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2020-2021学年广西南宁三中高二(上)月考数学试卷(文科)(三)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|y=x}，B={(x,y)|x2+y2=1}，则A∩B中元素的个数是()A. 3B. 2C. 1D. 02.已知椭圆的长轴长为8，离心率为34，则此椭圆的标准方程是()A. x216+y29=1 B. x216+y27=1或x27+y216=1C. x216+y225=1 D. x216+y225=1或x225+y216=13.“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 至少有一个红球与至少有个白球D. 恰有一个红球与恰有两个红球5.若曲线x21−k +y21+k=1表示椭圆，则k的取值范围是()A. k>1B.C. D. 或0<k<16.设F1，F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△F1PF2的面积等于()A. 5B. 4C. 3D. 17.某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是()A. 310B. 710C. 25D. 358.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24+x23=1上的一个动点，点A(1,1)，B(0,−1)，则|PA|+|PB|的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 59. 在△ABC 内任取一点P ，设S △PBC 、S △ABC 分别表示△PBC 、△ABC 的面积，则S △PBCS△ABC>12的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 2310. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 811. 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a > b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为( )A. 13B. 12C. √52D. √3312. 直线y =kx +2和椭圆x 23+y 22=1有交点，则k 的取值范围是( )A. k >√63或k <−√63B. k ≥√63或k ≤−√63 C. −√63<k <√63D. −√63≤k ≤√63二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 圆心为M 的动圆M 过点(1,0)，且与直线x =−1相切，则圆心M 的轨迹方程为______ ． 14. 如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=0.7x ̂+0.35，那么表中m 的值为________． x 34 5 6y2.5m44.515. 已知直线与椭圆x 29+y 24=1交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于______ ． 16. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若，设，且α∈[π12,π4]，则椭圆离心率的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班7名学生的平均分是85，乙班7名学生成绩的中位数是83．⑴求实数x、y的值；⑴求高三年级甲班7名学生的成绩的方差；⑴从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．18.在△ABC中，sin2B+sin2A=sinAsinB+sin2C(1)求角C的大小(2)求sinA⋅sinB的最大值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n log2a n+1求数列{b n}的前n项和T n．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，∠DAB=60∘，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E，F分别为AB，PD的中点．(1)求证：AF//平面PEC；(2)求点D到平面PEC的距离．22.已知椭圆y2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，且该椭圆的短轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点F2的直线l与椭圆交于M、N两点，求△F1MN面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：解{y =xx 2+y 2=1得，{x =−√22y =−√22，或{x =√22y =√22； ∴A ∩B ={(−√22,−√22),(√22,√22)}，有两个元素． 故选：B ．解方程组{y =xx 2+y 2=1即可得出A ∩B ，从而得出A ∩B 的元素个数．考查描述法、列举法的定义，以及集合元素的概念．2.答案：B解析：本题给出椭圆的长轴与离心率，求椭圆的标准方程．考查了椭圆的标准方程与基本概念等知识，属于基础题．根据椭圆的基本概念，结合题意算出a =4且c =3，从而得到b 2=a 2−c 2=7.再根据椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程． 解：∵椭圆的长轴为8，离心率是34，∴2a =8，e =ca =34，解得a =4，c =3，b 2=a 2−c 2=7， 因此，当椭圆的焦点在x 轴上时，其方程为x 216+y 27=1；椭圆的焦点在y 轴上时，其方程为x 27+y 216=1．故选B ．3.答案：A解析：解：若φ=0，则f(x)=sin(x +φ)=sinx ，为奇函数，所以成立． 若f(x)=sin(x +φ)为奇函数，则φ=kπ．所以“φ=0”是“函数f(x)=sin(x +φ)为奇函数”的充分不必要条件．结合三角函数的奇偶性性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．4.答案：D解析：解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，在A中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，故B错误；在C中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故D正确．故选：D．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查互斥而不对立事件的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方思想，是基础题．5.答案：D解析：本题考查了椭圆的概念及标准方程，属于基础题．由曲线x21−k +y21+k=1表示椭圆，可得{1−k>01+k>01−k≠1+k，解出即可得出答案．解：∵曲线x21−k +y21+k=1表示椭圆，∴{1−k>01+k>01−k≠1+k,解得−1<k<1，且k≠0，即k的取值范围是(−1,0)∪(0,1)．故选D．解析：本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，属于基础题．根据椭圆的定义，及已知条件，可判断△PF1F2为直角三角形．解：由椭圆方程，得a=3，b=2，c=√5，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，又|PF1|∶|PF2|=2∶1，∴|PF1|=4，|PF2|=2，由22+42=(2√5)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|=12×4×2=4．故选B．7.答案：B解析：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从5饮料中抽3听，共有C53=10种结果，满足条件的事件是检测出至少有一听不合格饮料，共有C21C31+C22=7，∴检测出至少有一听不合格饮料的概率是710，故选B．本题是一个等可能事件的概率，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查对于至少或至多这种数学用语的理解，可以用对立事件来解决，本题是一个为典型的概率问题，是一个基础题．8.答案：D解析：本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点B的距离和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B(0,−1)和B′(0,1).因此连接PB′、AB′，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+(2a−|PB′|)=4+(|PA|−|PB′|).再由三角形两边之差小于第三边，得到当且。
2020-2021学年广西桂林高二上数学月考试卷一、选择题1. 如果实数a ，b ，c 满足：a >b >c ，则下列不等式一定成立的是( ) A.ac 2>bc 2 B.a 2>b 2>c 2C.a +c >2bD.a −c >b −c2. 已知不等式x 2+bx −c <0的解集为{x|3<x <6}，则不等式−bx 2+(c +1)x −2>0的解集为( ) A.{x|x <19 或x >2} B.{x|19<x <2} C.{x|x <−19或x >2} D.{x|−19<x <2}3. 设a ，b 是正实数，且a +b =2，则1a+4b 的最小值是( )A.92 B.9 C.5 D.24. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=22，S n =330，S n−4=176，则n =( ) A.14 B.15C.16D.175. 已知1，a ，b ，c ，4成等比数列，则b =( ) A.±2 B.2C.−2D.不确定6. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5=5，S 10=30，则S 15=( ) A.90 B.125C.155D.1807. 若变量x ，y 满足约束条件 {x −y ≥0,x +y ≤2,y ≥0, 若z =ax +y 的最大值为4，则a =( )A.3B.2C.−2D.−38. 已知“整数对”按如下规律排列：(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)，(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1),…，则第68个“整数对”为（ ） A.(1, 12) B.(3, 10)C.(2, 11)D.(3, 9)9. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列说法错误的是( ) A.S 12<0 B.S 11>0C.d <0D.|a 6|>|a 7|10. 数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.即：a n+2=a n+1+a n .记该数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A.S 2019=a 2020+2 B.S 2019=a 2021+2C.S 2019=a 2020−1D.S 2019=a 2021−111. 已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，等比数列{b n }是公比为q 的正整数，前n 项和为T n ，若a 1=d ，b 1=d 2，且a 12+a 22+a 32b 1+b 2+b 3是正整数，则S 92T 8等于( )A.4517 B.27017 C.9017 D.1351712. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=1，a n >0，a n+12=4S n +4n +1，若不等式4n 2−8n +3<(5−m)2n ⋅a n 对任意的正整数n 恒成立，则整数m 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7二、填空题已知x ，y ∈R +，若x +2y =4，则x 2+4y 2的最小值为________.已知数列{a n }为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为3227，则这个数列的公差为________.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 3，a 5成等差数列，且S k =33，S k+1=−63，其中k ∈N ∗，则S k+2的值为________．在△ABC 中，已知2cos 2A2=√33sin A ，若a =2√3，则△ABC 周长的取值范围为________.三、解答题已知a ，b ，c ∈(0,+∞)．求证：(aa+b )⋅(bb+c )⋅(cc+a )≤18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，B =30∘，三边a ，b ，c 成等比数列，且△ABC 的面积为1，在等差数列{a n }中，a 1=1，公差为b ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n =1a n a n+1，设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的取值范围．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c cos A +a cos C =3a . (1)求ab 的值；(2)若a =1， c =√6，求△ABC 外接圆的面积．已知钝角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若b =a tan B ，且2sin C =2sin B cos A +32． (1)求角C ；(2)若点D 满足BD →=2DC →，且AD =√2，求△ABC 的周长．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n +n 2−3n −2(n ∈N ∗). (1)求证：数列{a n −2n}为等比数列；(2)设b n =a n ⋅cos nπ，求数列{b n }的前n 项和T n ．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 2−(n 2+n −1)S n −(n 2+n )=0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n =43a n2−(−1)n，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意的n ∈N ∗，都有T n <74.参考答案与试题解析2020-2021学年广西桂林高二上数学月考试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】不等式的基本性质 【解析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果． 【解答】解：A ，当c =0时, ac 2=bc 2，故A 错误；B ，当a =−1，b =−2，c =−3时，a 2<b 2<c 2，故B 错误；C ，当a =1，b =0，c =−3时， a +c <2b ，故C 错误；D ，不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变， a >b ，则a −c >b −c ，故D 正确． 故选D ． 2. 【答案】 C【考点】根与系数的关系一元二次不等式的应用【解析】根据题意，可知x 2+bx −c ＝0的两根为3，6．依据韦达定理，即可解得b 与c ，化简不等式−bx 2+(c +1)x −2>0为9x 2−17x −2>0，通过一元二次不等式的解法即可求得结果． 【解答】解：由题意得，方程x 2+bx −c =0的两根为3，6． 则{3+6=−b ，3×6=−c ，解得{b =−9，c =−18，所以不等式−bx 2+(c +1)x −2>0可化为9x 2−17x −2>0， 解得x <−19或x >2，所以不等式−bx 2+(c +1)x −2>0的解集为{x|x <−19或x >2}. 故选C . 3. 【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】利用乘1法和基本不等式即可求出最小值． 【解答】解：由题意可得：1a+4b =12(1a +4b )(a +b)=12(1+4+ba +4ab)≥12(5+2√b a ⋅4ab)=92， 当且仅当ba =4a b时，即a =23，b =43时取等号，所以1a +4b 的最小值是92， 故选A . 4. 【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的性质【解析】根据等差中项的性质，S 4+(S n −S n−4)＝4(a 1+a n )，计算出a 1+a n ，代入等差数列的前n 项和即可得到n ． 【解答】解：依题意，S 4+(S n −S n−4)=22+(330−176)=4(a 1+a n )， ∴ a 1+a n =44， S n =330=a 1+a n2×n ，解得n =15. 故选B . 5. 【答案】 B【考点】等比数列的性质 【解析】利用等比数列的性质求得b =±2，验证b =−2不合题意，从而求得b =2. 【解答】解：由题意得： b 2=1×4=4, 解得：b =±2,当b =−2时，a 2=(−2)×1=−2不合题意，舍去， 所以b =2. 故选B ． 6.【答案】 C【考点】等比数列的前n 项和 等比数列的性质【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 等比数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴ S 5,S 10−S 5,S 15−S 10成等比数列， ∵ S 5=5，S 10=30，∴ S 10−S 5=25,S 15−S 10=25×5=125， ∴ S 15=125+30=155. 故选C . 7. 【答案】 B【考点】含参线性规划问题 【解析】本题考查线性规划问题，分别通过选项中a 的取值代入得到目标函数，通过可行域确定目标函数所取最大值是否为4进行判断a 的取值是否符合题意，最值确定出a 的取值. 【解答】解：不等式组{x −y ≥0,x +y ≤2,y ≥0,表示的平面区域如图阴影部分所示：易知A (2,0)，由{x −y =0,x +y =2得B (1,1)，由z =ax +y 得：y =−ax +z ，当a =−2或a =−3时，z =ax +y 在O (0,0)处取得最大值，最大值z max =0，不合题意； 当a =2或a =3时，z =ax +y 在A (2,0)处取得最大值， 当a =2，x =2，y =0时，z =4，符合题意； 当a =3，x =2，y =0时，z =6，不合题意. 所以a =2. 故选B .8.【答案】 C【考点】 归纳推理 【解析】观察将：(1, 1)、(1, 2)、(2, 1)、(1, 3)、(2, 2)，(3, 1)，(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)，…，写成如图形式的数据，然后分析数据的分布规律，继而求出第62个数对． 【解答】解：第一行(1, 1)有1个，有序整数对和为2， 第二行(1, 2)，(2, 1)有2个，有序整数对和为3，第三行(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)有3个，有序整数对和为4，第四行(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)有4个，有序整数对和为5，第五行(1, 5)，(2, 4)，(3, 3)，(4, 2)，(5, 1)有5个，有序整数对和为6， …第n 行(1, n)，(2, n −1)，(3, n −2)，…(n −1，2)，(n, 1)有n 个，有序整数对和为n +1. 因为1+2+3+...+10+11=66， 1+2+3+...+11+12=78，故第68个“有序整数对”在第12行，第2个， 第12行为：(1, 12)，(2, 11,)，…， 因此第68项为(2, 11)． 故选C. 9.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的性质【解析】根据题意，分析可得a 7=S 7−S 6<0 ,a 6=S 6−S 5>0 ,a 6+a 7=S 7−S 5>0,据此分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：因为S 6>S 7>S 5，所以a 7=S 7−S 6<0 ，a 6=S 6−S 5>0 ，a 6+a 7=S 7−S 5>0. 因为a 7<0，a 6>0，所以d =a 7−a 6<0，故C 正确； S 11=(a 1+a 11)×112=2×a 6×112=11a 6>0，故B 正确;S 12=(a 1+a 12)×122=(a 6+a 7)×122=6×(a 6+a 7)>0，故A 错误；a 7<0，a 6>0，而a 6+a 7>0，必有|a 6|>|a 7|，故D 正确. 故选A ． 10. 【答案】D【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为S n=a1+a2+a3+⋯+a n=(a3−a2)+(a4−a3)+(a5−a4)+(a6−a5)+⋯(a n+2−a n+1)=a n+2−a2=a n+2−1，所以S2019=a2021−1，故选D.11.【答案】D【考点】等比数列的前n项和等差数列的前n项和【解析】由数列{a n}是以d为公差的等差数列，且a1=d求得a12+a22+a32=14d2．再由数列{b n}是公比q的等比数列，且b1=d2求得b1+b2+b3=d2(1+q+q2)，结合a12+a22+a32b1+b2+b3是正整数求得q的值，则S92T s可求．【解答】解：∵数列{a n}是以d为公差的等差数列，且a1=d，∴a2=2d，a3=3d，a12+a22+a32=14d2．又数列{b n}是公比为q的等比数列，且b1=d2，∴b2=d2q，b3=d2q2，∴a12+a22+a32b1+b2+b3=14d2d2(1+q+q2)=141+q+q2∈N∗．∵q是正整数，∴1+q+q2=7，解得：q=2，∴S92T8=(9d+9×8d2)2d2⋅(1−28)1−2=2025d2255d2=13517．故选D．12.【答案】A【考点】不等式恒成立问题数列与不等式的综合数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，a1=1，a n>0，a n+12=4S n+4n+1，①可得n≥2时，a n2=4S n−1+4n−4+1．②①−②可得a n+12−a n2=4S n−4S n−1+4=4a n+4，即有a n+12=a n2+4a n+4=(a n+2)2.由a n>0可得a n+1=a n+2，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，即有a n=1+2(n−1)=2n−1.由不等式4n2−8n+3<(5−m)2n⋅a n，对任意的正整数n恒成立，得5−m>4n2−8n+3(2n−1)⋅2=2n−32，对任意的正整数n恒成立.设f(n)=2n−32n，则f(n+1)−f(n)=2n−12n+1−2n−32n=−2n+52n+1，可得f(1)<f(2)<f(3)>f(4)>f(5)>⋯，即有f(3)为f(n)的最大值，且f(3)=2×3−323=38，即有5−m>38，所以m<378，可得m的最大值为4.故选A．二、填空题【答案】8【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据题意，由基本不等式的性质可得4=x+2y≥2√2xy，变形可得2xy≤4，进而可得x2+4y2= (x+2y)2−4xy=16−4xy，分析可得答案．【解答】解：根据题意，x,y∈R+，且x+2y=4，则有4=x+2y≥2√2xy，变形可得2xy≤4，（当且仅当x=2y=2时等号成立），所以x2+4y2=(x+2y)2−4xy=16−4xy.又由4xy≤8，则有x2+4y2≥8,即x2+4y2的最小值为8.故答案为：8.【答案】5【考点】等差数列的性质【解析】设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k+27k=354可得k的值，根据公差d=32k−27k6求得结果．【解答】解：设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k+27k=59k=354，可得k=6，故公差d=32k−27k6=5k6=5.故答案为：5．【答案】129【考点】等比数列的前n项和等差数列的性质【解析】根据a4，a3，a5成等差数列，求出公比q，代入S k=33，S k+1=−63，求出q k−1代入S k+2即可求出结果．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公比为q，由已知得2a3=a4+a5，∴2a1q2=a1q3+a1q4.∵a1≠0，q≠0，∴q2+q−2=0，解得：q=1或q=−2，当q=1时，与S k=33，S k+1=−63矛盾，故舍去，∴q=−2.∵S k=a1(1−q k)1−q =33，S k+1=a1(1−q k+1)1−q=−63，解得：q k=−32，a1=3，∴S k+2=3[1−(−32)×4]1−(−2)=129.故答案为：129．【答案】(4√3,4+2√3]【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式正弦定理【解析】根据三角函数的倍角公式，结合辅助角公式将函数进行化简求出A，结合正弦定理以及两角和差的正弦公式进行转化求解即可．【解答】解：由2cos2A2=√33sin A得1+cos A=√33sin A，即√33sin A−cos A=1，即2√33sin(A−π3)=1，即sin(A−π3)=√32.因为0<A<π，所以−π3<A−π3<2π3，即A−π3=π3，A=2π3，所以asin A=bsin B=csin C=√3√32=4，b=4sin B，c=4sin C，则b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin(π3−B)=4sin B+4(√32cos B−12sin B)=2sin B+2√3cos B=4sin(B+π3).因为0<B<π3，所以π3<B+π3<2π3,则√32<sin(B+π3)≤1，即2√3<4sin(B+π3)≤4，则2√3<b+c≤4，则4√3<a+b+c≤4+2√3，即三角形的周长的范围是(4√3,4+2√3].故答案为：(4√3,4+2√3].三、解答题【答案】证明：∵a，b，c∈(0,+∞)，∴a+b≥2√ab>0，b+c≥2√bc>0，c+a≥2√ac>0，∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc>0．∴abc(a+b)(b+c)(c+a)≤18，即(aa+b)⋅(bb+c)⋅(cc+a)≤18．当且仅当a=b=c时取“=”．【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵a，b，c∈(0,+∞)，∴a+b≥2√ab>0，b+c≥2√bc>0，c+a≥2√ac>0，∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc>0．∴abc(a+b)(b+c)(c+a)≤18，即(aa+b )⋅(bb+c)⋅(cc+a)≤18．当且仅当a=b=c时取“=”．【答案】解：(1)∵a，b，c成等比数列，∴ac=b2.又∵S=12ac sin B=14ac=1，∴ac=4，∴b=2(b>0)，∴a n=2n−1，n∈N∗.(2)b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1).∴T n=b1+b2+b3+⋯+b n=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=12−14n+2<12.∴T nmin=12−16=13，∴T n∈[13,1 2 ).【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵a，b，c成等比数列，∴ac=b2.又∵S=12ac sin B=14ac=1，∴ac=4，∴b=2(b>0)，∴a n=2n−1，n∈N∗. (2)b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1).∴T n=b1+b2+b3+⋯+b n=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=12−14n+2<12.∴T nmin=12−16=13，∴T n∈[13,12).【答案】解：(1)c cos A+a cos C=3a，由正弦定理得sin C cos A+sin A cos C=3sin A，∴sin(A+C)=3sin A，即sin B=3sin A，∴sin Asin B=13，由正弦定理得ab=13．(2)∵a=1，∴b=3a=3，∴cos C=a2+b2−c22ab=46=23，∴sin C=√1−cos2C=√53.由正弦定理得csin C=2R，∴2R=√6√53=3√305，即R=3√3010，∴S=πR2=2710π=2.7π.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：(1)c cos A+a cos C=3a，由正弦定理得sin C cos A+sin A cos C=3sin A，∴sin(A+C)=3sin A，即sin B=3sin A，∴sin Asin B =13，由正弦定理得ab =13．(2)∵a=1，∴b=3a=3，∴cos C=a2+b2−c22ab=46=23，∴sin C=√1−cos2C=√53.由正弦定理得csin C=2R，∴2R=√6√53=3√305，即R=3√3010，∴S=πR2=2710π=2.7π. 【答案】解：(1)∵b=a tan B，∴sin Bsin A =tan B=sin Bcos B.∵sin B≠0，∴sin A=cos B.∵2sin C=2sin B cos A+32，∴2sin(A+B)=2sin B cos A+32，∴2sin A cos B+2sin B cos A=2sin B cos A+32，∴2sin A cos B=32，∴sin A=cos B=√32.∵A为钝角，∴A=2π3，B=π6，C=π6，(2)由(1)可知a=√3b=√3c，∵BD→=2DC→，∴BD=2a3=2√33b.∵AD=√2，△ABD中，由余弦定理可得，cos B=√32=b2+4b23−22b×2√3b3，解可得，c=b=√6，a=3√2，故周长为2√6+3√2．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理平行向量的性质【解析】（1）由已知结合正弦定理可得sin A＝cos B，然后结合两角和的正弦公式可求sin A，cos B，进而可求C，（2）由（1）可知a=√3b=√3c，结合已知向量关系及余弦定理可求a，b，c，进而可求周长．【解答】解：(1)∵b=a tan B，∴sin Bsin A=tan B=sin Bcos B.∵sin B≠0，∴sin A=cos B.∵2sin C=2sin B cos A+32，∴2sin(A+B)=2sin B cos A+32，∴2sin A cos B+2sin B cos A=2sin B cos A+32，∴2sin A cos B=32，∴sin A=cos B=√32.∵A为钝角，∴A=2π3，B=π6，C=π6，(2)由(1)可知a=√3b=√3c，∵BD→=2DC→，∴BD=2a3=2√33b.∵AD=√2，△ABD中，由余弦定理可得，cos B =√32=b 2+4b 23−22b×2√3b 3，解可得，c =b =√6，a =3√2， 故周长为2√6+3√2．【答案】(1)证明：∵ S n =2a n +n 2−3n −2，①∴ S n+1=2a n+1+(n +1)2−3(n +1)−2，② 两式相减，得a n+1=2a n+1−2a n +2n −2， ∴ a n+1=2a n −2n +2，故a n+1−2(n +1)=2(a n −2n)， 在①式中令n =1得a 1=4， ∴ a 1−2≠0， ∴a n+1−2(n+1)a n −2n=2，∴ {a n −2n}为等比数列.(2)解：由(1)知：a n −2n =2⋅2n−1， ∴ a n =2n +2n ，且cos nπ=(−1)n . 当n 为偶数时，设n =2k(k ∈N ∗)， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n=(b 1+b 3+⋯+b 2k−1)+(b 2+b 4+⋯+b 2k )={−(2+2×1)−(23+2×3)−⋯−[22k−1+2(2k −1)]}+[(22+2×2)+(24+2×4)+⋯+(22k +4k)] =−(2+23+⋯+22k−1)−2[1+3+⋯+(2k −1)]+(22+24+⋯+22k )+2(2+4+⋯+2k)=−(2−22+23−24+⋯+22k−1−22k )+2[−1+2−3+4−⋯−(2k −1)+2k]=−2[1−(−2)2k ]1−(−2)+2k=23(2n −1)+n ；当n 为奇数时，设n =2k −1(k ∈N ∗)， 同理可得T n =−2(2k−1)+1+23−[(2k −1)+1]=−2n+1+23−(n +1)=−2n+13−n −53.综上所述，T n ={−2n+13−n −53，n 为奇数，23(2n−1)+n ，n 为偶数.【考点】 数列的求和等比数列的前n 项和 等比关系的确定【解析】（1）将S n =2a n +n 2−3n −2利用数列中a n ，Sn 的关系进行转化构造出新数列{a n −2n}，再据其性质证明． （2）将（1）中所求的a n 代入bn ，分组求和法求和． 【解答】(1)证明：∵ S n =2a n +n 2−3n −2，①∴ S n+1=2a n+1+(n +1)2−3(n +1)−2，② 两式相减，得a n+1=2a n+1−2a n +2n −2， ∴ a n+1=2a n −2n +2，故a n+1−2(n +1)=2(a n −2n)， 在①式中令n =1得a 1=4， ∴ a 1−2≠0， ∴a n+1−2(n+1)a n −2n=2，∴ {a n −2n}为等比数列.(2)解：由(1)知：a n −2n =2⋅2n−1， ∴ a n =2n +2n ，且cos nπ=(−1)n . 当n 为偶数时，设n =2k(k ∈N ∗)， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n=(b 1+b 3+⋯+b 2k−1)+(b 2+b 4+⋯+b 2k )={−(2+2×1)−(23+2×3)−⋯−[22k−1+2(2k −1)]}+[(22+2×2)+(24+2×4)+⋯+(22k +4k)] =−(2+23+⋯+22k−1)−2[1+3+⋯+(2k −1)]+(22+24+⋯+22k )+2(2+4+⋯+2k)=−(2−22+23−24+⋯+22k−1−22k )+2[−1+2−3+4−⋯−(2k −1)+2k] =−2[1−(−2)2k ]1−(−2)+2k=23(2n −1)+n ；当n 为奇数时，设n =2k −1(k ∈N ∗)， 同理可得T n =−2(2k−1)+1+23−[(2k −1)+1]=−2n+1+23−(n +1)=−2n+13−n −53.综上所述，T n ={−2n+13−n −53，n 为奇数，23(2n−1)+n ，n 为偶数.【答案】(1)解：∵ S n 2−(n 2+n −1)S n −(n 2+n)=0， ∴ [S n −(n 2+n)](S n +1)=0， ∴ S n =n 2+n ，或S n =−1（舍去），a n =S n −S n−1=n 2+n −(n −1)2−(n −1)=2n （n ≥2）， 又a 1=S 1=2，满足上式，故正项数列{a n }的通项公式为a n =2n . (2)证明：由(1)知，a n =2n ， ∴ b n =43n −(−1)n. ∵ b n >0，故T n <T 2n，下面只需证：T2n<74.当n是奇数时，b n=43n+1<43n，∴b1+b3+⋯+b2n−1<b1+4(133+135+⋯+132n−1)=1+4⋅133[1−(13)2(n−1)]1−(13)2=1+4⋅127(1−132n−2)89=1+16(1−132n−2)<1+16=76.当n是偶数时，b n=43n−1<4+13n−1+1=53n，∴b2+b4+⋯+b2n=432−1+434−1+⋯+432n−1<12+(534+536+⋯+532n)=12+581(1−132n−2)1−19<4172．故b1+b2+⋯+b2n<76+4172=12572<12672=74．【考点】数列递推式等比数列的前n项和等差关系的确定【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：∵S n2−(n2+n−1)S n−(n2+n)=0，∴[S n−(n2+n)](S n+1)=0，∴S n=n2+n，或S n=−1（舍去），a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n（n≥2），又a1=S1=2，满足上式，故正项数列{a n}的通项公式为a n=2n.(2)证明：由(1)知，a n=2n，∴b n=43n−(−1)n.∵b n>0，故T n<T2n，下面只需证：T2n<74.当n是奇数时，b n=43n+1<43n，∴b1+b3+⋯+b2n−1<b1+4(133+135+⋯+132n−1)=1+4⋅133[1−(13)2(n−1)]1−(13)2=1+4⋅127(1−132n−2)89=1+16(1−132n−2)<1+16=76.当n是偶数时，b n=43n−1<4+13n−1+1=53n，∴b2+b4+⋯+b2n=432−1+434−1+⋯+432n−1<12+(534+536+⋯+532n)=12+581(1−132n−2)1−19<4172．故b1+b2+⋯+b2n<76+4172=12572<12672=74．。
广西壮族自治区南宁市高级中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A. 【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．2. 如图是成品加工流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过多少道工序（）A．6 B．5或7 C．5 D．5或6或7参考答案：B【考点】EH：绘制简单实际问题的流程图．【分析】根据工序流程图，写出一件不合格产品的工序流程即可．【解答】解：由某产品加工为成品的流程图看出，即使是一件不合格产品，“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、定为废品”五道程序；或是“零件到达后经过粗加工、检验、粗加工、检验、定为废品”五道程序；或是“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、粗加工、检验、定为废品”七道程序．所以，由工序流程图知须经过5或7道工序．故选：B．【点评】本题考查工序流程图的应用问题，解题时应认真审题，做到不漏不重，是基础题．3. 若，且，则( )A.0B.1C.D.参考答案：A略4. （x3+）10的展开式中的常数项是（）A． B． C． D．参考答案：B略5. 某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索．此后，该网站的点击量每月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的（）A．2倍以上，但不超过3倍B．3倍以上，但不超过4倍C．4倍以上，但不超过5倍D．5倍以上，但不超过6倍参考答案：D6. 下列命题是真命题的是（）A．使得 B．使得C．恒有 D．恒有参考答案：D解：故D正确7. 如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=xm，根据俯角的定义得到∠MAC=45°，∠MAD=30°，由平行线的性质得到∠D=30°，∠ACB=45°，再根据等腰三角形的性质得BC=AB=x，根据含30度的直角三角形三边的关系得DB=AB，即100+x=x，解出x即可．【解答】解：设AB=xm，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，在Rt△ABC中，BC=AB=x，在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，∴DB=AB，即100+x=x，解得x=50（+1）m．∴山AB的高度为50（+1）米．故选：D．8. 已知与共线，则=A． 8 B． C．D．参考答案：B9. 已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A． B． C．D．参考答案：D10. 在下列结论中，正确的是（）①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __参考答案：12. 设关于的不等式的解集中整数的个数为，则数列的前项和=____________.参考答案：13. 幂函数 f （x ）=x α（α∈R ） 过点，则 f （4）=．参考答案：2 略14. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为___________ . 参考答案： 1215. 已知点P 为双曲线右支上一点，为双曲线的左、右焦点。
2020-2021学年广西南宁三校联考高二上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知向量()1,1a =，()2,b x =，若//a b ，则实数x 的值为（ ）. A ．2- B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】利用向量共线的坐标公式计算即可． 【详解】//,2a b x ∴=故选：D【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查向量共线的应用，属于基础题． 2．化简cos16cos44sin16sin 44-︒︒︒︒的值为（ ）A ．B ．C ．12D ．12-【答案】C【分析】根据两角和余弦公式化简求值即可.【详解】()1cos16cos 44sin16sin 44cos 1644cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=， 故选C ．【点睛】本题考查了三角恒等变换，逆用两角和余弦公式化简求值，属于简单题.3．已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==那么B ∠为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒【答案】A【解析】试题分析：在ABC ∆中，45,2,A a b =︒==a b >，A B ∠>∠，那么B ∠为锐角，由正弦定理可得2,,sin sin sin 45sin a b A B B==即解得01sin ,302B B =∴=. 【考点】正弦定理的应用.4．已知数列{}n a 满足 112(2)n n n a a a n +-=+≥，52a =，则9S =（ ） A ．18 B ．20C ．32D ．64【答案】A【分析】由已知可得数列{}n a 是等差数列，然后由等差数列的性质易得结论． 【详解】因为112(2)n n n a a a n +-=+≥，所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥，所以数列{}n a 是等差数列， 所以19599()92921822a a a S +⨯===⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的判断，考查等差数列的性质．判断等差数列的方法： （1）定义法：证明1n n a a d --=(2)n ≥，d 为常数； （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-=+≥； （3）通项公式法：n a An B =+；（4）前n 项和法：2n S An Bn =+．证明数列为等差数列通常用定义法． 5．若1tan 3θ= ，则cos2θ=( ) A ．45-B ．15-C ．15D ．45【答案】D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++. 故选D.6．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ）A ．3-B ．12-C ．13D ．2【答案】B【分析】由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可.【详解】由1111n n n a a a ++-=+，可得111nn n a a a ++=-，由12a =，可得23a =-，312a =-，413a =，52a =，由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以2019312a a ==-. 故选：B.7．ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos a bB A=，则ABC 的形状是（ ） A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D【分析】利用正弦定理sin sin sin sin a b a AA B b B=⇒=，再结合已知cos cos a b B A =可求得sin cos sin cos A BB A=，从而可得sin 2sin 2A B =，可判断ABC 的形状. 【详解】解：ABC 中，由正弦定理得：sin sin a b A B=， ∴sin sin a Ab B=，又cos cos a b B A =， ∴sin cos sin cos A BB A=， ∴sin 2sin 2A B =， ∴A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D .【点睛】本题考查判断三角形的形状，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角形形状．8．ABC 的三边为,,a b c ，若ABC 为锐角三角形，则（ ）A ．tan tan 1AB < B ．sin cos A B <C ．2A B π+> D ．222a b c +<【答案】C【分析】由三角形的内角和定理，得到2A B π+>，再由2A B π+>，求得022A B ππ>>->，根据正切函数和正弦函数的单调性及诱导公式，可判定A 、B 不正确；再由余弦定理，可判定D 不正确. 【详解】由ABC 为锐角三角形，可得(0,),(0,),(0,)222A B C πππ∈∈∈， 又由A B C π++=，可得2A B C ππ+=->，即2A B π+>，所以C 正确； 由2A B π+>，可得022A B ππ>>->， 由正切函数在(0,)2π上为单调递增函数，可得1tan tan()2tan A B Bπ>-=， 所以tan tan 1A B >，所以A 不正确； 由正弦函数在(0,)2π上为单调递增函数，可得sin sin()cos 2A B B π>-=， 即sin cos A B >，所以B 不正确；由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=>，则2220a b c +->，所以D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了锐角三角形的性质，以及正弦函数、正切函数的单调性的应用，以及余弦定理的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点， 62AB =,6AC =,12AE ED =,则AE EB ⋅等于 （ ） A ．14- B ．9-C ．9D ．14【答案】C【分析】可分别以直线AC ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出点A ，B ，C ，D 的坐标，进而求出点E 的坐标，从而得出向量AE EB ，的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出AE EB ⋅的值．【详解】如图，分别以边AC ，AB 所在直线为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则：()(()(0,00,626,03,32A B C D因为12AE ED =，所以13AE AD = ∴AE =(2，，((2,1,52E EB =- ∴1109.AE EB ⋅=-+= 故选C ．【点睛】考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算． 10．已知向量a ，b 满足2a →=，2b →=，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．12-B ．1-C ．12D ．1【答案】B【分析】由向量垂直求得a b ⋅，再根据数量积的定义求得b 在a 方向上的投影． 【详解】因为()2a a b ⊥+，()222420a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=，2a b ⋅=-， 所以b 在a 方向上的投影为212a b a⋅-==-． 故选：B ．11．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．11024【答案】C【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n na a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 12．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =，且4b =，点O 满足0OA OB OC →→→→++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC 的面积为（ ）A．3B．C．D【答案】D【分析】由0OA OB OC →→→→++=得O 是ABC 的重心，设直线AO 交BC 于G ，则G 是BC 中点，利用2AB AC AG +=得2AB AG AC =-，两边平方后可求得AG ，再由2ABC GAC S S =△△可得三角形面积．【详解】∵0OA OB OC →→→→++=，∴O 是ABC 的重心，设直线AO 交BC 于G ，则G 是BC 中点， 设AG x =，∴2AB AC AG +=，则2AB AG AC =-，2222(2)44AB AG AC AG AG AC AC =-=-⋅+∴220442cos 16x x OAC =-⨯⨯∠+，化简得22320x x --=，解得2x =（12x =-舍去），由3cos 8CAO ∠=，CAO ∠是三角形内角，则2355sin 18CAO ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭， ∴15522sin 24552ABC GAC S S AG AC CAG ==⨯⨯∠=⨯⨯=△△． 故选：D ．【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积运算，考查三角形面积公式．解题关键是由0OA OB OC →→→→++=得O 是ABC 的重心，然后可由向量的线性运算得出关系式2AB AC AG +=（G 是BC 边中点），平方后变成向量的数量积运算，从而求得中线AG 长，由面积公式可得面积．二、填空题13．已知在等比数列{}n a 中，3749a a ==，，则5 a =_______．【答案】6【分析】由等比数列的性质直接计算．【详解】因为{}n a 是等比数列，所以253736a a a ==，又357,,a a a 同号，所以56a =．故答案为：6．14．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且向量a ，b 的夹角为4π，若a b λ-与b 垂直，则实数λ的值为__________ 【答案】24【分析】根据已知条件求得a b ⋅，再对向量垂直进行转化，即可列出等式求得参数值. 【详解】根据a b λ-与b 垂直得到（a b λ-）·b =0， 所以220,12cos40,44a b b πλλλ⋅-=∴⨯⨯-=∴=.故答案为：4. 【点睛】本题考查数量积的运算，以及向量垂直的转化，属综合基础题.15．若02πα<<，2ππβ-<<-，1cos 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】3【分析】利用同角三角函数的基本关系可得sin 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】∵02πα<<，2ππβ-<<-，则3444πππα<+<，32424ππβπ<-<，∴sin 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 42πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos cos sin sin 442442ββααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133⎛=⨯+= ⎝⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，熟记公式是解题的关键，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16．如图，在同一个平面内，OA 与OC 的夹角为α，且90α︒=，OB 与OC 的夹角为60︒，4OC=，2OB=，1OA=，若()1212,OA OBOCλλλλ=+∈R，则12λλ的取值是_______．【答案】3【分析】由OA⊥OC ，OB与OC的夹角为60︒，可建立如图所示的平面直角坐标系，进而用坐标表示出OA，OC，OB，结合12OA OBOCλλ=+，可求出12λλ的值. 【详解】由题意，可知OA⊥OC，OB与OC的夹角为60︒，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()0,0O，1,0A，()0,4C，()6062s n0i,2cosB︒︒-，所以10OA,，()0,4OC=，()()2sin,2cos3,16060OB︒︒=-=-，由()1212,OA OBOCλλλλ=+∈R，可得()()()120,41,03,1λλ+=-，即122304λλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以123λλ=3三、解答题 17．如图，D 是直角ABC 斜边BC 上一点，3AC DC =．（1）若30DAC ∠=︒，求角B 的大小； （2）若2BD DC =，且3DC =，求AD 的长． 【答案】（1）60B ∠=︒；（2）32【分析】（1）在ADC 中，由正弦定理得可得ADC ∠，从而求得B 角； （2）由直角三角形求得AC ，再用余弦定理计算AD ． 【详解】解：（1）在ADC 中，由正弦定理得：sin sin DC ACDAC ADC=∠∠，由题意得：3sin 3ADC DAC ∠=∠=， ∵6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+︒>︒， ∴120ADC =∠︒， ∴60B ∠=︒； （2）3DC =，933BC AC ∴==，∴在 Rt ABC 中，22812736AB BC AC =-=-= ∴3cos C =， 在ABD △中，由余弦定理得：(2223333233332AD =+-⨯⨯=． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，掌握正弦定理与余弦定理解三角形的类型是解题关键．正弦定理解三角形类型：（1）已知两角及一角对边；（2）已知两边及一边对角（这种类型可能出现两解，需判断）；余弦定理解三角形类型：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边求内角． 在已知两边及一角时都可得用余弦定理解三角形．18．某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题．（1）求成绩在[)70,80的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的平均分（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）；（3）从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．【答案】（1）频率为0.3，频率分布直方图见解析；（2）71分；（3）715． 【分析】（1）由所有频率之和为1可求得成绩在[)70,80的频率，从而可补全频率分布直方图；（2）由每组数据的中值乘以频率相加可得均值；（3）成绩在[)40,50的人数为400.14⨯=人，成绩在[)90,100的人数为400.052⨯=人，将分数段[)40,50的4人编号为1A ，2A ，3A ，4A ，将[]90,100分数段的2人编号为1B ，2B ，用列举法写出任取2人的所有基本事件，同时得出同一分数段内所含基本事件，计数后可得概率．【详解】（1）因为各组的频率之和等于1，所以成绩在[)70,80的频率为1(0.0250.01520.010.005)100.3-+⨯++⨯=．补全频率分布直方图如图所示：（2）利用中值估算学生成绩的平均分，则有450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以本次考试的平均分为71分．（3）成绩在[)40,50的人数为400.14⨯=人，成绩在[)90,100的人数为400.052⨯=人 从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，将分数段[)40,50的4人编号为1A ，2A ，3A ，4A ，将[]90,100分数段的2人编号为1B ，2B ，从中任选两人，则基本事件构成集合{}1213141112232412=A ,A ,A ,A ,A ,A ,A ,B ,A ,B ,A ,A ,(A ,A (B ,B )Ω（）（）（）（）（）（）） 共15个，其中同一分数段内所含基本事件为：()12A A ，，()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A ，12(,)B B 共7个， 故所求概率为P =715． 【点睛】方法点睛：本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图求均值，考查古典概型．求古典概型的方法：列举法，用列举法写出事件空间中的所有基本事件，同时得出所求概率事件中所含有的基本事件，计数后计算概率．如果元素个数较多，事件的个数也可用排列组合知识计算．19．已知数列{}n a 中，已知：12a =，*1431n n a a n n N +=-+∈，．（1）设n n b a n =-，求证数列{}n b 是等比数列；（2）记41424log log log n n T b b b =++⋯+，求n T ．【答案】（1）证明见解析；（2）n T =()12n n -． 【分析】（1）已知等式1431n n a a n +=-+变形为()()114n n a n a n +-+=-， 由{}n b 的定义可得14n n b b +=，同时求得110b =≠，从而证得等比数列；（2）求出等比数列的通项公式，然后利用等差数列的前n 项和公式教育处出n T ．【详解】（1）∵*1431n n a a n n N +=-+∈， ∴()()114n n a n a n +-+=-，14n n b b +=∵111211b a =-=-=∴{}n b 是首项为1，公比为4的等比数列．（要指明首项和公比，否则扣1分）（2）∵14n n b -=，41424log log log n n T b b b =++⋯+214444log 1log 4log 4log 4n -=+++⋯+()0121n =+++⋯+- ()12n n -=． 【点睛】本题考查等比数列的证明，证明方法是等比数列的定义．本题证明实际上可以直接由n n b a n =-得n n a b n =+，代入已知等式()()114n n a n a n +-+=-即可递推关系，然后一定要计算出1b ，只有在10b ≠时才能确定数列为等比数列，这是易错点． 20．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点C 到平面 APD 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（22．【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d . 【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，∴AD ⊥平面ABPM ，∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d ∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=;∴d =即点C 到平面APD【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明.21．已知数列{}n a 的前n 项和232n n n S n N *-=∈，. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列. 【答案】（1）32,n a n =-（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由和项求通项，主要根据11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥进行求解. 因为232n n n S -=，所以当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=-又1n =时，11312,n a S ===⨯-所以32,n a n =-（2）证明存在性问题，实质是确定.m 要使得1n m a a a ，，成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+.而此时m N *∈，且,m n >所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列. 试题解析：（1）因为232n n n S -=，所以当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=-又1n =时，11312,n a S ===⨯-所以32,n a n =-（2）要使得1n m a a a ，，成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+.而此时m N *∈，且,m n >所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列. 【考点】由和项求通项，等比数列22．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足22232cos R ac B a c +=+.（1）求B 的大小；（2）已知ABC ∆的面积S =，求a c +的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.（2）根据面积公式化简得到6sin 6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据角度范围得到值域. 【详解】（1）∵22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即R =，∴sin22b B b R ===，又B 为锐角，∴3B π=.（2）∵ABC ∆的面积1sin 1223S ac π==，∴3b =，∴23R ==2sin sin a c R A C ==，23A C B π+=π-=， ∴232(sin sin )sin sin sin 32a c R A C A A A A π⎫⎤⎛⎫+=+=+-=⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴a c +∈，即a c +的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，考查的核心素养是数学运算.。
南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B.C.D.2.复数，则的虚部为（ ）A.B. C. D.3.已知空间向量，且与垂直，则等于（ ）A.4B.1C.3D.24.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若实数m 满足，则曲线与曲线的（ ）A.离心率相等B.焦距相等C.实轴长相等D.虚轴长相等6.已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）A.2B.3C.4D.67.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）A.B.4C.6D.8.已知椭圆的左､右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（）{}1,{22}A xx B x x =>=-<<∣∣()R A B ⋂=ð()2,1-(]2,1-(),2∞-(]1,2i 21iz -=+z 3i 23232-3i 2-()()3,2,5,1,,1a b x =-=- a bx 1m =()1:110l x m y +++=()2:110l m x my +--=05m <<221155x y m -=-221155x y m -=-2212:1,,94x y C F F +=P C 122PF PF -=12PF F 222x y -=12,F F P ()0,2Q 1PQ PF +()2222:10x y C a b a b+=>>12,F F ()11,P x y C 12PF F ()22,Q x y 12x =2x =CD.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若，则直线的倾斜角为C.若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点D.直线的纵截距为10.已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（）A. B.点的坐标为C.直线与抛物线相切D.11.已知正方体棱长为4，点是底面正方形内及边界上的动点，点是棱上的动点（包括点），已知为中点，则下列结论正确的是（）A.无论在何位置，为异面直线B.若是棱中点，则点C.存在唯一的位置，使平面D.AP与平面所成角的正弦最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线与之间的距离是__________.13.若圆与圆相内切，则__________.14.已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若1-2()()1,3,1,3A B-AB90()1,245 ()3,42y kx=-2-()1,2A()220y px p=>()1,0Q-2p=F()2,0AQ AF AQ⊥1111ABCD A B C D-N ABCD M 1DD1,D D4,MN P=MN,M N1,AP CCM1DD P,M N1A P∥1AB C11A BCD121:68100l x y+-=2:6850l x y+-=221:(2)1C x y-+=222:460C x y x y m++++=m=()222210,0x ya ba b-=>>12,F F M､，则双曲线的渐近线方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）分别求出适合下列条件的方程：（1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程；（2）已知圆C 的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C 的方程.16.（15分）记的内角的对边分别为，且.（1）求角A ；（2）若，求的周长.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.19.（17分）已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值；122π,3F MF OM ∠==()2:20C y px p =>F ()3,A m y ()ABC ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =a ABC =ABC P ABCD -ABCD PAD CD ⊥,,,,PAD E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD EFG ABCD ()2222:10x y E a b a b+=>>()()121,01,0,F F M -､E 12MF F E :l y kx m =+E ,P Q 22434k m +=OPQ O ()222Γ:1,0y x b b-=>12,A A ()2,0M -l Γ,P Q 2e =b（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围.2b MA P =P P OQ ΓR 121A R A P ⋅=b南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题参考答案题号1234567891011答案BBAABCDABCDACABD12.13. 14. 15.（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为，故，故抛物线标准方程为.（2）设圆C 方程：，由已知，解得，圆C 方程为.16.（1）因为，所以.根据正弦定理，得，因为，所以.又，所以1/0.5223-y x =()3,Am 2p x =-352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭4p =28y x =()222()0x y b rr +-=>22222((3)b r b r⎧=⎪⎨+-=⎪⎩22b r =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +-=sin2sin b A a B =2sin cos sin b A A a B =2sin sin cos sin sin B A A A B =sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =()0,πA ∈π3A =（2）在中，由已知，因为由余弦定理可得，即，即，又，所以.所以的周长周长为17.（1）证明：是等边三角形，是的中点，，又平面平面，又平面平面平面.由（1）得平面，连接，建立以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示，底面是边长为4的正方形，则，，则，设平面的法向量为，则取平面的法向量为，又平面的法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为ABC11sin 622ABC S bc A bc bc ===∴= π,3A a ==2222cos a b c bc A =+-217()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=ABC 5PAD O AD PO AD ∴⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PAD CD PO ∴⊥,AD CD D AD ⋂=⊂,ABCD CD ⊂,ABCD PO ∴⊥ABCD PO ⊥ABCD OG O ,,AD OG OP x y z O xyz -ABCD ()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0O A B C -()()(((2,0,0,0,4,0,0,0,,1,,D G P E F ---()(0,2,0,1,2,FE EG == EFG (),,n x y z = 20,20,n FE y n EG x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ x =0,1,y z ==∴EFG )n = ABCD (0,0,OP =∴EFG ABCD.18.（1）根据题意，.在椭圆上顶点，此时.所以，则求椭圆的方程.（2）如图所示，设，联立直线与椭圆的方程得，.，又，因为点到直线的距离，所以.1cos ,2OP n OP n OP n ⋅<>===⋅ 1c =M E 121212MF F S F F MO b === 2224a b c =+=E 22143x y +=()()1122,,,P x y Q x y l E 22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223484120k x kmx m +++-=()()()22222222Δ644344121924814448430k m k mk m k m =-+-=-+=-+>21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++2PQ x =-===O PQ d =22434k m +=22222211666322343442PQOm m m S PQ d k k m =⨯⨯=====++综上，的面积为定值.19.（1）由题意得，则.（2）当时，双曲线，其中，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；...②当以为底时，，设，则，联立解得或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即.综上所述：.（3）由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①②，OPQ 3221c ce a ===2,c b ===b=22Γ:183y x -=()()22,0,1,0M A -2MA P 2MA P 12x =-P 2A P 23MP MA ==(),P x y 2222318(2)9y x x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩P 2MP MA >MP 223A P MA ==()00,P x y 000,0x y >>()2200220019183x y y x ⎧-+=⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,P (2,P ()()121,0,1,0A A -l 120A R A P ⋅=0l k ≠:2l x my =-()()1122,,,P x y Q x y OQ ΓR ()22,R x y --()22222222214301x my b m y b my b y x b =-⎧⎪⇒--+=⎨-=⎪⎩2210b m -≠()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =---=+>2122241b m y y b m +=-2122231b y y b m =-()()1222111,,1,A R x y A P x y =-+-=-则，因为在直线上，则，即，即，将①②代入有即，化简得所以，代入到，得，所以，且，解得，又因为，则，综上知，.()()122112111A R A P x xy y ⋅=-+--=()()1122,,,P x y Q x y l 11222,2x my x my =-=-()()2112331my my y y ----=()()2121213100y y m y y m +-++=()22222223413100,11b b mm m b m b m +⋅-⋅+=--()()2222231341010bmm b m b m +-⋅+-=2223100b m b +-=22103m b=-2210b m -≠21031b -≠23b ≠221030m b =-≥2103b ≤0b >21003b <≤()(2100,33,,3b b ⎛⎤∈⋃∴∈⋃ ⎥⎝⎦。
南宁三中2019-2020学年度上学期高二理科数学月考（一）参考答案题号123456789101112答案CC D B D ADBABBB13．外14．6415．5316．(]117997⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，【解析】1.由题得5354a =，518a =，所以285236a a a +==2.由正弦定理，有222a b c +=，所以ABC 为直角三角形3.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故A 错误；若αβ⊥，m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，故B 错误；若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误；若//αβ，m α⊂，则由线面平行的性质定理得//m β，故D 正确．4. a与b的夹角θ为钝角，∴0a b ⋅<，即210λ--<，解得12λ>-，又当2λ=时，//a b，且方向相反，此时向量的夹角为180，不是钝角，故λ的取值范围为12λ>-且2λ≠5.连接D 1C ，AC ，则1AD C ∠即为异面直线所成的角，设AA 1=2，AB =1，则AC =，115AD CD ==，由余弦定理：222111115524cos 25255AD CD AC AD C AD CD +-∠===⋅⨯⨯6.由三视图可知，该几何体是由一圆柱和长方体组而成，故2112.6() 1.6(5.4 1.6)132x x π=⋅⨯+-⨯⋅⇒=7.由于AB ∥NQ ，结合线面平行判定定理可知A 不满足题意；由于AB ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意；由于AB ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意；对于选项D ，由于直线AB 不平行与平面MNQ ，满足题意 1与B 1E 均在侧面BCC 1B 1内，又两直线不平行，故相交，A 错误；AE ⊥BC ，AE ⊥BB 1，故AE ⊥平面BB 1C 1C ,故AE ⊥B 1C ，B 正确；C 与平面ABB 1A 1所成的角为60°，所以AC 不垂直于平面ABB 1A 1，故C 错误；AC 与平面AB 1E 有公共点A ，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1与平面AB 1E 相交，故D 错误9.由题意可知CA ,CB ,CD 两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，()()22222222216R =++=，外接球的表面积2416S R ππ==10.①正确，90EAF ∠=︒，90AEC ∠=︒；②正确，四边都为1，角度为90︒；③不正确，A 到BCE 距离小于AB ．④不正确，过E 作//l AD ，ADE BCE l = ，取AD 、BC 中点为G ，H ，连接EG ，EH ，EG l ⊥，EH l ⊥，∴GEH ∠即为二面角的平面角，32GE EH ==，1GH =，331144cos 333222GEH +-∠==⋅⋅11.分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，l∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥BC 1，EF ∥BC 1，∴MN ∥EF .∵MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN ∥平面AEF .∵AA 1∥NE ，AA 1=NE ，∴四边形AENA 1为平行四边形，∴A 1N ∥AE .∵A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴A 1N ∥平面AEF .∵A 1N ∩MN =N ，∴平面A 1MN ∥平面AEF .∵P 是侧面BCC 1B 1内一点，A 1P ∥平面AEF ，∴P 必在线段MN 上.∵在Rt △A 1B 1M 中，A 1B 1=1，112B M =，∴22111152A M A B B M =+=，同理，N 152A N =，∴△A 1MN 是等腰三角形.当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长.∵在Rt △B 1MN 中，1112B M B N ==，∴221122MN B M B N =+=∵点O 是MN 中点，∴.24OM =∵在Rt △A 1MO 中，15224A M OM ==，∴2211324A O A M OM =-=∵1152A M A N ==，∴线段A 1P 长度的取值范围是],[25423.12.如图，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()3,0,0A 、()3,3,0B 、()10,0,4D ，设点(),3,P m n ，则03m ≤≤，04n ≤≤，()3,3,AP m n =- ，()13,3,4BD =--，1AP BD ⊥ ，则()()133334340AP BD m n m n ⋅=--+⨯-+=-+= ，得34n m =，平面11BCC B 的一个法向量为()0,1,0a =，所以22222sin ||||325(3)9(3)9()618416AP a AP a m nm m m m θ⋅====⋅-++-++-+ ，当[]6480,32525216m -=-=∈⨯时，sin θ取最大值，此时(,3,)2525P ，11111363325=425ABCD P ABCD ABCD A B C D ABCD S V V S --⋅=⋅13.P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．14.设递减的等比数列{}n a 的公比为q ，∵2712a a =，3694a a +=，∴273612a a a a ==，3694a a +=，解得3612,4a a ==．∴36318a q a ==，∴12q =，3128a a q ==，244,1a a ==．5n ≥时，()0,1n a ∈．∴12321234842164n a a a a a a a a ⋯≤=⨯⨯⨯=．∴1232n a a a a ⋯的最大值为64．15.取CD 上一点E ，设20CE m =，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度．在河堤斜面内，作EF AB ⊥．垂足为F ，连接FG ，由三垂线定理的逆定理，知FG AB ⊥．因此，EFG ∠就是河堤斜面与水平面ABG 所成的二面角的平面角，60EFG ∠=．由此得sin60sin30sin60EG EF CE ==12022=⨯⨯=16.∵对任意的x 满足f （x+1）＝﹣f （x ），∴f （x+2）＝﹣f （x+1）＝f （x ），函数f （x ）是以2为最小正周期的函数，画函数f （x ）、g （x ）在[)-600⋃+∞，（，）图象，由图象可知：在y 轴的左侧有2个交点，只要在右侧有4个交点即可．则log 71log 91a a ⎧<⎪⎨≥⎪⎩即有170711919a a a a 或或⎧><<⎪⎪⎨⎪<≤≤<⎪⎩，故7＜a ≤9或19≤a ＜17．故(]117997⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，．17.（1）[,36k k ππ-+π+π],k Z ∈；（2）512x π=或1112x π=【解析】()22cos cos sin f x x x x x =+-cos22sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1）由222262k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈.∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z∈（2）由()0f x =得2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：26x k ππ+=，即122k x ππ=-+,k Z∈∵(]0,x π∈，∴512x π=或1112x π=．18.（1）45 ；（2）3-.【解析】（1）cos sin a b C c B =+Q ，sin sin cos sin sin A B C B C ∴=+，即()sin cos sin sin sin sin cos cos sin B C B C B C B C B C +=+=+，则sin sin cos sin B C B C =，0180C <<o o Q ，sin 0C ∴>，sin cos B B ∴=，则tan 1B =，0180B << ，45B ∴= ；（2）由余弦定理得()22222cos 2b a c ac B a c ac =+-=+--，代入数据得(1624ac -+=，解得(62ac ==-，因此，ABC ∆的面积为(112sin 623222ABC S ac B ∆==⨯-⨯=-.19.（1）见解析；（2）3.【解析】（1）证明：如图，取PD 中点为G ，连结,EG AG ，则11//,,//,22EG CD EG CD AF CD AF CD ==，所以EG 与AF 平行与且相等，所以四边形AGEF 是平行四边形，所以//,⊂EF AG AG 平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以//EF 平面PAD .（2）连结,AC BD ，交于点O ，连结EO ，因为E 为PC 的中点，所以EO 为PAC ∆的中位线，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，即EO 为三棱锥E AFC -的高.在菱形ABCD中可求得AC =在Rt PAC △中，PC =，所以4,2PA EO ===所以1113sin 2222ACF ABC S S AB BC ABC ∆∆==⨯⨯⨯⨯∠=，所以1123323C AEF E ACF ACF V V S EO --==⨯=⨯⨯=.20.（1）21n a n =+.（2）()323+nn 【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差d ，6336a a d -==Q ，即2d =，3313a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+，31a -Q 是21a -，4a 的等比中项，()()232411a a a ∴-=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a =.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）由()I 得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭.1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.21.（1）见解析;（2）17．(1)由于2AB AD =，2AM BM ==，则BM AM ⊥，又平面ADM 平面ABCM ，平面ADM 平面ABCM AM =，BM ⊂平面ABCM ，故BM ⊥平面ADM ．又AD ⊂平面ADM ，所以AD BM ⊥．(2)以M 为原点，,MA MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，22(0,0,0),2,0,0),2,0),(,0,22M A B D ，且2DE EB =，所以222,,636E ，设平面EAM 的一个法向量为(,,)m x y z =，则20m MA x ⋅== ，2220636m ME x y z ⋅=++= ，所以平面EAM 的一个法向量(0,1,4)m =-．又平面DAM 的一个法向量(0,1,0)n =，所以，2217cos ,171(4)m n <>==+- ，设所求角为θ所以2417sin 1cos ,17m n θ=-<>= ，所以二面角正弦值41717．22.（1）1*2,-=∈n n a n N （2）*1431,994n n n R n N -+=-∈⨯【解析】（1）当1=n 时，11121=-=S a a ，解得11=a 当2≥n 时，21=-n n S a ，1121--=-n n S a ，两式相减得122.-=-n n n a a a 化简得12-=nn a a ，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12-=n n a （2）由（Ⅰ）得12n n n T λ-+=，所以12λ-=-n n nT .111,b T λ==-当2n ≥时，112112,222λλ------⎛⎫=-=---= ⎪⎝⎭n n n n n n n n n b T T 因此2212212211.224n n n n n n n n c b ------====所以112131111213114444--------=++++n n n R ，而()213111111121144444--------=++++n n nn n R 相减得2131131111...44444n n n n R ----=+++-11114411414n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=--,1111114411111,34439434n n n n n n n R ---⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯=--⋅⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭化简得*1431,.994n n n R n N -+=-∈⨯。
广西南宁三十六中2020-2021学年高二9月份月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．等差数列{}n a 中，34a =，公差2d =-，则5a =（ ）A ．1-B ．12-C ．1D ．02．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，45B =︒，60C =︒，1c =，则最短边的长等于（ ）ABC ．12 D3．已知{}n a 是等差数列，且2581148a a a a +++=，则67a a +=（ ）． A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 4．正项等比数列{}n a 中，3a 2=，46a a 64⋅=，则5612a a a a ++的值是( ) A ．4B ．8C ．16D ．64 5．已知1cos 4α=，则πsin 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．18 B ．18- C ．78 D ．78- 6．已知数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，首项11a =，则它的前2020项的和等于（ ）A ．0B ．1C ．2020D ．2021 7．设sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan2α的值是（ ） AB．C．3 D．3- 8．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0，若a 5=3a 3，则95S S =（ ） A ．95 B ．59 C ．53 D ．27510．数列{}n a 的前n 项和2233n S n n =-+，则4510a a a +++等于( )A ．171B ．21C ．10D ．161 11．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+ 12．已知函数()sin 6f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，70,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有三个不同的零点1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则1232x x x ++的值为（ ）A ．103π B ．4π C ．113π D ．不能确定二、填空题 13．已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________14．计算sin 40sin100sin50sin10-=________.15．在数列{}n a 中，且11a =，121n n a a n +-=-，则{}n a 的通项公式为__________．16．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，则它的前100项和100S =________.三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的前n 项和n T .18．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且2215n S n n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n 为何值时，n S 取得最大值并求其最大值．19．设{}n a 是公比为整数的等比数列，12a =，214a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S . 20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S．且)222S a b c =+-． （1）求角C ；（2）若32a b =，求sin A ．21．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．22．已知数列{}n a 满足12a =，()*121+-=∈n n n a a n N a ． （1）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记1n nb na =，n T 为数列{}2121n n b b -+⋅的前n 项和，若3n n T b λ+≤对任意的正整数n 都成立，求实数λ的最小值．参考答案1．D【分析】直接根据等差数列通项公式计算，即可得答案；【详解】5434220a a d a d d =+=++=--=．故选：D ．【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.2．A【分析】利用内角和定理求得75A =︒，由此得最短边为b ，再根据正弦定理即可求出答案．【详解】解：∵45B =︒，60C =︒，∴75A =︒，∴最短边为b ，∵1c =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得，sin 1sin 45sin sin 603c B b C ⨯︒====︒， 故选：A ．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．3．D【分析】由等差数列的下标和性质可得：2115867a a a a a a +=+=+，代入已知可得答案．【详解】解：由等差数列的性质可得：2115867a a a a a a +=+=+，因为2581148a a a a +++=，所以672()48a a +=，故6724a a +=，故选：D ．【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题．4．C【解析】分析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 3=2，a 4•a 6=64，利用通项公式解得q 2，再利用通项公式即可得出．详解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=2，a 4•a 6=64，∴228112,64,a q a q ==解得q 2=4， 则5612a a a a +=+=42=16． 故选C ．点睛：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.5．D【分析】由诱导公式求出cos2α，再用二倍角公式可求得答案.【详解】1cos 4α=，则22π17sin 2cos 22cos 121248ααα⎛⎫⎛⎫-==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：D.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式，是基础题.6．C【分析】设数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，根据2132a a a =+以及11a =解得1q =，所以数列{}n a 为各项为1的常数数列，由此可得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，则11a =，2a q =，23a q =，又因为数列{}n a 也是等差数列，所以2132a a a =+，即221q q =+，解得1q =，所以1n a =*()n N ∈，所以数列{}n a 的前2020项的和等于2020.故选：C .【点睛】本题考查了等比数列通项公式的基本量的计算，考查了等差数列的前n 项和，属于基础题. 7．A【分析】利用二倍角公式将sin 2sin 0αα-=展开，即可求cos α的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin α及tan α，然后利用二倍角公式求得tan2α.【详解】由sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 得2sin cos sin sin (2cos 1)0ααααα-=-=， 所以12cos 10,cos 2αα-==，则sin α==所以sin tan cos ααα==所以22tan tan 21tan ααα===-故选：A.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及二倍角公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.8．D【分析】 由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得2a 的值，即可得该人第2天走的路程里数，可得答案．【详解】解：根据题意，记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得6161[1()]2378112-==-a S ， 解可得1192a =， 则211192962a a q =⨯=⨯=； 即此人第二天走的路程里数为96；故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项公式的应用，关键是正确分析题意，确定等比数列的数学模型，属于基础题．9．D【分析】将S 9，S 5转化为用a 5，a 3表达的算式即可得到结论.【详解】 解：依题意，19951553992552a a S a a a S a +⨯==+⨯，又533a a =，∴95927355S S =⨯=， 故选：D .【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，考查了等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题. 10．D【解析】由题意得4510a a a ＋＋＋103S S =-22(2103103)(23333)161=⨯⨯-⨯⨯=－＋－＋．选D ．11．B【分析】根据等比数列下标和性质，求得56a a ，再结合对数运算，即可求得结果.【详解】由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=.则()5313231031103log log log log 5log 910a a a a a +++===， 故选：B.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及对数运算，属综合基础题.12．A【分析】 作出函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的图象以及函数y m =的图象，利用对称性可求得1232x x x ++的值.【详解】 画出函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的图象以及y m =的图象如下图所示，令sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，703x π≤≤，则5662x πππ≤+≤，可得62x ππ+=或562x ππ+=， 解得3x π=或73x π=， 令sin 16x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得332x ππ+=，解得43x π=. 由图象可知点()1,x m 、()2,x m 关于直线3x π=对称，点()2,x m 、()3,x m 关于直线43x π=对称，故1223x x π+=，2383x x π+=，所以12328102333x x x πππ++=+=. 故选：A.【点睛】 本题考查利用正弦型函数的零点求零点之和，考查了正弦型函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13．16【分析】将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。
