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28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A 是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的附点”，直接写出b 的取值范围．x28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y x = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．28. P是⊙C外一点，若射线．．PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：若0＜PA PB≤3，则点P为⊙C的“特征点”．(1)当⊙O的半径为1时．①在点P1（2,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是；②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是．．．⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________； ②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=-3时，①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．28．给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2， ,22M ⎛ ⎝⎭，22N ⎛- ⎝⎭.在A （1，0），B （1，1），)C 三点中，是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °；②在第一象限内有一点E),m ，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标；③点F 在直线23y x =-+上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 的横坐标F x 的取值范围．28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．28. 在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1. ①在点E （1,1），F （－22 ,－22）,M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ； ②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线ky x=（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围. （2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11Ax ,y ，()22B x ,y ,且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图．．．直接．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图22018大兴一模28.在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E 在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ,E 的“平横纵直角”的示意图.1如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N . （1）点N 的横坐标为 ；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．图22018顺义一模28．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．2L 1图22018通州一模28.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”.（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ；② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.2018燕山一模27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6. ①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由.,备用图准蝶形AMB A BM。
目录类型1：圆基础 (2)类型2：圆综合 (4)类型3：新定义问题 (12)类型1：圆基础1.（18延庆一模14）如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，∠AOC =42°，那么∠CDB 的度数为____________．2. （18房山一模5）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 直径，B 为圆上一点，若∠OBC =26°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．26°B ．52°C ．54°D ．56°3.（18西城一模13）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 上一点，∠BOC =50°，AD ∥OC ，AD 交⊙O 于点D ，连接AC ，CD ，那么∠ACD =__________．4.（18朝阳毕业8）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，若∠ADE =110°，则∠AOC 的度数是（ ）A.70°B.110°C.140°D.160°5.（18朝阳一模13）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，OD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，则∠BAD = 度.6.（18海淀一模14）如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 交于点E ，连接AE ，若∠D = 72°，则∠BAE= °.7.（18门头沟一模13）如图，PC 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点P ，AO 交⊙O 于点B ；连接BC ，若∠C=32°，则∠A =______ °．8.（18燕山一模10）在平面直角坐标系xoy 中，点A (4,3) 为⊙O 上一点，B 为⊙O 内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标ODCBA9.（18平谷一模14）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥弦CD 于点E ，若AB =10，CD =8，则BE = ．10.（18石景山一模13）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD AB ⊥于点E ，若⊙O 的半径是5，8CD =，则AE = ．11.（18大兴一模5）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=6，则CD 的长为（ ） A ．3 B．C ．6D． 12.（18丰台一模13）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．如果∠A = 15°，弦CD = 4，那么AB 的长是 ．13.（18朝阳毕业10）如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.π4125+B.π4123- C.π2125- D.π4125-14.（18东城一模4）如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是（ ） A ．π B ．3π2C ．2πD ．3πA B类型2：圆综合1.（18平谷一模24）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB=2∠C；（2）若AB=6，3cos5B=，求DE的长．2.（18延庆一模23）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是AD的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．（1）求证：AB BC=；（2）如果AB=5，1tan2FAC∠=，求FC的长．AA 3. （18石景山一模23）如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：12CBEF ∠=∠；（2）若⊙O 的半径是，点D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．4. （18房山一模22）如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG . （1）求证：AB ⊥CD ；（2）若sin ∠HGF ＝，BF ＝3，求⊙O 的半径长.435.（18西城一模24）如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ． （1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）．（2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值．6.（18怀柔一模23）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA =BC ，连结BO 并延长线交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠DBE . （1）求证：BE =CE ；（2）若⊙O 的直径长8，sin ∠BCE =，求BE 的长.45AB C7.（18海淀一模23）如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF AB ⊥于点C ，过点F 作⊙O 的切线交AB的延长线于点D . （1）已知A α∠=，求D ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A ∠=︒，MF =，求⊙O 的半径.8.（18朝阳一模23）如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ． （1）求证：AE ⊥CE ．（2）若AE = ，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长．DA9.（18东城一模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是BD的中点.过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接BC. 若AB=5，BC=3，求线段AE的长.10.（18丰台一模23）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：EF ED；（2）如果半径为5，cos∠ABC =35，求DF的长．A 11.（18门头沟一模23）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ． （1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cosD =35，请求出AC 的长．12.（18大兴一模）.已知：如图，在△OAB 中，OA OB =，⊙O 经过AB 的中点C ，与OB 交于点D ，且与BO 的延长线交于点E ，连接EC CD ，． （1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长．13.（18顺义一模24）如图，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；，求AB的长．（2）若⊙O的半径为15，sin∠D＝35 Array14.（18通州一模24）如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点.过点D作⊙O的切线，分别交AC，AB的延长线于点E和点F，连接CD，BD.（1）求证：∠A=2∠BDF;（2）若AC=3，AB=5，求CE的长.15.（18燕山一模25）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线（2）当BE =3，cos C =52时，求⊙O 的半径．16.（18朝阳毕业25）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，若BD =m ，tan ∠CBD =n ，写出求直径AB 的思路．类型3：新定义问题1.（18海淀一模8）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线1,3x y ==将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.图1 图2则下面叙述中正确的是（ ）A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等2.（18海淀一模15）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°．x图2图1E A3.（18平谷一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2，0），B （0，2，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1，2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O P 的坐标为(3，m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．2. （18延庆一模28）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中， 与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4） （2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围； （3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围．3.（18石景山一模28）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B 的“确定圆”的示意图．．．．（1）已知点A的坐标为(1,0)-，点B的坐标为(3,3)，则点A，B的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A的坐标为(0,0)，若直线y x b=+上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；（3）已知点A在以(0)P m，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线3y x=+要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．4.（18房山一模28）在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1.①在点E （1，1），F （－22 ，－22 ），M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ；②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线ky x =（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围.（2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x ,y ，()22B x ,y ，且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.5.（18西城一模28）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ=（或2BQCQ ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A 是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点是⊙C 的点”，直接写出b 的取值范围．x6.（18怀柔一模28）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜P A PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”．（1）当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ； ②点P 在直线y =x +b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =x +1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．27.（18海淀一模28）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________； ②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．8.（18朝阳一模28）对于平面直角坐标系xOy中点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=-3时，①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．9.（18东城一模28）给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2， 22M ⎛ ⎝⎭，22N ⎛- ⎝⎭.在A （1，0），B （1，1），)C 三点中，是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °； ②在第一象限内有一点E),m ，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标；③点F 在直线2y x =+上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 横坐标x F 的取值范围．10.（18丰台一模28）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．11.（18门头沟一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”.（1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图212.（18大兴一模28）在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D，点P是x轴上一动点，连接D P，过点P作DP的垂线交y轴于点E（E 在线段OA上，E不与点O重合），则称 DPE为点D，P,E的“平横纵直角”.图1为点D，P，E的“平横纵直角”的示意图.图113.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N . （1）点N 的横坐标为 ； （2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围； （3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．图213.（18顺义一模28）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由； （2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．图12L 1图214.（18通州一模）.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”. （1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ；② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.15.（18燕山一模27）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是（2）抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是（3）抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6.①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由. ,备用图准蝶形AMBABM。
北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编目录北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：解不等式组（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：计算题（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：解四边形（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：几何证明（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：几何综合（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：函数计算及运用（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：二次函数综合（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：统计（含答案）解不等式组专题东城区18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解. 18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥， 由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分西城区18．解不等式组3(2)4112x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≥，并求该不等式组的非负整数解．【解析】解①得，364x x ++≥，22x -≥，1x -≥，解②得，12x -<，3x <，∴原不等式解集为13x -<≤，∴原不等式的非负整数解为0，，2．海淀区18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩ 18.解：() 5331, 263. 2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩①② 解不等式①，得3x >-. …2分解不等式②，得2x <. ………4分所以 原不等式组的解集为32x -<<. ………5分18．解不等式组：341,51 2.2x x x x ≥-⎧⎪⎨->-⎪⎩ 18．解：解不等式①，得1x ≤， ……………………2分解不等式②，得1x >-. ……………………4分∴原不等式组的解集是11x -<≤．………5分石景山区18．解不等式组：3(1)45622x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩，． 18．解：原不等式组为3(1)45,62.2x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩ 解不等式①，得2x <-． ………………2分 解不等式②，得2x <． ………………4分 ∴原不等式组的解集为<2x -． ………………5分 朝阳区18. 解不等式组 ：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x18. 解：原不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x解不等式①，得 5<x . ………………………………………2分解不等式②，得 21>x .………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为521<<x . …………………………………5分① ②18．解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －32<1，2（x ＋1）≥x －1.18．解：由（1）得，x-3<2X<5 ……………………….2′（2） 得 2x+2≥x-1x ≥-3 ……………………….4′所以不等式组的解是-3≤x ＜5……………………….5′ 门头沟区18. 解不等式组：1031+1.x x x ⎧-<⎪⎨⎪-⎩，≤3(）18．（本小题满分5分）解不等式①得，x ＜3， …………………………………………2分解不等式②得，x ≥﹣2， ………………………………4分所以，不等式组的解集是﹣2≤x ＜3． ………………5分大兴区17.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 并写出它的所有整数解. 17. 解：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 由①，得21-≥x . ………………………………………………………1分 由②，得2<x . …………………………………………………………2分 ∴原不等式组的解集为221<≤-x . ………………………………………4分 它的所有整数解为0，1. …………………………………………………5分① ②18．解不等式组3(1)45,513x x x x -≥-⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出它的所有整数解．．．． 18．解：3(1)455 3 1x x x x -≥-⎧⎪⎨-->⎪⎩①② 解不等式①，得 x ≤2． ·········································································1 解不等式②，得 x ＞-1． ·······································································3 ∴原不等式组的解集为12x -<≤． ························································4 ∴适合原不等式组的整数解为0,1,2． ·······················································5 怀柔区18.解不等式组:()⎪⎩⎪⎨⎧<+-<-.1213,213x x x x 18.解：由①得：3x < . ………………………………………………………………………2分由②得：9x >- …………………………………………………………………………4分 原不等式组的解集为93x -<< ………………………………………………………5分 延庆区18．解不等式组：523(2)53.2x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩， 并写出它的所有整数解． 18．解：由①得，x <4． ……1分由②得，x ≥1 ． ……3分∴ 原不等式组的解集为1≤x <4． ……4分∴ 原不等式组的所有整数解为1，2，3． ……5分18．解不等式组：()7+1,2315 1.x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩18．解不等式组：()7+12315x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩解：解不等式①得 x ≥3- ……………………………………………………………2分 解不等式②得 2x > ………………………………………………………………4分 不等式组的解集是 2x > …………………………………………………………5分计算题专题东城区17．计算：()2012sin 60-π-2++1-3-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭. =217.解：原式分分西城区17114sin 3015-⎛⎫+︒- ⎪⎝⎭．【解析】原式1541)52122=+⨯-=+=． 海淀区17．计算：11()3tan 302|3-︒+． 17.解：原式=3323-⨯+- ………………4分=5- ………………5分丰台区1702cos 45(3π)|1-︒+-+-．1702cos 45(3π)|1︒+-+．=211++ ……………………4分= ……………………5分石景山区17．计算：012sin 455(3--++° 17．解：原式=2512⨯-+- ………………4分4=-- ………………5分朝阳区17. 计算：2sin30°+ .8)4()31(01+-+-π17. 解：原式 2213212+++⨯= …………………………………………………4分 225+=. ……………………………………………………………5分燕山区17．计算：4cos30°－12 + 20180 + ||1－317．4cos30°－12 + 20180 + ||1－3 =13132234-++-⨯=3 门头沟区17．计算：()201254sin 603π-⎛⎫--++-︒ ⎪⎝⎭．平谷区17．计算：(1013132sin 603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭π.17．解：(1013132sin 603-⎛⎫-+--︒ ⎪⎝⎭π=331312-- ···········································································4 =1 ····································································································5 怀柔区17.计算：102130tan 3)3(31-︒⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π. 17.解：原式331132=--+ …………………………………………………4分.…………………………………………………………………5分延庆区17．计算：0113tan 301(2)()3π-︒+---．17．原式=3⨯33+3-1+1-3 ……4分=23-3 ……5分顺义区17．计算：()01312sin 452π--︒+-．17．解：()01312sin 452π--︒+-112132=-⨯+ (4)分13= ……………………………………………………………………………… 5分4=-解四边形专题东城区21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC .（1）求证：四边形ACDE 为平行四边形;（2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B =，求线段CE 的长.21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ，∴=AB DC ，AB DC ∥.∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分(2) ∵=AB AC ，∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形.∴AD ⊥CE .∵AD BC ∥，∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6, 1cos 3BC B BE ==, ∴=2BC . 根据勾股定理，求得=42BC 分 西城区21．如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ． （1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;（2）若5AB =，3cos 5ABD ∠=，求BD 的长．BDA【解析】（1）补全的图形如图所示．90AOB ∠=︒． 证明：由题意可知BC AB =，DC AB =， ∵在ABD △中，ABD ADB ∠=∠， ∴AB AD =，∴BC DC AD AB ===， ∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴90AOB ∠=︒．（2）∵四边形ABCD 为菱形， ∴OB OD =．在Rt ABO △中，90AOB ∠=︒，5AB =，3cos 5ABD ∠=，∴cos 3OB AB ABD =⋅∠=， ∴26BD OB ==．ABCDO海淀区21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是__________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_______.C B EOAD21．（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形. ………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =, ∴OE AB =.∴平行四边形AEBO 是矩形. ………………2分 ∴90BOA ∠=︒. ∴AC BD ⊥.∴平行四边形ABCD 是菱形. ………………3分 (2) 正方形； ………………4分2. ………………5分丰台区21．已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，FC ，CA ．（1）求证：四边形AEFC 为矩形；（2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，AB = 4，求DE 的长．ABCEDF21．（1）证明：∵BF =BA ，BE =BC ，∴四边形AEFC 为平行四边形. ………………………1分 ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BA =BC .∴BE =BF .∴BA + BF = BC + BE ，即AF =EC .∴四边形AEFC 为矩形. ………………………2分（2）解：连接DB .由（1）知，AD ∥EB ，且AD =EB . ∴四边形AEBD 为平行四边形 ∵DE ⊥AB ，∴四边形AEBD 为菱形.∴AE =EB ，AB =2AG ，ED =2EG . ………………………4分 ∵矩形ABCD 中，EB =AB ，AB=4， ∴AG =2，AE =4.∴Rt △AEG 中，EG=23.∴ED=43. ………………………5分 （其他证法相应给分）石景山区21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，210BC CD ==，CE AD ⊥于点E ． （1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．BA CE D21．（1）证明：（法一）过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=︒． ∵∠BCD ＝90°， ∴1290∠+∠=︒， ∴2D ∠=∠． 又BC ＝CD∴BHC △≌CED △． ∴BH CE =．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE BH =．∴AE CE =． ………………3分 （法二）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略． （2）解： ∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB HE =．∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE==,设,3DE x CE x ==，∴10210CD x ==． ∴2x =．∴2DE =,6CE =． ………………4分 ∵2CH DE ==．∴624AB HE ==-=． ………………5分朝阳区21. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意一点，E 是BC 边中点，过点C作AB 的平行线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形； （2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC =，求DF 的长．21.（1）证明：∵CF ∥AB ，∴∠ECF ＝∠EBD . ∵E 是BC 中点， ∴CE ＝BE .∵∠CEF ＝∠BED ， ∴△CEF ≌△BED . ∴CF ＝BD .∴四边形CDBF 是平行四边形. ………………………2分（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，∵四边形CDBF 是平行四边形，BC ＝24，∴2221==BC BE ，DE DF 2=. 在Rt △EMB 中，2sin =∠⋅=ABC BE EM . ……………………3分在Rt △EMD 中，42==EM DE . …………………4分∴DF ＝8. ………………………………………………………5分燕山区23． 如图，在△ABC 错误!未找到引用源。
初三数学一模综合题分类讲解
第25题：函数操作题
除海淀区外其它所有区县全部仿2017年中考题第26题.
标准三步：
第①步：选点、画图、测量、填表（精准作图）；
第②步：画函数图像；
第③步：特定条件下求值（通常转化为直线与函数图像交点）
其中有五个区县在第③步的设问方式有变化，其中平谷区考察“垂线段最短”，门头沟、东城考察“最短路径”，延庆和石景山通过给出或算出y值在图像上估出对应的x值，顺义则改为求范围.
海淀区回归了到了前两年的题型，给出了函数解析式
第26题：代数综合题
延续了近些年的一贯考察方式。
基本还是围绕两个考点：
①考察二次函数开口大小（二次项系数a）;
②考察对称性•
第27题：几何综合题
第28题：代几综合题
典型试题分析
1.（西城区一模第25题）如图，P为O O的直径AB上的一个动点，点C在AB上，连接PC过点A作PC
的垂线交O O于点Q.已知AB=5cm, AC=3cm,设A，P两点间的距离为x cm, A, Q 两点间的距离为y cm.
某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1 ）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：
（说明：补全表格时的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;。
2018西城一模26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线l ：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由．（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．x2018石景山一模26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠）向右平移位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点．（1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点． ①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2．（1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .（1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.()244=00ax ax a --≠26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()02342≠-+-=aaaxaxy与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．26.抛物线2y ax bx =+x 轴于点A （－1,0），C （3，0），交y 轴于点B ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D . 点P 为线段OB 上的点，点E 为线段AB 上的点，且PE ⊥AB.（1）求抛物线的表达式；（2）计算PE PB的值； （3）请直接写出12PB +PD 的最小值为 .26.有一个二次函数满足以下条件： ①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =；③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.2018大兴一模26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <.（1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．2018顺义一模26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点．（1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．2018通州一模26. 在平面直角坐标系xOy 中，点C 是二次函数2441y mx mx m =+++的图象的顶点，一次函数4+=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .（1）请你求出点A ,B ,C 的坐标；（2）若二次函数2441y mx mx m =+++与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围.。
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1、（2018东城一模）已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线,且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ． （1）如图1，若60BAC ∠=︒①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长;（2）如图2,用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系,并证明．2、（2018西城一模) 正方形ABCD 的边长为2。
将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE ⊥AM 于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称,连接CN . （1）如图1,当0°〈α<45°时，①依题意补全图1；②用等式表示∠NCE 与∠BAM 之间的数量关系： ; (2）当45°<α<90°时，探究∠NCE 与∠BAM 之间的数量关系并加以证明； (3)当0°〈α<90°时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 的最大值。
图用图3、（2018海淀一模）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA 上的一个动点，过点P 作PE OB ⊥，交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满足DPA OPE ∠=∠,6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；(2）在点P 的运动过程中,请判断是否存在一个定点M ,使得DMME的值不变？并证明你的判断。
1（2019+++延庆+++一模）（1）对称轴：x =2，B （5，2） （2）12a ≥或2a ≤-2（2019+++房山+++一模）（1）∵抛物线2y x mx n =++过点A (−1,a )，B (3,a ) ∴抛物线的对称轴x =1 ∵抛物线最低点的纵坐标为−4 ∴抛物线的顶点是(1,−4) ∴抛物线的表达式是2(1)4y x =--即223y x x =-- m =−2，n =−3………… 2分 把 A (−1,a ) 代入抛物线表达式 223y x x =-- 求得a =0……………………… 3分 (2)如图当y =kx +2经过点B (3,0)时， 0=3k +2，k =−23……………………… 4分 当y =kx +2经过点A (−1,0)时，0=−k +2，k =2……………………… 5分 综上所述，当k ≤−23或k ≥2时，直线y =kx +2与G 有公共点…………… 6分3（2019+++通州+++一模）（1）∵二次函数2y x ax b =-+在0x =和4x =时的函数值相等 ∴对称轴为直线2x =………………1分（2）① 不妨设点M 在点N 的左侧 ∵对称轴为直线2x =，2MN = ∴点M 的坐标为（1，1），点N 的坐标为（3，1）………………2分 ∴22ax -=-=，11a b =-+ ∴4a =，4b =………………4分 ② 15b <≤………………6分4（2019+++平谷+++一模） （1）m（2）∵3222-+-=m mx x y ()23x m =--∴抛物线顶点坐标为（m ,－3） ∵抛物线经过点A ，B 时，且AB ∥x 轴 ∴抛物线对称轴为x=m =2 ∴抛物线的表达式为241y x x =-+ （3）01m <≤5（2019+++门头沟+++一模）（1）∵直线4y x =+与x 轴交于点A ∴点A 坐标为（-4，0） ∵直线4y x =+与与过点（0，5）且平行于x 轴的直线l 交于点B ∴点B 坐标为（1，5）………… 1分∵点A 关于直线l 的对称点为点C ∴点C 坐标为（-4，10）…………… 2分 （2）① ∵抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-∴顶点坐标为（m ，-m ）…………… 3分 ∵抛物线顶点在直线4y x =+上 ∴4m m -=+ ∴m = - 2…………… 4分 ② 6 4.m ≤≤-…………… 6分6（2019++石景山+++一模）（1）∵1(0)y kx k =+≠经过点A 23(,) ∴1k =∵直线1y x =+与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点C ()m,2∴1m = （2）∵抛物线2y ax bx a =++的对称轴为1x = ∴12ba-=，即2b a =-． ∴22y ax ax a =-+2(1)a x =- ∴抛物线的顶点坐标为()1,0（3）当0a >时，如图 若抛物线过点B 01(,)，则1a = 结合函数图象可得01a << 当0a <时，不符合题意综上所述，a 的取值范围是01a <<7（2019+++西城+++一模）(1)∵223y ax ax a =--＝2(23)a x x --＝(1)(3)a x x +- 令0=y ，得1-=x ，或3=x∴A (－1，0)，B (3，0)………………2分当1a =时，抛物线化为223y x x =--＝2(1)4x --∴D (1，－4)……………3分 (2) 如图，当0a >时当1a =时，抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域 内恰有7个整点 当34a =时，抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域 内有6个整点 结合函数图象可得，314a <≤ 当0a <时，同理可得314a<-≤- ∴a 的取值范围是314a<-≤-，或314a <≤…………6分9（2019+++丰台+++一模）(1) ()42--=m x y ()4-∴，m P 即顶点P 的纵坐标为-4 （2）①AB 长为定值 令y=0,则22240x mx m -+-= 则2()4x m -=解得22x m x m =+=-或 AB 长为2(2)4m m +--= ②当MA=5时，可求A 点坐标为（-3，0）或(3,0)∵AB=4 ∴MA=5时,m=-1或m=1 ∵214x x m m -+=+结合图象可知，21x x m -+的取值范围为212115x x m x x m -+≤--+≥或 1在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2432y ax ax a =-+-（0a ≠）的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B （1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标（2）若抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象， 求a 的取值范围 2在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点A (−1，a )B (3，a )，且顶点的纵坐标为-4（1）求m ，n 和a 的值（2）记二次函数图象在点A ，B 间的部分为G (含点A 和点B )，若直线2y kx =+与图象G 有公共点，结合函数图象，求k 的取值范围 3已知二次函数2y x ax b =-+在0x =和4x =时的函数值相等 （1）求二次函数2y x ax b =-+的对称轴（2）过P （0，1）作x 轴的平行线与二次函数2y x ax b =-+ 的图象交于不同的两点M 、N ①当2MN =时，求b 的值②当=4PM PN +时，请结合函数图象，直接写出b 的取值范围4平面直角坐标系xOy 中，抛物线3222-+-=m mx x y 与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点 （1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示） （2）当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式（3）记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G （包含A ，B 两点），点P （m ,0）是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图象G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围5在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =+的图象与x 轴交于点A ，与过点（0，5）平行于x 轴的直线l 交于点B ，点A 关于直线l 的对称点为点C（1）求点B 和点C 坐标（2）已知某抛物线的表达式为222y x mx m m =-+- ① 如果该抛物线顶点在直线4y x =+上，求m 的值 ② 如果该抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象， 直接写出m 的取值范围6在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m （1）求m 的值（2）求抛物线的顶点坐标（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直 于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合 函数的图象，求a 的取值范围 7在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+（1）当2m =时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标 ②若点1(2,)A y -，22(,)B x y 都在抛物线上，且21y y >，则2x 的取值范围是_______（1）已知点(1,2)P -，将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q . 当3n =时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求m 的取值范围 8在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠的顶点为D ，与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)(1) 当1a =时，求点A ，B ，D 的坐标(2) 横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内(不含边界)恰有7个整点，结合函数图象，求a 的取值范围 9在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx ax y ++=2过原点和点A （-2,0）（1）求抛物线的对称轴（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，B ，记抛物线与直线AB 围成的封闭区域（不含边界）为 W ①当a=1时，求出区域W 内的整点个数②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图像，直接写 出a 的取值范围 10已知抛物线2224y x mx m =-+-，抛物线的顶点为P（1）求点P 的纵坐标（2）设抛物线x 轴交于A 、B 两点，1122(,),(,)A x y B x y ，21x x >①判断AB 长是否为定值，并证明②已知点M （0，-4），且MA ≥5，求21-x x m +的取值范围 1（2019+++延庆+++一模）（1）∵∠ADC =60°，DA=DC ∴△ADC 是等边三角形 ∴∠DAC =60°,AD=AC ．∵∠ABC=120°,BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC =60° ∴∠DAC =∠DBC =60° ∵∠AOD =∠BOC∠ADB=180°-∠DAC-∠AOD ∠ACB=180°-∠DBC-∠BOC ∴∠ADB=∠ACB（2）结论：DH=BH+BC 在HD 上截取HE=HB∵AH ⊥BD ∴∠AHB=∠AHE =90° ∵AH =AH ∴△ABH ≌△AEH ∴AB=AE, ∠AEH=∠ABH =60° ∴∠AED=180°-∠AEH=120° ∴∠ABC=∠AED=120° ∵AD=AC, ∠ADB=∠ACB ∴△ABC ≌△AED ∴DE=BC ∵DH=HE+ED ∴DH=BH+BC2（2019+++房山+++一模）（1）解: 依题意，∠CAB =45° ∵∠BAD =α ∴∠CAD =45α︒-∵∠ACB =90°，BE ⊥AD ，∠ADC =∠BDE ∴∠DBE =∠CAD =45α︒-……………………………… 2分 （2）解：①补全图形如图……………………… 4分 ②猜想：当D 在BC 边的延长线上时，EB -EAEC ……………… 5分 证明：过点C 作CF ⊥CE ，交AD 的延长线于点F . ∵∠ACB =90° ∴∠ACF =∠BCE∵CA =CB ，∠CAF =∠CBE ∴△ACF ≌△BCE ………… 6分∴AF =BE ，CF =CE ∵∠ECF =90° ∴EFEC即AF -EA EC ∴EB -EA …………………… 7分3（2019+++通州+++一模）（1）连接AE∵点B 关于射线AD 的对称点为E ∴AE =AB ，BAF EAF α∠=∠=∵ABC △是等边三角形 ∴AB AC =，60BAC ACB ∠=∠=︒∴602EAC α∠=︒-，AE AC =………1分∴()1180602602ACE αα∠=︒-︒-=︒+⎡⎤⎣⎦ ∴6060BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=︒+-︒=……………2分另解：借助圆 （2）AF EF CF -=证明：如图，作60FCG ∠=︒交AD 于点G ，连接BF ……………3分 ∵BAF BCF α∠=∠=，ADB CDF ∠=∠ ∴60ABC AFC ∠=∠=︒ ∴△FCG 是等边三角形 ∴GF =FC ……………… 4分 ∵ABC △是等边三角形 ∴BC AC =，60ACB ∠=︒∴ACG BCF α∠=∠= 在△ACG 和△BCF 中CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ACG ≌△BCF∴AG BF =……………5分 ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ∴BF EF =……………6分 ∴AF AG GF -= ∴AF EF CF -=………………7分 另一种证法：作60FAH ∠=︒交FC 的延长线于点H ，连接BF4（2019+++平谷+++一模） （1）∠BCD =120°－α （2）解：方法一：延长BA 使AE=BC ，连接DE 由（1）知△ADC 是等边三角形 ∴AD=CD∵∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠DAE=180°∴∠DAB=∠DAE ∴△ADE≌△CDB ∴BD=BE ∴BD=AB+BC 方法二：延长AB使AF=BC，连接CF∠BDC=∠ADE ∵∠ABC=120°∴∠CBF=60°∴△BCF是等边三角形∴BC=CF ∵∠DCA=∠BCF=60°∴∠DCA+∠ACB=∠BCF+∠ACB 即∠DCB=∠ACF ∵CA=CD∴△ACF≌△DCB ∴BD=AF ∴BD=AB+BC（3）AC，BD的数量关系是：AC BD位置关系是：AC⊥BD于点P5（2019+++门头沟+++一模）（1）补全图形（如图1）…………… 1分证明：略………… 3分（2）线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OEOP …… 4分证明：如图2，作PQ⊥PO交OB于Q∴∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°∴∠1=∠3又∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠4=∠5=45°又∵∠5+∠6=90°∴∠6=45°∴∠4=∠6 ∴PO=PQ ∴△EPO≌△FPQ…………… 5分∴PE=PF，OE=FQ又∵OQ=OF+FQ =OF+OE 又∵OQ∴OF+OE…………… 6分（3）线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF - OE…………… 7分6（2019++石景山+++一模） （1）补全的图形如图1所示 （2）△ABC 是等边三角形∴AB BC CA ==，60ABC BCA CAB ∠=∠=∠=︒由平移可知ED ∥BC ，ED =BC ……… 2分60ADE ACB ∴∠=∠=︒ 90GMD ∠=︒ 2DG DM DE ∴==…… 3分DE BC AC == DG AC ∴= AG CD ∴=……… 4分（3）线段AH 与CG 的数量关系：AH = CG ……… 5分 如图2，连接BE ，EF,ED BC =ED ∥BC BEDC ∴四边形是平行四边形 BE CD CBE ADE ABC ∴=∠=∠=∠， GM ED 垂直平分EF DF ∴= DEF EDF ∴∠=∠ED ∥BCBFE DEF BFH EDF ∴∠=∠∠=∠， BFE BFH ∴∠=∠BF BF = BEF BHF ∴△≌△………… 6分BE BH CD AG ∴===AB AC = AH CG ∴=……… 7分7（2019+++西城+++一模）D8（2019+++燕山+++一模）(1)①补全的图形如图的所示………1分 ②证明：∵∠ADE ＝∠B ＝90°∴∠EDC ＋∠ADB ＝∠BAD ＋∠ADB ＝90° ∴∠EDC ＝∠BAD ……………3分 (2) ①CEBD ……………4分 ②想法1：如图，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ∴∠F ＝90° 在△ADB 和△DEF 中，∠B ＝∠F ＝90°，∠EDC ＝∠BAD ，AD ＝DE ∴△ADB ≌△DEF ∴AB ＝DF ，BD ＝EF ∵AB ＝BC ∴DF ＝BC 即DC ＋CF ＝BD ＋DC ∴CF ＝BD ＝EF ∴△CEF 是等腰直角三角形 ∴CECFBD ……………7分 想法2：证明：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF∵∠B ＝90°，AB ＝BC ∴DFBD ∵AB ＝BC ，BF ＝BD ∴AB －BF ＝BC －BD 即AF ＝DC 在△ADF 和△DEC 中AF ＝DC ，∠BAD ＝∠EDC ，AD ＝DE ∴△ADF ≌△DECFABECD∴CE＝DF BD……………7分想法3：证明：延长AB到F，使得BF＝BD，连接DF，CF∵∠B＝90°∴DF在Rt△ABD和Rt△CBF中∠ABD＝∠CBF＝90°，AB＝BC，BD＝BF ∴△ABD≌△CBF∴AD＝CF，∠BAD＝∠BCF ∵AD＝DE ∴DE＝CF∵∠EDC＝∠BAD ∴∠EDC＝∠BCF ∴DE∥CF∴四边形DFCE为平行四边形∴CE＝DF BD……………7分9（2019+++丰台+++一模）10（2019+++密云+++零模） （1）补全图形AD 与BE 的数量关系为AD=BE（2）∵∠ACB=∠DCE= 60° ∴∠ACD=∠BCE 又∵AC=BC,CD=CE ∴△ACD ≌△BCE ∴AD=BE, ∠CBE=∠CAD=60°∴∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=60° 在Rt AFB ∆中，AF AB=∴ABDBAH O DBA1已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H （1）求证：ADB ACB ∠=∠（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明 2已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC(1) 如图1，点D 是BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE . 若∠BAD =α，求∠DBE 的大小 (用含α的式子表示)(2) 如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE . ①依题意补全图2 ②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明AA3如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射 线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并 延长，交射线AD 于点F（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数（2）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系， 并证明 4在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，BD 交AC 于P （1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数 （用含α的代数式表示） （2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系 （3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系5如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE 交OA 于点E ．以点P 为旋转 中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F （1）根据题意补全图1，并证明PE = PF（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明 （3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系6如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC ，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G （1）依题意补全图形 （2）求证：AG = CD（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等 式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明PPEECCBBOOAADB A7如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA=BC .将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，E 是边BC 上的一动点，连接DE 交AC 于点F ，连接BF (1) 求证：FB=FD(2) 点H 在边BC 上，且BH=CE ，连接AH 交BF 于点N ①判断AH 与BF 的位置关系，并证明你的结论 ②连接CN .若AB =2，请直接写出线段CN 长度的最小值8如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC(1) ① 依题意补全图1 ② 求证：∠EDC ＝∠BAD(2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为② 小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ． 想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ． 想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形． ……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想(一种方法即可)备用图AB CD 图1 DCBA9在ABC ∆中，090=∠ACB ，AC=BC ，D 为AB 的中点，点E 为AC 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE交CB 的延长线于点F（1）求证:BF=CE（2）若CE=AC ，用等式表示线段DF 与AB 的数量关系，并证明10已知ABC ∆为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）.将线段CD 绕点C 逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE 、BE（1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系（2）过点A 作AF EB ⊥交EB 延长线于点F ，用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明图2D C B A 图1A B CD。
代几综合2018西城一模28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQkCQ ，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ ，2AQk CQ （或2BQCQ ）．已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q ，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当2r 时，①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(12,0)A 是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当1r，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当3k 时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b 与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．备用图C yxO Q 图1C y x OA 1A 2Q2018平谷一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11,x y ，点N 的坐标为22,x y ，且12x x ，12y y ，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （0,23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．。
代数综合专题东城区20. 已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=.(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；(2) 若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m∵()2+10m ≥，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分（2）解：由求根公式，得()()1,231=2m m x +±+， ∴1=1x ，2=+2x m .∵方程有一个根的平方等于4，∴()2+24m =.解得=-4m ，或=0m . -------------------5分西城区20．已知关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．【解析】（1）2222(3)4(3)691269(3)0m m m m m m m m ∆=--⨯-=-++=++=+≥ ∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）由求根公式，得(3)(3)2m m x m --±+=， ∴11x =，23x m=-（0m ≠）． ∵此方程的两个实数根都为正整数，∴整数m 的值为1-或3-．海淀区20．关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=.（1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值；（2）若m 为负数．．，判断方程根的情况. 20．解：（1）∵m 是方程的一个实数根，∴()222310m m m m --++=. ………………1分 ∴13m =-. ………………3分 (2)24125b ac m ∆=-=-+.∵0m <，∴120m ->.∴1250m ∆=-+>. ………………4分∴此方程有两个不相等的实数根.丰台区20．已知：关于x 的一元二次方程x 2 - 4x + 2m = 0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数．．．．，且该方程的根都是整数．．，求m 的值．20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.∴Δ=24421680m m --⋅=->（）．∴2m <. ………………………2分（2）∵2m <，且m 为非负整数，∴=0m 或1. ………………………3分当m =0时，方程为240x x -=，解得方程的根为01=x ，24x =，符合题意；当m =1时，方程为2420x x -+=，它的根不是整数，不合题意，舍去.综上所述，m =0. ………………………5分石景山区20．关于x 的一元二次方程2(32)60mx m x +--=．（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．20．解：（1）∵24b ac ∆=-2(32)24m m =-+2(32)0m =+≥∴当0m ≠且23m ≠-时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分 （2）解方程，得： 12x m=,23x =-． …………… 4分 ∵m 为整数,且方程的两个根均为负整数,∴1m =-或2m =-．∴1m =-或2m =-时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分朝阳区20. 已知关于x 的一元二次方程0)1(2=+++k x k x ．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围.20. （1）证明：依题意，得k k 4)1(2-+=∆ …………………1分.)1(2-=k …………………………………2分∵0)1(2≥-k ，∴方程总有两个实数根. ………………………3分（2）解：由求根公式，得11-=x ，k x -=2. …………………………4分∵方程有一个根是正数，∴0>-k .∴0<k .………………………………5分燕山区21．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k 的值．21．（1） 证明：因为[])(14)12(4222k k k ac b +⨯⨯-+-=- 01〉=所以有两个不等实根 …………3′..(2)当x=1 时，01)12(12=++⨯+-k k k 02=-k k ′1021==k k 或 ………5′门头沟区22. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k 的取值.22（本小题满分5分）解：（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥．………………………………………1分∴3k ≤． ………………………………………2分（2）∵k 为正整数，∴123k =，，．当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；……………………3分当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根； ……………………4分当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根.综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．……………5分大兴区20. 已知关于x 的一元二次方程01632=-+-k x x 有实数根，k 为负整数．（1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．20.解：（1）根据题意，得Δ=(－6)2－4×3（1－k ）≥0．解得2≥-k ．……………………………………………………………1分∵k 为负整数，∴k =－1，－2．……………………………………… 2分（2）当1=-k 时，不符合题意，舍去； ………………………………… 3分当2=-k 时，符合题意，此时方程的根为121==x x ．………… 5分平谷区20．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．20．解：（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴()2Δ2410k =-->····················· 1 =8－4k >0.∴2k < (2)（2）∵k 为正整数，∴k =1． ··························· 3 解方程220x x +=，得120,2x x ==-． ············· 5 怀柔区20.已知关于x 的方程226990-+-=x mx m .（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x 1，x 2，其中x 1>x 2，若x 1=2x 2，求m 的值.20.(1）∵△=(-6m)2-4(9m 2-9) ……………………………………………………………………1分=36m 2-36m 2+36=36>0.∴方程有两个不相等的实数根……………………………………………………………2分（2）66332m x m ±===±.……………………………………………………3分 ∵3m+3>3m -3,∴x 1=3m+3,x 2=3m-3, …………………………………………………………………………4分 ∴3m+3=2(3m -3) .∴m=3. …………………………………………………………………………………………5分 延庆区20．已知：∠AOB 及边OB 上一点C ．求作：∠OCD ，使得∠OCD=∠AOB ．要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；（说明：作出一个．．即可） 2．请你写出作图的依据．C B O A20． （1）作图（略） ……2分（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等边对等角. ……5分顺义区20．已知关于x 的一元二次方程()21260x m x m --+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m 的取值范围．20．（1）证明：∵()214(26)m m ⎡⎤∆=----⎣⎦221824m m m =-+-+21025m m =-+ ()25m =-≥0 …………………………………………………… 2分 ∴ 方程总有两个实数根． ………………………………………………… 3分（2）解：∵1(5)2m m x -±-==， ∴ 13x m =-，22x =． ……………………………………………… 4分 由已知得 30m -<．∴ 3m <． ………………………………………………………………… 5分。
第10讲 代几综合（新定义） 1．（海淀）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C 上，则称P 为C 的反射点．下图为C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．1．解（1）①A 的反射点是M ，N ． ②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图．可求得点D 的横坐标为322-． 同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为22-，22，322． 点P 是A 的反射点，则A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A 上，则'OP OP =.∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ． 反之，若13≤≤OP ，A 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的垂直平分线经过原点，且与A 相交．因此点P 是A 的反射点．∴点P 的横坐标x 的取值范围是32222≤≤x --，或23222≤≤x ． （2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -．2．（西城）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．yxPO C TP’（1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的附点”，直接写出b 的取值范围．2.（1（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，∵(1,0)Q -，(1,0)C ，1r =， ∴2CQ =，1CM =，xx∴MQ =此时2MQk CQ== ②如图，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，∴()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=， ∵2CQ =， ∴2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===，∴当k =DQ =此时1CD =， 假设⊙C 经过点Q ，此时2r =， ∵点Q 早⊙C 外，∴r 的取值范围是12r <≤． （3）b <<．x3（东城）给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点P是线段MN关于点O 的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.（1）如图2，22,22M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，22,22N⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.在A（1，0），B（1，1），()2,0C三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是；（2）如图3，M（0，1），N31,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，点D是线段MN关于点O的关联点.①∠MDN的大小为°；②在第一象限内有一点E()3,m m，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线323y x=-+上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标Fx的取值范围．3. 解：（1）C；（2）①60°；②△MNE是等边三角形，点E的坐标为()31，；③直线323y x=-+交y轴于点K（0，2），交x轴于点()23T，0.∴2OK=，23OT=. ∴60OKT∠=︒.作OG ⊥KT 于点G ,连接MG . ∵()M 0，1， ∴OM =1.∴M 为OK 中点 . ∴ MG =MK =OM =1.∴∠MGO =∠MOG =30°，OG =3. ∴33.22G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∵120MON ∠=︒, ∴ 90GON ∠=︒. 又3OG =，1ON =，∴30OGN ∠=︒. ∴60MGN ∠=︒.∴G 是线段MN 关于点O 的关联点.经验证，点()31E，在直线323y x =-+上. 结合图象可知， 当点F 在线段GE 上时 ，符合题意.∵G F E x x x ≤≤， ∴332F x ≤≤. 4. （朝阳） 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点． （1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ； ②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN 5=，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针 旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．4. 解：（1）①线段AB 的伴随点是: 23,P P .②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值.∴ b 的取值范围是3≤b ≤5.（2）t 的取值范围是-12.2t ≤≤ 5.（石景山）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线33y =+ 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．28．解：（1）25π； ………………… 2分 （2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积图1 图2AB为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限． 过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴2BE AE ==．∴22B（． ②当0b <时，则点'B 在第四象限．同理可得'22B -（．综上所述，点B 的坐标为22-（，）或22-（． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥． ………………… 8分6．（丰台）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．6．解：（1）点和线段的“中立点”的是点D ，点F ； （2）点A 和⊙G 的“中立点”在以点O 为圆心、半径为1的圆上运动.因为点K 在直线y =- x +1上， 设点K 的坐标为（x ，- x +1），则x 2+（- x +1）2=12，解得x 1=0，x 2=1. 所以点K 的坐标为（0，1）或（1，0）. （3）（说明：点与⊙C 的“中立点”在以线段NC 的中点P 为圆心、半径为1的圆上运动.圆P 与y 轴相切时，符合题意.） 所以点N 的横坐标的取值范围为-6≤x N ≤-2.7．（顺义）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r 是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'． A BC N xy x y 图1Q 2Q 1L 2L 1P图2C 2C 1NMO'86422468105510D CBAO（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．7.（1）是．过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ．依题意可得A （k ,k 2）,B （2k ,2k 2）．……………………………………………… 2分 因此D （k ,0），C （2k ,0）． ∵AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，∴AD ∥BC ．∴122===OA OD k OB OC k ． ∴两抛物线曲似，曲似比是12． ………… 3分 （2）假设存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切．则OA=OC=2k ，又∵OD=k ，AD=k 2，并且OD 2+AD 2= OA 2， ∴k 2+（k 2）2=（2k ）2．∴3k =±．（舍负） 由对称性可取3k =-．综上，3k =±． ………………………… 6分（3）m 的取值范围是m ＞1，k 与m 之间的关系式为k 2=m 2-1 ． ……… 8分 8．（延庆）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中， 与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4） （2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围； （3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点， 求r 的取值范围．8．(1)F ……1分(2) -3≤p x ≤3 且p x ≠0 ……4分(3)4 < r≤5 ……7分9. （怀柔） P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA ⋅PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（2,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ； ②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．9. (1)①P 1（2,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分 ②如图， 在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O 到直线y=x+b 的距离m ≤2. 直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H. 因为OH=2，在Rt △DOE 中，可知OE=22. 可得b 1=22.同理可得b 2=-22.∴b 的取值范围是:22-≤b ≤22. …………………………………………………6分 (2)x>3或 3-<x . …………………………………………………………………………8分10（平谷）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙OP 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．10．解：（1）60；·························································································· 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°． 过点C 作CE ⊥DE 于E ．∴D （4,5）或()2,5-． ........................................ 3 ∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． (5)（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)11（门头沟）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式. （2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围.xy OxyO备用图1 备用图211．解： (1)①)5,3()5,1(21C C 或. ……………………………………………2分②由图可知，B )3,5( ∵A (1,3) ∴AB =4∵ABC ∆为等腰直角三角形 ∴BC =4∴)1,5()7,5(21-C C 或设直线AC 的表达式为(0)y kx b k =+≠ 当)7,5(1C 时，⎩⎨⎧=+=+753b k b k ⎩⎨⎧==∴21b k2+=∴x y …………………………………3分 当)1,5(2-C 时，⎩⎨⎧-=+=+153b k b k ⎩⎨⎧=-=∴41b k4+-=∴x y …………………………………4分 ∴综上所述，直线AC 的表达式是2+=x y 或4+-=x y (2)当点F 在点E 左侧时：2r ∴≤当点F 在点E 右侧时：r…………………………………7分 综上所述：2r ∴≤ …………………………………8分12（大兴）在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E 在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ,E 的“平横纵直角”的示意图.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N .（1）点N 的横坐标为 ；图2 （2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”， 若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤∠≤︒时，求m 的取值范围．12.（1）9 ………………………………………………………………… 1分 （2）方法一:MK ⊥MN ，∴要使线段OC 上存在不同的两点M 1、M 2，使相应的点K 1、K 2都与点F 重合，也就是使以FN 为直径的圆与OC 有两个交点，即m r >．29=r ，29<∴m ．又0>m ，290<<∴m ． ………………………………………………4分方法二：0>m ，∴点K 在x 轴的上方．过N 作NW ⊥OC 于点W ，设OM x =，OK y =， 则 CW ＝OC －OW ＝3，WM ＝9x -． 由△MOK ∽△NWM ， 得，∴9y x x m=-． ∴x mx m y 912+-=．当m y =时，219m x x m m=-+， 化为0922=+-m x x ． 当△=0，即22940m -=， 解得92m =时， 线段OC 上有且只有一点M ，使相应的点K 与点F 重合．0>m ，∴ 线段OC 上存在不同的两点M 1、M 2，使相应的点K 1、K 2都与点F 重合时，m 的取值范围为290<<m ． ………………………………………………………………………………4分（3）设抛物线的表达式为：)12)(3(-+=x x a y (a ≠0)，又 抛物线过点F （0，m ）， a m 36-=∴．m a 361-=∴．mx m x x m y 1625)29(361)12)(3(3612+--=-+-=∴． …………………………………5分过点Q 做QG ⊥x 轴与FN 交于点RFN ∥x 轴 ∴∠QRH =90°tan BG BQG QG∠=，2516QG m =，152BG =∴，又4560QHN ︒≤∠≤︒，∴3045BQG ︒≤∠≤︒∴当30BQG ∠=︒时，可求出3524=m ， 当45BQG ∠=︒时，可求出524=m ．m ∴的取值范围为2424355m ≤≤．13.（房山）在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1.①在点E （1,1），F （－22 ,－22）,M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ；②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线ky x=（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围.（2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x ,y ，()22B x ,y ,且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.13. （1）① F ; ………………………………………………………………………1分 ② ∵⊙O 的半径为1.∴⊙O 的“梦之点”坐标为（－22 ,－22 ）和（22 ,22）.………………2分 又∵双曲线ky x=（k ≠0）与直线y =x 的交点均为双曲线的“梦之点”， ∴将（－22 ,－22）代入双曲线表达式中，得， 1=2k xy =……………………………………………………………………3分 ∵点P 位于⊙O 内部. ∴102k ＜＜……………………………………………………………………4分 （2） －1≤t ≤3……………………………………………………………………………6分 （3）由“梦之点”定义可得: ()11A x ,x ，()22B x ,x . 则21x ax ax =-+.整理得，()2110ax a x -++=解得，11x =，21x a=. 把两个根代入122x x -=中，即112a-=解得，11a =-，213a =. 当1a =-时，21y x x =-++ ，其顶点坐标为（12 , 54 ）………………………7分当13a =时，211133y x x =-+，其顶点坐标为（12 , 1112 ）……………………8分。
代几综合2018西城一模28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C附点”，直接写出b 的取值范围．x2018平谷一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （0,23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．2018石景山一模28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y x = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．2018怀柔一模PB≤3，28. P是⊙C外一点，若射线．．PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：若0＜PA则点P为⊙C的“特征点”．(1)当⊙O的半径为1时．①在点P1（2,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是；②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是．．．⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．2018海淀一模28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________； ②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．2018朝阳一模28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=-3时，①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=，求b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．2018东城一模28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.（1）如图2，2222M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2222N⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.在A（1，0），B（1，1），)2,0C三点中，是线段MN关于点O的关联点的是；（2）如图3， M（0，1），N3122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，点D是线段MN关于点O的关联点.①∠MDN的大小为°；②在第一象限内有一点E)3,m m，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线323y x=-+上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标Fx的取值范围．2018丰台一模28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．2018房山一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1. ①在点E （1,1），F （－22 ,－22）,M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ； ②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线ky x=（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围. （2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11Ax ,y ，()22B x ,y ,且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.2018门头沟一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图22018大兴一模28.在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E 在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ,E 的“平横纵直角”的示意图.1如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N . （1）点N 的横坐标为 ；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．图22018顺义一模28．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．图1Q 2Q 1L 2L 1P图2C 2C 1NMO'2018通州一模28.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”.（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ； ② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.2018燕山一模27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6. ①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由.,备用图准蝶形AMB A BM。
2021北京各区初三数学一模试题分类——二次函数(含代数综合题)二次函数〔含代数综合题〕〔1〕二次函数图像与性质根底1〔.18朝阳毕业9〕在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx27x1的图象如下图，那么方程x27x10的根的情况是A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断2.〔186x+5的顶点坐标朝阳毕业13〕抛物线y=x2为．3.〔18大兴一模11〕请写出一个开口向下，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=4.〔18东城一模2〕当函数y2的函数值y随着xx12的增大而减小时，x的取值范围是A．x＞0B．x＜1C．x＞1D．x为任意实数〔18燕山一模12〕写出经过点〔0，0〕，〔-2，0〕的一个二次函数的解析式〔写一个即可〕HA DE6〔.18顺义一模15〕如图，在边长为6cmGB F C的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为四边形EFGH的面积最小，其最小值是s时，cm2．〔2〕二次函数综合1.〔18平谷一模26〕在平面直角坐标系 xOy中，抛物线x22bx3的对称轴为直线x=2．1〕求b的值；2〕在y轴上有一动点P〔0，m〕，过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，其中x1x2．①当x2x13时，结合函数图象，求出m的值；②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，4y4，求m的取值范围．2.〔18延庆一模26〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a(a＞0)与x轴交于A，B两点〔A在B的左侧〕．1〕求抛物线的对称轴及点A，B的坐标；2〕点C〔t，3〕是抛物线yax24ax3a(a0)上一点，〔点C在对称轴的右侧〕，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．①当CD A D时，求此时抛物线的表达式；②当CD A D时，求t的取值范围．y654321-3-2 -1O12345x -1-2-3〔18石景山一模26〕在平面直角坐标系xOy中，将抛〔m0〕向右平移3个单位长度后得到抛物线G1：ymx223物线G2，点A是抛物线G2的顶点．1〕直接写出点A的坐标；2〕过点〔0，3〕且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B，C两点．①当BAC=90°时，求抛物线G2的表达式；②假设60°BAC120°，直接写出m 的取值范围．4.〔18房山一模26〕抛物线y=ax2+bx-3分别交x轴于点A〔－1,0〕，C〔3，0〕，交y轴于点B，抛物线的对称轴与x轴相交于点D.点P为线段OB上的点，点E为线段AB上的点，且PE⊥AB.〔1〕求抛物线的表达式；PE〔2〕计算PB的值；1〔3〕请直接写出2PB+PD的最小值为.yO x5. 〔18西城一模26〕在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ： mx 22mxm1(m0)与y轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ， 直线l ：y mx m 1(m 0)． 1〕当m1时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长． 〔2〕随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线 上并说明理由． 3〕假设直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．y1xO16〔.18朝阳毕业26〕抛物线yx2bxc的对称轴为直线x=1，该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，与y轴的交点为C，其中A〔1，0〕.〔1〕写出B点的坐标；（2〕假设抛物线上存在一点P，使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍，求点P的坐标；（3〕点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段MD长度的最大值.（ 7.〔18怀柔一模26〕在平面直角坐标系xOy 中，抛物（ 线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C（ 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ． （ 1〕求抛物线顶点M 的坐标；（ 2〕假设点A 的坐标为〔0，3〕，AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；（ 3〕在〔2〕的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的局部沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，假设直线y 1xm 与图象G 有一个交点，结合函数的图象，2求m 的取值范围．y5 4 3 2 1–5–4–3–2–1O 1 2 3 45 x –1 –2 –3 –4–58.〔18海淀一模26〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22axb的顶点在x轴上，P(x1,m)，Q(x2,m)〔x1x2〕是此抛物线上的两点．1〕假设a1，①当mb时，求x1，x2的值；②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；2〕假设存在实数c，使得x1c1，且x2c7成立，那么m的取值范围是．9.〔18朝阳一模26〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线ax24ax4a0与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.1〕求点A，B的坐标；2〕假设方程ax24ax4=0a0有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间〔包括1，3〕，结合函数的图象，求a的取值范围.10.〔18东城一模线y ax24ax3a 26〕在平面直角坐标系xOy中，抛物2a0与x轴交于A，B两点〔点A在点B左侧〕．1〕当抛物线过原点时，求实数a的值；2〕①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标〔用含a的代数式表示〕；〔3〕当AB≤4时，求实数a的取值范围．11.〔18丰台一模26〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax3a的最高点的纵坐标是2．1〕求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；2〕将抛物线在1≤x≤4之间的局部记为图象G1，将图象G1沿直线x=1翻折，翻折后的图象记为G2，图象G1和G2组成图象G．过(0，b)作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求b的取值范围和x1+x2的值．y6543217 6 5 4 3 2 1O 1 2 3 4 5 6x1234567812.〔18门头沟一模26〕有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(x2,y2)(点B在点A的右侧)；②对称轴是x 3；③该函数有最小值是-2. 1〕请根据以上信息求出二次函数表达式；2〕将该函数图象x＞x2的局部图象向下翻折与原图象未翻折的局部组成图象“G〞，平行于x轴的直线y与图象“G〞相交于点C(x3,y3)、D(x4,y4)、E(x5,y5)〔x3x4x5〕，结合画出的函数图象求x3x4x5的取值范围.O x13.〔18大兴一模26〕在平面直角坐标系xOy中,抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于yx2(3m1)x2m2m(m0),B(x2,0)，且x1x2.点A(x1,0)1〕求2x1x23的值；2〕当m=2x1x23时，将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部〔不包括△ABC的边〕，求n的取值范围〔直接写出答案即可〕．14.〔18顺义一模26〕在平面直角坐标系xOy中，假设抛物线yx2bxc顶点A的横坐标是-1，且与y轴交于点B0，-1〕，点P为抛物线上一点．1〕求抛物线的表达式；2〕假设将抛物线yx2bxc向下平移4个单位，点P平移后的对应点为Q．如果OP=OQ，求点Q的坐标．yxO（（（（（（（15.〔18通州一模26〕在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数ymx24mx4m1的图象的顶点，一次函数（x4的图象与x轴、y轴分别交于点A，B.（1〕请你求出点A,B,C的坐标；（2〕假设二次函数ymx24mx4m1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围.。
初三数学一模综合题分类讲解第25题：函数操作题除海淀区外其它所有区县全部仿2019年中考题第26题.标准三步：第①步：选点、画图、测量、填表（精准作图）；第②步：画函数图像；第③步：特定条件下求值（通常转化为直线与函数图像交点）.其中有五个区县在第③步的设问方式有变化，其中平谷区考察“垂线段最短”，门头沟、东城考察“最短路径”，延庆和石景山通过给出或算出y值在图像上估出对应的x值，顺义则改为求范围.海淀区回归了到了前两年的题型，给出了函数解析式.第26题：代数综合题延续了近些年的一贯考察方式。
基本还是围绕两个考点：①考察二次函数开口大小（二次项系数a）;②考察对称性.典型试题分析1.（西城区一模第25题）如图，P 为⊙O 的直径AB 上的一个动点，点C 在AB 上，连接PC ，过点A 作PC的垂线交⊙O 于点Q ．已知AB =5cm ，AC =3cm ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，A ，Q 两点间的距离为y cm ．某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究． 下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x 与y 的几组值，如下表： （说明：补全表格时的相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当AQ=2AP 时，AP 的长度约为 cm．2.（石景山一模第25题）如图，半圆O 的直径5cm AB =，点M 在AB 上且1cm AM =，点P 是半圆O 上的动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q .设cm PM x =，cm BQ y =.（当点P与点A 或点B 重合时，y 的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ 与直径AB 所夹的锐角为60︒时，PM 的长度约为 cm . 3．（东城区一模第25题）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ,点D ,E 分别为BC ，AB 的中点，连接AD .在线段AD上任取一点P ,连接PB ,PE .若BC =4,AD =6，设PD =x （当点P 与点D 重合时，x 的值为0），PB +PE =y . 小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变换而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表： （说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）. （参考数据：1.414≈，1.732≈，2.236≈）(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）函数y 的最小值为______________(保留一位小数)，此时点P 在图1中的位置为 _____________. 4.（通州一模第27题）别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ =BQ ，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当r =时，①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为______；②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”?答：是______（选“是”或“否”）； （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当r =1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值；②当k时，求r 的取值范围；（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点是⊙C，直接写出b 的取值范围．图1 备用图8.（海淀一模第28题）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C 上，则称P为C 的反射点．下图为C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．9.（通州一模第28题）。
