转45，如图2所示，取DF 中点G ，连结EG ，CG ，你在（1）中获取的结论能否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中 BEF 绕B 点旋转随意角度，如图 3所示，再连结相应的线段，问（ 1）中的结论能否仍然成立？（不要求证明）A D A D A D GF GEEEFBCBCBCF图2图3图1【思路点拨】本题的中心条件就是 G 是中点，中点常常示意好多的全等关系，怎样建立一对我们想要的全等三角形就成为了剖析的重点所在 .连结AG 以后，抛开其余条件，单看 G 点所在的四边形 ADFE ，我们 会发现这是一个梯形，于是依据我们在第一讲专题中所议论的方法，自然想到过 G 点做AD,EF 的垂线. 于是两个全等的三角形出现了 .第三问在△BEF 的旋转过程中，一直不变的依旧是 G 点是FD 的中点.能够延伸一倍 EG 到H ，进而结构一 个和EFG 全等的三角形，利用 BE=EF 这一条件将全等过渡 .要想方法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三 角形，就需要证明三角形 EBC 和三角形 CGH 全等，利用角度变换关系就能够得证了 .【答案与分析】2/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题（1）CGEG（2）（1）中结论没有发生变化，即 CGEG ．证明：连结AG ，过G 点作MN AD 于M ，与EF 的延伸线交于N 点．在 DAG 与DCG 中，∵ADCD ，ADG CDG ，DGDG ，∴ DAG ≌DCG ．∴ AGCG ．在DMG 与FNG 中，∵DGM F GN ，FG DG ，MDG NFG ，DMG ≌FNG ．MGNG在矩形AENM 中，AMEN在RtAMG 与RtENG 中，∵AMEN ，MG NG ，AMG ≌ENG ．AGEG ．EGCGA MD GEFNB C 图2（ 3）（1）中的结论仍旧成立．3/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题A DGFEB C图3【总结升华】本题是一道典型的从特别到一般的图形旋转题.从旋转45°到旋转随意角度，要求议论其中的不变关系.贯通融会：【变式】已知：如图（1），射线AM//射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN 上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中一直保持DE EC，且AD DE AB a．（1）求证：ADE∽BEC；（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD BC CD；（3）设AE m，请研究：BEC的周长能否与m值相关？若相关，请用含有m的代数式表示BEC的周长；若没关，请说明原因．【答案】（1）证明：∵DE EC，∴DEC 90．∴AED BEC 90．又∵A B 90，∴AED EDA 90．∴BEC EDA．∴ ADE∽BEC．（2）证明：如图，过点E作EF//BC，交CD于点F，4/331∵E是AB的中点，简单证明EF(AD BC)．2在RtDEC中，∵DF CF，∴EF1CD．2∴1(ADBC)1CD．22ADBCCD．（3）解：AED的周长AE AD DEam，BEa m．设AD x，则DE a x．∵A90，∴DE2AE2AD2．即a22axx2m2x2．x a2m2．2a由（1）知ADE∽BEC，a2m2∴ADE的周长AD2a amBEC的周长BE a m ．2a∴BEC的周长2a2a．ADE的周长mBEC的周长与m值没关．2．在△ABC中，∠ACB=45o．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一5/33边且在AD的右边作正方形ADEF．1）假如AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的地点关系，并证明你的结论．2）假如AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论能否成立，为何？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线订交于点P，设AC＝42，BC3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）【思路点拨】(1)由题干能够发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传达，就能够得解.是典型的从特别到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中修建一个特别的条件就行，和上题同样找AC的垂线，就能够变为第一问的条件，而后同样求解.(3)D在BC之间运动和它在BC延伸线上运动时的地点是不同样的，因此已给的线段长度就需要分状况去考虑究竟是4+X仍是4-X.分类议论以后利用相像三角形的比率关系即可求出CP.【答案与分析】（1）结论：CF⊥BD；证明以下：AB=AC，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o．由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90o，∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD．（2）CF⊥BD．(1)中结论仍成立．原因是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD6/333）过点A作AQ⊥BC交CB的延伸线于点Q，①点D在线段BC上运动时，∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，易证△AQD∽△DCP，∴CPCD，∴CPx，DQ AQ4x4CPx2x．4∴∴∴∴∴∴∴∴∴②点D在线段BC延伸线上运动时，∴∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．∴过A作AQ⊥BC，∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC，∴则△AQD∽△ACF．∴CF⊥BD，∴∴△AQD∽△DCP，CPCD,∴CPx,DQAQ4+x47/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题CP x2x．4【总结升华】本题综合性强，需要综合运用全等、相像、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．（3．已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连结AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．1）当BE=1时，CF=______cm，（CE（2）当BE=2时，求sin∠DAB′的值；CE（3）当BE=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与xCE的关系式，（只需写出结论，不要解题过程）．【思路点拨】动向问题未必只有点的平移、图形的旋转，翻折（即轴对称）也是一大热门.(1)给出比率为1，(2)比率为2，(3)比率随意，因此也是一道很显然的从一般到特别的递进式题目.需要认真掌握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化.一般说来，翻折中，角，边都是不变的，因此轴对称图形也意味着大批全等或许相像关系，因此要利用这些来获取线段之间的比率关系.特别要注意的是，本题中给定的比率都是有两种状况的，E在BC上和E在延伸线上都是可能的，因此需要分类议论，不要遗漏.【答案与分析】1）CF=6cm；（2）①如图1，当点E在BC上时，延伸AB′交DC于点M，图18/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴BE AB．∵CE FC∵BE=2，∴CF=3．CEAB∥CF，∴∠BAE=∠F．又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F．∴MA=MF．设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．在Rt△ADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62，解得k=MA=13．∴DM=5．22∴sin∠DAB′=DM5；AM13②如图2，当点E在BC延伸线上时，延伸AD交B′E于点N，图29/33同①可得 NA=NE ．设NA=NE=m ，则B ′N=12-m ．在Rt △AB ′N 中，由勾股定理，得m 2=(12-m)2+62，解得m=AN=15．∴B ′N=9．22∴sin ∠DAB ′=BN3． AN5（ 3）①当点E 在BC 上时，y=18x；1②当点E 在BC 延伸线上时，y=18x 18．x【总结升华】动向几何问题中间有点动，线动，以致整体图形动几种可能的方式，动向几何问题常常作为压轴题出现 ,因此难度不问可知 ,可是拿到题后不要慌乱 ,由于不论是题目以哪一种形式出现，一直掌握 的都是在变化过程中那些不变的量 .只需一个个将条件抽出来 ,将大问题化成若干个小问题去解决 ,就很 轻松了.种类二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD中， AD ∥BC ，AD2，BC 4， M是 AD的中点， △MBC是点等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段 BC 和MC 上运动，且∠MPQ 60保持不变．设 PC x ，MQ y ，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断 △PQC 的形状，并说明原因．【思路点拨】（ 1）属于纯静态问题，只需证两边的三角形全等就能够了.(2)是双动点问题，因此就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的 .题目给定∠MPQ=60°，其实就10/33是将静态的那个等边三角形与动向条件联系了起来.由于最后求两条线段的关系,因此很自然想到要通过相像三角形找比率关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就能够求出当x取对称轴的值时y有最小值，接下来就变为了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与分析】（1）证明：∵△MBC是等边三角形MBMC，∠MBC∠MCB60M是AD中点∴AMMDAD∥BC∴∠AMB∠MBC60，DMC∠MCB60∴△AMB≌△DMCABDC∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）解：在等边△MBC中，MB MC BC 4，∠MBC∠MCB60，∠MPQ60∴∠BMP∠BPM∠BPM∠QPC120∴∠BMP∠QPC∴△BMP∽△CQP∴PC CQBM BP∵PC x，MQ y∴BP 4 x，QC 4 y∴x4y∴y1x2x444x411/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题（3）解：△PQC为直角三角形，12∵y x 234∴当y取最小值时，x PC2∴P是BC的中点，MP BC，而∠MPQ60，∴∠CPQ 30，∴∠PQC 90∴△PQC为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的重点就在于当动点挪动中出现特别条件，比如某边相等，某角固准时，将动向问题化为静态问题去求解.假如没有特别条件，那么就需要研究在动点挪动中哪些条件是保持不变的.贯通融会：【高清讲堂：几何综合问题例3】【变式】已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是MN上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE订交于点P，DE与AG订交于点Q．（1）四边形EPGQ（填“是”或许“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值.12/33【答案】（1）是．证明：连结OB，如图①，BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，13/33∵口EPGQ是矩形．∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE，∴AD AE，BE BC设OA=x，AB=y，则x:y y:x222得y2=2x2，222222又∵OA+AB=OB，即x+y=1．x2+2x2=1，解得：x=3．3即当四边形EPGQ是矩形时，OA的长度为3．35．在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90获取线段EF(如图1)（1）在图1中绘图研究：①当P为射线CD上随意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90获取线段EC1.判断直线FC1与直线CD的地点关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延伸线上随意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90获取线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的地点关系，画出图形并直接写出你的结论.14/33【北师大版 2020中考数学专项复习】：几何综合题4 （2）若AD=6,tanB=3,AE=1,在①的条件下，设 CP 1=x ，S P 1FC 1=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.图1 备用图【思路点拨】 (1)本题在于怎样掌握这个旋转 90°的条件.旋转 90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就易如反掌了 .(2)是利用平行关系成立函数式，可是不要忘掉分类议论.【答案与分析】（ 1）①直线FG 1与直线CD 的地点关系为相互垂直．证明：如图1，设直线FG 1与直线CD 的交点为H ．G 1FG 2P 1AHEDB CP 2 图1∵线段EC 、EP 1分别绕点E 逆时针旋转90°挨次获取线段 EF 、EG 1，∴PEGCEF 90°，EG EP ，EFEC ．1111∵G 1EF90 °1，1°1，PEF PEC90 PEF∴GEFPEC ．1115/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题∴△GEF≌△PEC．11∴GFE PCE．11EC⊥CD，∴PCE90°，1G1FE90°．EFH90°．FHC90°．FG1⊥CD．②按题目要求所绘图形见图1，直线G1G2与直线CD的地点关系为相互垂直．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，BADC．∵AD6，AE1，tanB4，3∴DE5，tanEBCtanB4．3可得CE 4．由（1）可得四边形EFCH为正方形．CHCE4．①如图2，当P1点在线段CH的延伸线上时，16/33G1FAP1 HE DB C图2∵FG1CP1x，PH1x4，∴S△PFG1FG1PH1x(x4)．1122∴y1x22x(x4)．2②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，G1FAEDP1B C图3H∵FG1CP1x，PH1x4，∴S△PFG 1FG1PH1x(4x)．1122∴y1x22x(0x4)．2③当P点与H点重合时，即x4时，△PFG1不存在．1117/33综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y1x22x(x4)或2y1x22x(0x4)．2【总结升华】本题侧重考察了二次函数的分析式、图形的旋转变换、三角形全等、研究垂直的组成状况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考察学生疏类议论，数形联合的数学思想方法．贯通融会：【变式】已知，点P是∠MON的均分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．1）利用图1，求证：PA=PB；2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且知足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【答案】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，∴∠EPA=∠FPB，由角均分线的性质，得PE=PF，∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；18/332）∵S △POB =3S △PCB ，∴PO=3PC ，由（1）可知△PAB 为等腰三角形，则∠PBC=1（180°-∠APB ）=1∠MON=∠BOP ，∴ 2 2∴ 又∵∠BPC=∠OPB （公共角）， ∴∴△PBC ∽△POB ，∴PBPC ，PO PB22即PB=PO?PC=3PC ， ∴PB3PC3）作BH ⊥OT ，垂足为H ，当∠MON=60°时，∠APB=120°，1由PA=PB ，得∠PBA=∠PAB=（180°-∠APB ）=30°，2又∵∠PBD=∠ABO ，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，1∴∠ABO= （180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，2在△OBP 中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt △OBH 中，BH=1 ，OB=1，OH=32在Rt △PBH 中，PH=BH=1，∴OP=OH+PH=3+1．中考冲刺：几何综合问题—稳固练习（提升）【稳固练习】一、选择题19/33如图，直角三角板ABC的斜边AB=12cm，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板A′B′C′的地点后，再沿CB方向向左平移，使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A′B′C′平移的距离为（）A.6cmB.4cmC. 6 23cmD.43 6cm如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则正确反应y与x之间对应关系的图象是（）A B C D二、填空题3.如图，将两块直角三角板的斜边重合，E是两直角三角形公共斜边AC的中点．D、B分别为直角极点，连结DE、BE、DB，∠DAC=60°，∠BAC=45°．则∠EDB的度数为_______．如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻腾，使它转动到△A″B″C″的地点，若BC=1cm，AC=3cm，则极点A运动到A″时，点A所经过的路径是_________20/33cm．三、解答题5.如图，在正方形A BCD中，对角线AC与BD订交于点E，AF均分∠BAC，交BD于点F.1（1）EF+AC=AB；2（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延伸线运动，点C1与点A1运动速度同样，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动.如图，AF1均分∠BA1C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，试猜想F1E1，1A1C1与AB之间的数目关系，2并证明你的猜想.（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长.21/33如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC的边运动，当Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒，点P运动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S对于t的函数分析式.7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=3，求证：AE∥BF；（2）如图2，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的长．将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放，连DF．（1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，连DF、CG订交于M，则DF=_______，CG22/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题∠DMC=；（2）如图3，将图1中的正方形B EFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延伸线交CG于M，尝试究DF与CG∠DMC的值，并证明你的结论；3）若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），则∠DMC=．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．DF=_______，CG9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图（1）当C、A、D在同向来线上时，连CE、BD，判断CE和BD地点关系，填空：CE_____BD．（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到以下图的地点，试问（1）中的结论能否仍旧成立，写出你的结论，并说明原因．（3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到以下图的△AC′E′的地点，连结BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延伸AN交DC′于点M．求DM的值．DC23/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点，（1）连结MD、MF，则简单发现MD、MF间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延伸线上（CG＞BC），取线段AE的中点M，研究线段MD、MF的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF绕点C旋转随意角度后（如图3），其余条件不变，（2）中的结论能否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.FDFE A D A FAMMDMEB C CBB G 图3EC图2图1GG24/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题【答案与分析】一、选择题【答案】C.【答案】B.二、填空题3.【答案】15°.4.5.【答案】8+33.6三、解答题【答案与分析】（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E．∴AE=1°，AC，∠ABD=∠CBD=452∵AF均分∠BAC，∴EF=MF，又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，MB=EF，∴EF+1．AC=MB+AE=MB+AM=AB225/33【北师大版 2020中考数学专项复习】：几何综合题（ 2）E 1F 1，121A 1C 1与AB 三者之间的数目关系：E 1F 1+A 1C 1=AB2证明：如图 2，连结F 1C 1，过点F 1作F 1P ⊥A 1B 于点P ，F 1Q ⊥BC 于点Q ，A 1F 1均分∠BA 1C 1，∴E 1F 1=PF 1；同理QF 1=PF 1，∴E 1F 1=PF 1=QF 1，又∵A 1F 1=A 1F 1，∴Rt △A 1E 1F 1≌Rt △A 1PF 1， ∴A 1E 1=A 1P ，同理Rt △QF 1C 1≌Rt △E 1F 1C 1， C 1Q=C 1E 1，由题意：A 1A=C 1C ，A 1B+BC 1=AB+A 1A+BC-C 1C=AB+BC=2AB ，∵PB=PF 1=QF 1=QB ，A 1B+BC 1=A 1P+PB+QB+C 1Q=A 1P+C 1Q+2E 1F 1，即2AB=A 1E 1+C 1E 1+2E 1F 1=A 1C 1+2E 1F 1，1∴E 1F 1+A 1C 1=AB ．23）解：设PB=x ，则QB=x ， A 1E 1=3，QC 1=C 1E 1=2，Rt △A 1BC 1中，A 1B 2+BC 12=A 1C 12， 即（3+x ）2+（2+x ）2=52， x 1=1，x 2=-6（舍去）， PB=1， E 1F 1=1，又∵A 1C 1=5，由（2）的结论：E 1F 1+1 A 1C 1=AB ，2∴AB=7，27 2．∴BD=2【答案与分析】当P 运动到C 点时：t=6 当Q 运动到A 点：t=∴分两种状况议论(1)当0≤t ≤6时，如图：26/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形此时AP=t，BQ=t，则AQ=-tPH=APsin45°=t∴S△AQP=AQ·PH= ·(-t)·tt2+3t(2)当6＜t≤时，如图：过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形AC+CP=t，BQ=tBP=AC+CB-(AC+CP)=12-tPH=BPsin45°=(12-t)∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQAC·BC-BQ·PH= ·6·6-·t·(12-t)27/33=18-t+t2=t2-t+18.综上，.【答案与分析】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC在△BFC中，BF2+FC2=12+(3)2=4，BC2=22=4BF2+FC2=BC2∴∠BFC=90°（3分）∴∠AEB+∠EBF=180°AE∥BF（4分）（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得AC=AB2 BC2=22．AF：FC=3：1，∴AF=3AC=32，FC=1AC=24242∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，AE=CF=2，2∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90°∴∠BAC+∠ACB=90°∴∠EAB+∠BAC=90°即∠EAF=90°在Rt△EAF中，EF=AE2AF2=5，28/33在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2 BE=BF∴BF= 2EF=10．2【答案与分析】（1）如图2，连结BF ，∵四边形 ABCD 、四边形 BEFG 是正方形， ∴∠FBC=∠CBD=45°， ∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=2BG ，BD=2BC ，∴△BFD ∽△BGC ，∴∠BCG=∠BDF ，DF =BFCG BG而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°， ∴DF = 2，∠DMC=45°；CG（2）如图3，∵将图1中的正方形 BEFG 绕B 点顺时针旋转 45°，DF 的延伸线交CG 于M ，∴B 、E 、D 三点在同一条直线上，29/33而四边形 ABCD 、四边形 BEFG 是正方形，∴ ∴∠CBD=∠GBC=45°，BF=2BG ，BD=2BC ， ∴∴△BFD ∽△BGC ， DF =2，∠BCG=∠BDF （ CG（ 而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF（ =180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°（ =45°，（ 即∠DMC=45°；3）DF=2，∠DMC=45°,图略.CG9．【答案与分析】（ 1）CE ⊥BD ． （2）延伸CE 交BD 于M ，设AB 与EM 交于点F ．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAE=∠BAD ．又∵△ABC ≌△ADE ，AC=AE ，AB=AD ，1800 CAE 1800 BAD ∴∠ACE=2 ，∠ABD= ，2 ∴∠ACE=∠ABD ．又∵∠AFC=∠BFM ，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，CE ⊥BD ．（3）过C ′作C ′G ⊥AM 于G ，过D 作DH ⊥AM 交延伸线于点 H ．30/33∵∠∠E′NA=∠AGC′=90°，∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，∴∠NE′A=∠C′AG，AE′=AC′∴△ANE′≌△C′GA（AAS），AN=C′G．同理可证△BNA≌△AHD，AN=DH．C′G=DH．在△C′GM与△DHM中，C′GM=∠DHM=90°，∠C′MG=∠DMH，C′G=DH，∴△C′GM≌△DHM，∴C′M=DM，∴DM1．DC210．【答案与分析】如图1，延伸DM交FE于N，∵图1∵∵正方形ABCD、CGEF，∵CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∵∴∠1=∠2，∵又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN，∵MD=MN，AD=EN．AD=DC，31/33DC=NE．又∵FC=FE，FD=FN．又∵∠DFN=90°，FM⊥MD，MF=MD；（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延伸DM交CE于N，连结FD、FN．∵正方形ABCD，AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，AD=EN，MD=MN．∵AD=DC，DC=NE．又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，MD=MF，MD⊥MF；（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延伸线于N、H，连结DF、FN．32/33∴∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∴∠3=∠4．∴AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF，∴∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．∴FC=FE，∴∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∴∠DFN=90°．FM⊥MD，MF=MD．33/33。

代数与几何综合题代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。

经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。

解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。

第一类：与反比例函数相关1．（09北京）如图，点C 为⊙O 直径AB 上一点，过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥ 于点G ． 当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列 图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a am ax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，则m 的值为 ．3．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数a b ，，2(0a b -≥，0a b ∴-≥，a b ∴+≥a b =时，等号成立．A B C结论：在a b +≥a b ，均为正实数）中，若ab 为定值p，则a b +≥， 只有当a b =时，a b +有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： （1） 若0m >，只有当m = 时，1m m+有最小值 ． （2） 探索应用：已知(30)A -，，(04)B -，，点P 为双曲线12(0)y x x=>上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，轴于y PD ⊥D ． 求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时 四边形ABCD 的形状．4．（08南通）已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x=于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值． （2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．5．（09.5西城）已知：反比例函数2y x =和8y x= 在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x =的图象上，AB ∥y 轴，与2y x=的图象交于点B ，AC 、BD 与x 轴平行，分别与2y x =、8y x=的图象交于点C 、D . （1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；（2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小；（第3题）（第4题）（3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标.答案：（1） 点F 的坐标为17(2,)5.（2）OBC ABC S S ∆∆>. （3）点A 的坐标为(2,4)6．（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数my x=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标； （2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式． 答案：（1）点B 的坐标为 433⎛⎫ ⎪⎝⎭，； （2）DC AB ∴∥． （3）所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+二、与三角形相关7．（07北京）在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线 y = mx 2 + 23mx + n 经过P (3, 5), A (0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;(2) 设抛物线的顶点为B , 将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l , 直线l 与抛物线的对称轴交于C 点, 求直线l 的解析式;(3) 在(2)的条件下, 求到直线OB , OC , BC 距离相等的点的坐标． 答案：(1)抛物线的解析式为: y =x x 332312++ 2(2)直线 l 的解析式为 y =33x (3) 到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为: M 1(-332, 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3(0, -2)、M 4 (-23, 0).8． (08北京)平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 + bx + c 与x 轴交于A , B 两点(点A 在点B 的左侧), 与y 轴交于点C , 点B 的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B , C 两点. (1) 求直线BC 及抛物线的解析式;(2) 设抛物线的顶点为D , 点P 在抛物线的对称轴上, 且∠APD =∠ACB , 求点P 的坐标; (3) 连结CD , 求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数.答案：(1) 直线BC 的解析式为 y = -x + 3. 抛物线的解析式为 y = x 2 - 4x + 3.(2)点P 的坐标为 (2, 2) 或 (2, -2).(3) ∠OCA 与∠OCD 两角和的度数为45︒. 9．（10.6密云） 已知：如图，抛物线222(0)y x mx m m =-++>与x轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线 上一动点（点C 与点A 、B 不重合），D 是OC 中点，连结BD 并延长，交AC 于点E ．（1）求A 、B 两点的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）求CEAE的值； （3）当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且85CEDS =时， 求抛物线和直线BE 的解析式．答案：（1）A （m -，0），B （2m ，0）． （2）23CE AE =． （3）抛物线的解析式为 228y x x =-++．直线BE 的解析式为 41633y x =-+ 10．（崇文09）如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由； （III ）直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值． 答案： （I ）322--=∴x x y（II ）)31,0(1P )0,9(2P ，)0,0(3P（III ）︒=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．11. (11.6东城) 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q两点的坐标．答案：（1）224233y x x =-++． （2）由224233y x x =-++＝228(1)33x --+． CF ＝FM ＋CM＝73． （3）点P 的坐标为（1，23）三、与面积有相关12．（11.6通县）已知如图，ABC ∆中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，抛物线254y ax ax =-+经过ABC ∆的三个顶点， （1）求出该抛物线的解析式；（2）若直线7+=kx y 将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式.（3）若直线b kx y +=将四边形ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定b kx y +=中k 的取值范围.13．（11.6顺义）已知，如图，抛物线24(0)y ax bx a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A B ，，点A 的坐标为(40)-，，对称轴是1x =-． （1）求该抛物线的解析式；（2）点M 是线段AB 上的动点，过点M 作MN ∥AC ，分别交y 轴、BC 于点P 、N ，连接CM ．当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标； （3）在（2）的条件下，求CPNABCS S ∆∆的值. 四、与最值相关14．（09石景山）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC ，O 为坐标原点，A 点坐标为（10，0），C 点坐标为（0，6），D 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合）．如图②,将△COD 沿OD 翻折，得到△FOD ；再在AB 边上选取适当的点E ，将△BDE 沿DE 翻折，得到△GDE ，并使直线DG ，DF 重合．（1）图①中，若△COD 翻折后点F 落在OA 边上，求直线DE 的解析式．（2）设（1）中所求直线DE 与x 轴交于点M ，请你猜想过点M 、C 且关于y 轴对称的抛物线与直线DE 的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想． （3）图②中，设E （10，b ），求b 的最小值．答案：（1）直线DE 的解析式：y =-x +12（2）直线DE :y =-x +12与抛物线:21624y x =-+只有一个公共点 （3）b 2111(5)66m =-+ 115,6m b ∴==最小值当15．已知抛物线22y ax bx =++的图像经过点A 和点B ． （1）求该抛物线的解析式；(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下图① 图②平移多少个单位能使抛物线与直线AB 只有一个交点? 求出此时抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线向右平移52个单位，再向下平移t 个单位（t >0），此时，抛物线与x 轴交于M 、N 两点，直线AB 与y 轴交于点P ，当t 为何值时，过M 、N 、P 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？答案：（1）抛物线的解析式为232y x x =-+.(2) 析式为21()2y x =-（３）当5t =时，过M 、N 、P 三点的圆的面积最小，最小面积为9π16．（09海淀）如图13，在平面直角坐标系xOy 中，直线233+-=x y 分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°得到射线AN .点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1） 求线段AC 的长；（2） 当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积； （3） 求△BCD 周长的最小值；（4） 当△BCD 的周长取得最小值，且BD 时,△BCD 的面积为 . 答案：（1） AC =4.（2）当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，S △BCD = 23-2. （3）∴△BCD 的周长的最小值为42. （4）43.五、与四边形及圆相关17．(12.1年西城)已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ； （2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时， ① 求此抛物线W 的解析式；②若点Q在直线1y=-上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．答案：（1）中的m．（2）2DOF x DE=+=（3）符合题意的点Q的坐标是1(0,0)Q，219)Q．18.（12.年1石景山）如图，矩形'''OBCA是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的．其中点CO,'在x轴负半轴上，线段OA在y轴正半轴上，B点的坐标为()3,1-．（1）如果二次函数()02≠++=acbxaxy的图象经过'OO、两点且图象顶点M的纵坐标为1-．求这个二次函数的解析式；（2）求边''AO所在直线的解析式；（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得DCOMPOSS''3∆∆=,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．答案：（1）xxy22+=（2）3834+=xy（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-217721731，P，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2177217-32，P．19．（12.1怀柔）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，x1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.答案：（1）抛物线为2211(4)1244y x x x =--=-+ (2) 答：l 与⊙C 相交.（3）PAC ∆的面积最大为274. 此时，P 点的坐标为（3，34-）.20．（11.6朝阳）在△ABC 中，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，以DE 为折线，将△ADE 翻折，设所得的△A’DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积为y. (1)如图(甲)，若∠C=90°，AB=10，BC=6，31=AB AD ，则y 的值为 ； (2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D 为AB 中点，则y 的值为 ； (3)若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x. ①求y 与x 的函数解析式；②y 是否有最大值，若有，求出y 的最大值；若没有，请说明理由.A 图(甲) 图(乙) 备用图答案：（1）38. （2）12.（3）''DA E MA Ny S S∆∆=-292010103x⎛⎫=--+⎪⎝⎭．当203x=时，y值最大，最大值是10．。

中考总复习：代几综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.【思路点拨】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BGM，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，即CE的长度．【答案与解析】解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，∴∠AMB=90°，∵AD∥CB，∠DCB=90°，∴∠D=90°，∴∠AMB=∠DCB=∠D=90°，∴四边形BCDM为矩形．∵BC=CD，∴四边形BCDM是正方形，∴BC=BM，且∠ECB=∠GMB，MG=CE，∴Rt△BEC≌Rt△BGM．∴BG=BE，∠CBE=∠GBM，∵∠CBE+∠EBA+∠ABM=90°，且∠ABE=45°∴∠CBE+∠ABM=45°∴∠ABM+∠GBM=45°∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10．设CE=x，则AM=10-x，AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=（x+2）2+（12-x）2，即x2-10x+24=0；解得：x1=4，x2=6．故CE的长为4或6．【总结升华】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ABE≌△ABG，从而说明AG=AE=10是解题的关键．类型二、函数与几何问题2．如图，二次函数y =（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．【思路点拨】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．【答案与解析】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=－1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1． 当x=0时，y=4-1=3， 故C 点坐标为（0，3），由于C 和B 关于对称轴对称，在设B 点坐标为（x ，3）， 令y=3，有（x-2）2-1=3，解得 x=4或x=0．则B 点坐标为（4，3）．设一次函数解析式为y=kx+b ，将A （1，0）、B （4，3）代入y=kx+b 中，得，解得，则一次函数解析式为y=x-1； （2）∵A 、B 坐标为（1，0），（4，3），∴当kx+b≥（x-2）2+m 时，1≤x≤4．【总结升华】本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求出B 点坐标是解题的关键．举一反三：【变式】如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（－1，0），点C （0，5）、D （1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB 的面积．2(0)y ax bx c a =++≠【答案】解：(1)设抛物线的解析式为，根据题意，得， 解之，得． ∴所求抛物线的解析式为．（2）∵C 点的坐标为（0，5）．∴OC ＝5．令，则，解得．∴B 点坐标为（5，0）．∴OB ＝5．∵，∴顶点M 坐标为（2，9）．过点M 作MN ⊥AB 于点N ，则ON ＝2，MN ＝9．∴. 类型三、动态几何中的函数问题2y ax bx c =++058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩245y x x =-++0y =2450x x -++=121,5x x =-=2245(2)9y xx x =-++=--+11(59)9(52)551522MCB BNM OBC OCMN S S S S ∆∆∆=+-=+⨯⨯--⨯⨯=梯形3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）把A、B、O的坐标代入到y=ax2+bx+c得到方程组，求出方程组的解即可；（2）根据对称求出点O关于对称轴的对称点B，连接AB,根据勾股定理求出AB的长，就可得到AM+OM 的最小值.（3）①若OB∥AP，根据点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得出P的坐标；②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）求出直线BP的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可.【答案与解析】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得（3）①如图1，若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．②如图2，若OA∥BP，③如图3，若AB ∥OP ，设直线AB 的表达式为y=kx+m ，则解得综上所述，存在两点P （4，-4）或P （-4，-12）,使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．【总结升华】本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．举一反三：4202k m k m -=-+⎧⎨=+⎩，．12k m =⎧⎨=-⎩，．【变式】如图，直线与x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．【答案】434+-=x y分为三种情况：I、当∠NOM=90°时，N在y轴上，即此时t=5；II 、当∠NMO=90°时，M 、N 的横坐标相等，即t-2=3-0.6t ，解得：t=3.125， III 、∠MNO 不可能是90°，即在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，t 的值是5秒或3.125秒． 类型四、直角坐标系中的几何问题4．已知，如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC0为梯形，BC ∥A0，四个顶点坐标分别为A （4，0），B （1，4），C （0，4），O （0，O ）．一动点P 从O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C 的方向向C 运动．两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止．设其运动时间为t 秒． （1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分；（3）连接PQ ，设△PAQ 的面积为S ，探索S 与t 的函数关系式．求t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？【思路点拨】（1）设出抛物线的解析式，运用待定系数法可以直接求出抛物线的解析式．（2）根据PB 与AQ 互相平分可以得出四边形BQPA 是平行四边形，得出QB=PA 建立等量关系可以求出t 值．（3）是一道分段函数，分为Q 点在AB 上和在BC 上讨论，根据三角形的面积公式表示出S 与t 的关系式，就可以求出答案. 【答案与解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0），代入A 、B 、C 三点的坐标，得16a 4044b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩1(4).2PAQQ p Sy x =-82sin ,5Q p y t t x θ==2184(4)(4255PAQSt t t t =-=-1614(4)82t -=【总结升华】本题是一道二次函数综合题.考察了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积的求解等.类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5．一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动,即，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______.【思路点拨】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第35秒时质点所在位置的坐标． 【答案与解析】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）． 【总结升华】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间. 举一反三：x y (01)，(00)(01)(11)(10)→→→→，，，， 012 3 xy1 2 3 …【变式】如图，一粒子在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内运动，在第1秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着由点B1→C1→A1，然后按图中箭头所示方向在x轴，y轴及其平行线上运动，且每秒移动1个单位长度，求该粒子从原点运动到点P（16，44）时所需要的时间．【答案】解：设粒子从原点到达A n、B n、C n时所用的时间分别为a n、b n、c n，则有：a1=3，a2=a1+1，a3=a1+12=a1+3×4，a4=a3+1，a5=a3+20=a3+5×4，a6=a5+1，a2n-1=a2n-3+（2n-1）×4，a2n=a2n-1+1，∴a2n-1=a1+4[3+5+…+（2n-1）]=4n2-1，a2n=a2n-1+1=4n2，∴b2n-1=a2n-1-2（2n-1）=4n2-4n+1，b2n=a2n+2×2n=4n2+4n，c2n-1=b2n-1+（2n-1）=4n2-2n，c2n=a2n+2n=4n2+2n=（2n）2+2n，∴c n=n2+n，∴粒子到达（16，44）所需时间是到达点c44时所用的时间，再加上44-16=28（s），所以t=442+447+28=2008（s）．中考冲刺：代几综合问题—巩固训练（基础）【巩固练习】一、选择题1.如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中与矩形重合部分．．．．的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）2.如图，在半径为1的⊙O 中，直径AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点（C 与点A 、B 不重合），过点C 作弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，设CE=x ，AP=y ，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）二、填空题3. 将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线ｙ２的图象如图所示，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t 的值，则t ＝ ．a b Rt GEF ∥，△GEF △ABCD三、解答题5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……依次类推.（1）试写出第n层所对应的点数；（2）试写出n层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？6.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．8. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为41633y x=-+，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ 的动点除外）.（1）求出点C的坐标；（2）求S随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；10．已知：抛物线y ＝－x 2＋2x＋m-2交y 轴于点A （0，2m-7）．与直线y ＝x 交于点B 、C （B 在右、C在左）． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线OC 上有两个动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒，若△PMQ 与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m-2有公共点，求t 的取值范围．11. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A （－3,0）、B （4,0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动. （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；2BFE CFE ∠=∠55xOy 42++=bx ax y（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】Ｂ；， ∴是二次函数图象，2．【答案】 A ． 21tan tan 2x x EFG x EFG ∠=∠2tan EFG ∠二、填空题3.【答案】1或3或； 【解析】解：∵抛物线y 1=2x 2向右平移2个单位，∴抛物线y 2的函数解析式为y=2（x-2）2=2x 2-8x+8，∴抛物线y 2的对称轴为直线x=2，∵直线x=t 与直线y=x 、抛物线y 2交于点A 、B ，∴点A 的坐标为（t ，t ），点B 的坐标为（t ，2t 2-8t+8），∴AB=|2t 2-8t+8-t|=|2t 2-9t+8|，AP=|t-2|，∵△APB 是以点A 或B 为直角顶点的等腰三角形，∴|2t 2-9t+8|=|t-2|，∴2t 2-9t+8=t-2 ①【解析】∵S 正方形OBAC =OB 2=9，∴OB=AB=3，∴点A 的坐标为（3，3）∵点A 在一次函数y=kx+1的图象上，5522+5.【答案与解析】解：（1）第n层上的点数为6（n －1）（n ≥2）．（2）n 层六边形点阵的总点数为＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝1＋＝3n(n －1)＋1．（3）令3n(n －1)＋1＝169，得n ＝8.所以，它一共是有8层．6.【答案与解析】7.【答案与解析】 2)1)](1(66[--+n n解：（１）１,２；（２）探索应用：设P （ｘ，），则C （ｘ，0），D （0，）， ∴CA ＝ｘ＋３，DB=+4, ∴S 四边形ABCD =CA ×DB=(x+3) ×(+4), 化简得：S=2(x+)+12， ∵x>0, >0,∴x+≥，只有当x=时，即x=3，等号成立.∴S ≥2×6+12=24,∴S 四边形ABCD 有最小值是24.此时，P(3，4),C(3，0),D(0，4),AB=BC=CD=DA=5，∴四边形是菱形.12x 12x12x121212x9x 9x 9x 9x＜t≤5时，（如图）①在0＜t ＜41(42OP QN =⨯1(2OP QN t =1(2OP OD t =②在4＜t≤5时，对于抛物线S ＝综合以上三种情况，当t=6时，S 取得最大值，最大值是4．9.【答案与解析】解：（1）据题意可知：A （0，2），B （2，2），C （2，0）．∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 和D （4，）， 28285,225525t t t --=-=⨯当时，∴，∴，∴y=﹣x2+x+2；（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．连接AD，与对称轴的交点即为M．∵A（0，2）、D（4，），∴直线AD的解析式为：y=﹣x+2，当x=1时，y=，则M（1，）；（3）①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，AP=2t，∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，∴S=PQ2=PB2+BQ2，∴=（2﹣2t）2+t2，即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．②当S=54时，54=5t2﹣8t+4即20t2﹣32t+11=0，解得：t=，t=＞1（舍）∴P（1，2），Q（2，）．PB=1．若R点存在，分情况讨论：（i）假设R在BQ的右边，如图所示，这时QR=PB，RQ∥PB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为，即R（3，），代入y=﹣x2+x+2，左右两边相等，故这时存在R（3，）满足题意；（ii）假设R在PB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，则R（1，）代入y=﹣x2+x+2，左右两边不相等，则R不在抛物线上综上所述，存点一点R，以点P、B、Q、R为顶点的四边形只能是口PQRB．则R（3，）．此时，点R（3，）在抛物线=-x2+x+2上．10.【答案与解析】解：（1）点A（0，2m﹣7）代入y=﹣x2+2x+m﹣2，m﹣2=2m﹣7，解得：m=5故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，由，得，∴B（，2），C（﹣，﹣2）B（，2），关于抛物线对称轴x=1的对称点为B′（2﹣，2），将B′，C代入y=kx+b，得：，解得：，可得直线B'C的解析式为：，由，可得，故当F（1，6）使得∠BFE=∠CFE；（3）如图2，当t秒时，P点横坐标为﹣t，则纵坐标为﹣2t，则M（﹣2t，﹣2t）在抛物线上时，可得﹣（﹣2t） 2﹣4t+3=﹣2t，整理得出：4t2+2t﹣3=0，解得：，当P（﹣t，﹣2t）在抛物线上时，可得﹣t2﹣2t+3=﹣2t，整理得出：t2=3，解得：，舍去负值，所以若△PMQ与抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2有公共点t的取值范围是．11．【答案与解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0），B（4，0）两点，∴，解得，∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；（2）如图1，依题意知AP=t，连接DQ，∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），∴AC=5，BC=4，AB=7．∵BD=BC，∴AD=AB﹣BD=7﹣4，∵CD垂直平分PQ，∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．∵BD=BC，∴∠DCB=∠CDB．∴∠CDQ=∠DCB．∴DQ∥BC．∴△ADQ∽△ABC．∴=，∴=，∴=，解得DP=4﹣，∴AP=AD+DP=．∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为；（3）如图2，设抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴x=与x轴交于点E．点A、B关于对称轴x=对称，连接BQ交该对称轴于点M．则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，∵当BQ⊥AC时，BQ最小，此时，∠EBM=∠ACO，∴tan∠EBM=tan∠ACO=，∴=，∴=，解ME=．∴M（，），即在抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴上存在一点M（，），使得MQ+MA的值最小．。

中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A．B．C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4.（2016•梧州）如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n（n为正整数）点时，则A n的坐标是．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q 分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7.条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC 的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l 的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9.如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB 的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=AP•OG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．2.【答案】A.三、填空题3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4．【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、B n在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴A n B n=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OA n=A n B n，∴点A n的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．三、解答题5．【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，1,,PE PE==ＡP∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴EQ DQ AC DC=，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=1.25t-2，∴4 1.252,t t--=125AC CDAD=EDQ，∠QED=CDA，综上所述，当t=2.5秒或t=3.1OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．当时，S有最小值，且．7．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴4,9123m DEDE m ==；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为：；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE=k1x+b1，则，解得：，∴y AE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE =（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m ﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P=x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=y D+y Q=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），11m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．F B M12。

2020年北京中考数学试卷在综合题的设计上体现了数学综合运用能力的要求，考察了学生的计算、分析和推理能力。

下面将就2020年北京中考数学试卷中的数学综合题进行综合解答，并通过具体的题目展开讨论。

一、第一道题目题目内容：计算方程$x^2-2x-15=0$的两个根之和和两个根之积的和，并求$x^2+4x$的最小值。

解析：首先可以用求根公式解出方程$x^2-2x-15=0$的两个根，设为$x_1$和$x_2$，分别为5和-3。

两个根之和为2，两个根之积为-15，两者之和为-13。

然后对$x^2+4x$进行配方得到$(x+2)^2-4$，由此可得到最小值为-4。

二、第二道题目题目内容：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，对于任意实数$x$，都有$f(x) \geq 0$，求$a+b+c$的取值范围。

解析：根据题目要求得$f(x)$是一个开口向上的抛物线，因此判别式$D=b^2-4ac \leq 0$，另外抛物线的最低点为$x=-\frac{b}{2a}$，所以当$x=-\frac{b}{2a}$时$f(x)$取得最小值为0。

因此可以得出结论：$b^2-4ac \leq 0$ 且$c=-\frac{b^2}{4a}$，所以$a+b+c=\frac{b^2}{4a}$，由此可得$a+b+c≥4\sqrt{ac}$。

三、第三道题目题目内容：已知函数$f(x)=2x^2-2x+3$，求证：对于任意实数$x$，都有$f(x) \geq 2$。

解析：首先可以对$2x^2-2x+3$进行配方得到$f(x)=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{11}{2}$，由此可以得到最小值为$\frac{11}{2}$。

在这个过程中，当$x=\frac{1}{2}$时，$f(x)$取得最小值为$\frac{11}{2}$。

因此可以得出结论：对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq 2$。

以上便是2020年北京中考数学试卷中的数学综合题的解答，通过对题目进行分析和解答，不仅可以帮助考生更好地理解题目，还可以加深对数学知识的理解和运用。

1 中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？D ABC QP2【思路点拨】⑴中应由△QAP 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP ，由AQ=6－t ，AP=2t ，可求出t 的值；⑵中四边形QAPC 是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC 与△PBC 的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论. 【答案与解析】解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ=t ，QA=6-t ．当QA=AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6-t=2t ，解得：t=2（s ），所以，当t=2s 时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）在△QAC 中，QA=6-t ，QA 边上的高DC=12，∴S △QAC =12QA •DC=12（6-t ）•12=36-6t ． 在△APC 中，AP=2t ，BC=6， ∴S △APC =12AP •BC=12•2t •6=6t ． ∴S 四边形QAPC =S △QAC +S △APC =（36-6t ）+6t=36（cm 2）．由计算结果发现：在P 、Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．（也可提出：P 、Q两点到对角线AC 的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况，在矩形ABCD 中：①当QA AP AB BC=时，△QAP ∽△ABC ，则有： 62126t t -=，解得t=1.2（s ）， 即当t=1.2s 时，△QAP ∽△ABC ；②当QA AP BC AB=时，△PAQ ∽△ABC ，则有： 62612t t -=，解得t=3（s ）， 即当t=3s 时，△PAQ ∽△ABC ；所以，当t=1.2s 或3s 时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC 的面积也可由△QAC 与△CAP 的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒（1）直接写出梯形ABCD 的中位线长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，使得MC=MN ．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【答案与解析】解：（1）∵AD=3，BC=10，∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴=，即=．解得，t=；（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC，∴=，即=，解得：t=．综上所述，t=时，MC=MN．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；34 （3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt △ADE ，∠DAE=90°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；②连结BE ，若BE=10，BC=6，求AE 的长．【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，进而就可以得出△ABD ≌△ACE ，即可得出结论；②由△ABD ≌△ACE ，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE ；（2）先判定△ABD ≌△ACE （SAS ），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE ，在Rt △DCE 中，根据勾股定理得出CE 2+CD 2=DE 2，即可得到BD 2+CD 2=DE 2；（3）①运用（2）中的方法得出BD 2+CD 2=DE 2；②根据Rt △BCE 中，BE=10，BC=6，求得CE=22106-=8，进而得出CD=8﹣6=2，在Rt △DCE 中，求得DE=2228+=，最后根据△ADE 是等腰直角三角形，即可得出AE 的长．【答案与解析】解：（1）①如图1，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ，∴∠BAD=∠EAC ．在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ；②∵BD=CE ，AC=BC ，又∵BC=BD+CD ，∴AC=CE+CD ；（2）BD 2+CD 2=DE 2．证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B=∠A CE=45°，BD=CE ，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°=∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，∴CE=22106-=8，∴BD=CE=8，∴CD=8﹣6=2，∴Rt△DCE中，DE=2228+=68，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=683422==．【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.举一反三：【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0︒＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．【答案】（1）∠BPD= 30°；（2）如图3，连结CD．5∵点D在∠PBC的平分线上，∴∠1=∠2．∵△ABC是等边三角形，∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°．∵ BP=BA，∴ BP=BC．∵ BD= BD，∴△PBD≌△CBD．∴∠BPD=∠3．∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，∴△BCD≌△ACD．∴1 34302ACB∠=∠=∠=︒．∴∠BPD =30°．（3）∠BPD= 30°或 150°.类型二、几何计算型问题4.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E.(1) DE的长为；(2) 将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．【思路点拨】（1）由题意可得：DE是线段BC的垂直平分线，易证DE∥AC，即DE是△ABC的中位线，即可求得DE的长；（2）由DE∥AC，DE=12AC，易证△AOC∽△EOD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得OA：OE=2，然后求得△ACE的面积，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．6【答案与解析】（1）根据题意得：DE⊥BC，CE=BE，∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴DE∥AC，∴AD=BD，∴DE=12AC=12×8=4；（2）∵DE∥AC，DE=12AC，∴△AOC∽△EOD，∴OA：OE=AC：DE=2，∵CE=12BC=12×6=3，∵∠ACB=90°，AC=8，∴S△ACE=12CE•AC=12×3×8=12，∴S△OCE=13S△ACE=4，∴S△ADE+S△ODE=S△ABC-4-12=8，∴其中最小一块的面积等于4．【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2，∴S△ABE=1．由翻折的性质可知：△AB′E≌△ABE，∴EB′=EB=2∴B′C=BB′－BC=22－2，∵四边形ABCD是菱形，∴CF∥BA．∴∠ B′FC=∠B′AB=90°, ∠B′CF=∠B=45°∴CF=2'=2-22B C∴SB FC△'=221CF=3－22∴S阴=SB E′△A－SB FC′△=22－2．75．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm， A点与N点重合， MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB 所在直线以1 cm／s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN，AN=x （cm），过点E 作EH ⊥AB于点H，则EH平分AN，求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB 于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.综上，.(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，8∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.【答案】(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°.在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).∵点N在AD 上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大据(1)，S△AMN=AM·NP=.∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.9。

代数综合方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015年代数综合题出现在第27题，分值为7分．代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数1．[2015·北京] 在平面直角坐标系中，过点(0，2)且平行于轴的直线与直线＝－1交于点A ，点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A ，B. (1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线C 1的函数解析式及顶点坐标； (3)若抛物线C 2：y ＝ax 2(a ≠0)与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象求a 的取值范围．2．[2014·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)．(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上的一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G (包含A ，B 两点)．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围．3．[2013·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B. (1)求点A ，B 的坐标；(2)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的函数解析式； (3)若该抛物线在－2<x <－1这一段位于直线l 的上方，并且在2<x <3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的函数解析式．4．[2012·北京] 已知二次函数y ＝(t ＋1)x 2＋2(t ＋2)x ＋32在x ＝0和x ＝2时的函数值相等．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋6的图象与二次函数的图象都经过点A (－3，m )，求m 和k 的值； (3)设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C (点B 在点C 的左侧)，将二次函数的图象在点B ，C 间的部分(含点B 和点C )向左平移n (n ＞0)个单位长度后得到的图象记为G ，同时将(2)中得到的直线y ＝kx ＋6向上平移n 个单位长度．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，求n 的取值范围． 图Z8－15．[2011·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx 2＋()m －3x －3()m >0的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C . (1)求点A 的坐标；(2)当∠ABC ＝45°时，求m 的值；(3)已知一次函数y ＝kx ＋b ，点P ()n ，0是x 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数y ＝mx 2＋()m －3x －3()m >0的图象于点N .若只有当－2<n <2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式． 图Z8－21．[2015·海淀一模] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝12x 2－x ＋2与y 轴交于点A ，顶点为B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线BC 的函数解析式；(2)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4.将抛物线在点A ，D 之间的部分(包含点A ，D )记为图象G ，若图象G 向下平移t (t >0)个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围． 图Z8－32．[2015·朝阳一模] 如图Z8－4，将抛物线M 1：y ＝ax 2＋4x 向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线M 2，直线y ＝x 与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3. (1)求a 的值及M 2的函数解析式．(2)点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .①当点C 的横坐标为2时，直线y ＝x ＋n 恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值； ②在点C 的运动过程中，若直线y ＝x ＋n 与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围(直接写出结果)． 图Z8－43．[2015·西城一模] 已知二次函数y 1＝x 2＋bx ＋c 的图象C 1经过(－1，0)，(0，－3)两点． (1)求C 1对应的函数解析式；(2)将C 1先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线C 2，将C 2对应的函数解析式记为y 2＝x 2＋mx ＋n ，求C 2对应的函数解析式； (3)设y 3＝2x ＋3，在(2)的条件下，如果在－2≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得y 2≤y 3成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围． 图Z8－54．[2015·东城一模] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0过点A ()－1，0，B ()1，1，与y 轴交于点C.(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0的函数解析式．(2)若点D 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．(3)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 图Z8－65．[2015·石景山一模] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －3(m ≠0)与x 轴交于A (3，0)，B 两点．(1)求抛物线的函数解析式及点B 的坐标；(2)将－2<x <3时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若经过点C(4，2)的直线y＝kx＋b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．6．[2015·通州一模] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一次函数y1＝x＋k的图象交于A(0，1)，B两点，C(1，0)为二次函数图象的顶点．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式；(2)在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和一次函数y1＝x＋k的图象；(3)把(1)中的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象平移后得到新的二次函数y2＝ax2＋bx＋c＋m(a≠0，m为常数)的图象，定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1，y2中的较小值；如果y1＝y2，函数f 的函数值等于y1(或y2)．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．7．[2015·海淀二模] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于点B，C(点B在点C左侧)．(1)求该抛物线的函数解析式及点B，C的坐标；(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx＋b经过点D和点E(－1，－2)，求直线DE的函数解析式；(3)在(2)的条件下，已知点P(t，0)，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．图Z8－78．[2014·海淀期中] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－(m－1)x－m(m>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当S△ABC＝15时，求该抛物线的函数解析式；(3)在(2)的条件下，经过点C的直线l：y＝kx＋b(k<0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于－8，求k的取值范围．图Z8－89．[2015·平谷一模] 已知抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(2，0)两点，与y 轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．(1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标；(2)点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为22时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO＋∠EPO＝∠α，当tanα＝2时，求点P 的坐标．图Z8－910．[2015·怀柔一模] 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝(a－1)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，a为正整数．(1)求a的值；(2)将二次函数y＝(a－1)x2＋2x＋1的图象向右平移m个单位长度，再向下平移(m2＋1)个单位长度，当－2≤x≤1时，二次函数有最小值－3，求实数m的值．图Z8－10参考答案1.解：(1)当y ＝2时，2＝x －1，x ＝3. ∴A (3，2)．∵点A ，B 关于直线x ＝1对称， ∴B (－1，2)．(2)把(3，2)，(－1，2)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝9＋3b ＋c ，2＝1－b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－1. ∴抛物线C 1的解析式为y ＝x 2－2x －1，顶点坐标为(1，－2)． (3)如图，当C 2过点A ，点B 时为临界状态， 将A (3，2)代入y ＝ax 2，则9a ＝2，a ＝29，将B (－1，2)代入y ＝ax 2，则a ＝2， ∴29≤a ＜2. 2．解：(1)∵y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，18＋3m ＋n ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2.∴抛物线的函数解析式为y ＝2x 2－4x －2. ∴对称轴为直线x ＝1.(2)由题意可知C (－3，－4)．二次函数y ＝2x 2－4x －2的最小值为－4. 如图，由图象可以看出点D 纵坐标的最小值即为－4，最大值为直线BC 与抛物线对称轴的交点的纵坐标．由B (3，4)，C (－3，－4)可知直线BC 的函数解析式为y ＝43x .当x ＝1时，y ＝43.∴－4≤t ≤43.3．解：(1)当x ＝0时，y ＝－2， ∴A (0，－2)，抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2m＝1，∴B (1，0)．(2)易得点A 关于对称轴直线x ＝1的对称点为A ′(2，－2)，点B 关于对称轴对称的点仍为点B ，∴直线l 经过点A ′，B.设直线l 的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝2，故直线l 的函数解析式为y ＝－2x ＋2. (3)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线在2＜x ＜3这一段与在－1＜x ＜0这一段关于对称轴对称．如图，结合图象可以观察到抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方，∴抛物线与直线l 的交点的横坐标为－1. 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋2＝4， ∴抛物线与直线l 的一个交点为(－1，4)． 当x ＝－1时，m ＋2m －2＝4， 解得m ＝2，∴抛物线的函数解析式为y ＝2x 2－4x －2.4．解：(1)∵二次函数y ＝(t ＋1)x 2＋2(t ＋2)x ＋32在x ＝0和x ＝2时的函数值相等，∴0＋0＋32＝4(t ＋1)＋4(t ＋2)＋32，解得t ＝－32，∴二次函数的解析式是y ＝－12x 2＋x ＋32.(2)把A (－3，m )代入y ＝－12x 2＋x ＋32得m ＝－12×(－3)2－3＋32＝－6，即A (－3，－6)．将A (－3，－6)代入y ＝kx ＋6，得－6＝－3k ＋6， 解得k ＝4，故m ＝－6，k ＝4.(3)由题意可知，点B ，C 间的部分图象的函数解析式是y ＝－12(x －3)(x ＋1)(－1≤x ≤3)，则抛物线平移后得到图象G 的函数解析式是y ＝－12(x －3＋n )(x ＋1＋n )(－n －1≤x ≤3－n )，此时直线平移后的解析式是y ＝4x ＋6＋n .如果平移后的直线与平移后的二次函数图象相切，则方程4x ＋6＋n ＝－12(x －3＋n )(x ＋1＋n )有两个相等的实数解，即－12x 2－(n ＋3)x －12n 2－92＝0有两个相等的实数解，Δ＝[－(n ＋3)]2－4×(－12)×(－12n 2－92)＝6n ＝0，解得n ＝0.∵与已知n ＞0相矛盾，∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点， 则两个临界的交点为(－n －1，0)，(3－n ，0)， ∴0＝4(－n －1)＋6＋n ， 解得n ＝23.0＝4(3－n )＋6＋n ， 解得n ＝6.故n 的取值范围是23≤n ≤6.5．解：(1)∵点A ，B 是二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m ＞0)的图象与x 轴的交点，∴令y ＝0，即mx 2＋(m －3)x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3m.又∵点A 在点B 左侧且m ＞0， ∴点A 的坐标为(－1，0)． (2)由(1)可知点B 的坐标为(3m ，0)．∵二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0，－3)．∵∠ABC ＝45°，∴3m＝3，解得m ＝1.(3)由(2)得，二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3.依题意并结合图象(如图)可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2，5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝5，2k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.1.解：(1)∵抛物线y ＝12x 2－x ＋2与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(0，2)． ∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点B 的坐标为(1，32)．又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称， ∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的函数解析式为y ＝kx ＋b .∵直线BC 经过点B (1，32)和点C (2，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝32，2k ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.∴直线BC 的函数解析式为y ＝12x ＋1.(2)如图所示，∵抛物线y ＝12x 2－x ＋2中，当x ＝4时，y ＝6，∴点D 的坐标为(4，6)．∵直线y ＝12x ＋1中，当x ＝0时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝3，∴点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点A ′，点D 平移后的对应点为点D ′.当图象G 向下平移至点A ′与点E 重合时，点D ′在直线BC 上方，此时t ＝1； 当图象G 向下平移至点D ′与点F 重合时，点A ′在直线BC 下方，此时t ＝3. 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1＜t ≤3.2．解：(1)∵点A 在直线y ＝x 上，且点A 的横坐标是－3， ∴A (－3，－3)．把A (－3，－3)代入y ＝ax 2＋4x ， 解得a ＝1.∴M 1：y ＝x 2＋4x ，顶点坐标为(－2，－4)， ∴抛物线M 2的顶点坐标为(1，－1)．∴抛物线M 2的函数解析式为y ＝x 2－2x .(2)①如图，由题意，知C (2，2)，∴F (4，2)． ∵直线y ＝x ＋n 经过点F ，∴2＝4＋n . 解得n ＝－2.②n ＞3或n ＜－6.3．解：(1)∵二次函数y 1＝x 2＋bx ＋c 的图象C 1经过(－1，0)，(0，－3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，c ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线C 1的函数解析式为y 1＝x 2－2x －3.(2)∵y 1＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴抛物线C 1的顶点坐标为(1，－4)． ∴平移后抛物线C 2的顶点坐标为(0，0)，∴C 2对应的函数解析式为y 2＝x 2. (3)a ≥－1(如图)．4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0过点A ()－1，0，B ()1，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0，a ＋b ＋1＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝12.∴抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2＋12x ＋1.(2)∵x ＝－b 2a ＝12，∴抛物线y ＝－12x 2＋12x ＋1的对称轴为直线x ＝12.设点E 为点A 关于直线x ＝12的对称点，则点E 的坐标为()2，0.连接EC 交直线x ＝12于点D ，此时△ACD 的周长最小．设直线EC 的函数解析式为y ＝kx ＋m ，代入点E ，C 的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋m ＝0，m ＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝1.∴直线EC 的函数解析式为y ＝－12x ＋1.当x ＝12时，y ＝34.∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.(3)存在．①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点P 1. ∵AO ⊥OC ，AC ⊥AP 1， ∴∠AOM ＝∠CAM ＝90°. ∵C ()0，1，A ()－1，0， ∴OA ＝OC ＝1. ∴∠CAO ＝45°，∴∠OAM ＝∠OMA ＝45°， ∴OA ＝OM ＝1.∴点M 的坐标为()0，－1.设直线AM 对应的一次函数的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，代入点A ，M 的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝0，b 1＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－1，b 1＝－1.∴直线AM 的函数解析式为y ＝－x －1. 令x ＝12，则y ＝－32.∴点P 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点P 2，交x 轴于点N .与①同理可得Rt △CON 是等腰直角三角形， ∴OC ＝ON ＝1，∴点N 的坐标为()1，0. ∵CP 2⊥AC ，AP 1⊥AC ， ∴CP 2∥AP 1，∴直线CP 2的函数解析式为y ＝－x ＋1. 令x ＝12，则y ＝12.∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.综上所述，在对称轴上存在点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，使△ACP 成为以AC 为直角边的直角三角形．5．解：(1)将A ()3，0代入y ＝mx 2－2mx －3，解得m ＝1.∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－2x －3.令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1， ∴点B 的坐标为()－1，0.(2)y ＝x 2－2x －3＝()x －12－4.∵当－2<x <1时，y 随x 增大而减小； 当1≤x <3时，y 随x 增大而增大， ∴当x ＝1，y min ＝－4； 当x ＝－2，y ma x ＝5.∴y 的取值范围是－4≤y <5.(3)如图，当直线y ＝kx ＋b 经过点B ()－1，0，C ()4，2时，其函数解析式为y ＝25x ＋25.当直线y ＝kx ＋b 经过点()－2，－5，C ()4，2时，其函数解析式为y ＝76x －83.结合图象可得b 的取值范围是－83<b <25.6．解：(1)设抛物线的函数解析式为y ＝a (x －1)2.由抛物线过点A (0，1)，可得y ＝x 2－2x ＋1. (2)如图①：(3)如图②③，由图可知－4<m <0.7．解：(1)∵抛物线y ＝mx 2－2mx ＋m ＋4与y 轴交于点A (0，3)， ∴m ＋4＝3， 解得m ＝－1，∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于点B ，C ，∴令y ＝0，即－x 2＋2x ＋3＝0. 解得x 1＝－1，x 2＝3. 又∵点B 在点C 左侧，∴点B 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(3，0)．(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1.∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ， ∴点D 的坐标为(1，0)．∵直线y ＝kx ＋b 经过点D (1，0)和点E (－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－k ＋b ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.∴直线DE 的函数解析式为y ＝x －1. (3)t <1或t >3.8．解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m －1)x －m (m >0)与x 轴交于A ，B 两点，∴令y ＝0，即x 2－(m －1)x －m ＝0. 解得x 1＝－1，x 2＝m .又∵点A 在点B 左侧，且m >0， ∴点A 的坐标为(－1，0)．(2)由(1)可知点B 的坐标为(m ，0)． ∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0，－m )． ∵m >0，∴AB ＝m ＋1，OC ＝m . ∵S △ABC ＝15， ∴12(m ＋1)m ＝15. 解得m ＝－6或m ＝5. ∵m >0， ∴m ＝5，∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－4x －5. (3)由(2)可知点C 的坐标为(0，－5)． ∵直线l ：y ＝kx ＋b (k <0)经过点C ， ∴b ＝－5，∴直线l 的解析式为y ＝kx －5(k <0)．∵y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值均为－9，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于－8(如图)．令y ＝－8，即x 2－4x －5＝－8.解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝3.∴抛物线经过点(3，－8)．当直线y ＝kx －5(k <0)经过点(3，－8)时，可求得k ＝－1.由图象可知，当－1<k <0时新函数的最小值大于－8.9．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋x ＋c (a ≠0)经过A (－1，0)，B (2，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋c ＝0，4a ＋2＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝2. ∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2，∴点D 的坐标为(12，94)． (2)如图①，作EN ∥BC ，交y 轴于点N ，过点C 作 CM ⊥EN 于点M .令x ＝0，得y ＝2，∴OC ＝OB ＝2，∴∠OCB ＝45°.∵EN ∥BC ，∴∠CNM ＝∠OCB ＝45°.∵CM ⊥EN 于点M ，∴∠CNM ＝∠MCN ＝45°，∴MN ＝CM ＝22， ∴CN ＝1.∴直线NE 的函数解析式为y ＝－x ＋3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝－x 2＋x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点E 的坐标为(1，2)．(3)如图②，过点E 作EF ⊥AB 于点F .由(2)知tan ∠EOF ＝2，又∵tan α＝2，∴∠EOF ＝∠α.∵∠EOF ＝∠EAO ＋∠AEO ＝∠α，∠EAO ＋∠EPO ＝∠α，∴∠EPO ＝∠AEO .∵∠EAO ＝∠PAE ，∴△AEP ∽△AOE ， ∴AP AE ＝AE AO.∵AE ＝22＋22＝2 2，AO ＝1，∴AP ＝8，∴OP ＝7，∴P ()7，0，由对称性可得P ′()－5，0.∴点P 的坐标为()7，0或()－5，0.10．解：(1)∵二次函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，令y ＝0，则(a －1)x 2＋2x ＋1＝0，∴4－4(a －1)≥0，解得a ≤2.∵a 为正整数，∴a 为1或2.又∵y ＝(a －1)x 2＋2x ＋1是二次函数，∴a －1≠0，∴a ≠1，∴a 的值为2.(2)∵a ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x ＋1.将二次函数y ＝x 2＋2x ＋1化成顶点式为y ＝(x ＋1)2，二次函数图象向右平移m 个单位长度，再向下平移(m 2＋1)个单位长度后的函数解析式为y＝(x ＋1－m )2－(m 2＋1)．此时函数图象的顶点坐标为(m －1，－m 2－1)．当m －1＜－2，即m ＜－1时，在x ＝－2处二次函数有最小值－3，∴－3＝(－1－m )2－(m 2＋1)，解得m ＝－32，符合题目要求． 当－2≤m －1≤1，即－1≤m ≤2时，在x ＝m －1处二次函数有最小值－3，即－m 2－1＝－3， 解得m ＝± 2.∵m ＝－2不符合－1≤m ≤2的条件，舍去．∴m ＝ 2.当m －1＞1，即m ＞2时，在x ＝1处二次函数有最小值－3，∴－3＝(2－m )2－(m 2＋1)， 解得m ＝32，不符合m ＞2的条件，舍去． 综上所述，m 的值为－32或 2.。

中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC 、AB 交于点D ，点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象上的是 （ ）A ．点GB ．点EC ．点D D ．点F2．已知函数y=()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--)3(1)5(31)1(22x x x x ，若使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.（2016秋•重庆校级月考）已知二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＜0；②4ac ﹣b 2=0；③a ＞2；④4a ﹣2b+c ＞0．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 4．若a+b-21a --42b -=33c -- 12c-5，则a+b+c 的值为 . 5．已知关于x 的方程x 2+（k-5）x+9=0在1＜x ＜2内有一实数根，则实数k 的取值范围是 ．6.（和平区校级期中）关于x 的方程，2kx 2-2x-3k=0的两根一个大于1，一个小于1，则实数k 的的取值范围是 .三、解答题7．（2016•梅州）关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根x 1、x 2满足x 1+x 2=﹣x 1•x 2，求k 的值．8. 已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x ． （1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象1C 的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解． （3）在（2）的条件下，将抛物线()312-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图象2C ，点P 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标．9. 抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ． ① 判断mn 的符号；② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （点A 在点B 左侧）， 请说明116x <，2112x <<．10. 已知：二次函数y=22(2)x n m x m mn +-+-．（1）求证：此二次函数与x 轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的另一根为a,当x=2时，关于n 的函数1y nx am =+与222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与1y nx am =+、222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象分别交于点C 、D ，若CD=6，求点C 、D 的坐标.【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】在直角梯形AOBC 中∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9∴点A 的坐标为（9，12）∵点G 是BC 的中点∴点G 的坐标是（18，6）∵9×12=18×6=108∴点G 与点A 在同一反比例函数图象上，故选A ．2.【答案】D ；【解析】函数y=()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--)3(1)5(31)1(22x x x x 的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x 有恰好有三个，∴k=3．故选D ．3.【答案】B ；【解析】①∵抛物线开口朝上，∴a ＞0．∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1，∴b=2a ＞0．当x=0时，y=c+2＞2，∴c ＞0．∴abc ＞0，①错误；②∵抛物线与x 轴只有一个交点，∴b 2﹣4a （c+2）=b 2﹣4ac ﹣8a=0，∴b 2﹣4ac=8a ＞0，②错误；③∵抛物线的顶点为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=a （x+1）2=ax 2+2ax+a=ax 2+bx+c+2，∴a=c+2＞2，③正确；④∵b=2a ，c ＞0，∴4a ﹣2b+c=c ＞0，④正确．故选B ． 二、填空题 4.【答案】20；【解析】整理得：（a-1-21a -+1）+（b-2-42b -+4）+12（c-3-63c -+9）=0 （1a --1）2+（2b --2）2+12（3c --3）2=0， ∴1a -=1，2b -=2，3c -=3， ∵a≥1，b≥2，c≥3，∴a=2，b=6，c=12，∴a+b+c=20．故答案为：20．5.【答案】-5-2k ＜＜ 【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y= x 2+（k-5）x+9图象开口向上，与x 轴的一个交点的横坐标在1＜x ＜2内，故有两种情况，分析得出结论.6.【答案】k ＞0或k ＜-2.【解析】设y=2kx 2-2x-3k,∵方程2kx 2-2x-3k=0d 的两根一个大于1，一个小于1，∴当k ＞0，抛物线开口向上，x=1时，y ＜0，即2k-2-3k ＜0，解得k ＞-2，∴k ＞0∴当k ＜0，抛物线开口向下，x=1时，y ＞0，即2k-2-3k ＞0，解得k ＜-2. ∴k ＜-2∴k 的取值范围为：k ＞0或k ＜-2.三、解答题7．【答案与解析】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k 2+1）＞0，解得：k ＞，即实数k 的取值范围是k ＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x 1+x 2=﹣（2k+1），x 1•x 2=k 2+1，又∵方程两实根x 1、x 2满足x 1+x 2=﹣x 1•x 2，∴﹣（2k+1）=﹣（k 2+1），解得：k 1=0，k 2=2，∵k ＞，∴k 只能是2．8．【答案与解析】（1）证明：()[]()3412----=∆m m 124122+-+-=m m m 1362+-=m m()432+-=m∵不论m 取何值时，()032≥-m∴()0432>+-m ，即0>∆ ∴不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）将2=x 代入方程()0312=-+--m x m x ，得3=m 再将3=m 代入，原方程化为022=-x x ，解得2,021==x x ．（3）将3=m 代入得抛物线：x x y 22-=，将抛物线x x y 22-=绕原点旋转︒180得到的图象2C 的解析式为：x x y 22--=．设()0,x P ，则()3,2+x x M ，()x x x N 2,2-- ()()25212322232222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=---+=x x x x x x MN ∴当21-=x 时，MN 的长度最小， 此时点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,219．【答案与解析】（1）证明：∵ 2360a b c ++=，∴ 12362366b a b c c a a a a++==-=-． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 0c a <，0c a->．∴ 1023b a +>． （2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ，∴ 11 ,42 .a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ ① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223a b c =--． ∴ 1112111()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0． 2(2)33a a n abc a c c c =++=+--+=-＞0． ∴ 0mn <．② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<． （如图所示）∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x b a +=-，由（1）知123b a -<， ∴ 12123x x +<． ∴ 12221332x x <-<-，即116x <．10．【答案与解析】（1）证明：令0y =，则有22(2)0x n m x m mn +-+-=△=222(2)4()n m m mn n ---=∵20n ≥，∴△≥0∴二次函数y=22(2)x n m x m mn +-+-与x 轴有交点（2）解：解法一：由101m m -==得，方程22(2)0x n m x m mn +-+-=可化为 2(2)10x n x n +-+-= 解得：11x x n ==-或∴方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1解法二：由101m m -==得，方程22(2)0x n m x m mn +-+-=可化为 2(2)10x n x n +-+-=当x=1时，方程左边=1+(n-2)+1-n=0方程右边=0∴左边=右边∴方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1（3）解：方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的根是：121,1x x n ==- ∴1a n =-当x =2时，11y n =+，22251y n n =-++设点C （,1b b +）则点D （2,251b b b -++）∵CD=6 ， ∴221(251)62b 51(1)6b b b b b +--++=-++-+=或∴31b b ==-或∴C 、D 两点的坐标分别为C （3，4），D （3，-2）或C （-1，0），D （-1，-6）。

1.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=ax 2+bx-a1与y 轴交于点A,将点A 向右平移2个单位长度,得到点B,点B 在抛物线上.(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1-21， ,Q(2,2).若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,结合函数图象,求a 的取值范围.2.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy 中,直线y=4x+4与x 轴、y 轴分别交于点A,B,抛物线y=ax 2+bx-3a 经过点A,将点B 向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C 的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC 恰有一个公共点,结合函数图象,求a 的取值范围.3.(2017北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式;(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1<x2<x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.4.(2019北京朝阳一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2x+a-3,当a=0时,抛物线与y轴交于点A,将点A向右平移4个单位长度,得到点B.(1)求点B的坐标;(2)将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折,图象的其他部分保持不变,得到一个新的图象,记为图形M,若图形M与线段AB恰有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.5.(2019北京大兴一模,26)在平面直角坐标系中xOy中,已知抛物线y=ax2-4ax+1.(1)求抛物线的对称轴;(2)若抛物线过点A(-1,6),求二次函数的表达式;(3)将点A(-1,6)沿x轴向右平移7个单位得到点B,若抛物线与线段AB始终有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.6.(2019北京石景山二模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2mx+m2-1.(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示);(2)若点(m-2,y1),(m,y2),(m+3,y3)都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上,则y1,y2,y3的大小关系为;(3)直线y=-x+b与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2-2mx+m2-1有两个交点,在抛物线对称轴右侧的点记为P,当△OAP为钝角三角形时,求m 的取值范围.7.(2019北京平谷二模,26)已知:二次函数C1:y1=ax2+2ax+a-1(a≠0).(1)把二次函数C1的表达式化成y=a(x-h)2+b(a≠0)的形式,并写出顶点坐标;(2)已知二次函数C1的图象经过点A(-3,1).①求a的值;②点B在二次函数C1的图象上,点A,B关于C1的对称轴对称,连接AB.二次函数C2:y2=kx2+kx(k≠0)的图象与线段AB只有一个交点,求k的取值范围.8.(2019北京怀柔二模,26)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与抛物线y=ax2-(3+a)x+3(a≠0)交于A,B两点,并且OA<OB.(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标;(2)当22≤OB≤42时,求a的取值范围.7.(2019北京丰台二模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C1:y=ax2-2ax-3a(a≠0)和点A(0,-3).将点A先向右平移2个单位,再向上平移5个单位,得到点B.(1)求点B的坐标;(2)求抛物线C1的对称轴;(3)把抛物线C1沿x轴翻折,得到一条新抛物线C2,抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G.若图象G与线段AB恰有一个交点时,结合图象,求a的取值范围.8.(2019北京海淀二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2-2ax+3与直线l:y=kx+b交于A,B两点,且点A在y轴上,点B在x轴的正半轴上.(1)求点A的坐标;(2)若a=-1,求直线l的解析式;(3)若-3<k<-1,求a的取值范围.9.(2018北京东城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a-2(a≠0)与x轴交于A,B 两点(点A在点B左侧).(1)当抛物线过原点时,求实数a的值;(2)①求抛物线的对称轴;②求抛物线的顶点的纵坐标(用含a的代数式表示);(3)当AB≤4时,求实数a的取值范围.10.(2018北京西城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=mx2+2mx+m-1(m≠0)与y轴交于点C,抛物线G的顶点为D,直线l:y=mx+m-1(m≠0).(1)当m=1时,画出直线l和抛物线G,并直接写出直线l被抛物线G截得的线段长;(2)随着m取值的变化,判断点C,D是否都在直线l上,并说明理由;(3)若直线l被抛物线G截得的线段长不小于2,结合函数的图象,直接写出m的取值范围.11.(2018北京海淀一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上,P(x1,m),Q(x2,m)(x1<x2)是此抛物线上的两点.(1)若a=1,①当m=b时,求x1,x2的值;②将抛物线沿y轴平移,使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程;(2)若存在实数c,使得x1≤c-1,且x2≥c+7成立,则m的取值范围是.12.(2018北京朝阳一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax-4(a≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A,B的坐标;(2)若方程ax2-4ax-4=0(a≠0)有两个不相等的实数根,且两根都在1,3之间(包括1,3),结合函数的图象,求a的取值范围.13.(2018北京丰台一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a的最高点的纵坐标是2.(1)求抛物线的对称轴及抛物线的表达式;(2)将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1,将图象G1沿直线x=1翻折,翻折后的图象记为G2,图象G1和G2组成图象G.过点(0,b)作与y轴垂直的直线l,当直线l和图象G只有两个公共点时,将这两个公共点分别记为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求b的取值范围和x1+x2的值.14.(2018北京石景山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx2+23(m≠0)向右平移3个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点.(1)直接写出点A的坐标;(2)过点(0,3)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点.①当∠BAC=90°时,求抛物线G2的表达式;②若60°<∠BAC<120°,直接写出m的取值范围.15.(2018北京东城二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点A(-1,0)和点B(4,5).(1)求该抛物线的表达式;(2)求直线AB关于x轴的对称直线的表达式;(3)点P是x轴上的动点,过点P作垂直于x轴的直线l,直线l与抛物线交于点M,与直线AB交于点N.当PM<PN时,求点P的横坐标x P的取值范围.16.(2018北京西城二模,26)抛物线M:y=ax2-4ax+a-1(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),抛物线的顶点为D.(1)抛物线M的对称轴是直线;(2)当AB=2时,求抛物线M的函数表达式;(3)在(2)的条件下,直线l:y=kx+b(k≠0)经过抛物线的顶点D,直线y=n与抛物线M有两个公共点,它们的横坐标分别记为x1,x2,直线y=n与直线l的交点的横坐标记为x3(x3>0),若当-2≤n≤-1时,总有x1-x3>x3-x2>0,请结合函数的图象,直接写出k的取值范围.。

(08北京)24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点． （1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数． 解：（1） （2） （3）1 Oy x2 3 44 32 1 -1 -2 -2-1（09西城一）23已知：反比例函数2y x =和8y x= 在平面直角坐标系x O y 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x=的图象上，A B ∥y 轴，与2y x=的图象交于点B ，A C 、B D与x 轴平行，分别与2y x=、8y x=的图象交于点C 、D .（1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标； （2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小，并说明理由； （3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标.（09西城一）24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C .（1）直接写出点C 的坐标，并求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出 的取值范围.QA QO（09西城二）23．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF＝a．(1)判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，请说明理由；(2)若∠BFE＝∠FBC，求tan∠AFB的值；(3)在(2)的条件下，若将“E为CD的中点”改为“CE＝k·DE”，其中k是为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值．(用k的代数式表示)第23题图（09西城二）24．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A (0，1)，与x 轴的一个交点B的坐标为(2，0)．点P 在抛物线上，它的横坐标为2n (0＜n ＜1)，作PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说明CD PD 与OBOC的大小关系； (3)若将原题中“0＜n ＜1”的条件改为“n ＞1”，其他条件不变，请通过计算说明(2)中的结论是否仍然成立．第24题图（09海淀一）25．已知抛物线经过点A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，与x轴正半轴交于点D．(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；(2)在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P(x，0)，△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．第25题图（09海淀二）24、如图，已知抛物线y=（3－m）x2＋2（m－3）x＋4m－m2的顶点A 在双曲线y=3上，直线y=mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交与点C.x（1）、确定直线AB的解析式：（2）、将直线AB绕点O顺时针旋转900，与x轴交与点D，与y轴交与点E，求sin ∠BDE的值；（3）、过点B作x轴的平行线与双曲线交与点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB＋∠ANB=450的点N的坐标.（09东城一）24．(本题满分7分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y ＝ax2＋ax－2经过点B．(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图（09东城二）25．(本题满分8分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB ＝10，AD＝6，DC＝8，BC＝12，点E在底边BC上，点F在AB上．(1)若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积．(2)是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．(3)若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1∶2两部分，将△BEF的面积记为S1，五边形AFECD的面积记为S2，且S1∶S2＝k，求出k的最大值．第25题图（09朝阳一）24. （本小题7分）抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.（09朝阳二）23．(本小题7分)如图，点A在x轴的负半轴上，OA＝4，AB＝OB＝5将△ABO绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A1B1O，再继续旋转90°，得到△A2B2O．抛物线y＝ax2＋bx＋3经过B、B1两点．(1)求抛物线的解析式．(2)点B2是否在此抛物线上?请说明理由．(3)在该抛物线上找一点P，使得△PBB2是以BB2为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．(4)在该抛物线上，是否存在两点M、N，使得原点O是线段MN的中点?若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．第23题图（09朝阳二）24．(本小题7分)将边长OA＝8，OC＝10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA、OC边上选取适当的点E、F，连结EF，将△EOF沿EF折叠，使点O落在AB边上的点D处．第24题图(1)如图①，当点F与点C重合时，OE的长度为________；(2)如图②，当点F与点C不重合时，过点D作DG∥y轴交EF于点T，交OC于点G．求证：EO＝DT；(3)在(2)的条件下，设T(x，y)，写出y与x之间的函数关系式：________，自变量x的取值范围是________；(4)如图③，将矩形OABC变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC＝10，OC边上的高等于8，点F与点C不重合，过点D作DG∥y轴交EF于点T，交OC于点G，求出这时T(x，y)的坐标y与x之间的函数关系式(不求自变量x的取值范围)．（10西城一）25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数333+=x y 的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标为（3,0），连结BC ．（1）求证：△ABC 是等边三角形；（2）点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点D ，分别连结EA 、EP ．①若CP ＝6，直接写出∠AEP 的度数；②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重合），∠AEP 的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP 的度数；（3）在（2）的条件下，若点P 从C 点出发在BC 的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC 与AP 于点F ，设△AEF 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2， y ＝S 1－S 2，运动时间为t （t >0）秒时，求y 关于t 的函数关系式．y O A BC 1 1 x（10西城二）25． 在平面直角坐标系中，将直线l ：2343--=x y 沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C ：232x y =沿x 轴平移，得到一条新抛物线2C 与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线2C 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，求直线m 的解析式．（10海淀一）23．关于x的一元二次方程240-+=有实数根，且c为正整数.x x c（1）求c的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中,抛物线24=-+与x轴交y x x c于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C. 点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为(),m n,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.m>)上任一点，将抛物（10海淀一）24. 点P为抛物线22=-+(m为常数，0y x mx m2线绕顶点G逆时针旋转90︒后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点.m=，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；（1）当2Q a b，用含m、b的代数式表示a；（2）设点(,)（3) 如图，点Q在第一象限内, 点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分=时，求m的值.=，当QD mAQCAQ QC∠，2（10东城一）24．如图，在平面直角坐标系中，A （23，0），B （23，2）.把矩形OABC 逆时针旋转30︒得到矩形111OA B C .（1）求1B 点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形111OA B C 面积的直线l 方程；（3）设（2）中直线l 交y 轴于点P ，直接写出1PC O ∆与11PB A ∆的面积和的值及1POA ∆与11PB C ∆的面积差的值.备用图A B EP x O C Dy（10东城二）24. 如图, 二次函数过A(0, m )、B(3-, 0)、C(12, 0), 过A 点作x 轴的平行线交抛物线于一点D , 线段OC 上有一动点P , 连结DP , 作PE ⊥DP , 交y 轴于点E .(1) 求AD 的长；(2) 若在线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2, 使相应的点1E 、2E 都与点A 重合,试求m 的取值范围.(3) 设抛物线的顶点为点Q , 当6090BQC ︒≤∠≤︒时, 求m 的变化范围.（10朝阳一）24．（本小题满分7分）已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．（10朝阳二）23. (本小题7分)如图, 平行四边形ABCD中, AD=8,CD=4,∠D=60°, 点P与点Q是平行四边形ABCD 边上的动点, 点P以每秒1个单位长度的速度, 从点C运动到点D, 点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动．当其中一个点到达终点时, 另一个点随之停止运动．点P与点Q同时出发, 设运动时间为t, △CPQ的面积为S．(1) 求S关于t的函数关系式；(2) 求出S的最大值；(3) t为何值时, 将△CPQ以它的一边为轴翻折, 翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．（10朝阳二）25. (本小题8分)如图, 边长为2的正方形ABCO中, 点F为x轴上一点, CF=1, 过点B作BF的垂线, 交y轴于点E．(1) 求过点E、B、F的抛物线的解析式；(2) 将∠EBF绕点B顺时针旋转, 角的一边交y轴正半轴于点M, 另一边交x轴于点N, 设BM与(1)中抛物线的另一个交点为点G, 且点G的横坐标为6 5, EM与NO有怎样的数量关系? 请说明你的结论．(3) 点P在(1)中的抛物线上, 且PE与y轴所成锐角的正切值为3 2, 求点P的坐标．（10北京）24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上.（1）求B点的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD （当P点运动时，C点、D点也随之运动）.①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q 从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P 点也同时停止运动）.过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）.若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值.。